Caderno do Professor Matemática 2009 2ªSérie EM Volume 2

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caderno do
volume 2 – 2009
PROFESSOR
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Em
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ensino médio
2ª- SÉRiE
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São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
 Caderno do professor: matemática, ensino médio - 2ª- série, volume 2 / 
Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos 
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José 
Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
 ISBN 978-85-7849-297-7
 1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. 
II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. 
Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.
 CDU: 373.5:51
S239c
Governador
José Serra
Vice-Governador
Alberto Goldman
Secretário da Educação
Paulo Renato Souza
Secretário-Adjunto
Guilherme Bueno de Camargo
Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas
Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região
Metropolitana da Grande São Paulo
José Benedito de Oliveira
Coordenador de Ensino do Interior
Rubens Antonio Mandetta
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação Geral
Maria Inês Fini
Concepção
Guiomar Namo de Mello
Lino de Macedo
Luis Carlos de Menezes
Maria Inês Fini
Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:
Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:
Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias 
aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos:
Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TéCNiCA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas 
Pedagógicas
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais 
secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* 
deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não 
estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
Coordenação do Desenvolvimento dos
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos 
dos Professores
Ghisleine Trigo Silveira
AUTORES
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton 
Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu 
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, 
Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
História: Paulo Miceli, Diego López Silva, 
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e 
Raquel dos Santos Funari
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza 
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, 
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina 
Schrijnemaekers 
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo 
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene 
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta 
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, 
Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso 
Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina 
Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, 
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida 
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria 
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo 
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, 
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, 
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, 
Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã 
Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de 
Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de 
Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira 
e Yassuko Hosoume
Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de 
Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença 
de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, 
Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda 
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, 
Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e 
Sayonara Pereira
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, 
Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana 
Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, 
Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira 
da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, 
Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet 
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, 
José Luís Marques López Landeira e João Henrique 
Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos 
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz 
Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério 
Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e 
Walter Spinelli
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de 
Felice Murrie 
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos de 
Carvalho, Beatriz Blay, Eliane Yambanis, Heloisa 
Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, 
Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo 
Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, 
Pepita Prata, Ruy César Pietropaolo, Solange 
Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, 
Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design 
(projeto gráfico)
APOiO
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da 
Educação
CTP, Impressão e Acabamento
Esdeva Indústria Gráfica
Prezado(a) professor(a),
Vinte e cinco anos depois de haver aceito o convite do nosso saudoso e querido 
Governador Franco Montoro para gerir a Educação no Estado de São Paulo, nova-
mente assumo a nossa Secretaria da Educação, convocado agora pelo Governador 
José Serra. Apesar da notória mudança na cor dos cabelos, que os vinte e cinco anos 
não negam, o que permanece imutável é o meu entusiasmo para abraçar novamente a 
causa da Educação no Estado de São Paulo. Entusiasmo alicerçado na visão de que 
a Educação é o único caminho para construirmos um país melhor e mais justo, com 
oportunidades para todos, e na convicção de que é possível realizar grandes mudanças 
nesta área a partir da ação do poder público.
Nos anos 1980, o nosso maior desafio era criar oportunidades de educação para todas 
as crianças. No período, tivemos de construir uma escola nova por dia, uma sala de aula 
a cada três horas para dar conta da demanda. Aliás, até recentemente, todas as políticas 
recomendadas para melhorar a qualidade do ensino concentravam-se nas condições de 
ensino, com a expectativa de que viessem a produzir os efeitos desejados na aprendiza-
gem dos alunos. No Brasil e em São Paulo, em particular, apesar de não termos atingido 
as condições ideais em relação aos meios para desenvolvermos um bom ensino, o fato é 
que estamos melhor do que há dez ou doze anos em todos esses quesitos. Entretanto, os 
indicadores de desempenho dos alunos não têm evoluído na mesma proporção.
O grande desafio que hoje enfrentamos é justamente esse: melhorar a qualidade 
de nossa educação pública medida pelos indicadores de proficiência dos alunos. Não 
estamos sós neste particular. A maioria dos países, inclusive os mais desenvolvidos, es-
tão lidando com o mesmo tipo de situação. O PresidenteBarack Obama, dos Estados 
Unidos, dedicou um dos seus primeiros discursos após a posse para destacar exata-
mente esse mesmo desafio em relação à educação pública em seu país. 
Melhorar esses indicadores, porém, não é tarefa de presidentes, governadores ou 
secretários. É dos professores em sala de aula no trabalho diário com os seus alunos. 
Este material que hoje lhe oferecemos busca ajudá-lo nesta sua missão. Foi elaborado 
com a ajuda de especialistas e está organizado em bimestres. O Caderno do Professor 
oferece orientação completa para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem 
propostas para cada disciplina. 
Espero que este material lhe seja útil e que você leve em consideração as orientações 
didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer suas 
dúvidas e acatar suas sugestões para melhorar a eficácia deste trabalho. 
Alcançarmos melhores indicadores de qualidade em nosso ensino é uma questão 
de honra para todos nós. Juntos, haveremos de conduzir nossas crianças e jovens a um 
mundo de melhores oportunidades por meio da educação.
Paulo Renato Souza
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
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SuMário
São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado 5
Ficha do Caderno 7
orientação geral sobre os Cadernos 8
Situações de Aprendizagem 12
Situação de Aprendizagem 1 – Matrizes: diferentes significados 12
Situação de Aprendizagem 2 – Matriz de codificação: desenhando 
com matrizes 25
Situação de Aprendizagem 3 – Sistemas lineares em situações-problema 28
Situação de Aprendizagem 4 – Resolução de sistemas lineares: 
escalonamento x Cramer 35
Orientações para Recuperação 52
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para 
a compreensão do tema 52
Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio 54
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São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA 
CurriCulAr PArA o EStAdo
Prezado(a) professor(a),
É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do 
Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fun-
damental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão 
também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas 
durante a primeira fase de implantação da proposta.
Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida 
das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto 
na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e suges-
tões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam 
ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los. 
A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição. 
Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de sig-
nificados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e 
consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o 
que estava sendo proposto.
Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para 
o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse 
processo.
Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação 
da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único, 
gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes.
Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no 
contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia 
escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da 
aprendizagem e de seus resultados. 
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Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva, 
na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, reve-
lando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas 
e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Edu-
cação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e 
recursos didáticos.
Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de 
São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das 
ações propostas para a construção de uma escola melhor.
O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que 
acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a 
em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será 
apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi 
alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos 
Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados.
Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para 
que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo 
este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que 
pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade 
a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever 
esse sucesso, que também é de vocês. 
Bom ano letivo de trabalho a todos!
Maria inês Fini
Coordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
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FiCHA do CAdErno
Matrizes e sistemas lineares
 nome da disciplina: Matemática
 área: Matemática
 Etapa da educação básica: Ensino Médio
 Série: 2ª-
 Período letivo: 2º- bimestre de 2009
 temas e conteúdos: Matrizes: tabelas com significados
 Matrizes: recurso para codificar
 Sistemas lineares em situações-problema
 Resolução e discussão de sistemas lineares
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oriEntAção GErAl SobrE oS CAdErnoS
Os temas escolhidos para compor o con-
teúdo disciplinar de cada bimestre não se afas-
tam, de maneira geral, do que é usualmente 
ensinado nas escolas, ou do que é apresentado 
pelos livros didáticos. As inovações pretendidas 
referem-se à forma de enfoque destes temas, su-
gerida ao longo dos Cadernos de cada um dos 
bimestres. Em tal abordagem, busca-se eviden-
ciar os princípios norteadores do presente cur-
rículo, destacando-se a contextualização dos 
conteúdos, as competências pessoais envolvi-
das, especialmente as relacionadas à leitura e 
à escrita matemática, bem como os elementos 
culturais internos e externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão 
organizados em oito unidades de extensões 
aproximadamente iguais, que podem cor-
responder a oito semanas de trabalho letivo. 
De acordo com o número de aulas disponíveis 
por semana, o professor vai explorar cada as-
sunto com mais ou menos profundidade, ou 
seja, escolherá uma escala adequada para tra-
tar do tema. A critério do professor, em cada 
situação específica, o tema correspondente a 
uma das unidades pode ser estendido por mais 
de uma semana, enquanto o de outra unidade 
pode ser tratado de modo mais simplificado. 
É desejável que o professor contemple todas 
as oito unidades, uma vez que, juntas, com-
põem o panorama do conteúdo do bimestre, 
e, muitas vezes, uma das unidades contribui 
para a compreensão das outras. Insistimos, 
entretanto, no fato de que somente o profes-
sor, em sua circunstância particular, e levandoem consideração seu interesse e o dos alunos 
pelos temas apresentados, pode determinar 
com adequação o prazo ideal a ser dedicado 
a cada uma das unidades. 
Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, 
além de uma visão panorâmica do conteúdo 
do bimestre, quatro Situações de Aprendiza-
gem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a for-
ma de abordagem sugerida, instrumen tando 
o professor para sua ação em sala de aula. 
As atividades são independentes e podem 
ser exploradas pelos professores com mais 
ou menos intensidade, conforme seu interes-
se e o de sua classe. Naturalmente, em razão 
das limitações no espaço dos Cadernos, nem 
todas as unidades foram contempladas com 
Situações de Aprendizagem, mas a expectati-
va é de que a forma de abordagem dos temas 
seja explicitada nas atividades oferecidas.
São apresentados também, em cada Cader-
no, sempre que possível, materiais disponíveis 
(textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) 
em sintonia com a forma de abordagem pro-
posta, que podem ser utilizados pelo professor 
para o enriquecimento de suas aulas. 
