Caderno do Professor Matemática 2009 2ªSérie EM Volume 3

Prévia do material em texto

caderno do
volume 3 – 2009
PROFESSOR
2ª- SÉRIE m
at
Em
át
Ic
a
ensino médio
Governador
José Serra
Vice-Governador
Alberto Goldman
Secretário da Educação
Paulo Renato Souza
Secretário-Adjunto
Guilherme Bueno de Camargo
Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas
Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região
Metropolitana da Grande São Paulo
José Benedito de Oliveira
Coordenador de Ensino do Interior
Rubens Antonio Mandetta
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação Geral
Maria Inês Fini
Concepção
Guiomar Namo de Mello
Lino de Macedo
Luis Carlos de Menezes
Maria Inês Fini
Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:
Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:
Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias 
aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos: 
Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TÉCNICA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas 
Pedagógicas
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
 Caderno do professor: matemática, ensino médio - 2ª- série, volume 3 / 
Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo 
de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto 
Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
 ISBN 978-85-7849-361-5
 1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, 
Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson 
José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.
 CDU: 373.5:51
S239c
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais 
secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegi-
dos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não 
estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
Coordenação do Desenvolvimento dos 
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos 
Professores
Ghisleine Trigo Silveira
AUTORES
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton 
Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu 
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, 
Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
História: Paulo Miceli, Diego López Silva, 
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e 
Raquel dos Santos Funari
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza 
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, 
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina 
Schrijnemaekers 
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo 
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene 
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta 
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar 
Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo 
Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares 
de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina 
Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, 
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida 
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria 
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo 
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, 
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, 
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam 
Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís 
Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho 
Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, 
Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia 
Salem e Yassuko Hosoume
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, 
Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, 
Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa 
Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda 
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, 
Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino 
e Sayonara Pereira
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, 
Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches 
Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira 
da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, 
Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet 
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, 
José Luís Marques López Landeira e João Henrique 
Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos 
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore 
Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da 
Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e 
Zuleika de Felice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira 
Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de 
Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria 
Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo 
Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, 
Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Edição e Produção Editorial: Edições Jogo de 
Amarelinha, Conexão Editorial e Occy Design 
(projeto gráfico)
APOIO
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da 
Educação
CTP, Impressão e Acabamento
Esdeva Indústria Gráfica
Caras professoras e caros professores,
Tenho a grata satisfação de entregar-lhes o volume 3 dos Cadernos do Professor.
Vocês constatarão que as excelentes críticas e sugestões recebidas dos profis-
sionais da rede estão incorporadas ao novo texto do currículo. A partir dessas 
mesmas sugestões, também organizamos e produzimos os Cadernos do Aluno.
Recebemos informações constantes acerca do grande esforço que tem caracte-
rizado as ações de professoras, professores e especialistas de nossa rede para 
promover mais aprendizagem aos alunos.
A equipe da Secretaria segue muito motivada para apoiá-los, mobilizando 
todos os recursos possíveis para garantir-lhes melhores condições de trabalho.
Contamos mais uma vez com a colaboração de vocês.
Paulo Renato Souza
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado 5
Ficha do Caderno 7
Orientação geral sobre os Cadernos 8
Situações de Aprendizagem 12
Situação de Aprendizagem 1 – Probabilidade e proporcionalidade: no início 
era o jogo... 12
Situação de Aprendizagem 2 – Análise combinatória: raciocínios aditivo e 
multiplicativo 23
Situação de Aprendizagem 3 – Probabilidades e raciocínio combinatório 36
Situação de Aprendizagem 4 – Probabilidades e raciocínio combinatório: 
o Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal 43
Orientações para Recuperação 50
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a 
compreensão do tema 52
Considerações finais 53
Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio 54
SUMáRiO
5
SãO PAUlO FAz ESCOlA – UMA PROPOStA 
CURRiCUlAR PARA O EStAdO
Prezado(a) professor(a),
É com muita satisfação que lhe entregamos mais um volume dos Cadernos do Professor, 
parte integrante da Proposta Curricular de 5ª- a 8ª- sériesdo Ensino Fundamental – Ciclo II e 
do Ensino Médio do Estado de São Paulo. É sempre oportuno relembrar que esta é a nova 
versão, que traz também a sua autoria, uma vez que inclui as sugestões e críticas recebidas 
após a implantação da Proposta.
É também necessário relembrar que os Cadernos do Professor espelharam-se, de forma 
objetiva, na Base Curricular, referência comum a todas as escolas da rede estadual, e deram 
origem à produção dos Cadernos dos Alunos, justa reivindicação de professores, pais e famí-
lias para que nossas crianças e jovens possuíssem registros acadêmicos pessoais mais organi-
zados e para que o tempo de trabalho em sala de aula pudesse ser melhor aproveitado.
Já temos as primeiras notícias sobre o sucesso do uso dos dois Cadernos em sala de 
aula. Este mérito é, sem dúvida, de todos os profissionais da nossa rede, especialmente seu, 
professor!
O objetivo dos Cadernos sempre será o de apoiar os professores em suas práticas de 
sala de aula. Podemos dizer que este objetivo está sendo alcançado, porque os professores 
da rede pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico 
com bons resultados.
Ao entregar a você estes novos volumes, reiteramos nossa confiança no seu trabalho e 
contamos mais uma vez com seu entusiasmo e dedicação para que todas as crianças e jo-
vens da nossa rede possam ter acesso a uma educação básica de qualidade cada vez maior.
Maria Inês Fini
Coordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
6
7
FiChA dO CAdERnO
Análise combinatória e probabilidades
 nome da disciplina: Matemática
 área: Matemática
 Etapa da educação básica: Ensino Médio
 Série: 2a
 Volume: 3
 temas e conteúdos: Probabilidades – aplicações do cálculo 
proporcional
 Raciocínio combinatório: princípios aditivo 
e multiplicativo
 Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal
8
ORiEntAÇãO gERAl SObRE OS CAdERnOS
Os temas escolhidos para compor o conteúdo 
disciplinar de cada bimestre não se afastam, de 
maneira geral, do que é usualmente ensinado 
nas escolas ou do que é apresentado pelos livros 
didáticos. As inovações pretendidas referem-se 
à forma de abordá-los, sugerida ao longo dos 
Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abor-
dagem, busca-se evidenciar os princípios nortea-
dores do presente currículo, destacando-se a 
contextualização dos conteúdos, as competên-
cias pessoais envolvidas, especialmente as rela-
cionadas com a leitura e a escrita matemáticas, 
bem como os elementos culturais internos e ex-
ternos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão 
organizados em oito unidades de extensões 
aproximadamente iguais, que podem cor-
responder a oito semanas de trabalho letivo. 
De acordo com o número de aulas disponíveis 
por semana, o professor explorará cada assun-
to com mais ou menos aprofundamento. A cri-
tério do professor, em cada situação específica, 
o tema correspondente a uma das unidades 
pode ser estendido para mais de uma semana, 
enquanto o de outra unidade pode ser tratado 
de modo mais simplificado.
É desejável que o professor tente contem-
plar todas as oito unidades, uma vez que, jun-
tas, compõem um panorama do conteúdo do 
bimestre e, muitas vezes, uma delas contribui 
para a compreensão das outras. Insistimos, no 
entanto, no fato de que somente o professor, 
em sua circunstância particular, levando em 
consideração seu interesse e o dos alunos 
pelos temas apresentados, pode determinar 
adequadamente quanto tempo dedicar a cada 
uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, 
além de uma visão panorâmica do conteúdo 
do bimestre, quatro Situações de Aprendiza-
gem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma 
de abordagem sugerida, instrumentalizando o 
professor para sua ação na sala de aula. As Si-
tuações de Aprendizagem são independentes e 
podem ser exploradas pelo professor com mais 
ou menos intensidade, segundo seu interesse e 
de sua classe. Naturalmente, em razão das limi-
tações no espaço dos Cadernos, nem todas as 
unidades foram contempladas com Situações 
de Aprendizagem, mas a expectativa é a de que 
a forma de abordagem dos temas seja explicita-
da nas que foram oferecidas.
São apresentados também, em cada Cader-
no, sempre que possível, materiais de apoio 
(textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) 
em sintonia com a forma de abordagem pro-
posta, que podem ser utilizados pelo professor 
para o enriquecimento de suas aulas.
Compõem ainda o Caderno algumas con-
siderações sobre a avaliação a ser realizada, 
bem como o conteúdo considerado indispen-
sável ao desenvolvimento das competências 
esperadas no presente bimestre.
9
Matemática – 2ª- série – Volume 3
Conteúdos básicos do bimestre 
Os conteúdos pertinentes à análise com-
binatória e ao cálculo de probabilidades, 
selecionados para serem desenvolvidos no 
3o bimestre da 2a série do Ensino Médio, cos-
tumam trazer desconforto não apenas aos 
estudantes, mas também aos professores. Pare-
ce difícil justificar esse fenômeno se pensarmos 
que o conjunto de ferramentas matemáticas 
necessárias para a resolução de praticamente 
100% dos problemas é composto apenas das 
quatro operações com números naturais e de 
uma das principais ideias da fração: a da com-
paração entre a parte e o todo.
O tratamento tradicional do tema parte 
da classificação dos problemas em grupos 
– permutação, arranjos, combinações – de 
acordo com determinado critério, na ten-
tativa de facilitar a resolução a partir da 
aplicação de algumas fórmulas de cálculo. 
Se, por um lado, tal formalização permite 
agilizar a resolução de situações-padrão, por 
outro, dificulta o enfrentamento de situa-
ções-problema reais, com contextos e difi-
culdades inéditas. Dessa forma, um curso de 
Matemática que priorize a resolução de pro-
blemas como principal metodologia de apren-
dizado não pode se basear unicamente na 
classificação das situações em grupos de-
terminados, sob pena de limitar por demais 
as estratégias de raciocínio que o estudan-
te pode e deve mobilizar ao se confrontar 
com uma dificuldade real. Assim, como será 
explicitado nas Situações de Aprendizagem 
apresentadas para o tratamento do tema, 
propomos que a classificação e o formalismo 
tradicional sejam, inicialmente, relegados a 
um segundo plano e, apenas ao final, sejam, 
conforme a vontade do professor, realizados 
nos moldes conhecidos.
