Dinâmica 1ª parte completa

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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL
CADERNO UNIVERSITÁRIOCADERNO UNIVERSITÁRIO
DINÂMICADINÂMICA
Prof. Moacyr Marranghello
Prof. Renato de Ávila Consul
ÍNDICEÍNDICE
1. Introdução:..................................................................................................................4
2. Cinemática do ponto..................................................................................................5
2.1. Sistemas de Referência..............................................................................................5
2.1.1. Sistema Cartesiano:..........................................................................................5
2.1.2. Sistema Polar:...................................................................................................5
2.1.3. Sistema Cilíndrico:.............................................................................................5
2.1.4. Sistema Esférico:...............................................................................................6
3. Equações Paramétricas.............................................................................................7
3.1. Representação Vetorial Paramétrica.........................................................................7
3.1.1. Curvas Estudadas.............................................................................................7
3.1.1.1. Equação da Elipse (Curva plana)..........................................................................7
3.1.1.2. Equação da circunferência (Curva Plana).............................................................8
3.1.1.3. Equação da Hélice Cilíndrica Circular (Curva Reversa)........................................9
3.2. Exercícios sobre Equações Paramétricas...............................................................10
4. Movimento Curvilíneo Geral – Coordenadas Cartesianas...................................12
4.1. Exercício sobre Coordenadas cartesianas.............................................................15
5. Cinemática da rotação.............................................................................................18
5.1. Exercícios sobre Cinemática da Rotação................................................................21
6. Dinâmica Rotacional................................................................................................26
6.1. Torque   .................................................................................................................26
6.2. Momento angular  L ...............................................................................................26
6.3. Momento de Inércia (I)..............................................................................................27
6.4. Exercícios sobre Momento de Inércia.....................................................................28
6.5. Energia cinética de rotação, trabalho e potência...................................................30
6.6. Teorema dos eixos paralelos (STEINER).................................................................31
6.7. Raio de Giração (K)...................................................................................................31
6.8. Coordenadas Normal e Tangencial (n – t)...............................................................31
6.9. Velocidade e Aceleração...........................................................................................32
6.9.1. Vetores unitários:.............................................................................................32
6.9.2. Aceleração Tangencial:....................................................................................33
6.10. Exercícios sobre dinâmica da rotação....................................................................34
7. Movimento sob força resistiva...............................................................................38
7.1. Exemplos de Atrito Viscoso (Discussões Qualitativas):........................................38
7.1.1. Gota da chuva (caso linear):............................................................................38
7.1.2. Pára-quedista (caso quadrático):.....................................................................39
7.1.3. Discussão Quantitativa (caso linear)................................................................39
7.1.4. Gráfico da velocidade de descida em função do tempo (v = f(t)).....................40
2
7.2. Exercícios sobre coeficiente de arrasto..................................................................41
8. Sistemas de massa variável....................................................................................45
8.1. Movimento de um foguete........................................................................................45
8.2. Exercícios sobre Movimento de Foguetes..............................................................46
9. Momento Angular  0H ............................................................................................48
9.1. Exercícios sobre Momento Angular.........................................................................49
10.Centro instantâneo de velocidade nula.................................................................51
10.1. Exercícios sobre Centro Instantâneo de velocidade nula:....................................53
11. Bibliografia:...............................................................................................................57
3
DINÂMICADINÂMICA
1. Introdução:
O propósito deste trabalho é iniciá-lo no caminho para tornar-se um bom
engenheiro. Apesar dos fundamentos da física e da matemática serem importantes
nessa missão, enfatizamos as aplicações dos princípios da física e da matemática na
engenharia. Enquanto os físicos estão interessados primariamente na compreensão
dos preceitos que governam o mundo natural e os matemáticos concentram-se no
desenvolvimento de modelos matemáticos que descrevem os fenômenos naturais, os
engenheiros procuram criar o que não existe na natureza e melhorar a vida das
pessoas resolvendo os problemas enfrentados pela sociedade moderna. Na realidade,
o engenheiro é um solucionador de problemas. Para tornar-se um engenheiro eficiente
você deve adquirir uma profunda compreensão dos princípios da física e da matemática
e de sua aplicação do mundo à nossa volta.
4
2. Cinemática do ponto
2.1. Sistemas de Referência
2.1.1. Sistema Cartesiano:
a) no Plano b) no Espaço
 y y
 P (x ; y) P (x ; y ; z)
x
 x
 z
2.1.2. Sistema Polar:
Dizemos que o sistema polar é uma representação no plano.
 y
 P ( ; )
 

Relação entre o sistema polar e o sistema cartesiano:
x =  . cos  ; y =  . sen  ; x2 + y2 = 2
2.1.3. Sistema Cilíndrico:
 z
x =  . cos 
y =  . sen 
z = z
 P ( ;  ; z)
 y
 
 
 P’
 x
5
2.1.4. Sistema Esférico:
 z
x = r . sen  . cos 
 P y = r . sen  . sen 
Z = r . cos 
  r
 y
 
 x P’
Obs.:
- r = raio da circunferência;
- variando  e  e mantendo r constante, descreve-se a área da esfera;
- variando ,  e r, descreve-se o volume da esfera.
6
3. Equações Paramétricas
3.1. Representação Vetorial Paramétrica
Dado o sistema cartesiano dereferência uma curva c do espaço pode
ser representada através de:
k)t(zj)t(yi)t(x)t(r


Representação vetorial paramétrica
 Z
 Pn
 r

(tn)
c é uma curva qualquer.
r

(t1) P1
 
P0
 r

(t0) c
Y t  [ t0 ; tn ]
t = Parâmetro da representação
 X
Nota: Cartesianamente uma curva pode ser representada no espaço por uma função
de três variáveis, parametricamente são três funções com uma variável.
k)t(zj)t(yi)t(x)t(r:C


3.1.1. Curvas Estudadas
3.1.1.1. Equação da Elipse (Curva plana)
 Y
 b j

jsentbitcosa)t(r


 X t  [0 ; 2) ou t  (0
; 2]
 – a i

a i

mais corretamente
será:
 – b j

t  [0 ; 2]
t = 0  a i

 ; t = 2
  b j

 ;
t =   – a i

 ; t = 2
3  – b j

;
t = 2  a i

7
Desenvolvimento da Equação Cartesiana da Elipse
j)t(yi)t(x)t(r


X = a.cos t  cos t = a
x
Sistema: cos² t + sen² t = 
22
b
y
a
x 




 ,
Y = b.sen t  sen t = b
y 1
1
b
y
a
x
2
2
2
2

3.1.1.2. Equação da circunferência (Curva Plana)
jsentbitcosa)t(r

 t  [0 ; 2]
 y
a = b
 b
 x
a
Desenvolvimento da Equação Cartesiana da Circunferência
j)t(yi)t(x)t(r


x² + y² = (a cos t)² + (a sen t)²
X = a cos t
x² + y² = a² cos² t + a² sen² t
Y = a sen t
x² + y² = a² (cos² t + sen² t)
 1
x² + y² = a²
A expressão acima representa a equação da
circunferência no centro com raio igual a “a”.
8
3.1.1.3. Equação da Hélice Cilíndrica Circular (Curva Reversa)
ktcjsentbitcosa)t(r


 Z
t  ângulo formado pela projeção do ponto P
com a origem e o eixo z
 P Obs.: O sinal de c indica o sentido de rolamento
da curva.
Condições: c  0
 0
Q Y
t
t  ( –  ; +  )
 X
Nota:
a) Se c > 0 a hélice apresenta parafuso com rosca voltada para direita
b) Se c < 0 a hélice apresenta parafuso com rosca voltada para esquerda
Obs.: Quando t experimenta um acréscimo igual a 2, x e y reassumem os mesmos
valores, enquanto que z recebe um acréscimo igual ao passo da hélice.
Cálculo do passo da hélice:
P = V . T
Onde: dt
dxVx  ; dt
dyVY  
;
dt
dzVz 
e



2T ; dt
d

Onde: T = período [s]
 = velocidade angular [rad/s]
 = deslocamento angular [rad]
V = velocidade linear [m/s]
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3.2. Exercícios sobre Equações Paramétricas
1. Para o movimento definido pela expressão: jt2sen3it2cos3)t(r

 , no SI.
Determine:
a) A equação da curva;
b) A trajetória do movimento.
2. Uma partícula descreve um movimento definido pela expressão:
kt2sen2jt2cos2it3)t(r

 , no SI, determine:
a) A trajetória;
b) O valor do passo.
3. Um ponto material descreve uma curva definida por: jsent6itcos4)t(r

 ,
determine:
a) A trajetória do ponto material;
b) A equação da curva.
4. A rosca de um parafuso tem por equação: kt8jsent5itcos5)t(r

 . Pede-
se:
a) O passo da rosca;
b) Indicar o tipo de giro da rosca.
5. Para um ponto material que tem por equação: jt2sen3it2cos3)t(r

 , no SI,
determinar:
a) A equação da curva;
b) A equação do deslocamento angular;
c) A velocidade angular.
6. Um parafuso sem-fim tem por equação: kt25jt2sen8it2cos8)t(r

 . Com as
dimensões em mm e o tempo em segundo. Pede-se:
a) Indicar o sentido de giro da rosca do sem-fim;
b) O tamanho do passo da rosca;
c) A equação do deslocamento angular.
7. Para o movimento definido pela expressão: jt4sen3it4cos3)t(r

 , no SI,
determine:
a) Tipo de trajetória;
b) Distância percorrida nos 5s iniciais;
c) Vetores v e a.
8. Uma partícula descreve um movimento definido pela expressão:
kt2sen2jt2cos2it4)t(r

 , no SI. Determine:
a) Tipo de trajetória;
b) Vetores V e a, para 4
t  s.
9. O movimento de uma caixa transportada por uma esteira helicoidal é definido pelo
vetor posição: kt2,0jt2cos5,0it2sen5,0)t(r

