lista2 Gabarito Algebra Linear

Prévia do material em texto

ZAB 0161 - Álgebra linear com aplicações em geometria
analítica
Lista 2 - Matrizes
Todo sistema de equações lineares deve ser resolvido utilizando o método de eliminação Gauss ou
Gauss-Jordan.
1. Aplique a eliminação de Gauss para decompor A = LU para
(a) A =
[
1 2
3 4
]
(c) A =
 1 2 34 5 6
7 8 9

(b) A =
 5 3 07 9 2
−2 −8 −1

(d) A =
 1 3 02 1 2
2 4 1

.
Resolução: Utilizando o método de eliminação de Gauss-Jordan podemos triangularizar (su-
perior) as matrizes A e assim obter a matriz U com zeros abaixo da diagonal. Observar que
os fatores utilizados nas operações elementares (com sinal trocado) formam as entradas da
matriz L. A matriz L tem a característica de possuir 1 em cada entrada da diagonal e zeros
acima dela.
(a) Matriz U :
[
1 2
0 −2
]
; Matriz L :
[
1 0
3 1
]
(b) Matriz U :
 5 3 07 9 2
−2 −8 −1
 ∼
 5 3 00 245 2
0 −345 1
 ∼
 5 3 00 245 2
0 0 116

;
Matriz L :
 1 0 07
5 1 0− 25 − 1712 1

(c) Matriz U :
 1 2 34 5 6
7 8 9
 ∼
 1 2 30 −3 −6
0 −6 −12
 ∼
 1 2 30 −3 −6
0 0 0

;
Matriz L :
 1 0 04 1 0
7 2 1

(d) Matriz U :
 1 3 02 1 2
2 4 1
 ∼
 1 3 00 −5 2
0 −2 1
 ∼
 1 3 00 −5 2
0 0 15

; Matriz L:
 1 0 02 1 0
2 25 1

1
2. Com as matrizes A da alinea (b) e (d), do exercício anterior, resolver para x a equação:
Ax =
 12
3
 .
Resolução:
(b) Aplicando Gauss-Jordan na matriz estendida, tem-se: 5 3 0 |17 9 2 |2
−2 −8 −1 |3
 ∼
 1 35 0 157 9 2 2
−2 −8 −1 3
 ∼
 1 35 0 150 1 512 18
0 − 345 −1 175
 ∼
 1 0 0 31440 1 0 − 3744
0 0 1 5122

X =
 3144− 3744
51
22

(d) Aplicando Gauss-Jordan na matriz estendida, tem-se: 1 3 0 |12 1 2 |2
2 4 1 |3
 ∼
 1 3 0 10 −5 2 0
2 4 1 3
 ∼
 1 3 0 10 −5 2 0
0 −2 1 1
 ∼
 1 0 0 −50 1 0 2
0 0 1 5

X =
 −52
5

.
3. Calcular as matrizes inversas (se possível) de
(a)
 2 3 42 1 1
−1 1 2

 2 3 4 |1 0 02 1 1 |0 1 0
−1 1 2 |0 0 1
 ∼
 1 32 2 | 12 0 02 1 2 |0 1 0
−1 1 2 |0 0 1
 ∼
∼
 1 0 0 | −1 2 10 1 0 | 5 −8 −6
0 0 1 | −3 5 4

(b)
 1 2 22 −1 1
1 3 2

 1 2 2 | 1 0 02 −1 1 | 0 1 0
1 3 2 | 0 0 1
 ∼
 1 2 2 | 1 0 00 −5 −3 | −2 1 0
1 3 2 | 0 0 1
 ∼
∼
 1 2 2 | 1 0 00 1 0 | −1 0 1
0 0 1 | 73 − 13 − 53
 ∼
 1 0 0 | − 53 23 430 1 0 | −1 0 1
0 0 1 | 73 − 13 − 53

(c)

0 1 0 0 0 0
2 0 2 0 0 0
0 3 0 1 0 0
0 0 1 0 2 0
0 0 0 3 0 1
0 0 0 0 2 0

2

0 1 0 0 0 0 | 1 0 0 0 0 0
2 0 2 0 0 0 | 0 1 0 0 0 0
0 3 0 1 0 0 | 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 2 0 | 0 0 0 1 0 0
0 0 0 3 0 1 | 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 2 0 | 0 0 0 0 0 1
 ∼
∼

1 0 1 0 0 0 | 0 12 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 | 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 | 0 0 0 1 0 −1
0 0 0 1 0 0 | −3 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 0 12
0 0 0 0 0 1 | 9 0 −3 0 1 0
 ∼
∼

1 0 0 0 0 0 | 0 12 0 −1 0 1
0 1 0 0 0 0 | 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 | 0 0 0 1 0 −1
0 0 0 1 0 0 | −3 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 0 12
0 0 0 0 0 1 | 9 0 −3 0 1 0