O Caderno é ainda composto de considera-
ções sobre a avaliação a ser realizada, bem como 
o conteúdo essencial ao desenvolvimento das 
competências esperadas no presente bimestre.
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Matemática - 2a série - Volume 2
Conteúdos básicos do bimestre
O conteúdo matemático selecionado para 
o 2º- bimestre – matrizes, determinantes e sis-
temas lineares – exige, assim como os demais 
conteúdos, que sejam identificados seus dife-
rentes significados e estimuladas algumas das 
várias conexões entre esses significados. Toda-
via, a observação dos tópicos abordados com 
maior frequência nos livros didáticos e, por-
tanto, nos cursos de Ensino Médio evidencia 
a prioridade atribuída a aspectos meramente 
algébricos, que coloca em segundo plano algu-
mas das atuais e importantes aplicações desses 
conteúdos, bem como a sólida base que deveria 
ser formada tendo em vista a continuidade dos 
estudos matemáticos. Com esse intuito, valeria 
enfatizar, por exemplo, a formação de imagens 
nas telas dos aparelhos digitais (máquinas, te-
levisores, etc.), e todo o campo de estudo da 
Álgebra Linear. Ao contrariar essa tendência, 
julgamos importante o professor municiar-se 
de um amplo espectro de Situações de Apren-
dizagem nas quais transpareçam claramente 
os dois aspectos apontados – aplicabilidade e 
formação conceitual – a fim de que os alunos 
possam construir alguns dos diferentes signifi-
cados de cada um dos tópicos de conteúdo.
Em relação às matrizes, o professor deve 
avaliar a importância desse conteúdo no bi-
mestre, destinando o tempo necessário à apre-
sentação de algumas de suas inúmeras aplicações. 
Nesse sentido, sugerimos que o trabalho se 
inicie com a noção de que uma matriz é, em 
princípio, uma tabela de dupla entrada em que 
seus elementos guardam posições dadas pelas 
coordenadas de suas linhas e colunas. Além 
disso, sugerimos ainda que os exemplos esco-
lhidos para tal apresentação sejam carregados 
de significados, a fim de que os alunos possam 
associar as características particulares de um 
elemento qualquer da matriz às características 
gerais pertinentes a todos os elementos e, por-
tanto, à própria matriz.
Na Situação de Aprendizagem 1 – Matrizes: 
diferentes significados, abordamos quatro as-
pectos que fazem ressaltar importantes signi-
ficados associados à armazenagem de dados 
em uma tabela de dupla entrada. O primeiro 
aspecto apresentado, na Atividade 1, enfoca 
uma clássica e reconhecida dificuldade dos 
alunos em calcular e associar significado ao 
produto de duas matrizes. Sugerimos que as 
situações-problema propostas sejam apresen-
tadas aos alunos sem qualquer comentário 
anterior sobre como calcular o produto de 
duas matrizes, e que, ao final, as conclusões 
sobre os resultados obtidos sejam utilizadas 
para a introdução do conceito. Ainda sobre 
esta atividade, chamamos a atenção do profes-
sor para os Problemas 1 e 2, em que aborda-
mos a translação de polígonos representados 
no plano cartesiano por meio de adições en-
tre matrizes, atribuindo, dessa maneira, um 
significado pouco usual à representação e às 
operações matriciais.
Continuando a explorar a primeira Situa-
ção de Aprendizagem proposta, na Ativi- 
dade 2, apresentamos a ideia de que cada 
elemento de uma matriz pode revelar explici-
tamente a frequência de um evento, ao mesmo 
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10
tempo que pode, implicitamente, revelar a 
frequência de outro evento, complementar ao 
primeiro. Trata-se das chamadas “matrizes de 
compensação”, que também podem ser apre-
sentadas aos alunos como uma situação-pro-
blema, sem necessidade de qualquer discussão 
conceitual anterior sobre o tema.
Na Atividade 3 da Situação de Aprendiza-
gem 1 os alunos poderão tomar contato com 
o conceito de Pixel, associando a ideia de ma-
triz à da imagem fotografada em uma máquina 
digital. Com intuito de valorizar a exploração 
desse aspecto, sugerimos que os alunos sejam 
estimulados a pesquisar como se formam as 
imagens nos aparelhos de televisão digital 
para ampliar a rede de significados associados 
às matrizes.
A primeira Situação de Aprendizagem en-
cerra-se com a Atividade 4, na qual ampliamos 
o significado dos pixels discutido na atividade 
anterior, ao propor a representação de figu-
ras planas obtidas a partir da composição de 
regiões identificadas por comandos matriciais. 
A Situação de Aprendizagem 2 – Matriz de 
codificação: desenhando com matrizes aborda 
a possibilidade de as matrizes serem utiliza-
das para codificar sequências de ligações en-
tre pontos do plano com o objetivo de formar 
determinada imagem. De fato, tal atividade 
é uma adaptação da importante Teoria de 
Grafos, com a qual muitos alunos se defronta-
rão na continuidade dos estudos. A experiên-
cia de aplicação, a grupos de alunos de Ensino 
Médio, de questões semelhantes às propostas, 
mostrou o enorme envolvimento dos alunos na 
criação de desenhos e de diferentes codificações. 
Assim, sugerimos que o professor destine espe-
cial atenção à Atividade 3, na qual os alunos 
são convidados a criar seus próprios desenhos.
A transformação da linguagem coti-
diana para a linguagem matemática é rea-
lizada, no mais das vezes, por intermédio de 
uma equação. Uma situação-problema que 
pode ser resolvida apenas pelo cálculo mental 
não necessita que equações sejam escritas, e 
não se trata, de forma alguma, de priorizar o 
cálculo algébrico em relação ao cálculo men-
tal. No entanto, são inúmeras as situações-
problema em que se evidencia a necessidade 
de escrever e resolver equações, e não pode-
mos deixar de apresentar aos alunos exem-
plos dessa natureza, associados, sempre que 
possível, a contextos significativos. Na Situa-
ção de Aprendizagem 3 – Sistemas lineares em 
situações-problema são apresentadas várias 
propostas de problemas contextualizados em 
que equações e sistemas lineares convertem-se 
em importante ferramenta na busca da solução 
desejada. No entanto, chamamos a atenção 
do professor para que situações semelhantes 
não sejam propostas apenas no final do curso, 
em um único bloco, e sim que possam, todo o 
tempo, permear a gradativa construção con-
ceitual planejada para todo o 2º- bimestre.
Devemos avaliar com cuidado a importân-
cia do cálculo dos determinantes associados às 
matrizes quadradas, no contexto da resolução 
de sistemas lineares. Sabemos que, com fre-
quência, os determinantessão utilizados como 
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Matemática - 2a série - Volume 2
ferramenta quase única para a resolução e a 
discussão de sistemas lineares por intermédio 
da regra de Cramer. Ressaltamos que a apli-
cação de regras de cálculo, que exigem dos 
alunos apenas a mobilização da habilidade 
de memorização, não podem ser priorizadas 
acima de outras condutas e procedimentos 
que permitem aos alunos o exercício de toda a 
diversidade de estratégias de raciocínio. Nes-
se sentido, chamamos a atenção do professor 
para que a resolução e a discussão de sistemas 
lineares por intermédio do escalonamento 
sejam, se não o único procedimento apre-
sentado, aquele que receba prioritariamente 
o destaque da apresentação conceitual. Tais 
princípios nortearam a elaboração da Situa-
ção de Aprendizagem 4 – resolução de sistemas 
linea res: escalonamento x Cramer, em que di-
versos sistemas lineares são apresentados para 
que sejam resolvidos e/ou discutidos.
A organização do trabalho do bimestre, 
com base nas considerações anteriores, pode 
ser feita nas oito unidades seguintes.
Quadro geral de conteúdos da 
2ª- série do 2º- bimestre do Ensino 
Médio
unidade 1 – Matrizes: apresentação, tipos, 
igualdade e operações: adição, subtração e 
multiplicação por uma constante.
unidade 2 – Matrizes: diferentes significa-
dos; multiplicação entre duas matrizes.
unidade 3 – Matrizes: operações e equações 
matriciais.
unidade 4 – Determinantes: um número 
associado a uma matriz quadrada; método 
de Sarrus.
unidade 5 – Sistemas lineares: resolução 
por escalonamento.
unidade 6 – Sistemas lineares: resolução 
por escalonamento.
unidade 7 – Sistemas lineares: discussão de 
parâmetros.
unidade 8 – Problemas resolvíveis por in-
termédio de sistemas lineares.
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com o cálculo do produto entre duas matrizes, 
uma vez que o procedimento adequado para a 
obtenção correta de resultados contraria, ini-
cialmente, o senso comum dos alunos quanto 
à sequência de passos a ser obedecida. Con-
sideramos que a apresentação do cálculo de 
um produto de matrizes com base em exem-
plos contextualizados é uma abordagem que 
favorece a aprendizagem e compreensão dos 
alunos sobre esse tema. Para auxiliar o profes-
sor neste caminho metodológico, propomos, 
nesta Situação de Aprendizagem, uma série 
de situações-problema desenvolvidas sobre 
contextos pertinentes para a introdução de 
tais operações. Mesmo acreditando que o pro-
fessor saberá julgar e decidir sobre o melhor 
momento de apresentar aos alunos as situa-
ções-problema das próximas páginas, consi-
deramos que isso possa ser feito antes mesmo 
de que sejam apresentadas, formalmente, as 
operações entre matrizes.