 , onde t é dado em segundos
e os argumentos das funções trigonométricas, em radiano. Determine a posição
da caixa quando t = 0,75 s. Calcule também os módulos da velocidade e da
aceleração da caixa neste instante.
10
10. A posição de um ponto material é definida por:  jt2sen4it2cos5)t(r   m,
onde t é dado em segundos e os argumentos das funções trigonométricas em
radianos. Determine os módulos da velocidade e da aceleração do ponto material
quando t = 1 s. Prove que a trajetória é elíptica.
11. Uma figura tridimensional é gerada por uma partícula com trajetória definida pelas
equações: x = 9.cos(3t – 5) ; y = 6.cos(4t + 6) ; z = 3.cos(8t – 2). Expresse a
velocidade escalar da partícula em termos de t.
12. As equações do movimento de uma partícula que se move no plano XY são:
x = 3.cos 5t e y = 4.sen 5t,
onde x e y são expressos em polegadas (inch – in ou “) e t em segundos. 
a) Mostre que a trajetória é uma elipse cujos raios principais são 4 polegadas e 3
polegadas;
b) Determine o tempo t no qual a partícula percorre a elipse uma vez.
13. Uma partícula descreve um movimento definido pela expressão:
kt2sen7jt2cos7it9)t(r

 , no SI. Determine:
a) O tipo de trajetória;
b) Os vetores velocidade e aceleração para 4
t  s.
14. As equações do movimento de uma partícula que se move no plano xy são:
x = r.cos wt e y = r sem wt, onde r e w são constantes positivas e t representa o
tempo. Com essas informações:
a) Mostre que a trajetória é um círculo de raio r;
b) Determine o tempo t no qual a partícula percorre o círculo uma vez;
c) Mostre que a partícula percorre a uma velocidade constante.
15. As equações do movimento de uma partícula são:
x = r.cos wt ; y = r.sen wt ; z = k.t, onde r, w e k são constantes positivas.
a) Mostre que a trajetória é uma hélice (uma curva semelhante a uma rosca de
parafuso) em torno de um cilindro de raio r;
b) Determine o passo da hélice (a distância que a partícula avança, paralela ao
eixo do cilindro, em uma volta em torno do cilindro).
c) Determine o tempo t no qual a partícula percorre uma volta em torno do
cilindro;
d) Mostre que a partícula se move com velocidade escalar constante.
16. As equações do movimento de uma partícula que se move no plano xy são:
x = 3.cos 5t e y = 4.sen 5t, onde x e y estão expressos em in e t em segundos.
a) Mostre que a trajetória é uma elipse cujos raios principais são 3” e 4”;
b) Determine o tempo t no qual a partícula percorre a elipse uma vez.
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4. Movimento Curvilíneo Geral – Coordenadas Cartesianas
Denomina-se movimento curvilíneo todo movimento de um ponto
material cuja trajetória é uma curva. Uma vez que a trajetória é freqüentemente descrita
em TRE s dimensões, utiliza-se análise vetorial para definir a posição, a velocidade e a
aceleração do ponto.
Será introduzido o sistema de coordenadas cartesianas para a análise
do movimento curvilíneo.
Componentes Cartesianas
Muitas vezes o movimento de um ponto material pode ser
convenientemente descrito utilizando-se um sistema de referência fixo x, y, z.
Posição:
Se em um dado instante o ponto material P está no plano (x, y, z) da
trajetória curvilínea s, sua localização é então definida pelo vetor posição
kzjyixr

 .
Por causa do movimento do ponto material e da forma da trajetória, os
componentes x, y, z de r são, em geral, funções de tempo, isto é: x = x(t) ; y = y(t) ; z =
z(t), de modo que r = r(t).
 z Módulo do vetor posição r

222 zyxr 

 s P
 Vetor unitário do vetorposição  r
 k

 kzjyixr


r
r
r 



 i j

 z y
 x
y
 x
Velocidade:
12
A primeira derivada temporal de s fornece a velocidade instantânea do
ponto material, logo:
     kz
dt
djy
dt
dix
dt
d
dt
rdv


dt
kdzk
dt
dz
dt
jdyj
dt
dy
dt
idxi
dt
dxv







Como, o sistema de referência é fixo, as derivadas dos vetores unitários são nulos,
porque os mesmos são constantes. Assim tem-se:
kvjvivv zyx


Ou, em termos de derivadas temporais, tem-se:
kzjyixv





 
Gráfico v = f (t)
Módulo do vetor velocidade:
 P 2z2y2x vvvv 

 v

Vetor unitário da velocidade  v
v
v
v 



Aceleração:
A segunda derivada temporal de s fornece a aceleração instantânea do
ponto material, ou a primeira derivada da velocidade v também fornece a aceleração,
logo:
dt
vda

   kvjviv
dt
da zyx

  kajaiaa zyx


Em função da derivada temporal, tem-se: kzjyixa







 ou kvjviva zyx





 
Módulo do vetor aceleração: 2z
2
y
2
x aaaa 

Vetor unitário da aceleração ( a

): a
a
a 



Nota:
1. O vetor velocidade é sempre tangente à trajetória;
2. O vetor aceleração, em geral, é tangente à trajetória, mas é sempre tangente ao
hodógrafo.
13
Hodógrafo: Essa curva, quando construída, é um lugar geométrico das extremidades
do vetor velocidade, assim como a trajetória é o lugar geométrico das
extremidades do vetor posição.
hodógrafo
 a v

 O’
Equações utilizadas
dt
vda

 ; dtavd 
 ;  vdv  ;   dtav 
dt
rdv


 ; dtvrd  

 ;  rdr  ;   dtvr 
Equação principal:
Demonstração  
dt
dva  pela regra da cadeia, tem-se:
dt
dx
dx
dva  , como vdt
dx
 , fica vdt
dxa  o que fornece
dvvdxa 
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4.1. Exercício sobre Coordenadas cartesianas
1. Um móvel tem por equações paramétricas da posição:
x(t) = t3 + 2t2 + t; y(t) = sen t ; z(t) = et2. Pede-se:
a) Onde estará o móvel na data t = 2s;
b) Qual à distância mo móvel à origem;
c) Qual o vetor velocidade na data t = 2s;
d) Qual a aceleração na data t = 2s.
2. A aceleração de um ponto material é definida por: a = -2 m/s2. Sabendo que v = 8
m/s e x = 0 quando t = 0, determinar a velocidade, a posição e a distância
percorrida quando t = 6s.
3. Um ponto material oscilante apresenta aceleração a= - k.x. Ache o valor de k tal
que v = 10 m/s quando x = 0 e x = 2m quando v = 0.
4. A aceleração de um ponto material é dada por: a = 21 – 12 x2, no SI. A partícula
tem velocidade zero para x = 0. Determinar:
a) A velocidade quando x = 1,5;
b) A posição diferente de zero, quando a velocidade é novamente zero;
c) A posição onde a velocidade é máxima.
5. O pistão de um determinado mecanismo de amortecimento em óleo desacelera
segundo a expressão: a = - kv. Se x = 0, v ≠ 0 para t = 0. Determine:
a) A velocidade do pistão em função do tempo (v = f (t));
b) A posição em função do tempo. (x = f (t));
c) A velocidade em função da posição. (v = f (x)).
6. Uma particular desacelera segundo a expressão: a = – 10v, no SI. Sabendo que
em t = 0, v = 30 m/s e x = 0, determine:
a) À distância percorrida até o repouso;
b) O tempo gasto para alcançar o repouso;
c) O tempo gasto para a velocidade ficar reduzida a 5% da velocidade inicial.
7. A trajetória de vôo de um helicóptero é definida pelas equações paramétricas:
x = 2t2 e y = 0,04t3, no SI. Determinar para t = 10 s.
a) A distância do helicóptero ao ponto A;
b) O módulo da velocidade;
c) O módulo da aceleração.
8. Se a velocidade de uma partícula é definida por: V = {(0,6t + 0,3) i + 0,9 j} [m/s], e
seu vetor posição a t = 1s é r(t) = 1,2 i + 0,9 j [m], determine a trajetória da
partícula em termos de suas coordenadas x e y. 
9. Uma partícula move-se na direção anti-horária, numa trajetória circular de 120 m
de raio. Ela inicia de uma posição a qual está horizontalmente à direita do centro
da trajetória e move-se de forma que s = 3t2 + 6t, onde s é a distância do arco em
metros e t em segundos. Calcule as componentes horizontais e verticais da
aceleração no final de 3 s.
15
10. O movimento de uma partícula é definido por: r(t) = (2t3 – 4t2 + 5t + 20 )i, no SI.
Determine para o instante t = 3s.
a) Posição;
b) Velocidade escalar;
c) Aceleração escalar.
11. Um móvel desloca-se segundo a expressão: r(t) = 4tj – 3t2k, no SI. Determinar:
a) Deslocamento (módulo) no intervalo de tempo que vai de 1s a 3s;
b) Velocidade escalar em t = 2s;
c) Aceleração escalar em t = 2s.
12. O movimento de uma partícula no plano xy é definido por: x = 3sen(2t -5 ); y =
2sen(4t + 1), sendo x e y em metros e o tempo t em segundos. Pede-se:
a) Determine as componentes (x,y) da velocidade e da aceleração para t = 1s;
b) Determine a velocidade escalar da partícula para t = 1s.
13. Uma figura de Lissajous tridimensional é gerada por uma partícula com trajetória
definida pelas expressões: x = 9cos(3t – 5); y = 6cos(4t + 6); z = 3cos(8t – 2).
Expresse a velocidade escalar da partícula em termos de t.
14. A coordenada da posição de uma partícula que está confinada a se mover ao
longo de uma linha reta á dada por: r(t) = 2t3 – 24t + 6, no SI. Determine:
a) A aceleração da partícula quando v = 30 m/s;
b) O deslocamento da partícula no intervalo de tempo desde t = 1s até t = 4s.
15. Um menino opera um modelo de avião controlado por rádio. O vetor de posição
do avião é dado por: r (t) = (1,5t2 + 3t)i + (1,5t – t2)j + 1,2t2k, no SI. O menino está
posicionado na origem do sistema coordenado, com o eixo z direcionado
verticalmente para cima.
a) Determine as projeções (x,y,z) da velocidade e da aceleração em t = 2s;
b) Determine a velocidade escalar do avião em t = 2s;
c) Determine os cossenos de direção da tangente à trajetória do avião em t = 2s.
16. O vetor posição r de uma partícula é dado pela equação r (t) = (c1 – c2t3)i + t2j –
4sent2k, onde r em pés e t em segundos. Expresse os vetores velocidade e
aceleração em termos de c1, c2 e t.
17. Uma partícula , move-se no plano xy. Suas coordenadas (x,y) são dadas pelas
relações: x = t3 – 3t2 + 6 e y = t2 + 3, tudo no SI, determine:
a) Os vetores posição, velocidade e aceleração da partícula no instante t = 1s;
b) Determine a velocidade e aceleração média no intervalo de tempo de t = 0 a t
= 1s;
c) Determine o vetor deslocamento da partícula no instante t = 2s em relação a
sua posição em t = 0;
d) Determine a velocidade escalar em t = 2s. 
18. Um móvel tem por equação da posição: x = t3 + 2t2 + t; y = sent; z = et2, no SI.
Pede-se:
a) Onde estará o móvel na data t = 2s;
b) Qual a distância do móvel à origem;
c) Qual o vetor velocidade na data t = 2s;
d) Qual a velocidade escalar na data t = 2s;
16
e) Qual o valor aceleração para a data t = 2s.
f) Qual o ângulo entre a(2) e v(2).
19. Se a velocidade de uma partícula é definida por v = (0,6t + 0,3)i + 0,9j, e seu vetor
posição quando t = 1s é: r = 1,2 i + 0,9 j, determine a trajetória da partícula em
termos de suas coordenadas x e y.
20. O movimento de uma caixa B transportada por
uma esteira helicoidal é definida pelo vetor de
posição r = [0,5sen(2t)i + 0,5 cos(2t)j – 0,2tk]m,
onde t é dado em segundos e os argumentos
das funções trigonométricas, em radianos.
Determine a posição da caixa quando t =
0,75s. Calcule também os módulos da
velocidade e da aceleraçãoda caixa nesse
mesmo instante.
17
5. Cinemática da rotação
Rotação Pura:
Dizemos que uma rotação é pura quando todas as partículas que
constituem o corpo vão transcrever trajetórias circulares cujo centro se encontra sobre
uma mesma reta e, essa reta é o seu centro ou eixo de rotação.
 +
r
s
 onde: s  arco [m]
 r
  arco r  raio [m]
 0 x   posição angular [rad]
Obs.: O ângulo  é uma grandeza adimensional.
Velocidade angular média ( ):
 p’ no instante t2 t