(d)
[
cos(θ) −sen(θ)
sen(θ) cos(θ)
]
[
cos (θ) −sen (θ) |1 0
sen (θ) cos (θ) |0 1
]
∼
[
1 −tg (θ) | sec (θ) 0
0 1 | −sen (θ) cos (θ)
]
∼
∼
[
1 0 | cos (θ) sen (θ)
0 1 | −sen (θ) cos (θ)
]
.
(e)
[
cosh(x) senoh(x)
senoh(x) cosh(x)
]
lembrar as identidades
{
cosh(x) = 12 (e
x + e−x)
senoh(x) = 12 (e
x − e−x) .[
cosh (x) senoh (x) | 1 0
senoh (x) cosh (x) | 0 1
]
∼
[
1 senoh(x)cosh(x) | 1cosh(x) 0
0 1cosh(x) | − senoh(x)cosh(x) 1
]
∼
∼
[
1 0 | cosh(x) −senoh(x)
0 1 | −senoh(x) cosh(x)
]
.
4. Considere o seguinte sistema de equações lineares x+ 3y + z = b2x+ ax+ 3z = 1
4x+ 2y = 0
onde a e b são coeficientes escalares.
(a) Discuta o sistema em função dos coeficientes a e b.
Resolvendo o sistema, tem-se que: 1 3 1 | b(2 + a) 0 3 | 1
4 2 0 | 0
 ∼
 1 3 1 | ba− 1 −9 0 | 1− 3b
4 2 0 | 0
 ∼
 −5 0 1 | ba+ 17 0 0 | 1− 3b
2 1 0 | 0
 .
3
Daqui, para conseguir outro pivô igual a 1, precisamos que a 6= −17, logo existe 1a+17 , então −5 0 1 | ba+ 17 0 0 | 1− 3b
2 1 0 | 0
 ∼
 0 0 1 | 5+2b+aba+171 0 0 | 1−3ba+17
0 1 0 | 6b−2a+17
 .
Logo, para qualquer b mas a 6= −17, existe uma única solução, que toma a forma X =
1
a+17
 5 + 2b+ ab1− 3b
6b− 2

.
Para o caso a = −17, temos  −5 0 1 | b0 0 0 | 1− 3b
2 1 0 | 0

e esse sistema tem solução para 1− 3b = 0, isto é, para b = 13 temos infinitas soluções com a
forma X =
 xy
z
 =
 r−2r
b+ 5r
 =
 00
1
3
+ r
 1−2
5

.
Por último, para a = −17, e b 6= 13 temos 0 6= 0, logo não existem soluções.
(b) Decomponha a matriz dos coeficientes ,A, para a = 6, na forma A = LDU .
Fazendo a matriz U pelo método de Gauss-Jordan: 1 3 18 0 3
4 2 0
 ∼
 1 3 10 −24 −5
0 −10 −4
 ∼
 1 3 10 −24 −5
0 0 − 2312
 .
Utilizando os elementos da diagonal para fazer a matriz D =
 1 0 00 −24 0
0 0 − 2312

.
Fazendo a matriz L :
 1 0 08 1 0
4 512 1
 . Então:
 1 3 18 0 3
4 2 0
 =
 1 0 08 1 0
4 512 1
 .
 1 0 00 −24 0
0 0 − 2312
 .
 1 3 10 1 524
0 0 1

(c) Calcule a inversa da matriz dos coeficientes do sistema, para o caso a = 6. Utilize o resultado
para resolver o sistema no caso a = 6 e b = 0.
Calculando a inversa da matriz A, com os coeficientes a = 6 e b = 0 : 1 3 1 | 1 0 08 0 3 | 0 1 0
4 2 0 | 0 0 1
 ∼
 1 3 1 | 1 0 00 1 524 | 13 − 124 0
0 0 − 2312 | − 23 − 512 1
 ∼
∼
 1 0 0 | − 323 123 9460 1 0 | 623 − 223 546
0 0 1 | 823 523 − 1223
 .
4
Logo o sistema a ser resolvido é 1 3 18 0 3
4 2 0
 xy
z
 =
 01
0
 ,
assim  xy
z
 =
 − 323 123 9466
23 − 223 546
8
23
5
23 − 1223
 01
0
 =
 123− 223
5
23
 .
5. Seja f : R3 → R3 a função (transformação) matricial definda por
f
 xy
z
 =
 1 2 3−3 −2 −1
−2 0 2
 xy
z

(a) Determine x, y e z tais que f
 xy
z
 =
 22
4

.
Resolução: Seria resolver o sistema
 1 2 3−3 −2 −1
−2 0 2
 xy
z
 =
 22
4

, então 1 2 3 | 2−3 −2 −1 | 2
−2 0 2 | 4
 ∼
 1 0 −1 | −20 1 2 | 2
0 0 0 | 0
⇒ X =
 α− 2−2α+ 2
α

