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From the SelectedWorks of Sergio Da Silva
January 2010
Escolha Intertemporal
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Available at: http://works.bepress.com/sergiodasilva/139
 
Escolha Intertemporal Hal R. Varian 
 Intermediate Microeconomics, 8th edition 
 Capítulo 10 
 
Consumir agora? Consumir depois, usando a poupança de agora? Este tipo de escolha de 
consumo que relaciona o presente ao futuro é um exemplo de escolha intertemporal. 
 
Restrição orçamentária intertemporal 
 
Digamos que o consumidor precise escolher quanto consumir de certo bem em dois períodos 
de tempo. Denotamos a quantidade de consumo em cada período por 1 2( , )c c ; supomos que os 
preços de cada período fiquem constantes e iguais a um: 
1 2
1c cp p= = ; denotamos a 
quantidade de dinheiro que o consumidor possui em cada período por 1 2( , )m m ; supomos que 
dinheiro seja transferido do período 1 para o período 2 através de uma poupança que não 
rende juros ( 0r = ) e supomos que o consumidor não pode tomar dinheiro emprestado: o 
máximo que pode gastar no período 1 é 1m . 
 Na Figura 1, vemos que, nesse modelo, a reta orçamentária apresenta inclinação 
1
2
1
1 1
c
c
p
p= = − = − , intercepto horizontal 1 12 11c
m m
p m= = = e intercepto vertical 2 22 21c
m m
p m= = = . 
 
 O consumidor consome toda a sua renda (dotação) em cada período ( 1 1c m= no 
período 1 e 2 2c m= no período 2) ou consome menos do que 1m no período 1, poupando para 
consumir mais do que 2m no período 2. 
 Esse modelo pode ser ampliado para levar em conta o fato de que o consumidor pode 
emprestar ou tomar emprestado a uma taxa de juros r . Podemos continuar supondo que 
1 2
1c cp p= = . Se o consumidor poupar ( 1 1c m< ), recebe juros r pela quantidade poupada 
1 1m c− e a quantidade que poderá ser consumida no período 2 será dada por: 
 
 2 2 1 1 1 1( ) ( )c m m c r m c= + − + − 
 
 2 2 1 1(1 )( )c m r m c= + + − , (1) 
 
onde 1 1( )r m c− é a renda de juros recebida pela quantidade poupada no período 1. 
 Se, no período 1, o consumidor consumir mais do que sua renda ( 1 1c m> ), tomando 
emprestado para pagar a quantia 1 1c m− com juros 1 1( )r c m− no período 2, então a 
quantidade que poderá ser consumida no período 2 será: 
 
 2 2 1 1 1 1( ) ( )c m c m r c m= − − − − . 
 
 Podemos simplificar essa expressão para: 
 
 2 2 1 1(1 )( )c m r c m= − + − , 
 
que é a mesma equação (1). 
 Portanto, a equação (1) fornece a reta orçamentária intertemporal. Por ela, sabemos 
que, se 1 1 0m c− > , o consumidor receberá juros por sua poupança; se 1 1 0m c− < , o 
consumidor pagará juros pelo empréstimo feito e se 1 1 0m c− = , então 1 1m c= e 2 2m c= , o 
que significa que o consumidor não tomará emprestado e, portanto, não receberá nem pagará 
juros. 
 Podemos reescrever a equação (1) como: 
 
 2 2 1 1(1 )( )c m r m c= + + − (1) 
 
 2 2 1 1(1 ) (1 )c m r m r c= + + − + 
 
 1 2 1 2(1 ) (1 )r c c r m m+ + = + + . (1′) 
 
Como a equação (1′) é uma reta orçamentária, está implícito que o preço do consumo no 
presente é 
1
1cp r= + e que o preço do consumo no futuro é 2 1cp = . Como o preço do 
consumo futuro é igual a 1, a equação (1′) fornece a reta orçamentária em termos do valor 
futuro. 
 Podemos dividir a equação (1′) por 1 r+ : 
 
 2 21 11 1
c mc m
r r
+ = ++ + . (1″) 
 
