aula 5

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Vimos nas últimas aulas dois pontos de vista para solucionar questões que envolvem forças, uma 
utilizando as leis de Newton e a outra por meio do conceito de energia, pelo teorema trabalho - energia 
cinética, ou pelo teorema trabalho - energia potencial. 
 
Porém, há problemas que envolvem forças que não podem ser solucionados com nenhuma das teorias 
descritas, como um ônibus interestadual, por exemplo, em alta velocidade, ao colidir frontalmente com 
um carro popular, sabemos que o estrago será grande, mas o que determina o sentido do movimento 
dos destroços depois da colisão? Ou em um jogo de boliche, o que determina o movimento do primeiro 
 
 
pino a fim de derrubar os outros pinos, após ser atingido pela bola? E quando, em um desastre aéreo, o 
avião colide com o solo, quanta energia cinética do avião é liberada no impacto? 
 
Algo comum entre as três situações, é a aplicação de forças entre dois corpos, entre o ônibus e o carro, 
entre a bola de boliche e o pino, e entre o avião e o solo, porém pouco se sabe sobre as características 
dessas forças. 
 
Nesta aula veremos que você não precisa ter nenhuma informação sobre essas forças para responder a 
essas perguntas. A solução para esse tipo de problema envolve três novos conceitos: 
 o momento linear 
 o impulso 
 a lei da conservação do momento linear 
 
Essa lei da conservação do momento linear nos permite analisar situações que através das 
leis de Newton seriam muito difíceis de se obter resultados satisfatórios. Situações, as quais, 
envolvem colisões entre corpos e que, durante essas colisões, produzem forças de interação 
mútua durante intervalo de tempo muito curto. 
 
Momento Linear e Impulso 
Na aula anterior, tivemos como base a segunda lei de Newton, , e obtemos o teorema 
trabalho-energia, o qual nos permitiu resolver diversos e diferenciados problemas de física e também nos 
guiou a determinar o princípio da conservação da energia. 
 
Nesta aula também iremos partir da segunda lei de Newton, mas desta vez iremos obter uma grandeza 
chamada quantidade de movimento ou momento linear. 
 
 
Considerando uma partícula de massa constante m sujeito a uma força , devido à aplicação dessa força 
a partícula ficará sujeita a aceleração , sendo a aceleração , , podemos escrever a segunda lei de 
Newton na forma: 
 
 
A quantidade entre parênteses – o produto da massa da partícula pela sua velocidade – é uma 
grandeza vetorial chamada de quantidade de movimento ou momento linear ( ) da partícula. 
 
Quanto maior a massa da partícula e quanto maior sua velocidade escalar, maior o módulo do momento 
linear, como momento linear é uma grandeza vetorial, sua direção e sentido é o mesmo da velocidade da 
partícula. 
 
Podemos expressar o momento linear em função de suas componentes retangulares, se a velocidade da 
partícula possui componentes , e , então as componentes do momento linear podem ser escritas 
por: 
 
. 
A unidade do momento linear no sistema internacional de unidades (S.I.) é: . 
Conhecendo o momento linear, podemos escrever a equação da segunda lei de Newton como: 
 
 
A soma vetorial de todas as forças que atuam sobre uma partícula (força resultante) é dada 
pela derivada do momento linear da partícula em relação ao tempo. 
 
 
Teorema do Impulso – Momento Linear 
Assim como a energia cinética da partícula , o momento linear , também depende da 
massa e da velocidade da partícula. O momento linear é uma grandeza vetorial enquanto a energia 
cinética é uma grandeza escalar. Da mesma maneira que relacionamos a energia cinética com o 
trabalho, desenvolvendo o teorema trabalho-energia cinética, também iremos relacionar o momento 
linear com uma nova grandeza chamada impulso e obter o teorema impulso – momento linear. 
 
Inicialmente, considere o movimento de um objeto pela ação de uma força resultante constante 
agindo no objeto da posição xi até a posição xf, no intervalo de tempo t = tf – ti, conforme a figura a 
seguir. 
 
Figura 1 – Cálculo do impulso de uma força resultante . 
 
O impulso da força resultante, designado por é definido pelo produto da força resultante multiplicada 
pelo intervalo de tempo no qual houve ação da força. 
 
 
 
O impulso é uma grandeza vetorial que possui a mesma direção e o mesmo sentido do vetor força 
resultante, com módulo igual ao produto do módulo da força pelo intervalo de tempo no qual a força 
resultante atua. A unidade de impulso no sistema internacional de unidades (S.I.) é Newton vezes 
segundo (N.s), substituindo , a unidade alternativa de impulso resulta em ( ), que é a 
mesma unidade de momento linear. 
 