.
(b) Determine também a matriz resultante de f
 22
4

.
f
 22
4
 =
 1 2 3−3 −2 −1
−2 0 2
 .
 22
4
 =
 18−14
4
 .
6. Determine uma equação que relacione a, b e c para que o sistema linear abaixo tenha solução para
quaisquer valores de a, b e c que satisfazem essa equação. 2x+ 2y + 3z = a3x− y + 5z = b
x− 3y + 2z = c
.
Resolução: 2 2 3 |a3 −1 5 |b
1 −3 2 |c
 ∼
 1 1 32 a20 −4 12 −3a+b2
0 −4 12 −a+2c2
 ∼
 1 1 32 a20 1 − 18 3a−2b8
0 0 0 a− b+ c
 .
Assim, uma equação para as variáveis a, b e c, que satisfazem o sistema de equações, é: a−b+c = 0.
Nos próximos três exercícios utilize cálculo de matriz inversa.
5
Figura 1: Temperaturas
7. Considere um processo industrial cuja matriz é
A :=
 2 1 33 2 −1
2 1 1
 .
Determine a matriz de entrada para cada uma das seguintes matrizes resultantes:
(a)
 3020
10

(b)
 128
14
 .
Resolução:
Para resolver utilizamos A.X = F ⇒ X = A−1F . Então encontramos a inversa de A, 2 1 3 |1 0 03 2 −1 |0 1 0
2 1 1 |0 0 1
 ∼
 1 12 32 12 0 00 12 − 112 − 32 1 0
2 1 1 0 0 1
 ∼
 1 0 0 − 32 −1 720 1 0 52 2 − 112
0 0 1 12 0 − 12
 .
(a) X =
 − 32 −1 725
2 2 − 112
1
2 0 − 12
 .
 3020
10
 =
 −3060
10

(b) X =
 − 32 −1 725
2 2 − 112
1
2 0 − 12
 . 128
14
 =
 23−31
−1

.
8. Considerando que as temperaturas não conhecidas nos pontos da Figura [1], são valores promédios
dos valores conhecidos, determine as temperaturas T1, T2, T3 e T4.
6
Resolução: O sistema de equações, com os coeficientes já colocados na matriz é:
4 −1 −1 0 |80
−1 4 0 −1 |80
−1 0 4 −1 |50
0 −1 −1 4 |50
 ∼

1 0 0 0 | 1454
0 1 0 0 | 1454
0 0 1 0 | 1154
0 0 0 1 | 1154
⇒ X =

36, 25
36, 25
28, 75
28, 75
 .
Portanto, T1 = 36, 25
o; T2 = 36, 25
o
; T3 = 28, 75
o; T4 = 28, 75
o.
9. Responda verdadeiro ou faso, justificando,
(a) Se A2 = −2A4, então (In +A2) (In − 2A2) = In.
Verdadeiro. Desenvolvendo o produto (In + A
2).(In − 2A2) = In + A2 − 2A2 − 2A4 =
In −A2 − 2A4. Utilizando a hipótese temos (In +A2).(In − 2A2) = In −A2 +A2.
(b) Se A = P tDP , onde D é uma matriz diagonal, então At = A.
Verdadeiro. Calculamos a transposta de A temos At = (P tDP )t = P tDtP t
t
, onde foi
utilizada a propriedade da transposta de um produto. Mas a transposta da transposta de
uma matriz é a mesma matriz, assim P t
t
= P , e a transposta de uma matriz diagonal é a
mesma matriz diagonal, então At = P tDtP t
t
= P tDP = A.
(c) Se D é uma matriz diagonal, então DA = AD, para toda matriz A, n× n.
Falso, pois, supondo uma matriz qualquer A =
[
1 2
3 4
]
e D =
[
2 0
0 5
]
e fazendo-se
DA =
[
2 0
0 5
]
.
[
1 2
3 4
]
=
[
2 4
15 20
]
Fazendo-se AD =
[
1 2
3 4
]
.
[
2 0
0 5
]
=
[
2 10
6 20
]
. Portanto, A.D 6= D.A.
(d) Se B = AAt, então B = Bt.
Verdadeiro. Calcula-se Bt = (AAt)t = At
t
At = AAt = B.
(e) Se B e A são tais que A = At e B = Bt então C = AB, é tal que Ct = C.
Falso. Calcula-se Ct = (AB)t = BtAt, utilizando as igualdades em que A e B são iguais a
suas transpostas, temos Ct = BA, se Ct = C teriamos que BA = AB, o que não é válido
sempre pois o produto de matrizes não é necessariamente comutativo. Como contra exemplo
temos A =
[
1 2
2 6
]
e B =
[
4 9
9 8
]
, onde AB =
[
22 25
62 66
]
e BA =
[
22 62
25 66
]
, que não
são iguais.
10. Determine coeficientes a, b e c da equação da circunferência x2 + y2 + ax+ by + c = 0 que passa
pelos pontos P = (−2, 7), Q = (−4, 5), R = (4,−3).
Resolução: Substituindo os pontos dados na equação da circunferência e colocando os valores dos
coeficientes de a, b e c na matriz: −2 7 1 |− 53−4 5 1 |− 41
4 −3 1 |− 25
 ∼
 1 0 0 |− 20 1 0 |− 4
0 0 1 |− 29
 .
O valor dos coeficientes é: a = −2, b = −4 e c = −29, portanto a circunferência é x2 + y2 − 2x−
4y − 29 = 0
7