Estimação por Intervalo

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Dionísio Tomás Sabonete 
Newman Marcelino Mindiate 
Caisse Aly J. A. Mulieca 
 Idrisse Dau Assane 
Percio João Alcete 
Goden Samuel 
 
 
 
 
 
 
Estimação por intervalo de confiança 
Licenciatura em Ensino de Física com habilitação em Matemática 
4º Ano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Pedagógica 
Quelimane 
2017 
 
3º Grupo 
Dionísio Tomás Sabonete 
Newman Marcelino Mindiate 
Caisse Aly J. A. Mulieca 
 Idrisse Dau Assane 
Percio João Alcete 
Goden Samuel 
 
 
 
Estimação por intervalo de confiança 
Licenciatura em Ensino de Física com habilitação em Matemática 
4º Ano 
 
 
 
 
Trabalho de carácter avaliativo a ser 
entregue na cadeira Inferência Estatística, 
faculdade de ciências Naturais e 
Matemática 
Docente: Dr. Teodósio de Jesus 
 
 
 
 
Universidade Pedagógica 
Quelimane 
2017 
Índice 
Introdução ........................................................................................................................................ 4 
Estimação por intervalo ................................................................................................................... 5 
2.1. Intervalo de confiança .............................................................................................................. 6 
2.2. Intervalo de Confiança Para a Média da População ................................................................. 7 
2.3. Erro Padrão da Média Amostral ............................................................................................... 7 
a)Intervalo de confiança para a média com desvio conhecido e ∀n.Estamos sob presença de uma 
distribuição normal. ......................................................................................................................... 7 
b) Intervalo de confiança para a média com desvio desconhecido e amostra grande n> 30 
(Distribuição Normal)...................................................................................................................... 8 
c) Intervalo de confiança para a média com desvio desconhecido e amostra pequena n ≤ 30 
(Distribuição t-Student) ................................................................................................................... 9 
2.4. Intervalo de confiança para uma Proporção ........................................................................... 10 
2.5 Factor de Correcção de População Finita ................................................................................ 11 
2.4. Intervalo de Confiança da Variância populacional................................................................. 12 
Intervalo de confiança para uma variância desconhecida e a média conhecida ............................ 12 
Intervalo de Confiança Para a Variância Populacional conhecida ................................................ 14 
2.5. Intervalo de Confiança Para o Desvio Padrão ........................................................................ 16 
2.6. Intervalo de Confiança Para a Diferença/soma de Médias ..................................................... 16 
a) Intervalo de confiança para a diferença de médias se os dois desvios são conhecidos .......... 16 
b) Intervalo de confiança para a diferença de médias se os dois desvios são desconhecidos .... 17 
2.7. Intervalo de confiança para a proporção ou Probabilidade (P) .............................................. 19 
2.8. Intervalo de Confiança Para a Diferença de Proporções ........................................................ 22 
Tamanho da Amostra para estimar 

 ........................................................................................... 23 
3. Conclusão .................................................................................................................................. 24 
4. Referência Bibliográfica ............................................................................................................ 25
4 
 
 
Introdução 
 
O presente trabalho que tem como tema estimação por intervalo de confiança. Este trabalho é 
produto de uma compilação de conteúdos oriundos de várias referências bibliográficas, com o 
intuito de apresentar os conteúdos requeridos pelo plano de aula requisitados pelo programa de 
ensina de inferência estatística de forma clara e perceptível. 
o trabalho focalizou-se concretamente nos seguintes aspectos: Intervalo de confiança, Intervalo de, 
Confiança Para a Média da População, Erro Padrão da Média Amostral, Intervalo de confiança 
para a média com desvio, Intervalo de confiança para a média com desvio desconhecido e amostra 
grande n> 30 (Distribuição Normal), Intervalo de confiança para uma Proporção, Factor de 
Correcção de População Finita, Intervalo de Confiança da Variância populacional, Intervalo de, 
Confiança Para a Variância Populacional conhecida, Intervalo de Confiança Para o Desvio Padrão, 
Intervalo de Confiança Para a Diferença/soma de Médias, Intervalo de confiança para a diferença 
de médias se os dois desvios são desconhecidos, Intervalo de confiança para a proporção ou 
Probabilidade (P), Intervalo de Confiança Para a Diferença de Proporções e Tamanho da Amostra 
para estimar onde de forma muito simples são apresentados exemplos para cada situação 
mencionada. 
 