Agora o preço do consumo presente fica sendo 
1
1cp = e o preço do consumo futuro, 
2
1
1c rp += . Como o preço do consumo presente é igual a 1, a equação (1″) fornece a reta 
orçamentária em termos do valor presente. 
 Na Figura 2, o intercepto horizontal é encontrado considerando 2 0c = na reta 
orçamentária em termos do valor presente (1″). Ficamos com 21 1 1m rc m += + . O intercepto 
vertical, por sua vez, é encontrado considerando 1 0c = na reta orçamentária em termos do 
valor futuro (1′). Ficamos com 2 1 2(1 )c r m m= + + . 
 
 Como 
1
1cp = e 2 11c rp += na equação (1″), e a inclinação 12cc
p
p= − , logo 
 
 Inclinação = 
1
1
1 (1 )
r
r
+
− = − + . 
 
Portanto, se r aumentar, a reta orçamentária ficará mais íngreme na Figura 2, girando em 
torno do ponto de dotação. A reta gira em torno do ponto de dotação pelo fato de que a 
dotação será sempre acessível. Assim, para determinada redução em 1c , o consumidor obterá 
mais de 2c . 
 
Preferências intertemporais 
 
O formato de uma curva de indiferença intertemporal informa o gosto do consumidor entre 
consumir agora ou depois. Por exemplo, na curva de indiferença de inclinação igual a −1 
(Figura 3), o consumidor será indiferente entre consumir hoje ou amanhã. O consumo de hoje 
e o de amanhã serão bens substitutos perfeitos e a TMS entre hoje e amanhã será igual a −1. 
 Na Figura 4, temos uma curva de indiferença que representa o gosto de consumir 
quantidades iguais hoje e amanhã, sem se querer substituir o consumo de um período pelo do 
outro: o consumo de hoje e o de amanhã serão bens complementares perfeitos. 
 Na Figura 5, temos uma curva de indiferença convexa que representa o gosto de 
consumir certa quantidade “média” em cada período. Para conseguir isso, o consumidor pode 
querer substituir certa quantidade do consumo de hoje por certa quantidade do consumo de 
amanhã. 
 
 
Estática comparativa 
 
Dada a reta orçamentária intertemporal do consumidor e suas preferências de consumo 
intertemporais, se, na escolha ótima * *1 2( , )c c , 1 1c m< , o consumidor será um emprestador 
(Figura 6a); se 1 1c m> , ele será um tomador de empréstimo (Figura 6b). 
 
 
 No caso em que ele é um emprestador ( 1 1c m< ), se (1 )r r↑→ + ↑ (Figura 7), a reta 
orçamentária intertemporal ficará mais íngreme, rotando em torno do ponto de dotação e o 
consumo presente continuará menor do que 1m . Portanto, o consumidor continuará na 
condição de emprestador. Observe que 11c não poderá ficar à direita de 1m porque isto violaria 
a preferência revelada: escolhas à direita de 1m estavam disponíveis na escolha inicial mas 
foram preteridas em função da escolha de 1c . 
 Se (1 )r r↓→ + ↓ (Figura 8), a reta orçamentária intertemporal ficará mais deitada, 
girando em torno do ponto de dotação e o consumo presente poderá ficar maior do que 1m . 
Portanto, o consumidor poderá sair da condição de emprestador (ou não, já que não podemos 
recorrer ao argumento da preferência revelada nesta situação). 
 
 
 No caso em que o consumidor é um tomador de empréstimo ( 1 1c m> ), se 
(1 )r r↓→ + ↓ (Figura 9), a reta orçamentária intertemporal ficará mais deitada, girando em 
torno do ponto de dotação e o novo consumo presente continuará maior do que 1m . Portanto, 
o consumidor manterá a condição de tomador de empréstimo, o que é garantido pela 
preferência revelada. 
 Se (1 )r r↑→ + ↑ , a reta girará em torno do ponto de dotação, ficando mais íngreme. 
Portanto, o consumidor poderá ou não se tornar emprestador (já que não podemos recorrer à 
preferência revelada nesta situação). Contudo, se ele continuar sendo tomador de empréstimo 
(como desenhado na Figura 10), sua situação piorará, pois ficará em uma curva de indiferença 
mais baixa. 
 
