equivalencia de capitais

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Resumo
Dizemos que dois ou mais capitais diferidos (capitais com vencimentos em 
datas diferentes) são equivalentes em certa época se, nesta época, seus 
valores atuais forem iguais. 
Em geral, existem dois tipos de problemas envolvendo equivalência de capitais:
:: substituir um título, ou seja, transferir a data de vencimento de um 
título para um valor futuro ou, até mesmo, adiantar seu pagamento;
:: mudar a forma de pagamento.
Equivalência de capitais
Eduardo Araújo*
 Igualando os valores atuais
A maneira mais usual de verifi car a equivalência desses capitais é estabelecendo uma data (data de 
comparação) e comparar os valores atuais dos títulos em questão. Se nessa data resultar uma igualdade, 
podemos concluir que os capitais são equivalentes.
 Mestre em Ensino de Ciências e Matemática – Ulbra. Especialista em Educação a Distância – Senac. Graduado em Matemática – Ulbra.
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10� Matemática para Negócios e Finanças
Igualar os valores atuais (A) em questão:
Título(s) que tenho (A1) = Título(s) que quero trocar (A2)
ou ainda:
 
N =
N . (1 - i . n )
(1 - i .n )1
2 d 2
d 1 
Aplicação
Exemplo 1 
Um título, com valor nominal de R$ 450,00 e vencimento para 4 meses, será substituído por outro 
com vencimento para 10 meses. Se a taxa de desconto utilizada nessa operação é de 3 % a.m., qual o 
valor nominal do novo título?
N1 . (1 - id . n1) = N2 . (1 - id . n2)
450 . (1 - 0,03 . 4) = N2 . (1 - 0,03 . 10)
450 . 0,88 = N2 . 0,7
396 = 0,7 . N2
396
0,7
= N2
565,71 = N2
Dessa forma, para que esse título seja pago no vencimento de 10 meses, ele valerá R$ 565,71.
E qual será o valor atual desse título?
 VA = VN . (1 - id . n)
 VA = 450 . (1 - 0,03 . 4)
 VA = R$ 396,00
Observação
Esse cálculo também poderia ser feito utilizando-se o valor R$ 565,71 com vencimento em 10 
meses (n = 10).
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Equivalência de capitais 109
Exemplo 2 
Um título no valor nominal equivalente a R$ 1.000,00, com vencimento em 3 meses, será substituído 
por outro, com vencimento em 5 meses. Admitindo-se que esses títulos podem ser descontados à taxa 
de desconto de 1% a.m., qual o valor nominal do outro título?
Dados do problema
Valor nominal inicial (N1): R$1.000,00 
Vencimento desse valor (n1): 3 meses 
Novo valor nominal (N2): ?
Vencimento desse valor (n1): 5 meses
Taxa de desconto: 1% = 0,01
Como os valores atuais devem ser igualados, teremos:
N1 . (1-id . n1) = N2 . (1 - id . n2)
1 000 . (1 - 0,01. 3) = N2 . (1 - 0,01. 5)
1000 . 0,97 = N2 . 0,95
970 = N2 . 0,95
N =
970
0,95
= R$1.021, 05
2
Logo, o valor nominal do outro título é de R$ 1.021,05. Veja que a resposta é bem coerente, 
uma vez que o título vencível em 5 meses deverá ter um valor nominal maior que um vencível em 
3 meses, uma vez que seus valores atuais são os mesmos. Veja:
Cálculo do valor atual do título vencível em 3 meses Cálculo do valor atual do título vencível em 5 meses
Valor nominal: R$ 1.000,00
Cálculo de seu valor atual
 A = N1 . (1 - id . n1)
 A = 1 000 . (1 - 0,01 . 3)
 A = 970
Valor nominal: R$ 1.000,00
Cálculo de seu valor atual
 A = N1 . (1 - id . n1)
 A = 1 021,05 . (1 - 0,01 . 5)
 A = 970
Como você pôde perceber, o valor atual dos dois títulos é o mesmo.
Exemplo 3 
Um título de R$ 14.400,00, vencível em 50 dias foi substituído por outro de R$ 15.100,00. Calcular 
o prazo do novo título considerando-se a taxa de desconto de 2% a.m.
Para essa situação temos duas opções que podem simplificar nosso cálculo: podemos passar a 
taxa de juros de mensal para diária ou, ainda, transformar dias em meses. Veja:
Pela primeira opção: passando a taxa de juros de mensal para diária:
 2% a.m. ÷ 30 dias = 0,00067 a.d.
 N1 . (1 - id . n1) = N2 . (1 - id . n2)
 14 400 . (1 - 0,00067 . 50) = 15 100 . (1 - 0,00067 . n2)
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110 Matemática para Negócios e Finanças
 13 917,60 = 15 100 - 10,117 . n2
 