 
5 
 
Estimação por intervalo 
Anteriormente discutiu-se em torno de estimadores pontuais, dos quais fornecem como estimativa 
um único valor numérico para o parâmetro de interesse e não permitem ter uma ideia do erro 
cometido ao se fazer a estimativa do parâmetro. Portanto, Seria mais prudente que se pudesse 
estabelecer uma “faixa” para as estimativas, levando em consideração que os estimadores são 
variáveis aleatórias e, assim, podem ocorrer com uma certa probabilidade para valores longe da 
estimativa encontrada ou seja Para que se possa associar uma confiança (probabilidade) a uma 
estimativa é necessário construir um intervalo em torno da estimativa por ponto. Esta faixa será 
denominada intervalo de confiança da estimativa calculada.Este intervalo é construído baseado 
na distribuição amostral do estimador. 
 O parâmetro media populacional 

, pode ser estimado através de um único valor não 
tendencioso X . 
Exemplo: 
20X Logo, 20 é uma estimativa da 

. 
 Parâmetro variância populacional 2 através dos estimados não tendenciosos 2s 
Exemplo: 
3.22 s , Então 2.3 é uma estimativa de 2 
 Parâmetro proporção, através do estimador Pˆ não tendencioso. 
Exemplo: 
6.0ˆ P , é estimativa de P. 
Há duas razões importantes que explicam por que uma média amostral é um melhor estimador de 
uma média populacional 

 do que quaisquer outros estimadores, como a mediana ou a moda. 
 Para muitas populações, a distribuição das médias amostrais 
x
 tende a ser mais consistente 
(apresentar menor variação) do que as distribuições de outras estatísticas amostrais. 
6 
 
 Para todas as populações, dizemos que a média amostral 
x
 é um estimador não tendencioso 
para a média populacional 

. 
Portanto, a média amostral 
x
 é a melhor estimativa pontual para a média populacional 

. 
 
2.1. Intervalo de confiança 
Ela estabelece um intervalo de valor e dentro do qual um parâmetro populacional provavelmente 
caia a um determinado nível de confiança. O intervalo de confiança, é o intervalo dentro do qual 
um parâmetro populacional é esperado ocorrer ou seja é a tecnica pela qual se pode inferir sobre 
um parametro Populacional (FONSECA 1996 : 186).A construçãao de intervalos de confiança 
fundamenta-se nas distribuições amostrais vistas. A sua logica é a segunte: 
Seja 

 um parâmetropopulacinal. 
Seja 

 um estimador de 

 . 
Conhecida a distribuicao de probablidade de 

 , é possivel construir um intevalo: 
21 


 
Que contém 

, e se exigirque a probablidade do intevalo seja de 
nivel )1(  de
 
confiança
 
Geralmente 
%;90100).1( 
 
%;95
 
%99 ...
 
Esta técnica diferencia-se da estimação “por ponto”, onde se calcula um único valor (Estimativa) 
para o parâmetro populacional. No caso de intervalo de confiança busca-se um “ seguimento”, ou 
intervalo 
1
 ; 
2
 que cotem o parâmetro desconhecido.Os intervalos de confiança que geralmente 
são usados são os de 95 %, 98% e 99. 
 