Equação de Slutsky na escolha intertemporalUma variação de preço apresenta tanto um efeito-substituição como um efeito-renda na 
quantidade demandada. A equação de Slutsky separa estes dois efeitos: 
 
 
1 1
1 1 1
1 1( )
t s m
c c
c c cm c
p p m
∆ ∆ ∆= + −∆ ∆ ∆ , 
 
onde 1
1
t
c
c
p
∆
∆ é o efeito total, 11
s
c
c
p
∆
∆ é o efeito substituição e 1
mc
m
∆
∆ é o efeito renda. 
 Na escolha intertemporal, se 
1c
p aumentar e ficar mais alto do que 
2c
p , o consumidor 
substituirá consumo presente por consumo futuro e, além disso, ficará menos rico no presente, 
como se sua renda m diminuísse. 
 Se 
1c
r p↑→ ↑ : o consumo de hoje fica mais caro do que o de amanhã. Isto pode ser 
visto através da reta orçamentária em termos de valor futuro (1′), onde 
1
1cp r= + e, portanto, 
( )1 1cp r↑= + ↑ ↑ . 
 Como 
1c
p ↑ significa que o consumidor vai querer consumir menos no período 1, 
1
sc ↓ e, assim, o efeito-substituição significa que: 
 
 
1
1 0
s
c
c
p
∆ <∆ . 
 
 Quanto ao efeito-renda, se o consumo presente for de um bem normal, 1
mm c↓→ ↓ e, 
portanto, 
 
 1 0
mc
m
∆ >∆ . 
 
 Levando em conta os dois resultados anteriores na equação de Slutsky, o sentido do 
efeito total do aumento de 
1c
p , dado por 1
1
t
c
c
p
∆
∆ , dependerá em última análise do sinal de 1 1m c− . 
Assim, se o consumidor for tomador de empréstimo, 1 1 0m c− < e 
 
 
1
1 0
t
c
c
p
∆ <∆ . 
 
Isto significa que o aumento da taxa de juros reduzirá o consumo presente do tomador de 
empréstimo, porque ele teria que pagar mais juros no futuro. Porém, se o consumidor for 
emprestador, a equação de Slutsky não nos permite saber o efeito do aumento de r sobre o 
consumo presente. De fato, com 1 1 0m c− > , 1
1
t
c
c
p
∆
∆ pode apresentar qualquer sinal. 
Variação de preços 
 
Podemos agora abandonar a hipótese de que os preços em cada período são constantes 
(
1 2
1c cp p= = ) para considerar inflação ou deflação. Supomos que o preço comece constante e 
depois deixe de ser. Substituindo, então, 
1
1cp = e 2 1cp ≠ na reta orçamentária intertemporal 
(1), ficamos com: 
 
 
2 22 2 1 1
(1 )( )c cp c p m r m c= + + − (2) 
 
ou 
 
 
2
2 2 1 1
1 ( )
c
rc m m c
p
+= + − . (2′) 
 
 Comparando com (1), o que mudou foi o termo 
2
1
c
r
p
+ em vez de 1 r+ . Como 
1
1cp = , 
 
 
2
1 ecp π= + , (3) 
 
onde eπ é a taxa de crescimento do preço que o consumidor espera para o próximo período. 
Substituindo (3) em (2′): 
 
 2 2 1 1
1 ( )
1 e
rc m m cπ
+= + −+ . (2″) 
 
 A taxa de juros real ρ é definida como: 
 
 11
1 e
rρ π
++ = + . (4) 
 
Substituindo (4) em (2″): 
 
 2 2 1 1(1 )( )c m m cρ= + + − . (2′′′) 
 
Enquanto a equação (1) informa o consumo adicional do período 2 no caso em que o 
consumidor abre mão de unidades monetárias no presente, a equação (2″) informa o consumo 
adicional do período 2 no caso em que o consumidor abre mão de unidades de bens de 
consumo no presente. 
 Considerando (4): 
 