Analisando a segunda lei de Newton escrita em função do momento linear, temos: 
 
Como a força resultante é constante, a derivada do momento linear também é constante e resulta: 
 
Logo, 
 
 
Reescrevendo, 
 
Combinando as equações, obtemos o teorema do impulso – momento linear 
 
 
A variação do momento linear durante um intervalo de tempo é igual ao impulso 
da força resultante que atua sobre a partícula durante esse intervalo de tempo. 
 
 
As relações matemáticas obtidas para determinar o teorema do impulso – momento linear partiram 
do fato que a força resultante é constante. Quando a força resultante for variável, o teorema também 
deve ser válido, para verificar isso devemos integrar a segunda lei de Newton em relação ao tempo em 
ambos os lados da equação entre os limites ti e tf, da seguinte maneira: 
 
 
 
A equação acima é a forma geral da equação do impulso, se o somatório das forças for uma constante, a 
equação se reduz a: 
 
 
Conservação do Momento Linear 
 
Quando falamos da terceira lei de Newton, vimos que durante a interação de forças entre dois corpos, as 
forças aplicadas produzem pares de força de ação e reação e essas forças atuam em corpos diferentes. 
Por exemplo, quando uma pessoa designada por A, sentada em um skate, empurra outra pessoa 
designada por B, sentada em outro skate alinhado à sua frente, a pessoa A aplica uma força de ação FAB 
na pessoa B, já por sua vez, a pessoa B, aplica uma força de reação FBA na pessoa A. Observe: 
 
Figura 2 – Duas pessoas empurram-se mutuamente enquanto deslizam sobre skates ao longo de uma trajetória retilínea 
em uma superfície horizontal. 
 
 
Sob essa perspectiva, cada pessoa exerce na outra pessoa uma força, e essas forças possuem o 
mesmo módulo, a mesma direção, porém seus sentidos são contrários, logo o impulso resultante e a 
variação do momento linear devido a essas forças sobre cada pessoa também possuem o mesmo 
módulo a mesma direção e sentidos contrários. 
 
Considerando outras forças que atuam no sistema, temos a força gravitacional – que é anulada pela 
força normal, resultando em uma força vertical nula – e a força de atrito das rodas dos skates com o 
solo – a qual iremos considerar igual a zero, ou seja, sem atrito. Levando em conta essa situação ideal, 
as únicas forças existentes no sistema pessoa A e pessoa B são as forças FAB e FBA, essas forças que 
uma partícula exerce em outra partícula do sistema são chamadas forças internas do sistema. As 
forças peso, normal e atrito, se houver, são chamadas forças externas, forças exercidas sobre qualquer 
parte do sistema por um corpo externo ao sistema. 
Devido às forças FAB e FBA exercidas, ocorre variação do momento linear da pessoa A e da pessoa B, 
dadas por: 
 
Como, de acordo com a terceira lei de Newton, , podemos escrever: 
 
 
Considerando: 
 
Onde é definido como momento linear total do sistema, podemos escrever: 
 
 
Esse equação nos diz que a taxa de variação do 
momento linear total do sistema é igual a zero, 
ou seja, mesmo que os momentos lineares de cada 
partícula do sistema variem, o momento linear total 
será constante.Essa é a lei da conservação do momento linear que, como vimos, tem ligação direta com a terceira lei 
de Newton e, portanto, só é válida para sistemas de referência inerciais, sistemas onde as leis de 
Newton são válidas. Generalizando, quando existem mais partículas no sistema, partícula A, B e C, por 
exemplo, que interagem entre si por forças internas, o momento linear do sistema será dado por: 
 
Quando a soma vetorial das forças 
externas que atuam sobre o sistema é 
igual a zero, o momento linear total do 
sistema permanece constante. 
 
 
As forças internas podem alterar o momento linear interno das partículas individuais do sistema, mas não 
alteram o momento linear total do sistema. 
 
Conservação do Momento Linear e Colisões 
 
Fisicamente o termo colisão significa a interação de dois corpos, duas partículas, que aplicam forças 
relativamente grandes mutuamente entre eles por um pequeno intervalo de tempo. Por exemplo, a bola 
de boliche colidindo com o pino, a colisão entre dois automóveis, a colisão entre o pé quando chuta a 
bola, um elétron colidindo com outro elemento atômico no interior de um átomo etc. 
 
