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Estatística experimental( Apostila)

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efeito 
significativo de rações com relação ao ganho de peso médio proporcionado pelas 
mesmas? 
4.7.3. Proponha um contraste que compare as rações B e C juntas contra as 
rações D e E. Obtenha a estimativa para este contraste. 
4.7.4. Calcule o coeficiente de variação e interprete-o. 
Cap 5 – Comparações Múltiplas 
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45 
5. Procedimentos para Comparações Múltiplas 
5.1. Introdução 
O fator ou fatores em avaliação em um experimento podem ser classificados como 
qualitativo ou quantitativo. Um fator quantitativo é aquele onde cada nível é descrito por 
uma quantidade numérica em uma escala. Como exemplos tem-se temperatura, umidade, 
concentração de um princípio ativo, níveis de insumo, pH, etc ... Para estudar o efeito 
deste tipo de fator recomenda-se realizar uma análise de regressão, assunto que será 
abordado no Capítulo 10. 
Por outro lado, um fator qualitativo é aquele onde os níveis diferem por algum 
atributo qualitativo. Como exemplos têm-se variedades, tipos de defensivos, métodos de 
conduzir uma determinada tarefa, etc. Para estudar o efeito deste tipo de fator, deve-se 
proceder à análise de variância dos dados e, se for conveniente, proceder às 
comparações entre as médias dos níveis do fator usando algum dos procedimentos para 
comparações múltiplas descritos neste capítulo. 
A análise de variância, conforme visto no capítulo anterior, serve para verificar se 
existe alguma diferença significativa entre as médias dos níveis de um fator a um 
determinado nível de significância. Se o teste F para a fonte de variação que representa o 
fator em estudo for não-significativa, ou seja, a hipótese de nulidade (Ho: m1 = m2 = ... = 
mI) não for rejeitada, todos os possíveis contrastes entre médias de tratamentos são 
estatísticamente nulos. Neste caso, não é necessário a aplicação de nenhum 
procedimento de comparações múltiplas. 
Por outro lado se o teste F for significativo, ou seja a hipótese de nulidade for 
rejeitada, implica que existe pelo menos um contraste entre médias estatisticamente 
diferente de zero. Os procedimentos de comparações múltiplas a serem vistos neste 
capítulo, visam identificar qual(is) é(são) esse(s) contraste(s), para podermos por 
conseqüência identificarmos qual(is) é(são) o(s) nível(is) do fator em estudo que 
apresentou(ram) maior(es) média(s). 
Dentre os diversos testes existentes na literatura, serão vistos os quatro testes mais 
comumente utilizados. Estes testes podem ser divididos em duas categorias principais de 
acordo com os tipos de contrastes que podem ser testados: 
 
1a) Procedimentos para testar todos os possíveis contrastes entre duas médias dos 
níveis do fator em estudo 
a) Teste de Tukey 
b) Teste de Duncan 
 
2a) Prodedimentos para testar todos os possíveis contrastes entre médias dos níveis 
do fator em estudo 
a) Teste t de Student 
b) Teste de Scheffé 
 