 11
1 e
rρ π
++ = + 
 
 1 1 (1 ) 1 11
1 1 1
e e
e e e
r r rπ πρ π π π
+ + − + + − −= − = =+ + + 
 
 
1
e
e
r πρ π
−= + . (4′) 
 
Para um valor de eπ pequeno, 1 1eπ+ ≈ e 
 
 erρ π≈ − , (4″) 
 
onde r é conhecida e eπ , não, já que é uma previsão. Por exemplo, se a taxa de juros nominal 
for 7% e o consumidor acertar na previsão da taxa de inflação em 1%, a taxa de juros real 
acabará sendo 6%: 
 
 0.07 0.01 0.06 6%ρ ≈ − ≈ = . 
Valor presente 
 
Nas retas orçamentárias: 
 
1 2 1 2(1 ) (1 )r c c r m m+ + = + + (1′) 
 
e 
 
2 2
1 11 1
c mc m
r r
+ = ++ + , (1″) 
 
o termo à direita da igualdade da equação (1′) informa o valor da dotação em termos de valor 
futuro, enquanto o termo à direita da igualdade da equação (1″) informa o valor da dotação 
em termos de valor presente. 
 No que se refere ao valor futuro, se o consumidor puder tomar emprestado ou 
emprestar $1 atual à taxa de juros nominal r , no futuro o equivalente será 1 r+ dólares, 
porque o consumidor pode emprestar a um banco $1 hoje à taxa de juros r e este será 
transformado em $ (1 )r+ no próximo período. Portanto, $ (1 )r+ no próximo período 
equivalem a $1 hoje. Portanto, 1 r+ é o preço de $1 hoje em relação a $1 no próximo período. 
Como as unidades monetárias do período 2 têm preço igual a 1 na equação (1′), esta está 
sendo expressa em termos de unidades monetárias futuras. 
 No que se refere ao valor presente, tudo é medido em termos de unidades monetárias 
de hoje. Na equação (1″), as unidades monetárias do período 1 têm preço igual a 1. Quanto 
valerá $1 no próximo período em dólares de hoje? Resposta: 11 r+ dólares. Porque $ 11 r+ podem 
ser transformados em $1 no período seguinte, poupando-se e recebendo-se juros à taxa r . 
Assim, o valor presente do dólar a ser entregue no próximo período é 11 r+ . 
 Um plano de consumo será acessível se o valor presente do consumo for igual ao valor 
presente da renda. Se o consumidor puder comprar e vender bens livremente a preços 
constantes, ele preferirá a dotação mais alta, porque isto significa a reta orçamentária mais 
acima. Analogamente, se o consumidor puder emprestar ou tomar emprestado livremente a 
uma taxa de juros constante, ele preferirá a dotação de maior valor presente, porque a reta 
orçamentária intertemporal estará mais acima e o consumidor poderá aumentar seu consumo 
nos dois períodos. Quanto maior for o valor presente de uma dotação, maior também será o 
valor futuro. Costumamos escolher a análise pelo valor presente apenas por mera 
conveniência. A dotação de maior valor presente proporciona maior consumo em cada 
período se o consumidor puder emprestar e tomar emprestado à taxa de juros r (Figura 11). 
 
Escolhendo a taxa de juros apropriada 
 
Como há diferentes taxas de juros, para o cálculo do valor presente escolhemos aquela que 
seja a melhor alternativa do uso do dinheiro, já que a taxa de juros mede o custo de 
oportunidade do dinheiro. Para um fluxo de pagamentos envolvendo um determinado grau de 
risco, precisamos recorrer a uma taxa de risco semelhante. Para um fluxo de trinta anos, 
usamos uma taxa de juros de trinta anos, e assim por diante. 
 
