2. Escolha intertemporal_GABARITO

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Universidade Federal Fluminense 
Laboratório de Microeconomia III – 2019.2 
Professora: Rosane Mendonça 
Tutora: Roberta Mendes – rmendes@id.uff.br 
Data: 28/08/2019 
 
Lista 2 – Escolha Intertemporal (cap. 10) 
 
1. Seja (c1, c2) o consumo de Paula, nos períodos 1 e 2 respectivamente. Seja (m1, m2) 
seu fluxo de renda. Suponha que a taxa de juros para emprestar ou tomar 
emprestado seja r. 
a) Escreva a restrição orçamentária intertemporal de Paula em termos de valor 
presente e valor futuro. 
b) Se Paula decidir não consumir nada no período 1, qual é o máximo que ela 
pode consumir no período 2? Isto é o valor presente ou o valor futuro da sua 
dotação? 
c) Se Paula decidir não consumir nada no período 2, qual é o máximo que ela 
pode consumir no período 1? Isto é o valor presente ou o valor futuro da sua 
dotação? 
d) Qual é o custo de oportunidade de uma unidade monetária de consumo no 
período 1? E no período 2? 
e) Qual é a inclinação da sua restrição orçamentária? 
f) Desenhe a restrição orçamentária. 
 
Solução 
a) c1+c2/(1+r) = m1+m2/(1+r) e (1+r)c1 + c2 = (1+r) m1 + m2 
b) Os interceptos são as quantias máximas que podem ser consumidas. 
c2/(1+r) = m1+m2/(1+r) -> c2 = (1+r)m1+m2 (Valor futuro) 
c) c1 = m1+m2/(1+r) (Valor presente) 
d) 1 unidade monetária em t = 1 é equivalente a 1 + r unidades monetárias em 
t = 2. Logo, o custo de oportunidade de 1 unidade monetária de consumo em 
t = 1 é 1 + r de consumo em t = 2. 1 unidade monetária em t = 2 equivale a 
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1/(1+r) unidades monetárias em t = 1. Logo, o custo de oportunidade de uma 
unidade monetária de consumo em t = 2 é 1/(1+r) de consumo em t = 1. 
e) A inclinação é dada pelo valor que multiplica 𝐶1 logo esse é –(1+r) 
(1 + 𝑟)𝐶1 + 𝐶2 = (1 + 𝑟)𝑀1 + 𝑀2 
𝐶2 = (1 + 𝑟)(𝑀1 − 𝐶1) + 𝑀2 
 
 
2. Um contrato de prestação de serviços de tradução especifica que o contratante 
pagará ao tradutor R$2 mil neste mês e R$1,1 mil no mês que vem. Ele pode tomar 
empréstimos ou emprestar a uma taxa de juros de 10% ao ano. Os bens consumidos 
por ele têm custo unitário de R$1,00 neste mês e não há inflação. 
a) Qual é o valor presente da dotação do tradutor? E o seu valor futuro? 
b) Escreva a restrição orçamentária do tradutor. Desenhe a reta orçamentária 
e aponte a dotação inicial, e as combinações de consumo do tradutor neste 
mês e no próximo. 
c) Suponha que o tradutor tenha uma função de utilidade 𝑈(𝑐1, 𝑐2) = 𝑐1𝑐2, 
onde 𝑐1 é o consumo deste mês e 𝑐2 é o consumo do mês que vem. Escreva 
uma expressão para a TMS do tradutor entre consumo no ano que vem e 
consumo este ano. 
d) Quantas unidades de mercadorias o tradutor consumirá em cada período? 
Indique no gráfico (cesta A). 
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e) Ele poupará ou tomará emprestado no primeiro período? Quanto? 
f) Qual seria a reta orçamentária se a taxa de juros aumentasse para 20%? 
Sabendo que o tradutor escolheu A com juros a 10%, em qual segmento da 
nova reta orçamentário ele irá consumir? Ele permanece na mesma situação 
(poupador ou tomador de empréstimos)? 
g) Qual é a escolha ótima quando a taxa de juros é 20%? 
h) Ele poupará ou tomará emprestado no primeiro período? Quanto? 
 
Solução 
a) VP = 3000, VF = 3300. Ver gráfico abaixo (linha azul). 
b) Restrição orçamentária: 
3000
1
2
1 


r
C
C
 
c) TMS = -UM1/ UM 2 = -c2/c1. 
d) Sabemos que TMS = razão dos preços. A TMS é −
𝑐2
𝑐1
 . A “razão dos preços” 
é −
1
1
1+𝑟
. Igualando as equações, obtemos 
𝑐2 = (1 + 𝑟)𝑐1 
𝑐2 = 1,1𝑐1 
Agora, basta usar a restrição orçamentária como segunda equação deste 
sistema de equações a fim de se obter 𝑐1 = 1,5 mil; 𝑐2 = 1,65 mil. Ver 
gráfico abaixo. 
e) Emprestará ou poupará 500. 
f) Novo conjunto orçamentário é a linha vermelha. A porção do novo 
conjunto orçamentário que ficar dentro do conjunto orçamentário 
original não poderá ser escolhida, pois estava à disposição antes, mas não 
foi escolhida (argumento baseado na ideia de preferência revelada). O 
consumidor irá escolher na parte tracilhada da linha vermelha. 
g) 𝑐1 =1.458, 𝑐23; = 1.750. 
h) Emprestará ou poupará 541,70. 
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3. Num vilarejo isolado do interior do Mato Grosso, a principal atividade econômica é 
a produção de milho. Boas e más colheitas se alternam. Em 2010, a safra foi de 1.000 
sacas. Em 2011, a safra será de 150 sacas. Por estar muito isolado, não existem trocas 
com o resto do mundo. O milho pode ser estocado de um ano para o outro, 
entretanto os ratos deterioram em um ano 25% do que é estocado num ano. Os 
habitantes da cidade possuem uma função de utilidade 𝑈(𝑐10, 𝑐11) = 𝑐10𝑐11. 
a) Desenhe a restrição orçamentária que indique as possibilidades de consumo 
do vilarejo. 
b) Quantas sacas de milho serão consumidas em 2010? E em 2011? 
c) Quantas sacas os ratos vão comer? 
d) Suponha agora que uma estrada tenha sido construída, ligando o vilarejo ao 
resto do mundo, de forma que uma tonelada de milho pode agora ser 
vendida a R$1,00 (não é mais comida pelos ratos!), e seja possível emprestar 
e tomar emprestado à taxa de 10% ao ano. Desenhe o novo conjunto 
orçamentário. 
e) Indique a cesta ótima nas novas condições. 
 
Solução 
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a) Ver gráfico abaixo. Linha vermelha. 
b) Sabemos que: 
2
1
2
1
P
P
UM
UM


r
c
c
r
c
c




1
1
1
2
1
1
1
2 
Como os ratos consomem parte do que é armazenado de um ano para 
outro, a deterioração é como uma taxa de juros negativa: 
600
1200
)25,0(1
150
000.12
11
1
1
2
1
2
1








c
c
r
m
m
r
c
c
 
45075,0600
1
2
2
1 

 c
r
c
c 
c) Chamando de R o total de alimentos comido pelos ratos, temos: 
100)6001000(25,0)( 11  cmrR 
d) Ver linha azul no gráfico. 
e) Do item b, sabemos que: 2c1 = 1000 + (150/1,1) -> c1 =~ 568 sacas. 
Do item b, também sabemos que: c2 = c1 (1 + r) = 568*1,1 =~625 
sacas. 
 
 
 
4. Fernanda recebe 120 reais em dois períodos distintos e decide o consumo de cada 
um deles. Supondo uma taxa de juros de 10%, calcule a restrição orçamentária de 
Fernanda. O que ocorre se os juros variarem para 100%? Ilustre o resultado e aponte 
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usando a preferência revelada as cestas que Fernanda com certeza não irá consumir 
após a subida dos juros. Justifique. 
 
Solução 
A reta orçamentária de Fernanda com os juros a 10% é representada pela equação: 
𝐶1 +
𝐶2
(1 + 0,1)
= 120 +
120
(1 + 0,1)
 
 
Quando a taxa de juros vai para 100%, o termo 1+r será igual a 2 e a restrição 
orçamentária assume a seguinte formula: 
 
𝐶1 +
𝐶2
(1 + 1)
= 120 +
120
(1 + 1)
 
 
O resultado para as duas curvas está representado na figura abaixo: 
 
 
Nota-se que o consumo máximo no primeiro período caiu muito porque o ‘preço’ de 
praticá-lo cresceu. Conforme aumenta a taxa de juros, torna-se mais interessante 
consumir no segundo período porque torna-se (relativamente) mais caro consumir no 
primeiro período. Por isso, o consumo máximo do segundo período aumenta. 
 
Se Fernanda for emprestadora ou poupadora (consome a esquerda da dotação): Pelo 
princípio da preferência revelada, depois do deslocamento da reta orçamentária 
intertemporal, a região delimitada pela cor marrom e a parte abaixo dela nunca será 
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escolhida. Isso se dá porque a região já estava disponível quando os juros eram de 10% 
(reta orçamentária original) e agora a reta de juros a 100% se localiza acima da anterior. 
Por isso, ela irá consumir na parte verde da nova reta orçamentária (com 100% de juros). 
 