Por exemplo, retira-se uma amostra de estudantes do curso de Física do 4º ano e calcula-se a Média 
de suas alturas encontrando-se 1,66 m. logo, uma estimação pontual da verdadeira altura média 
 
é dada por 
66,1X
m. já através do intervalo de confiança poder-se-ia encontrar um intervalo, 
por exemplo 
 68,1;58,1
 que, em 95% das vezes, incluiria média 
 
(a verdadeira altura média dos 
estudantes do curso em causa.) 
7 
 
 
2.2. Intervalo de Confiança Para a Média da População 
 
Para casos referentes a média é necessário destacar três casos: 
Intervalo de confiança para a média, se o desvio é conhecido, o que é tratado pela distribuição 
normal; 
Intervalo de confiança para a média, se o desvio não é conhecido e a amostra é grande, o que é 
tratado pela distribuição normal com desvio amostral no lugar do desvio populacional e Intervalo 
de confiança para a média, se o desvio não é conhecido e tamanho da amostra pequeno, o que é 
tratado pela distribuição t-Student com 
1n
graus de liberdade. 
 
2.3. Erro Padrão da Média Amostral 
 
1


N
nN
n
x


 Usado para situações em que a população é finita, isto é 
.05,0
N
n
para os 
casos em que a população é infinita, isto é, 
05,0
N
n
 ai usa-se 
n
X

 
 
 
a)Intervalo de confiança para a média com desvio conhecido e ∀n.Estamos sob 
presença de uma distribuição normal. 
 
Determinemos a respectiva probabilidade que é dada por 
  1)(
n
zx
n
zxP
e que o respectivo intervalo de confiança será 
n
zx
n
zx
 
. O valor de z que é tabelado devera ser consultado para 
 

1.
2
1
z
é o 
nível de confiança. O respectivo erro padrão de estimativa será 
n
z

 
a amplitude
n
zA

2
e 
o tamanho da amostra 2










X
z
n
 
8 
 
Exemplo: 
Quando certos dados foram submetidos a análise por uma equipa que se dedica a revisão curricular 
de certa faculdade descobriu-se que todos tinham o mesmo erro de estimativa (no valor de 3,52) 
numa amplitude de 6. Qual deveria ter sido o tamanho da amostra, sabendo que tomaram 
6
 a 
um nível de significância de 95%. 
 
95,01;6;6;52,3   A
n
zA
 
96,1975,0 Z
15)92,3()(
2
2
15)92,3()(96,1262
22
22


nn
A
Z
n
n
zA
nn
nn
zA


 
 
b) Intervalo de confiança para a média com desvio desconhecido e amostra 
grande n> 30 (Distribuição Normal) 
 
Determinemos a respectiva probabilidade que é dada por 
 





 1
n
s
zx
n
s
zXP e o respectivo intervalo de confiança será 
n
s
zx
n
s
zx 
 . o valor de z que é tabelado, devera ser consultado para .
2
1
aZ

1 é o 
nível de confiança. O respeito erro padrão de estimativa será ,
n
s
z a amplitude 
n
s
zA 2 e 
o tamanho da amostra 
2








X
zs
n neste caso deve obter-se o s a partir de calculo a ser feito com 
base nos recolhidos e que compõem a amostra. 
 
Exemplo: 
 
Uma universidade quer estimar o número médio de horas trabalhadas por semana por seus 
estudantes. Uma amostra de 49 estudantes mostrou uma média de 24 horas com um desvio padrão 
de 4 horas. A estimativa por ponto do número médio de horas trabalhadas por semana é 24 horas 
9 
 
(média amostral). Qual é o intervalo de confiança de 95 % para o número médio de horas 
trabalhadas por semana? 
 
Resolução: 
Usando a formula anterior 
)96,1(
n
s
X 
 temos
49
4
96,124 ou 22, 88 a 25, 12. 
O limite de confiança inferior é 22,88. O limite superior de confiança é 25,12. O grau de confiança 
(nível de confiança) utilizado é 0,95. 
 
