Estatística - UVA - Aula 06

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Introdução ao Cálculo 
das Probabilidades 
Profª Adriana Maria Balena Tostes 
Conceitos Básicos 
—  Experimentos Aleatórios: 
É uma experiência que acusa variabilidade em seus 
resultados, isto é, repetindo-se o experimento sob 
as mesmas condições, os resultados são diferentes. 
 
Exemplos: 
-  Lançamento de uma moeda; 
-  Lançamento de um dado. 
Contra exemplo: 
Temperatura de ebulição da água (determinístico) 
Espaço Amostral (Ω) 
—  É o conjunto de todos os resultados 
possíveis de um experimento aleatório. 
 
Exemplos: 
1) Lançamento de uma moeda: 
 Ω={Cara, coroa} 
 
2) Lançamento de um dado: 
Ω={1,2,3,4,5,6} 
 
 
Eventos 
Exemplos: 
1) Número de coroas no lançamento simultaneo de duas moedas 
 Ω={CC, CK, KC, KK} 
 A={0, 1, 2} 
2) Face par no lançamento de um dado 
 Ω={1,2,3,4,5,6} 
 A={2,4,6} 
 
3) Face menor que dois no lançamento de um dado 
 Ω={1,2,3,4,5,6} 
 A={1} Evento elementar ou evento simples 
 
 
 
‘ 
É todo subconjunto finito de um espaço amostral. 
Eventos - Exemplos – cont. 
4) Face maior que 6 no lançamento de um dado 
 Ω={1,2,3,4,5,6} 
 A={ } Evento impossível 
 
5) Face menor que 7 no lançamento de um dado 
 Ω={1,2,3,4,5,6} 
 A={1,2,3,4,5,6} Evento Certo 
 
6) Nível de ruido superior a 80 decibéis na obra de construção do metrô 
 Ω= IR+ 
 A=]80, +∞[ 
 
7) Retirada de uma dama de um baralho comum 
 
 
 
Eventos mutuamente exclusivos 
—  São aqueles que nunca podem ocorrer 
simultaneamente em uma mesma realização 
de experiência aleatória. 
—  Exemplos: 
 - No lançamento de uma moeda, os 
eventos cara e coroa são mutuamente 
exclusivos. 
 - No lançamento de um dado, os eventos 
face 1 e 4 são mutuamente exclusivos. 
 Os eventos mutuamente exclusivos 
constituem conjuntos disjuntos, isto é, a 
interseção é o conjunto vazio. 
Definição matemática de 
probabilidades – a priori 
—  Seja uma experiência aleatória onde todos os 
elementos de um espaço amostral Ω associado a 
uma experiência aleatória tenham a mesma chance 
de ocorrer e seja E um evento de interesse do 
espaço amostral Ω, então a probabilidade de 
ocorrer o evento “E” pode ser assim definida: 
 
 onde: 
 
–  n(E) é o número de elementos do evento de interesse E 
–  n(Ω) é o número de elementos do espaço amostral Ω. 
Exemplos: 
1) Uma pessoa tem 3 notas de R$2,00 e 1 nota de R$50,00 no bolso. Essa pessoa entra 
apressadamente no ônibus e retira uma nota do bolso. Qual a probabilidade de ter 
retirado uma nota de R$2,00? 
 E= retirar uma nota do bolso n(E)=3 
 n(Ω)=4 , então: 
 p(E) = ¾ = 0,75 = 75% 
 
2) Um banco de dados de clientes de uma loja possui 40 pessoas do sexo masculino e 60 
pessoas do sexo feminino. Ao selecionar uma pessoa do cadastro aleatoriamente, qual será 
a probabilidade dessa pessoa ser homem. 
 E= selecionar uma pessoa do sexo masculino do cadastro de clientes n(E)=40 
 n(Ω)=100 , então: 
 p(E)=40/100 = 40% 
 
