apostila cdi3

Prévia do material em texto

Cálculo Diferencial e 
Integral III
Prof. Dr. Alessandro Ferreiro Alves
1ª Edição
 Gestão da Educação a Distância
Todos os direitos desta edição 
ficam reservados ao Unis - MG. 
 
É proibida a duplicação ou re-
produção deste volume (ou 
parte do mesmo), sob qualquer 
meio, sem autorização expressa 
da instituição.
Cidade Universitária - Bloco C
Avenida Alzira Barra Gazzola, 650, 
Bairro Aeroporto. Varginha /MG 
ead.unis.edu.br 
0800 283 5665
Autoria
Currículo Lattes:
Prof. Dr.
Alessandro Ferreira Alves
Doutor em Matemática Aplicada pela Faculdade de Engenharia Elétrica e Computação (FEEC) da 
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP-SP) no departamento de Telemática. Mestre em 
Matemática Pura pelo Instituto de Matemática, Estatística e Computação (IMECC) da Universidade 
Estadual de Campinas (UNICAMP-SP). Possui Licenciatura Plena em Matemática pela Universidade 
Federal de Uberlândia (UFU-MG). Atua como professor titular no Centro Universitário do Sul de 
Minas (UNIS-MG), desde o ano de 2001, como professor em diversos Cursos de Graduação, bem 
como cursos de Pós-graduação, nas Modalidades Presencial (GEP) e a Distância (GEaD). Além 
disso, é Coordenador do Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade a Distância desde 
o segundo semestre de 2007 e Coordenador do Curso de Licenciatura em Física na Modalidade a 
Distância desde o segundo semestre de 2015, bem como, já atuou na condição de Coordenador 
dos Cursos de Pós-graduação do UNIS-MG, tais como: MBA em Finanças Corporativas (GEDUP – 
2007 e 2008), MBA em Gestão Empresarial (GeaD – 2008), Pós-graduação em Matemática Empre-
sarial (GEP – 2004, 2005 e 2006) e Lato Sensu em Matemática e Ensino (GEDUP – 2002 e 2003). 
http://lattes.cnpq.br/7860986142316472
Autoria
Currículo Lattes:
Prof. Dr.
Alessandro Ferreira Alves
Atualmente, atua como professor titular de disciplinas em vários cursos de nossa instituição, como 
por exemplo, Engenharia Mecânica, Engenharia de Produção, Engenharia Civil, Matemática, Física, 
Comércio Exterior, Sistemas de Informação e Ciência da Computação, relacionadas à Matemática, 
Estatística e Computação e, ainda, na condição de Professor em diversos cursos da GEPOS, tais 
como, MBA em Finanças Corporativas e Gestão Bancária, MBA em Gestão Estratégica e Inteligência 
em Negócios, MBA em Gestão Empresarial, MBA em Logística Empresarial e Lato Sensu em Ensino 
de Matemática e Física. O professor Alessandro Ferreira Alves também é membro do CONSELHO 
UNIVERSITÁRIO – CONSUN do Centro Universitário do Sul de Minas Gerais desde o ano de 
2008, atuando como representante do quadro de coordenadores da instituição. De outra forma, 
atua com projetos de consultoria na área de Finanças, Estatística Aplicada a Mercado, Controle Es-
tatístico de Processos e Desenvolvimento de Materiais Didáticos.
http://lattes.cnpq.br/7860986142316472
6
Unis EaD
Cidade Universitária – Bloco C
Avenida Alzira Barra Gazzola, 650, 
Bairro Aeroporto. Varginha /MG 
ead.unis.edu.br
0800 283 5665
ALVES, Alessandro Ferreira. Cálculo Diferencial e Integral III. Varginha: 
GEaD-UNIS/MG, 2018.
109 p.
1. Equações Diferenciais Ordinárias. 2. Transformada Integral. 3. 
Transformada de Laplace 4. Sequências Numéricas. 5. Séries 
Numéricas
Caro aluno (a), tudo bem? 
 Seja bem-vindo a mais uma disciplina de Cálculo Diferencial e Integral! Agora vamos traba-
lhar com a generalização do cálculo diferencial e integral de uma variável real, no âmbito das equa-
ções que envolvem as derivadas ordinárias de uma função y = f(x), ou seja, estaremos discutindo 
os aspectos fundamentais, envolvendo agora as equações diferenciais. Tal aparato será a base do 
nosso estudo. A seguir, detalharemos também nas entrelinhas, os aspectos envolvendo as sequên-
cias e séries numéricas, que são ferramentas associadas ao cálculo importantes para a resolução de 
problemas nas mais variadas áreas do conhecimento.
 Através deste material didático apresentaremos os principais conceitos, técnicas, métodos 
de resolução e aplicações para entendimento de uma das disciplinas que compõem o seu curso de 
graduação e que trabalham diretamente com a resolução de problemas que envolvem equações 
cujos elementos principais são derivadas ordinárias de uma função y = f(x), que é a disciplina de 
Cálculo Diferencial e Integral III.
 Especificamente falando, essa disciplina trabalha, em um primeiro momento, com tópicos 
relacionados às Equações Diferenciais Ordinárias, ou seja, aqui estaremos apresentando toda a teo-
ria acerca das Equações Diferenciais Ordinárias, desde a parte de classificação e ordem, até a parte 
relacionada com os principais métodos de resolução e “transformada de Laplace”. Saliento ainda, 
que essa disciplina possui uma infinidade de aplicações em outras áreas do conhecimento (Física, En-
genharia, Economia, Química, Biologia, Administração, etc.) que dependem de definições e métodos 
das equações diferenciais ordinárias para a sua modelagem e posterior resolução. 
 Assim sendo, este material está dividido em cinco unidades, que englobam diversos temas 
específicos, desde os aspectos introdutórios acerca da teoria sobre as equações diferencias ordi-
nárias, métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias, bem como, passando pela parte 
sobre a “transformada de Laplace”, sequências numéricas e séries numéricas.
 Desta maneira, ao finalizar as unidades, com certeza, você estará familiarizado com as prin-
cipais definições e procedimentos envolvendo as equações diferenciais ordinárias, transformada de 
Laplace, sequências e séries numéricas, seus principais resultados e sua aplicabilidade prática no 
contexto das diversas áreas do conhecimento, tais como, a Matemática, Ciências Sociais, Matemática 
Aplicada e Economia, a Física e a Engenharia. Em verdade, o Cálculo Diferencial e Integral III pode 
ser encarado como uma expansão natural do cálculo diferencial e integral de uma variável real, bem 
como, da teoria das equações elementares.
 Neste sentido, o entendimento dos conceitos citados é de fundamental relevância para o 
desempenho de diversos profissionais e possibilitará a resolução de diversas aplicações nos mais 
variados contextos do nosso dia a dia.
 Gostaria de desejar a todos ótimos estudos, que no final consigamos atingir todos os nossos 
objetivos por inteiro!
 