Se nós tivéssemos tempo para seleccionar aleatoriamente 100 amostras de tamanho 49 da 
população de alunos do campus universitário e calcular as médias amostrais, os intervalos de 
confiança para cada uma destas 100 amostras, a média populacional (parâmetro) do número de 
horas trabalhadas estariam contidos em cerca de 95 dos 100 intervalos de confiança. Cerca de 5 
dos 100 intervalos de confiança não conteriam a média populacional. 
 
c) Intervalo de confiança para a média com desvio desconhecido e amostra 
pequena n ≤ 30 (Distribuição t-Student) 
 
Determinemos a respectiva probabilidade que é dada por 
 



 1)
11
(
n
s
tx
n
s
txP
e que o respectivo intervalo de confiança será 
11 



n
s
tx
n
s
tx 
. O valor de t que é 
tabelado, devera ser consultado para 
.
1,
2
1 





 n
a
t
1
 é o nível de confiança e 
1n graus deliberdade. 
O respeito erro padrão de estimativa será 
1

n
s
t , a amplitude 
1
2


n
s
tA o tamanho da 
amostra 
2
1 







X
ts
n
caso deve obter-se o s a partir de cálculo a ser feito com base nos dados 
recolhidos e que compõem a amostra. 
Exemplo: 
10 
 
 Tempo que uma máquina leva a executar determinada operação numa peça está sujeito a variações. 
Para verificar se as condições de funcionamento da máquina estão dentro das normas, registou-se 
12 vezes o referido tempo. Os resultados (em segundos) foram os seguintes: 29 33 36 35 36 40 32 
37 31 35 30 36. Construa um intervalo de confiança a 95% para o tempo médio de execução da 
tarefa pela máquina em análise, sabendo que esta segue uma distribuição aproximadamente normal. 
 
Resolução: 
Podemos definir a nossa variável X como o “tempo, em segundos, que uma máquina leva a executar 
uma tarefa”. Sabemos que X segue uma distribuição normal. Como desconhecemos os parâmetros 
da distribuição e n é pequeno, vamos usar distribuição t-student. 
 
  17,34
12
1
ixX    18,308,10
11
1 2
1
2 sXxs 0975,0
2
1 
 
201,2)11(975,0 t
Repare que é distribuição t-student com n-1=12-1=11 graus de liberdade. 
Consultamos na tabela, o em anexo a linha 11, coluna
975,0t
e encontramos o valor de 2,201. 
Substituindo na fórmula teremos a probabilidade 
95,0
12
201,2
12
201,2 






s
x
s
xP 
e o 
intervalo será] 32,15;36,19[ 
 
2.4. Intervalo de confiança para uma Proporção 
 
Um intervalo de confiança para uma proporção populacional é dado por:
 
pzp 
Onde:
p
é a proporção amostral 
p
é o erro padrão da proporção amostral e
 
é dado por: 
n
pp
p
)1( 
 respectivo intervalo de confiança é dado por 






 


 1
)1()1(
n
pp
zpp
n
pp
zpp
 
11 
 
Onde: p é a proporção amostral Z é o valor de z que 
é tabelado, deverá ser consultado para 
2
1


Z
. 
O respectivo erro padrão de estimativa sera ,)1(
n
pp
z

 a amplitude 
n
pp
zA
)1(
2

 e o 
tamanho da amostra 
2
)1(








pp
pZp
n 
Neste caso deve obter-se o s a partir de cálculo a ser feito com base nos dados recolhidos e 
que compõem a amostra. 
 
2.5 Factor de Correcção de População Finita 
Uma População denomina-se finita quando 
05,0
N
n
 (ou seja, quando a fracção amostral é maior 
do que 5 %). 
Erro padrão da proporção amostral 
1
)1(



N
nN
n
pp
p
 usado para situações em que a 
população é finita, isto é 
05,0
N
n
. Para os casos em que a população é infinita, isto é,
05,0
N
n
aí usa-se 
n
pp
p
)1( 

 
 
Exemplo: 
Uma amostra aleatória de 100 eleitores do Município de Mocuba dá 55% como favoráveis a um 
certo candidato. Determine os limites de confiança para a proporção global de eleitores favoráveis 
ao candidato assumindo 95% de confiança. 
975,0
2
1025,0
2
05,095,01
45,055,01155,0



pqp
96,1975,0
2
1


ZZ 
 
12 
 
 
 