3) Quando uma pessoa é sorteada para avaliar como ótimo, bom, regular, ruim ou péssimo 
um determinado curso, qual a probabilidade da pessoa avaliar positivamente o referido 
curso? 
 E=uma pessoa sorteada avaliar positivamente um curso n(E)=2 {ótimo, bom} 
 n(Ω)=5, então: 
 p(E) = 2/5 = 40 % de probabilidade 
Axiomas do cálculo das probabilidades 
—  1) 0≤P(E)≤1 
 
—  2) P(Ω) = 1 
 
—  3) Se E1 e E2 forem eventos mutuamente 
exclusivos, então: 
 P(E1 + E2) = P(E1) + P(E2) 
 
—  4) Se E1 e E2 NÃO forem eventos 
mutuamente exclusivos, então: 
 P(E1 + E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1∩E2) 
 
 
Exemplos: 
1) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair face 1 ou face 4? 
E1 = sair a face 1à P(E1) = 1/6 
E2 = sair a face 4 à P(E2) = 1/6 
E = sair a face 1 ou a face 4 
Como E1 e E2 são mutuamente exclusivos, então: 
P(E) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 33,3% 
 
2) Uma população é formada de 20 pessoas que consomem o produto A, 30 pessoas que 
consomem o produto B e 50 pessoas que consomem o produto C. Um pesquisador de 
mercado seleciona uma pessoa dessa população. Sabendo que uma pessoa não consome mais 
de um produto ao mesmo tempo, qual a probabilidade de ter sido uma pessoa que consome 
o produto A ou o produto C? 
E1 = consumir o produto A à P(E1) = 20/100 = 0,2 
E2 = consumir o produto Cà P(E2) = 50/100 = 0,5 
E = consumir o produto A ou C 
 
Como E1 e E2 são mutuamente exclusivos, então: 
 
P(E) = 0,2 + 0,5 = 0,7 = 70% 
 
 
 
 
 
Eventos Independentes 
—  D i z e m o s q u e d o i s e v e n t o s s ã o 
independentes quando a realização ou não 
realização de um dos eventos não afeta a 
probabilidade da realização do outro e vice-
versa. A realização de um deles não modifica 
a chance de realização do outro. 
—  Se dois eventos são independentes, a 
probabil idade de que eles real izem 
simultaneamente é dada por: 
 P(E1∩E2) = P(E1) x P(E2) 
Exemplos: 
 
1) Qual a probabilidade de ao lançarmos dois dados, obtermos, simultanemente, 1 no 
primeiro dado e 5 no segundo dado? 
 E1= Obtermos 1 no primeiro dado: p(E1) = 1/6 
 E2 = Obtermos 5 no segundo dado: p(E2) =1/6 
 Como esses eventos são independentes a probabilidade de obtermos 
simultaneamente, 1 no primeiro dado e 5 no segundo dado é dada por: 
 P(E) = 1/6 x 1/6 = 1/36 
 
2) Suponhamos que um setor de uma empresa tenha 5 operacionais e 2 gerentes, e que a 
diretoria irá selecionar 2 funcionários desse setor, um após o outro, para obtençao de um 
prêmio de final de ano. Suponha que o primeiro funcionário selecionado aleatoriamente seja 
operacional. Será que a probabilidade que o segundo funcionário selecionado também seja 
operacional é influenciada pela retirada do primeiro funcionário? 
 
Temos dois casos a considerar: 
1)  Se houver reposição do primeiro funcionário, o setor vai ter a mesma configuração 
inicial, então a 1ª retirada em nada influenciará na 2ª retirada, ou seja temos 
 
2)  Se não houver a reposição da 1ª retirada, o setor conterá um funcionário a menos, isto 
é, diminui a probabilidade de sair um funcionário operacional na 2ª retirada, ou seja, 
temos 
Eventos Complementares (Ē) 
Sabemos que um evento pode ou não ocorrer. 
Seja: 
p à a probablilidade do evento ocorrer 
(sucesso) 
q à a probabilidade do evento não ocorrer 
(fracasso) 
Então para um evento existe sempre a relação: 
p + q = 1 à q = 1 – p 
 
Logo: p(E) = 1 – p(Ē) 
 
 
Exemplos 
1)  A probabilidade de uma dona de casa 
escolher uma determinada marca de café é 
65%. Qual a probabilidade que em um dado 
dia ela escolha outra marca? 
 q = 1 – p = 1 – 0,65 = 0,35 ou 35% 
 