 
Valor presente para três períodos 
 
Com a taxa de juros r constante por três períodos, $1 aplicado hoje renderá $ (1 )r+ no 
período seguinte. Reaplicando esta nova quantia, ela renderá $ 2(1 )r+ no terceiro período. 
Começando com $ 11 r+ hoje, este se transforma em $1 no período 3. A reta orçamentária 
intertemporal fica sendo 
 
 3 32 21 12 21 (1 ) 1 (1 )
c mc mc m
r r r r
+ + = + ++ + + + . (5) 
 
Note que 
 
 
1
1cp = 
 
 
2
1
1c
p
r
= +3 2
1
(1 )c
p
r
= + . 
 
Em geral, 
 
 1
1
(1 )tc t
p
r −
= + 
 
com a taxa de juros constante, 1 2r r r= = . Se a taxa de juros não for constante, a reta 
orçamentária se modifica para 
 
 3 32 21 1
1 1 2 1 1 21 (1 )(1 ) 1 (1 )(1 )
c mc mc m
r r r r r r
+ + = + ++ + + + + + . 
 
 Qual será o valor presente de $1 no futuro? Depende de quando é o futuro e de quanto 
é a taxa de juros (Tabela 1). 
 
Tabela 1 
Ano 
Taxa 
de Juros 
1 2 5 10 15 20 25 30 
0.05 0.95 0.91 0.78 0.61 0.48 0.37 0.30 0.23 
0.10 0.91 0.83 0.62 0.39 0.24 0.15 0.09 0.06 
0.15 0.87 0.76 0.50 0.25 0.12 0.06 0.03 0.02 
0.20 0.83 0.69 0.40 0.16 0.06 0.03 0.01 0.00 
 
 Na Tabela 1, considerando o ano 2 com 10%r = , temos: 
 
2 2
$1 1 1 0.83
(1 0.10) (1.1) 1.21
VP = = = =+ 
 
Já para o ano 30 com 15%r = , temos: 
 
30 30
$1 1 1 0.015 0.02
(1 0.15) (1.15) 66.21177
VP = = = = ≈+ . 
Cálculo de um fluxo de pagamentos 
 
O valor presente permite converter determinado fluxo de pagamentos em unidades monetárias 
de hoje. Se dois investimentos geram diferentes fluxos de pagamento, deve-se escolher o de 
maior valor presente. 
 
Exemplo 1. O consumidor compra uma casa fazendo um empréstimo. Seu fluxo de renda será 
1M , 21
M
r+ e o fluxo de pagamentos será dado por 1P , 21
P
r+ . Ele conseguirá pagar se 
 
 2 21 11 1
M PM P
r r
+ > ++ + 
 
ou 
 
 2 21 1 01 1
M PM P
r r
− + − >+ + 
 
 2 21 1 01
M PM P
r
−− + >+ 
 
 0VPL > . 
 
Portanto, será um bom investimento se o valor presente líquido for positivo. 
 
Exemplo 2. O investimento A gera $100 agora e $200 no próximo ano. O investimento B gera 
$0 agora e $310 no próximo ano. Qual é o melhor? Depende da taxa de juros. Para 0r = , o 
investimento B será melhor: 
 
 200 200100 100 300
1 1 0A
VP
r
= + = + =+ + 
 
 310 3100 0 310
1 1 0B
VP
r
= + = + =+ + , 
 
onde AVP é o valor presente do investimento A e BVP o valor presente do investimento B. 
Todavia, para 0.20r = (20%), o investimento A será melhor: 
 
 200 200100 100 266.67
1 0.2 1.2A
VP = + = + =+ 
 
 3100 258.33
1 0.2B
VP = + =+ . 
 