 
2.4. Intervalo de Confiança da Variância populacional 
 
Intervalo de confiança para uma variância desconhecida e a média conhecida 
 
Para o caso da variância, se conhecemos a média, podemos determinar a probabilidade como sendo 

























1
)()(
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
2
a
n
i
n
i
i
X
x
X
X
p
a
 onde 1 é o nível de confiança. O respectivo 
intervalo de confiança será 
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
1
2 )()(
a
n
i
a
n
i
i
X
X
X
X




 

 


 em que o tem graus
1
 de 
liberdade. 
Exemplo: 
Supodo populações normais, construir o intervalo de confiança para a variância ao nivel de 90% 
para as amostras: 2; 2; 2; 3; 3; 4; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 7; 8. 
Resolução 
Dados 
15n
 
?
 
)53,057,0()
100
75,025,0
96,155,0
100
75,025,0
96,155,0(
95,0
100
75,025,0
96,155,0
100
75,025,0
96,155,0
1)
)1()1(
(












 








pPpP
pP
n
pp
Zpp
n
pp
ZpP 
13 
 

























1
)()(
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
2
a
n
i
n
i
i
X
x
X
X
p
a
?
 
Para cálculo da média tem-se: 
 
6,4
15
69




n
fX ii
 
Grau de liberdade:
141151  n
 
Distribuicao Quiquadrado 
 2inf2sup ; eriorerior XX
 
 
FONTE:GUERRA(1991) 
  685,2305.0;9)
2
;1( 2sup
2
sup
2
sup  XnXX
 
  63,595,0;9)
2
1;1( 2sup
2
inf
2
inf  XnXX
 
2 3 5 20.28
3 2 6 5.12
4 1 4 0.36
5 4 20 0.64
6 2 12 3.92
7 2 14 11.52
8 1 8 11.56
15 69 53.4
if ii
fX    ii fX 
2
 iX
iX
14 
 

























1
)()(
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
2
a
n
i
n
i
i
X
x
X
X
p
a
 
9,0
571,6
4,53
685,23
4,53 2 





p
 
  9,013,825,2 2 p
 
Resposta: Ao nível de confiança de 90% pode-se dizer que a verdadeira variância populacional 
esta entre 2.25 a 8,13 inclusive ou seja,
 13.8;25.2
 
 
 
Intervalo de Confiança Para a Variância Populacional conhecida 
O estimador para a variância populacional 
2
é
2S
. Tal como foi referido na teoria da amostragem, 
a distribuição de Qui-Quadrado relaciona as duas variáveis. 
2
2
2
1
)1(

Sn
X n


 
Admitindo-se que a população de onde foi extraída a amostra tenha distribuição normal então o 
intervalo poderá ser: 
 
FONTE: própria do autor 
15 
 
Substituindo-se o valor de X2, e isolando-se 
2
 obtém-se o intervalo de confiança para a variância 
populacional. Onde 
1n
indica o número de graus de liberdade da distribuição do Qui-Quadrado.
  1))1()1((
2
2
2
2
is X
n
X
Sn
p
 
Exemplo: 
Dada uma amostra de tamanho 10,e variância 4. Construir um intervalo de confiança para a 
variância populacional ao nível de confiança de 90%. 
 
 
Resolução: 
1.0;9,0%90
2
1;4;10: 2  SnDados
e
91 nk
graus de liberdade. 
Consultando a tabela de distribuição Qui-Quadrado temos: 
O do Qui-Quadrado superior, é obtido na tabela 3, entrando-se na linha 9 e coluna
2

 =0.05. Assim
9.16)05.0;9(22sup  XX
. O valor de Qui-Quadrado inferior, é também obtido na tabela 3, 
entrando-se na linha 9 e coluna, para o nível 
95,02/1 
. Assim 
33,3)95,0;9(22inf  XX
 