O raciocínio combinatório e o cálculo de 
probabilidades são conceitos apresentados 
aos alunos desde as séries iniciais do segun-
do ciclo do Ensino Fundamental, etapa em 
que tais conceitos não costumam gerar qual-
quer dificuldade além das habituais para esse 
segmento de ensino. Dessa maneira, trata-se 
agora, no Ensino Médio, de partir dos conhe-
cimentos e das habilidades anteriormente 
construídos e promover os aprofundamentos 
necessários. Com base nessa hipótese, pro-
pomos que a apresentação dos conteúdos do 
bimestre inicie-se com as probabilidades des-
providas de cálculo combinatório.
Apresentar o cálculo de probabilidades sem 
a exigência de raciocínio combinatório significa 
priorizar o fato de que podemos expressar a 
chance de ocorrência de um evento por inter-
médio de uma razão entre dois valores, a parte 
e o todo. O numerador dessa razão coincide 
com o número de resultados esperados para o 
experimento, enquanto o denominador coin-
cide com o número de resultados possíveis, 
todos eles considerados igualmente prováveis. 
Em uma classe de 40 alunos, se qualquer um 
tem uma chance em quarenta de ser sortea-
do, e todos sabem disso, precisamos apenas 
formalizar essa condição, que expressamos na 
língua materna por intermédiode uma fração, 
1
40
, por uma porcentagem (2,5%), e também 
por um número real maior que 0 e menor 
10
que 1, nesse caso, 0,025. Nada disso, de fato, 
acarreta maiores dificuldades, visto se tratar de 
conhecimento que se incorporou ao senso co-
mum. Cremos, portanto, que os alunos trazem 
na 2a série do Ensino Médio o terreno preparado 
para o estudo formalizado das probabilidades, 
desde que os casos a eles apresentados não en-
volvam, inicialmente, raciocínio combinatório. 
Diante dessas premissas, propomos a Situação 
de Aprendizagem 1 – Probabilidade e pro-
porcionalidade: no início era o jogo..., na qual 
exploramos a noção teórica de probabilidade 
por intermédio de jogos pedagógicos, conforme 
a descrição apresentada mais adiante.
Uma adição de n parcelas iguais a p pode 
ser representada pelo produto n . p. Muitas são 
as situações-problema que são resolvidas por 
intermédio de uma adição desse tipo. Outras 
adições, não formadas por parcelas iguais, tam-
bém podem ser expressas por intermédio de 
um produto, como é o caso, por exemplo, de 
5 + 4 + 3 + 2 + 1 que é igual a (6 . 5) ÷ 2 ou 15. 
Expressões desse tipo também podem explici-
tar a solução de uma situação-problema, nes-
se caso, por exemplo, o cálculo de número de 
grupos diferentes de duas pessoas formados a 
partir de 6 indivíduos. Problemas envolvendo 
raciocínio combinatório são, na maioria das 
vezes, resolvidos por intermédio de uma adi-
ção ou de uma multiplicação, embora quase 
sempre a escolha pela multiplicação seja a 
mais aconselhável, já que envolve raciocínio 
mais elaborado e eficiente. Perceber a existên-
cia das duas possibilidades apontadas para 
resolver um problema de análise combinató-
ria e as vantagens de uma sobre a outra é, em 
suma, o objetivo principal da Situação de 
Aprendizagem 2 – Análise combinatória: 
raciocínios aditivo e multiplicativo, na qual 
apresentamos e discutimos alguns encaminha-
mentos possíveis para um trabalho pedagógi-
co nessa perspectiva.
A solução de situações-problema envol-
vendo simultaneamente raciocínio combi-
natório e cálculo de probabilidades costuma 
acarretar dificuldades maiores do que aquelas 
em que se aplicam esses conteúdos de manei-
ra inde pendente. Dentre as diversas justificati-
vas possíveis, podemos enunciar o fato de que 
as características conjuntas desses conteúdos 
impedem que os problemas sejam facilmente 
agrupados em tipos-padrão, de maneira que 
resolver um deles sempre passe pela mobiliza-
ção da estratégia de raciocínio que o associa 
a algum anteriormente resolvido e compree n - 
dido, como ocorre, mais facilmente, com 
problemas de outros grupos de conteúdos ma-
temáticos. Essa impossibilidade de padroni-
zação exige, mais do que em outros casos, que 
os alunos mobilizem diversas estratégias de 
raciocínio. Cabe, portanto, ao professor esti-
mular a resolução de diversos problemas de 
análise combinatória e probabilidades com o 
foco voltado para o tipo de raciocínio exigido, 
em vez da clássica separação em problemas tí-
picos, baseada no tipo de operação matemática 
envolvida. Na Situação de Aprendizagem 3 – 
Probabilidades e raciocínio combinatório, 
apresentamos uma possibilidade de abor-
dagem desse tipo de problema com base no 
raciocínio que considera unicamente dois 
aspectos: a independência de dois ou mais 
eventos para os quais se quer calcular a pro-
babilidade e as diferentes possibilidades de 
ordenação para sua ocorrência simultânea.
11
Matemática – 2ª- série – Volume 3
Quadro geral de conteúdos do 3o bimestre da 2a série do Ensino Médio
Unidade 1 – Probabilidades em situações que não exigem raciocínio combinatório – reunião e inter-
seção de eventos; probabilidade condicional.
Unidade 2 – Combinatória: raciocínios aditivo e multiplicativo.
Unidade 3 – Combinatória: agrupamentos ordenados – Arranjos simples.
Unidade 4 – Combinatória: agrupamentos não ordenados – Combinações.
Unidades 5 e 6 – Probabilidades em situações que exigem aplicação do raciocínio combinatório.
Unidades 7 e 8 – Distribuição binomial de probabilidades: o Binômio de Newton e o Triângulo 
de Pascal.
Um cálculo de probabilidades sempre está 
associado a um “sim” e a um “não”, ou a um 
“sucesso” e a um “fracasso”, sem, todavia, 
que esses aspectos sejam expressos por pro-
babilidades iguais. Em outras palavras, nem 
sempre há 50% de chance para o “sim” e 50% 
para o “não”, como no caso da face obser-
vada no lançamento de uma moeda em que 
o “sim” pode ser coroa e o “não” pode ser 
cara. Para o comprador de um número de uma 
rifa, em um total de 200, o “sim” é 0,5% e o 
“não” é 99,5%. O que ocorre com o cálculo 
de probabilidades de eventos que se repetem 
n vezes sob as mesmas condições, isto é, situa-
ções em que “sim” ou “não” são esperados 
cada um, mais de uma vez, como no caso do 
lançamento de quatro dados com o objeti-
vo de se conseguir duas vezes o número seis 
na face superior? A resolução desse tipo de 
problema pode ser associada ao desenvolvi-
mento de um binômio do tipo [(sim) + (não)]n, 
de modo que, assim procedendo, estamos 
atribuindo significado real à busca do termo 
geral do Binômio de Newton, bem como aos 
elementos das linhas do Triângulo de Pascal. 
Na Situação de Aprendizagem 4 – Probabili-
dades e raciocínio combinatório: o binômio de 
newton e o triângulo de Pascal, apresentamos 
uma proposta em que reforçamos a importân-
cia dos problemas de probabilidades que en-
volvem distribuição binomial como elemento 
fundamental para a compreensão dos demais 
casos. 
O bimestre, com base nas considerações 
anteriores, pode ser organizado nas seguintes 
oito unidades, correspondendo, aproximada-
mente, a oito semanas:
12
SITUAçãO DE APRENDIzAgEM 1 
PROBABIlIDADE E PROPORCIONAlIDADE: 
NO INíCIO ERA O jOgO...
A origem organizada do estudo das proba-
bilidades remonta à correspondência trocada 
entre os matemáticos Blaise Pascal e Pierre de 
Fermat, que viveram no século XVII, na qual 
discutiam as chances associadas aos jogos de 
azar, notadamente aos jogos envolvendo ba-
ralhos. Pode-se afirmar que, por muitos anos 
anteriores ao século XIX, o cálculo das pro-
babilidades foi utilizado apenas para prever as 
chances de determinada aposta sair vencedo-
ra em algum jogo. As descobertas da Física, 
notadamente da Mecânica Quântica, condu-
ziram o estudo das probabilidades a um novo 
patamar, no qual algumas ocorrências, no 
mundo do muito pequeno, podem apenas ser 
previstas com determinada margem de segu-
rança. Todavia, apesar das inúmeras aplicações 
atuais do cálculo de probabilidades nos mais di-
versos ramos do conhecimento, como na Econo-
mia e na Medicina, não há exagero em associá-lo 
diretamente aos eventos de um jogo de azar, se 
queremos, de fato, respeitar suas origens.
tempo previsto: 1 semana.
Conteúdos e temas: probabilidade simples, sem necessidade de raciocínio combinatório.
Competências e habilidades: interpretar informações fornecidas por intermédio de diferentes 
linguagens, com o objetivo de calcular e associar um valor de probabilidade a uma situa-
ção-problema.
Estratégias: proposição de jogos pedagógicos.
SitUAÇõES dE APREndizAgEM
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 1
A proposta da Situação de Aprendizagem 1 
parte das seguintes premissas:
o desenvolvimento da teoria sobre o cál- f
culo de probabilidades esteve diretamente 
associado aos jogos de azar;
quando os eventos para os quais se deseja f
calcular a probabilidade de ocorrência não 
envolvem raciocínio combinatório, a fração 
que expressa a probabilidade pode ser enten-
dida como uma razão entre a parte e o todo, 
ideia essa com a qual os alunos convivem 
desde os primeiros anos do segundo ciclodo 
Ensino Fundamental;
13
Matemática – 2ª- série – Volume 3
a probabilidade de ocorrência de dois ou f
mais eventos pode ser calculada, em vá-
rios casos, pela multiplicação das proba-
bilidades de ocorrência de cada um dos 
eventos; 
convém desvincular, inicialmente, os con- f
ceitos associados ao cálculo das probabili-
dades daqueles associados aos problemas 
de contagem envolvendo raciocínio com-
binatório;
o cálculo das probabilidades associadas à f
ocorrência de eventos em jogos pedagógi-
cos é quase intuitivamente realizado por 
crianças e adolescentes, tratando-se, dessa 
maneira, de processo de formalização de 
conhecimentos pré-adquiridos, com vistas 
à posterior extrapolação.