SituaçõeS de aprendizagem
SituAção de APrendizAgeM 1 
 MAtrizeS: diFerenteS SigniFiCAdoS
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: operação de adição entre matrizes; multiplicação entre duas matrizes.
Competências e habilidades: utilizar elementos de matrizes para organizar e justificar a reso-
lução de situações-problema baseadas em contextos do cotidiano; relacionar representações 
geométricas a comandos expressos na linguagem matemática.
estratégias: resolução de situações-problema.
roteiro para aplicação da Situação 
de aprendizagem 1
o significado imediatamente associado às 
matrizes é o de uma tabela de dupla entrada 
contendo dados numéricos. Se tal fato não 
pode ser contestado, visto o contato dos alu-
nos com as tabelas desde praticamente o início 
de sua escolarização, torna-se importante, no 
ensino Médio, interpretar com qualidade os 
significados associados a cada elemento da 
matriz. Assim, a correta interpretação de dados 
numéricos registrados em matrizes é um 
dos objetivos da proposta desta Situação de 
Aprendizagem. 
em relação às operações entre matrizes, 
sabemos da pouca dificuldade apresenta-
da pelos alunos no que se refere às adições e 
também ao produto de um número real por 
uma matriz. no entanto, o mesmo não ocorre 
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Matemática - 2a série - Volume 2
Chamamos a atenção do professor para o 
tratamento dado à adição de matrizes, na Ati-
vidade 1, por intermédio de translações de 
polígonos representados no plano cartesiano. 
Destacamos neste Caderno apenas dois exem-
plos de situações dessa natureza, mas aconse-
lhamos o professor a criar outras situações, de 
caráter semelhante, que envolvam quadriláteros, 
pentágonos e hexágonos, estimulando os alunos 
a atribuírem diferentes significados à adição ma-
tricial. Ressaltamos ainda que o trabalho com 
as translações de polígonos no plano cartesiano 
pode ser auxiliado por planilhas de cálculo, caso 
haja disponibilidade de recursos de informática.
Atividade 1 – operações entre duas 
matrizes
Nesta atividade propomos algumas situa-
ções-problema de contexto bem definido para 
introduzir a adição e a multiplicação entre duas 
matrizes. Uma vez que os problemas apresentam 
similaridades quanto às estratégias de raciocínio 
que devem ser mobilizadas em suas respecti-
vas resoluções, caberá ao professor avaliar se a 
melhor maneira é apresentar um de cada vez a 
seus alunos, em aulas distintas, ou se é o caso de 
reuni-los em um único momento. 
Outro aspecto a salientar diz respeito à difi-
culdade das operações necessárias à resolução 
de cada situação-problema. De fato, para que 
o contexto se aproxime o máximo possível do 
real, é importante que os valores relativos às 
quantidades não sejam expressos apenas por 
números naturais. Para que o foco do conteúdo 
em questão não se perca, o professor poderá, 
a seu critério, permitir que os alunos utilizem 
calculadoras para agilizar os cálculos.
Problema 1
Observe os dois polígonos representados 
no plano cartesiano:
1
1
2
3
4
5
6
2
D
C
G
H
B
F
A
E
x
3 4 5 6 7 8 9
y
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14
De fato, esses dois polígonos são congruen-
tes, e podemos considerar que o polígono 
EFGH é uma translação do polígono ABCD, 
isto é, EFGH foi obtido a partir de duas movi-
mentações de ABCD, sendo uma na horizon-
tal e outra na vertical. 
a) Quantas unidades na horizontal e quan-
tas unidades na vertical ABCD deve ser 
deslocado para que, ao final, coincida 
com EFGH?
5 unidades na horizontal e 2 unidades na 
vertical.
b) Represente em uma matriz A(4x2) as 
coordenadas dos vértices do polígono 
ABCD, de maneira que cada linha da 
matriz contenha coordenadas de um 
ponto, com a abscissa na primeira colu-
na e a ordenada na segunda coluna.
A = 
c) Represente em uma matriz b(4x2) as 
coordenadas dos vértices do polígono 
EFGH, de maneira que cada linha da 
matriz contenha coordenadas de um 
ponto, com a abscissa na primeira coluna 
e a ordenada na segunda coluna.
B = 
1
3
1
0
1
1
3
2
3
5
3
2
6
6
8
7
d) Escreva uma matriz C(4x2) de tal forma 
que A + C = b.
C = 
Problema 2
Na representação seguinte, de um plano 
cartesiano, podemos observar três triângulos 
congruentes. O triângulo ABC pode ser trans-
ladado até coincidir com o triângulo DEF, que 
por sua vez, se transladado, poderá coincidir 
com o triân gulo GHI.
a) Quantas unidades horizontais e quantas 
unidades verticais são necessárias para 
uma translação do triângulo ABC, a 
fim de que, ao término, ele coincida com 
o triângulo DEF?
Quatro unidades horizontais para a esquer-
da e uma unidade vertical para cima.
2
2
2
2
5
5
5
5
11
2
3
4
5
–1
–1
–2
–3
–2–3
2
3 4
E
B
H
F
C
I
D
A
G
0 x
y
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15
Matemática - 2a série - Volume 2
b) Quantas unidades horizontais e quan-
tas unidades verticais são necessárias 
para uma translação do triângulo DEF, 
a fim de que, ao término, ele coincida 
com o triâ ngulo GHI? 
Uma unidade horizontal para a direita e 
quatro unidades verticais para baixo.
c) Quantas unidades horizontais e quantas 
unidades verticais são necessárias para 
uma translação do triângulo ABC, a 
fim de que, ao término, ele coincida com 
o triâ ngulo GHI? 
Três unidades horizontais para a esquerda e 
três unidades verticais para baixo.
d) Escreva uma matriz 3x2 para cada triân-
gulo, de maneira que cada linha da ma-
triz contenha coordenadas de um vértice 
do triângulo, com a abscissa na primeira 
coluna e a ordenada na segunda coluna. 
Denomine a matriz referente ao triân-
gulo ABC pela letra M, a matriz referente 
ao triângulo DEF pela letra n, e a matriz 
referente ao triângulo GHI pela letra P.
M = 
2,5
0,5
–0,5
1
4
2
 N = 
3,5
1,5
0,5
–3
0
–2
 P = 
– 0,5
–2,5
–3,5
–2
1
–1
e) Escreva uma matriz Q, tal que M + Q = N
Q = 
1
1
1
– 4
– 4
– 4
f) Escreva uma matriz r, tal que N + R = P
R = – 4
– 4
– 4
1
1
1
g) Escreva uma matriz t, tal que M + T = P
T = 
–3
–3
–3
–3
–3
–3
Problema 3
No campeonato baiano da terceira divisão, 
após 5 rodadas, foram obtidos os seguintes re-
sultados pelas 5 equipes participantes:
Equipes Vitórias Empates derrotas
Barro 
Vermelho
3 2 0
Carranca 2 1 2
Veneza 2 0 3
Colonial 1 1 3
Olaria 1 0 4
resultado Pontos
Vitória 3
Empate 1
Derrota 0
Calcule quantos pontos cada time conquis-
tou até agora e represente os resultados em 
uma matriz de ordem 5x1.
Os elementos da matriz seguinte correspon-
dem aos totais de pontos das equipes, de cima 
para baixo, nesta ordem: Barro Vermelho, 
Carranca, Veneza, Colonial e Olaria.
11
7
6
4
3
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16
Problema 4
Um proprietário de duas cantinas em es-
colas diferentes deseja contabilizar o consu-
mo dos seguintes produtos: suco de laranja, 
água mineral, queijo e presunto. Na cantina 
da escola A são consumidos, por semana, 
40 dúzias de laranjas, 140 garrafas de água 
mineral, 15 quilos de queijo e 9 quilos de 
presunto. Na cantina da escola b são consu-
midos semanalmente 50 dúzias de laranjas, 
120 garrafas de água mineral, 18 quilos de 
queijo e 10 quilos de presunto. O proprie-
tário das cantinas compra os produtos que 
revende de dois fornecedores, cujos preços, 
em R$, são expressos na tabela a seguir:
Com base nestas informações, determine:
a) uma matriz 2x4 em que esteja registra-
do o consumo dos produtos listados na 
cantina A e também na cantina b. 
 
Produtos Fornecedor 1 Fornecedor 2
1 dúzia de 
laranjas
1,20 1,10
1 garrafa de 
água mineral
0,80 0,90
1 quilo de 
queijo
5,00 6,00
1 quilo de 
presunto
9,00 7,50
140
120
9
10
40
50
15
18
b) uma matriz 4x2 em que estejam regis-
trados os preços praticados pelos forne-
cedores 1 e 2 para os produtos listados. 
 
c) uma matriz 2x2 contendo os preços 
totais cobrados por cada fornecedor, 
para cada cantina.
 
Essa matriz corresponde ao produto entre as 
matrizes do item a e do item b.
d) quanto o proprietário vai economizar, 
ao comprar sempre no fornecedor mais 
barato, para os dois restaurantes. 
(327,50 – 316,00) + (346,00 – 336,00)
= R$ 21,50
Problema 5
Está chegando a Páscoa e Jair resolveu 
ganhar um dinheiro extra, fabricando e 
vendendo ovos de chocolate. Para planejar 
seus investimentos e lucros no projeto, Jair 
elaborou as seguintes planilhas com quan-
tidades necessárias e custo de material para 
4 tipos de ovos.
1,10
0,90
6,00
7,50
1,20
0,80
5,00
9,00
316,00
336,00
327,50
346,00
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17
Matemática - 2a série - Volume 2
a) Escreva uma matriz de ordem 1x4 con-
tendo o custo total de fabricação de 
cada tipo de chocolate.
A matriz procurada pode ser obtida a par-
tir do produto das matrizes que podem ser 
formadas com os elementos numéricos das 
duas tabelas apresentadas no enunciado. 
De qualquer forma, para obter os resulta-
dos procurados, será necessário multiplicar 
os elementos da linha da tabela 2 pelos ele-
mentos de cada coluna da tabela 1, da se-
guinte forma: 
Tipo 1 f : 12 . 0,12 + 1,50 . 0,1 + 
+ 28 . 0,16 + 1,20 . 0,5 = 6,67
tabela 1 – Quantidade de material necessário para a fabricação de uma unidade 
de cada tipo de ovo
tipo de ovo tipo 1 tipo 2 tipo 3 tipo 4
Chocolate 
(gramas)
120 250 180 160
Açúcar 
(gramas)
100 120 100 80
Recheio 
(gramas)
160 180 200 100
Embalagem 
(folhas)
0,5 1,5 1,0 1,0
tabela 2 – Custo de cada tipo de material (r$)
Chocolate (kg) Açúcar (kg) recheio (kg) Embalagem (folhas)
12,00 1,50 28,00 1,20
Tipo 2 f : 12 . 0,25 + 1,50 . 0,12 + 
+ 28 . 0,18 + 1,20 . 1,5 = 10,02
Tipo 3 f : 12 . 0,18 + 1,50 . 0,1 + 
+ 28 . 0,2 + 1,20 = 9,11
Tipo 4 f : 12 . 0,16 + 1,5 . 0,08 + 
+ 28 . 0,1 + 1,20 = 6,04
Assim, a matriz procurada é: 
[ 6,67 10,02 9,11 6,04]
b) Se Jair pretende trabalhar com as mar-
gens de lucro sobre o preço de custo ex-
pressas na tabela a seguir, calcule qual 
é o valor total das vendas que ele espe-
ra conseguir com 200 unidades de cada 
tipo de chocolate.
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18
Para calcular o montante de um valor sobre 
o qual se fez incidir um porcentual de, por 
exemplo, 60%, podemos multiplicar o valor 
inicial pelo coeficiente 1,6. Esse índice cor-
responde, de fato, à soma de 100% + 60%. 
Para obter o resultado procurado, será ne-
cessário, de fato, multiplicar a matriz obtida 
no item a pela matriz seguinte, formada pe-
los coeficientes de correção do valor inicial:
[ 6,67 10,02 9,11 6,04] . 
1,6
1,8
2,0
2,0
 = 
= 1,6 . 6,67 + 1,8 . 10,02 + 2 . 9,11 + 
+ 2 . 6,04 = 59,008.
O resultado apresentado corresponde ao valor 
da venda de uma unidade de cada tipo. Como 
são previstas 200 unidades de cada, devemos 
fazer:
200 . 59,008 = 11 801,60
Assim, o valor total das vendas será igual a 
R$ 11 801,60.
Atividade 2 – Matriz de compensação
Podemos utilizar matrizes para registrar a 
frequência com que acontecem dois eventos 
que se complementam. Por exemplo, vamos 
supor o caso de duas pessoas, Jonas e Mário, 
tabela 3 – Margem de lucro por tipo produzido
tipo de 
chocolate
tipo 1 tipo 2 tipo 3 tipo 4
Margem de 
lucro (%)
60 80 100 100
que disputam, entre si, várias partidas de 
3 jogos diferentes, A, b e C. Jonas ganha 
37% das partidas do jogo A, 62% das parti-
das do jogo b e 45% das partidas do jogo C. 
A partir desses dados podemos escrever uma 
tabela e/ou uma matriz 2x3:
M = 
62
38
37
63
45
55
Vale ressaltar, entretanto, que os valores 
alocados na segunda linha, referentes às por-
centagens de ganho de Mário, poderiam ter 
sido suprimidos da matriz, visto que a soma 
dos elementos de cada coluna sempre é 100. 
Em outras palavras, se sabemos a porcenta-
gem de vitórias de um jogador, sabemos tam-
bém sua porcentagem de derrotas. Bastaria, 
portanto, escrever a seguinte matriz 1x3:
 (37 62 45)
A B C
Jonas
A este tipo de matriz dá-se o nome de “ma-
triz de compensação”, porque os resultados 
Porcentual de vitórias de cada jogador
JogadorJogo A Jogo b Jogo C
Jonas 37 62 45
Mário 63 38 55
MAT_CP_2a_vol2_AF.indd 18 4/8/09 1:49:13 PM
19
Matemática - 2a série - Volume 2
favoráveis a um elemento “compensam” os re-
sultados, não registrados na matriz, favoráveis 
ao outro.
Com base nessas explicações, propomos a 
seguinte situação-problema:
Duas redes de televisão A e b competem, 
entre si, para obter o maior índice de audiên-
cia em cada horário. Neste momento, as duas 
redes planejam levar ao ar programas de uma 
hora de duração para o mesmo horário no-
turno. A rede A dispõe de 2 opções de pro-
gramas (A1 e A2) enquanto a rede b dispõe 
de 3 opções de programas possíveis (b1, b2 e 
b3). Na tentativa de fazer a melhor opção, as 
redes contratam um instituto de pesquisa de 
opinião para avaliar como se divide a prefe-
rência do público quando cada opção da rede 
A for colocada em confronto com cada opção 
da rede b. Assim, por exemplo, o instituto 
avalia que, se os programas A1 e b1 forem ao 
ar simultaneamente, 60% do público assistirá 
a A1 enquanto 40% assistirá a b1. Na tabela 
a seguir estão representados esse e os demais 
resultados dos confrontos entre as opções de 
programas de A e b.
Porcentagem de audiência para a rede A
Programas da rede b
b1 b2 b3
Programas 
da rede A
A1 60 20 30
A2 40 75 45
Responda:
a) Se forem ao ar simultaneamente A1 e 
b3, qual será a porcentagem de audiên-
cia prevista para cada programa?
30% para A1 e 70% para B3.
b) Se forem ao ar simultaneamente A2 
e b2, qual rede terá maior audiência? 
Quantos por cento a mais? 
A rede A terá mais audiência, pois A2 terá 75% 
contra 25% de B2. São, portanto, 50% a mais.
c) Qual das combinações de dois programas, 
um de A e outro de b, permite a maior di-
ferença entre as audiências das duas redes 
no horário? E qual combinação permite a 
menor diferença entre as audiências?
A maior diferença está no par (A1, B2), 
com 20% para A1 e 80% para B2, isto é, com 
60% de diferença. A menor diferença está no 
par (A2, B3), com 45% para A2 e 55% para 
B3, isto é, com 10% de diferença.
Atividade 3 – resolução de imagens: 
os pixels
O registro de uma foto no papel ou em 
uma tela de computador é obtido a partir da 
reunião de várias unidades de imagem justa-
postas. Cada uma dessas unidades tem ape-
nas uma cor e é denominada pixel (picture 
element). O conjunto dos pixels dá a quem vê 
a impressão de algo contínuo, muito embora 
a ampliação da foto mostre claramente a des-
continuidade da gradação de cores, como se 
pode observar na figura a seguir.
MAT_CP_2a_vol2_AF.indd 19 4/8/09 1:49:13 PM
20
Não há dimensão fixa para um pixel, mas 
é possível inferir que, em uma mesma área, 
quanto menor for um pixel, maior poderá ser 
a quantidade deles, resultando em uma foto 
de melhor qualidade ou de maior resolução.
Ao adquirir uma máquina fotográfica 
digital, uma das primeiras características 
©
 A
bl
es
to
ck
/R
en
an
 L
ee
na avaliadas pelo comprador são os megapixels. 
Uma máquina de 6 megapixels (6 MP) divi-
de uma determinada área em 6 milhões de 
pixels (6 x 106), enquanto outra, de 7.1 MP é 
capaz de dividir a mesma área em 7 milhões e 
100 mil pixels (7,1 x 106). Assim, apenas por 
esse quesito, é possível avaliar que a qualidade 
da segunda câmera é superior à da primeira.
Uma fotografia, desse modo, pode ser enten-
dida como uma matriz formada por n elemen-
tos em que cada um deles é um pixel de imagem. 
Quanto mais elementos a matriz contiver em 
uma mesma área, melhor será a resolução da 
fotografia. Observe, por exemplo, os desenhos 
dos retângulos a seguir, nos quais foi inserida a 
letra r. Acima de cada retângulo aparece regis-
trada a quantidade de pixels. Nesta ilustração 
fica claro como a qualidade da imagem aumen-
ta com o aumento da quantidade de pixels.
O tamanho de uma imagem digital é 
definido pela ordem da matriz, isto é, pela 
quantidade de linhas e colunas que a forma. 
A flor abaixo, por exemplo, tem 119 linhas 
e 116 colunas de tamanho. Em um total de 
119 . 116 = 13 804 pixels. 
A partir dessas informações, propomos a 
seguinte atividade:
Um determinado modelo de máquina 
digital pode alterar a resolução da foto. À 
escolha do fotógrafo, as fotos podem ser pro-
duzidas com as seguintes especificações:
7.1 MP : 3 072 x 2 304 pixels
6.1 MP: 3 072 x 2 048 pixels
4.0 MP: 2 304 x 1 728 pixels
1.9 MP: 1 600 x 1 200 pixels
0.8 MP: 1 024 x 768 pixels
©
 A
bl
es
to
ck
1 x 1 2 x 2 5 x 5 10 x 10 20 x 20 50 x 50 100 x 100
MAT_CP_2a_vol2_AF.indd 20 4/8/09 1:49:18 PM
21
Matemática - 2a série - Volume 2
1. Considere uma foto de 7.1 MP de reso-
lução em que a linha 1 000 da matriz seja 
formada apenas por pixels de cor verde, di-
vididos igualmente entre 3 tonalidades em 
ordem crescente de posição nas colunas:
tonalidade 1: 
tonalidade 2: 
tonalidade 3: 
Assim, dos n elementos da 1 000a linha da 
matriz, os 
n
3
 primeiros são verdes na tonali-
dade 1, os 
n
3
 seguintes são verdes na tonalida-
de 2 e os 
n
3
 últimos são verdes na tonalidade 
3. Nessa condição, qual será a tonalidade, 1, 2 
ou 3 do seguinte pixel ai,j, isto é, do elemento 
da matriz que ocupa a linha i e a coluna j:
a) a1 000,1 000? 
Tonalidade 2.
b) a1 000, 500?
Tonalidade 1.
c) a1 000,2 000?
Tonalidade 3.
2. Considere uma foto de 1.9 MP de resolução 
em que todos os elementos bij da matriz se-
jam pixels de cor azul, de modo que cada 
elemento bij, isto é, o elemento que ocu-
pa na matriz a posição dada pela linha i 
e pela coluna j, seja dado pela sentença 
bij = 2i – j e as tonalidades são associadas 
ao pixel de acordo com o seguinte código:
f se bij ≤ 200 ⇒ tonalidade 1 
f se 200 < bij ≤ 320 ⇒ tonalidade 2 
f se 320 < bij ≤ 1 000 ⇒ tonalidade 3 
f se bij > 1 000 ⇒ tonalidade 4 
Nessas condições, qual é a tonalidade, 1, 2, 
3 ou 4, do elemento:
a) b40, 100?
b40, 100 = 2 . 40 – 100 = –20. 
Como –20 ≤ 200, tonalidade 1.
b) b1 000, 1 000?
b1000, 1000 = 2 . 1 000 – 1 000 = 1 000. 
Como 320 ≤ b1000,1000 ≤ 1 000, tonalidade 3.
c) Que estiver na 1 200ª- linha e 1 200ª- coluna? 
Trata-se de b1200, 1200 = 2 . 1 200 – 1 200 = 1 200. 
Assim, bij > 1 000, tonalidade 4.
3. No exercício anterior, quantos pixels da 
300ª- linha vão ter tonalidade 3?
279.
Atividade 4 – Matrizes e o princípio 
da tomografia 
A tomografia computadorizada é uma mo-
derna técnica da medicina que possibilita vi-
sualizar o interior do corpo de uma pessoa, 
por meio de uma série de imagens que permi-
tem aos médicos identificar diversos tipos de 
problemas, como a existência de regiões can-
cerígenas. Nesta atividade aproveitaremos o 
MAT_CP_2a_vol2_AF.indd 21 4/8/09 1:49:18 PM
22
modo como são tomadas as imagens de uma 
tomografi a para simular situa ções-problema 
que envolva matrizes.
O funcionamento de um tomógrafo com-
putadorizado consiste, basicamente, na 
emissão de feixes de raios X que não atra-
vessam todo o organismo da pessoa, mas, 
sim, executam varreduras em um único 
plano. Desse modo, um feixe de raios ao var-
rerem um plano, ou uma “fatia”, projeta, ao 
fi nal, uma imagem que é unidimensional, 
isto é, uma tira com trechos claros e escu-
ros, conforme aquilo que tenham encontrado 
pelo caminho (órgãos, ossos, etc.). O dese-
nho a seguir representa o momento em que 
uma pessoa é exposta aos feixes de raios de 
um tomógrafo. 
Quem já passou por esse tipo de exame sabe 
que, durante cerca de 
1
2
 hora, um grande 
equipamento executa movimentos circulares e 
ruidosos, que parece estar, de fato, “fatiando” 
nosso corpo com os feixesunidimensionais de 
raios X. O feixe de raios X, emitidos em um 
único plano, projeta uma tira com trechos cla-
ros e escuros, como neste desenho:
À medida que o tomógrafo se movimenta, ou-
tros feixes de raios X são emitidos e novas tiras 
são geradas. A reunião dessas tiras, em uma única 
imagem, forma uma “chapa”, ou um corte, seme-
lhante ao que é mostrado no desenho a seguir:
MAT_CP_2a_vol2_AF.indd 22 4/8/09 1:49:20 PM
23
Matemática - 2a série - Volume 2
Podemos associar os numerais 1 ou 0 aos 
pontos escuros ou claros, respectivamente. 
Além disso, simplificando a constituição des-
sas microrregiões claras ou escuras, vamos su-
por que todas tenham o formato de pequenos 
quadrados, de maneira que uma região plana 
possa ser, de fato, uma região quadriculada, em 
que linhas e colunas sejam numeradas de 1 a n, 
conforme a representação a seguir, em que a 
malha quadriculada tem 8 linhas e 8 colunas.
Neste caso, vamos poder associar ao dese-
nho uma matriz 8x8 formada por elementos 
que são, ao mesmo tempo, numerais 1 ou 0 e 
regiões escuras ou claras.
Quando nosso tomógrafo simplificado efe-
tuar um corte, ou, em outras palavras, gerar 
uma tira de regiões claras ou escuras, serão 
lançados valores das quantidades de cada tipo 
de região, sem que no entanto sejam ainda co-
nhecidas quais regiões têm esta ou aquela ca-
racterística. Se isso for feito como no exemplo 
a seguir, vamos saber que 4 quadrículas dessa 
linha deverão ser escuras. Mas quais delas?
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
Ao se registrar simultaneamente a quanti-
dade de quadrículas escuras ou claras de cada 
coluna, é possível reconstituir a “imagem”, 
como no caso do desenho a seguir:
Observe o exemplo seguinte, da recomposição 
de uma imagem em um quadriculado de 3x3.
0 3 1
1
2
1
Respeitando as quantidades 
registradas na vertical e hori-
zontal, será esta a imagem.
Observe nestes outros exemplos, como po-
demos associar a reconstituição da “imagem” 
a uma matriz.
O professor vai poder mostrar alguns des-
ses exemplos a seus alunos e pedir, depois, a 
eles que reconstituam as imagens a seguir.
1 2 1
3
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1 3 2
2
3
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
4
1 0 0 1 0 1 0 1
4
MAT_CP_2a_vol2_AF.indd 23 4/8/09 1:49:20 PM
24
Problema 5 
4 3 4 0 5
4
2
4
2
4
Resposta
Problema 6 
5 3 4 0 5 0 5 2 2 0 1 5 1
10
4
8
5
6
Resposta
Problema 1 Resposta
0 1 2
1
2
0
Problema 2 Resposta
0 1 2
2
1
0
Problema 3 Resposta
2 0 2
2
0
2
Problema 4 Resposta
1 3 1
1
3
1
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25
Matemática - 2a série - Volume 2
posição de cada um de seus termos, como 
nestes exemplos:
Exemplo 1 
Obter a matriz A assim definida: A = (aij)3x3 
tal que aij = i + 2j.
A ordem dessa matriz é 3x3, isto é, tem 3 li-
nhas e 3 colunas. O índice i indica a linha de cada 
termo enquanto o índice j indica sua coluna. Sa-
bendo disso, vamos atribuir a i e j os valores pos-
síveis e calcular cada termo identificado por aij.
SituAçãO de AprendizAgem 2 
 mAtriz de COdiFiCAçãO: deSenHAndO COm mAtrizeS
Tempo previsto: 1 semana.
Conteúdos e temas: construção de matrizes a partir de condição algébrica; identificação de 
elementos de matrizes por intermédio de sua posição em linhas e colunas.
Competências e habilidades: utilizar a notação matricial para representar figuras planas; res-
peitar sequências de comandos estabelecidos por intermédio de matrizes.
Estratégias: representação de figuras planas; criação de desenhos e códigos.
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 2
durante a realização desta Situação de 
Aprendizagem os alunos vão vivenciar a 
produção de desenhos a partir da união 
de pontos do plano, obedecendo a condi-
ções estabelecidas pelos elementos de uma 
matriz. para tanto, é preciso que, antes da 
atividade, os alunos sejam apresentados 
às tabelas de dupla entrada, e há também 
a possibilidade de obterem matrizes a par-
tir de condição matemática relacionando a 
 a11 = 1 + 2 . 1 = 3 a12 = 1 + 2 . 2 = 5 a13 = 1 + 2 . 3 = 7
 a21 = 2 + 2 . 1 = 4 a22 = 2 + 2 . 2 = 6 a23 = 2 + 2 . 3 = 8
 a31 = 3 + 2 . 1 = 5 a32 = 3 + 2 . 2 = 7 a33 = 3 + 2 . 3 = 9
e temos a matriz A: A = 
5
6
7
7
8
9
3
4
5
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26
Exemplo 2 
Obter a matriz E assim definida:
E = (eij)2x3, tal que eij = 
2 se i + j ≤ 3
2i + j se i + j > 3
A matriz E tem ordem 2x3, isto é, tem duas 
linhas e três colunas. Para obter seus elemen-
tos é preciso considerar, de início, se a soma 
dos índices que definem a posição de cada um 
é maior, menor ou igual a 3.