 
81.1013.2
33.3
49
9.16
49)1()1( 22
2
inf
2
2
2
sup
2







 
X
Sn
X
Sn
 
Resposta: Ao nível de confiança de 90% pode-se dizer que a verdadeira variância populacional 
esta entre 2.13 a 10.81 inclusive ou seja,
 81.10;13.2
 
 
 
16 
 
2.5. Intervalo de Confiança Para o Desvio Padrão 
Admitindo que a distribuição de probabilidade populacional de onde se extraiu a amostra seja 
normal, um intervalo de confiança aproximado para o desvio padrão (

). é dado pela raiz 
quadrado do IC para a variância (

). 
Assim, 
  1))1()1((
2
inf
2
sup
2
X
nS
X
nS
P
 ou 
  1))1(.)1(.(
2
inf
2
sup X
n
S
X
n
SP
 
Onde a distribuição 
2x
é tomada com 
1 n
 graus de liberdade. 
Exemplo: 
A pertir do exemplo anterior (Dada uma amostra de tamanho 10,e variância 4. Construir um 
intervalo de confiança para a variância populacional ao nível de confiança de 90%). 
. 
Solução: 
Do exercício anterior 
81.1013.2  , logo um IC aproximado para  será: 
%90)81.1013.2( P ou 
%90)29.346.1(  P
 de confiança. 
O intervalo
 29.3;46.1
contem o desvio padrão populacional com 90% 
 
2.6. Intervalo de Confiança Para a Diferença/soma de Médias 
 
a) Intervalo de confiança para a diferença de médias se os dois desvios são 
conhecidos 
Para amostra aleatoria independente, o intervalo de confianca devera considerar: 
17 
 
   
2
2
2
1
2
1
2121
nn
XX
z





 
Para o caso em que todos parâmetros são dados excepto a diferença de médias que se pretende 
estimar, a respectiva probabilidade é dada por: 
 
  






 1)()(
22
2
22
2 B
B
A
A
BABA
B
B
A
A
BA
nn
ZXX
nn
ZXXP
, Onde 1 é o 
grau de confiança, e o respectivo intervalo de confiança é dado por 









B
B
A
A
BABA
B
B
A
A
BA
nn
ZXX
nn
ZXXP
22
2
22
2
)()(
  
 
Exemplo: 
Uma amostra de 150 lâmpadas eléctricas da marca A apresenta uma vida média de 1400h e um 
desvio padrão de 120h. Uma amostra de 200 lâmpadas da marca B apresenta média 1200h e desvio 
padrão de 80h. Determine os limites de confiança a 95 % para a diferença das vidas médias das 
lâmpadas das duas marcas. 
61,21839,181
200
80
150
120
645,1)12001400(
200
80
150
120
645,1)12001400(
95,0
200
80
150
120
)12001400(
200
80
150
120
)12001400(
1))()((
2222
2222
2222













BA
BA
ealBAeal
B
B
A
A
ealBABA
B
B
A
A
ealBA
ZZP
nnZXX
nn
ZXXp




 
 
b) Intervalo de confiança para a diferença de médias se os dois desvios são 
desconhecidos 
 
Sejam: ),( 2111 NX d e ),( 2222 NX d com X1 e X2 independentes. Entao: 
18 
 
   

















2
2
2
1
2
1
2121 ,
nn
NXX
d  
Como não conhecemos 21 e 22 , iremos estima-las por 21S e 22S , e o intervalo será dado por: 
        








 1
1
2
2
1
2
1
2
2121
2
2
2
1
2
1
2
21
n
S
n
S
tXX
n
S
n
S
tXXP 
Onde a variavel t tem um numero de grau de liberdade  dado por (segundo o método de Aspin-
Welch, com arredondamento para menos): 
 
   
2
11 2
2
2
1
2
1
2
21 





n
V
n
V
VV 
Onde: 
1
2
1
1
n
S
V  e 
2
2
2
2
n
S
V  
Exemplo: Duas máquinas de embalar arroz estão sendo usadas por uma empresa, sendo uma nova 
e outra velha; Pegas duas amostras de sacos embalados, encontramos os sguintes pesos, em kg: 
_ máquina nova: 82, 83, 79, 81, 80 
_ máquina velha: 79, 82, 73, 74, 80, 77, 84, 78 
Construir o intervalo de confiança para a diferença dos pesod medios populacionais, ao nivel de 
significancia de 5 %. 
 
