MOMENTO REVIEW - MATEMÁTICA FINANCEIRA (1) 2

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PROFESSOR! O QUE VAI CAIR NA PROVA?!!! 
Dados de identificação do acadêmico: 
Aluno(a): Juliane da Silva Teixeira de Oliveira 
Disciplina: Matemática Financeira 
Curso: Ciências contábeis 
Agora que você já sabe quais os conteúdos (tópicos) que “cairão na prova”, localize nas Unidades de Aprendizagem onde esses assuntos foram trabalhados 
e escreva um resumo de cada tópico: 
Esse é um quadro que sugerimos para organizar seu resumo. 
O critério de avaliação será: 
- Qualidade do texto escrito, sem erros ortográficos; 
- Apresentou resumo de TODOS os tópicos. 
 
Conteúdo da prova 
Tópicos 
Resumo 
Regra de três simples 
 
 
 
Regra de Três, em matemática, é a maneira pela qual podemos descobrir uma quantidade que tenha 
para outra conhecida a mesma relação que outros dois valores numéricos conhecidos têm entre si. 
A regra de três simples possibilita encontrar um elemento que representa uma incógnita, pois existem 
outros três elementos que já são conhecidos e que serão utilizados como base a fim de se encontrar 
o elemento desconhecido. Esse cálculo é usado em circunstâncias diárias, entre elas as que 
abrangem proporções entre grandezas, do mesmo modo como é usado para desenvolver cálculos 
financeiros, facilitando o cotidiano empresarial. 
A regra de três simples é considerada um método de fácil aplicação e é muito comum na matemática 
financeira, sendo aplicada para identificar possíveis lucros, prejuízos, descontos adquiridos ou 
concedidos, entre outros (BRUNI; FAMÁ, 2012). Para aplicar a regra de três simples existem alguns 
procedimentos que podem ser seguidos, conforme vemos a seguir. a) É possível elaborar uma tabela 
com colunas que podem contemplar as grandezas que são do mesmo tipo, como, por exemplo, 
quantidade e valores. Já nas linhas deverão estar as demais grandezas, ou seja, as que forem de 
diferentes espécies. b) É preciso reconhecer se as grandezas são direta ou indiretamente 
proporcionais. c) É preciso utilizar o elemento x para descobrir o valor que está se procurando. d) O 
numerador multiplicará o denominador da outra fração, e, nesse caso, poderão ser traçadas setas em 
x. e) Resolver a equação, a fim de encontrar o valor da incógnita. 
Conceito de juros em uma 
operação financeira 
 
O conhecimento sobre porcentagem é fundamental para as empresas, pois ela é aplicada 
constantemente e reflete diretamente no aumento ou na redução do preço dos produtos, do mesmo 
modo que nas quantidades de materiais em estoque, por exemplo. 
 
 A partir da situação demonstrada, é possível identificar que ocorreu prejuízo (redução do preço 
concedido em relação ao custo do produto adquirido) com base na porcentagem aplicada sobre o novo 
valor. 
Cálculo: 
Acréscimo de 50% sobre o valor da compra do produto: R$ 205,00 + 50% = 307,50, ou seja, o produto 
passou a custar R$ 307,50. 
A partir do novo valor do produto deve ser calculado o valor de desconto, considerando a porcentagem 
concedida pelo proprietário: 307,50 – 35% = 199,88. Desse modo, o produto foi vendido ao cliente por 
R$ 199,88. Considerando que o produto custou ao proprietário R$ 205,00, é possível constatar que 
ocorreu prejuízo. 
 
Diferença entre juros simples 
e juros compostos 
Embora haja semelhanças entre juros simples e juros compostos, você pode considerar que a principal 
característica que os diferencia está relacionada com o fato de que os juros compostos operam de 
forma exponencial, enquanto os juros simples operam de forma linear. Isso resulta em montantes 
distintos no fi nal da equação. Além disso, você deve saber que essa curva que representa os encargos 
das operações está proporcionalmente ligada ao prazo. Ou seja: quanto maior o prazo em que o crédito 
fi ca em posse do agente defi citário, maior será a diferença entre o retorno em regime de capitalização 
Aplicação de cálculo de juros 
simples e juros compostos 
 