Soma menor ou igual a 3
e11 = 2 (pois 1 + 1 = 2 ≤ 3)
e12 = 2
e21 = 2 
Soma maior do que 3
e13 = 2 . 1 + 3 = 5 (pois 1 + 3 = 4 > 3)
e22 = 2 . 2 + 2 = 6
e23 = 2 . 2 + 3 = 7
Portanto, esta é a matriz E:
E = 
Dando continuidade ao trabalho, após te-
rem sido discutidos os aspectos apontados an-
teriormente, o professor pode marcar 5 pontos 
na lousa, numerá-los de 1 a 5 e, simultanea-
mente, escrever uma matriz C, de ordem 5x5, 
formada apenas por “0” ou “1”. Em seguida, 
o professor orienta os alunos para que unam 
os pontos, devem ser dois de cada vez, obede-
cendo ao seguinte comando:
2
6
2
2
5
7
f se o elemento cij = 0, não devemos unir 
i com j;
f se o elemento cij = 1, devemos unir i com j.
Vamos supor que a matriz C e os 5 pontos 
desenhados sejam estes, representados a seguir. 
 C = 
1 0 1 1 0
0 1 0 1 1
1 0 1 0 1
1 1 0 1 0
0 1 1 0 1
5
4 3
2
1
Destaquemos 3 elementos da matriz C a 
fim de exemplificar a ligação dos pontos.
c13 = 1 (Ligar 1 com 3)
c14 = 1 (Ligar 1 com 4) 
c15 = 0 (Não ligar 1 com 5)
5
4 3
2
1
Continuando a obedecer à regra esta-
belecida e completando todas as ligações 
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27
Matemática - 2a série - Volume 2
permitidas entre os 5 pontos, teremos forma-
do um pentagrama.
Feita a apresentação, o próximo passo con-
siste em propor aos alunos as seguintes situações.
Problema 1 – unindo pontos a partir de 
código registrado em uma matriz
Dada a matriz d e os pontos desenhados, 
uni-los ou não a partir do seguinte código 
estabelecido para os elementos da matriz d:
f se dij = 1, unir i com j;
f se dij = 0, não unir i com j.
 D = 
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
Uma estrela de 6 pontas.
Problema 2 – Codificando um desenho por 
uma matriz
Os pontos numerados de 1 a 13 do desenho 
foram unidos a partir de código definido em 
uma matriz. Escreva essa matriz. 
A seguinte matriz 13x13 em que todos os 
elementos são iguais a 1 ou a 0.
1
9
6
2
10
7
3
11
4
12
5
13
8
1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
Problema 3 – Criando um desenho e codifi-
cando-o com uma matrizImagine um desenho que possa ser obtido a 
partir da união de pelo menos 8 pontos. Marque 
apenas os pontos no papel e numere-os, sem, 
entretanto, uni-los. Escreva a matriz de codifi-
cação para a união de pontos em seu desenho. 
Em seguida, troque sua atividade com a de um 
colega, de maneira que você unirá os pontos do 
desenho dele enquanto ele une os pontos de seu 
desenho. Por fim, peça que seu colega corrija seu 
trabalho enquanto você corrige o dele.
5
6 4
3
2
1
5
4 3
2
1
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28
Será importante ainda apresentar aos alu-
nos uma situação que envolva sistemas “não 
quadrados”, isto é, sistemas em que o nú-
mero de equações e de incógnitas não seja 
igual, e também situa ções de contexto que 
conduzam à elaboração e à resolução de 
sistemas lineares indeterminados.
Para a resolução dos sistemas obtidos a 
partir de situações-problema contextuali-
zadas, sugerimos que o professor estimule 
seus alunos a utilizar, inicialmente, os mé-
todos estudados no Ensino Fundamental, 
isto é, os métodos de adição, substituição 
ou comparação. Salientamos a importância 
de o professor priorizar que a resolução dos 
sistemas seja feita com base nesses métodos, 
ou por escalonamento, em detrimento do 
método de Cramer com o uso de determi-
nantes. Tal opção será justificada adiante, 
na Situação de Aprendizagem 4. 
SiTuAção dE APrEndizAgEm 3 
 SiSTEmAS LinEArES Em SiTuAçÕES-ProBLEmA
Tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: resolução de sistemas lineares quadrados de ordem 2 e de ordem 3; escalo-
namento de matrizes.
Competências e habilidades: analisar informações contidas em enunciados escritos em língua 
materna, destacando elementos importantes para a compreensão do texto e para a formula-
ção de equações matemáticas; utilizar a linguagem matemática para expressar as condições 
descritas em situações-problema contextualizadas; resolver sistemas lineares, interpretando 
os resultados de acordo com o contexto fornecido pela situação-problema.
Estratégias: resolução de situações-problema.
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 3
nesta Situação de Aprendizagem são pro-
postas situações-problema contextualizadas 
que exigem a determinação de mais de uma 
incógnita. Exploraremos os sistemas lineares 
como importante ferramenta para a resolução 
de tais situações. nesses casos, a descrição de 
alguns contextos permite que sejam escritas 
as equações e que, ao final, após a resolução 
dos sistemas, os valores encontrados para as 
incógnitas sejam avaliados à luz do contexto 
inicialmente proposto.
As situações contextualizadas que apre-
sentarmos aos alunos podem envolver, ini-
cialmente, sistemas de apenas duas equações 
lineares, como feito anteriormente no Ensino 
Fundamental. Essa postura vai permitir que 
retome o processo de resolução, bem como a 
análise da resposta final.
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29
Matemática - 2a série - Volume 2
Para a aplicação dos sistemas lineares na 
resolução de problemas propomos as situa-
ções descritas a seguir.
Problema 1
Duas locadoras de automóveis A e b es-
tipulam a remuneração de seus serviços da 
seguinte maneira:
f Locadora A: valor fixo de R$ 80,00 mais 
R$ 1,20 por quilômetro rodado.
f Locadora b: valor fixo de R$ 120,00 mais 
R$ 1,00 por quilômetro rodado.
 Com base nesses dados, determine:
a) o valor a ser pago às locadoras A e b 
pelo aluguel de um veículo que rodou 
140 km. 
R$ 248,00 e R$ 260,00.
b) o valor a ser pago às locadoras A e b 
pelo aluguel de um veículo que rodou 
300 km.
R$ 440,00 e R$ 420,00.
c) A partir de quantos quilômetros roda-
dos torna-se mais econômico alugar o 
automóvel em b do que em A. 
200 km.
Comentário: apenas neste item, c, pode ser 
necessário que o aluno escreva um sistema de 
equações para organizar a resolução. Nesse 
caso, poderá ser escrito o seguinte sistema:
Locadora f A: V = 80 + 1,20x
Locadora f B: V = 120 + 1,00x
Nessas equações, V é o valor a ser pago pela 
locação e x é a quantidade de quilômetros 
rodados.
A resolução desse sistema induz claramente a 
opção pelo método da comparação, pois inte-
ressa descobrir o momento em que o valor V 
é o mesmo para as duas locadoras. Assim, 80 
+ 1,20x = 120 + 1,00x ⇒ x = 200
Portanto, a partir de 200 km de percurso tor-
na-se mais econômico alugar o automóvel na 
locadora B.
Problema 2
Uma loja de eletrodomésticos está fazen-
do uma promoção para a compra conjunta 
de dois tipos de eletrodomésticos, de maneira 
que o consumidor interessado paga:
f R$ 590,00 por um forno micro-ondas e 
um aspirador de pó.
f R$ 1 300,00 por um forno de micro-on-
das e uma geladeira.
f R$ 1 250,00 por um aspirador de pó e 
uma geladeira.
Quanto a loja está cobrando por cada tipo 
de aparelho, se o preço unitário de cada um 
deles é constante em todos os casos?
R$ 320,00; R$ 270,00; R$ 980,00
Comentários: denominando x o preço do 
micro-ondas, y o preço do aspirador de pó, 
e z o preço da geladeira, podemos escrever o 
seguinte sistema de três equações lineares:
MAT_CP_2a_vol2_AF.indd 29 4/8/09 1:49:21 PM
30
 x + y = 590 (I)
 x + z = 1 300 (II)
 y + z = 1 250 (III) 
A fim de reforçar os comentários anteriores, 
sugerimos que o professor estimule os alunos 
a resolverem esse sistema por substituição, 
adição, ou comparação. A opção pelo mé-
todo da comparação conduz a:
 x = 590 – y 
 x = 1 300 – z 
Comparando vem: 590 – y = 1 300 – z ⇒ 
⇒ –y + z = 710 (IV)
O sistema original, de três equações lineares, 
pode, então, ser reduzido ao seguinte sistema 
de duas equações:
 y + z = 1 250 (III)
 –y + z = 710 (IV)
 Adicionando (III) e (IV), temos: 
2z = 1 960 ⇒ z = 980
Portanto, o preço da geladeira é de R$ 980,00, 
e os demais preços podem ser obtidos por 
cálculo mental ou por substituição nas equa-
ções (I) e (II).
Problema 3
Um funcionário recém-contratado por 
uma empresa recebeu em mãos a seguinte 
tabela que contém as quantidades de 3 tipos 
de produtos, A, b e C, recebidos ou devol-
vidos em 3 lojas da empresa, acompanhadas 
dos respectivos valores que cada loja deve-
ria remeter à matriz pela transação. 