Resolução: A partir dos dados é fácil calcular: 
811 X 21 S 782 X 5,132 S 
Dai: 
19 
 
33,0
6
2
1 V
 5,1
9
5,13
2 V
 
 
1195,112
10
5,1
7
33,0
5,133,0
22
2



 (arredondamento para menos) 
Vem: Tabela 





%5
11


t 
201,2
2
 t
 
Entao: 
   
  95,098,502,0
95,0
9
5,13
6
2
201;27881
9
5,13
6
2
201;27881
21
21








kgkgP
P


 
 
2.7. Intervalo de confiança para a proporção ou Probabilidade (P) 
 
Consideremos uma população binomial com P a proporção da sucessora na população de uma certa 
característica. A proporção 
n
x
P 
 é usada como estimador da proporção P (s), onde x é o número 
de elementos com características pesquisadas na amostra de tamanho 
n
. 
Logo: 
n
x
p 
^
 é a proporção de sucessos na amostra. 
Se passarmos para escores reduzidos a proporção amostral; temos: 
)1,0(;
)1(
^
Nz
n
pp
pf
z 



 ou 
)1,0(;
^
Nz
n
qp
pf
z 



 
Como p(s)=p, geralmente não é conhecido, ele é substituídos pelo correspondente estimador 
pontual p, é o intervalo tomará a forma: P=(
n
Pp
z
)1(
2

 
 . ) 
Onde; 
20 
 
x
= Numero de “sucessos” (caso favorável) na amostra, 
n=Tamanho da amostra 
f= ^
p
=Estimador de p 
Fixando um nível de confiança de (n-1), temos: 
  1)
22
(
z
z
z
p i 




  1)
)1(
2
)1(
2
(
n
ppz
fp
n
ppz
fP
 
Para amostra grandes 
 30n
pode se substituir “p” e 
pq 1
 do radicandopor “f” 
 f1
. 
Assim, o IC para a proporcão sera: 




  1)
)1(
2
)1(
2
(
n
fpz
fp
n
fpz
fP
 
Para o caso da populacão finitas o IC sera: 
















  1)
1
)1(
21
)1(
2
(
N
nN
n
fpz
fp
N
nN
n
fpz
fP
 
 
Exemplo: um medicamento novo foi experimentado em 2500 indivíduos, tendo-se revelado eficaz 
em 80% dos casos. Determine o intervalo de confiança da proporção do medicamento ser eficaz 
para a probabilidade de 0.95. 
Resolução: 
20.0;96.195.0;80.0;2500:  qzpndados 
 
80.0
2500
20.080.0
96.1
2500
20.080.0
96.180.0 



 p
 
82.0)(78.0  sp
 
21 
 
Resposta: com um erro de 5% pode-sedizer que o intervalo de confiança de que o medicamento 
seja eficaz é de 78% a 82%. 
 
 
Exemplo: 
Examinadas 500 pecas de uma grande producao encontrou-se 260 defeitosas. No nivel de 90% 
construir um IC para a verdadeira proporcao de pecas defeitosas. 
Resolucao: 
500n
 
260X
 
%901 
 
Logo: 
52,0
500
260

n
X
f
 
 
 
FONTE:GUERRA(1991:180) 
Entao o IC sera: 
   
%90
500
52,0152,0
64,152,0
500
52,0152,0
64,152,0 






 


 pP
 
Ou: 
  %90552,0488,0  pP
 ou ainda: 
  %90%2,55%8,48  pP
 
E a interpretacao é de que o intervalo 
 %2,55%,8/48
contem a verdadeira percentagem (ou 
proporcao) de pecas defeitosas. 
22 
 