 
Exemplo 3. O consumidor faz uma compra de $2000 no primeiro dia do mês usando seu 
cartão de crédito. A taxa de juros cobrada no cartão de crédito é 1.5% ( 0.015= ). Se o 
consumidor pagar os $2000 no final do mês não haverá encargos financeiros. Se não pagar 
nada, terá o encargo de $30 ( 2000 0.015 30= × = ). 
 Porém, se ele pagar a maior parte, digamos $1800, na prática ele tomou emprestado 
apenas $200. O encargo financeiro deveria ser $3 ( 200 0.015 3= × = ). Muitas empresas não 
fazem esta conta e inventam o conceito de “saldo médio mensal”, significando que o 
consumidor passou 30 dias com saldo devedor de $200. O saldo médio mensal será de quase 
$2000 e o encargo de quase $30, como no caso em que o consumidor não pagou a conta. 
Títulos 
 
A emissão de títulos por empresas e governo é uma forma de se tomar emprestado oferecendo 
aos consumidores diferentes fluxos de caixa ao longo do tempo, que podem ser usados para o 
consumo em um período ou em outro. 
 Bônus são tipos específicos de títulos onde o tomador de empréstimo (que emite o 
bônus) promete pagar a quantia fixa de x unidades monetárias (cupom) por determinado 
período, até a data de maturidade T , quando o valor de face F é pago ao portador do bônus. 
O fluxo de pagamentos do bônus é ( , , ,..., )x x x F e o valor presente para a taxa de juros 
constante r é: 
 
 2 ...1 (1 ) (1 )T
x x FVP
r r r
= + + ++ + + . 
 
Como o preço de um dólar pago no futuro diminui quando a taxa de juros aumenta (Tabela 1), 
o valor presente de um bônus diminui quando a taxa de juros aumenta. 
 Perpetuidades (ou consoles) são um tipo de bônus que faz pagamento para sempre. 
Para a perpetuidade que paga $ x por ano, o valor presente é 
 
 2 ...1 (1 )
x xVP
r r
= + ++ + 
 
ou 
 
 2
1 ...
1 1 (1 )
x xVP x
r r r
 = + + + + + +  
 
 ( )1
1
VP x VP
r
= ++ 
 
 
1 1
x VPVP
r r
= ++ + 
 
 
1 1
VP xVP
r r
− =+ + 
 
 (1 )
1 1
VP r VP x
r r
+ − =+ + 
 
 VP rVP VP x+ − = 
 
 xVP
r
= . 
 
Portanto, quando r VP↑→ ↓ . Esta última fórmula pode ser utilizada para se calcular o valor 
aproximado de um bônus de longo prazo (por exemplo, de 30 anos). 
 
Exemplo 4. Se 10%r = e a perpetuidade promete pagar $10 por ano para sempre: 
 
 10 100
0.10
VP = = . 
 
Se r subir para 20%, então: 
 
 10 50
0.20
VP = = . 
 
 
Exemplo 5. O consumidor toma emprestado $1000 para pagar em 12 prestações mensais de 
$100 cada. Quanto ele irá pagar de juros? Tomando o fluxo de pagamentos 
(1000, 100, 100,..., 100)− − − e igualando seu valor presente a zero permite achar r . Há 
fórmulas prontas para facilitar este cálculo. Veja, por exemplo, 
http://www.coolmath.com/calculators/payment.htm. A resposta do problema é: o consumidor 
pagará 35% de juros (observe que não é 20%!). 
Impostos 
 
Se a renda de juros for tributada, para cada dólar adicional de renda, m∆ , o imposto a pagar 
aumentará em t m∆ . 
 Aplicando-se X em um ativo, recebe-se rX na forma de pagamentos de juros. Mas 
também se paga trX de imposto. A taxa de juros após o imposto será (1 )t r− e a renda que 
fica após o imposto será (1 )t rX− . Este é o ponto de vista do emprestador. 
 Do ponto de vista do tomador de empréstimo, se o pagamento de juros rX for 
descontado do imposto a pagar trX , a taxa de juros após o imposto continuará sendo (1 )t r− 
e o custo de tomar emprestado será ainda (1 )rX trX t rX− = − . 
 Portanto, para consumidores na mesma faixa de tributação, a taxa de juros após o 
imposto será a mesma tanto para quem empresta como para quem toma emprestado. 
 Se o imposto for sobre a poupança, ele reduzirá a quantidade de dinheiro que o 
consumidor quer poupar. Já um subsídio à tomada de empréstimo aumentará a quantidade de 
dinheiro que o consumidor deseja tomar emprestado.
 
© Sergio Da Silva 2010 
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