"Sem os recursos da Matemática não nos seria possível compreender muitas passagens da Santa Escri-
tura." (Santo Agostinho)
Dedicatória
 Prezados discentes, para um aluno se tornar um profissional diferenciado no mundo glo-
balizado atual, independentemente da sua área de atuação, é muito importante a persistência nos 
estudos, sendo assim, a dedicação e leitura contínua são pré-requisitos básicos para o sucesso pro-
fissional. Para tal, use de sua curiosidade para buscar novos conceitos e exemplos da teoria estudada 
aqui, bem como, de novas aplicações que são resolvidas através dos métodos descritos neste texto.
“O livro da natureza foi escrito exclusivamente com figuras e símbolos matemáticos.” 
(Galileu)
Agora é mãos à obra!
Desde já os meus agradecimentos, Dr. Alessandro Ferreira Alves.
Ementa
Orientações
Palavras-chave
Equações Diferenciais de Primeira Ordem. Aplicações das Equações Diferenciais de 
Primeira Ordem. Equações Diferenciais de Segunda Ordem. Aplicações das Equações 
Diferenciais de Segunda Ordem. Equações Diferenciais de Ordem Superior. Transfor-
mada de Laplace. Sequências e Séries Numéricas.
Ver Plano de Estudos da Disciplina Disponível no Ambiente Virtual e Materiais Diver-
sos Complementares (aulas, arquivos diversos, artigos, etc.).
Equações Diferenciais Ordinárias. Transformada integral. Transformada de Laplace. 
Sequências Numéricas. Séries Numéricas.
Sumário
Unidade I - Introdução às Equações Diferenciais 14
1.1. Aspectos Introdutórios do Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias 
Variáveis 14
1.3. Classificando as Equações Diferenciais SegundoAlguns Critérios Básicos 16
1.2. Por que Devemos Estudar Equações Diferenciais? 16
1.3.1. Classificação Quanto ao Tipo 18
1.3.1.1. Equações Diferenciais Ordinárias 18
1.3.1.2. Equações Diferenciais Parciais 19
1.3.2. Classificação Quanto a Ordem 20
1.3.2.1. Caracterização da Ordem de Uma E.D.O. 20
1.3.3. Classificação quanto a Linearidade 22
1.3.3.1. Classificação de Uma E.D.O quanto à Linearidade 22
1.4. Terminologias e Conceitos Básicos Adicionais Envolvendo as E.D.O’s 24
1.4.1. Notação 24
1.4.2. Solução de Uma E.D.O 25
1.4.3. Caracterizando Soluções Explícitas e Implícitas 29
1.4.4. Interpretando o Número de Soluções de uma E.D.O 31
1.4.5. Solução Particular e Solução Geral 33
1.5. Interpretando os Problemas de Contorno e os Problemas de Valor Inicial (P.V.I) 
33
1.6. Aspectos Históricos Relacionados as Equações Diferenciais Ordinárias 34
1.7. Algumas Modelagens Matemáticas Pautadas nas E.D.Os 38
1.8. Exercícios de Fixação 41
1.8.1. Caracterização da Ordem de Uma E.D.O. 41
Unidade II - Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem: Aspectos Teóri-
cos, Métodos de Resolução e Aplicações 46
2.1. Aspectos Introdutórios Envolvendo os Sistemas Lineares 46
2.2. Métodos de Resolução de E.D.Os de 1º Ordem 49
2.2.1. O Método dos Fatores Integrantes 50
2.2.2. O Método das Variáveis Separáveis 59
2.3. Equações Exatas, Existência e Unicidade de Soluções 65
2.4. Modelando Situações Envolvendo as Equações Diferenciais Ordinárias de Pri-
meira Ordem 69
Unidade III - Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem e Aplicações 82
3.1. Aspectos Introdutórios 82
3.2. Equações Homogêneas com Coeficientes Constantes 83
3.3. Interpretando a Equação Característica 83
3.3.1. Equação Característica com Raízes Reais e Distintas 87
3.3.2. Conjunto Fundamental de Soluções e Wronskiano 89
3.3.3. Equação Característica com Raízes Complexas Conjugadas 95
3.3.4. Equação Característica com Raízes Reais e Iguais 99
3.4. Método dos Coeficientes Indeterminados e Variação dos Parâmetros 100
3.4.1. O Método dos Coeficientes Indeterminados 100
3.4.2. O Método da Variação dos Parâmetros 104
3.5. Algumas Aplicações Envolvendo as EDO’s de 2ª Ordem 106
3.5.1. Lei de Hooke 106
Unidade IV - Equações Diferenciais Ordinárias de Ordem Superior e Transformada 
de Laplace - Aspectos Introdutórios 111
4.1 Equações Diferenciais de Ordem Superior 111
4.2 A Transformada de Laplace: Resultados e Propriedades Fundamentais 115
4.2.1. Interpretando Formalmente a Transformada de Laplace 116
4.2.2. A Transformada de Laplace Interpretada como um Operador Linear 122
4.2.3. Como Solucionamos um P.V.I via a Transformada de Laplace? 125
4.2.4. Conhecendo a Transformada de Laplace Inversa 128
4.3. Algumas Funções Especiais 130
4.3.1. Função Degrau Unitário 130
4.3.2. Função Impulso Unitário 133
4.3.3. Função Delta de Dirac 134
4.4. Equações Diferenciais Não Lineares e Estabilidade 134
4.4.1. Descrevendo o Sistema Autônomo Plano 135
4.4.2. Classificação dos Tipos de Soluções 136
Unidade V - Sequências Numéricas e Séries Numéricas 139 
5.1 Aspectos Introdutórios 140
5.2 Conhecendo as Sequências Numéricas 140
5.3 Conhecendo as Séries Numéricas 148
5.4 Interpretando as Séries Numéricas Convergentes 149
5.5 Critérios para Determinação da Convergência de Séries Numéricas 152
5.6 Séries Absolutamente Convergentes e a Convergência Condicional 154
Referências 160
Objetivos da Unidade
Unidade I - Intro-
dução às Equações 
DiferenciaisI
 Ao final desta unidade, o aluno será capaz de se familiarizar com os conceitos 
fundamentais e introdutórios das funções de duas variáveis reais. Esperamos que, após 
o estudo do conteúdo desta unidade, você seja capaz de: 
- Compreender a importância da teoria das equações diferenciais ordinárias para a 
Matemática, Física e Engenharia.
- Reconhecer e Classificar, sem dificuldades, as equações diferenciais quanto à or-
dem, linearidade e tipo.
- Interpretar e caracterizar geometricamente a solução de equações diferencias 
ordinárias. 
- Estar familiarizado de forma específica com algumas aplicações a serem resolvidas 
via equações diferencias ordinárias. 
- Resolver diversas aplicações dentro da Matemática, Física, Engenharia e áreas afins, 
envolvendo os aspectos teóricos discutidos na unidade.
“A escada da sabedoria tem os degraus feitos de números.” (Blavatsky)
15
Unidade I - Introdução às Equações Diferenciais
1.1. Aspectos Introdutórios do Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias 
Variáveis
 Segundo Zill (2001) é notório que diversos problemas importantes e significativos da Mate-
mática, Física, Economia e Engenharia em geral, quando baseados em linhas matemáticas, exigem a 
resolução de equações diversas. Cabe salientar que, de modo específico, exigem a caracterização de 
uma função obediente a uma equação que contém uma ou mais derivadas ordinárias de uma função 
y = f(x), não conhecida a priori. De outra forma, em ciências, Engenharia, Economia e até mesmo 
em Psicologia, rotineiramente é desejada a descrição ou modelagem do comportamento de algum 
sistema real ou fenômeno real no âmbito matemático. São exemplos, de situações que envolvem 
um modelo matemático, que serão resolvidos através da caracterização da solução de uma equação 
diferencial.
As Equações Diferenciais fundamentalmente são o suporte matemático para 
muitas áreas da ciência e da engenharia em geral.
Figura 1 - As equações diferenciais nas diversas áreas do conhecimento.
Fonte: Adaptado do autor por Design Unis EAD 
16 
Figura 2 - Situações envolvendo modelagem via equações diferenciais
Fonte: istock.com
 Além disso, de acordo com Boyce (2011), deve-se ressaltar que o estudo das equações 
diferenciais atraiu a atenção de muitos entre os maiores matemáticos nos últimos três séculos de 
desenvolvimento da humanidade e, por conseguinte, de seus processos e tecnologia. Grosso modo, 
um pouco mais à frente, discutiremos de forma detalhada a parte histórica de tal subárea da Mate-
mática, apresentando os principais pensadores que colaboraram de forma significativa para o desen-
volvimento da mesma. Não muito distante desse contexto, continua a ser um campo dinâmico de 
investigação, com muitas questões interessantes ainda em aberto. Sem dúvida nenhuma, constitui 
uma área da Matemática com grande aplicabilidade na resolução de diversas situações reais do nos-
so dia-a-dia.
 As palavras, diferencial e equações, obviamente sugerem a resolução de algum tipo de equa-
ção envolvendo derivadas, já que os mesmos são visualizados inicialmente em um curso introdutório 
de cálculo. Em verdade, as palavras identificadas anteriormente, contém a história completa sobre a 
disciplina que estamos prestes a iniciar. Mas antes de começarmos a resolver qualquer problema ou 
equação diferencial, devemos conhecer algumas definições e terminologias básicas sobre o assunto, 
que faremos no início desta unidade. 
17
1.2. Por que Devemos Estudar Equações Diferenciais? 
 Sabemos que a Matemática e suas ferramentas é produto da cultura humana e faz parte do 
nosso cotidiano. Com relação especificamente às equações diferenciais, por que você, um futuro 
cientista (Matemático, Físico, Químico, Economista, etc.) ou Engenheiro (Produção, Civil, Mecânica, 
Elétrico, etc.) necessita estudar este assunto? A resposta é bem simples, equações diferenciais são o 
suporte matemático para muitas áreas da ciência e da engenharia. Por isso, examinamos, ainda que 
brevemente, como as equações diferenciais surgem a partir da tentativa de formularmos, ou descre-
vermos, certos sistemas físicos em termos matemáticos. 
Matemática
Equações 
Diferenciais
Modelagem 
Matemática
Situações 
Diversas
Figura 3 - Aplicabilidade das equações diferenciais
Fonte: Adaptado do autor por Design Unis EAD
1.3. Classificando as Equações Diferenciais Segundo Alguns Critérios Básicos
 Já foi comentado anteriormente que muitosproblemas relevantes e significativos da Mate-
mática, Física, Economia, Engenharia em geral, das ciências físicas e das ciências sociais, formulados 
em termos matemáticos, exigem a caracterização de uma função que obedece a uma equação que 
contém uma ou mais derivadas de uma função desconhecida. De acordo com Boyce (2011) estas 
equações são conhecidas como equações diferenciais. Talvez o exemplo mais conhecido por nós 
18 
seja o da segunda lei de Newton, que nos diz:
F = m.a
 Onde:
F = força, m = massa do corpo, a = aceleração
 Desta maneira, se u(t) é a posição no instante t de uma partícula de massa m submetida a 
uma força F, podemos escrever:
m.
dt2
d 2u = F [t,u, dt
du ]
 Onde a força F pode ser função de t, u e da velocidade . A fim de caracterizarmos o movi-
mento da partícula sob a ação da força F é necessário encontrarmos uma função u que obedeça à 
equação anterior. Logicamente, o nosso objetivo principal é discutirmos algumas propriedades das 
soluções das equações diferenciais e descrevermos alguns dos métodos de resolução.
Conceito
Equação Diferencial (Adaptado de Zill 2001): Qualquer equação que contenha as derivadas 
de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é 
chamada de equação diferencial.
 Neste contexto, as equações diferenciais, frequentemente, são classificadas com relação a 
três critérios básicos, que são: o tipo, a ordem e a linearidade.
Classificação das 
Equações 
Diferenciais
Quanto ao Tipo Quanto à Ordem Quanto à Linearidade
Figura 4 - Critérios de classificação das equações diferenciais
Fonte: Adaptado do autor por Design Unis EAD
19
 Vejamos a particularidade de cada um desses critérios a seguir.
1.3.1. Classificação Quanto ao Tipo
 Nesse critério, as equações diferenciais podem ser classificadas como equações diferenciais 
ordinárias e equações diferenciais parciais. Particularmente falando, dizemos que uma equação di-
ferencial é dita ordinária quando comparecem apenas as derivadas ordinárias de uma dada função 
y = f(x). De modo contrário, uma equação diferencial é dita parcial quando aparecem as derivadas 
parciais de uma dada função z = f(x,y). 
 Vejamos alguns exemplos ilustrativos, com relação a essa classificação:
1.3.1.1. Equações Diferenciais Ordinárias 
 Abaixo listamos alguns exemplos de equações diferenciais ordinárias.
1) y’ = 4xy
2) 
dx
dy = 3.y 
3) 
dt
dR(t) =- k.R(t)
 (equação que governa o decaimento de uma substância 
radioativa com o tempo R(t), como o do rádio, onde k é uma constante 
conhecida).
4) 
dx 3
d 3y
- x. dx
dy
+ (x 2 - 1) .y = e x
5) y'''' + y''' - y'' + y' = x + y
6) y'' + y' = cos x
7) y''' - 3.y''' + y'' - 2.x.y 2 = In(x.y)
20 
8) e y .
dx 2
d 2y
+ 2. dx
dyb l
2
= 1
 
