Calculo II UNIVESP Semana 03

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cálculo II
exercícios
exercício 1 (2,5 pontos)
Calcule a massa da placa {(x, y) ∈ 2 | (x - 4)2 + y2 ≤ 9, y ≥ 0} 
com densidade igual à ordenada do ponto.
exercício 2 (2,5 pontos)
Calcule o volume do sólido descrito por x2 + y2 ≤ 1, com 
x2 + y2 ≤ z ≤ 3 - x2 - y2
exercício 3 (2,5 pontos)
Calcule a massa do pedaço de coroa esférica 1 ≤ x2 + y2 
+ z2 ≤ 9, x ≥ 0,y ≥ 0, com densidade δ(x, y, z) = x2 + y2 + z2
exercício 4 (2,5 pontos)
Decida se o campo a seguir é um campo gradiente.
F
→
(x, y) = y + 3x
2 + cosx
y
 i
→
 + - x
3 + senx
y2
 j
→
Cálculo II / Exercícios 2
gabarito
exercício 1
M = �D δ(x, y)dA = �D ydA
Passamos para coordenadas polares
 x = 4 + rcosθ 0 ≤ θ ≤ π pois y ≥ 0 
 y = rsenθ 0 ≤ r ≤ 3 Jacobiano = r 
M = �
π
0
�
3
0
rsenθ.rdrdθ = �
π
0
senθ r
3
3
 | 3
0
dθ = �
π
0 
9senθdθ = -9cosθ | π
0
 = 18
exercício 2
Volume = �D 1dV
Mudamos para coordenadas cilíndricas:
 x = rcosθ 0 ≤ θ ≤ 2π
 y = rsenθ 0 ≤ r ≤ 1
 z = z r2 ≤ z ≤ 3 - r2
 Jacobiano = r 
V = ∫2π
0 
∫
1
0 
∫
3-r2
r2 
rdzdrdθ = ∫2π
0 
∫
1
0 
rz | 3-r
2
r2 
drdθ = ∫2π
0 
∫
1
0
 (3r - r3 - r3)drdθ
 = ∫2π
0 
3
2
r2 - r
4
2
 | 1
0 dθ = ∫
2π
0 
1dθ = 2π
exercício 3
Massa �D δ(x, y, z)dV = �D x
2 + y2 + z2dV
Usamos coordenadas esféricas:
Cálculo II / Exercícios 3
 x = ρsenφcosθ 0 ≤ θ ≤ π/2 
 y = ρsenφsenθ 0 ≤ φ ≤ π 
 z = ρcosφ 1 ≤ ρ ≤ 3 
 Jacobiano = ρ2senφ δ(ρ, θ, φ) = ρ2 
Massa = �π/2
0 
�
π
0 
�
3
1 ρ
2. ρ2senφdpdφdθ = �
π/2
0 
�
π
0 
senφ 1
5
 ρ5 | 3
1 dφdθ
= 242
5
�
π/2
0 
�
π
0 
senφdφdθ = 242
5
 . π
2
 . (-cosφ) | π
0 = 
242π
5
exercício 4
Vamos procurar uma função φ = φ(x, y) que tenha a propriedade,
∂φ
∂x
 = P(x, y)
e
∂φ
∂y
 = Q(x, y)
∂φ
∂x
 = y + 3x
2 + cosx
y
 ⇒ φ(x, y) = xy + x
3 + senx
y
 + g(y)
∂φ
∂y
 = - x
3 + senx
y2
 ⇒ φ(x, y) = x
3 + senx
y
 + h(x)
Comparando ambas as expressões concluímos que elas são incompatí-
veis e que, portanto, o campo não é um campo gradiente.