Para contemplar essas premissas, propo-
mos, nesta Situação de Aprendizagem, duas 
atividades com características bem diferentes. 
A primeira delas consiste em uma reconstitui-
ção “infiel” de um momento da história, em 
que um determinado problema tomou a aten-
ção dos matemáticos, e a segunda atividade é 
de fato um jogo pedagógico, descrito adiante, 
que não exige fundamentação teórica anterior 
por parte dos alunos e que, de certa forma, 
prepara o terreno para a formalização concei-
tual necessária, nesse caso, posterior à realiza-
ção do jogo.
Sugerimos ao professor que utilize uma 
semana de seu curso para a discussão do 
cálculo de probabilidades que não exigem 
raciocínio combinatório. Não é aconselhável, 
nesse momento, que os alunos se dediquem 
à resolução de problemas com maior grau 
de dificuldade do que os tipos que compõem 
esta Situação de Aprendizagem.
Atividade 1 – Uma narrativa e um 
problema de probabilidades
Um dos problemas apresentados e dis-
cutidos na correspondência entre os mate-
máticos do século XVII foi o “problema do 
jogo interrompido”, no qual se questionava 
sobre a divisão justa de um prêmio, no caso 
de um determinado jogo não chegar ao fim. 
Como dividir com justiça, por exemplo, um 
prêmio X entre dois competidores A e b que 
disputam uma partida interrompida quando 
o placar apontava 2 × 0 para o competidor A, 
se de acordo com a regra inicial, levaria o 
prêmio total o competidor que vencesse pri-
meiro 3 partidas? Quanto de X deve, nesse 
caso, caber a cada jogador? A fica com tudo? 
b fica com 1
3
 de X e A com 2
3
 de X? 
Para introduzir o cálculo das proba-
bilidades, o professor pode propor a seus 
alunos, durante uma aula de 50 minutos, 
situação semelhante à histórica, aproveitan-
do o momento para compor uma narrativa 
interessante sobre o tema. Nesse sentido, o 
professor poderá contar aos alunos sobre 
um amigo que presenciou uma partida de 
tênis programada para cinco sets, em que o 
vencedor ganharia 40 pontos no ranking da 
confederação. Um dos jogadores precisaria 
vencer primeiro três sets para ganhar o jogo. 
Entretanto, relatou o amigo, a partida foi 
interrompida pela chuva no momento em 
que terminava o terceiro set, com o placar 
apontando dois sets para o jogador A e um 
14
set para o jogador b. Para piorar a situa-
ção, o tal jogo estava sendo disputado no 
último dia possível daquele ano, por volta 
de 30 de dezembro. O que fazer se um ou 
outro jogador pudesse vir a se consagrar 
o número 1 do mundo dependendo do núme-
ro de pontos que conseguisse naquele último 
jogo do ano? Os organizadores do torneio 
se reuniram às pressas e decidiram que os 
40 pontos seriam divididos entre os dois jo-
gadores proporcionalmente à probabilidade 
que cada um teria de sair vencedor, caso a 
partida chegasse ao final. 
Feito o relato, o professor propõe que os 
alunos opinem sobre o destino dos 40 pontos 
e, depois de algum tempo, apresenta a seguin-
te solução:
1o set 2o set 3o set 4o set (não ocorreu) 5o set (não ocorreu)
A vence:
(1 × 0)
b vence:
(1 × 1)
A vence:
(2 × 1)
50% de chance de A 
vencer; o jogo acaba em 
3 × 1
50% de b vencer; o jogo 
empata em 2 × 2 e 
continua
Se A vencer, 3 × 2. 
Chance de 50% de 50%, 
ou 25% para A
Se b vencer, 2 × 3. 
Chance de 50% de 50%, 
ou 25% para b
A análise da tabela mostra que as chances 
de A vencer são iguais a 75%, sendo 50% de 
chance no quarto set e 25% no quinto set. já 
o jogador b tem apenas 25% de chance de ga-
nhar a partida no quinto set. Assim, os 40 pon-
tos devem ser divididos: 30 pontos para A e 
10 pontos para b, respeitando-se, dessa forma, 
a probabilidade de vitória de cada jogador.
Ao final da discussão sobre esse “acon-
tecimento”, o professor pode propor que os 
alunos reflitam sobre uma situação seme-
lhante de um jogo programado para “melhor 
de 7”, isto é, um jogo que termina quando 
um dos participantes ganha primeiro quatro 
rodadas. Nesse caso, supondo dois partici-
pantes, A e b, qual será a probabilidade de 
vitória para cada um deles se o jogo for in-
terrompido quando o placar apontar:
a) 3 × 1 a favor de A?
Observe a tabela a seguir:
No Caderno do Aluno, há uma proposta 
de leitura e análise de texto em que se discu-
tem alguns aspectos com o objetivo de facili-
tar o desenvolvimento dessa atividade.
15
Matemática – 2ª- série – Volume 3
1o set 2o set 3o set 4o set
5o set 
(não ocorreu)
6o set 
(não ocorreu)
7o set 
(não ocorreu)
A vence
(1× 0)
A vence
(2× 0)
B vence
(2× 1)
A vence
(3× 1)
50% de chance 
de A vencer 
(4× 1) 
Acaba o jogo
50% de chance 
de B vencer 
(3× 2)
25% de chance 
de A vencer 
(4× 2) Acaba o 
jogo
25% de chance 
de B vencer 
(3× 3)
12,5% de chance 
de A vencer
12,5% de chance 
de B vencer
Pela análise da tabela, A tem:
50% + 25% + 12,5% de chance de vencer, 
isto é, 87,5% de chance.
b) 2 × 1 a favor de A?
Representando a resolução de outra maneira, 
partindo do resultado até o momento, 2× 1 
para A em três sets disputados:
A observação do esquema indica que as 
chances de A vencer são:
25% + 2 . (12,5%) + 3 . (6,25%) = 68,75%
As chances de B são: 
100% – 68,75% = 31,25% ou, pela adição 
das chances representadas no esquema, 
12,5% + 3 . (6,25%) = 31,25%
Atividade 2 – lançando dois dados: um 
jogo e alguns cálculos de probabilidade
Nesta Situação de Aprendizagem, que deve 
abranger duas aulas consecutivas, propomos 
aproveitar a casualidade envolvida no lança-
mento de dois dados para motivar o estudo de 
alguns casos de probabilidade, por intermédio 
de um jogo pedagógico.
Cada face de um dado comum tem 
1
6
 de 
chance de ocorrência em um lançamento. 
lançando-se dois dados, são 36 as possibili-
dades de ocorrência de resultados nas duas 
3×1
4×1
3×2
3×2
2×2
2×3
2×4
4×2
4×2
3×3
3×3
3×3
4×3
4×3
4×3
3×4
3×4
3×4
16
faces (dois lançamentos sucessivos ou dois 
dados diferentes); assim, cada par de faces tem 
probabilidade de ocorrência de 
1
36
. Há uma 
grande variedade de problemas associados ao 
lançamento de dados que podem ser explora-
dos pelo professor para introduzir a definição 
teórica de que a probabilidade, em situações 
em que todas as ocorrências são igualmente 
prováveis, é a razão entre a parte e o todo, ou 
entre o número de elementos do evento e o nú-
mero de elementos do espaço amostral:
P E
n E
n S
( ) = ( )( )








No caso de dois dados diferentes, como no 
jogo sugerido a seguir, o número de elementos 
do espaço amostral é sempre igual a 36. Esse 
fato deve estimular o professor a postergar para 
o final do jogo qualquer teorização, visto que 
os alunos conseguem calcular a probabilidade 
apenas a partir do raciocínio proporcional que 
trazem dos anos anteriores. No entanto, tal 
formalização precisa serrealizada a fim de que 
outros casos, além do lançamento de dados, pos-
sam ser analisados na sequência dos estudos.
Descrição do jogo e instruções para a 
aplicação
1) Material do jogo (para cada grupo de 
4 alunos).
Dois dados; um deles com as faces conten- f
do os números ímpares pintados de azul, e 
os pares de vermelho; e o outro com as faces 
contendo os números pares pintados de azul, 
e os ímpares de vermelho.
Duas fichas de acompanhamento, uma para f
cada dupla de alunos, semelhante ao modelo 
seguinte, que poderá ser reproduzido pelos 
alunos em seu caderno.
Ficha de acompanhamento
Rodada Apostas Probabilidade Resultado débito/Crédito
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
total ...................................
17
Matemática – 2ª- série – Volume 3
Um tabuleiro, semelhante ao modelo seguinte, que pode ser produzido pelos alunos ou disponi- f
bilizado pelo professor.
2) instruções para o jogo – nível 1
A classe deve estar dividida em grupos de 
quatro alunos cada. A competição, em cada 
grupo, ocorrerá na forma de dupla contra 
dupla.
Cada dupla recebe uma ficha de acompa-
nhamento para o registro das apostas. Neste 
nível, as duplas podem apostar apenas nos 
eventos relacionados no tabuleiro na parte 
“jogo Básico”.
Antes que algum participante lance os da-
dos, cada dupla escolhe um evento, apenas 
um, registra sua aposta na ficha de acompa-
nhamento e, o mais importante, registra a pro-
babilidade de ocorrência do evento escolhido. 
Veja o exemplo a seguir:
AnEXO – nível 2 JOgO báSiCO – nível 1
Número par e 
outro ímpar
Números 
iguais nos dois 
dados
1 2 3 4 5 6 Q1
Números pares 
nos 2 dados
Número primo 
nos dois dados 1 Q2
Números cujo 
produto é par
Números cuja 
soma é 6 2 Q3
Números cuja 
soma é 5
Números que 
estão em Q1
3 Q4
Número par 
em um dado
Números cuja 
soma é maior 
que 8
4 VERMElhO
Número 6 em 
um dos dados
Números cujo 
produto é 
ímpar
5 VERdE
Um número 
é o dobro do 
outro
Números pri-
mos entre si 6 AzUl
Q2
Q3
Q1
Q4
18
Exemplo de derrota
Rodada Aposta Probabilidade Resultado débito/Crédito
1 2 . Q2
9
36
1
4
= (2; 5) – 2
Exemplo de vitória
Rodada Aposta Probabilidade Resultado débito/Crédito
1 2 . Q2
9
36
1
4
= (1; 3) + 8
A dupla perde as 2 
fichas que apostou.
A dupla ganha 8 fichas no total, 
pois apostou 2 e a probabilidade 
foi de 1 para 4. Isto é, para cada 
ficha apostada obtêm-se 4 fichas.
O par (2; 5) pertence a Q1. 
Portanto, o evento selecionado 
não ocorreu.
O par (1; 3) pertence a Q2. 
Portanto, ocorreu o evento 
selecionado.
Rodada Aposta Probabilidade Resultado débito/Crédito
1 2 . Q2
9
36
1
4
=
Aposta de 2 
fichas em Q2.
Há 9 resultados possíveis em Q2 entre o 
total de 36 resultados possíveis.
Feitos os registros, são lançados os dados 
e observados os resultados das faces superio-
res. O passo seguinte é o cálculo do crédito 
ou do débito, dependendo, res pectivamente, 
de ter ocorrido ou não o even to escolhido. 
Não tendo sido sorteado o evento escolhi-
do, a dupla perde as fichas apostadas. Em 
caso de acerto, a probabilidade determina o 
número de fichas a serem recebidas. Veja os 
exemplos:
19
Matemática – 2ª- série – Volume 3
As fichas obtidas por uma dupla, em cada 
rodada, precisam ser validadas pela dupla opo-
nente, que somente o fará no caso de julgar cor-
reto o cálculo da probabilidade. Não é permitido 
à dupla escolher mais de uma vez cada evento.
Após um determinado número de rodadas, 
combinado previamente pelas duplas, ou um 
prazo estabelecido pelo professor, contam-se 
as fichas. A dupla com maior número de fichas 
é a vencedora.
3) instruções para o jogo – nível 2
Repetem-se as instruções do nível 1, levan-
do-se em conta, nessa fase, os eventos do Anexo 
– nível 2, que ampliam a diversidade dos cálcu-
los das probabilidades. Nesse nível é permitido 
que as duplas criem eventos além daqueles do 
tabuleiro, como “pares da linha superior do ta-
buleiro” ou “apenas números azuis”.
Vale repetir que após a realização dos 
dois jogos, será importante que o profes-
sor formalize a definição teórica de pro-
babilidade em situações simples em que os 
eventos constituintes básicos ocorrem com 
chances iguais, como a razão entre o núme-
ro de elementos do evento e o número de 
elementos do espaço amostral. Além disso, 
o professor poderá propor aos alunos al-
guns exercícios sobre o tema, envolvendo 
outros contextos que não o dos jogos, com 
duplo objetivo. Por um lado, fixar o concei-
to que acabam de vivenciar no jogo e, por 
outro, preparar o terreno para a apresen-
tação de problemas que exijam raciocínio 
combinatório.
Problema 1 – Observe a tabela com as quan-
tidades de peças de formatos e cores diferentes 
que foram colocadas em uma caixa.
Outro exemplo de vitória
Rodada Aposta Probabilidade Resultado débito/Crédito
1 2 . Q2
9
36
1
4
= (1; 3) + 8
2 3 . (verde)
8
36
2
9
= (6; 3) + 13,5
A dupla ganha 13,5 fichas no total, 
pois apostou 3, e a probabilidade 
foi de 2 para 9. Isto é, para cada 2 
fichas apostadas obtêm-se 9 fichas.
O par (6; 3) está associado a 
uma quadrícula de cor verde do 
tabuleiro. Portanto, ocorreu o 
evento selecionado.
20
2ª- A 2ª- b 2ª- C 2ª- d 2ª- E 2ª- F
nível 1 12 14 12 11 13 12
nível 2 9 8 11 10 10 9
nível 3 10 8 7 7 6 9
nível 4 3 2 3 4 5 5
total de alunos 34 32 33 32 34 35
triangulares Circulares Retangulares total
brancas 12 10 6 28
Pretas 15 11 7 33
Amarelas 8 9 2 19
total 35 30 15 80
Sorteando uma das peças dessa caixa, qual 
é a probabilidade de que ocorra uma peça:
a) triangular?
35
80
 = 43,75%
b) amarela retangular?
2
80
 = 2,5%
c) não circular?
50
80
 = 62,5%
d) não preta?
47
80
 = 58,75%
e) circular não preta?
19
80
 = 23,75%
f) não circular e não preta?
28
80
 = 35%
Problema 2 – Os 200 alunos das seis clas-
ses da 2a série do Ensino Médio de uma escola 
fi zeram um teste na aula de Educação Física e 
foram classifi cados em quatro níveis, de acordo 
com a resistência física maior ou menor. Alunos 
de nível 4 são mais resistentes do que alunos de 
nível 3, que, por sua vez, são mais resistentes 
que alunos de nível 2 e assim por diante. Os 
resultados desse teste estão representados na 
tabela seguinte:
21
Matemática – 2ª- série – Volume 3
Um dos alunos da 2a série dessa escola 
será sorteado. Qual é a probabilidade de o 
aluno sorteado:
a) estudar na 2a D?
32
200
 = 16%
b) não estudar na 2a A nem na 2a B?
134
200
 = 67 %
c) ter conseguido nível 3 no teste?
47
200
 = 23,5%
d) ter conseguido nível abaixo de 3 no teste?
131
200
 = 65,5%
Problema 3 – Em relação à tabela apresen-
tada no problema anterior, se for sorteado um 
aluno da 2a série C e outro da 2a série E, de 
qual dessas classes é mais provável ocorrer um 
aluno com nível superior a 2 no teste? 
A probabilidade de que um aluno da 2a C tenha 
nível superior a 2 é 10
33
 , enquanto a probabili-
dade correspondente para um aluno da 2a E é 
igual a 11
34
. Assim, é maior a chance de sortear
na 2a E um aluno com nível superior a 2.
Problema 4 – Dos 300 alunos de uma escola, 
45% são meninas, sendo que apenas 20% delas 
têm idade acima de 16 anos. Dentre os meninos, 
40% têm idade acima de 16 anos. Sorteando um 
dos alunos dessa escola, qual é a probabilidade 
de que seja sorteado um menino com idade igual 
ou menor que 16 anos?
Podemos organizar os dados em uma 
tabela:
Idade Meninos Meninas Total
Acima de 16 anos
(40%) 
66
(20%)27
93
16 anos ou menos
(60%) 
99
(80%) 
108
207
Total
(55%) 
165
(45%) 
135
300
Há nessa escola 99 meninos com idade me-
nor ou igual a 16 anos. Assim, a probabilida-
de procurada é 99
300
= 33%.
Problema 5 – Em relação aos dados do pro-
blema anterior, considere agora o caso do sor-
teio de uma pessoa que, se sabe de antemão,
terá idade acima de 16 anos. Nessa condi-
ção, qual é a probabilidade de que seja sorteada 
uma menina?
Trata-se de um problema envolvendo o 
cálculo de uma probabilidade condicional. 
Cabe ao professor chamar a atenção dos 
alunos para o fato de que o conhecimento 
prévio de uma condição – ter idade acima 
de 16 anos – determina um novo espaço 
amostral. Para o cálculo da probabilidade 
desejada, devemos considerar o sorteio de 
uma menina dentre as pessoas com idade 
superior a 16 anos. 
Quantidade de pessoas com idade superior a 
16 anos: 93.
Meninas com idade superior a 16 anos: 27.
P(menina com idade superior a 16 anos) = 
= 
27
93
29≅ %.
22
Sugerimos que o professor aborde outros 
problemas envolvendo probabilidade condi-
cional, mantendo inicialmente o contexto dos 
dois últimos problemas, como:
Qual é a probabilidade de sortear um f
menino e ele ter 16 anos ou menos de 
idade?
99
165
Sorteada uma pessoa, verifi ca-se que tem f
idade superior a 16 anos. Qual é a probabi-
lidade de ser um menino?
66
93
Em seguida, o professor poderá recuperar 
o contexto dos Problemas 1 e 2, elaborando 
outros problemas envolvendo probabilidade 
condicional, como estes:
(No Problema 1) – Sorteando uma das pe- f
ças retangulares, qual é a probabilidade de 
ela ser amarela?
2
15
(No Problema 2) – Um aluno foi sorteado f
e sabe-se que ele está no nível 2. Qual é a 
probabilidade de que ele estude na 2a C?
11
57
Por fi m, o professor poderá solicitar que 
seus alunos criem problemas, enunciando-os 
corretamente, para serem trocados, resolvidos 
e corrigidos por eles mesmos.
Considerações sobre a avaliação
Os objetivos traçados inicialmente para 
esta Situação de Aprendizagem consis-
tem no reconhecimento da probabilidade 
enquanto o resultado de uma relação en-
tre quantidade de resultados esperados e 
quantidade de resultados possíveis, isto é, 
em uma relação do tipo parte-todo, repre-
sentada por um número racional escrito na 
forma de uma razão, de um decimal ou de 
uma porcentagem. 
A aprendizagem dos alunos nessa etapa 
pode ser avaliada a partir de situações-pro-
blema semelhantes àquelas propostas na Si-
tuação de Aprendizagem (Problemas 1 a 5), 
que envolvem não apenas a escrita de uma 
razão, mas também a leitura e a compreen-
são de condições expressas por intermédio 
de enunciados mais elaborados ou por in-
termédio de dados registrados em tabelas 
de dupla entrada. Busca-se, dessa maneira, 
avaliar competências relacionadas à leitura 
e à escrita, utilizando-se, para tanto, con-
textos relativos à realização de experimentos 
aleatórios.
23
Matemática – 2ª- série – Volume 3
SITUAçãO DE APRENDIzAgEM 2 
ANálISE COMBINATóRIA: RACIOCíNIOS ADITIVO E 
MUlTIPlICATIVO
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 2
A análise combinatória trata dos pro-
blemas que envolvem a contagem de casos 
em situações de agrupamentos de determi-
nado número de elementos, como calcular, 
por exemplo, quantos grupos diferentes de 
3 pessoas podem ser formados a partir de 6 in-
divíduos disponíveis; quantos gabaritos dife-
rentes podem ser feitos em uma prova do tipo 
teste com 10 questões e 5 alternativas cada, 
ou quantas filas diferentes podem ser forma-
das permutando a ordem entre 7 pessoas. Há 
infinitas possibilidades de agrupamentos, de-
pendendo das condições a serem respeitadas 
pelos elementos do grupo formado. 
A infinidade de problemas envolvendo 
agrupamentos se contrapõe aos pouquíssimos 
recursos algébricos e aritméticos necessários 
tempo previsto: 3 semanas.
Conteúdos e temas: casos de agrupamento.
Competências e habilidades: identificar em diferentes agrupamentos a necessidade ou não 
da ordenação entre seus elementos; interpretar informações fornecidas por intermédio de 
diferentes linguagens, com o objetivo de calcular e associar um valor de probabilidade a uma 
situação-problema.
Estratégias: resolução de situações-problema exemplares.
para sua resolução. De fato, 100% desses ca-
sos são resolvidos por intermédio de uma ou 
mais operações elementares entre números 
naturais: adição, subtração, multiplicação e 
divisão. Elas exigem a mobilização de estra-
tégias de raciocínio semelhantes, quase sem-
pre envolvendo uma das principais ideias da 
operação de multiplicação, a saber, o raciocí-
nio combinatório. Para calcular, por exemplo, 
quantos conjuntos de saia e blusa uma meni-
na pode formar se ela dispõe de 4 saias e de 
5 blusas, imaginamos que cada saia pode com-
binar-se com 5 blusas diferentes. Como são 
4 saias, fazemos 4 . 5 = 20. Quando, no Ensi-
no Fundamental, as crianças deparam com 
problemas dessa natureza, são convidadas a 
representar a solução por meio de uma ár-
vore de possibilidades, que, de certa forma, 
faz transparecer a estratégia de raciocínio 
que mobilizam.
24
No Ensino Médio, no entanto, muitos cursos 
abandonam a ideia da representação da solução 
por meio das árvores e passam a priorizar a clas-
sificação dos problemas em alguns tipos – per-
mutações, arranjos e combinações – que, segun-
do essa opção didática, podem ser resolvidos a 
partir da aplicação de fórmulas matemáticas. 
Consideramos que o ensino de análise 
combinatória e probabilidades a partir desse 
enfoque deixa de favorecer a diversidade de 
estratégias de resolução e, consequentemente, 
de percursos de aprendizagem uma vez que 
a representação da solução do problema 
por intermédio de desenhos e/ou diagra-
mas e/ou tabelas é um dos comportamentos 
heurísticos reconhecidos como um dos mais 
importantes a serem mobilizados pelos estu-
dantes quando enfrentam situações que são 
de fato problemas. Representar por desenhos 
a solução de um problema de Física ou de 
Química é algo tão corriqueiro que alunos e 
professores quase não se dão conta de que o 
estão fazendo todo o tempo. 
Em Matemática, excetuando-se em alguns 
casos a geometria, poucos são os momentos 
em que os alunos são exigidos a mobilizar 
tais estratégias de raciocínio, sendo mais 
comum aplicar em novas situações os mo-
delos anteriormente utilizados e que trazem 
à lembrança naquele momento. Se o resul-
tado dessa busca por “problemas análogos 
anteriormente resolvidos” costuma dar bons 
resultados em vários tópicos de conteúdos 
matemáticos, é bastante inócuo para a reso-
lução de problemas de análise combinatória, 
uma vez que, como citado anteriormente, a 
diversidade de critérios de agrupamento é tão 
grande que muitas vezes é impossível asso-
ciar uma situação-problema atual a alguma 
categoria anteriormente construída.
Com base nessas premissas, consideramos 
fundamental que os alunos encarem cada situa- 
ção-problema desse conteúdo como se a estives-
sem fazendo pela primeira vez, de maneira que 
explicitem o raciocínio que adotam por intermé-
dio de desenhos, diagramas, etc. Nesse contexto, 
a representação das árvores de possibilidades é 
prioridade, se não em 100% dos problemas, mas 
sempre que sentirem uma nova dificuldade.
Blusa 1
Blusa 3
Blusa 2
Blusa 4
Blusa 5
Saia 1 ou 2 
ou 3 ou 4
No Caderno do Aluno são propostos al-
guns problemas e exercícios para que os alu-
nos possam utilizar diversos procedimentos e 
registros, sobretudo os diagramas de árvorespara favorecer a consolidação de noções en-
volvidas na contagem e/ou cálculo de núme-
ros de agrupamentos solicitados.
A adoção da representação das resoluções por 
intermédio das árvores ilustra os dois principais 
tipos de raciocínio envolvidos na totalidade dos 
25
Matemática – 2ª- série – Volume 3
problemas de análise combinatória: o raciocínio 
aditivo e o raciocínio multiplicativo. Considere-
mos o exemplo clássico da contagem do número 
de anagramas (agrupamentos formados pelas 
mesmas letras em diferentes ordens), de uma 
palavra sem letras repetidas.
CAbO
A contagem individual dos casos é, de fato, o 
embrião do raciocínio aditivo, semelhante ao que 
um estudante realiza no processo de contagem 
que denominamos vulgarmente de “mais um”, 
em que ele adiciona uma unidade a um numeral 
com o objetivo de obter o próximo. Nessa situa-
ção, o aluno escreve todos os anagramas come-
çando por uma das letras, C, por exemplo.
CAbO, CAOb, CbAO CbOA, 
CObA e COAb
Em seguida, imagina que o mesmo número 
de anagramas, 6 nesse caso, seria obtido para 
qualquer uma das demais 3 letras no início. 
Daí, pode-se fazer 6 + 6 + 6 + 6 ou, já em uma 
primeira aproximação ao raciocínio multipli-
cativo, fazer 4 . 6 = 24 anagramas.
É importante respeitar resoluções que utili-
zam prioritariamente o raciocínio aditivo, va-
lorizando-as e, ao mesmo tempo, apresentar 
outra possibilidade que considera o raciocínio 
multiplicativo com a representação da árvore 
de possibilidades.
2. . 13
letra 1 letra 3letra 2 letra 4
O
B
B
O
A
BA
AB
O
O
A
A
O
BC
26
Com base nesse critério, os dois primeiros 
tipos de problemas a serem apresentados aos 
alunos envolvem os modelos dos anagramas 
sem e com letras repetidas. 
Atividade 1 – Formação de filas sem e com 
elementos repetidos
A apresentação de problemas da categoria 
que denominamos “formação de filas”, ou 
seja, problemas que envolvem agrupamentos 
ordenados de elementos, tem duplo objetivo. 
Por um lado, reforçar a mobilização do racio-
cínio multiplicativo e, por outro, apresentar o 
número fatorial (n!) como o fator que nos dá a 
quantidade das diferentes ordenações em um 
agrupamento de n elementos. Para atingir es-
ses objetivos, propomos que o professor apre-
sente e discuta com seus alunos os seguintes 
problemas, utilizando a árvore de possibilida-
des quando julgar necessário.
Problema 1 – Quantos anagramas diferentes 
podemos formar com as letras das palavras:
a) BIA b) NICO
c) lUCIA d) CAMIlO
a) 3 . 2 . 1 = 6
b) 4 . 3 . 2 . 1 = 24
c) 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
d) 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
Em resumo, julgamos importante valori-
zar resoluções que mobilizam apenas raciocí-
nio aditivo e, partindo delas, extrapolar para 
resoluções que mobilizem o raciocínio multi-
plicativo. Nessa condição, a árvore de possi-
bilidades é importante recurso a ser adotado 
durante o tempo que o professor e cada aluno 
julgarem necessário.
A Situação de Aprendizagem 2, que ora 
propomos, parte dos princípios apontados 
anteriormente a respeito da importância da 
representação das resoluções com a utilização 
da árvore de possibilidades e, ainda, sobre a 
ineficácia da aplicação de fórmulas de cálcu-
lo para um grande número de problemas de 
agrupamentos. Assim, o que apresentamos 
nesta Situação de Aprendizagem é uma pos-
sibilidade de abordagem da análise combi-
natória que considera essas premissas, e que 
pode priorizar a principal metodologia para 
o tratamento de conteúdos matemáticos: a da 
resolução de problemas.
O principal critério adotado para a apre-
sentação dos conceitos será, nesta proposta, o 
fato de que há agrupamentos em que a ordem 
entre os elementos deve ser respeitada, e há 
agrupamentos em que a ordem dos elementos 
pode ser alterada, sem que isso conduza a um 
novo agrupamento. Classicamente, esses dois 
tipos correspondem, respectivamente, aos ca-
sos de arranjos e de combinações simples. Não 
julgamos importante que os alunos conheçam, 
de início, essa nomenclatura, mas que, em al-
gum momento, a critério do professor, isso 
lhes seja apresentado.
A apresentação de palavras com número 
crescente de letras estimula a indução de que 
o número de ordens de um agrupamento de n 
elementos é n!.
27
Matemática – 2ª- série – Volume 3
Problema 3 – Quantos anagramas podem 
ser formados com as letras das palavras:
a) ANA b) CASA
c) CABANA d) BANANA
a) (3 . 2 . 1) ÷ 2 = 3 
b) (4 . 3 . 2 . 1) ÷ 2 = 12
c) (6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1) ÷ 6 = 120
d) [(6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1) ÷ 2] ÷ 6 = 
= (6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1) ÷ 12 = 60
O professor deverá discutir com seus alu-
nos que o fatorial pode ser usado para gene-
ralizar a contagem das ordens e também para 
descontar a troca de ordem entre elementos 
Problema 4 – Sete pessoas, sendo três meni-
nas e quatro meninos, formarão uma fila. Des-
considerando a individualidade e considerando 
apenas o sexo dessas pessoas, quantas ordena-
ções diferentes poderá ter a fila formada?
Considerando a individualidade teremos 7! 
ordenações diferentes para filas formadas. 
No entanto, considerando a fila formada 
apenas por homens (H) e mulheres (M), 
teremos um caso semelhante ao do cálculo 
do total de anagramas de uma palavra de 
7 letras com algumas repetidas, do tipo 
HHHHMMM, cujo total é o resultado 
da divisão de 7! pelo produto entre 4! e 
3!. Assim o total de ordenações possíveis 
é 
7
4 3
35
!
! !
= .
A compreensão desse tipo de exercício é 
fundamental para que, no futuro, o cálculo das 
Problema 2 – Sete pessoas formarão ao 
acaso uma fila indiana. Em quantas ordena-
ções diferentes poderá ser formada a fila?
7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 7! = 5 040 ordenações.
Nesse momento, será possível generalizar 
que o número de ordenações em uma fila de 
n elementos é n!. Sugerimos que o professor, 
nesse mesmo exercício, proponha problemas 
com algumas características especiais de alguns 
elementos, como, que Fulano ocupe sempre o 
primeiro lugar, que Fulano e Beltrano sempre 
estejam juntos, etc. Em seguida, feitas as gene-
ralizações pertinentes, o caminho estará aberto 
para que sejam discutidos os casos de ordena-
ções contendo elementos repetidos, conforme 
propostas nos exercícios seguintes.
repetidos. Assim, por exemplo, no caso da 
palavra BANANA, o número de anagramas 
pode ser generalizado para a divisão entre 6!, 
correspondendo ao total de anagramas no 
caso de 6 letras não repetidas, dividido por 
2! devido à troca, que não deve ser contada, 
entre os “2Ns”, e ainda por 3! devido à tro-
ca, que não deve ser contada, entre os “3As”. 
Discutidos esse e outros exemplos envolven-
do anagramas que o professor julgar neces-
sário, propomos que o contexto seja alterado 
para a contagem de ordenações possíveis en-
volvendo pessoas em filas, como sugerido no 
próximo exercício.
28
qualquer dos 5 binômios por 2 “Bs”, também 
de qualquer dos 5 binômios. Quantos termos 
iguais com parte literal igual a A3B2 aparecerão?
Temos de considerar todas as trocas de ordem 
entre os elementos de um agrupamento do 
tipo AAABB, o que pode ser obtido por:
5
3 2
10
!
! !
= .
Atividade 2 – Formação de grupos com 
elementos de uma ou mais categorias
Estamos considerando “grupo de elemen-
tos” o tipo de agrupamento em que a troca 
de ordem entre seus elementos não conduz à 
formação de um agrupamento diferente. Em 
outras palavras, um grupo, nessa definição, é 
uma combinação de n elementos, tomados p a 
cada vez. Assim, distinguimos os dois grupos 
básicosde agrupamentos a partir do critério 
de serem ou não ordenáveis. Uma fila é um 
conjunto ordenado, enquanto um grupo nor-
malmente não é. Estudado o caso do cálculo 
da quantidade de ordenações diferentes em 
uma fila com a introdução do fatorial, trata-
remos agora de analisar o caso da formação 
dos grupos não ordenáveis, partindo do cál-
culo da quantidade de grupos ordenáveis. Um 
problema clássico pode nos ajudar a pensar 
sobre o assunto: Quantos grupos diferentes de 
3 pessoas podem ser formados a partir de um 
grupo de 7 pessoas?
Problema 5 – Um jogo de futebol entre 
duas equipes, A e B, terminou empatado em 
3 × 3. Alguém que não assistiu ao jogo pre-
tende descobrir a ordem em que ocorreram 
os gols. Será que A começou ganhando e B 
empatou? Será que B fez 3 × 0 e depois A ten-
tou reverter a situa ção? Enfim, como foram 
saindo os gols nessa partida? Quantas or-
denações possíveis existem para os gols que 
ocorreram nessa partida?
Trata-se de um problema semelhante aos 
anteriores, em que devem ser contadas todas 
as ordenações diferentes de uma sequência 
do tipo AAABBB. O resultado pode assim 
ser obtido: 
6
3 3
20
!
! !
= .
Problema 6 – Aplicando a propriedade dis-
tributiva e desenvolvendo o binômio (A + B)5, 
isto é, fazendo (A + B).(A + B).(A + B).(A + B). 
(A + B), aparecerá um termo igual a A5 e um 
termo igual a B5. No entanto, aparecerão 
vários termos com parte literal igual a A3B2, 
decorrentes da multiplicação entre 3 “As” de 
combinações de n elementos tomados p a cada 
vez possa ser apresentado sem sobressaltos. 
Assim, antes de evoluir nos conceitos, sugeri-
mos que o professor apresente a seus alunos 
mais alguns problemas desse tipo, como os 
que se seguem.
29
Matemática – 2ª- série – Volume 3
7
6
5
4
2
7
6
5
3
2
7
6
4
3
2
7
5
4
3
2
6
5
4
3
2
7
6
5
4
3
7
6
5
3
2
1 4
3º- lugar1º- lugar 2º- lugar
30
Para resolver esse problema, partimos do 
cálculo já conhecido dos alunos do número 
de filas de 3 elementos (conjuntos ordená-
veis) que poderiam ser construídas a partir de 
7 elementos disponíveis. Para tanto, represen-
tamos a resolução pela árvore seguinte, em 
que os elementos são identificáveis pelos alga-
rismos de 1 a 7.
Espera-se que, nesse estágio, os alunos com-
preendam que o trecho da árvore apresenta 
6 . 5 = 30 ordenações possíveis, todas iniciadas 
pelo elemento (1), e que outras tantas seriam 
obtidas se a ordenação começasse por qual-
quer dos demais 6 elementos. Assim, o total de 
ordenações, nesse caso, é igual a 7 . 6 . 5 = 210. 
Calculada a quantidade de ordenações, 
as questões que se propõem são: Quantas 
dessas ordenações são formadas pelos mes-
mos 3 elementos? Considerando uma dessas 
ordenações, como (1), (2) e (3), quantas 
outras contêm esses mesmos elementos? Para 
responder, retomamos os problemas ante-
riormente resolvidos, mostrando que haverá 
3! = 6 ordenações possíveis. Portanto, quais-
quer 3 elementos que considerarmos dentre 7, 
permitirão 3! = 6 ordenações possíveis. Assim, 
se temos 7 . 6 . 5 conjuntos ordenáveis, temos 
(7 . 6 . 5) ÷ 3! conjuntos não ordenáveis, e a res-
posta do problema é 210 ÷ 6 = 35 grupos dife-
rentes de 3 pessoas.
De acordo com a linha de raciocínio expos-
ta, trata-se de abordar os problemas envolvendo 
as combinações segundo a lógica de primeiro 
calcular o número de arranjos – conjuntos or-
denados – para em seguida descontar do valor 
obtido a troca de ordem entre os elementos de 
cada agrupamento. Assim procedendo, estare-
mos, ainda sem maiores formalizações algébri-
cas, induzindo o raciocínio dos alunos para a 
relação entre os arranjos simples e as combina-
ções, isto é, C
A
pn,p
n p,
!
= . Esta questão será es-
pecialmente contemplada nos Problemas 7 e 8 
desta Situação de Aprendizagem.
Com base nesses argumentos, apresenta-
mos sugestões de algumas situações-problema 
para o professor trabalhar com seus alunos.
Problema 1 – Cinco pessoas, Arnaldo, 
Benedito, Carla, Débora e Eliane, estão juntas 
em uma sala. 
a) Quantos agrupamentos ordenáveis diferen-
tes (filas) de 5 pessoas podem ser formados 
com essas 5 pessoas?
5! = 120 agrupamentos.
b) Quantos agrupamentos não ordenáveis di-
ferentes (grupos) de 5 pessoas podem ser 
formados com essas 5 pessoas?
Apenas 1 grupo, que pode ser entendido 
como o resultado obtido da divisão de 5!, da 
contagem da ordenação, por 5!, do desconto 
da não ordenação.
c) Quantos grupos diferentes de 2 pessoas 
podem ser formados com as pessoas pre-
sentes na sala? 
Considerando um conjunto ordenável de 
elementos, teríamos 5 . 4 = 20 agrupamentos. 
Descontando a não ordenação implícita na 
formação de um grupo de pessoas, fazemos 
5 4
2
⋅ = 10 grupos.
31
Matemática – 2ª- série – Volume 3
Convém discutir com os alunos o fato de 
que questões como essa, do item c, podem ser 
resolvidas também pela mobilização do ra-
ciocínio aditivo, muito embora essa não seja a 
forma mais recomendável. Nesse caso, o proces-
so seria este:
A B C D E
4 + 3 + 2 + 1 = 10
4
2
1
3
Conjuntos ordenáveis de 2 bolas brancas: f
4 . 3 = 12
Conjuntos não ordenáveis de 2 bolas bran- f
cas: 4 . 3 ÷ 2 = 6
Conjuntos ordenáveis de 2 bolas pretas: f
6 . 5 = 30
Conjuntos não ordenáveis de 2 bolas pretas: f
6 . 5 ÷ 2 = 15
Conjuntos não ordenáveis de 2 bolas brancas f
e 2 bolas pretas: 6 . 15 = 90 conjuntos.
lembrando que a soma dos termos de 
uma progressão aritmética, semelhante à ob-
tida pela aplicação do raciocínio aditivo nes-
te caso, pode ser calculada por ( )a a n
2
+
⋅
1 n , 
podemos mostrar aos alunos que a adição 
4 + 3 + 2 + 1 = 5 4
2
. é igual à expressão obtida 
pela aplicação do raciocínio multiplicativo.
Problema 2 – Há 10 bolas em uma caixa, 
todas iguais com exceção da cor, sendo 4 bolas 
brancas e 6 bolas pretas. Quantos conjuntos 
de 4 bolas podem ser formados sendo:
a) todas brancas?
Apenas 1, que pode ser entendido como o 
resultado da divisão de 4! por 4!.
b) 2 brancas e 2 pretas? 
Podemos calcular, de forma independente, o 
número de grupos contendo 2 bolas brancas e 
o número de grupos contendo 2 bolas pretas, 
para, ao final, multiplicá-los. 
Nesse tipo de problema, em que mais de 
uma categoria está presente no grupo (ho-
mem/mulher, bola branca/bola preta, etc.) 
é importante calcular a quantidade de agru-
pamentos de cada categoria para, depois, 
mostrar aos alunos que a quantidade total, 
envolvendo todas as categorias, pode ser ob-
tida pelo produto das quantidades parciais. 
Nesses casos, para eliminar dúvidas, sugeri-
mos que o professor recorra novamente à ár-
vore. No caso anterior, dos grupos de 4 bolas, 
sendo 2 brancas e 2 pretas, depois de calculada 
a quantidade de grupos de cada cor, poderia 
ser feita a seguinte árvore:
P1
P2
P3
P4
.
.
.
P15
B1
grupos de 
bolas pretas
grupos de 
bolas brancas
32
Notamos pela árvore simplificada que o 
grupo B1 de bolas brancas pode ser associado 
a qualquer 1 dos 15 grupos diferentes de bo-
las pretas. Assim, como são 6 grupos de bolas 
brancas, teremos 6 . 15 = 90 grupos no total.
Dentre a extensa série de situações-proble-
ma que o professor pode utilizar para com-
pletar a aprendizagem, sugerimos os seguintes 
problemas, que podem ser preferencialmente 
resolvidos apenas com a mobilização dos ra-
ciocínios aditivo ou multiplicativo em detri-
mento do uso de fórmulas ou algoritmos:
Problema 3 – Sobrea prateleira de um la-
boratório repousam 8 substâncias diferentes. 
Quantas misturas diferentes com iguais quan-
tidades de 2 dessas substâncias podem ser 
 feitas se:
a) não houver qualquer restrição? 
Trata-se de formar um conjunto não ordenado 
de dois elementos a partir de 8 disponíveis, o 
que pode ser calculado da seguinte maneira: 
8 . 7 ÷ 2 = 28 misturas diferentes.
b) entre elas há 3 substâncias que não podem 
ser misturadas duas a duas por formarem 
composto que exala gás tóxico?
Podemos calcular o total de grupos de 2 
elementos, como no item anterior, e dele 
retirar o número de agrupamentos não 
ordenados de 2 elementos que podem 
ser formados a partir das 3 substâncias 
“perigosas”: 3 . 2 ÷ 2 = 3 grupos. Assim, a 
resposta procurada é 28 – 3 = 25 misturas 
diferentes.
Problema 4 – Uma seleção de basquete com 
5 jogadores será formada considerando-se 
atletas de apenas duas equipes: A e b. Da equi-
pe A, que possui 12 atletas, serão selecionados 
2, enquanto a equipe b, que possui 10 atle-
tas, cederá 3 para a seleção. Se todos os atletas 
têm igual potencial de jogo, quantas seleções 
diferentes poderão ser formadas?
Um time de basquete é, claramente, um 
agrupamento não ordenável. Como temos 
duas categorias envolvidas, atletas da 
equipe A e atletas da equipe B, trata-se 
de calcular individualmente a quantidade 
de grupos formados a partir de cada equipe 
para, no final, multiplicá-los e obter a 
quantidade total. 
Grupos de 2 atletas obtidos a partir dos 12 
da equipe A: 12 . 11 ÷ 2 = 66 grupos.
Grupos de 3 atletas obtidos a partir dos 10 
da equipe B: 10 . 9 . 8 ÷ 3! = 120 grupos.
Grupos de 5 atletas, sendo 2 de A e 3 de B: 
66 . 120 = 7 920 grupos.
Problema 5 – A partir de um conjunto de 
15 bolas iguais, a não ser pela cor, sendo 8 brancas, 
4 pretas e 3 amarelas, serão formados grupos de 
3 bolas. De quantas maneiras diferentes poderão 
ser formados esses grupos se não são desejáveis 
grupos contendo bolas de uma única cor?
Podemos calcular, inicialmente, a quantidade 
de grupos indesejáveis, isto é, formados 
apenas por bolas pretas, apenas por bolas 
brancas ou apenas por bolas amarelas. 
33
Matemática – 2ª- série – Volume 3
Em seguida, calculamos o total de grupos 
de 3 bolas obtidos a partir das 15 bolas 
disponíveis. Por fim, subtraímos do total de 
grupos a quantidade de grupos indesejáveis.
Grupos não ordenáveis de 3 bolas brancas: 
8 . 7 . 6 ÷ 3! = 56 grupos.
Grupos não ordenáveis de 3 bolas pretas: 
4 . 3 . 2 ÷ 3! = 4 grupos.
Grupos não ordenáveis de 3 bolas amarelas: 
3 . 2 . 1 ÷ 3! = 1 grupo.
Total de grupos indesejáveis: 56 + 4 + 1 = 
= 61 grupos.
Total de grupos de 3 bolas obtidos a partir 
do total de 15 bolas: 15 . 14 . 13 ÷ 3! = 455 
grupos.
Total de grupos de 3 bolas de 2 ou 3 cores: 
455 – 61 = 394 grupos.
Problema 6 – Na classe de luiza e Roberta 
estudam, contando com elas, 34 alunos. De 
quantas maneiras diferentes podem ser for-
mados grupos de trabalho de 4 alunos se 
Roberta e luiza não podem participar juntas 
de um mesmo grupo?
Podemos calcular a quantidade total de 
grupos de 4 alunos formados a partir dos 
34 disponíveis, para em seguida calcular a 
quantidade de grupos de 4 alunos em que 
Luiza e Roberta participam juntas. Por fim, 
subtraímos um resultado do outro para obter 
o resultado desejado.
Grupos não ordenáveis de 4 alunos: 
34 . 33 . 32 . 31 ÷ 4! = 46 376 grupos.
Grupos não ordenáveis de 4 alunos, dividi-
dos em dois subgrupos de 2 alunos: um com 
Luiza e Roberta e outro com 2 dos demais 
32 alunos: (1 . 1) . (32 . 31 ÷ 2!) = 496 grupos.
Resultado procurado: 46 376 – 496 = 45 880 
maneiras diferentes.
Problema 7 – Dispomos de 8 pessoas para 
formar grupos de trabalho. De quantas ma-
neiras diferentes o grupo poderá ser formado 
se dele participar(em):
a) apenas uma das 8 pessoas?
Com apenas 1 elemento no grupo poderemos 
formar 8 grupos diferentes.
b) duas das 8 pessoas?
Com duas pessoas por grupo, teremos a 
seguinte quantidade de maneiras diferentes:
8 7
2
28
.
!
= .
c) três das 8 pessoas?
Com três pessoas por grupo, teremos a 
seguinte quantidade de maneiras diferentes:
8 7 6
3
56
. .
!
= .
d) quatro das 8 pessoas?
Com quatro pessoas por grupo, teremos a 
seguinte quantidade de maneiras diferentes:
8 7 6 5
4
70
. . .
!
= .
34
Durante a resolução, o professor poderá 
mostrar aos alunos, em cada momento, a rela-
ção entre o número de grupos ordenáveis e o de 
não ordenáveis. Por exemplo, no caso de serem 
formados grupos de 5 pessoas a partir das 8 dis-
poníveis, teremos:
grupos ordenáveis de 5 pessoas: 
8 . 7 . 6 . 5 . 4
grupos não ordenáveis de 5 pessoas:
8 7 6 5 4
5
. . . .
!
Além disso, poderá mostrar como exprimir 
cada resultado utilizando apenas números em 
fatorial, acrescentando fatores ao numerador 
e ao denominador de cada fração.
grupos ordenáveis de 5 pessoas: 
8 . 7 . 6 . 5 . 4 . (3 . 2 . 1) ÷ (3 . 2 . 1) = 
8
3
!
!
grupos não ordenáveis de 5 pessoas:
8 7 6 5 4 3 2 1
5 3 2 1
 .   .   .   .   .  .   .
! .  .   .
( )
( ) ==
8
5 3
!
! .  !
Poderá, então, pedir que escrevam cada 
uma das frações obtidas nos itens de b a d, uti-
lizando apenas números em fatorial.
b) 8 7
2
8 7 6 5 4 3 2 1
2 6 5 4 3 2 1
8
6
.
!
. . . . . . .
!. . . . . .
!
=
( )
( ) = !!.2!
c) 8 7 6
3
8 7 6 5 4 3 2 1
3 5 4 3 2 1
8
3
. .
!
. . . . . . .
!. . . . .
!= ( )( ) = !!. !5
d) 8 7 6 5
4
8 7 6 5 4 3 2 1
4 4 3 2 1
8
4
. . .
!
. . . . . . .
!. . . .
!= ( )( ) = !!. !4
Com base nessa estratégia será possível 
induzir que o número de agrupamentos dife-
rentes de p elementos formados a partir de n 
disponíveis é igual a:
n
n p
!
!−( )
 f quando os agrupamentos forem 
ordenáveis.
 f
n
n p p
!
! !−( ) ⋅
 quando os agrupamentos fo-
rem não ordenáveis.
Outro aspecto importante a ser explorado 
nesse problema é o fato de que 0! = 1, o que 
poderá ser feito analisando-se o caso da for-
mação de grupos com n elementos, isto é, o 
caso em que n = p.
O enunciado do problema a seguir não for-
nece o valor n, que corresponde ao número 
total de pessoas, tal como acontece nos exem-
plos anteriores que estão em destaque nesta 
página, trata-se de um recurso para a utiliza-
ção do fatorial neste processo, caso o profes-
sor julgue necessário.