9) y'' + 2.y = cos x + y^ h
10) L. dt2
d 2Q t] g
+ R. dt
dQ t] g
+ C
1 .Q t] g = E t] g (para a carga Q(t) de um capacitor num circuito 
com capacitância C, resistência R, indutância L e voltagem externa E(t)).
Segundo Boyce (2011), se uma equação contém somente derivadas ordinárias 
de uma ou mais variáveis dependentes, com relação a uma única variável de-
pendente, ela é chamada de equação diferencial ordinária, a qual indicaremos 
por E.D.O que, grosso modo, seria a abreviação da nomenclatura em questão.
1.3.1.2. Equações Diferenciais Parciais
 Abaixo listamos alguns exemplos de equações diferenciais parciais.
1) dy
du =
dx
dv
2) x
dx
du + y
dy
du = u
3) 
dx 2
d 2u =
dt2
d 2u - 2.
dt
du
21
 Segundo Boyce (2011), se uma equação contém somente derivadas parciais de 
uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes, 
então a equação é denominada equação diferencial parcial, a qual denotaremos 
por EDP que, grosso modo, seria a abreviação da nomenclatura em questão.
4) 
dx 2
d 2u x,y^ h
+
dy 2
d 2u x,y^ h = 0 (Equação do Potencial ou Equação de Laplace)
5) a.
dx 2
d 2u x,y^ h
+
dt2
du x,y^ h = 0 (Equação de Difusão ou Condução de Calor) onde a é uma cons-
tante determinada
6) a2 .
dx 2
d 2u x,y^ h =
dt2
du x,y^ h
 (Equação de Onda) onde a é uma constante determinada.
Segundo Zill (2001), deve-se salientar que a equação do potencial, a equação da 
difusão e a equação de onda aparecem em muitos problemas de eletricidade e 
magnetismo, na elasticidade e na mecânica dos fluidos.
 O nosso intuito será centrado especificamente no estudo das equações diferenciais ordiná-
rias (E.D.O). Desta forma, sempre que colocarmos E.D.O, estaremos falando diretamente em uma 
equação diferencial ordinária.
1.3.2. Classificação Quanto a Ordem
1.3.2.1. Caracterização da Ordem de Uma E.D.O.
 Abaixo listamos alguns exemplos envolvendo a determinação da ordem de uma E.D.O.
22 
1) y' = 3xy Ordem 1 ou Primeira Ordem
2) 
dx
dy
+ 5.x.y = 2y + x 2 Ordem 1 ou Primeira Ordem
3) 
dx
dy = y.x Ordem 1 ou de Primeira Ordem 
4) 
dx 3
d 3y
- x dx
dy
+ x 2 - 1] g .y = e x Ordem 3 ou de Terceira Ordem
5) y'''' + y''' - y'' + y' = x + y Ordem 4 ou de Quarta Ordem
6) 0.y'''' - 3.y''' + y'' - 2.x.y 2 = In x.y^ h (Qual é a ordem desta equação?) 
Neste caso, temos que o coeficiente de y’’” é igual a zero, sendo assim, a ordem desta E.D.O. 
é TRÊS, ou seja, a equação dada é de terceira ordem.
7) 4y''' - 3.y''' + y'' - 2.x.y 3 = In x.y^ h Ordem 3 ou de Terceira Ordem
8) 2e y .
dx 2
d 2y
+ 2. dx
dyb l
2
= 1 Ordem 2 ou de Segunda Ordem
9) 4y'' + 2.y = cos x + y^ h Ordem 2 ou de Segunda Ordem
10) L.
dt2
d 2Q t] g
+ R. dt
dQ t] g
+ C
1 .Q t] g = E t] g Ordem 2 ou de Segunda Ordem
Deve ficar claro que, para caracterizarmos a ordem de uma E.D.O., basta olhar-
mos a derivada com maior ordem que comparece na equação. 
23
1.3.3. Classificação quanto a Linearidade
 Aqui, talvez seja onde teremos um pouco mais de dificuldade na classificação em um pri-
meiro momento, mesmo que tenhamos apenas duas subclasses nesse critério específico. Mas fique 
tranquilo, que a partir da discussão dos primeiros exemplos, estaremos minimizando gradativamente 
tal dificuldade. Essa classificação é de primordial importância para os nossos propósitos já que, a 
partir daqui, estaremos visualizando os primeiros métodos de resolução de equações, bem como, as 
primeiras aplicações específicas.
 Com relação à linearidade, temos que uma E.D.O. de ordem n na função incógnita y e na 
variável independente x é dita uma equação diferencial linear, se possui a forma:
 Onde as funções b (x) (j = 1, 2,..., n) e g(x) supõem-se funções conhecidas e dependem 
apenas da variável x (ou de t caso y = f(t)). As equações diferenciais ordinárias que não podem ser 
escritas sob a forma anterior são conhecidas como equações diferenciais não-lineares.
 Vejamos alguns exemplos ilustrativos envolvendo a caracterização da linearidade de ma dada 
E.D.O.
1.3.3.1. Classificação de Uma E.D.O quanto à Linearidade
 Abaixo listamos alguns exemplos envolvendo a classificação de uma E.D.O com relação à 
linearidade.
24 
1) 
dx
dy = 3.y Equação Diferencial Ordinária Linear
2) 
dx 3
d 3y
- x. dx
dy
+ x 2 - 1] g .y = e x Equação Diferencial Ordinária Linear
3) y'''' + y''' - y'' + y' = x + y Equação Diferencial Ordinária Linear (Por quê?)
Neste caso, podemos reescrever a equação como segue: y'''' + y''' - y'' + y' - y = x 
4) y'' + y' = cos x Equação Diferencial Ordinária Linear
5) y''' - 3.y''' + y'' - 2.x.y 2 = In x.y^ h Equação Diferencial Ordinária Não-Linear
6) e y .
dx 2
d 2y
+ 2. dx
dyb l
2
= 1 Equação Diferencial Ordinária Não-Linear
 
7) y'' + 2.y = cos x + y^ h Equação Diferencial Ordinária Não-Linear
 
8) 2.
dx 2
d 2y
+ dx
dy
+ 3y = 2x - 1 Equação Diferencial Ordinária Linear
9) x 2 .
dx 2
d 2y
+ 5x dx
dy
+ 5y = 2x + y - 1 Equação Diferencial Ordinária Linear
10)3y'' + y.y' = senx Equação Diferencial Ordinária Não-Linear
Em outras palavras, notemos que as equações diferenciais lineares são caracte-
rizadas por duas propriedades:
I) A variável dependente y e todas as suas derivadas são do primeiro grau; isto 
é, a potência de cada termo envolvendo y é igual a 1.
II) Cada coeficiente depende apenas da variável independente x.
25
Equações Lineares
Coeficientes da função y e 
de suas derivadas só 
dependem da variável 
independente
Coeficientes da função y e 
de suas derivadas podem 
ser funções constantes
Equações 
Não-Lineares
Coeficientes da função y e 
de suas derivadas podem 
depender das derivadas de 
y
Coeficientes da função y e 
de suas derivadas 
dependem também de y
Figura 5 - Interpretando a caracterização da linearidade de uma E.D.O.
Fonte: Adaptado do autor por Design Unis EAD
1.4. Terminologias e Conceitos Básicos Adicionais Envolvendo as E.D.O’s 
 Vejamos mais algumas informações importantes com relação a outras terminologias que 
serão utilizadas ao longo do estudo sobre as equações diferenciais ordinárias, bem como, apresenta-
mos mais alguns conceitos fundamentais para o desenvolvimento dos aspectos teóricos a posteriori. 
1.4.1. Notação 
 Usaremos com frequência os símbolos y’, y’’, y’’’, y’’’’, y(5),...,y(n) a fim de descrevermos as de-
rivadas de ordem, respectivamente, primeira, segunda, terceira, quarta, quinta,..., enésima de y em 
relação à variável independente x. Assim sendo, y’’ representa 
dx 2
d 2y se a variável independente é x, 
mas representa 
dp 2
d 2y se a variável independente é p. Se a variável independente é o tempo, usual-
mente denotada por t, é comum substituirmos as linhas por pontos. 
 Logicamente y,
.
y,
..
y
...
 representam 
dt
dy , 
dt2
d 2y e dt3
d 3y
, respectivamente.
 Note que o uso dos parênteses em y para distinguir a potência y . Ressaltamos que podem 
comparecer no material de estudo qualquer uma dessas notações apresentadas anteriormente.
 A Figura 5 a seguir, nos dá uma pequena diferenciação entre as equações diferenciais ordi-
nárias lineares e as equações diferenciais ordinárias não-lineares.
26 
1.4.2. Solução de Uma E.D.O 
 Segundo Zill (2001), uma solução de uma equação diferencial na função incógnita y e na 
variável independente x, no intervalo I, é uma função y(x) que verifica identicamente a equação para 
todo x em I. Em outras palavras, é a função y(x) que torna a equação diferencial uma identidade para 
qualquer ponto que pertença ao intervalo I.
Conceito
Solução de Uma E.D.O (Adaptado de Zill 2001): Toda função f definida em algum intervalo I 
que, quando substituída na equação diferencial, torna a equação uma identidade, é chamada de 
solução para a E.D.O. no intervalo I.
 Observe que é como se pensássemos na generalização da resolução de uma equação do 
1º grau ou 2º grau, guardando-se as devidas proporções. Vejamos alguns exemplos ilustrativos en-
volvendo a caracterização da solução, ou soluções, para uma dada E.D.O. em intervalos específicos.
A função y(x) = eX é uma solução para a equação diferencial ordinária 
y’’ – y = 0
no intervalo I = ℜ.
Solução: Notemos primeiramente que necessitamos da derivada segunda de y com relação a x, 
já que a mesma aparece na equação dada. Assim, como y(x) = e temos que:
y'(x) = y’’(x) = eX 
Logo, substituindo na equação, vamos obter:
y’’ – y = 0
eX – eX = 0
0 = 0 (Verdadeiro)
27
Donde concluímos que y(x) = eX é uma solução para a equação diferencial ordinária dada 
y’’ – y = 0 no intervalo I = ℜ.
A função y(x) = e- X é uma solução para a equação diferencial ordinária 
y’’ – y = 0 no intervalo I = ℜ.
Solução: Notemos inicialmente que necessitamos mais uma vez da derivada 
segunda de y com relação a x, já que a mesma aparece na equação dada. 
Desta maneira, como y(x) = eX temos que: y'(x) = – e-X e y’’(x) = e-X 
Logo, substituindo na equação, vamos obter:
y’’ – y = 0
e-X – e-X = 0
0 = 0 (Verdadeiro)
Donde concluímos que y(x) = e-X é uma solução para a equação diferencial ordinária dada 
y’’ – y = 0 no intervalo I = ℜ.
Consideremos a equação dx
dy
- y = e 2.x , temos que a função y = y(x) = e2.X 
é uma solução da equação dada para todo x real. Por quê?
Solução: Neste caso, a partir da função y = y(x) = e devemos calcular a 
derivada primeira de y. Sendo assim, temos que:
y = e2.X 
Implica que
y' = 2. e2.X
Daí, substituindo na equação vem que:
dx
dy
- y = e 2.x
2.e2.X - e2.X = e (Verdadeiro)
28 
Ou seja,
0 = 0 (Verdadeiro)
Portanto, concluímos que função y = y(x) = e2.X é uma solução da equação dada.
Dica! Notemos que neste exemplo o intervalo I não foi especificado. Toda vez 
que acontecer tal fato, fica subentendido para nós que o intervalo em questão 
é o conjunto dos números reais, ou seja, I = ℜ.
Verifique se a função y = lnx é solução da equação x.y’’ + y’ = 0 no intervalo 
I = (0, + ∞).
Solução: Notemos que para o intervalo I = (0, + ∞) a função y = lnx está 
bem definida, já que, como sabemos, a função logarítmica só está definida 
para valores positivos (i.e., para x > 0). Desta forma, temos que encontrar primeiramente as 
derivadas primeira e segunda para a função y = lnx. Daí:
y = lnx
Implica que
y' = x
1 (Derivada de lnx)
Donde segue também que
y'' =
x 2
-1
 
