MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM

Prévia do material em texto

MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª 
ORDEM 
Exemplo 1. Circuito RL 
 
Se R = 12 ohms , L =4 henrys e E(t) = 60 volts e o interuptor é ligado em t = 0 
seg., determine a função I(t) e faça um esboço do seu gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 Crescimento/Decrescimento 
Sabe-se que a população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional ao 
número de pessoas presentes no instante t. A população inicial era de 20000 
habitantes. Após 10 anos a população foi para 25000 habitantes. Escreva a 
população em função do tempo t. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3. Lei do Resfriamento de Newton 
A taxa de resfriamento de um objeto é proporcional a diferença de temperatura 
entre o objeto e o ambiente em que o o objeto é colocado. Quando duas 
grandezas são proporcionais, dizemos que uma é sempre k (que é uma 
constante fixa) vezes a outra.Por exemplo, a grandeza y é proporcional a 
grandeza x, então y = kx. 
 
Um objeto com uma temperatura de 100ºC é colocado a uma temperatura 
ambiente de 30ºC. A sua temperatura passa de 100ºC para 80ºC em 15 
minutos. 
a)Escreva a temperatura em função do tempo. 
b) Qual é a temperatura no tempo igual a 52 minutos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4. Misturas 
Um tanque contém 20 kg de sal dissolvidos em 5000 litros de água. A água 
salgada com 0,03 kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 25 
litros/minuto. A solução é misturada completamente e sai do tanque a mesma 
taxa. Qual é a quantidade de sal que permanece no tanque no instante igual a 
30 minutos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5 Crescimento/ Decrescimento 
Numa certa altura de bactérias a taxa de aumento é proporcional ao número 
presente de bactérias. Verificou-se que o número de bactérias dobra em 4 
horas. 
a)Escreva o número de bacterias em função do tempo, considerando o nº de 
bactérias inicial igual a y0. 
b) Quantas vezes y0 teremos após 2 horas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6. Trajetórias Ortogonais 
Duas curvas são ortogonais se em cada ponto de interseção suas retas 
tangentes são perpendiculares. Duas famílias de curvas são ortogonais se 
cada curva de uma família é ortogonal a outra curva de outra família. 
Determine a família de curvas com trajetórias ortogonais a xy = c, c é uma 
constante diferente de zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de Modelagem com ED de 1ª Ordem 
1 Determinar a equação da curva que passa pelo ponto (1,1), tal que a 
inclinação, em cada ponto, seja cinco vezes o quadrado da ordenada desse 
ponto. 
2.Um avião, ao decolar de um campo de pouso, percorre uma pista de 2 km. 
Se este avião partir com uma velocidade de 10 m/s, com acelaração constante 
e fizer o trajeto da pista em 50 s, com que velocidade decolará ? 
3. A população de uma cidade dobra em 50 anos. Admitindo que a razão de 
crescimento é proporcional ao número de habitantes, em quanto tempo a 
população será o triplo? 
4. Um corpo com a temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador 
mantido à temperatura constante de 0ºC. Se após 20 minutos a temperatura do 
corpo é de 40º e após 40 minutos é de 20ºC, determine a temperatura inicial do 
corpo. 
5. Suponha que pouco antes do meio-dia o corpo de uma vítima de homicídio é 
encontrada numa sala com ar condicionado a uma temperatura constante de 
21ºC. Ao meio-dia, a temperatura do corpo era de 30ºC, e uma hora mais tarde 
era de 27ºC. Assumindo que a temperatura do corpo na hora da morte era de 
36,5 ºC, qual foi a hora da morte? 
6.A taxa de crescimento de uma população de uma cidade é proporcional ao 
número de habitantes. No tempo inicial a população desta cidade era de 10000 
habitantes. Após 5 anos, a população passou para 12000 habitantes. Escreva 
população em função do tempo. 
7.Um tanque contém 100 litros de água pura. Água salgada contendo 0,1 kg de 
sal por litro entra no tanque a uma taxa de 10 litros/minuto. A solução é agitada 
e retirada do tanque a mesma taxa. Quantos quilogramas de sal permanece no 
tanque no tempo igual a seis minutos? 
8.Um grande tanque é cheio completamente com 1000 litros de água pura. 
Uma salmoura contendo 0,1 kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 
20 litros por minuto. A solução bem misturada é bombeada para fora à mesma 
taxa. Determine a quantidade y(t) de quilogramas de sal no instante t. Qual é o 
valor de y(t) quando o tempo tende para infinito? 
9.Um tanque contém 100 litros de água no qual foram dissolvidos 400 gramas 
de sal. Está sendo bombeada uma água pura para o tanque a uma taxa de 5 
litros/minuto. A solução bem misturada é bombeada para fora à mesma taxa. 
Ache o número y(t) de gramas de sal no tanque no instante t. 
10.Em 10 minutos certa substância resfria-se de CaC oo 60100 no ar, cuja 
temperatura ambiente é Co20 . Determine a temperatura da substância no 
tempo igual a 20 minutos. 
 Sugestão : A lei do resfriamento de Newton é dada pela equação 
diferencial 
݀ܶ
݀ݐ
= ܭ(ܶ − ஺ܶ) 
11.Um termômetro e levado para fora de um quarto, onde a temperatura 
ambiente é de 2ºC. Após 1 minuto, o termômetro marca 30ºC, e após 3 
minutos, 20ºC. Qual era a temperatura inicial do quarto. 
12.A carga elétrica q em função do tempo t num capacitor num circuito RC em 
série é dada pelo PVI 
ܴݍ′ + ଵ
஼
q = E(t) q(0) = q0 
Suponha que R = 10 ohms, C = 0,05F , E(t) = 60 V e q(0) = 0. Determine a 
carga elétrica q(t). 
13.Uma força eletromotriz de 100V é aplicada a um circuito em série RC no 
qual a resistência é de 50 ohms e a capacitância é de 2 x 10-6 farads. 
Determine a carga elétrica no capacitor q(t) se q(0) = 0. Determine a carga 
elétrica quando ݐ → ∞. A carga elétrica está de acordo com o PVI 
ܴݍ′ + ଵ
஼
q = E(t) q(0) = 0