Todos os procedimentos se baseiam no cálculo de uma diferença mínima 
significativa (dms). A dms representa o menor valor que a estimativa de um contraste 
deve apresentar para que se possa considerá-lo como significativo. Por exemplo, para 
um contraste entre duas médias, a dms representa qual é o menor valor que tem que ser 
detectado entre as suas estimativas para que se possa concluir que os dois tratamentos 
produzam efeitos significativamente diferentes. 
EST 220 – Estatística Experimental – I/2008 
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A princípio um determinado contraste, por exemplo, entre duas médias poderia ser 
testado por cada um dos procedimentos aqui apresentados. A conclusão a respeito da 
significância do contraste pode variar de um procedimento para outro, pois o valor da dms 
varia de um teste para outro, pois cada um se baseia numa distribuição de probabilidades 
específica. Devido a esta possibilidade na diferença de conclusões a respeito da 
significância do contraste, nós podemos dizer que um teste é mais conservador (ou 
rigoroso) que o outros. Na estatística dizemos que um teste é mais conservador que o 
outro quando a dms dele é maior, pois ele tende a “conservar” a hipótese de igualdade 
entre médias como verdadeira. Isto porque quanto maior a dms mais difícil se torna 
rejeitar a hipótese de nulidade. 
Este maior ou menor conservadorismo de um teste pode ajudar o pesquisador a 
escolher um procedimento de comparação múltipla. Se por exemplo, por experiência 
própria o pesquisador sabe que as diferenças entre os efeitos dos níveis do fator em teste 
são pequenas e ele deseja detectar estas pequenas diferenças, então ele deve usar um 
procedimento menos conservador, ou seja, que apresenta uma menor dms. Se por outro 
lado, ele quer concluir que os níveis do fator têm efeitos diferentes somente quando a 
diferença nos seus efeitos for realmente grande, então ele deve usar um teste mais 
conservador, ou seja, com maior dms. 
Vamos ver a partir de agora cada procedimento com mais detalhe. Considere para 
tanto, que estamos interessados em comparar as médias dos I níveis de um fator 
qualitativo, as quais foram obtidas a partir da realização de um experimento no 
delineamento inteiramente casualizado com J repetições, para o qual o teste F para fator 
foi significativo; e que o número de graus de liberdade para o fator em estudo foi igual a n1 
e para o resíduo foi igual a n2, ou seja, 
 
FV GL SQ QM F 
Fator I-1 SQFator QMTrat significativo 
Resíduo I(J-1) SQRes QMRes 
Total IJ - 1 SQTotal 
 
5.2. Alguns Procedimentos Para Comparações Múltiplas 
Dentre vários procedimentos existentes para comparações múltiplas, serão 
apresentados quatro: teste de Tukey, teste de Duncan, teste t de Student e teste de 
Scheffé. 
Teste de Tukey 
O teste de Tukey, pode ser utilizado para comparar a totalidade dos contrastes entre 
duas médias, ou seja, para os I(I−1)/2 contrastes do tipo C=mi – mu; para 1 ≤ i < u ≤ I, em 
que I é o número de níveis do fator em estudo. Este teste baseia-se na diferença mínima 
significativa (d.m.s.) representada por ∆ e dada por: 
( )CˆVˆ
2
1q=∆ 
em que, 
)n,I(qq 2α= é o valor tabelado da amplitude total estudentizada, que é obtido em 
função do nível α de significância do teste, número de níveis do fator 
em estudo (I) e número de graus de liberdade do resíduo (n2) da 
análise de variância. 
Lorena
Realce
Lorena
Realce
Cap 5 – Comparações Múltiplas 
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47 
( ) ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ += ui r1r1sReQMCˆVˆ 
No caso em que todos os tratamentos apresentaram o mesmo número de repetições, 
ou seja, ri = ru = K, o valor de ∆ é simplificado com a seguinte expressão 
K
sReQMq=∆ 
Para a realização do teste Tukey,a um nível de significância α, é necessário: 
1. enunciar as hipóteses: H0: C = 0 vs Ha: C≠ 0, em que C = mi – mu, para i ≠ u; 
2. obtenção das estimativas dos contrastes, ui mˆmˆCˆ −= , com base nos valores 
amostrais; 
3. cálculo do ∆ ; 
4. concluir a respeito da significância dos I(I−1)/2 contrastes em teste, usando a 
seguinte relação: se ∆≥Cˆ , rejeita-se 0H ; caso contrário, não se rejeita 0H . Neste 
caso, indicar as médias iguais, seguidas por uma mesma letra. 
Considerações: 
1. O teste de Tukey é válido para a totalidade dos contrastes de duas médias. 
2. O teste de Tukey exige, em princípio, balanceamento. Mas, no caso dos tratamentos 
apresentarem números de repetições diferentes, o resultado obtido por este teste é 
apenas uma aproximação. 
3. O teste de Tukey é exato para testar a maior diferença, nos demais casos é 
conservador. 
Teste de Duncan 
Tal como o teste de Tukey, o teste de Duncan é um procedimento seqüencial, 
válido para a totalidade dos contrastes de duas médias do tipo C = mi – mu. O teste de 
Duncan necessita

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