Como na maioria das colisões, as forças compartilhadas pelos corpos são muito maiores que as forças 
externas, podemos considerar os corpos como um sistema isolado e desprezar as forças externas, logo, 
há conservação do momento linear, ou seja, o momento linear antes da colisão é igual ao momento 
linear depois da colisão. 
 
Nessa configuração, temos dois tipos de colisões: a colisão elástica na qual, além da conservação do 
momento linear, há também a conservação da energia mecânica; e a colisão inelástica, na qual a 
energia mecânica não é conservada. 
 
Colisões Elásticas 
Esse tipo de colisão ocorre quando as forças, devido à colisão entre os corpos, forem conservativas, 
nenhuma energia mecânica é adquirida ou perdida devido à colisão, a energia cinética total do sistema 
antes ou depois da colisão é a mesma. Como exemplos desse tipo de colisão, temos a colisão entre a 
bola de boliche e o pino, entre duas bolas de bilhar, a colisão entre dois átomos de hélio aprisionados 
dentro de um balão etc. Observe: 
 
 
 
Figura 3 – Duas bolas de bilhar colidem simulando uma colisão elástica. 
 
Na figura 3, duas bolas de bilhar rolam sobre uma superfície horizontal, uma em direção a outra, a 
bola 4 desloca-se com uma velocidade e a bola 3 com velocidade , o índice “i” representa o 
momento inicial, antes da colisão. Ocorre a colisão quando as bolas se encontram e nesse momento há 
transferência da energia cinética de uma bola para a outra, depois da colisão as bolas invertem seu 
sentido de movimento e se afastam uma da outra, a bola 4 com velocidade e a bola 3 com 
velocidade . O índice “f” indica o momento final, depois da colisão. 
Nesse caso, como a colisão é elástica, há conservação do momento linear e também conservação da 
energia mecânica. Ou seja, o momento linear total do sistema antes da colisão é o mesmo depois da 
colisão, e a energia cinética do sistema também é a mesma antes e depois da colisão. 
 
 
Observe: 
 
 Momento Linear 
 
 
 
 
Energia Cinética 
 
 
 
 
 
 
Colisões Inelástica 
 
Figura 4 – Colisão Totalmente Inelástica. 
 
Quando a energia cinética total do sistema de corpos que 
sofrem colisões não se conservar, a colisão é dita 
inelástica. Colisões desse tipo podem ser observadas, por 
exemplo, quando uma porção de massa de vidraceiro 
colide com o solo, ou na colisão entre dois carros, nesse 
caso, parte da energia do impacto é absorvida pela 
deformação na lataria do automóvel. A colisão inelástica 
será dita completamente inelástica quando os corpos que 
colidem permanecem e movimentam-se juntos após a 
colisão. Sendo assim, a velocidade de ambos os corpos que 
colidem será a mesma após a colisão. Observe ao lado: 
 
 
 
A velocidade do carro A, , após a colisão será a mesma do carro B, , a qual iremos chamar de . 
 
Como na colisão inelástica há conservação do momento linear então: 
 
 
Conhecendo-se as massas, e , e as velocidades iniciais, e , podemos calcular a velocidade 
final comum para os carros, . 
 
 
 
Centro de Massa 
Vimos como determinar a lei da conservação do momento linear de um sistema de partículas em função 
das massas de cada partícula e de suas velocidades, agora iremos reformular esta lei, mas desta vez 
utilizando o conceito de centro de massa. 
Observe a figura abaixo que representa um sistema de partículas (planetas) com suas posições 
determinadas por coordenadas no sistema cartesiano. 
 
Figura 5 – Sistema de partículas (planetas) com seus centros de massa posicionados nos eixos cartesianos. 
 
 
As coordenadas do planeta Urano, com massa m1, identificada na figura 5 como partícula 1, são 
determinadas pela posição do seu centro de massa c1 no sistema cartesiano, indicadas por (x1 , y1); já o 
planeta Saturno, partícula 2, com massa m2, possui coordenadas do seu centro de massa dadas por 
(x2 , y2) e do planeta Júpiter, partícula 3, a massa é m3 e suas coordenadas (x3 , y3). Podemos definir o 
centro de massa entre esses três planetas como o ponto localizado pelas coordenadas (xcm , ycm), que 
podem ser calculados pelas relações matemáticas abaixo. 
 
e 
 
 
Se as posições das partículas do sistema forem definidas através de vetores posição para cada partícula, 
o vetor posição do centro de massa do sistema de partículas será definido como: 
 
 
Objetos com uma distribuição homogênea de massa possuem seu centro de massa em um ponto que 
coincide com o centro geométrico do objeto em questão, se este objeto possuir um eixo de simetria, o 
centro de massa está posicionado sobre este eixo, mesmo que este ponto esteja localizado fora do 
objeto. 
Movimento do Centro de Massa 
A determinação do centro de massa de um sistema de partículas é uma ferramenta bastante importante 
para analisar este sistema quando ele encontra-se em movimento. Essa abordagem permite prever o que 
irá ocorrer com o centro de massa dessas partículas durante o movimento do sistema. 
 