Problema 8 – Em uma sala há n pessoas, 
com as quais formaremos grupos, ordenáveis 
ou não. De quantas maneiras diferentes pode-
remos formar o grupo se ele tiver:
a) apenas 1 elemento?
Serão n maneiras diferentes de formar grupo 
com 1 único elemento.
b) 2 elementos?
Grupos ordenáveis de 2 elementos, dispondo 
de n: n . (n _ 1)
35
Matemática – 2ª- série – Volume 3
Quantidade de grupos não ordenáveis nessa 
condição: n nn n.n n
!
( )n n( )n n −( )−( )1( )
2
c) 3 elementos?
Grupos ordenáveis de 3 elementos, dispondo 
de n: n . (n – 1) . (n – 2)
Quantidade de grupos não ordenáveis nessa 
condição: 
n n n. .
!
−( ) −( )1 2
3
d) 4 elementos?
Grupos ordenáveis de 4 elementos, dispondo 
de n:n . (n _ 1) . (n _ 2) . (n _ 3)
Quantidade de grupos não ordenáveis nessa 
condição: 
. .n n n n.
!
−( ) −( ) −( )1 2 3
4
e) p elementos, p < n?
Grupos ordenáveis de p elementos,
dispondo de n:
n . (n _ 1) . (n _ 2) . (n _ 3) ...[n _ (p _ 1)]
Quantidade de grupos não ordenáveis nessa 
condição:
n n n n n p
p
. . .
!
−( ) −( ) −( ) − −( )⎡⎣ ⎤⎦1 2 3 1…
Considerações sobre a avaliação
A partir da metodologia adotada para abor-
dar os conteúdosbásicos da análise combina-
tória e da probabilidade, espera-se que ao fi nal 
desta etapa do trabalho previsto para a 2a série 
do Ensino Médio, os alunos sejam capazes de 
aplicar o raciocínio multiplicativo à resolução de 
situações-problema envolvendo agrupamentos. 
Nesse sentido, enfatizamos que o estímulo à 
clássica categorização dos problemas em tipos 
– permutações, arranjos e combinações – e, con-
sequentemente, o uso de fórmulas matemáticas, 
não deve ser tomado como preocupação cen-
tral nesse momento da resolução de problemas. 
O principal é que, ao enfrentar situações-problema 
envolvendo análise combinatória, os alunos sejam 
inicialmente estimulados a mobilizar as mais di-
ferentes estratégias de raciocínio para que, a seu 
tempo, escolham aquelas que consideram efi cien-
tes e apropriadas a cada nova situação.
As estratégias didáticas propostas para 
esta Situação de Aprendizagem, ao priori-
zar o raciocínio combinatório em detrimen-
to da formalização precoce, propiciam a 
diversidade de etapas de avaliação. Uma dessas 
etapas pode ser realizada em duplas ou trios 
de alunos, uma vez que a comparação entre 
diferentes estratégias de raciocínio permitindo 
compreender a situação-problema sob o ponto 
Caberá ao professor durante a resolução 
de cada item, de forma semelhante ao pro-
posto no problema anterior, acompanhar as 
resoluções dos alunos e, simultaneamente, 
solicitar que escrevam cada resposta utilizan-
do apenas números em fatorial. Esperam-se, 
nesse caso, as seguintes expressões para o 
caso dos grupos não ordenáveis, isto é, para 
as combinações:
a) n
n
!
! !−( )1 1 b) 
n
n
!
! !−( )2 2
 
c) n
n
!
! !−( )3 3 d) 
n
n
!
! !−( )4 4
e) n
n p p
!
! !−( )
36
Uma vez discutidos o cálculo de probabi-
lidades de ocorrência de eventos que dispen-
sam o raciocínio combinatório, e também os 
casos de formação de grupos ordenáveis e 
não ordenáveis, esta Situação de Aprendiza-
gem trata de apresentar aos alunos o cálculo 
de probabilidades de eventos que exigem a 
mobilização do raciocínio combinatório.
SITUAçãO DE APRENDIzAgEM 3 
PROBABIlIDADES E RACIOCíNIO COMBINATóRIO
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: probabilidades condicionais; reunião e/ou inserção de probabilidade; 
probabilidade de eventos mutuamente exclusivos; probabilidades de eventos independentes.
Competências e habilidades: interpretar informações contidas em enunciados de situa- 
ções-problema, com o objetivo de caracterizar a necessidade de mobilizar raciocínio combi-
natório; identificar as semelhanças e as diferenças entre os diversos casos de probabilidade, 
no que diz respeito à ordenação ou não dos elementos que compõem os eventos.
Estratégias: resolução de problemas exemplares contextualizados.
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 3
Os casos mais comuns de probabilidade en-
volvendo raciocínio combinatório estão asso-
ciados à formação de grupos não ordenáveis, 
sendo esse o principal aspecto que merece aten-
ção no desenvolvimento metodológico que ora 
será proposto. Para exemplificar, consideremos 
a situação-problema em que 2 pessoas serão 
sorteadas de um grupo formado por 8 pessoas, 
sendo 3 homens e 5 mulheres. Nessa situação, 
não são poucos os alunos que efetuam os se-
guintes cálculos:
Probabilidade de ocorrência de 2 homens: f
3
8
2
7
6
56
⋅ =
Probabilidade de ocorrência de 2 mulheres: f
5
8
4
7
20
56
⋅ =
Probabilidade de ocorrência de 1 pessoa de f
cada sexo:
 
3
8
5
7
15
56
⋅ =
A simples soma dos três resultados obti-
dos, 41
56
, revela que algum elemento não foi 
considerado nos cálculos realizados, visto 
a soma das três probabilidades não igua-
lar 100%. O que está faltando? O que é mais 
provável ocorrer numa situação como essa: 
duas pessoas de mesmo sexo ou pessoas de 
sexos diferentes?
de vista mais amplo, estimulando-se tanto a 
escolha de estratégias mais eficientes, quanto 
a recuperação de estratégias anteriormente 
mobilizadas em situações semelhantes.
37
Matemática – 2ª- série – Volume 3
A intuição dos alunos, em concordância 
com a nossa, confirma que é mais provável 
ocorrer pessoas de sexos diferentes, embora 
os resultados não estejam corroborando essa 
intuição. Tal constatação pode ser o pontapé 
inicial para a discussão sobre o fato de estar-
mos diante de um problema que exige não or-
denação. Nesse caso, avaliamos que o valor da 
probabilidade calculada de ocorrência de uma 
pessoa de cada sexo, 15
56
, deve ser multiplica-
da por 2, pois, afinal, podemos ter como resul-
tado do sorteio “um homem e uma mulher” 
ou “uma mulher e um homem”. Assim, a pro-
babilidade, nesse caso, é igual a 30
56
, e a soma 
de todos os casos é igual a 56
56 
= 100%. 
Ainda no contexto desse problema, como 
poderíamos calcular a probabilidade de sortear 
3 pessoas e ocorrerem 2 homens e 1 mulher? 
A estratégia de cálculo que pretendemos valo-
rizar nesta Situação de Aprendizagem consiste 
em estabelecer uma ordem para os resulta-
dos sorteados e, em seguida, contar todas as 
sequências possíveis de resultados iguais a este. 
Para tanto, precisaremos do raciocínio combi-
natório abordado anteriormente. 
Probabilidade de ocorrer “Homem-Ho- f
mem-Mulher”, nessa ordem: 
 3
8
2
7
5
6
5
56
⋅ ⋅ =
Cada agrupamento com dois homens e uma f
mulher pode ser associado a 3
2
!
!
 sequências, 
que diferem pela ordem de seus elementos.
Probabilidade de 2 homens e 1 mulher, em f
qualquer ordem: 
3
8
2
7
5
6
3
2
5
56
3
15
56
⋅ ⋅ ⋅ =
!
!
Tradicionalmente esse tipo de proble-
ma é resolvido utilizando-se a fórmula 
das combinações:
Número de elementos do espaço amostral = f
= n(S) = C8,3 = 
8
5 3
56
!
! !
=
Número de elementos do evento desejado = f
= n(E) = C3,2 . C5,1 = 
3
1 2
5
4 1
3 5 15
!
! !
!
! !
⋅ =
Probabilidade procurada = f
n E
n S
( )
( ) =
15
56
No entanto, o primeiro procedimento, que 
exige refletir sobre a ordenação ou não dos re-
sultados do sorteio, atribui significados con-
ceituais ao cálculo das probabilidades que o 
segundo procedimento, usando equações, não 
consegue atribuir. Além disso, a procura de 
soluções com base no primeiro procedimento 
acarretará aos alunos maior desenvoltura ao 
enfrentarem novas situações, em contextos di-
ferentes daqueles que normalmente permeiam 
as listas de exercícios de probabilidades. Não 
se trata, entretanto, de vetar completamente 
a apresentação das fórmulas de cálculo das 
combinações, mas sim de retardá-las até o 
momento em que o professor avalie que os 
alunos construíram o conhecimento acerca da 
aplicação do raciocínio combinatório ao cál-
culo de probabilidades.
Com base nessas premissas, propomos 
que o professor apresente à turma alguns 
problemas típicos, e que na discussão sobre 
o “como resolver”, chame a atenção dos alu-
nos para a questão da ordenação dos sorteios 
e para a importância dos fatoriais nessas si-
tuações. Apresentamos, em seguida, algumas 
38
dessas situações-problema, acompanhadas de 
resolução e eventuais comentários que julga-
mos importante salientar.
São propostas, a seguir, seis situações-pro-
blema com a fi nalidade de articular probabili-
dades e análise combinatória. No Caderno do 
Aluno são apresentados dez problemas, com a 
fi nalidade de oferecer mais situações para que o 
aluno consolide as noções aqui desenvolvidas.
Problema 1 – Sorteando 4 alunos de uma 
classe com 15 meninos e 13 meninas, qual é a 
probabilidade de que sejam sorteados 2 meni-
nos e 2 meninas?