(Você pode utilizar a regra do quociente ou da potência)
Logo, substituindo na equação diferencial dada obtemos:
x.y'' + y' = 0
x.
x 2
-1 + x
1 = 0
x
-1 + x
1 = 0 Ou seja:
29
Ou ainda, 0 = 0 (Verdadeiro)
Portanto, concluímos que a função y = lnx é solução da equação x.y’’ + y’ = 0 no intervalo I = 
(0, + ∞).
A função y(x) 1 é solução da equação y’’ + 2.y’ + y = x no intervalo I = ?
Solução: Neste caso, temos que:
y(x) ≡ 1 (função identicamente igual a 1)
y’ = y’’ = 0
Logo, substituindo na equação dada obtemos:
y’’ + 2.y’ + y = x
0 + 2.(0) + 1 = x
1 = x (Falso) (Só é verdade para x = 1)
Desta forma, concluímos que y(x) ≡ 1 NÃO é solução da equação dada, já que a igualdade 
acima não é verificada para todo x ∈ I = ℜ , sendo verdadeira, APENAS para x = 1. Portanto, 
a resposta para a indagação do exemplo é NÃO.
Toda equação diferencial admite solução? Sim ou não? Justificar a sua resposta.
Solução: A resposta para tal indagação é NÃO, já que, por exemplo, a equação 
diferencial abaixo:
(y’)2 = – 1
Não possui solução, já que nenhum quadrado pode ser igual a um número negativo se conside-
rarmos I = ℜ.
30 
Mesmo sabendo que uma solucao existe, pode acontecer que essa solução não 
possa exprimir-se em termos das funções elementares usuais – funções algébri-
cas, trigonométricas, exponencial, logarítmica e hiperbólicas. Infelizmente está é 
a situação para a maioria das equações diferenciais. 
1.4.3. Caracterizando Soluções Explícitas e Implícitas 
 Você deve se lembrar de que, em um curso de cálculo introdutório, foram estudadas as 
noções de funções explícitas. Analogamente, soluções de equações diferenciais são divididas em 
explícitas ou implícitas.
 Desta forma, definimos as soluções explícitas e implícitas de uma equação diferencial ordiná-
ria como segue:
 Soluções Explícitas (Adaptado de Zill 2001): Uma solução para uma E.D.O. que pode ser 
escrita na forma y = f(x) é chamada de solução explícita. 
 Soluções Implícitas (Adaptado de Zill 2001): Dizemos que uma relação G(x,y) = 0 
é uma solução implícita de uma E.D.O. em um intervalo I, se ela define uma ou mais soluções 
explícitas em I.
 Vejamos alguns exemplos ilustrativos envolvendo a caracterização de soluções explícitas e 
implícitas de determinadas E.D.Os.
(Solução Explícita) Vimos anteriormente que a função y(x) = eX é uma solução 
para a equação diferencial ordinária y’’ – y = 0 no intervalo I = ℜ. Neste caso, 
tal função y(x) = eX é uma soluçãoexplícita para a equação diferencial ordinária 
dada.
31
(Solução Explícita) Vimos anteriormente que a função y(x) = e-X é uma solu-
ção para a equação diferencial ordinária y’’ – y = 0 no intervalo I = ℜ. Neste 
caso, tal função y(x) = e-X é uma solução explícita para a equação diferencial 
ordinária dada.
(Solução Implícita) Para –2 < x < 2, a relação x2 + y2 – 4 = 0 é uma solução 
implícita para a equação diferencial
dx
dy =
y
-x
Solução: De fato, temos por derivação implícita que:
dx
d x 2] g + dx
d y 2^ h- dx
d 4] g = 0
Ou seja,
2x + 2y. dx
dy = 0
Ou ainda,
dx
dy =
y
-x
Notemos que a relação x2 + y2 – 4 = 0 no exemplo acima define duas funções explícitas, que 
são:
 y = 4 - x 2 e y =- 4 - x 2
No intervalo (–2, 2). Além disso, observemos que qualquer relação da forma x2 + y2 – c = 0 
satisfaz, formalmente, 
dx
dy =
y
-x para qualquer constante c. Todavia, fica subentendido que a 
relação deve sempre fazer sentido no sistema dos números reais; logo, não podemos dizer que 
x2 + y2 + 1 = 0 determina uma solução da equação diferencial.
32 
Dica! Ressaltamos que, como a distinção entre uma solução explícita e uma so-
lução implícita é intuitivamente clara, não nos preocuparemos em dizer sempre 
que “neste caso temos uma solução explícita (implícita)”.
1.4.4. Interpretando o Número de Soluções de uma E.D.O
 Salientamos que devemos nos acostumar com o fato de que uma dada equação diferencial 
geralmente possui um número infinito de soluções, ou seja, não possui um número finito de solu-
ções como acontece com as equações elementares de primeiro e segundo graus. 
 Vejamos alguns exemplos ilustrativos.
Para qualquer valor de c, a função y = x
c + 1 é uma solução da equação 
diferencial de primeira ordem:
x. dx
dy
+ y = 1
no intervalo (0, ∞). 
Solução: De fato, neste caso, temos que:
dx
dy = c. dx
d x -1] g + dx
d 1] g =- c.x -2 =-
x 2
c
Então
x. dx
dy
+ y = x. - x 2
cb l+ x
c + 1b l= 1
1 = 1 (Verdadeiro)
 Desta maneira, variando o parâmetro c, podemos gerar uma infinidade de soluções. Em 
particular, fazendo c = 0, obtemos uma solução constante y = 1. Vejamos na Figura 6 abaixo, a 
interpretação geométrica de tal situação.
33
Figura 6 - Interpretação geométrica do exemplo acima
Fonte: Elaborado pelo próprio autor a partir do programa Winplot
Temos que qualquer função da família a um parâmetro y = c.x é uma solu-
ção para a equação diferencial: x.y’ – 4.y = 0.
Solução: Neste caso, temos que: x.y’ – 4.y = x.(4.c.x3) – 4.c.x4 
A função definida por partes
y =
-x 4 .x 1 0
x 4 .x $ 0
)
é também uma solução. Observemos que essa função pode ser obtida a partir de y = c.x4 por 
intermédio de uma única escolha do parâmetro c. Vejamos esta disposição geométrica na Figura 
7 a seguir.
Figura 7 - Interpretação geométrica do exemplo acima
Fonte: Elaborado pelo próprio autor a partir do programa Winplot
34 
1.4.5. Solução Particular e Solução Geral
 De acordo com Boyce (2011), uma solução para uma equação diferencial que não depende 
de parâmetros arbitrários é denominada de solução particular. De outra forma, a solução geral da 
equação diferencial é o conjunto formado por todas as suas soluções.
Solução Geral - é o conjunto
formado por todas as suas soluções.
Solução Particular - é qualquer
solução da mesma.
Figura 8 - Definição de solução geral e solução particular de uma E.D.O.
Fonte: Adaptado do autor por Design Unis EAD
1.5. Interpretando os Problemas de Contorno e os Problemas de Valor Inicial (P.V.I)
 Rotineiramente, quando desejamos resolver uma determinada situação problema (problema 
real), nos deparamos com a necessidade de encontrarmos uma descrição peculiar de tal situação, ou 
seja, é necessário que encontremos uma solução particular. Assim sendo, no contexto das equações 
diferenciais ordinárias, isso não é diferente. 
 Desta maneira, segundo Boyce (2011), observa-se que um Problema de Valor Inicial (P.V.I), 
consiste em um conjunto formado por uma equação diferencial com condições previamente defi-
nidas associadas à função incógnita e suas respectivas derivadas, obviamente tudo sendo colocado 
para um único valor da variável independente. Além disso, segundo Boyce (2011), tais condições es-
pecíficas são chamadas de condições iniciais neste contexto. Contrariamente, se tivermos que essas 
condições peculiares se refiram a mais de um valor da variável independente, o problema é então 
conhecido como Problema de Valores de Contorno, e as condições nesse ponto são denominadas 
de condições de contorno. 
35
E.D.O Condições Iniciais
Problema 
de Valor 
Inicial 
(PVI)
Figura 9 - A interpretação de um Problema de Valor Inicial (P.V.I).
Fonte: Adaptado do autor por Design Unis EAD
1.6. Aspectos Históricos Relacionados as Equações Diferenciais Ordinárias 
 Vamos descrever um pouco sobre os aspectos teóricos das equações diferencias ordinárias 
nesse momento. Para tal, podemos iniciar tal discussão tomando como referências algumas indaga-
ções iniciais, como seguem: 
- Como surgiram as Equações Diferenciais? 
- Qual a importância das mesmas dentro da Matemática, Física e Engenharia? 
- Qual a necessidade de estudarmos as Equações Diferenciais para a resolutiva de situações diversas? 
 As respostas para estas e diversas outras indagações serão respondidas agora e ao longo 
da disciplina. Em verdade, já poderíamos descrever as Equações Diferenciais como um importante 
ramo da Matemática, cujo desenvolvimento está amplamente relacionado com o desenvolvimento 
da própria Matemática. 
Segundo Boyce (2011), as Equações Diferenciais são um importante ramo da 
Matemática, cujo desenvolvimento está amplamente relacionado com o desen-
volvimento da própria Matemática e de algumas de suas ferramentas para a 
resolução de aplicações diversas.
 Desta forma, segundo Boyce (2011), o surgimento de estudos relacionados às equações 
diferenciais se deu precisamente no início do Cálculo Diferencial e Integral, especificamente falando, 
com Isaac Newton, por volta de 1.642 e Gottfried Wilhelm Leibniz por volta de 1.646, ambos no 
século XVII. Embora Newton tenha trabalhado pouco na área das equações diferenciais, o desenvol-
36 
Figura 10 - Surgimento do estudo das E.D.O’s com Isacc Newton. 
Figura 11 - A contribuição de Leibniz
Fonte: Adaptado do autor por Design Unis EAD
Fonte: Adaptado do autor por Design Unis EAD
vimento que o mesmo proporcionou ao Cálculo Diferencial e Integral e a explicação dos princípios 
fundamentais da mecânica, constituíram a base para as aplicações realizadas por Euler no século a 
seguir. 
Isaac Newton
Gottfried Wilhelm 
Leibniz
Euler
Cálculo 
Diferencial e 
Integral
Equações 
Diferenciais
Tópicos de 
Mecânica
 Mais precisamente, Newton classificou as equações diferenciais de primeira ordem de acor-
do como as formas:
 