 = 2 - 1
 
 2r

t = t2 – t1
 p’ no instante t1
 2 1r

 1
 0 x unidade de medida: 



s
rad
Obs.:  não é um vetor.
Velocidade angular instantânea ( )
dt
d
tlim0t







Obs.: Note que  é uma grandeza vetorial
 Direção: perpendicular ao plano que está sendo descrito a trajetória;
 Sentido: regra da mão direita e, é dado pelo polegar.
  
Aceleração angular média ( )
18
t

  unidade: 


 2s
rad
Aceleração angular instantânea ( )
dt
d
tlim0t






Equações utilizadas
dt
d


 ; dt
d



 ; 2
2
dt
d 


Equações para aceleração angular constante:
t0 
2
00 t2
1t 
 2202
  t
2
1
0 
2t
2
1t 
Relação entre velocidade e aceleração lineares com velocidade e aceleração
angulares:
 P +
 r
 s
 
 0 x
r
s
   rs  
 
dt
rd
dt
ds 
  dt
dr
dt
dr
dt
ds 

Como: vdt
ds
 e dt
d , tem-se:
rv 
v = velocidade linear [ s
m ]
19
 = velocidade angular [
s
rad ]
r = raio [m]
Aceleração linear (a):
rv    
dt
rd
dt
dv 
  dt
drr
dt
d
dt
dv



Como: adt
dv
 e dt
d , tem-se:
ra 
a = aceleração linear 


2s
m
 = aceleração angular 


2s
rad
r = raio [m]
Aceleração tangencial e aceleração centrípeta ou radial ( Ta

 e a ):
 a Ta

NT aaa

  2N
2
T aaa 
 P
 r
 Na


 0 x
Equações complementares
r
r
va 2
2
N  e vadt
dva TT 
numero de voltas (n) 