 
Para proceder essa análise, iniciaremos realizando a derivada das coordenadas de posição (xcm e ycm) do 
centro de massa do sistema de partículas em função do tempo e com isso determinar os componentes 
da velocidade do centro de massa ( e ), logo: 
 
e 
 
Como a derivada da posição da partícula em função do tempo é a velocidade da partícula e 
, temos: 
 
 
 
O mesmo ocorre com o vetor posição, a derivada do vetor posição em função do tempo fornece a 
velocidade vetorial: 
 
 
Como a soma das massas de cada partícula fornece a massa total (M) do sistema, m1 + m2 + m3 = M, 
temos: 
 
 
 
Ou seja, o momento linear total do sistema ( ) é obtido pelo produto da massa total pela velocidade do 
centro de massa do sistema de partículas. Portanto quando a força resultante externa que atua em um 
sistema de partículas é igual a zero, o momento linear total é constante e a velocidade do centro de 
massa também é constante. 
Já quando a força resultante que atua no sistema de partículas não é nula, o momento linear total não é 
conservado e a velocidade do centro de massa do sistema irá variar. 
De acordo com a segunda lei de Newton, a principal característica de uma força resultante não nula é 
que ela irá produzir uma aceleração no sistema, logo a influência da ação da força no movimento do 
centro de massa pode ser analisada aplicando-se a derivada em relação ao tempo na equação de 
velocidade e assim obter uma equação da aceleração resultante proporcionada pela força. 
 
 
 
 
Se você observar o membro direito da equação da aceleração do centro de massa, a parcela 
representa a força resultante que atua na partícula 1 do sistema, a parcela é a força resultante que 
atua na partícula 2 e assim por diante, logo o somatório sugerido nomembro direito é a soma vetorial de 
todas as forças atuantes no sistema, forças externas e forças internas. 
 
 
 
 
Porém, como as forças internas entre as partículas do sistema, de acordo com a terceira lei de Newton, 
as forças de ação e reação anulam-se mutuamente, logo, o somatório dessas forças é igual a zero, 
. Resultando portanto: 
 
 
A força resultante externa que atua em um sistema de partículas é igual a massa total do sistema 
multiplicado pela aceleração do centro de massa, ou seja, a ação do somatório de todas as forças que 
atuam no sistema de partículas provoca a mudança no movimento do centro de massa desse sistema 
exatamente da mesma maneira que mudaria, se toda a massa do sistema estivesse localizada neste 
ponto, no centro de massa. 
Um exemplo clássico para descrever o comportamento do centro de massa pode ser observado quando 
um morteiro de festa junina é lançado em movimento parabólico (desprezando a resistência do ar). 
Quando em determinado instante da sua trajetória ocorre a explosão do morteiro no ar, fragmentos são 
lançados em novos movimentos parabólicos, porém o centro de massa do sistema continua a descrever 
sua trajetória original, da mesma maneira como se toda a massa ainda estivesse localizada no centro de 
massa. 
 
Figura 6 
O morteiro explode no ar em fragmentos, desprezando a resistência do ar, os fragmentos descrevem 
trajetórias parabólicas individuais, no entanto o centro de massa continua a descrever a mesma trajetória 
parabólica que possuía antes da explosão. 
 
 
A aceleração do centro de massa de um sistema de partículas também pode ser relacionada com o 
momento linear total do sistema, da seguinte maneira. 
Como, , podemos escrever: 
 
 
Logo: 
 
Essa equação descreve um sistema de partículas tal como um corpo rígido e demonstra que a interação 
entre as partículas através de forças internas somente altera os momentos lineares de cada partícula 
individual, mas o momento linear total do sistema só pode ser alterado pela aplicação de forças 
externas ao sistema. 
Portanto, na ausência de força resultante externa, a aceleração do centro de massa do sistema é nula 
, isso nos leva a concluir que a velocidade do centro de massa é constante , 
confirmando a lei da conservação do momento linear.