 
Os princípios que norteiam os cálculos de juros simples estão baseados em características de 
crescimento linear dos encargos/juros ao longo do tempo de empréstimo do dinheiro ou bem. Ou seja, 
não acumulam tempestivamente os valores de juros e somam a base de cálculo para apurar o novo 
montante. Tendo em vista esse conceito, você pode considerar que os juros simples remuneram o 
capital de forma constante, dividindo igualmente a remuneração, independentemente do número de 
períodos. Nesse sistema, o valor de juros irá incidir sempre sobre o valor do capital inicial. Para isso, 
se tem por base os parâmetros de prazo, valor inicial e taxa de juros a ser aplicada. Além disso, as 
variações das fórmulas de juros simples podem determinar as taxas aplicadas ao longo de um período, 
 
o número de períodos de uma aplicação e o montante principal, se este não for conhecido. Observe 
como variáveis utilizadas nas fórmulas de juros simples são representadas matematicamente: 
 
Juros compostos Os princípios que norteiam os cálculos de juros compostos estão baseados em 
características de crescimento exponencial dos encargos/juros ao longo do tempo de empréstimo do 
dinheiro ou bem. Ou seja, acumulam tempestivamente os valores de juros e somam a base de cálculo 
para apurar o novo montante. Tendo em vista esse conceito, você pode considerar que os juros 
compostos não remuneram o capital de forma constante. Além disso, a variável tempo infl uencia 
diretamente o resultado da equação. Nesse sistema, o valor de juros irá incidir sempre sobre o valor 
do capital inicial corrido, tendo por base os parâmetros de prazo, valor inicial e taxa de juros a ser 
aplicada. Além disso, as variações das fórmulas de juros compostos também podem determinar as 
taxas aplicadas ao longo de um período, o número de períodos de uma aplicação e o montante 
principal, se este não for conhecido. Observe como as variáveis utilizadas nas fórmulas de juros 
compostos são representadas matematicamente: 
 
Tipos de desconto 
 
Existem basicamente dois tipos de desconto, o desconto racional, e o desconto comercial. Os dois 
tipos podem ser aplicados em operações de juros simples (desconto simples) e de juros compostos 
(desconto composto). 
Desconto comercial simples Para obter o valor do desconto racional simples (operação de juros simples) a ser concedido sobre o 
valor nominal de um título que vence em períodos, sobre o qual se paga uma taxa de juros simples , 
o valor do desconto é calculado com a seguinte fórmula: 
𝐷 =
𝑁 𝑥 𝑖 𝑥 𝑛
1 + (𝑖 𝑥 𝑛)
 
Desconto racional simples é aquele aplicado no valor atual do título n períodos antes do vencimento, 
ou seja, é o mesmo que juro simples. Não será dada muita importância a menos de comparação, pois 
raramente tem sido aplicado no Brasil. 
 
Diferença entre taxa de juros 
real e taxa de juros nominal 
Taxa de Juros Nominal ou Real? Podemos definir como taxa de juros a diferença entre o valor pago 
e o valor recebido em função do tempo. 
As taxas de juros beneficiam os poupadores fazendo com que seu capital se torne maior ao longo do 
tempo. Em contrapartida as taxas de juros tornam os bens comprados a prazo mais caros pois é 
necessário remunerar aquele que cede o crédito com juros. 
 
Taxa de Juros Nominal 
Essa taxa considera o tempo e o preço do principal, para poder contabilizar os juros. Além disso, ela 
pode ser expressada de forma mensal, trimestral, semestral ou anualmente. Normalmente em 
porcentagem. 
Porém, é preciso que você preste bem atenção, pois não é o tempo dela que dirá se ela é Nominal 
ou não, mas sim o que está expresso no contrato. 
Um exemplo dessa taxa é se eu fiz um investimento de R$ 3.000,00, que paga 20% ao ano. No final 
do primeiro ano eu resgatarei o meu montante bruto, que será de R$ 3.600,00. Neste caso, a taxa 
aqui é os 20% ao ano, ou seja, foi o que o banco disse que iria pagar e ele o fez. Portanto, o banco 
está aparentemente me pagando 20% ao ano. 
Taxa de Juros Real 
Esta é a Taxa Nominal tendo a inflação do período descontada, porém, ela possui uma fórmula para 
ser descoberta: 
𝑇𝐴𝑋𝐴 𝑅𝐸𝐴𝐿= (
1 + 𝑇𝐴𝑋𝐴 𝑁𝑂𝑀𝐼𝑁𝐴𝐿
1 + 𝐼𝑃𝐶𝐴
) − 1 
Se você está fazendo a CPA 10 ou a CPA 20, não será preciso fazer contas, mas essa taxa que te 
deixa entender. Se liga só no exemplo: 
Eu fiz um investimento de R$ 3.000,00 que paga 20% ao ano. Durante este período, o IPCA foi 
medido em 10% ao ano. Neste caso, qual será a Taxa Real de rendimento do meu investimento? 
Onde: 
Taxa nominal = 20% a.a. 
Taxa de inflação (IPCA) = 10% a.a. 
Taxa real? 
Olha só, eu fiz o mesmo investimento, só que neste período o IPCA foi medido a 10% ao ano. Então, 
olha só: eu tenho uma rentabilidade de 20% só que a inflação foi de 10%. 
E neste caso, para encontrar a taxa de juros aqui é necessário o uso da calculadora HP12C, por isso 
é importante você saber utilizá-la. 
Qual a diferença delas? 
Olha só que louco! Se Taxa de Inflação é maior Taxa Nominal = Taxa de Juros Real ficará abaixo de 
zero. Assim, terá um rendimento real negativo, significando um poder de compra do investidor 
reduzido entre o momento da aplicação dos recursos e o momento do recebimento do montante 
principal acrescido dos juros. 
Agora, se a situação for inversa onde a Taxa de Inflação é menor do que Taxa Nominal = Taxa Real 
ficará acima de zero. Isso resultará um rendimento real positivo. Significa que o poder de compra do 
 