2
n
20
5.1. Exercícios sobre Cinemática da Rotação
1. Uma roda gira com uma aceleração angular constante de 3,5 rad/s2. Se a
velocidade angular da roda é de 2 rad/s em t = 0, (a) Qual é o ângulo percorrido
pela roda entre t = 0 e t = 2s; (b) Qual é a velocidade angular da roda em t = 2s.
2. Um volante gira a 240 rot/min. Determinar:
a) A freqüência em hertz;
b) O período;
c) A velocidade angular;
d) A aceleração centrípeta de um ponto situado a 10 cm do eixo;
e) Se a partir do instante em que foram aplicados os freios o volante pára em 5s,
determine a aceleração angular durante a freada e o número de voltas
efetuadas durante os 5 segundos.
3. Um disco tem aceleração angular constante. Com seis rotações completas sua
velocidade angular varia de 2 rad/s para 6 rad/s. Quanto tempo demora para
completar essas rotações.
4. Um disco de raio 0,8 m gira em torno de seu eixo com aceleração angular de 3
rad/s2 em certo instante sua velocidade angular é de 2 rad/s, pede-se:
a) O módulo da aceleração linear, resultante de um ponto a 0,5 m do eixo;
b) O módulo da velocidade angular 2,5 s após esse instante.
5. Durante o intervalo de tempo t um disco gira um ângulo θ dado por: θ = 10π - 2πt 2
+ 5πt3 , onde θ em rad e t em s. Determinar:
a) O valor da aceleração angular para t = 1s;
b) A velocidade angular média entre 2 e 5s.
6. Um volante parte do repouso e com aceleração angular constante atinge 1200
rot/min em 6 s. Determinar:
a) Qual o valor da aceleração angular;
b) Quantas voltas ele efetuou durante os 6 s;
c) Quanto tempo ele levou para dar as primeiras 30 voltas.
7. Um toca-discos encontra-se girando na freqüência de 331/3 rot/min quando é
desligado, parando após 2,5 s.
a) Qual o valor da aceleração angular;
b) Quantas voltas ele executa até parar.
8. Se você está tentando soltar um parafuso preso a um bloco de madeira com uma
chave de fenda e não consegue, você deve procurar uma chave de fenda cujo
cabo é (a) mais longo; b) mais grosso; Por quê?
9. Tanto o torque quanto o trabalho são produtos de força e distância. De que forma
eles são diferentes?
10. Duas esferas, uma oca e uma cheia estão girando com a mesma velocidade
angular ao redor de seus centros. As duas esferas têm a mesma massa e o
mesmo raio. Qual delas tem energia cinética rotacional maior?
21
11. Se você desliga o esmeril da sua oficina ao mesmo tempo em que sua furadeira
elétrica, o esmeril leva muito mais tempo para parar de girar? Por quê?
12. A posição angular de uma porta vaivém é descrita por: θ = 5 + 10t + 2t 2 .
Determine a posição angular, velocidade angular e a aceleração angular da porta.
a) em t = 0;
b) para t = 3s.
13. O cilindro de uma máquina de lavar entra em rotação, partindo do repouso e
ganhando velocidade angular uniformemente durante 8s, quando então está
girando a 5 rev/s. Nesse ponto a pessoa lavando as roupas abre a tampa, e um
botão de segurança desliga a máquina de lavar. O cilindro diminui sua rotação
suavemente até parar em 12s. Quantas revoluções realizam enquanto está em
movimento.
14. Encontre a velocidade angular da rotação da Terra ao redor do seu eixo. Enquanto
a Terra gira para leste, vemos o céu girando para oeste à mesma taxa.
15. Uma roda parte do repouso e gira com aceleração angular constante até uma
velocidade angular de 12 rad/s em 3s. Encontre:
a) A aceleração angular da roda e
b) O ângulo em radianos que ela gira durante esse tempo.
16. Se você desliga o esmeril da sua oficina ao mesmo tempo em que sua furadeira
elétrica, o esmeril leva muito mais tempo para parar de girar. Por quê.
17. Quando um motorista de automóvel pisa no acelerador, o bico do carro sobe.
Quando o motorista breca, o bico desce. Por que ocorre esse efeito.
18. Um motor girando um esmeril a 100 rev/mim é desligado. Supondo aceleração
angular negativa constante de 2 rad/s2;
a) quanto tempo leva a roda para parar?
b) quantos radianos ela gira enquanto está se tornando mais lenta?
19. Um avião chega ao terminal, e seus motores são desligados. O rotor de um dos
motores tem uma velocidade angular inicial no sentido horário de 2000 rad/s. A
rotação do motor diminui com uma aceleração angular com módulo de 80 rad/s2.
a) determine a velocidade angular após 10 s;
b) Quanto tempo leva o rotor para parar.
20. A broca de um dentista parte do repouso. Após 3,2 s com aceleração angular
constante, a broca gira a uma taxa de 2,51 x 104 rev/min.
a) Encontre a aceleração angular da broca.
b) Determine o ângulo (em radianos) percorrido pela broca durante esse período.
21. A posição angular de uma porta vaivém é descrita por θ = 5 + 10t + 2t2 rad.
Determine a posição angular, velocidade angular e aceleração angular da porta:
a) em t = 0;
b) em t = 3s.
22
22. Uma roda girando necessita de 3 s para girar a 37 rev. Sua velocidade angular ao
final de um intervalo de 3 s é de 98 rad/s. Qual é a aceleração angular constante
da roda.
23. Um disco com 8 cm de raio gira ao redor de seu eixo central a uma taxa constante
de 1200 rev/min. Determine:
a) sua velocidade angular,
b) a velocidade tangencial em um ponto a 3 cm do centro;
c) a aceleração radial de um ponto na borda;
d) a distânciatotal percorrida de um ponto sobre a borda em 2 s.
24. Um carro acelera uniformemente a partir do repouso e alcança uma velocidade de
22 m/s em 9 s. Se o diâmetro de um pneu é de 58 cm, encontre:
a) o número de revoluções que o pneu realiza durante esse movimento, supondo
que não ocorra deslizamento;
b) Qual é a velocidade rotacional final de um pneu em revoluções por segundo.
25. Durante um intervalo de tempo t, o volante de um gerador gira de um ângulo
θ = at + bt3 – ct4, onde a, b e c são constantes. Escreva expressões para:
a) O vetor velocidade angular;
b) A aceleração angular do volante.
26. A posição angular de um ponto sobre a borda de uma roda em rotação é dada por
θ = 4t – 3t2 +t3, onde θ está em radianos e t está em segundos. Quais as
velocidades angulares em:
a) Em t = 2s;
b) Em t = 4s;
c) Qual a aceleração angular média para o intervalo de tempo que começa em
t = 2s e termina em t = 4s;
d) Quais são as acelerações angulares instantâneas;
e) No início;
f) No final desse intervalo de tempo.
27. Um volante com um diâmetro de 1,20 m está girando a uma velocidade angular de
200 rpm:
a) Qual a velocidade angular do volante em rad/s;
b) Qual a velocidade linear de um ponto na borda do volante.
28. Encontre uma expressão que forneça a velocidade escalar linear, de um ponto da
superfície da Terra, referida apenas ao movimento de rotação, em função da
latitude (L). A Terra, suposta esférica, tem raio R e seu período de rotação é T.
29. A velocidade angular de um volante aumenta uniformemente de 15 rad/s para 60
rad/s em 80 s. Se o diâmetro do volante é de 2 pés, determine os módulos dos
componentes normal e tangencial da aceleração de um ponto de sua periferia,
quando t = 80 s. Determine também a distância percorrida pelo ponto durante
esse tempo.
30. Enrola-se um cabo em torno de um disco inicialmente em
repouso, como indica a figura. Aplica-se uma força ao cabo,
que então adquire uma aceleração a = (4t) m/s2, onde t é
23
dado em segundos.Determine como função do tempo: a) a velocidade angular do
disco e b) a posição angular do segmento OP, em radianos.
31. Usa-se o motor para girar uma roda com suas pás no interior
do equipamento mostrada na figura. Se a polia A conectada ao
motor inicia seu movimento a partir do repouso, com uma
aceleração angular αA = 2 rad/s2, determine os módulos da
velocidade e da aceleração do ponto P da roda B, após esta ter
completado uma revolução. Suponha que a correia de
transmissão não escorregue na polia nem na roda.
32. Uma roda tem velocidade angular inicial de 10 rad/s, no sentido
horário, e aceleração angular de 3 rad/s2. Determine o número
de revoluções que devem ocorrer para se atingir uma
velocidade angular de 15 rad/s, no sentido horário. Qual é o
tempo necessário para isso.
33. A velocidade angular do disco é definida por ω = (5t2 + 2) rad/s,
onde t é dado em segundos. Determine os módulos da velocidade
e da aceleração do ponto A do disco, mostrado na figura ao lado,
quando t = 0,5 s.
34. Imediatamente após o ventilador ter sido ligado, o motor
comunica às lâminas uma aceleração α =( 20 e-0,6t )rad/s2, onde t
é dado em segundos. Determine a velocidade escalar da ponta
P de uma das lâminas quando t = 3 s. Quantas revoluções são
realizadas em 3 s. As lâminas estão em repouso em t = 0.
35. Em virtude de um aumento de potência, o motor M
gira o eixo A com aceleração angular α = ( 0,060θ2 )
rad/s2, onde θ é dado em radianos. Se o eixo estava
girando inicialmente a uma velocidade angular ωo =
50 rad/s, determine a velocidade angular do eixo B
após esse eixo ter sofrido um deslocamento angular
Δθ = 10 rev.
36. O gancho movimenta-se a partir do
repouso com aceleração de 20 pés/s2. Se ele está preso a uma
corda enrolada no tambor, determine a aceleração angular do
tambor e sua velocidade angular após se completarem 10 rev.
Quantas revoluções adicionais ocorrerão se o gancho continuar
em movimento por mais 4 s.
37. O disco movimentado pelo motor tem sua posição
angular definida por θ = ( 20 t + 4 t2 ) rad, onde t é dado
em segundos. Determine:
a) o número de revoluções;
b) a velocidade angular do disco quando t = 90 s;
24
c) a aceleração angulares do disco quando t = 90 s.
38. O disco mostrado na figura ao lado está girando inicialmente com
velocidade angular ωo = 8 rad/s. Se ele for submetido a uma
aceleração constante α = 6 rad/s2, determine os módulos da
velocidade e dos componentes n e t da aceleração do ponto A,
no instante t = 0,5 s.
39. Um disco gira inicialmente com velocidade angular ωo = 6 rad/s.
Se ele for submetido a uma aceleração constante α = 6 rad/s2,
determine os módulos da velocidade e dos componentes n e t da
aceleração do ponto B, imediatamente após o disco ter completado 2
revoluções.
40. Um motor comunica a um disco aceleração angular α = ( 0,6 t2 + 0,75
) rad/s2, onde t é dado em segundos. Se a velocidade angular do
disco é ωo = 6 rad/s, como mostra a figura ao lado, determine os
módulos da velocidade e da aceleração do bloco B quando t = 2 s.
41. O disco ao lado está girando inicialmente com velocidade
angular ωo = 8 rad/s. Considerando uma aceleração angular
constante α = 6 rad/s2, determine os módulos da velocidade
e dos componentes n e t da aceleração do ponto A, no
instante t = 3 s.
42. Considere as engrenagens A e B mostradas na
figura. Se A parte do repouso e tem aceleração
angular constante αA = 2 rad/s2, determine o tempo
necessário para B atingir uma velocidade angular
ωB = 50 rad/s.
43. Partindo do repouso quando s = 0, a polia A tem
aceleração angular constante αC = 6 rad/s2.
Determine a velocidade do bloco B quando ele atinge
a posição s = 6 m. A polia tem um cubo interno D que
está fixo em C e gira com ela.
44. Um motor gira uma
engrenagem A com aceleração αA = ( 0,25 θ3 +
0,5) rad/s2, onde θ é dado em radianos. Se A
tem velocidade inicial (ωA)o = 20 rad/s,
25
determine a velocidade angular da engrenagem B após A ter sofrido um
deslocamento angular de 10 ver.
26
5. Cinemática da rotação
Rotação Pura:
Dizemos que uma rotação é pura quando todas as partículas que
constituem o corpo vão transcrever trajetórias circulares cujo centro se encontra sobre
uma mesma reta e, essa reta é o seu centro ou eixo de rotação.
 +
r
s
 onde: s  arco [m]
 r
  arco r  raio [m]
 0 x   posição angular [rad]
Obs.: O ângulo  é uma grandeza adimensional.
Velocidade angular média ( ):
 p’ no instante t2 t


 = 2 - 1
 
 2r

t = t2 – t1
 p’ no instante t1
 2 1r

 1
 0 x unidade de medida: 



s
rad
Obs.:  não é um vetor.
Velocidade angular instantânea ( )
dt
d
tlim0t







Obs.: Note que  é uma grandeza vetorial
 Direção: perpendicular ao plano que está sendo descrito a trajetória;
 Sentido: regra da mão direita e, é dado pelo polegar.
  
Aceleração angular média ( )
18
t

  unidade: 


 2s
rad
Aceleração angular instantânea ( )
dt
d
tlim0t






Equações utilizadas
dt
d


 ; dt
d



 ; 2
2
dt
d 


Equações para aceleração angular constante:
t0 
2
00 t2
1t 
 2202
  t
2
1
0 
2t
2
1t 
Relação entre velocidade e aceleração lineares com velocidade e aceleração
angulares:
 P +
 r
 s
 
 0 x
r
s
   rs  
 
dt
rd
dt
ds 
  dt
drdt
dr
dt
ds 

Como: vdt
ds
 e dt
d , tem-se:
rv 
v = velocidade linear [ s
m ]
19
 = velocidade angular [
s
rad ]
r = raio [m]
Aceleração linear (a):
rv    
dt
rd
dt
dv 
  dt
drr
dt
d
dt
dv



Como: adt
dv
 e dt
d , tem-se:
ra 
a = aceleração linear 


2s
m
 = aceleração angular 


2s
rad
r = raio [m]
Aceleração tangencial e aceleração centrípeta ou radial ( Ta

 e a ):
 a Ta

NT aaa

  2N
2
T aaa 
 P
 r
 Na


 0 x
Equações complementares
r
r
va 2
2
N  e vadt
dva TT 
numero de voltas (n) 