dx
dy = f x] g dx
dy = f y^ h
 Salientamos que, para essa última equação, Newton desenvolveu um método de resolução 
tendo como alicerce a Teoria das Séries Infinitas, quando a função f(x, y) é definida como um poli-
nômio nas variáveis x e y. De outra forma, de acordo com Boyce (2016), Leibniz, nasceu na cidade 
de Leipzig, na Alemanha, chegando ao descobrimento do método das variáveis separáveis no ano 
de 1961, a redução de equações homogêneas e equações separáveis também em 1961 e o proce-
dimento de resolução de equações lineares de primeira ordem no ano de 1964.
Leibniz - Desenvolvimento de 
Técnicas Específicas das E.D.O's
1961
Redução de 
Equaçõs 
Homogêneas
Redução de 
Equações 
Separáveis
1964
Procedimento de 
Resolução de 
Equações Lineares 
de Primeira Ordem
37
 É interessante informarmos ainda que, de acordo com Zill (2001), os irmãos Jakob e Johann 
Bernoulli, nascidos na Basiléia, contribuíram de modo significativopara o desenvolvimento de méto-
dos de solução de equações diferenciais, bem como, com a ampliação do campo de aplicação das 
mesmas. De outra forma, Daniel Bernoulli, filho de Johann Bernoulli, se interessava particularmente 
pelas equações diferenciais parciais e modelagens relacionadas. Especificamente falando, seu nome 
está intimamente ligado à conhecida Equação de Bernoulli da área da mecânica dos fluidos. Além 
disso, Daniel Bernoulli também foi o primeiro a caracterizar as funções, que um século depois, tor-
naram-se conhecidas como as funções de Bessel.
Métodos 
de 
Resolução
Jakob 
Bernoulli
Daniel 
Bernoulli
Johann 
Bernoulli
Figura 12 - A contribuição da família Bernoulli
Fonte: Adaptado do autor por Design Unis EAD
 A seguir, temos as contribuições de um dos 
maiores pesquisadores matemáticos de todos os 
tempos, em especial, ele foi considerado o maior 
matemático do século XVIII. Aqui, de acordo com 
Figueiredo (2008), estamos nos referindo a Leonard 
Euler (1707 – 1783), que cresceu próximo a Basiléia 
e tendo como um de seus mestres Johann Bernoulli. 
Em verdade, Leonard Euler foi o matemático que 
mais produziu na história da humanidade, sendo 
que suas obras completam quase uma centena de 
exemplares de livros por inteiro. Ele trabalhava, ba-
sicamente, com todas as áreas da matemática, sendo que tinha um interesse assíduo em aplicações 
da mecânica que tinham soluções via equações diferencias ordinárias, particularmente falando, ele 
desenvolveu, nas entrelinhas, a exatidão das equações de primeira ordem, o método dos fatores 
integrantes e descreveu a solução geral das equações lineares com os coeficientes constantes, bem 
como, da tratativa envolvendo as equações não homogêneas.
38 
Formulação de Problemas 
em Mecânica
Desenvolvimento da Teoria 
dos Fatores Integrantes
Identificou a exatidão das 
E.D.O's de Primeira 
Ordem
Apresentou a solução 
geral para as equações 
lineares com coeficientes 
constantes
Leonard Euler
Figura 13 - A contribuição do matemático Leonard Euler
Figura 14 - A contribuição de Joseph Louis Lagrange
Fonte: Adaptado do autor por Design Unis EAD
Fonte: Adaptado do autor por Design Unis EAD
 Segundo Zill (2001) o sucessor de Leonard Euler, foi Joseph Louis Lagrange italiano da cida-
de de Turim que, no âmbito das equações diferenciais, apresentou a solução de uma equação dife-
rencial homogênea de ordem n como uma combinação linear de n soluções independentes, além de 
ter desenvolvido o método da variação dos parâmetros. Além disso, Lagrange também possui seu 
nome diretamente relacionado à descrição importante que montou sobre as equações diferenciais 
parciais e no cálculo das variações.
Sucessor de Euler na 
cadeira de Matemática 
da Academia de Berlim
Mécanique Analytique
(obra prima)
Apresentou a solução 
para uma E.D.O 
homogênea de ordem n
Tratamento 
fundamental para as 
EDP's bem como para 
o cálculo das variações
Joseph Louis 
Lagrange
39
 Já Pierre Simon de Laplace (1749 – 1827), desenvolveu uma importante equação trabalhada 
na física matemática que é a Equação de Laplace, bem como, fez diversas investigações no campo 
da atração gravitacional e descreveu, nos mínimos detalhes, o aparato envolvendo a Transformada 
de Laplace, que estudaremos um pouco mais a frente.
Pierre Simon 
de Laplace
Traité de 
mécanique
céleste
Transformada 
de Laplace
Figura 15 - A contribuição de Pierre Simon de Laplace
Figura 16 - As equações diferenciais no séculos XIX e XX.
Fonte: Adaptado do autor por Design Unis EAD
Fonte: Adaptado do autor por Design Unis EAD
Assim sendo, de acordo com Boyce 
(2011), ao final do século XVIII, vários 
métodos elementares para a resoluti-
va de equações diferenciais ordinárias 
tinham sido descobertas. Nos séculos 
subsequentes, a tratativa se direcionou a 
investigar questões teóricas relacionadas 
a existência e unicidade, bem como, com 
relação a métodos baseados em séries de potências. Aqui também, não podemos nos esquecer do 
desenvolvimento envolvendo as equações diferenciais parciais. 
o Investigações de
questões teóricas
o Desenvolvimento de
métodos numéricos
Século XIX
o E.D.O’s se desenvolveram com o
crescimento com a computação
gráfica;
o Muitos problemas ainda continuam
em aberto.
Século XIX
1.7. Algumas Modelagens Matemáticas Pautadas nas E.D.Os 
 
 Da literatura é sabido que a palavra modelo significa uma versão simplificada de uma deter-
minada situação real. Já comentamos anteriormente sobre a empregabilidade das equações diferen-
ciais em diversas áreas do conhecimento, como por exemplo, Ciências, Engenharia, Economia e até 
mesmo em Psicologia. Em verdade, frequentemente desejamos descrever ou modelar o comporta-
mento de algum sistema ou fenômeno em termos matemáticos. Essa descrição se baseia com a:
40 
- Identificação das variáveis que são responsáveis por mudanças do sistema.
- Interpretação de um conjunto de hipóteses razoáveis sobre o sistema.
 Salientamos que estas hipóteses também incluem algumas leis empíricas que são aplicáveis 
ao sistema. A estrutura matemática de todas as hipóteses, ou o modelo matemático do sistema, é 
comumente uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais. Além disso, devemos 
ressaltar que um modelo matemático de um sistema físico, geralmente, está intimamente ligado a 
variável tempo. Desta maneira, Zill (2001) nos diz que solucionar um modelo representa então o 
estado do sistema. Grosso modo, para valores particularizados do tempo t, os valores da variável 
dependente (ou variáveis), descrevem o sistema no passado, presente e futuro.
Variáveis 
modificadoras 
do sistema 
Conjunto de 
Hipóteses
Modelo 
Matemático 
de uma 
situação real
Figura 17 - A modelagem matemática de uma situação real
Fonte: Adaptado do autor por Design Unis EAD
 A seguir, listamos algumas aplicações (modelos matemáticos) de diversas situações que 
ocorrem no dia-a-dia em diversas áreas do conhecimento, onde se faz necessária a resolução de 
uma equação diferencial ordinária.
 - Lei do Esfriamento de Newton – Adaptado de Zill 2001: De acordo com a empírica lei 
de esfriamento de Newton, a taxa de esfriamento de um corpo é proporcional à diferença entre a 
temperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente. Suponhamos que T(t) denote a tempe-
41
ratura de um corpo no instante t e que a temperatura do meio seja constante, igual a Tm . Se dt
dT
 