Se Fernanda for tomadora de empréstimo (consome a direita da dotação): Pelo princípio 
da preferência revelada, não sabemos ao certo em qual parte da restrição orçamentária 
ela irá consumir. Só sabemos que que ela pode mudar de situação (passar a ser 
emprestadora) e que se continuar como tomadora de empréstimo, seu bem-estar piora. 
 
5. Um consumidor tem a seguinte função de utilidade: U(c1,c2) = c1c2. Não existe 
inflação,a taxa de juros é de 10%, e a renda anual do consumidor é de R$100.000,00 
no período 1 e de R$121.000,00 no período 2. 
a) Escreva a restrição orçamentária do consumidor. 
b) Qual é o seu consumo ótimo no período 1 e no período 2? 
c) Ele terá de tomar emprestado para consumir no período 1? Quanto? 
d) Se a taxa diminuísse para 5%, o consumidor permanece na mesma situação 
(poupador ou tomador de empréstimos)? 
 
Solução 
a) Reta orçamentária 
c1+c2/(1+r) = m1+m2/(1+r) = 100+121/1,1 
𝐶1 +
1
1,1
𝐶2 = 210 
 
b) i. Igualamos TMS à razão dos preços; 
ii. A restrição orçamentária. 
Umg1/Umg2 = p1/p2  c2/c1 = 1/[1/(1+r)]  c2/(1+r) = c1 
c1+c2/(1+r) = m1+m2/(1+r) 2c1 = m1+m2/(1+r) 
2c1 = 100+121/1,1 2c1 = 210  c1 = 105 mil 
c2/(1+r) = c1  c2 = 115,5 mil 
 
c) Sim. Ele terá de tomar um empréstimo de R$5.000. 
d) Sim (explicação: Preferência revelada – lógica similar à questão anterior). 
 
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6. Ana tem função de utilidade U(d1, d2) = d11/2 + 0,8d21/2, onde d1 é seu consumo no 
período 1, e d2 é seu consumo no período 2. A que taxa de juros ela escolherá 
consumir a mesma quantidade em ambos os períodos? 
a) 0,75. 
b) 0,13. 
c) 0,25. 
d) 0,00. 
e) 0,38. 
 
Solução 
Primeiro, calculamos a TMS: 
 TMS = – (UM1)/ (UM2) = – (0,5. d1-1/2)/(0,8.0,5.d2-1/2) = – (0,5. d1-1/2)/(0,4.d2-1/2) 
Depois, igualamos a TMS à razão dos preços (como sempre!). Isto é: 
(0,5. d1-1/2)/(0,4.d2-1/2) =
r1
1
1 
Esta expressão sempre terá de ser válida para a função de utilidade dada, e para 
qualquer taxa de juros. Assim, o enunciado nos pergunta qual seria a taxa de juros em 
caso de igualdade de consumo nos dois períodos, vamos impor a condição d1 = d2 na 
equação anterior. Teremos: 
 
(0,5. d1-1/2)/(0,4.d1-1/2) = 
r1
1
1
 1,25 = 1 + r r = 0,25 (resposta c) 
 
7. Um jovem indivíduo (muito metódico e planejador) elaborou um plano 
orçamentário para o próximo ano. Atualmente, como estagiário, este indivíduo 
possui uma renda anual de R$ 15 mil. Em um ano, este indivíduo espera ser efetivado 
com uma renda anual de R$ 40 mil. Suponha que a taxa de juros anual é 100%. 
a) Escreva a restrição orçamentária desse indivíduo em valores presentes. 
b) Qual o consumo máximo do indivíduo em cada ano? 
c) Qual o custo de oportunidade de uma unidade monetária de consumo em 
cada período? 
 
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Solução 
Renda atual: R$ 15000 
Renda em 1 ano: R$ 40000 
Taxa de juros (r): 100% 
a) RO em valores presentes 
𝐶1+𝐶2(1+𝑟)=𝑚1+𝑚2(1+𝑟) 
𝐶1+𝐶22=15000+400002 
𝐶1+𝐶22=$35000 
b) O consumo máximo no ano atual é R$ 35000 
O consumo máximo no ano seguinte é 
15000(1+𝑟)+40000 
15000.2+40000=𝑅$ 70000 
c) O custo de oportunidade no futuro é de 1/(1+𝑟)=1/2=𝑅$0,5 
O custo de oportunidade no presente é de (1+𝑟)=𝑅$2