Quantidade
Valor da 
transação
(em mil r$)
tipo A b C total
loja 1 3 4 –1 8
loja 2 4 5 2 20
loja 3 1 –2 3 6
Ajude o funcionário a calcular o valor uni-
tário de cada tipo de produto.
R$ 1 000,00; R$ 2 000,00; R$ 3 000,00
Comentário: O seguinte sistema de equações 
traduz as condições do problema:
 3a + 4b – c = 8 (I) 
 4a + 5b + 2c = 20 (II)
 a – 2b + 3c = 6 (III)
Vamos resolver esse sistema pelo método 
da adição. Para tanto, precisamos escolher 
uma incógnita que será eliminada a partir de 
combinações lineares entre pares de equa-
ções. Escolheremos a incógnita c e faremos:
1º-) 2.(I) + (II), isto é, multiplicaremos a 
equação (I) por 2 e, em seguida, adiciona-
remos a equação resultante à equação (II). 
A resolução será apresentada passo a passo, 
e caberá ao professor estimular seus alunos 
a cumprirem o mesmo percurso, ou a elimi-
narem alguns passos, estimulando, dessa for-
ma, o cálculo mental.
 2(I) : 6a + 8b – 2c = 16
 (II): 4a + 5b + 2c = 20 
 10a + 13b = 36 (IV)
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Matemática - 2a série - Volume 2
2º-) 3.(I) + (III), isto é, multiplicaremos a 
equação (I) por 3 e adicionaremos a equa-
ção resultante à equação (III).
 3(I): 9a + 12b – 3c = 24
 (III): a – 2b + 3c = 6
 10a + 10b = 30 (V)
3º-) Escreveremos um sistema equivalente aooriginal, formado, agora, por 2 equações li-
neares, em duas incógnitas:
 10a + 13b = 36 (IV)
 10a + 10b = 30 (V)
4º-) Por coincidência, obtivemos equações 
que apresentam coeficientes iguais para a 
mesma incógnita (a). Portanto, basta sub-
trair as duas equações para determinar o 
valor da incógnita b. 
 10a + 13b = 36 (IV)
 10a + 10b = 30 (V) 
 3b = 6 ⇒ b = 2
Portanto, o valor unitário do produto B é de 
R$ 2 000,00. O preço dos demais tipos de pro-
duto pode ser obtido a partir da substituição do 
valor de B nas equações dos sistemas escritos.
Problema 4
Quatro escolas disputaram um torneio es-
portivo em que provas de 10 modalidades fo-
ram disputadas. Aos vencedores de cada prova 
foram atribuídas medalhas de ouro, de prata ou 
de bronze, dependendo da classificação final, 
respectivamente, 1º-, 2º- ou 3º- lugares. A quan-
tidade de medalhas de cada escola, ao final da 
competição, é apresentada na tabela a seguir, 
assim como o total de pontos conseguidos pelas 
escolas, considerando-se que a cada tipo de 
medalha foi atribuída uma pontuação.
Medalhas
Escolas ouro Prata bronze
Pontuação 
final
A 4 2 2 46
b 5 3 1 57
C 4 3 3 53
d 3 3 7 53
Qual foi a pontuação atribuída a cada tipo 
de medalha?
Ouro: 8 pontos; Prata: 5 pontos; Bronze: 
2 pontos.
Comentário: O sistema possível para a reso-
lução do problema é formado por 4 equações 
e três incógnitas, isto é, não se trata de um 
sistema “quadrado”. Sugerimos que o pro-
fessor chame a atenção de seu aluno para o 
fato de que sistemas dessa natureza exigem 
maior reflexão sobre os passos a serem ado-
tados para a resolução. Neste caso, podemos 
desprezar inicialmente uma das equações, 
resolver o sistema formado por três delas e, 
ao final, testar se os resultados obtidos veri-
ficam a equação não utilizada na resolução.
 4x + 2y + 2z = 46 (I)
 5x + 3y + z = 57 (II)
 4x + 3y + 3z = 53 (III)
 3x + 3y + 7z = 53 (IV)
Vamos “desprezar” a equação (IV), e adotar 
o método da substituição para resolver o siste-
ma formado pelas 3 equações restantes. Para 
–
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32
tanto, isolaremos a incógnita z na equação 
(II), e substituiremos a expressão encontra-
da nas equações (I) e (III). 
(II) z = 57 – 5x – 3y
(I) 4x + 2y + 2.(57 – 5x – 3y) = 46
(III) 4x + 3y + 3.(57 – 5x – 3y) = 53
As equações (I) e (III), depois de reduzidos 
os termos semelhantes, tornam-se equiva-
lentes a:
 6x + 4y = 68 (V)
 11x + 6y = 118 (VI)
Para simplificar, dividiremos a equação (V) 
por 2, obtendo o seguinte sistema:
 3x + 2y = 34 (V)
 11x + 6y = 118 (VI)
Em seguida, pelo método da adição, faremos 
3.(V) – (VI), obtendo:
3.(V) – (VI) : – 2x = –16 ⇒ x = 8
Portanto, a medalha de ouro vale 8 pontos. 
Voltando com esse valor em (V), obtemos 
que y = 5, ou seja, obtemos que a medalha 
de prata vale 5 pontos. Voltando com esses 
valores em (I), obtemos que z = 2, ou seja, 
que a medalha de bronze vale 2 pontos. 
Substituindo os valores obtidos para x, y e z, 
na equação (VI), notamos que ela é verificada, 
pois 3.8 + 3.5 + 7.2 = 24 + 15 + 14 = 53.
O problema a seguir permite introduzir a 
ideia de que podemos escrever sistemas inde-
terminados para situações nas quais não há 
uma única resposta possível. Como não se 
trata de um proble ma de difícil solução, suge-
rimos que o professor apresente-o aos alunos 
sem qualquer comentário inicial, e que, após 
discutir as diversas situações que surgirem, 
comente sobre o fato de que os resultados es-
perados são discretos, isto é, formados apenas 
por números naturais. Será muito provável 
que os alunos consigam chegar às respostas 
corretas sem escrever e resolver sistemas de 
equações, e, nesse caso, caberá ao professor 
mostrar–lhes que em outros casos, de respos-
tas obtidas a partir de conjuntos contínuos, 
seria impos sível a eles escreverem todas as 
infinitas respostas, o que exigiria a escrita de 
equações.
Problema 5
O técnico de uma equipe de futebol estima 
que ao final de 12 partidas sua equipe consi-
ga 24 pontos. Sabendo-se que a quantidade de 
pontos por vitória é 3, por empate é 1 e por 
derrota é 0, determine:
a) o número de pontos da equipe para o 
caso em que vença 4 jogos, empate 4 e 
perca 4.
4 . 3 + 4 . 1 = 16 pontos.
b) o número máximo de pontos que a equi-
pe pode conseguir.
Caso vença as 12 partidas, uma equipe con-
seguirá o máximo possível de pontos, igual a 
3 . 12 = 36.
c) uma combinação possível de números de 
vitórias–empates–derrotas para que a 
equipe consiga os almejados 24 pontos.
Denominando o número de vitórias por x, o 
número de empates por y, e o de derrotas por z, 
podemos escrever
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33
Matemática - 2a série - Volume 2
f x + y + z = 12
f 3x + 1.y + 0.z = 24
Temos, portanto, um sistema de duas equa-
ções a 3 incógnitas, que é indeterminado, isto 
é, tem mais de uma solução.
Uma possível resposta para o problema pode 
ser obtida fazendo, por exemplo, x = 7, isto 
é, supondo que a equipe vença 7 dos 12 jo-
gos. Nesse caso, será preciso que y = 3, a fim 
de que a equipe consiga atingir, exatamente, 
24 pontos. Portanto, uma resposta possível 
é: 7 vitórias, 3 empates e 2 derrotas.
d) todas as possibilidades possíveis para 
que a equipe consiga atingir 24 pontos.
Queremos, neste caso, determinar as solu-
ções naturais do sistema formado pelas duas 
equações descritas no item anterior, isto é, 
x + y + z = 12
3x + 1.y + 0.z = 24
Fazendo y = 24 – 3x na segunda equação, e 
substituindo em y na primeira equação, temos:
x + 24 – 3x + z = 12 ⇒ z = 2x – 12
Assim, podemos escrever a resposta geral do 
sistema, em função de x, isto é, em função do 
número de vitórias:
 S = {(x, 24 – 3x, 2x – 12)}
Como nos interessam apenas os casos em que 
0 < x < 12, y > 0 e z > 0, podemos atribuir a x 
apenas os valores 6, 7 e 8. Isso feito, teremos as 
seguintes possibilidades, expressas na tabela:
Vitória Empate Derrota Total de 
jogos
8 0 4 12
7 3 2 12
6 6 0 12
Problema 6
Na feira livre da 4ª- feira, próxima à sua 
casa, Helena foi comprar, em uma única bar-
raca, um kit para bolo. O kit continha farinha 
de trigo, fubá e chocolate em pó, em um total 
de 2 kg, e pelo qual pagou R$ 4,00. Intrigada 
com o preço do kit, Helena questionou o fei-
rante sobre o preço de cada produto, ouvindo 
dele que o quilo da farinha de trigo custava 
R$ 1,00, que o quilo do chocolate em pó cus-
tava R$ 20,00, e que o quilo do fubá custava 
R$ 2,00. Quanto de cada produto havia no kit 
que Helena acabou comprando?
