Aula 02 (Cálculo II Semestre 2015.1)

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Cálculo II – Prof. Marcus V. S. Rodrigues (Semestre 2015.1) 
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AULA 02 – Uma Introdução as Equações Diferenciais 
Teorema 1. Seja 
F
 uma função contínua em um intervalo 
I
. Se 
 F x 0 
 para todo 
x I
, 
então existirá uma constante 
C
 tal que 
 F x C
 para todo 
x I
. 
 
Corolário 1.1. Sejam 
F
 e 
G
 funções contínuas no intervalo 
I
. Se 
   F x G x 
 para todo 
x I
, então existirá uma constante 
C
 tal que 
   F x G x C 
 (1) 
 
As equações que são compostas por uma função desconhecida e suas derivadas 
são chamadas de equações diferenciais. Quando a função envolve uma única variável 
independente, então a equação é chamada de equação diferencial ordinária (EDO). Por outro 
lado, se a função apresenta duas ou mais variáveis independentes, tem-se a equação 
diferencial parcial (EDP). 
Como exemplo de equações diferenciais tem-se: 
a) 
3x xdy 2e e
dx
 
 
b) 2 2
2 2 2
1
0
x c t
   
 
 
 
c) 
     f x f x 2f x 3senx 2cos x     
 
d) 
 dy arcsen t dt 
 
e) 
u u p
u v
x y x
  
 
  
 
Vale salientar que as equações diferenciais, tanto EDOs como EDPs, também são 
classificadas em relação à sua ordem. A ordem de uma equação diferencial é dada pela 
derivada de mais alta ordem. 
 
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Os exemplos (a) e (d) são classificadas como EDOs de primeira ordem, enquanto 
(c) é uma EDO de segunda ordem. Por outro lado, o exemplo (b) é uma equação classificadas 
como EDP de segunda ordem, e (e) é uma EDP de primeira ordem. 
As equações da seguinte forma 
 
dy
f x
dx

 (2a) 
são chamadas de equações diferenciais de primeira ordem, e podem ser escrita da seguinte 
forma alternativa 
 dy f x dx
 (2b) 
Para resolver uma equação da forma de (2b) usa-se o processo inverso da 
diferenciação, ou seja, a integração. Assim, pode-se escrever 
 y f x dx
 (3) 
Se 
   F x f x 
, então, a solução da equação (3) é dada pela família de funções, 
escrita da seguinte forma 
 y F x C 
 (4) 
 
Exemplo 1. Resolva a equação 
2dy x 2x 1
dx
  
. 
 
Solução. A equação pode ser escrita como, em termos de diferenciais, como 
 2dy x 2x 1 dx  
 
Logo, tem-se 
 2y x 2x 1 dx  
 
O próximo passo consiste em resolvendo a integral indefinida, 
 
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3 
 2 3 21x 2x 1 dx x x x C
3
     
 
que resulta na seguinte solução para a equação diferencial 
3 21y x x x C
3
   
 
É possível observar que a solução para esta equação é uma família de funções, 
formadas pelas primitivas da função 
  2f x x 2x 1  
. No caso em que se deseje encontrar 
uma primitiva particular, então é necessário conhecer pelo menos um ponto pertencente a essa 
primitiva (condição geralmente chamada de condição inicial). 
 
Exemplo 2. Resolva 
2dy x 2x 1
dx
  
, tal que 
 
1
y 1
3

. 
 
Solução. De acordo como exemplo 1, tem-se que a solução da equação 
2dy x 2x 1
dx
  
, é 
dada por 
3 21y x x x C
3
   
 
Para encontrar a solução particular deve-se substituir a condição dada 
 
1
y 1
3

 na 
equação acima, de modo a encontrar o valor da constante 
C
. Assim, fazendo 
1
y
3

 para 
x 1
, na expressão anterior, obtém-se 
C 0
 
Daí pode-se concluir que a solução particular é dada por 
3 21y x x x
3
  
 
 
 
 
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Exemplo 3. Determine 
 y f x
, 
x
, tal que 2
2
d y
2x 1
dx
 
, 
 y 0 1
 e 
 y 0 2 
. 
 
Solução. Tem-se que 2
2
d y
2x 1
dx
 
 pode ser escrita como 
  2 1
d dy dy dy
2x 1 2x 1 dx x x C
dx dx dx dx
 
         
  
 
Aplicando a condição 
   
dy
y ' 0 0 2
dx
 
, na expressão anterior, obtém-se 
1C 2
 
o que resulta em 
2dy x x 2
dx
  
 
Agora, deve-se integrar esse resultado 
 2y x x 2 dx  
 
obtendo 
3 2
2
1 1
y x x 2x C
3 2
   
 
Usando a condição 
 y 0 1
, na expressão anterior, obtém-se 
2C 1
 
o que resulta em 
3 21 1y x x 2x 1
3 2
   
 
 
Exemplo 4. Seja 
f
 uma função definida e diferenciável em toda reta e tal que, para todo 
x
, 
   f x f x 
. Prove que existe uma constante 
C
 tal que, para todo 
x
, tem-se que 
  xf x Ce
. 
 
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Solução. A equação 
   f x f x 
 pode ser escrita da seguinte forma 
 
 
f x
1
f x


 
O lado esquerdo da expressão acima é igual à derivada da função 
    F x ln f x
, enquanto que o lado direito é igual a derivada da função 
 G x x
. Isto é 
    
d d
ln f x 1 x
dx dx
    
 
Assim, do Corolário 1.1 é possível afirmar que as funções 
F
 e 
G
 diferem por 
uma constante 
 G x x
, ou seja, 
 ln f x x K 
 
o que resulta em 
  xf x Ce
 
 
 Exemplo 5. Seja 
 y f x
, 
x
, derivável até a 2ª ordem e tal que, para todo 
x
, 
   f x f x 0  
. Seja 
g
 dada por 
     g x f x senx f x cos x 
. Mostre que 
g
 é constante. 
 
Solução. Para mostrar que a função 
g
 é constante, basta verificar que para todo 
x
, tem-se 
 g x 0 
. Isto é, 
             
d
g x f x senx f x cos x f x senx f x cos x f x cos x f x senx
dx
           
 
que pode ser simplificado da seguinte forma 
     
0
g x f x f x senx 0     
 
o que implica que 
 g x C
.