2) A probabilidade de tirar 4 no lançamento de 
um dado é p=1/6 logo, a probabilidade de não 
tirar a face 4 no lançamento do dado é: 
 q = 1 – p = 1 – 1/6 = 5/6 
 
Exercícios: 
 
1- Uma população de funcionários da seção de pessoal de uma empresa é formada por 
5 pessoas casadas e 7 solteiras. Seleciona-se uma pessoa aleatoriamente desta 
população. Qual a probabilidade dessa pessoa ser solteira? 
Resposta: 58,3% 
2- Em uma bolsa tem-se 2 canetas azuis e 1 vermelha. Suponha-se que uma pessoa 
apanhe de forma aleatória uma caneta na bolsa. Qual a probabilidade dela ser azul? 
Resposta: 66,7% 
3- Uma empresa de brinquedos tem no estoque 8 bolas brancas, 7 pretas e 4 verdes. O 
gerente de vendas seleciona aleatoriamente do estoque uma bola para o para o giro. 
Calcule as probabilidades de: 
a)  Selecionar uma bola branca; 
b)  Selecionar uma bola preta; 
c)  Selecionar uma bola que não seja verde. 
Resposta: a) 42,1% b) 36,8% c) 78,9% 
4- Em um conjunto de consumidores, 30% compram um produto da marca A, 20% da B, 
30% da C, 15% da D e 5% da E. Seleciona-se de um banco de dados, um consumidor 
deste grupo.Qual a probabilidade de consumir o produto A ou D? 
Resposta:45% 
 
5- De 300 estudantes de Administração, 100 estão matriculados em Custos e 80 em 
Estatística. Esses dados incluem 30 estudantes que estão matriculados em ambas 
disciplinas. Qual a probabilidade de que um estudante seja escolhido aleatoriamente 
esteja matriculado em Custos ou em Estatística. 
Resposta:50% 
 
 
6- Um teste de marketing revelou que a probabilidade de um produto ser bem 
recebido pelo mercado é de 20% e a probabilidade do mesmo produto da 
concorrente é 10%. Se a aceitação dos produtos de uma empresa não interfere em 
nada na aceitação do produto da concorrente, qual a probabilidade dos dois 
produtos serem aceitos pelo mercado consumidor? 
Resposta:2% 
 
 
7- Em geral, a probabilidade de que um possível cliente faça uma compra quando 
procurado por um vendedor é de 40%. Se um vendedor seleciona do 
aleatoriamente três clientes, qual a probabilidade de que os três façam compras? 
Resposta:6,4% 
 
Exercícios – cont.: 
 
8- Uma pessoa tem 30% de chance de identificar o sabor, quando vedada, de um 
refrigerante. Uma outra pessoa tem 35%. As duas pessoas foram chamadas a 
identificar de forma independente o sabor do refrigerante para identificar o seu 
tipo. Qual a probabilidade do sabor do refrigerante ser identificado? 
Resposta:54,5% 
 
9- Em um grupo focal sobre lembrança da marca de certa linha de um produto, a 
probabilidade de João se lembrar da marca é igual a ½ e a de Pedro se lembrar é de 
3/5. Qual a probabilidade da marca da certa linha do produto ser lembrada? 
Resposta:80% 
 
10- Em uma pesquisa de mercado, a probabilidade de um homem lembrar quantas 
vezes foi ao cinema no ano passado é de ¼ e a probabilidade de sua esposa 
lembrar quantas vezes foi ao cinema no ano passado é de 1/3. Encontre as 
possibilidades: 
a)  Ambos lembrarem quantas vezes foram ao cinema no ano passado; 
b)  Nenhum lembrar quantas vezes foi ao cinema no ano passado; 
c)  Somente a esposa lembrar quantas vezes foi ao cinema no ano passado; 
d)  Somente o homem lembrar quantas vezes foi ao cinema no ano passado. 
Resposta: a) 8,3% b) 50% c) 25% d)16,7% 
 
Exercícios – cont.: