Trabalho de Fisica

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Sumario
Introdução	4
Campo Elétrico	5
Definição de Campo Elétrico	5
Campo de Cargas Pontuais	7
Dipolos Elétricos	9
Campo de Distribuição Contínua de Carga	9
Linhas Uniformes de Cargas	12
Anel Uniforme e Disco Carregado	13
Placa Infinita de Cargas	16
Experiência de Robert Millikan	17
Leis de Gaus	20
Definição	21
Fluxo de um Campo Vetorial	22
Fluxo de um Campo Elétrico	24
A Lei de Coulomb e a Lei de Gaus	25
 2.4.1 Lei de Coulomb	25 
 2.4.2 Lei de Gauss	27
Aplicação da Lei de Gaus	28
Conclusão	34
Anexo A	36
Referência Bibliográfica	38
Introdução
A ideia de “campo” na área da física pode associar que numa determinada distância as cargas não precisam de contato direto para interagir. Uma carga eletrizada de forma positiva ou negativa, influência o espaço a sua volta de acordo com sua intensidade criando assim um campo elétrico.
O princípio básico no comportamento das cargas elétricas é a eletrostática, onde temos o principio da atração e repulsão (cargas de sinais iguais se repelem e cargas de sinais contrários se atraem). 
A ideia de Campo elétrico é justamente representar como uma carga elétrica se comporta numa determinada região. O campo elétrico é uma grandeza vetorial, cada lugar nele existe sentido e direção de sua força. Se colocar outra carga num determinado campo elétrico, ela “sentirá” sentirá uma força, ou seja, haverá interação entre essas cargas de atração ou repulsão.
Se conhecermos o campo elétrico de uma carga q, sabemos o comportamento de qualquer carga colocada nesse campo. Cargas positivas sentem força junto, se ela for negativa sente força contra em relação o campo elétrico.
Podemos medir a intensidade de um campo elétrico sem termos a carga de prova, basta fazer a interpretação da carga geradora. Caso sendo carga positiva, as linhas de campo elétrico da carga podemos representa com linhas vetoriais voltadas para fora com ideia de repulsão, sendo negativa podemos representar com linhas vetoriais voltadas pra dentro da carga geradora como atração. 
Usando a lei de Coulomb , e a força do campo elétrico . Fazendo a associação entre essas fórmulas, obtemos o campo elétrico .
		
Campo Elétrico
O campo elétrico designa o local onde as forças elétricas estão concentradas por meio da ação das cargas elétricas puntiformes (corpo eletrizado cujas dimensões e massa são desprezíveis se comparadas às distâncias que o afastam de outros corpos eletrizados).
Dessa forma, o campo elétrico é um tipo de força em que as cargas elétricas geram ao seu redor; trata-se de uma grandeza vetorial, ou seja, possui módulo, direção e sentido, donde as cargas elétricas que se aproximam (elétrons, prótons ou íons) estão sujeitas às forças de interação: seja de atração ou de repulsão.
O sentido do campo elétrico depende exclusivamente do sinal da carga elétrica, por isso, importante notar que o campo elétrico existe por meio de sua interação com uma carga de prova, de modo que as que apresentam mesmo sinal sofrerão uma repulsão, e as cargas, de sinais contrários, sofrerão uma atração.
Sendo assim, quando o campo elétrico é criado numa carga positiva ele, terá um sentido de afastamento ou repulsão, por sua vez, quando é gerado numa carga negativa ele, terá um sentido de aproximação ou de atração.
Definição de Campo Elétrico
Um campo elétrico é o campo de força provocado pela ação de cargas elétricas, (elétrons, prótons ou íons) ou por sistemas delas. Cargas elétricas colocadas num campo elétrico estão sujeitas à ação de forças elétricas, de atração e repulsão.
Em termos físicos, o conceito de campo elétrico é um pouco complexo, mas a fim de compreendê-lo mais facilmente podemos dizer que ele é análogo ao conceito de campo gravitacional. Embora não consigamos vê-lo e nem tocá-lo, podemos constatar sua existência usando um corpo de prova.
Figura 1
Para determinar a existência de um campo elétrico, devemos colocar uma carga de prova eletrizada na região do espaço em que há um campo elétrico, dessa forma verificaremos que tal carga fica sujeita a uma força elétrica (F), como mostra a figura acima. Portanto, as fontes de campo elétrico são corpos eletrizados, que chamamos de cargas fonte(q).	
A fórmula usada para se calcular a intensidade do vetor campo elétrico (E) é dada pela relação entre a força elétrica (F) e a carga de prova (q):
Campo de Cargas Pontuais
No estudo da Física, a força gravitacional e a força eletrostática são forças que agem à distância, ou seja, mesmo não havendo contato entre os corpos, há a manifestação da força. Chamamos essa força de forças de campo. Hoje sabemos que um corpo não interage com outro corpo, mas sim com o campo produzido por eles. Sendo assim, podemos então pensar em campo como sendo uma modificação nas características do espaço, causada pela presença de partículas.
Cargas elétricas modificam as propriedades elétricas do espaço à sua volta, causando um campo elétrico. Esse campo é que vai interagir com outra carga elétrica, produzindo força de atração ou de repulsão. Para medir o campo elétrico em uma posição do espaço, colocamos uma carga positiva, chamada de carga de prova q0, e medimos a força elétrica que atua nessa carga.
A expressão acima nos permite calcular a intensidade do campo elétrico, quaisquer que sejam as cargas que criam esse campo. Vamos aplicá-lo a um caso particular, no qual a carga que cria o campo é uma carga pontual. Vamos supor que uma partícula eletrizada com carga Q seja a fonte de um campo elétrico, como na figura acima.
Colocando-se uma carga de prova q em um ponto desse campo elétrico, a uma distância d da carga fonte, ela ficará sujeita a uma força , cujo módulo poderá ser calculado pela Lei de Coulomb, isto é,
Como
Obtemos facilmente:
Essa expressão nos permite calcular a intensidade do campo elétrico em certo ponto, quando conhecemos o valor da carga pontual Q que o criou e a distância do ponto considerado à carga. Observe, entretanto, que essa expressão só pode ser usada para um campo criado por uma carga que pode ser considerada pontual.
Lembre-se: na equação acima, o valor da constante eletrostática é:
Dipolos Elétricos
Chamamos de dipolo elétrico o conjunto de duas cargas iguais e de sinais contrários. Definimos o momento dipolar elétrico de um dipolo elétrico como um vetor que aponta da carga negativa para a carga positiva do dipolo. Como vamos ver o comportamento de um dipolo na presença de um campo elétrico externo e , sem necessidade de levar em conta a estrutura detalhada do dipolo.
Uma molécula de agua (H2O) se comporta como um dipolo elétrico: a Fig. 22-19 no anexo A mostra a razão. Na figura, os pontos representam o núcleo de oxigênio (com oito prótons) e os dois núcleos de hidrogênio (com um próton cada um). As áreas sombreadas representam as regiões em que os elétrons da molécula podem ser encontrados.
Na molécula de agua os dois átomos de hidrogênio e o átomo de oxigênio não estão alinhados, mas formam um ângulo de aproximadamente 105º, como mostra a Fig. 22-19 no anexo A. Em consequência, a molécula possui um “lado de oxigênio” e um “lado do hidrogênio”. Além disso, os 10 elétrons da molécula tendem há permanecer mais tempo nas proximidades do núcleo de oxigênio que nas proximidades dos núcleos de hidrogênio. Isso torna o lado do oxigênio ligeiramente mais negativo que o lado do hidrogênio e dá origem a um momento dipolar elétrico alinhado com o eixo de simetria da molécula, como mostra a figura. Quando a molécula de água e submetida a um campo elétrico externo ela se comporta como o dipolo elétrico mais abstrato.
Campo de Distribuição Continua de Carga
 Sabemos também que as cargas elétricas elementares, embora sejam quantizadas, podem se agrupar no sentido de formarem diferentes tipos de distribuição de cargas. Estas distribuições pertencem a dois grupos distintos; a distribuição discreta e a contínua. As distribuições contínuas de cargas se dividem em três classes; as distribuições lineares, as de superfíciese as volumétricas.
        Sabemos que as distribuições contínuas podem ser do tipo linear, de superfície e volumétrica. Os isolantes são alguns dos materiais onde podemos encontrar distribuições cargas deste tipo. Quando eles são carregados às cargas são distribuídas em todo o seu volume de forma homogênea ou não, dependendo das características do material.
        Outro tipo de distribuição contínua é a linear (Fig.1 - anexo A). Os fios elétricos finos são exemplos de sistemas onde a distribuição de cargas pode ser considera contínua e linear. Nestes casos, temos que introduzir o conceito de densidade linear de carga a qual será representada por  (r).
   Neste caso a lei de Coulomb é expressa por,
                                                                     (1)
             Com base em considerações matemáticas podemos dizer que todas as distribuições de cargas, discutidas aqui, são casos particulares de uma distribuição volumétrica. Isto pode ser demonstrado fazendo algumas manipulações matemáticas. A seguir, mostraremos que uma distribuição discreta pode ser derivada de uma distribuição volumétrica, como a seguir.
Definimos a função delta de Dirac com as seguintes propriedades;
 (r-a) = 0 para r  a
e
daí, tiramos que,
                                                                   (2)
Definimos agora a seguinte relação;
                                                                      (3)
Substituindo a equação (9) em (4), obtemos;
       (4) 
daí tiramos que;
                                                                   (5)
que é a expressão, obtida anteriormente, para o caso de uma distribuição discreta de cargas. De forma semelhante podemos derivar as outras equações. 
Linhas Uniformes de Cargas
Chama-se campo elétrico uniforme àquele em que o vetor campo tem mesma intensidade, mesma direção e mesmo sentido em todos os pontos. Como as linhas de força de um campo são sempre tangentes ao vetor campo, concluímos que num campo uniforme as linhas de força são retas e paralelas.
Figura 2
Exemplo – Suponhamos dois condutores planos, paralelos e próximos. Se eles forem carregados com cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos, o campo elétrico que se formará entre eles será uniforme. As linhas de força são paralelas entre sí e perpendiculares aos planos; apenas nos bordos o campo deixa de ser uniforme: as linhas de força se curvam como mostra a figura 2.
Figura 3
Anel Uniforme e Disco Carregado
Temos um anel uniformemente carregado, possuindo carga total Q, positiva. Queremos determinar o campo elétrico em um ponto P, que está a uma distância z do plano do anel, situado no eixo do anel, conforme a figura 4.
	
	Figura 4: Anel carregado
Note que a soma vetorial das componentes do campo elétrico ortogonais ao eixo  é nula. De fato, para cada elemento de carga dq, existe outro, diametralmente aposto, produzindo uma componente ortogonal com sinal oposto. Esta equivalência entre os elementos de cargas diametralmente opostos é denominada uma simetria do sistema; uma simetria nada mais é do que uma equivalência, neste caso geométrico, entre uma parte de um sistema e sua contraparte reversa, neste caso o ponto oposto em relação ao centro do anel. Simetrias são muito úteis, pois costumam facilitar bastante a solução de problemas mais complicados.
As componentes paralelas ao eixo  são dadas por:
Note que a grandeza  assume sempre o mesmo valor quando percorremos os pontos do anel. Logo, 
	
	(8)
Para  a expressão acima se comporta como 	
que é o campo de uma carga puntiforme.
Consideremos agora um disco uniformemente carregado possuindo carga total Q, conforme a figura 5. Queremos calcular o campo elétrico em um ponto  situado no eixo do disco, a uma distância  Z do plano do disco.
	
	Figura 5: Disco carregado
Utilizando o princípio de superposição, o campo produzido em  é a soma (integral) dos campos produzidos por anéis de raio. De acordo com a equação (9):
	
	(9)
onde dq é a carga contida em um anel infinitesimal de raio  e espessura . Ou seja, 
	
	(10)
Substituindo (10) em (9) e integrando, teremos:
	
	(11)
Nas proximidades do disco, , o segundo termo em (11) pode ser desprezado. Neste caso, teremos:
	
	
aqui usamos a equação (3). A função sinal z é definida como 
	
	(3)
Este limite nos dá o campo elétrico de um plano infinito carregado, como está ilustrado na figura 6.
	
	Figura 6: Plano infinito carregado
Placa Infinita de Cargas
Vamos considerar uma distribuição infinita de cargas, com densidade uniforme +, conforme figura abaixo:
	
	Por simetria conclui-se que o campo é perpendicular ao plano de cargas, e que sua intensidade é constante ao longo de qualquer plano paralelo ao plano de cargas. Portanto, o cilindro da figura acima é uma boa escolha como superfície Gaussiana. De modo análogo ao procedimento adotado no caso da simetria cilíndrica, a integral fechada pode ser desdobrada em integrais abertas, ao longo das bases e da superfície lateral da Gaussiana.
Em qualquer ponto da superfície lateral, os vetores e são mutuamente perpendiculares, de modo que o produto escalar é nulo. Por outro lado, tanto na base1, quanto na base2, E é constante e paralelo a , de modo que:
A carga no interior da superfície Gaussiana é q=A, resultando:
 
Experiências de Robert Millikan
Realizado por Robert Andrews Millikan em 1909, o experimento que ficou conhecido como Experiência da Gota de Óleo, foi desenvolvida por Millikan para determinar o tamanho de uma carga de um único elétron. Essa experiência é composta por uma câmara fechada com lados transparentes que é equipada com duas placas de metal paralelas, que adquirem uma carga positiva ou negativa quando uma corrente elétrica é aplicada.
Entendendo a experiência de Millikan da gota de óleo:
Nessa experiência, Millikan utilizou um atomizador que pulveriza uma névoa fina de gotas de óleo na parte superior de uma câmara que está à baixa pressão, e sob a influência da gravidade e da resistência do ar, algumas gotas de óleo caem através de um pequeno buraco na placa de metal superior.
Em seguida, Millikan aplicou uma carga radioativa nas placas de metal, que ionizou o metal e fez com que os elétrons do ar se ligassem às gotas de óleo que estavam caindo, fazendo com que as mesmas adquirissem uma carga negativa.
Nesse momento, Millikan, primeiramente, deixou as gotas caírem até elas alcançarem a velocidade terminal, após isso, ele usou uma fonte de luz e a ajustou em um ângulo reto a um microscópio de observação, sendo que nesse momento, as gotas estavam se parecendo com estrelas brilhantes enquanto caiam. Isso fez com que ele pudesse medir a velocidade terminal da gota que estava caindo e ainda, futuramente, calcular a massa da gota de óleo.
	
	Esquema da aparelhagem usada por Millikan
Figura 7
A bateria anexada nas placas de cima e de baixo foi usada para criar uma tensão elétrica, que produziu um campo elétrico na câmara inferior que atuava nas gotas, sendo que se tivesse feito com a voltagem certa inicialmente, a força eletromagnética equilibraria a força da gravidade em uma gota e a mesma ficaria suspensa no ar.
Além disso, se ele ajustasse a diferença de potencial ou a tensão entre as placas de metal, a velocidade do movimento da gota poderia ser aumentada ou diminuída; sendo que quando a quantidade de força elétrica ascendente é igual à força gravitacional descendente conhecida, a gota carregada permaneceria em fase estacionária, ou seja, a gota não cai.
Após ter conseguido determinar a voltagem elétrica necessária para suspender uma gota, ele repetiu o experimento várias vezes, variando a intensidade da ionização no ar, de modo que diferentes números de elétrons saltassem para as moléculas de óleo a cada vez. Ele obteve vários valores para a carga elétrica (q) de cada gota, sendo que a carga (q) era sempre o múltiplo de um número inteiro que correspondia cerca de 1,602.10-19 Coulomb,que basicamente corresponde a própria carga elétrica elementar.
Nesse experimento, ele acabou conseguindo determinar (q) com a equação abaixo, considerando que o peso da gota suspensa (m.g) tem que ser a igual à força elétrica (q.E), e a equação utilizada foi:
Sendo:
E o campo elétrico aplicado
m a massa da gota de óleo
g a aceleração da gravidade
Q a carga elétrica
Desde o tempo da experiência original de Millikan, este método ofereceu a prova convincente que a carga elétrica existe em unidades naturais básicas. Todos os métodos distintos subsequentes de medição da unidade básica de carga elétrica apontam para a sua ter o mesmo valor fundamental. Millikan conseguiu colocar uma carga sobre uma minúscula gota de óleo, para medir o quão forte um campo elétrico aplicado tem que estar para evitar a queda de uma gota de óleo.
Lei de Gauss
Definição
Vamos supor que temos um conjunto de cargas positivas e negativas, que estabelecem um campo elétrico E numa certa região do espaço. Imaginemos uma superfície fechada dentro desse espaço, chamada superfície gaussiana, que pode envolver ou não alguma das cargas elétricas. A Lei de Gauss relaciona o fluxo total (ΦE) que atravessa essa superfície com a carga total que envolvida por ela, proveniente das cargas elétricas. Dessa forma:
Ou
Onde:
ΦE é o fluxo;	
Є0 é a constante de permissividade no vácuo;	
q a carga elétrica.
Exemplo 1: A figura abaixo mostra um cilindro hipotético fechado, de raio r, dentro de um campo elétrico uniforme E. O eixo do cilindro é paralelo ao campo. Determine o valor do fluxo (ΦE) através da superfície gaussiana.
Figura 8
Solução: O fluxo ΦE é a soma de três termos, três integrais: (a) sobre a base esquerda do cilindro, (b) sobre a superfície cilíndrica e (c) sobre a base direita do cilindro. Logo:
O ângulo θ em todos os pontos da base esquerda é 180°, E é constante, e os vetores dA são todos paralelos. Portanto,
Onde A (=πR²) é a área da base esquerda. Do mesmo modo, para a base direita:
Neste caso o ângulo θ é nulo em todos os pontos. Finalmente, para a superfície cilíndrica:
Porque θ = 90°; donde E.dA = 0 em todos os pontos dessa superfície. Logo o fluxo total vale:
Podemos ver então que a Lei de Gauss estabelece que ΦE é nulo porque a superfície não envolve nenhuma carga. A escolha da superfície gaussiana é arbitrária. Usualmente, é escolhida de forma que a simetria da distribuição, em pelo menos uma parte da superfície, resulte num campo elétrico constante que pode ser explicitado através da formula:
Nessas condições, a lei de Gauss pode ser utilizada para calcular o campo elétrico.
Fluxo de um Campo Vetorial
No cálculo vetorial, o Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss, Teorema de Ostrogradski ou Teorema de Ostrogradski - Gauss) é um resultado que relaciona fluxo de um campo vetorial através de uma superfície com o comportamento do campo vetorial dentro da superfície.
Mais precisamente, o teorema da divergência diz que o fluxo externo de um campo vetorial que passa através de uma superfície fechada é igual a integral do volume da divergência sobre a região dentro da superfície. Intuitivamente, ela considera que a soma de todas as fontes menos a soma de todos os sumidouros dá o valor do fluxo líquido saindo da região.
Se um fluido está passando por alguma área, então a taxa na qual este fluido saí de certa região dentro desta área, pode ser calculada simplesmente somando as fontes dentro da região e subtraindo os sumidouros. A passagem do fluido é representada pelo campo vetorial, e a sua divergência em um dado ponto descreve a força da fonte ou do sumidouro. Então, integrando a divergência do campo sobre o interior da região deve ser igual a integral do campo vetorial sobre o limite da região. O teorema da divergência diz que isto é verdade. 
O teorema da divergência é empregado em qualquer lei da conservação que diz que o volume total de todos os sumidouros e todas as fontes, que é a integral de volume da divergência, é igual ao fluxo líquido que passa através dos limites desse volume.
Supomos que V é um subconjunto de Rn (no caso de n = 3, V representa um volume 3D no espaço) que é um espaço compacto e é uma função definida por partes nas suas arestas formadoras S (também indicada com . Se F é um campo vetorial continuo e diferenciavél definido na vizinhança de V, então nós temos: 
É o resultado de ligações entre divergência de um campo vetorial com o valor da integral de superfície do fluxo definido pelo campo. É fundamental no estudo matemático da Física, em particular eletrostática e dinâmica dos fluidos.
Dado um campo vetorial A de classe C1 (D), que contem uma superfície fechada S delimitando um volume V em D aberto, orientada pelo normal exterior, tem-se:
Onde é uma integral tripla no volume V e é a integral sobre uma superfície fechada S.
Fluxo de um Campo Elétrico
O fluxo depende da quantidade daquilo que flui e da área através da qual passa o "fluido". Portanto, quanto maior o número de clientes ou quanto maior a porta de entrada, maior será o fluxo de clientes para o interior da loja.
Essa noção intuitiva está na origem daquilo que podemos denominar fluxo do campo elétrico (E). Numa primeira abordagem, podemos dizer que:
Fluxo de campo elétrico = intensidade de campo elétrico X área perpendicular ao campo
Logo veremos que essa definição é muito simplificada, e tem pouco valor operacional, porque em geral o valor de E varia ao longo da superfície, e nem sempre esta é perpendicular ao campo. Podemos melhorar a definição, dividindo a superfície em elementos tão pequenos quanto possível, de modo que E seja constante nessa área infinitesimal. A esta área associamos um vetor , cuja direção é perpendicular à área e cujo módulo é igual à área. Podemos manter a ideia intuitiva definindo fluxo infinitesimal:
 
Assim, o fluxo através de determinada área S é dado pela integral de superfície:
 
No caso de uma superfície fechada, o vetor área é convencionalmente dirigido de dentro para fora. O fluxo através de uma superfície fechada é assim representado:
 
A lei de Coulomb e a Lei de Gauss
2.4.1 Lei de Coulomb
A força elétrica que age entre dois corpos, ou entre partículas carregadas eletricamente, depende do valor das cargas e da distância entre os dois objetos. Essa força foi chamada de Lei de Coulomb.	
Foi no ano de 1785 que o cientista francês, Charles Augustin Coulomb, através de medidas laboratoriais determinou que o valor do módulo da força que existe entre duas esferas carregadas, sendo uma carga (Q1) e outra (Q2), é proporcional ao produto, em módulo, de suas cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância d entre elas. A fórmula abaixo ilustra a relação matemática expressa pelo cientista Coulomb.
Na expressão, k é a constante de proporcionalidade chamada de constante eletrostática. Caso o meio em questão seja o vácuo, a constante eletrostática é representada por k0, e tem um valor igual a:	
k = k0 = 8,99. 109 	
O gráfico abaixo nos mostra que quanto maior for a distância que separa os dois objetos carregados, menor será a força elétrica entre eles.
A intensidade da força elétrica diminui com o quadrado da distância
 É interessante notar que a força elétrica sempre atua na direção da linha imaginária que une as duas esferas (ou corpos), sendo que seu sentido é determinado pelo sinal relativo entre duas cargas.
De acordo com a figura abaixo podemos perceber que a força é de ação atrativa quando as cargas possuem sinais diferentes e de ação repulsiva quando as cargas possuem sinais iguais.
A força elétrica que atua sobre um dos corpos possui o mesmo valor, em módulo, e mesma direção que a força que atua sobre o outro corpo, porém possui sentido contrário.
Colocando-se as cargas Q1 e Q2 ao longo de um eixo imaginário x, podemos representar três situações possíveis. Na figura, podemos ver que sempre surge um par de forças que age separadamente em cada uma das cargas.Figura 9
Lei de Gauss
A lei de Gauss estabelece uma relação entre o fluxo de campo elétrico através de uma superfície fechada e as cargas que estão no interior dessa superfície. Algumas considerações importantes sobre a de lei de Gauss são:
A lei de Gauss não contém nenhuma informação que não esteja contida na lei de Coulomb e no princípio da superposição. Inclusive, é possível obter a lei de Coulomb a partir da lei de Gauss e vice-versa. 
É fundamental para a lei de Gauss, o fato de que a força elétrica é proporcional ao inverso do quadrado da distância. É esse fato que faz com que o fluxo de E não dependa da "superfície gaussiana" escolhida e dependa apenas das cargas que estão localizadas no interior da superfície. Dessa forma, é possível pensar numa lei de Gauss que estabeleça uma relação de fluxo para qualquer campo cuja lei de força associada a esse campo seja proporcional ao inverso do quadrado da distância, como a força gravitacional, por exemplo, logo existe uma lei de Gauss da gravitação. 
Apesar da lei de Coulomb nos fornecer o necessário para calcular o campo elétrico de uma distribuição de cargas, muitas vezes, as integrais que envolvem o cálculo do campo elétrico podem ser complicadas de serem resolvidas, mesmo para casos razoavelmente simples. É nesse ponto que reside um dos aspectos de maior eficiência da lei de Gauss: o cálculo do campo elétrico em distribuições de carga que possuam determinados tipos de simetria torna-se extremamente simples. 
A lei de Gauss se refere sempre ao fluxo no interior de uma superfície gaussiana escolhida. Portanto, para utilizar a lei de Gauss, é necessário definir o que é uma "superfície gaussiana". Esta é, por sua vez, uma superfície arbitrariamente escolhida. Normalmente, essa superfície é escolhida de modo que a simetria da distribuição de carga permita ao menos em parte da superfície, um campo elétrico de intensidade constante.
Forma diferencial da lei de Gauss:
Demonstração Pelo teorema da divergência: 
Pode-se reescrever a carga interna à superfície, qint, em termos da densidade :
qint = 
Desse modo, usando o teorema de Stokes, a lei de Gauss, assume a forma:
Por fim, como se quer que essa igualdade valha para qualquer volume, os integrantes devem ser iguais, logo: 
Aplicação da Lei de Gauss
É importante ressaltar que a lei de Gauss se torna eficiente apenas em casos em que há simetria. Mas precisamente, nos casos os quais existem simetria esférica, cilíndrica ou plana. Dessa forma, construir superfícies gaussianas que aproveitem assimetria é de vital importância para aplicação da lei de Gauss, visto que a eficiência da lei de Gauss consiste em utilizar a simetria das distribuições de carga para calcular campo elétrico dessas com mais facilidade.
Campo elétrico no interior e no exterior de uma esfera
Para uma esfera de raio R, como mostrado na figura 10, com carga Q uniformemente distribuída pela esfera, tem-se:
No exterior da esfera
Para se obter o campo no exterior da esfera, escolhe-se, como mostra a figura 10. Pode-se imaginar que, muito longe da esfera, o campo elétrico que se sente é como o campo de uma carga puntiforme. Além disso, devido à simetria esférica, o campo elétrico deve apontar na direção radial. Dessa forma, aplicando a lei de Gauss:
Figura 10: Duas superfícies gaussianas esféricas em torno de uma esfera uniformemente carregada de raio R. A superfície gaussiana externa à esfera de raio R possui raio r' e a superfície gaussiana interna à esfera possui raio r.
O campo deve apontar na direção radial e, portanto, E e dA possuem a mesma direção e sentido e, por isso, segue que: E . dA = E dA . Logo:
O modulo do campo elétrico na superfície gaussiana é constante, visto que, nesse caso, o campo deve depender da distância em relação à esfera e, portanto, E pode sair da Integral.
Logo:
No interior da esfera
Como o campo elétrico varia no interior da esfera, deve-se tomar como superfície Gaussiana a superfície esférica de raio r no interior da esfera de raio R, como mostra a figura 10. Nesse caso, como a carga está uniformemente distribuída pela esfera, à densidade volumétrica de carga , É a mesma em todos os pontos da esfera, então pode se observar que:
Onde é o volume da superfície gaussiana escolhida.
Dessa forma:
Os mesmos argumentos dados anteriormente para que o produto escalar E . dA seja E dA e para que E saia da Integral continuam sendo Válidos, logo:
Logo:
Portanto, no caso de uma esfera uniformemente carregada:
Campo elétrico no interior e no exterior de uma casca esférica
Para se resolver esse problema, utiliza-se a figura 10 novamente, porém com uma ligeira diferença: o interior da esfera de raio R é “oco”, isto é, tem-se apenas uma casca esférica com carga Q uniformemente distribuída sobre sua superfície. 
No Exterior da esfera
Escolhendo a superfície de raio r como mostrada na figura 10, tem-se, pela lei de Gauss, o mesmo resultado que foi obtido para o campo no exterior de uma esfera. A carga interna à superfície gaussiana, , é Q nesse caso, como no caso anterior da esfera uniformemente carregada, de forma que o cálculo para o campo elétrico exterior à casca esférica se desenvolve da mesma forma que o calculo para o campo no exterior à esfera uniformemente carregada, então: 
No interior da casca esférica
Escolhendo a superfície gaussiana de raio r, no interior da casca esférica, tem-se:
Portanto: 
Logo:
Portanto, no caso de uma casca esférica uniformemente carregada:
Campo elétrico de um plano infinito
Supõe-se um plano infinito com densidade de carga e se deseja calcular o campo elétrico produzido por esse plano. Apesar de o problema ser bem diferente do apresentado na figura 11, visto que, no problema em questão, está-se estudando um plano infinito e não o campo interior de um capacitor, é interessante utilizar uma superfície gaussiana de mesma forma que a superfície retratada na placa de baixo do capacitor da figura 11. Utilizando, portanto, a superfície de um paralelepípedo cortando o plano infinito como superfície S, tem-se:
Figura 11: Um exemplo de superfície gaussiana que se deve utilizar para obter o campo de um plano infinito é como a que está mostrada sobre a placa de baixo do capacitor.
Por simetria, o campo elétrico deve apontar para “fora” do plano, isto é, ele aponta na direção - para pontos abaixo do plano. Dessa forma, as únicas superfícies superior e inferior da superfície do paralelepípedo é que serão “furadas” pelo campo elétrico, por isso: 
 
Onde A é a área da superfície superior e inferior da superfície do paralelepípedo. Sabe-se, também, que:, logo:, portanto:
Ou
Onde é um vetor unitário que aponta para fora da superfície do plano.
Conclusão
Portanto, o Estudo para humanidade do filósofo grego Tales de Mileto foi muito eficaz e concreta, pois se comprovou de que há existência de forças em cargas que naquele ate então era prótons, elétrons ou íons, logo descobriu que a relação dessas cargas poderia ser de atração ou repulsão dependendo de seus sinais, gerando ações, logo, tendo diversas cargas com estas ações observou se por meio de experimentos a formação de um campo elétrico por meio físico que transporta energia que pode substituir ate mesmo desaparecer as cargas que o produzem.
Por seguinte, Gauss foi um matemático alemão que fez contribuições importantes para a teoria dos números, a geometria e a probabilidade, tendo também contribuições em astronomia e na medição do tamanho e do formato da terra.
Sua lei criada para mostrar que um conjunto de cargas positivas e negativas, que estabelecem um campo elétrico E numa certa região do espaço. Imaginamos uma superfície fechada dentro desse espaço, chamada superfície gaussiana, que pode envolver ou não alguma das cargas elétricas. A Lei de Gauss relaciona o fluxo total que passa por essa superfície com toda carga que é envolvida por ela, proveniente das cargas elétricas. Nessas condições, a lei de Gauss pode serutilizada para calcular o campo elétrico.
Essa não era a única lei criada pelos estudiosos da época a lei de Gauss é uma das quatro Equações de Maxwell, juntamente com a lei de Gauss do magnetismo, a lei da indução de Faraday e a lei de Ampère-Maxwell. Foi elaborada por Carl Friedrich Gauss em 1835, porém só foi publicada após 1867 estudos criados para a melhoria da ciência, visando o bem da sociedade e criações para a melhoria de todos.
Mais detalhadamente O fluxo de campo elétrico, Φ E {\displaystyle \Phi _{E}} é uma grandeza escalar e pode ser considerado como uma medida do número de linhas de campo que atravessam a superfície. Estabelece por convenção ou combinar-se que se á mais linhas de campo saindo da superfície do que entrando, o fluxo do campo elétrico através da superfície é positivo e se há mais linhas de campo entrando na superfície do que saindo da mesma, o fluxo é negativo. Além disso, é importante observar o fato de que se o número de linhas de campo que entra na superfície é igual ao número de linhas de campo que sai da superfície, então o fluxo de campo elétrico através da superfície é nulo.
A lei de Gauss não contém nenhuma informação que não esteja contida na lei de Coulomb e no princípio da superposição, ou seja, ato ou efeito de superpor. A física foi criada com intuito de explicar tudo o que acontece no nosso redor, tanto na natureza e no universo infinito, conhecimentos que desperta curiosidades em qualquer ser humano, os estudiosos e cientistas da época criaram essas leis para mostra como funcionam e como agem as cargas elétricas em determinadas situações, esses princípios levaram a outros conhecimentos e invenções, a física e a ciência dos dias atuais jamais pode se desfazer desses conhecimentos. 
Partindo desses estudos e conhecimentos passados adiante hoje criações que antigamente podia ser consideradas impossíveis de se realizar, hoje trouxe benefício ao o homem e cada dia que passa a ciência vem crescendo, tudo partindo de um princípio, de grandes estudiosos e cientistas. A física serve para fazer perguntas fundamentais e responder elas por observações e experimentos, Gauss através de seus conhecimentos nos passou os entendimentos relacionados às cargas elétricas.
Anexo A
A carga Q é uma fonte de um campo elétrico e a carga q é a carga de prova colocada nesse campo 
Dipolo elétrico  
Fig. 1 - Distribuição Continua de Cargas
Referências Bibliográficas 
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