2.8. Intervalo de Confiança Para a Diferença de Proporções 
 
Se 







1
11
1 ,
n
qp
pNf
d e 







2
22
2 ,
n
qp
pNf
d , então tem-se: 
   















2
22
1
11
2121 ,
n
qp
n
qp
ppNff
d 
   
   
2
22
1
11
2121
11
n
pp
n
pp
ppff
Z





 
Portão: 
 






 1
22
ZZZP
 
 
FONTE:GUERRA(1991) 
 
   
   
       11111
2
22
1
11
2
2121
2
22
1
11
2
21
n
pp
n
pp
Zffpp
n
pp
n
pp
ZffP
como em geral os valores de 
1p
 e 
2p
 são desconhecidos, eles podem ser estimados por 
1f
e 
2f
 
desde que os tamanhos das amostras em que 
1f
 e 
2f
 foram calculados sejam grandes(maiores que 
30) e dai vem: 
 
   
   
       11111
2
22
1
11
2
2121
2
22
1
11
2
21
n
ff
n
ff
Zffpp
n
ff
n
ff
ZffP
Exemplo: 
 
 
Exemplo: Um levantamento estatístico mostrou 80 pessoas, das 200 consultadas, numa cidade, 
vão votar no candidato A na próxima eleição; uma outra amostra de 500 pessoas, dessa mesma 
23 
 
cidade, mostrou que 150 delas vão votar no candidato B. construir um intervalo de confiança de 
93% para a diferença das proporções de pessoas que vão votar A e B. 
Resolução 
 
30,0
500
150
40,0
200
80
2
1


f
f
 
Tabela normal 
812,107,0
2
  Z
 
Portanto: 
93,0)
500
70,030,0
200
60,040,0
812,1)30,0,040,0)(
500
70,030,0
200
60,040,0
812,1)30,040,0( 21 







 ppp
93,0)173,0)(027,0( 21  ppP
 ou 
93,0%)3,17)(%7,2( 21  ppP
 
 
Tamanho da Amostra para estimar 

 
 
Pode-se aplicar a fórmula E também para determinar o tamanho da amostra que é necessário para 
atingir um grau de precisão desejado. 
Resolvendo a equação do erro 
n
ZE

 .
2

 em 𝑛 obtemos 









E
Z
 2

n
 
24 
 
3. Conclusão 
 
Durante o desenvolvimento do trabalho concluímos que, estimação por intervalo o estimador não 
permite ter uma ideia do erro cometido ao se fazer a estimativa do parâmetro. Para que se possa 
associar uma confiança (probablidade) a uma estimativa é necessário construir um intervalo em 
torno da estimativa por ponto. Este intervalo é construído baseando-se da distribuição amostral do 
estimador. 
Estimação por intervalo de confiança é uma técnica alternativa para estimar o valor de um 
parâmetro 

 consiste em estender o conceito do limite do erro da estimativa e gerarum intervalo 
de valores prováveis para o parâmetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
4. Referência Bibliográfica 
 
FONSECA, J.S.; MARTINS, G.A. Curso de estatística. 6a edição. Atlas. São Paulo, 1996. 
LAPONNI, Juan Carlos. Estatística usando Excel. Laponni treinamento e editora. São Paulo 1997. 
MILONE, J.S.; MARTINS, G.A. Curso de estatística. 4a ed. Sao Paulo: Atlas. 1993 
D.H. SANDERS R.J. ENG e A.F. MUROH. Statistics. A Fresh Approach. McGrawHill Int. Ed. 
1985 
MARTINS, Gilberto de Andrade, Estatística Geral e Aplicada, 3a edição, São Paulo, 2009 
BASTOS, Luís Roberto, Probabilidade e Estatística, 2005. 
CHICAFO, Mulenga Alberto, Introdução a Estatística, Maputo, 1999 
ROBALO, A. Estatística exercícios. Distribuições e inferência estatística. 5a edição. Lisboa, 
Portugal. 2001.