Comentário: temos aqui um problema que 
não apresenta uma única solução e que 
pode ser resolvido por meio de um siste-
ma indeterminado de equações lineares. 
De fato, os alunos poderão obter algumas 
das respostas antes que o professor apre-
sente a eles a solução geral. Se esta for a 
opção do professor, propomos que conduza 
as discussões colocando para seus alunos 
questões como:
É possível que o f kit tenha sido compos-
to por 800 g de farinha e 1 kg de fubá? 
Por quê? 
Não, isto não seria possível, porque, nes- f
se caso, os 200 gramas restantes deve-
riam ser de chocolate, o que faria com 
que o preço do kit se elevasse além dos 
R$ 4,00.
Se no f kit havia 100 g de chocolate, quan-
to havia de farinha e de fubá?
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34
100 g de chocolate custam R$ 2,00. So- f
bram R$ 2,00 para serem divididos entre 
farinha e fubá, em um total de 1,9 kg, o 
que nos permite escrever o seguinte siste-ma de duas equações, em que x representa 
a massa de farinha, em kg, e y representa 
a massa de fubá, também em kg:
 x + y = 1,9
 x + 2y = 2,0
Resolvendo o sistema obtemos y = 0,1 e 
x = 1,8, isto é, havia 0,1 kg de fubá e 1,8 kg 
de farinha, ou 100 gramas de um produto e 
1 kg e 800 gramas do outro.
Apresentamos a solução geral do problema, 
considerando:
 x: massa de farinha de trigo, em kg
 y: massa de fubá, em kg
 z: massa de chocolate em pó, em kg
 x + y + z = 2
 x + 2y + 20z = 4
Sistemas lineares dessa natureza, indeter-
minados, apresentam solução em função de 
uma das incógnitas. Faremos a opção de es-
crever a solução geral em função da massa 
de chocolate em pó (z). Para tanto, escreve-
mos as equações desta maneira:
 x + y = 2 – z (I)
 x + 2y = 4 – 20z (II)
Fazendo (II) – (I), temos:
y = 2 – 19z (Quantidade de fubá em função 
da quantidade de chocolate)
e fazendo 2.(I) – (II), temos:
x = 18z (Quantidade de farinha em função 
da quantidade de chocolate)
Portanto, a solução geral do sistema é: 
{(18z, 2 – 19z, z)}
Vale observar que não podemos ter valores 
negativos para qualquer das quantidades. 
Assim, será necessário que sejam obedecidas 
as seguintes condições:
18z > 0 e 2 – 19z > 0 e z > 0, 
ou, de outra forma, que z > 
2
19
, ou ainda 
que a quantidade de chocolate em pó seja 
inferior a, aproximadamente, 105 gramas, 
pois 
2
19
 ≈ 0,105.
Sugerimos que, após escrever a solução geral, 
o professor proponha aos seus alunos que es-
crevam algumas das soluções para esse pro-
blema. Por exemplo, considerando que o kit 
continha 80 gramas de chocolate temos:
80 g de chocolate, ou 0,080 kg de f
chocolate (custando R$ 1,60)
18 . 0,080 kg de farinha de trigo = 1,44 kg f
(custando R$ 1,44)
2 – 19 . 0,080 kg de fubá = 0,48 kg f
(custando R$ 0,96) 
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Matemática - 2a série - Volume 2
O método de resolução de sistemas linea-
res denominado escalonamento consiste, ba-
sicamente, em realizar combinações lineares 
entre as equações do sistema de maneira que 
algumas delas possam ser escritas com nú-
mero menor de incógnitas do que na escrita 
original, conforme apresentamos na resolu-
ção de problemas da Situação de Aprendi-
zagem anterior. De fato, alunos do Ensino 
Fundamental têm normalmente contato 
com uma simplificação desse método quan-
do resolvem sistemas de 2 equações lineares 
pelo método de adição, conforme mostra o 
exemplo seguinte:
SituAçãO DE AprEnDizAgEm 4 
 rESOLuçãO DE SiStEmAS LinEArES: 
ESCALOnAmEntO X CrAmEr
Tempo previsto: 3 semanas.
Conteúdos e temas: resolução e discussão de sistemas lineares; cálculo de determinantes – mé-
todo de Sarrus; resolução de situações-problema por intermédio de sistemas lineares.
Competências e habilidades: utilizar a linguagem matemática para a obtenção de equações que 
auxiliem na resolução de situações-problema; reconhecer a maior eficiência de um método 
de resolução sobre outro, com base nas estratégias de raciocínio mobilizadas.
Estratégias: resolução de situações-problema.
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 4
Há mais de um método de resolução de 
sistemas lineares de qualquer ordem. Dois 
deles são normalmente apresentados nos li-
vros didáticos, em que um recorre à notação 
matricial (escalonamento) enquanto o outro 
parte dos determinantes associados ao siste-
ma (Cramer). Esta Situação de Aprendizagem 
pretende avaliar as dificuldades e as operações 
mentais envolvidas em cada um desses méto-
dos a fim de que os alunos, diante de um sis-
tema a ser solucionado, optem com critérios 
pelo método mais apropriado à situação.
2x – 3y = 11 ⇒ 2x – 3y = 11 Se y = –1 ⇒	 x + 2.(–1) = 2
x + 2y = 2 ⇒
. (–2)
 – 2x – 4y = – 4 
 0x – 7y = 7 ⇒ y = – 1 S = {(4, –1)}
x = 4
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 Para um sistema linear qualquer, po-
demos associar uma matriz denomina-
da matriz completa, que é formada pelos 
coeficientes das incógnitas e também pe-
los termos independentes. Dizemos que 
o sistema linear está escalonado quando 
realizarmos combinações lineares entre as 
linhas da matriz completa de modo a zerar 
todos os elementos aij da matriz em que i > j. 
 O exemplo seguinte retoma a resolução do 
sistema de equações anteriormente resolvi-
do, explicitando o escalonamento.
L1
L2
L1
L2
L3
Esta é a matriz completa do sistema, formada pelos coe-
ficientes das incógnitas e pelos termos independentes das 
duas equações. Para escaloná-la devemos tornar nulo o 
elemento a21 = 1, que é o único elemento aij em que i > j.
A matriz do sistema foi escalonada. 
Na nova equação da linha 2 da 
matriz temos: 
0x – 7y = 7 ou y = –1
Substituindo esse valor em uma das 
equações iniciais, obtém-se x = 4.Aqui está a combinação linear 
entre as linhas 1 e 2 da matriz, 
gerando uma nova linha 2.
2 – 3 11
1 2 2
L1
L1 – 2.L2
2 – 3 11
0 – 7 7
 Em outro exemplo, vamos resolver por escalonamento o sistema seguinte:
x + y + z = 3 
2x – y – 2z = 2 
x + 2z = 4
Na matriz escalonada, 
deverão ser nulos, os 
elementos destacados.
Mcompleta
1 1 1 3 
2 –1 –2 2 
1 0 2 4
–2L1 + L2 
	 –L1 + L3 
	
–L2 + 3L3 
	
1 1 1 3 
0 –3 – 4 – 4
0 –1 1 1
1 1 1 3 
0 – 3 – 4 – 4
0 0 7 7
1 1 1 3 
2 – 1 – 2 2
1 0 2 4
 A última linha da matriz nos fornece a equação:
7z = 7 ⇒ z = 1
Substituindo o valor encontrado para z na 
segunda equação da matriz final, temos:
–3y – 4z = – 4
–3y – 4.1 = – 4 ⇒ y = 0
A primeira das linhas da matriz nos ajuda 
a calcular o valor de x:
 x + y + z = 3
 x + 0 + 1 = 3 ⇒ x = 2
Assim, a solução do sistema é dada por: 
S = {(2, 0, 1)}
O método de Cramer para resolução de sis-
temas lineares quadrados, isto é, para sistemas 
com incógnitas e equações em mesmo número, 
2 – 3 11
1 2 2
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Matemática - 2a série - Volume 2
passa pela resolução de alguns determinantes 
formados pelos coeficientes das incógnitas e/
ou pelos termos independentes. No caso do 
Quando Δ = 0, ou o sistema é impossível, 
não tem solução, ou o sistema é indetermina-
do, tem mais de uma solução. Portanto, temos 
uma primeira questão importante a conside-
rar: o método de Cramer não permite que se-
jam resolvidos sistemas indeterminados.
Cabe ao professor discutir com os alunos, 
que o método de Cramer sintetiza a série de 
passagens algébricas que seriam realizadas 
caso o sistema fosse resolvido por meio de 
combinações lineares entre as equações.
A opção de resolver o sistema por um ou 
outro método passa por considerar as habili-
dades mentais mobilizadas em cada caso, que 
são diferentes em Cramer e no escalonamento. 
Enquanto no método de Cramer o aluno segue 
uma rotina determinada – montagem e cálculo 
dos determinantes, e divisão entre eles – no mé-
todo do escalonamento o aluno se vê envolvido 
em avaliar possibilidades e escolher estratégias, 
adotando, dessa forma, uma postura que o re-
mete à mobilização de habilidades mais elabora-
das e valorizadas na aprendizagem matemática. 
Além disso, há outros fatores ainda a considerar, 
que são, principalmente, o tempo despendido na 
resolução e a quantidade de operações elemen-
tares realizadas. Também com esses critérios é 
possível avaliar a vantagem do método do esca-
lonamento sobre Cramer.
Para discutir esta última consideração, ana-
lisemos a resolução