Seja a função 2y'-y'=2e2x . Encontre a solução geral para a equação diferencial. Assuma que a solução geral forma de y=erx e a solução particular de forma y=Aexg

Question

Seja a função 2y'-y'=2e2x . Encontre a solução geral para a equação diferencial. Assuma que a solução geral forma de y=erx e a solução particular d...

Ed · Answer

Para resolver a equação diferencial $2y' - y' = 2e^{2x}$, primeiro vamos simplificá-la:

1. **Reescrevendo a equação**:
   $$
   (2 - 1)y' = 2e^{2x} \implies y' = 2e^{2x}
   $$

2. **Encontrando a solução geral**:
   A solução geral da equação diferencial é obtida integrando $y'$:
   $$
   y = \int 2e^{2x} \, dx = e^{2x} + C
   $$
   onde $C$ é a constante de integração.

3. **Solução particular**:
   Para encontrar uma solução particular da forma $y = A e^{2x}$, substituímos na equação original:
   $$
   y' = 2A e^{2x}
   $$
   Substituindo $y$ e $y'$ na equação:
   $$
   2(2A e^{2x}) - (A e^{2x}) = 2e^{2x}
   $$
   Simplificando:
   $$
   (4A - A)e^{2x} = 2e^{2x} \implies 3A = 2 \implies A = \frac{2}{3}
   $$

4. **Solução particular encontrada**:
   Assim, a solução particular é:
   $$
   y_p = \frac{2}{3} e^{2x}
   $$

5. **Solução geral completa**:
   A solução geral da equação diferencial é:
   $$
   y = e^{2x} + C + \frac{2}{3} e^{2x} = \left(1 + \frac{2}{3}\right)e^{2x} + C = \frac{5}{3} e^{2x} + C
   $$

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
$$
y = \frac{5}{3} e^{2x} + C
$$

Equações Diferenciais

Respostas

Ainda com dúvidas?

Perguntas dessa disciplina

Lei er Seja a função: 5y" - y = 2x² Encontre a solução geral para a equação diferencial. Assuma que a solução geral tenha forma de y = eʳˣ e a solução

Seja a função: y"" + 2y" - 3y' = 0 Encontre a solução geral para a equação diferencial. Assuma que a solução tenha forma de y = eʳˣ. A +) y(x) = c1 *

Para a equacao diferencial dx 2 d 2 y 4 dx dy +4y=0, qual e a forma da solucao geral? a) y=C 1 e 2x +C 2 e 2x b) y=(C 1 +C 2 x)e 2x c) y=C 1 e 4x +...

Ileja a função: $y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}=0$ Encontre a solução geral para a equação diferencial. Assuma que a sol...

Conteúdos escolhidos para você

TODAS Exercícios EQUAÇÃO DIFERENCIAL (8)

cálculo integral

IMG_1431

Equações Diferenciais Ordinárias

Mais conteúdos dessa disciplina