2
n
20
5.1. Exercícios sobre Cinemática da Rotação
1. Uma roda gira com uma aceleração angular constante de 3,5 rad/s2. Se a
velocidade angular da roda é de 2 rad/s em t = 0, (a) Qual é o ângulo percorrido
pela roda entre t = 0 e t = 2s; (b) Qual é a velocidade angular da roda em t = 2s.
2. Um volante gira a 240 rot/min. Determinar:
a) A freqüência em hertz;
b) O período;
c) A velocidade angular;
d) A aceleração centrípeta de um ponto situado a 10 cm do eixo;
e) Se a partir do instante em que foram aplicados os freios o volante pára em 5s,
determine a aceleração angular durante a freada e o número de voltas
efetuadas durante os 5 segundos.
3. Um disco tem aceleração angular constante. Com seis rotações completas sua
velocidade angular varia de 2 rad/s para 6 rad/s. Quanto tempo demora para
completar essas rotações.
4. Um disco de raio 0,8 m gira em torno de seu eixo com aceleração angular de 3
rad/s2 em certo instante sua velocidade angular é de 2 rad/s, pede-se:
a) O módulo da aceleração linear, resultante de um ponto a 0,5 m do eixo;
b) O módulo da velocidade angular 2,5 s após esse instante.
5. Durante o intervalo de tempo t um disco gira um ângulo θ dado por: θ = 10π - 2πt 2
+ 5πt3 , onde θ em rad e t em s. Determinar:
a) O valor da aceleração angular para t = 1s;
b) A velocidade angular média entre 2 e 5s.
6. Um volante parte do repouso e com aceleração angular constante atinge 1200
rot/min em 6 s. Determinar:
a) Qual o valor da aceleração angular;
b) Quantas voltas ele efetuou durante os 6 s;
c) Quanto tempo ele levou para dar as primeiras 30 voltas.
7. Um toca-discos encontra-se girando na freqüência de 331/3 rot/min quando é
desligado, parando após 2,5 s.
a) Qual o valor da aceleração angular;
b) Quantas voltas ele executa até parar.
8. Se você está tentando soltar um parafuso preso a um bloco de madeira com uma
chave de fenda e não consegue, você deve procurar uma chave de fenda cujo
cabo é (a) mais longo; b) mais grosso; Por quê?
9. Tanto o torque quanto o trabalho são produtos de força e distância. De que forma
eles são diferentes?
10. Duas esferas, uma oca e uma cheia estão girando com a mesma velocidade
angular ao redor de seus centros. As duas esferas têm a mesma massa e o
mesmo raio. Qual delas tem energia cinética rotacional maior?
21
11. Se você desliga o esmeril da sua oficina ao mesmo tempo em que sua furadeira
elétrica, o esmeril leva muito mais tempo para parar de girar? Por quê?
12. A posição angular de uma porta vaivém é descrita por: θ = 5 + 10t + 2t 2 .
Determine a posição angular, velocidade angular e a aceleração angular da porta.
a) em t = 0;
b) para t = 3s.
13. O cilindro de uma máquina de lavar entra em rotação, partindo do repouso e
ganhando velocidade angular uniformemente durante 8s, quando então está
girando a 5 rev/s. Nesse ponto a pessoa lavando as roupas abre a tampa, e um
botão de segurança desliga a máquina de lavar. O cilindro diminui sua rotação
suavemente até parar em 12s. Quantas revoluções realizam enquanto está em
movimento.
14. Encontre a velocidade angular da rotação da Terra ao redor do seu eixo. Enquanto
a Terra gira para leste, vemos o céu girando para oeste à mesma taxa.
15. Uma roda parte do repouso e gira com aceleração angular constante até uma
velocidade angular de 12 rad/s em 3s. Encontre:
a) A aceleração angular da roda e
b) O ângulo em radianos que ela gira durante esse tempo.
16. Se você desliga o esmeril da sua oficina ao mesmo tempo em que sua furadeira
elétrica, o esmeril leva muito mais tempo para parar de girar. Por quê.
17. Quando um motorista de automóvel pisa no acelerador, o bico do carro sobe.
Quando o motorista breca, o bico desce. Por que ocorre esse efeito.
18. Um motor girando um esmeril a 100 rev/mim é desligado. Supondo aceleração
angular negativa constante de 2 rad/s2;
a) quanto tempo leva a roda para parar?
b) quantos radianos ela gira enquanto está se tornando mais lenta?
19. Um avião chega ao terminal, e seus motores são desligados. O rotor de um dos
motores tem uma velocidade angular inicial no sentido horário de 2000 rad/s. A
rotação do motor diminui com uma aceleração angular com módulo de 80 rad/s2.
a) determine a velocidade angular após 10 s;
b) Quanto tempo leva o rotor para parar.
20. A broca de um dentista parte do repouso. Após 3,2 s com aceleração angular
constante, a broca gira a uma taxa de 2,51 x 104 rev/min.
a) Encontre a aceleração angular da broca.
b) Determine o ângulo (em radianos) percorrido pela broca durante esse período.
21. A posição angular de uma porta vaivém é descrita por θ = 5 + 10t + 2t2 rad.
Determine a posição angular, velocidade angular e aceleração angular da porta:
a) em t = 0;
b) em t = 3s.
22
22. Uma roda girando necessita de 3 s para girar a 37 rev. Sua velocidade angular ao
final de um intervalo de 3 s é de 98 rad/s. Qual é a aceleração angular constante
da roda.
23. Um disco com 8 cm de raio gira ao redor de seu eixo central a uma taxa constante
de 1200 rev/min. Determine:
a) sua velocidade angular,
b) a velocidade tangencial em um ponto a 3 cm do centro;
c) a aceleração radial de um ponto na borda;
d) a distância total percorrida de um ponto sobre a borda em 2 s.
24. Um carro acelera uniformemente a partir do repouso e alcança uma velocidade de
22 m/s em 9 s. Se o diâmetro de um pneu é de 58 cm, encontre:
a) o número de revoluções que o pneu realiza durante esse movimento, supondo
que não ocorra deslizamento;
b) Qual é a velocidade rotacional final de um pneu em revoluções por segundo.
25. Durante um intervalo de tempo t, o volante de um gerador gira de um ângulo
θ = at + bt3 – ct4, onde a, b e c são constantes. Escreva expressões para:
a) O vetor velocidade angular;
b) A aceleração angular do volante.
26. A posição angular de um ponto sobre a borda de uma roda em rotação é dada por
θ = 4t – 3t2 +t3, onde θ está em radianos e t está em segundos. Quais as
velocidades angulares em:
a) Em t = 2s;
b) Em t = 4s;
c) Qual a aceleração angular média para o intervalo de tempo que começa em
t = 2s e termina em t = 4s;
d) Quais são as acelerações angulares instantâneas;
e) No início;
f) No final desse intervalo de tempo.
27. Um volante com um diâmetro de 1,20 m está girando a uma velocidade angular de
200 rpm:
a) Qual a velocidade angular do volante em rad/s;
b) Qual a velocidade linear de um ponto na borda do volante.
28. Encontre uma expressão que forneça a velocidade escalar linear, de um ponto da
superfície da Terra, referida apenas ao movimento de rotação, em função da
latitude (L). A Terra, suposta esférica, tem raio R e seu período de rotação é T.
29. A velocidade angular de um volante aumenta uniformemente de 15 rad/s para 60
rad/s em 80 s. Se o diâmetro do volante é de 2 pés, determine os módulos dos
componentes normal e tangencial da aceleração de um ponto de sua periferia,
quando t =80 s. Determine também a distância percorrida pelo ponto durante
esse tempo.
30. Enrola-se um cabo em torno de um disco inicialmente em
repouso, como indica a figura. Aplica-se uma força ao cabo,
que então adquire uma aceleração a = (4t) m/s2, onde t é
23
dado em segundos.Determine como função do tempo: a) a velocidade angular do
disco e b) a posição angular do segmento OP, em radianos.
31. Usa-se o motor para girar uma roda com suas pás no interior
do equipamento mostrada na figura. Se a polia A conectada ao
motor inicia seu movimento a partir do repouso, com uma
aceleração angular αA = 2 rad/s2, determine os módulos da
velocidade e da aceleração do ponto P da roda B, após esta ter
completado uma revolução. Suponha que a correia de
transmissão não escorregue na polia nem na roda.
32. Uma roda tem velocidade angular inicial de 10 rad/s, no sentido
horário, e aceleração angular de 3 rad/s2. Determine o número
de revoluções que devem ocorrer para se atingir uma
velocidade angular de 15 rad/s, no sentido horário. Qual é o
tempo necessário para isso.
33. A velocidade angular do disco é definida por ω = (5t2 + 2) rad/s,
onde t é dado em segundos. Determine os módulos da velocidade
e da aceleração do ponto A do disco, mostrado na figura ao lado,
quando t = 0,5 s.
34. Imediatamente após o ventilador ter sido ligado, o motor
comunica às lâminas uma aceleração α =( 20 e-0,6t )rad/s2, onde t
é dado em segundos. Determine a velocidade escalar da ponta
P de uma das lâminas quando t = 3 s. Quantas revoluções são
realizadas em 3 s. As lâminas estão em repouso em t = 0.
35. Em virtude de um aumento de potência, o motor M
gira o eixo A com aceleração angular α = ( 0,060θ2 )
rad/s2, onde θ é dado em radianos. Se o eixo estava
girando inicialmente a uma velocidade angular ωo =
50 rad/s, determine a velocidade angular do eixo B
após esse eixo ter sofrido um deslocamento angular
Δθ = 10 rev.
36. O gancho movimenta-se a partir do
repouso com aceleração de 20 pés/s2. Se ele está preso a uma
corda enrolada no tambor, determine a aceleração angular do
tambor e sua velocidade angular após se completarem 10 rev.
Quantas revoluções adicionais ocorrerão se o gancho continuar
em movimento por mais 4 s.
37. O disco movimentado pelo motor tem sua posição
angular definida por θ = ( 20 t + 4 t2 ) rad, onde t é dado
em segundos. Determine:
a) o número de revoluções;
b) a velocidade angular do disco quando t = 90 s;
24
c) a aceleração angulares do disco quando t = 90 s.
38. O disco mostrado na figura ao lado está girando inicialmente com
velocidade angular ωo = 8 rad/s. Se ele for submetido a uma
aceleração constante α = 6 rad/s2, determine os módulos da
velocidade e dos componentes n e t da aceleração do ponto A,
no instante t = 0,5 s.
39. Um disco gira inicialmente com velocidade angular ωo = 6 rad/s.
Se ele for submetido a uma aceleração constante α = 6 rad/s2,
determine os módulos da velocidade e dos componentes n e t da
aceleração do ponto B, imediatamente após o disco ter completado 2
revoluções.
40. Um motor comunica a um disco aceleração angular α = ( 0,6 t2 + 0,75
) rad/s2, onde t é dado em segundos. Se a velocidade angular do
disco é ωo = 6 rad/s, como mostra a figura ao lado, determine os
módulos da velocidade e da aceleração do bloco B quando t = 2 s.
41. O disco ao lado está girando inicialmente com velocidade
angular ωo = 8 rad/s. Considerando uma aceleração angular
constante α = 6 rad/s2, determine os módulos da velocidade
e dos componentes n e t da aceleração do ponto A, no
instante t = 3 s.
42. Considere as engrenagens A e B mostradas na
figura. Se A parte do repouso e tem aceleração
angular constante αA = 2 rad/s2, determine o tempo
necessário para B atingir uma velocidade angular
ωB = 50 rad/s.
43. Partindo do repouso quando s = 0, a polia A tem
aceleração angular constante αC = 6 rad/s2.
Determine a velocidade do bloco B quando ele atinge
a posição s = 6 m. A polia tem um cubo interno D que
está fixo em C e gira com ela.
44. Um motor gira uma
engrenagem A com aceleração αA = ( 0,25 θ3 +
0,5) rad/s2, onde θ é dado em radianos. Se A
tem velocidade inicial (ωA)o = 20 rad/s,
25
determine a velocidade angular da engrenagem B após A ter sofrido um
deslocamento angular de 10 ver.
26
6. Dinâmica Rotacional
6.1. Torque  
Torque é uma grandeza vetorial. O torque vai comunicar uma
aceleração angular.
Desenvolvimento
Fr

 , onde Fr

 é um produto vetorial.
 z F

  Módulo do torque:  senFr

r
 A Direção: Perpendicular ao plano que contém
os vetores r
 e F

.
x
Sentido: É dado pela regra da mão direita.
 y
Nota: O Torque é máximo quando  = 90º.
Torque no Espaço:
Seja o vetor de posição dado por krjrirr zyx

 e a força por
kFjFiFF zyx

 . O torque é calculado pelo determinante que segue:
zyx
zyx
FFF
rrr
kji



6.2. Momento angular  L
O momento angular é uma grandeza vetorial.
Desenvolvimento
prL

 , onde p

 é o vetor momento linear.
 z p

  Módulo do momento angular:  senprL
r
 A ou  senvmrL

x
Direção: Perpendicular ao plano que contém
os vetores r
 e p

.
y
Sentido: É dado pela regra da mão direita.
Relação entre momento de uma força e o momento angular
prL

   
dt
prd
dt
Ld



Após as operações matemáticas necessárias, tem-se:
26
dt
Ld



Conservação do momento angular para uma partícula:
dt
Ld


  se  = 0  0
dt
Ld



  L

 = constante
Quando o torque externo resultante sobre a partícula for nula há
conservação do momento angular.
6.3. Momento de Inércia (I)
Desenvolvimento
corpo extenso iii rmrprL 
 , como v =  . r, tem-se



n
1i
2
ii rmL
 ri mi partícula
 0 onde o termo 


n
1i
2
ii Irm
 eixo de giro
O momento de inércia depende de:
 distribuição da massa;
 do eixo de rotação;
 do formato do corpo extenso.
Torque em função do momento de inércia e da aceleração angular:

 IL   
dt
Id
dt
Ld 


, após o devido tratamento matemático, tem-se
 

I
Nota: A segunda lei de Newton para a rotação é:   I
Obs.: O momento de inércia para uma massa contínua é dados por   dmrI 2
27
6.4. Exercícios sobre Momento de Inércia
1. Uma roda, girando em torno de um eixo fixo, tem energia cinética de 29 J quando
sua velocidade angular é 13 rad/s. Qual é o momento de inércia da roda em
relação ao eixo de rotação.
2. Estime o momento de inércia de uma bola de tênis para rotação em torno de um
diâmetro. A bola tem massa de 0,070 kg, raio exterior de 32 mm e espessura de 5
mm.
3. Com auxílio da tabela, determine o momento de inércia de uma esfera sólida, de
densidade uniforme, massa M e raio ro, em relação a um eixo que passa à
distância 1/2 ro do centro. Dê a resposta em termos de M e ro.
4. Uma porta tem 2,1 m de altura, 1,1 m de largura, 42 mm de espessura e
densidade de 0,88 x 103 kg/m3. Qual é o momento de inércia da porta em relação
a um eixo ao longo das dobradiças.
5. a) Determine a densidade de massa da Terra, supondo-a uniforme (m t = 5,97 x
1024kg , Rt = 6,4 Mm);
b) Estime o momento de inércias da Terra em relação a um eixo passando pelo
seu centro, admitindo que a Terra tenha uma densidade de massa uniforme.
6. Uma roda de 340 mm de raio rolaem linha reta sem deslizar. No instante em que
o centro da roda tem uma velocidade linear de 1,4 m/s, determine: a) a velocidade
angular da roda em relação ao seu centro; b) a velocidade angular de uma
partícula no topo da roda. 
7. Uma hélice de avião tem 3,2 m de ponta a ponta e massa de 35 kg. Qual é a
energia cinética rotacional da hélice ao girar a 1000 rev/min.
8. Estime o momento de inércia de um pneu de 5,8 kg, cujo raio externo é de 0,31m.
9. Mostre que a energia cinética de um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo
pode ser escrita como: 

2L
2
1k  .
10. Considere o momento de inércia I de um cubo uniforme de massa m e aresta L. a)
Escreva uma expressão de I para a rotação em torno de um eixo paralelo a uma
aresta do cubo e passando pelo centro; b) Escreva a expressão de I para uma
rotação em torno de um eixo ao longo de uma aresta do cubo.
11. Três pequenos corpos, que podem ser considerados como
partículas, são unidos por barras rígidas leve, conforme figura.
Qual é o momento de inércia deste sistema: a) Em relação a
um eixo que passa por A e perpendicular ao plano da figura e
b) em relação a um eixo que coincide com a barra BC.
28
12. Uma roda de bicicleta, com momento de inércia de 0,25 kg.m2 em torno do seu
eixo e velocidade angular inicial 12 rad/s, reduz sua velocidade até parar, em
razão do atrito nos mancais, em um intervalo de tempo de 320 s. Determine o
módulo do torque devido ao atrito, supondo-o constante.
13. Um helicóptero tem um rotor de três pás. Cada pá tem 5,5 m de comprimento e
massa de 250 kg. Determine o módulo do momento angular do rotor quando sua
velocidade angular é de 300 rev/min.
14. Considere o momento de inércia I de um cubo uniforme de massa m e aresta L:
a) Escreva uma expressão de I para a rotação em torno de um eixo paralelo a
uma aresta do cubo e passando pelo centro;
b) Escreva a expressão de I para uma rotação em torno de um eixo ao longo de
uma aresta do cubo.
15. Quatro esferas pequenas estão presas à
extremidades de uma estrutura de massa
desprezível no plano xy (conforme figura). 
a) Se a rotação do sistema ocorre ao redor do
eixo y com velocidade angular ω, encontre o
momento de inércia Iy ao redor do eixo y e a
energia cinética rotacional desse eixo
b) Suponha que o sistema gire no plano xy ao
redor de um eixo passando por O (eixo z).
Calcule o momento de inércia ao redor do
eixo z e a energia rotacional desse eixo.
16. Um cilindro cheio uniformemente tem um raio R, massa M, e
comprimento L. Calcule seu momento de inércia ao redor de
seu eixo central (eixo z mostrado na figura) 
29
6.5. Energia cinética de rotação, trabalho e potência
Energia Cinética (K)
ivir

  2vm2
1K  (para a translação)
 iv
 22
ii rm2
1K  , para uma partícula só.
 ir

Para um sistema de partículas, tem-se:



n
1i
22
ii rm2
1k  2I2
1K  K = [joules] = [J] 
Trabalho ()
 sF

  F dscosFd    drds
 cosFFs
 ds
ss dFd 
 d
 drFd s
 r

 0   d    drFs 
  d
Nota: O torque é exercido por Fs e não por F.
Potência (P)
P = Fs . v  P = Fs . r .   P =  . 
dt
dP  = [watt] = [W]
Nota:  = K  


 



22
I
2
1
2
2
30
6.6. Teorema dos eixos paralelos (STEINER)
I = ICM + m . d2
ICM = momento de inércia do centro de massa
 R m = massa total
d = distância entre dois eixos paralelos
6.7. Raio de Giração (K)
I = m . k2
k = raio de giração
 k
M
Ik 
6.8. Coordenadas Normal e Tangencial (n – t)
 C t
 n n
 A n
 t
 B
 t
O sentido positivo de n em qualquer posição é sempre tomado para o
centro de curvatura da trajetória.
O sentido positivo de n muda de um lado para outro da curva se a
curvatura mudar de sentido.
31
6.9. Velocidade e Aceleração
6.9.1. Vetores unitários:
Vamos definir te

 como sendo o vetor unitário na direção t e ne como
sendo o vetor unitário na direção n. Assim, podemos escrever:
 t’
 'te

tev


após algumas devidas ope-
 V’ rações matemáticas, chega-
 A’ se a:
 'ne
 n’ sd

 t tevteva
2 





 C
 n te



2
N
va
 ne V
 A svaT  
 trajetória
2
T
2
N aaa 
Onde: an = aceleração normal
aT = aceleração tangencial
Obs.:
a) No ponto de inflexão sobre a curva, a aceleração normal, 
2v , vai para zero,
pois  tende para o infinito. (Se um ponto material se move ao largo de uma
linha reta, então    e aN = 0, sendo assim, vaa T  .
b) Se o ponto material se move ao longo de uma curva, com velocidade escalar
constante, então: 0v0aT   e 
2
N
vaa .
xd
dy
dx
dy1
2
2
2
3
2



 



 ,
onde  é o raio de curvatura, quando a trajetória é expressa da forma y = f (x).
c) O plano que contém os eixos, normal e tangencial, é denominado Plano
Osculador, e no caso de movimento plano, coincide com o plano do movimento.
d) O eixo tangente t tem o sentido do movimento e o eixo normal n é sempre
voltado para o centro de curvatura da trajetória.
32
6.9.2. Aceleração Tangencial:
O componente tangencial da aceleração é o resultado da taxa temporal
de variação do módulo da velocidade. Esse componente terá o sentido do vetor
velocidade se o módulo de v
 estiver aumentando e terá o sentido oposto caso o
módulo de v
 esteja decrescendo.
Nota:
a) v
avaT 



b) v
av
aN 



c) av
v3



33
6.10. Exercícios sobre dinâmica da rotação
1. Quando o esquiador alcança o ponto A de sua trajetória
parabólica, ele tem uma velocidade escalar de 6 m/s que
está aumentando à taxa de 2 m/s2. Determine a sua
velocidade e a aceleração no instante considerado.
Despreze o tamanho do esquiador.
2. Um carro de corrida parte do repouso e percorre uma pista
circular horizontal de raio de 300 pés. Se
sua velocidade escalar aumenta a uma
taxa constante de 7 pés/s2, determine o
tempo necessário para ele alcançar uma
aceleração de 8 pés/s2. Qual é sua
velocidade escalar nesse instante.
3. Um carro faz uma curva circular de 50 m de raio, aumentando sua velocidade a
uma taxa de 8 m/s2. Se num dado instante sua velocidade é de 16 m/s, determine
o módulo da sua aceleração nesse instante.
4. Um carro se move ao longo de uma pista circular de 250 pés de raio de modo
que sua velocidade varia no tempo de acordo com v =3.(t + t2) pés/s no intervalo
de tempo 0≤ t ≤ 4s. Determine o módulo de sua aceleração quando t = 3s. Que
distância ela percorreu até esse instante.
5. Num dado instante, um avião a jato tem uma
velocidade de 400 pés/s e uma aceleração de 70
pés/s2 orientada como mostra a figura. Determine a
taxa de aumento da velocidade do avião e o raio de
curvatura R de sua trajetória.
6. Um bote desloca-se numa curva circular de 100 pés de
raio. Sua velocidade no instante t = 0 é de 15 pés/s e está aumentando a uma
taxadada por ·v = (0,8t) pés/s2, onde t é expresso em segundos. Determine o
módulo de sua aceleração no instante t =5s.
7. Um bote está deslocando numa trajetória circular de 20 m de raio. Determine o
módulo da aceleração do bote quando sua velocidade escalar é v = 5 m/s e está
aumentando a uma taxa de ·v = 2 m/s2.
8. O avião a jato desloca-se na trajetória parabólica
mostrada na figura. Quando ele passa pelo ponto A, sua
velocidade é de 200 m/s e está crescendo a uma taxa de
0,8 m/s2. Determine o módulo da aceleração do jato no
ponto A.
34
9. Partindo do repouso, um bote segue uma trajetória circular R = 50 m a uma
velocidade escalar v = (0,2t2) m/s, onde t é dado em
segundos. Determine os módulos da velocidade e da
aceleração do bote no instante t = 3s.
10. Partindo do repouso, um bote segue uma trajetória
circular, R = 50 m, a uma velocidade de módulo v = (0,8 t)
m/s, onde t é dado em segundos. Determine os módulos
da velocidade e da aceleração do bote no instante em que
ele completa um percurso de 20 m.
11. Um carro se move ao longo de uma pista circular de 250 pés de raio, a uma
velocidade dada por v = 3.(t + t2) pés/s, no intervalo de tempo 0≤ t ≤ 2s. Determine
o módulo da sua aceleração quando t = 2s. Que distância ele percorreu até esse
instante.
12. Num dado instante, a locomotiva em E tem uma velocidade
de 20 m/s e uma aceleração de 14 m/s2 orientada como
indicado na figura. Determine a taxa de aumento da
velocidade do trem nesse instante e o raio de curvatura da
trajetória. 
13. Um trenó desliza ao longo de uma curva que pode ser
aproximada pela parábola y = 0,01x2. Determine o
módulo de sua aceleração quando ele atinge o ponto A,
onde a sua velocidade é de 10 m/s e está aumentando
a uma taxa de 3 m/s2.
14. A velocidade de um automóvel, inicialmente em
repouso em s = 0, varia de acordo com v = (0,05t2)
pés/s2, onde t é dado em segundos. Determine os
módulos da velocidade e da aceleração do carro
quando t = 18 s.
15. A velocidade de um automóvel, inicialmente em
repouso em s = 0, varia de acordo com ·v = (0,05t2)
pés/s2, onde t é dado em segundos. Determine os
módulos da velocidade e da aceleração do carro em s
= 550 pés.
16. Um caminhão desloca-se numa trajetória circular
de 50 m de raio a uma velocidade de 4 m/s. Num
pequeno trecho a partir de s = 0, sua velocidade
aumenta à taxa ·v = (0,05s) m/s2, onde s é medido
em metros. Determine os módulos da velocidade
e da aceleração do caminhão quando s = 10 m.
17. Um avião a jato desloca-se com velocidade de
módulo constante igual a 110 m/s, ao longo da
trajetória mostrada na figura. Determine o módulo da
sua aceleração quando ele atinge o ponto A (y = 0).
35
18. Um trem está viajando a uma velocidade escalar
constante de 14 m/s. Determine o módulo da
aceleração da frente do trem no instante em que ele
atinge o ponto A (y = 0). (5,02 ms/2)
19. Uma motocicleta inicia a partir do repouso em A
um movimento circular ao longo da pista vertical.
Sua velocidade aumenta à taxa ·v = (0,3t) pés/s2,
onde t é dado em segundos. Determine os
módulos da velocidade e da aceleração da moto
quando ela passa por B.
20. O movimento de um ponto material é definido
pelas equações: x = (2t + t2) m e y = (t2) m, onde t
é dado em segundos. Determine os componentes
normal e tangencial da velocidade e da aceleração do
ponto quando t = 2 s.
21. Os pontos materiais A e B partem da origem O e
deslocam-se em sentidos opostos ao longo da trajetória
circular, com velocidades de módulos vA = 0,7 m/s e vB =
1,5 m/s, respectivamente. Determine o instante em que
eles colidem e o módulo da aceleração de B,
imediatamente antes da colisão.
22. Um menino que brinca num carrossel localiza-se a uma distância r = 8 pés do eixo
de rotação. O carrossel está inicialmente em repouso e então é posto para girar
de tal modo que a velocidade do menino aumenta a uma taxa de 2 pés/s 2.
Determine o tempo necessário para que a aceleração da criança se torne igual a 4
pés/s2.
23. A caixa de dimensões desprezíveis desliza ao longo
da trajetória curva definida pela parábola y = 0,4x2.
quando ela está em (xA = 2m , yA = 1,6 m), a
velocidade é vA = 8 m/s e aumenta de acorda com
dvA/dt = 4 m/s2. Determine o módulo da aceleração da
caixa nessa posição.
24. Um ponto material P desloca-se numa hélice elíptica tal
que seu vetor posição é definido por r = [2cos(0,1t)i +
1,5 sen(0.1t)j + (2t)k] m, onde t é dado em segundos e
os argumentos das funções trigonométricas, em
radianos. Determine para t = 8 s os ângulos diretores
coordenados α, β e γ, que o eixo binormal ao plano
osculador forma com os eixos cartesianos. Resolva o
problema para a velocidade VP e a aceleração aP do
ponto material, em função dos seus componentes
cartesianos. O eixo binormal é paralelo a VP x aP.
36
25. A trajetória de um ponto material é definida por: X = 2t2 e Y = 0,04t3. Determine:
a) O módulo da velocidade para t = 10 s;
b) O módulo da sua aceleração normal e tangencial para t = 10 s.
26. O vetor posição de uma partícula é dado por: r(t) = 0,6t2i + 3tj + 0,1t3k, tudo no SI.
Determine as componentes normal e tangencial da aceleração e o raio principal
de curvatura da trajetória da partícula quando t = 3s.
27. A velocidade de uma partícula é definida por: vx = 30 – 0,3 t3/2 e vy = 30 + 3 t – 0,6
t2, tudo no SI. Determine o raio de curvatura no topo da trajetória.
28. Usando os dados do problema anterior, determine o raio de curvatura da trajetória
de uma partícula quando t = 12 s.
37
7. Movimento sob força resistiva
É o movimento estudado com forças que opõem resistência ao
movimento.
 “Atrito seco” ( =  . N   estático [e]
 cinético [c]
A experiência mostra que e > c
 “Atrito viscoso” (R = – b . vn)
n é sempre positivo
n = 1  R = – b . v  caso linear;
n = 2  R = – c . v2  caso quadrático;
n = 3  R = – c . v3  caso cúbico;
Forças resistivas n = fracionário  q
p
vcR  .
b = coeficiente de forma e meio, depende de:
- forma do corpo
- do meio onde o corpo se move
- das dimensões do corpo
c = coeficiente de forma e meio, depende de:
- forma do corpo
- do meio onde o corpo se move
- das dimensões do corpo
- velocidade de queda do corpo
7.1. Exemplos de Atrito Viscoso (Discussões Qualitativas):
7.1.1. Gota da chuva (caso linear):
 hmínimo da nuvem de chuva = 2 km
 hmáximo da nuvem de chuva = 10 km
 hprovável para nuvens de chuva normalmente = 1,5 km
 2 m/s < v < 10 m/s, onde v é a velocidade terminal
R = caso linear = – b . v
R

Obs.: Se “v” cresce, “R” também cresce
logo depois que a gota sai da nuvem ela entra em
v
 velocidade terminal
38
nuvem
M.R.U.  velocidade const.
dt
dvmvbgm   0vbgm T 
de chegada
b
gmvT

  A velocidade terminal (vT) depende da massa.
7.1.2. Pára-quedista (caso quadrático):
R = caso quadrático = – c . v2
dt
dvmvcgm 2   
c
gmv T


O pára-quedas é projetado para ter uma velocidade termnal de 5 m/s.
7.1.3. Discussão Quantitativa (caso linear)
R = – b . v
Equações
a) Velocidade de subida (vs)
k
ge
K
gvv tK0S 


 
b) Posição (y)
  t
K
ge1
K
K
gv
y tK
0







c) Tempo de subida (ts)
K
g
K
gvn
K
1t
0
S






d) Altura máxima (hmáx)










K
g
K
gv
n
K
g
K
vh
0
2
0
máx 
e) Velocidade de descida (vD)
K
ge
K
gvv tK0D 


   (t    vD = vterminal)
39
7.1.4. Gráfico da velocidade de descida em função dotempo (v = f(t))
 v
onde: T é um parâmetro chamado 
constante de tempo
 vT
 0,632 vT






T
t
T e1vv
 0 T t
Obs.: A constante de tempo T representa o tempo necessário para o corpo alcançar 
63,2 % de sua velocidade terminal.
40
7.2. Exercícios sobre coeficiente de arrasto
1. Um automóvel possui coeficiente de arraste de 0,38 e área frontal de 2,5m2.
Calcule a potência dissipada pelo atrito do ar para o carro movendo-se a 40 m/s.
2. Um pára-quedista com massa de 60kg solta com um pára-quedas cuja área
frontal é de 15m2. sabendo que a densidade do ar é ρ = 1,2 kg/m3 e que o
coeficiente de arrasto do pára-quedas é Cd = 1,4. calcule a velocidade terminal do
pára-quedas.
3. Um carro com área frontal de 2,1 m2 tem coeficiente de arraste Cd = 0,35. Qual a
força de atrito do ar quando o carro viaja a 140 km/h.
4. Um edifício de altura de 100m e frente com largura de 15 m, tem coeficiente de
arraste 0,20. Qual é à força de um vento de 90 km/h faz sobre o edifício.
5. Um carro baú tem coeficiente de arraste igual a 0,96 e área frontal de 6 m 2. Qual a
potência dissipada pelo atrito com o ar (ρ = 1,23 kg/m3) quando sua velocidade é
de 120 km/h.
6. Um avião cujo coeficiente de arraste é Cd = 0,20, possui área frontal de 18 m2.
Qual é a potência gasta para vencer o atrito do ar, quando o avião voa a 950 km/h
à altitude de 900m onde a densidade do ar é ρ = 0,39 kg/m3.
7. Um pingo de chuva com raio R = 1,5mm cai de uma nuvem a um altura de 1200m
acima do solo. O Cd para a gota é de 0,60. Suponha que a gota seja esférica
durante toda a queda. A massa especifica da água é ρw = 1000 kg/m3, e a massa
especifica do ar é ρ = 1,2 kg/m3. Qual a velocidade terminal dessa gota de chuva.
8. Calcule a força de arrasto sobre um míssil de 53 cm de diâmetro se deslocando a
uma velocidade de 250 km/h a baixa altitude, onde a massa esférica do ar é de
1,2 kg/m3. Suponha que o Cd = 0,75 para esse míssil.
9. Um pára-quedas será usado para descer uma caixa que não pode colidir com o
solo com velocidade superior a 3m/s. Sendo 100 kg a massa da caixa e 1,4 o
coeficiente de arraste do pára-quedas, qual deve ser o valor mínimo da área
frontal deste? A densidade do ar é ρ =1,2 kg/m3.
10. Calcule a velocidade terminal de queda de uma bola de futebol, com massa m =
0,453 kg e diâmetro D = 0,226 m (área A = 0,040 m2 )
11. Uma pára-quedista com massa de 60 kg salta com um pára-quedas cuja área
frontal é de 15 m2. Sabendo que a densidade do ar é 1,2 kg/m3 e que o coeficiente
de arraste do pára-quedas é Cd = 1,4, calcule a velocidade terminal da pára-
quedista.
12. Um ciclista corre em uma bicicleta com o dorso abaixado, para minimizar atrito.
Sua área frontal é de 0,36 m2, seu coeficiente de arraste é de 0,88 e sua
velocidade é de 40 km/h. Qual é a potência dissipada pelo atrito do ar. Com o
dorso posicionado na posição vertical, a área frontal do ciclista e sua bicicleta é
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0,51 m2 e seu coeficiente de arraste é 1,1. Realizando o mesmo esforço anterior,
qual é a velocidade do ciclista.
13. Um carro com área frontal de 1,85 m2 tem coeficiente de arraste Cd = 0,55. Qual é
à força de atrito do ar quando o carro viaja a 80 km/h.
14. Um edifício tem altura de 30 m e frente com largura de 10 m. Seu coeficiente de
arraste é 2,0. (a) Qual é a força que um vento de 110 km/h faz sobre o edifício. (b)
Supondo-se que a força do vento seja aplicada uniformemente ao longo da altura
do prédio, qual é o torque da força em relação ao solo.
15. Um caminhão baú tem coeficiente de arraste igual a 1,26 e área frontal de 5,34
m2. Qual é a potência dissipada pelo atrito com o ar (densidade 1,20 kg/m3)
quando sua velocidade é 95 km/h.
16. Um avião, cujo coeficiente de arraste é Cd = 0,35, possui área frontal de 38 m2.
Qual é a potência gasta para vencer o atrito do ar, quando o avião voa a 875 km/h
à altitude de 12000 m, onde a densidade do ar é 0,23 kg/m3.
17. Uma bolinha de massa de 0,015kg e coeficiente de forma (b = 8 N.s/m). Encontre
a velocidade terminal dessa bolinha. Considere g = 9,805 m/s2.
18. Verifica-se que uma bolinha de massa m = 0,012 kg tem uma velocidade terminal
de 0,072 m/s ao cair em óleo. Suponha a força resistiva de R = - bv e despreze a
força de empuxo. Determine: 
a) A constante de forma;
b) O módulo da força resultante sobre a bolinha quando sua velocidade for de
0,050 m/s.
19. A força resistiva sobre uma pedra de massa 0,081 kg caindo no óleo é dada por R
= – (13 N.s/m)v. Qual a velocidade terminal da pedra. Despreze as forças de
empuxo.
20. O módulo da força exercida pelo ar sobre uma bola de beisebol ao cair é quase
proporcional ao quadrado da velocidade. Sendo R = – cv2, onde a constante de
proporcionalidade c = 0,0013 N.s2/m2. Determine a velocidade terminal de uma
bola de beisebol no ar. Sendo a massa de uma bola oficial de beisebol igual a
0,142 kg.
21. Suponha que a força resistiva sobre um patinador de corrida seja dada por:
R = – kmv2, em que k é uma constante e m é a massa do patinador. Ele cruza a
linha de chegada de uma corrida em linha reta com velocidade escalar v0 e então
se torna mais lento deslizando em seus patins. Mostre que a velocidade do
patinador em qualquer tempo t após cruzar a linha de chegada é:
22. Um corpo de massa 0,025 kg é solto do repouso dentro de um grande tanque que
contém óleo. Sendo b = 6 N.s/m e g = 9,8 m/s2. Calcular a velocidade da bolinha
após um tempo de queda muito grande.
23. Um corpo de massa 10x10-3 kg é solto do repouso em um grande recipiente cheio
de óleo. Sendo b = 8 N.s/m e g = 9,8 m/s2, calcular a sua velocidade após ter
caído 5 ms.
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24. Deduza as equações para:
a) A velocidade terminal para corpos de pequenas massas;
b) A velocidade num instante qualquer, a partir do repouso caindo em um meio
viscoso.
25. Uma pequena esfera de massa de 2 g é solta do repouso em um grande
recipiente cheio com óleo. A esfera aproxima-se de uma velocidade terminal de 5
cm/s. Determine: 
a) A constante de tempo τ;
b) O tempo necessário para a esfera alcançar 90% de sua velocidade terminal.
26. Solta-se uma pequena quantidade de espuma para embalagem a uma altura de 2
m acima do solo. Até que ela atinja a velocidade terminal, o módulo da aceleração
é dado por a = g – bv. Após cair por 0,5 m, a espuma alcança efetivamente a
velocidade terminal, levando então outros 5s para alcançar o chão.
a) Qual é o valor da constante b;
b) Qual é a aceleração em t = 0;
c) Qual é a aceleração quando a velocidade escalar é de 0,150 m/s.
27. Solta-se uma pequena esfera de massa de 3 g do repouso em t =0 em um vidro
de xampu. Observa-se que a velocidade terminal é de vT = 2 cm/s. Encontre: 
a) o valor da constante b na Equação: dv/dt = g – b v /m.;
b) o tempo τ necessário para se alcançar 0,632 VT;
c) O valor da força resistiva quando a esfera alcança a velocidade terminal.
28. a) Estime a velocidade terminal de uma esfera de madeira (densidade de 0,830
g/cm3) caindo no ar se seu raio for de 8 cm;
b) De que altura um corpo em queda livre alcançaria essa velocidade na ausência
da resistência do ar, sendo CD = 0,50.
29. Um barco desliga seu motor quando sua velocidade escalar é de 10 m/s e navega
até parar. A equação descrevendo o movimento do barco durante esse período é v
= vi.e-ct , em que v é a velocidade escalar no tempo t, v i é a velocidade escalar
inicial, e c é uma constante. Em t = 20 s, a velocidade escalar é de 5 m/s.
a) Encontre a constante c;
b) Qual é a velocidade escalar em t = 40 s.
c) Diferencie a expressão para v(t) e mostre, assim, que a aceleração do barco é
proporcional à velocidade escalar em qualquer tempo.
30. Deduza a equação da velocidade para