n =
1182,40
10,117
=116,8 117dias2 ≈
ou seja, 3 meses (90 dias) e 27 dias.
Pela segunda opção: transformando dias em meses:
50 dias = 50 ÷ 30 = 1,67 meses
N1 . (1 - id . n1) = N2 . (1 - id . n2)
14 400 (1 - 0,02 . 1,67) = 15 100 . (1 - 0,02 . n2)
13 919,04 = 15 100 - 302 . n2
n2= 
1180,96
302
 = 3,91 meses
ou seja, 3 meses + 0,91 meses (= 0,91 . 30 dias = 27 dias)
Logo, também 3 meses e 27 dias.
Como você percebeu, para fazermos a equivalência entre capitais, devemos compará-los em 
uma mesma data. Em geral, utilizamos a data zero (valor atual do título), pois é mais simples compará-
los trazendo para o valor atual do que em datas futuras. 
Atividades 
	 Um credor deve a uma financeira dois títulos, um de R$ 1.500,00, com vencimento para 5 meses 
e outro de R$ 1.800,00 com vencimento para 5 meses. Esse credor pretende substituir esses dois 
títulos por outros dois com vencimentos para 12 meses e 24 meses, respectivamente, sendo o 
segundo, com o dobro do valor nominal do primeiro. Admitindo-se uma taxa de 2,4% a.m., qual 
o valor nominal desses novos títulos? 
1º Título 2º Título 3º Título 4º Título
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Equivalência de capitais 111
Ampliando conhecimentos 
O cálculo com equivalência de capitais é bastante simples. Lembre-se de que estamos tratando de juros 
simples e de taxas de juros. Caso a taxa seja de desconto, será necessário transformá-la para taxa de 
juros ou utilizar as expressões para esse tipo de incidência. Procure, portanto, rever os conceitos de 
taxas de juros e de desconto.
Auto-avaliação
1.	 Certa pessoa deve pagar dois títulos:
	 1.º)	R$ 7.200,00 no fim de 60 dias;
	 2.º)	R$ 9.600,00 para 90 dias.
	 Não	podendo resgatá-los no vencimento, propõe ao credor substituí-lo por um único título para 
120 dias. Calcule o valor nominal do novo título com desconto comercial de 2% a.m.
 
 
 
 
2.	 Um título de R$ 3.000,00 com vencimento para 4 meses será substituído por dois novos títulos de 
mesmo valor nominal com vencimento respectivamente para 3 e 6 meses, considerando a taxa 
de desconto de 2% a.m. Qual o valor nominal dos novos títulos?
 
 
 
3.	 Dois títulos de R$ 1.000,00 cada, exigíveis em 3 e 4 meses respectivamente, serão substituídos por 
dois títulos de mesmo valor nominal para 5 e 6 meses respectivamente, com taxa de desconto de 
3% a.m. Calcule o valor nominal dos novos títulos.
 
 
 
 
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112 Matemática para Negócios e Finanças
4.	 Dois títulos de valores nominais de R$ 50.000,00 e R$ 80.000,00 vencem respectivamente em 40 
e 50 dias. O devedor pretende reformá-los de modo a fazer dois pagamentos, sendo o primeiro 
igual ao dobro do segundo, respectivamente em 70 e 85 dias. Sabendo que o credor desconta 
comercialmente a taxa de 21% a.m., o valor desses pagamentos será, respectivamente:
 
 
 
 
Referências
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática	Financeira	aplicada: método algébrico, HP - 12C, Microsoft 
Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 
GOLDSTEIN, Larry J.; LAY, David C.; SCHNEIDER, David I. Matemática	aplicada: economia, administração 
e contabilidade. Porto Alegre: Bookman, 2000.
KRUSE, Fábio. MatemáticaFinanceira: conceitos e aplicações com o uso da HP - 12C. Novo Hamburgo: 
Feevale, 2003. 
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Equivalência de capitais 113
Gabarito 
Atividades 
2 títulos substituídos por 2 títulos A +A =A +A1 2 3 4
1º Título
N =1 500
n =2 m
i =2, 4% a.m.
1
1
d
2º Título
N =1 800
n =5 m
i =2, 4% a.m.
2
2
d
3º Título
N =N
n =12m
id =2, 4% a.m.
3
3
4º Título
N =2N
n =24 m
id =2, 4% a.m.
4
4
A =N.(1-id .n)
A =N . (1- .n )3
A =1 500.(1 - 0,024 . 2)
A =1 428
1 1 i 1
1
1
d
A = N . (1 - i .n )
A =1800 . (1 - 0,024 . 5)
A =1 584
2 2 2
2
2
d A = N .(1 - i . n )
A =N .(1 - 0,024 .12)
A =0,712.N
3 3 3
3 3
3
d A =N . (1 - i . n )
A =2N . (1 - 0,024 .24)
A =0, 848 N
4 4 4
4
3
d
A1 + A2 = A3 + A4
1428 + 1584 = 0,712N3 + 0,848N3
3012 = 1,56N
N3 = 1930,77
N4 = 2N3 = 3861,54
Auto-avaliação 
1.	 R$ 17.321,74.
2.	 R$ 1.516,48.
3.	 R$ 1.071,86.
4.	 R$ 123.508,77 e R$ 61.754,39.
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