investidor foi mantido entre o momento da aplicação dos recursos e o momento do recebimento do 
montante principal acrescido dos juros. 
Importante! 
Se a Taxa de Inflação no período for negativa, houve deflação. Isso significa que a taxa real de juros 
será superior à Taxa de Juros Nominal. Assim, o poder de compra do investidor pode crescer num 
ritmo maior do que aquele indicado pela taxa de juros nominal. 
 
 
Taxa efetiva e taxa 
equivalente 
O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros compostos. 
Basicamente, elas geram um mesmo valor no futuro aplicadas ao mesmo valor inicial. Exemplo de taxa 
equivalente: 12% ao mês, equivalente a uma taxa de 400% ao ano. 
Classificação dos Sistemas 
de Amortização usados no 
Brasil 
O conceito de amortização é o processo de extinção de uma dívida através de pagamentos 
periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação 
corresponde a soma do reembolso do capital ou dos juros do saldo devedor (juros sempre são 
calculados sobre o saldo devedor), podendo ainda ser o reembolso de ambos. 
Os principais sistemas de amortização são: 
• Sistema de pagamento único: ocorre um único pagamento (capital + juros) no final do período 
estipulado; 
• Sistema de pagamento variável: ocorre vários pagamentos diferenciados durante o período (às 
vezes somente juros, outras juros+capital); 
• Sistema americano: ocorre um único pagamento ao final do período, porém os juros são 
calculados em várias fases durante o período; 
• Sistema de amortização constante (SAC): geralmente o mais utilizado, os juros e o capital 
são calculados uma única vez e divididos para o pagamento em várias parcelas durante o 
período; 
• Sistema price ou francês: geralmente usados em financiamentos de bens de consumo, todas 
as parcelas são iguais e com os juros já embutidos; 
• Sistema de amortização misto: calcula-se o financiamento pelos métodos SAC e price e faz-se 
uma média aritmética das prestações desses dois sistemas, chegando ao valor da prestação 
do sistema misto. 
*Exemplo de pagamento de financiamento através de um sistema de amortização constante (SAC). 
• Valor do financiamento: R$ 150.000,00 
• Taxa de juros anual: 8,75% 
 
• Período de pagamento: 6 anos 
Tabela de amortização: 
Período Juros Amortização Pagamento Saldo Devedor 
0 - - - 150.000,00 
1 13.125,00 25.000,00 38.125,00 125.000,00 
2 10.937,50 25.000,00 35.937,50 100.000,00 
3 8.750,00 25.000,00 33.750,00 75.000,00 
4 6.562,50 25.000,00 31.562,00 50.000,00 
5 4.375,00 25.000,00 29.375,00 25.000,00 
6 2.187,00 25.000,00 27.187,00 0,00 
 
Cálculo SAC E para calcular o valor da amortização de uma parcela pelo método SAC, é preciso dividir o valor total 
da dívida pelo número de meses de parcelas. Assim, se obterá o montante das amortizações e somar 
os juros. 
Características do Sistema de 
Amortização Price 
No sistema Price, os pagamentos são iguais; o valor de cada pagamento é obtido pelo cálculo de uma 
anuidade postecipada: R= 𝑃
𝑖(1+𝑖)𝑛
(1+𝑖)𝑛−1
= 800
0,10(1+0,10)4
(1+0,10)4−1
252,38; 
O pagamento Rn de cada período é desdobrado em duas parcelas: uma correspondente à amortização 
do principal An e a outra aos juros Jn. Em qualquer pagamento, os juros devem ser pagos antes do 
principal. No caso do primeiro pagamento, teremos R1 = A1 + J1 = 252,38 = A1 − 80,00 → A1 = 172,38. 
Características do Sistema de 
Amortização Constante 
O sistema de amortizações constantes é feito de forma que a parcela referente à amortização do 
principal seja sempre igual. O pagamento de cada ano é dado pela soma da amortização mais os juros 
correspondentes. 
 
 
 
Vantagens e desvantagens 
do Valor Presente Líquido 
O VLP é uma das métricas mais importantes para investidores no mercado de aplicações financeiras. 
Ela ajuda a calcular o valor da empresa trazendo para o momento presente os fluxos de caixa que se 
sabe que ocorreram no futuro. 
oda empresa tem valores que sabe que irá receber e contas a serem pagas ao longo de certo 
período. Imagine uma empresa que deve receber os custos de um serviço prestado pelos próximos 
oito meses e que conta com valores a serem restituídos nos próximos três anos, além de saber que 
deve pagar contas, funcionários e dívidas com fornecedores nesse período. Apenas analisando todas 
essas informações é possível entender a realidade financeira dessa empresa. 
No entanto, em três anos muita coisa pode mudar. Dinheiro valoriza e desvaloriza, principalmente em 
negociações internacionais, e taxas de juros podem aumentar ou diminuir. Valor financeiro raramente 
é estático. 
Assim, apenas considerando esse fluxo de caixa presente e futuro é possível ter uma noção real de 
como o negócio se desenvolverá e se ele é seguro como foco de aplicação de capital. 
Em outras palavras, o dinheiro que você vai receber amanhã, por diversos motivos, não tem o 
mesmo valor do que tem hoje. Essa é uma realidade que a matemática financeira destaca 
constantemente e que deve ser considerada. 
É isso que o VPL faz, ele considera o valor do dinheiro e do fluxo de caixa presente e futuro com 
base no tempo que passa, trazendo para o presente as projeções. Dessa maneira, dá ao investidor 
uma noção muito mais real da viabilidade do investimento. 
 
Objetivo da análise dos 
resultados do Valor Presente 
Líquido 
Também chamado de Valor Líquido Atual, o Valor Presente Líquido é um método que consiste em 
trazer para a data zero todos os fluxos de caixa de um projeto de investimento e somá-los ao valor do 
investimento inicial, usando como taxa de desconto a Taxa Mínima de Atratividade (TMA) da 
empresa ou projeto. 
O VPL é um dos métodos mais conhecidos quando o assunto é análise da viabilidade de projetos de 
investimento. Com o cálculo do Valor Presente Líquido é possível fazer os ajustes, descontando as 
taxas de juros para obter a verdadeira noção do valor do dinheiro no futuro. 
Por esse motivo, o VPL não faz apenas uma comparação do investimento com o retorno que dele se 
espera. Indo além disso, como o Valor Presente Líquido leva em consideração a valorização do 
capital ao longo do tempo, com ele calcula-se o ganho real de investimento. 
Resumindo: O VPL traz ao valor presente um valor futuro. Ele representa a diferença entre os 
recebimentos e os pagamentos de um projeto de investimento em valores monetários atuais (de 
hoje). 
O método do VPL (em inglês, Net Present Value – NPV) é obtido ao se subtrair o investimento inicial 
de um projeto do valor presente de seus fluxos de entrada de caixa (GITMAN; MADURA, 2001). O 
valor presente líquido mostra o resultado econômico (riqueza) do projeto atualizado (ASSAFNETO, 
2016). 
 
https://www.treasy.com.br/blog/projecao-e-analise-de-roi-em-projetos
https://www.treasy.com.br/blog/projecao-e-analise-de-roi-em-projetos
 
Taxa Mínima de Atratividade Para poder dar avanço ao método do VPL, é necessário conhecer a TMA. Denomina-se taxa de 
atratividade de um investimento qualquer taxa mínima de juros que torne conveniente ao investidor 
optar por determinado projeto de investimento. Na prática corresponde à taxa de mercado para uma 
aplicação de capital, como a caderneta de poupança. Logo, se na análise de um investimento, 
concluirmos que o seu retorno será inferior à taxa de atratividade, ele não será conveniente ao 
investidor. 
 
Relação entre TIR e Payback Payback é o período de tempo necessário para que as entradas de caixa do projeto se igualem ao 
valor a ser investido, ou seja, o tempo de recuperação do investimento realizado. ... A Taxa Interna de 
Retorno – TIR é a taxa “i” que se iguala as entradas de caixa ao valor a ser investido em um projeto. 
A Taxa Interna de Retorno – TIR é a taxa “i” que se iguala as entradas de caixa ao valor a ser investido 
em um projeto. Em outras palavras, é a taxa que iguala o VPL de um projeto a zero. 
Conceito, objetivos, 
vantagens e desvantagens da 
TIR 
ssa taxa pode oferecer vantagens como a interpretação para avaliar o retorno financeiro futuro de um 
investimento. Por outro lado, a desvantagem da TIR é que ela não vai mostrar ao investidor o 
percentual de risco que a empresa corre para conseguir obter retorno financeiro em determinado prazo. 
Essa taxa pode oferecer vantagens como a interpretação para avaliar o retorno financeiro futuro de um 
investimento. Por outro lado, a desvantagem da TIR é que ela não vai mostrar ao investidor o 
percentual de risco que a empresa corre para conseguir obter retorno financeiro em determinado prazo. 
Taxa Interna de Retorno A TIR é uma métrica que se usa para avaliar o percentual de retorno de um investimento, tanto para 
pessoa física quanto para empresas. Essa taxa tem como base o cálculo do fluxo de caixa no qual o 
Valor Presente Líquido (VPL) de um projeto se iguala a zero. 
 
Conceito e objetivos do 
Payback 
Payback, em português, significa “retorno”. Ele é, basicamente, um indicador usado nas empresas 
para calcular o período de retorno do investimento feito em um projeto. Com isso, payback é o tempo 
que leva para que você recupere o dinheiro investido no começo do projeto. 
Esse período nem sempre é curto – depende muito do valor do investimento e do tipo de negócio. O retorno 
pode acontecer dentro de meses ou até anos. 
Além disso, o payback está relacionado a outros indicadores, como: 
ROI (Retorno sobre Investimento): percentual de retorno sobre o investimento inicial; 
VPL (Valor Presente Líquido): valor acumulado do fluxo de caixa, usado para o cálculo exato de payback; 
TIR (Taxa Interna de Retorno): taxa de juros para a qual o VPL torna-se zero. 
 
Conceito e objetivo do ROI – 
Retorno sobre o 
Investimentos 
Os indicadores econômico-financeiros são muito importantes para pessoas e empresas. Por meio 
deles, é possível obter diferentes informações de diferentes empresas. O Retorno Sobre o 
Investimento - ROI é um desses indicadores, muito utilizado por administradores, acionistas, 
investidores, gestores, entre outros. Sabe por que ele é tão importante? Porque apresenta as 
informações sobre o quanto rende cada investimento realizado. É um índice econômico-financeiro 
muito utilizado na Análise das Demonstrações Financeiras. 
O que é o ROI? A globalização permite que pessoas no Brasil consigam ter acesso a informações do 
outro lado do mundo em segundos. Essa possibilidade e conectividade expandiu os limites de 
empresas e investidores, que podem destinar seus recursos em diferentes países. Dentre diversas 
análises realizadas pelos investidores, uma das mais importantes está ligada ao dinheiro. Comumente, 
dizemos que o dinheiro tem valor no tempo. E, para um investidor, essa é uma máxima. A fim de saber 
se seus investimentos estão tendo os retornos esperados, acionistas, gestores, investidores (e também 
outros usuários) realizam análises de demonstrações financeiras. A partir dos demonstrativos 
financeiros, é possível extrair algumas informações, dentre elas, o retorno sobre o investimento – que 
apresenta exatamente o conceito de dinheiro no tempo. ROI é o acrônimo de return on investment, 
que em português é retorno sobre investimento. É uma ferramenta bastante simples e útil, utilizada em 
todo o mundo, e que permite ao usuário comparar diferentes investimentos, bem como mensurar sua 
atratividade. Semelhante ao ROI, existem suas variações formuladas posteriormente (PEREZ JUNIOR; 
BEGALLI, 2015), as mais comuns são: o ROA, do inglês return on assets, que em português se refere 
ao retorno sobre os ativos e o ROE, return on equities, que se refere ao retorno sobre o patrimônio 
líquido. 
Como calcular o ROI? Sua fórmula simples permite calcular a eficiência de um investimento, em termos 
de retorno para o investidor. Sua expressão resulta da divisão do retorno líquido obtido pelo 
investimento pelo seu custo: ROI = (ganho com o investimento – custo do investimento) / custo do 
investimento 
 
https://klickpages.com.br/blog/o-que-e-modelo-de-negocio/