representa a taxa de variação da temperatura do corpo, então a lei de esfriamento de Newton 
poderá ser expressa matematicamente da seguinte forma:
dt
dT \ T - Tm] g ou dt
dT = k. T - Tm] g
Onde k é uma constante de proporcionalidade. Como, por hipótese, o corpo está esfriando, deve-
mos ter T > Tm, logo k < 0.
 - Corpo em Queda Livre – Adaptado de Zill 2001: A descrição matemática de um corpo 
caindo verticalmente sob a influência da gravidade, leva a uma simples equação diferencial de se-
gunda ordem. A solução para essa equação fornece-nos a posição do corpo em relação ao solo. A 
Figura 18 abaixo nos mostra uma situação típica de queda livre (uma pedra sendo lançada de um 
edifício).
Figura 18 - A representação geométrica 
de um corpo em queda livre
Fonte: Zill (2001)
 A equação diferencial que modela governa a trajetória 
vertical do corpo é dada por:
dt2
d 2s =- g
 Onde g representa a aceleração da gravidade e o sinal 
negativo é usado porque o peso do corpo é uma força dire-
cionada para baixo, ou seja, oposta à direção positiva. Ressal-
tamos ainda, que a aceleração é a derivada da velocidade, que, 
por sua vez, é a derivada da distância s. Além disso, podemos 
observar claramente que essa formulação ignora outras forças, como por exemplo a força de resis-
tência do ar atuando sobre o corpo em questão.
 - Capitalização Contínua: Rotineiramente,as instituições financeiras anunciam capitalização 
diária dos juros. Poderíamos ter capitalização a cada hora ou mesmo a cada minuto. Não existe 
42 
razão para parar aí, ou seja, juros poderiam ser capitalizados a cada segundo, a cada meio segundo, 
a cada décimo segundo, a cada milésimo de segundo e assim por diante. 
 Isto quer dizer que os juros podem ser capitalizados continuamente, caracterizando o que 
denominamos de Capitalização Contínua. Lembremos que juros significa o que pagamos pelo alu-
guel do dinheiro ao longo do tempo. Ilustrativamente, consideremos a seguinte situação: Alessandro 
coloca a quantia de R$10.000,00, posta a juros de 10% ao ano, sob a condição de que os juros 
cresçam linearmente, ou seja, o regime de capitalização é o regime linear de juros. Quantos anos 
serão necessários para que a soma atinja R$20.000,00?
 A partir do momento que criarmos o alicerce, bem como, estudarmos os vários métodos 
de resolução de E.D.Os, sejam elas de primeira ou segunda ordens, transformadas integrais e trans-
formada de Laplace, estaremos resolvendo estas aplicações práticas, dentre outras.
1.8. Exercícios de Fixação 
 Vejamos mais alguns problemas resolvidos envolvendo os principais aspectos teóricos discu-
tidos anteriormente.
1.8.1. Caracterização da Ordem de Uma E.D.O.
 Abaixo listamos alguns exemplos envolvendo a determinação da ordem de uma E.D.O.
43
5) 0.y'''' - 3.y''' + y'' - 2.x.y 2 = In x.y^ h (Qual é a ordem desta equação?) Neste caso, te-
mos que o coeficiente de y’’’’ é igual a zero, sendo assim, a ordem desta E.D.O. é TRÊS, ou seja, 
a equação dada é de terceira ordem.
6) y''' - 3.y''' + y'' - 2.x.y 2 = In x.y^ h Ordem 2 ou de Segunda Ordem
7) e y .
dx 2
d 2y
+ 2. dx
dyb l
2
= 1 Ordem 2 ou de Segunda Ordem
8) y'''' - 2x 2y' + 3senx.y = x - 1 Ordem 4 ou de Quarta Ordem
9) y'' - 2y' + 3y = 7 Ordem 2 ou de Segunda Ordem
10) y'' + 2.y = cos x + y^ h Ordem 2 ou de Segunda Ordem
11) L.
dt2
d 2Q t] g
+ R. dt
dQ t] g
+ C
1 .Q t] g = E t] g Ordem 2 ou de Segunda Ordem
12) 2x dx 2
d 2y
+ 3x 2 dx
dy
- 4x 2 .y = 3y Segunda Ordem, Linear
1) 
dx
dy
+ 5.x.y = 2y + x 2 Ordem 1 ou de Primeira Ordem
2) 
dx
dy = y.x Ordem 1 ou de Primeira Ordem
3) 
dx 3
d 3y
- x. dx
dy
+ x 2 - 1] g .y = e x Ordem 3 ou de Terceira Ordem
4) y'''' + y''' - y'' + y' = x + y Ordem 4 ou de Quarta Ordem
44 
13) xy dx 3
d 3y
+ 3
dx 2
d 2y
+ dx
dy
- y 2 = 5x + 7y Terceira Ordem, Não-Linear
14) y''' + 5.xy = sen x + 2y^ h Terceira Ordem, Não-Linear 
15) 4y''' - x.y' = x + y - 1 Terceira Ordem, Linear
16) 2y' = 5xy Primeira Ordem, Linear
17) 5y'' + 4y' + 4xy = 4x + 4y Segunda Ordem, Linear
18) 3y'''' + 3y'' - x 3y' = 5 Quarta Ordem, Linear
19) 
dx 3
d 3y
+ x 2 . dx
dy
+ x 2 - 3] g .y = 5e x + 2y Terceira Ordem, Linear
20) 3x 2y'''' + 2xyy'' - 3y' = 5x + 4 Quarta Ordem, Não-Linear
21) y' = 4xy 2 Primeira Ordem, Não-Linear
22) 3x 3y''' + 5.x 2y = 2x + y 3 Terceira Ordem, Não-Linear
23) y 2 dx 3
d 3y
+
dx 2
d 2y
+ dx
dy
- 3xy = 4x 2 + 2x - 3 Terceira Ordem, Não-Linear
45
 Descrevemos que muitos problemas importantes e relevantes do mun-
do da Matemática, Física e da Engenharia formulados em linhas matemáticas, 
demandam da determinação de uma função que obedece a uma equação que 
contém uma ou mais derivadas ordinárias, de uma função a priori, desconhe-
cida. Neste sentido importantíssimo do estudo das equações diferenciais ordinárias, desta forma, 
nesta primeira unidade, trabalhamos com os conceitos preliminares das equações diferenciais 
e notas históricas, desde a sua classificação quanto ao tipo, ordem e linearidade, passando pela 
descrição de outas terminologias e conceitos pertinentes, descrevendo algumas informações his-
tóricas importantes para tal contextualização e exemplificando aplicações de modelagem via tais 
equações diferenciais ordinárias.
 Desta forma, a partir da classificação das equações em diferenciais ordinárias, vimos nas 
entrelinhas a caracterização e interpretação algébrica de uma solução, ou seja, visualizamos o sig-
nificado de encontrarmos a solução de uma E.D.O. que, em verdade, se traduz na determinação 
de uma função incógnita que faz com que a E.D.O. se torne uma identidade.
 Observe que, agora, você já sabe como preencher a necessidade de apresentar modelos 
que permitam explicar e compreender o mundo físico, tem sido uma das grandes motivações para 
o desenvolvimento da Matemática, Física e Engenharia que dependam do contexto de equações 
diferenciais ordinárias, sejam elas de primeira ordem ou de ordem superior. 
Objetivos da Unidade
Unidade II - Equações Diferen-
ciais Ordinárias de Primeira Or-
dem: Aspectos Teóricos, Méto-
dos de Resolução e AplicaçõesII
 Ao final desta unidade, o aluno estará familiarizado com os 
conceitos fundamentais, métodos de resolução e aplicações envol-
vendo as equações diferenciais de primeira ordem. 
47
Unidade II - Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem: Aspectos Teóricos, 
Métodos de Resolução e Aplicações 
2.1. Aspectos Introdutórios Envolvendo os Sistemas Lineares 
 Na nossa primeira unidade, vimos que uma E.D.O. é dita de primeira ordem, se a derivada 
de maior ordem que nela comparece é de ordem 1. Além disso, podemos afirmar que tais equações 
são frequentemente utilizadas em problemas de modelagens envolvendo crescimento e decresci-
mento, capitalização contínua, mecânica dos movimentos, etc.
 Observemos, por exemplo, as aplicações a seguir, que serão resolvidas um pouco mais 
adiante na unidade.
Aplicação 1: (Mecânica do Movimento) Devido ao atrito, um móvel tem aceleração dada pela 
metade da raiz quadrada da velocidade no início do movimento. Quanto tempo leva o móvel até 
parar se a sua velocidade inicial é de 16 m/s?
Aplicação 2: (Crescimento e Decrescimento – Adaptado de Zill 2001) O isótopo radioativo de 
chumbo, Pb-209, decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente em qualquer tempo. 
Sua meia-vida é 2,4 horas. Se 20 gramas de chumbo estão presentes inicialmente, quanto tempo 
levará para 90% de chumbo desaparecer?
 Para os nossos propósitos, estaremos criando uma sequência lógica, iniciando com a des-
crição dos principais métodos de resolução de equações diferenciais de primeira ordem, para que 
possamos trabalhar com a descrição de modelos das mesmas. Todavia, é interessante que tal apa-
rato partirá efetivamente das equações de primeira ordem lineares, de acordo com o critério de 
linearidade, trabalhado anteriormente.
 Grosso modo, estaremos interessados, primeiramente, na descrição de equações, escritas 
geralmente como:
(1) 
dt
dy = f t,y^ h
48 
 Onde f é uma função conhecida de duas variáveis.
 Segundo Zill (2001), toda função diferençável y = Φ (t), que satisfaça a esta condição para 
todos os valores de t em um certo intervalo, é interpretada como uma solução. Assim sendo, é de 
nosso intuito caracterizar se essas funções existem e, em caso afirmativo, descrever métodos para 
encontrá-las.
 É importante apontarmos que, para uma função qualquer f, não existe nenhum método geral 
para resolver a equação, em termos de funções matemáticas elementares. Logicamente, vamos apre-
sentar alguns métodos, cada um dos quais se aplica a certa subclasse das equações diferenciais de 
Subclasses 
mais 
importantes 
de EDOs de 
primeira 
ordem
Equações 
Lineares
Equações 
Separáveis
Figura 19 - As principais subclasses de equações de primeira ordem
Fonte: Adaptado do autor por Design Unis EAD
Vejamos uma ilustração introdutória acerca de uma equação diferencial de 
primeira ordem linear.
(Adaptado de Boyce 2011): Suponhamos que um dado sistema físico seja 
modelado por uma E.D.O. descrita como:
dt
dy
+ p t] g .y = g t] g
Assim sendo, é de nosso interesse encontrar a suasolução? Vamos verificar como podemos 
caracterizar a sua solução, para que possamos descrever métodos mais gerais de resolução de 
equações de primeira ordem.
primeira ordem. Especificamente 
falando, as subclasses mais rele-
vantes são as das equações line-
ares e das equações separáveis.
49
Primeiramente, sem perda de generalidade, suponhamos que as funções p(t) e g(t) sejam duas 
funções conhecidas e contínuas no intervalo I = (a,b), com a < t < b. Vamos particularizar um 
pouco mais, considerando a EDO dada por:
(3) 
dt
dy
+ 2
1 .y = 2
3
dt
dy =- 2
y - 3
, se y ! 3
Assim sendo, com um pequeno manuseio algébrico (passando y – 3 dividindo, já que y ≠3), 
transformemos a mesma para:
y - 3
dt
dy
=-2
1
Neste momento, observe que o 1º membro desta última equação denota a derivada da função 
composta ln |y – 3|. Para averiguarmos tal fato, basta usarmos a Regra da Cadeia para Derivação, 
desse modo, podemos escrever:
dt
d In y - 3^ h=-2
1
Logo, se integrarmos a igualdade acima com relação a t, obteremos:
In y - 3 =-2
t + C
Onde C é uma constante arbitrária (constante de integração – integral indefinida). Portanto, 
aplicando a função exponencial a ambos os membros, obtemos:
y = 3 ! e c .e 2
- t
E, assim, escrevemos:
C =! e C .e 2
- t
Além disso, se tomarmos C =! e C , vem que:
(5) y = 3 ! C.e 2
- t
Que representa a solução geral da EDO em questão. Notemos sem grandes dificuldades, que 
C =! e C e é uma constante arbitrária diferente de zero, todavia, se deixarmos C assumir o valor 
zero, então a solução constante y = 3 também está compreendida na solução geral (5).
50 
Neste contexto, a E.D.O. mais geral de primeira ordem, com coeficientes cons-
tantes, pode ser descrita como:
(6) dt
dy = r.y + k
onde r e k são constantes, pode ser encarada da mesma forma do procedimen-
to que utilizamos anteriormente. Se r ≠ 0 e se y ! r
-k , podemos escrever a Equação (6) na forma:
y + k/r^ h
dt
dy
= r
E com argumentação similar, obtemos que,
(7) y = r
-k + C.e r .t
Onde C =! e
C
.
 É importante ressaltarmos que este raciocínio utilizado anteriormente, será de grande valia, 
para que possamos desenvolver uma metodologia do primeiro método de resolução de equações 
diferenciais de primeira ordem, o qual apresentaremos logo a seguir, que é o conhecido Método dos 
Fatores Integrantes.
2.2. Métodos de Resolução de E.D.Os de 1º Ordem
 Quais são os principais métodos de resolução de equações diferenciais de 1ª ordem que 
caracterizem as soluções das mesmas? Para respondermos tal indagação, estaremos interessados 
na discussão de dois métodos específicos de resolução de E.D.Os de primeira ordem, que são: o 
método das variáveis separáveis e o método dos fatores integrantes.
 É relevante colocarmos que, cada um desses métodos, apresentam suas particularidades, 
assim sendo, visualizaremos caminhos para que possamos escolher um ao invés do outro, para 
aplicação em determinadas equações. Além disso, para maiores detalhes com relação a descrição 
formal de cada um deles, você pode pesquisar em Zill (2001).
51
 De outra forma, neste contexto, temos uma definição adicional importante para os nossos 
propósitos que é o conceito de Problema de Valor Inicial, o qual colocamos a seguir.
Conceito
(Problema de Valor Inicial) (Adaptado de Zill 2001): Uma equação diferencial de primeira or-
dem, conjuntamente com uma condição inicial da forma y(x0) = y0 é chamada de Problema de 
Valor Inicial (P.V.I).
 Vejamos um exemplo ilustrativo de problema de valor inicial.
Vamos caracterizar a curva cujo coeficiente angular num ponto de abscissa x 
é 5.x . Além disso, é sabido que a curva passa pelo ponto P de coordenadas 
P(1; 3).
Agora, vamos apresentar os métodos de resolução de E.D.Os de primeira 
ordem, iniciando pelo método dos fatores integrantes. Vamos lá? 
2.2.1. O Método dos Fatores Integrantes
 Em uma análise superficial, iniciamos a sua interpretação comentando que o seu próprio 
nome nos levará ao entendimento de seu procedimento.
Assim sendo, este método na verdade, tem como ponto de referência a caracterização de uma 
função (a princípio desconhecida) que, usualmente na literatura, é representada pela simbologia μ(t) 
e que, quando multiplicada na equação original, deixa a mesma diretamente integrável (um de seus 
membros).
 Observe que, por conta disso, tem-se tal nomenclatura para esse método peculiar. Desta 
maneira, tendo como base Boyce (2011), a seguir colocamos os passos ou etapas a serem seguidos 
para a aplicação do método dos fatores integrantes. É interessante deixarmos claro que, para ini-
ciarmos a resolução de uma E.D.O. pelo método dos fatores integrantes, a mesma deve estar sob a 
forma:
52 
dt
dy
+ p t] g .y = g t] g ou y' + p t] g .y = g t] g
Onde, p(t) e g(t) são duas funções conhecidas dependendo apenas de t.
Método dos Fatores Integrantes – Sequência de Passos 
- Passo 1: Caracterizamos o fator integrante (t) através da expressão (ou fórmula matemática): 
μ(t) = exp ∫ p(t)dt ou μ(t) = e ∫ p(t).dt 
 
- Passo 2: Multiplicamos a equação original pelo fator integrante, a fim de escrever o novo primei-
ro membro como a derivada do produto μ(t).y. Sempre que realizarmos o Passo 2, o primeiro 
membro dessa nova igualdade se torna diretamente integrável, já que fica igual a [ y.μ(t)]’.
- Passo 3: Efetuamos a integração da nova igualdade (obtida no Passo 2) em relação a t para 
ambos os membros e caracterizamos a função y (solução da E.D.O. estudada).
Encontrar o fator integrante
1º Passo
Multiplicar a E.D.O. dada 
pelo fator integrante.
2º Passo
Integrar a última igualdade 
do Passo 2 com a relação a t
3º Passo
Figura 20 - Sequência de passos para o método dos fatores integrantes
Fonte: Adaptado do autor por Design Unis EAD
 Vejamos alguns exemplos ilustrativos envolvendo a resolução de equações de primeira or-
dem, via o método dos fatores integrantes. 
Vamos caracterizar a solução geral da E.D.O. y' - 2
y = e -t com a utilização 
direta do método dos fatores integrantes.
Solução: Primeiramente, você deve ter em mente que devemos seguir rigo-
rosamente os passos descritos anteriormente, ou seja, temos que seguir a 
sequência dos três passos comentados acima.
- Passo 1: Encontrar o fator integrante
Para calcularmos o fator integrante, devemos observar o coeficiente da função y. Como a nossa 
53
equação diferencial é y' - 2
y = e -t , podemos observar claramente que o coeficiente que mul-
tiplica a função y é dado pela constante -2
1 . Assim sendo, de acordo com a notação apresen-
tada, temos que p(t) = -2
1 e, por conseguinte, o fator integrante μ(t) é dado pela expressão:
μ(t) = exp ∫ p(t)dt
Ou seja, como p(t) = – -2
1 , vem que:
μ(t) = exp ∫ p(t)dt
(Observação: Aqui estamos utilizando as regras das primitivas imediatas – cálculo de integrais). 
Mais precisamente estamos usando a regra:
a.f x] gdx = a. p t] gdt = e 2-1dt# = e 2-1## , onde a é uma constante. No nosso caso, a 
constante a = -2
1 e, portanto, 
2
-1 dt = 2
- t# e, assim sendo:
n t] g = e 2- t
Agora, vamos para o passo seguinte (Passo 2).
- Passo 2: Multiplicar a E.D.O. pelo fator integrante
Nesse passo, devemos pegar a EDO e multiplicar a mesma pelo fator integrante, 
n t] g = e 2- t , donde obtemos:
y'.e 2
- t
- 2
y
.e 2
- t = e -t .e 2
- t
De acordo com a explicação apontada no Passo 2 (descrição do método), temos que a partir 
do momento em que realizamos a multiplicação da EDO pelo fator integrante, temos que o 
primeiro membro se transforma na derivada do produto de y pelo fator integrante.
De fato:
dt
d y.e 2
- t7 A = y.e 2- t7 A ' = y'.e 2- t - 2
y
.e 2
- t
Veja que é o primeiro membro da última igualdade. Aqui foi utilizada a regra do produto para deri-
54 
vadas.
Ou ainda, escrevendo todaa igualdade, temos que: dt
d y.e 2
- t7 A = e 2-3t
O segundo membro obtido foi pela propriedade básica de potenciação – mesma base somamos os 
expoentes
Agora, devemos ir para o Passo 3.
- Passo 3: Integramos ambos os membros da última igualdade do passo 2 em relação a t
Aqui, devemos efetuar a integração da igualdade acima com relação a t, obtemos:
dt
d y.e 2
-t7 A# dt = e 2-3r# dt
Ou seja, como o primeiro membro é diretamente integrável f' x] g# .dx = f x] g + C vem que:
1º Membro = y.e 2
- t
 (note que é μ(t).y)
Agora, para resolvermos a integral do segundo membro, devemos usar a regra para cálculo de 
integrais envolvendo a exponencial ( e# a.x .dx = a
1 .e a.x + C , com a sendo um número real e 
C a constante de integração), donde vem que:
2° Membro = 
2
-3
1 .e 2
-3 r
+ C
E, portanto, segue que:
y.e 2
-t =
2
-3
1 .e 2
-3r
+ C
Onde C é uma constante arbitrária.
Ou ainda, para isolarmos a função y basta passarmos o termo e 2
- t
dividindo (ou equivalentemen-
te multiplicamos a equação acima por e 2
t
), donde resulta que:
y = 3
-2 .e -t + C.e 2
t
Que representa a solução geral da equação dada no exemplo.
55
Adaptado de Boyce 2011: Vamos encontrar a solução geral da equação di-
ferencial de primeira ordem dada por y’ – 2.y = 3.et.
Solução: Primeiramente, devemos determinar o fator integrante μ(t) pela 
fórmula matemática:
μ(t) = exp ∫ p(t)dt
E, como identificamos p(t) = – 2, vem que:
μ(t) = exp ∫ p(t)dt = e ∫-2dt = e-2.r
Agora, pegamos a equação inicial e multiplicamos a mesma pelo fator integrante, (t) = e , donde 
obtemos:
y’. e-2.t – 2.y.e-2.t = 3.et .e-2.t
Ou ainda,
dt
d y.e -2.t7 A = 3.e -t
Daí, efetuando a integração da igualdade acima com relação a t, obtemos:
dt
d y.e -2.t7 Adt = 3.e -t dt##
E, portanto, segue que:
y.e -2.t =- 3.e -t + C t
Onde C é uma constante arbitrária. Ou seja, a solução geral da equação acima é dada por:
y =- 3.e t + C.e 2.t
Portanto, concluímos que:
y =- 3.e t + C.e 2.t (Solução Geral)
56 
Adaptado de Boyce 2011: Vamos caracterizar a solução do problema de 
valor inicial (P.V.I):
y' - 2
y = e -t, y 0] g =- 1
Solução: Inicialmente, devemos determinar o fator integrante μ(t) pela 
expressão:
n t] g = exp p t] g# dt
E como p t] g =-2
1 , segue que:
n t] g = exp p t] g# dt = ex 2-1dt# = e 2- t
Agora, pegamos a equação inicial e multiplicamos a mesma pelo fator integrante, n t] g = e 2
- t
, 
donde obtemos:
y'.e 2
- t
-+2
y
.e 2
- t = e -t .e 2
- t
Ou seja, podemos reescrever a igualdade acima a partir dos aspectos teóricos relacionados com 
a metodologia do método dos fatores integrantes como:
dt
d y.e 2
- t7 A = e 2-3t 
Daí, efetuando a integração da igualdade acima com relação a t, obtemos:
dt
d y.e 2
- t7 Adt = e 23tdt##
E, portanto, segue que:
y.e 2
- t =
3
-2
1 .e 2
-3t
+ C
Onde C é uma constante arbitrária. Ou seja,
y.e 2
- t =
3
-2 .e 2
-3t + C
Para encontrarmos a função y basta passarmos o termo e 2
- t
dividindo (ou equivalentemente 
multiplicamos a equação acima por e 2
- t
), donde resulta que:
y = 3
-2 .e -t + C.e 2
t
Que representa a solução geral da equação y’ – = e . Para encontrarmos a solução do Pro-
blema de Valor Inicial proposto, na solução geral substituímos a condição inicial dada, ou seja, 
57
y(0) = -1 a fim de encontrarmos o valor da constante C. Daí, vem que:
-1 = 3
-2 .e - 0] g + C.e 2
(0)
Ou seja, C = 3
-1 , de modo que a solução do Problema de Valor Inicial é escrita como:
y = 3
-2 .e -t - 3
1 .e 2
t
Portanto, concluímos que:
y = 3
-2 .e -t + C.e 2
t
 (Solução Geral)
e
y = 3
-2 .e -t - 3
1 .e 2
t
 (Solução do P.V.I. ou Solução Particular)
Adaptado de Boyce 2011: Vamos determinar a solução do problema de 
valor inicial (P.V.I)
y' + 2.t.y = t, y (0) = 0
Solução: Inicialmente, devemos determinar o fator integrante (t) pela ex-
pressão:
n t] g = exp p t] g# dt
E como p(t) = 2t, segue que:
n t] g = exp p t] gdt = e 2tdt# = e 22r2 = e t2#
Agora, pegamos a equação inicial e multiplicamos a mesma pelo fator integrante, (t) = e , 
donde obtemos:
y'.e t
2
+ 2.t.y.e t
2 = t.e t
2
Ou seja, podemos reescrever a igualdade acima a partir dos aspectos teóricos relacionados 
com a metodologia do método dos fatores integrantes como:
dt
d y.e t
26 @ = t.e t2
58 
dt
d y.e t
26 @dt = t.e t2# dt#
E, portanto, segue que:
y.e t
2 =
2
1 .e t
2
+ C
Onde C é uma constante arbitrária. Para encontrarmos a função y basta passarmos o termo e t
2
 
dividindo (ou, equivalentemente, multiplicamos a equação acima por e -t
2
), donde resulta que:
y = 2
1 + C.e -t
2
Que representa a solução geral da equação y’ + 2.t.y = t.
Para encontrarmos a solução do Problema de Valor Inicial proposto, na solução geral substitu-
ímos a condição inicial dada, ou seja, y(0) = 0, a fim de encontrarmos o valor da constante C. 
Daí, temos que:
0 = 2
1 + C.e(0)
2
Ou seja,
C = 2
-1
De modo que a solução do Problema de Valor Inicial é escrita como:
y = 2
1 - 2
1 .e -t
2
Adaptado de Boyce 2011: Vamos determinar a solução do problema de 
valor inicial (P.V.I)
t.y' + 2.y = t2 - t + 1, y 1] g = 2
1, t2 0
Solução: Em um primeiro momento, salientamos que, quando efetuamos a 
metodologia de resolução pelo método dos fatores integrantes, percebemos que, na equação 
inicial, o coeficiente da derivada de y é igual a 1. Como podemos observar na equação acima, 
isso não acontece. Desta forma, antes de iniciarmos o cálculo de μ(t), devemos transformar a 
equação dividindo a mesma por t. Logo, dividindo a equação por t (note que t > 0), obtemos:
y' + t
2 .y = t - ' + t
1
59
Agora, já podemos seguir o raciocínio desenvolvido nos dois primeiros exemplos, ou seja, pri-
meiramente devemos determinar o fator integrante μ(t) pela expressão:
n t] g = exp p t] gdt#
E como p t] g = t
2 , segue que:
n t] g = exp p t] g# dt = e t2dt# = e 2.In.t = e In t2] g = t2 (Por quê?)
Agora, pegamos a equação
y' + t
2 .y = t - 1 + t
1
E multiplicamos a mesma pelo fator integrante, μ(t) = t², donde obtemos:
y'.t2 + t
2 .y.t2 = t - 1 + t
1b l.t2
Ou seja,
dt
d y.t26 @ = t3 - t2 + t
Daí, efetuando a integração da igualdade acima com relação a t, obtemos:
dt
d y.t26 @dt = t3 - t2 + t6 @dt##
E, portanto, segue que:
y.t2 = 4
t4 - 3
t3 + 2
t2 + C
Onde C é uma constante arbitrária. Para encontrarmos a função y, basta passarmos o termo t2 
dividindo, donde resulta que:
y = 4
t2 - 3
t + 2
1 + C.t-2
Que representa a solução geral da equação t.y’ + 2.y = t2 – t + 1. Para encontrarmos a solução 
do Problema de Valor Inicial proposto, na solução geral substituímos a condição inicial dada, ou 
seja, y 1] g = 2
1 a fim de encontrarmos o valor da constante C. Daí, temos que:
2
1 =
4
1] g2 - 3
1 + 2
1 + C. 1] g-2
Ou seja,
C = 12
1
De modo que a solução do Problema de Valor Inicial é escrita como: 
y = 4
t2 - 3
t + 2
1 + 12
1 .t-2
60 
2.2.2. O Método das Variáveis Separáveis 
 Aqui, também pode-se perceber, que a nomenclatura do método nos leva ao direto enten-
dimento da metodologia usada. Grosso modo, tal método busca a separação das variáveis envolvi-
das no processo.
 Para entendermos o mesmo, vamos tomar g(x) como sendo uma função contínua conhe-
cida, logo, a equação diferencial de 1ª ordem 
dx
dy = g x] g , pode ser solucionada via uma integração 
direta. Assim, podemos reescrever a E.D.O. como:
dy = g(x).dx
 Desta maneira, a solução para a E.D.O. considerada é caracterizada pela função descrita 
matematicamente como:
y = g x] gdx + C#
Deve ficar claro que realizamos a integração do primeiro membro em relação 
a y, bem como, a integração com relação ao segundo membro em relação a x 
(por conta disso a nomenclatura do método). 
Vamos caracterizar a solução geral das equações diferenciais a seguir.
a) dx
dy = 1 + e 2x
b) 
dx
dy = senx
Solução: Neste caso,temos que:
a) Podemos escrever a equação dada como 
dy = (1 + e2X).dx
Agora, aplicamos a integração a ambos os membros, sendo do primeiro membro com relação à 
variável y e do segundo membro com relação à variável x, daí: 
dy = 1 + e 2x] g .dx##
61
Donde segue que:
y = x + 2
1 .e 2x + C
b) Aqui, podemos escrever a equação dada como 
dy = senx.dx
Agora, aplicamos a integração a ambos os membros, sendo do primeiro membro com relação 
à variável y e do segundo membro com relação à variável x, daí: 
dy = senx.dx##
Donde segue que:
y = – cosx + C
Conceito
(Equação Separável) (Adaptado de Zill 2001): Uma equação diferencial na forma 
dx
dy =
h y^ h
g x] g 
é denominada equação separável ou tem variáveis separáveis.
 Vejamos mais alguns exemplos ilustrativos envolvendo a resolução de equações de primeira 
ordem via o método das variáveis separáveis.
Utilizando o método das variáveis separáveis, encontre a solução geral de 
cada uma das equações diferenciais abaixo:
a) 
dx
dy = 2x - 1
b) 
dx
dy =
e y
e x
c) 
dx
dy = 1 + 5x + e 2x
d) 
dx
dy = 6xy
62 
Solução: Neste caso, com base nos procedimentos teóricos discutidos acerca das equações 
separáveis, temos que: 
a) Aqui, vem que:
dx
dy = 2x - 1 & dy = 2x - 1] gdx
dy =# 2x - 1] g# dx
y =[2.[2
x 2 - x + C
y = x 2 - x + C
Que é a solução geral da equação em questão.
b) Aqui, temos que:
dx
dy =
e y
e x
e y dy = e x dx
e y dy = e x dx##
e y = e x + C
c) Neste caso, temos que:
dx
dy = 1 + 5x + e 2x
Segue que,
dy = 1 + 5x + e 2x] g .dx
Logo, integrando ambos os membros, sendo o primeiro em relação a y e o segundo em relação 
a x, temos que:
 dy
= 1 + 5x + e 2x] g# dx#
Ou seja,
y = x + 5. 2
x 2 + 2
1 .e 2x + C
é a solução geral da equação diferencial acima.
63
d) Aqui, observamos que:
dx
dy = 6xy
y
dy = 6x.dx
Logo, integrando ambos os membros, sendo o primeiro em relação a y e o segundo em relação 
a x, temos que:
 
y
dy = 6xdx##
Ou seja,
In y = 6. 2
x 2 + C
Ou ainda,
In y = 3.x 2 + C
Utilizando o método das variáveis separáveis, temos que a solução da E.D.O. 
dx
dy = 1 + e x é dada por?
a) ( ) y = x + e x + C
b) ( ) y = 5x + 2
3 .e 2x + C
c) ( ) y = 7x + 2
3 .e 2x + C
d) ( ) y = x + C
e) ( ) y = e x + C
64 
Solução: Neste caso, temos que:
dx
dy = 1 + e x (Equação separável)
dy = (1 + e x)dx
dy = 1 + e x] gdx##
y = e x + x + C
Adaptado de Zill 2011: Vamos determinar a solução da equação diferencial 
de primeira ordem 
dx
dy =
y
x 2 .
Solução: De 
dx
dy =
y
x 2 multiplicando cruzado, obtemos que y.dy = x 2 .dx .
Note que em verdade, separamos tudo que tem y de um lado e tudo que 
tem x do outro. Agora, efetuamos a integração dos dois membros sendo que, no primeiro 
membro, em relação a y e, no segundo membro, em relação a x, desta forma temos que:
y.dy = x 2 .dx##
Ou seja,
2
y 2
+ C 1 = 3
x 3 + C 2
E como (C2 – C1 ) é uma constante (digamos C), resulta que:
2
y 2 =
3
x 3 + C
Em termos práticos, quando integramos os dois membros de uma equação, 
colocamos a constante em um membro apenas (por conveniência). A resposta 
de uma equação diferencial ordinária pode ser dada de várias maneiras.
65
Adaptado de Zill 2011: Vamos solucionar o problema de valor inicial dado 
por:
dx
dy =
y
-x ,y 4] g = 3
Solução: Observe em um primeiro momento, que se trata de uma equação 
de variáveis separáveis. Assim sendo, observemos que de:
y.dy = – x.dx,
obtemos 
y.dy = -d.xd## . Ou seja, 2
y 2 =
2
-x 2 + C 1
onde C1 é uma constante arbitrária. 
Além disso, observemos que a solução acima pode ser visualizada na forma:
x2 + y2 = c2,
para tal, basta trocarmos as constantes 2.C1 por c
2. 
 A grosso modo, a solução caracteriza uma família de círculos concêntricos (de mesmo 
centro – C(0,0)). Neste instante, vamos visualizar para a condição inicial colocada no exemplo, ou 
seja, quando x = 4, y = 3 temos que 16 + 9 = 25 = c2 e, assim, percebemos que o problema de 
valor inicial determina x2 + y2 = 25.
 Logicamente, concluímos que este é o único círculo da família que passa pelo ponto (4, 3). 
Vejamos a Figura 21 a seguir.
Figura 21 - A interpretação geométrica do exemplo acima
Fonte: Elaborado pelo próprio autor
66 
2.3. Equações Exatas, Existência e Unicidade de Soluções
 O nosso intuito agora é descrever a metodologia de resolução de equações diferenciais or-
dinárias por intermédio das equações exatas. Para tal, poderíamos encarar como um outro método 
de resolução de equações diferenciais de primeira ordem. Todavia, poderíamos indagar inicialmente, 
no que vem a ser uma equação exata?
 Neste contexto, Zill (2011) nos diz que uma expressão diferencial na forma:
M(x, y).dx + N(x, y).dy
é uma diferencial exata em uma região R do plano euclidiano xy, se ela corresponde à diferencial to-
tal de alguma função f(x, y). Observe em termos formais o conceito de equação exata como segue.
Conceito
(Equação Exata) (Adaptado de Zill 2001): Uma equação diferencial da forma 
M(x, y).dx + N(x, y).dy = 0 é chamada de uma equação exata, se a expressão do lado esquer-
do é uma diferencial exata.
Averiguemos se a equação diferencial dada por:
x2.y3.dx + x3 .y2.dy = 0
é exata. Grosso modo, a mesma é exata, já que:
d 3
1 .x 3 .y 3b l= x 2 .y 3 .dx + x 3 .y 2 .dy = 0
A seguir, estaremos enunciando um resultado, em verdade, um teorema que pode ser encarado 
como uma espécie de teste, para que possamos determinar uma diferencial exata.
Teorema 1 (Critério para Caracterização de Uma Diferencial Exata - Adaptado de Zill 2011): 
Consideremos duas funções M(x, y) e N(x, y) contínuas e com derivadas parciais contínuas em 
uma dada região retangular R, definida pelas desigualdades a < x < b, c < y < d. Assim sendo, 
67
uma condição necessária e suficiente para que:
M(x, y).dx + N(x, y).dy
seja uma diferencial exata é que tenhamos a igualdade dy
dM =
dx
dN
.
 Em verdade, o que Zill (2011) nos diz com relação ao resultado anterior, é que deve-
mos interpretar com relação a tese do Teorema 1, ser suficiente para termos a diferencial exata, 
consiste em averiguarmos a existência de uma função f tal que:
dx
df = M x,y^ h e
dy
df = N x,y^ h
 Ressaltamos ainda, que a construção de tal função f, em verdade, nos dá um procedi-
mento específico para a resolução de problemas envolvendo as equações exatas.
 Assim sendo, vamos descrever agora, uma sequência de passos ou etapas a serem se-
guidos para a resolução de equações diferenciais, por meio da tratativa das equações exatas.
 Particularmente falando, segundo Zill (2011) considerando a equação:
M(x, y).dx + N(x, y).dy = 0
 Inicialmente, devemos averiguar que: 
dy
dM =
dx
dN
 
 Na sequência, efetuamos a suposição de que:
dx
df = M x,y^ h
 Logo, podemos encontrar f integrando M(x, y) com relação a x, levando em considera-
ção que y seja constante. Escrevemos então,
f x,y^ h= M x,y^ h# dx + g y^ h
 Onde a função arbitrária g(y) é a constante de integração. Daí, derivamos a equação 
anterior com relação à variável y e supomos 
dy
df = N x,y^ h, ou seja:
68 
dy
df =
dy
d M x,y^ h# dx + g y^ h9 C = N x,y^ h
Desta maneira,
g' y^ h= N x,y^ h-
dy
d M x,y^ hdx#9 C
 Vejamos dois exemplos que ilustram o método de solução para equações exatas, como 
acabamos de discutir.
Adaptado de Zill 2011: Vamos solucionar a equação:
2.x.y.dx + (x2 – 1).dy = 0,
por intermédio da tratativa envolvendo as equações exatas.
Solução: Primeiramente, notemos que como
 M(x, y) = 2.x.y e N(x, y) = x2 – 1, temos que:
dy
dM = 2x =
dx
dN 
Assim, a equação dada é exata e, pelo Teorema 1 introduzido anteriormente, temos que existe 
uma função f(x, y), tal que:
dx
df = 2xy e
dy
df = x 2 - 1
Da primeira dessas equações, obtemos, depois de realizarmos a integração, que:
f x,y^ h= x