Exercício de apoio - Semana 5_ CÁLCULO III - MCA003

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13/06/2020 Exercício de apoio - Semana 5: CÁLCULO III - MCA003
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CÁLCULO III
Super�cies e integrais de super�cie5
 
EXERCÍCIOS DE APOIO
Apenas para praticar. Não vale nota.
Considere a “calota esférica” dada por x² + y² + z² = r² e satisfazendo as condições (em
coordenadas esféricas) 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π/6. Calcule a área desta calota.
Parametrização: 
Área: 
Observe que se trata de uma calota superior da esfera, em torno do polo norte.
Observe também que a área não varia linearmente com ϕ.
1.
Calcule a massa da superfície descrita a seguir: 
S = {(x,y,z) ∈ R³ | x² + y² = 9, 0 ≤ z ≤ 6} 
com densidade δ(x,y,z) = 2z
 
Parametrização: 
2.
Calcule o fluxo do campo 
sobre o tronco do cilindro x² + y² = 25 com 0 ≤ z ≤ 1, 
orientado pela normal que aponta para dentro.
Parametrização: 
 
3.
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Este vetor aponta para fora do cilindro. A orientação pedida no enunciado será dada
por 
Calcule o fluxo do campo 
sobre a semiesfera x² + y² + z² = 25, com -5 ≤ z ≤ 0, 
orientado pela normal que aponta para baixo.
Parametrização: 
Este vetor aponta para cima. Observe que para 0 ≤ θ ≤ π/2 e π/2 ≤ φ ≤ π as
componentes deste vetor tem sinal (-,-,+). Assim a orientação pedida no enunciado é 
4.
Calcule a reta normal e o plano tangente ao elipsoide 
no ponto de coordenadas .
Consideremos a função F(x,y,z) = . 
O elipsoide é a superfície de nível 1 desta função. 
Reta normal ao elipsoide: 
Plano tangente: 
Usando que pertence ao plano: 
5.
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Equação do plano: 
Calcule a área do pedaço de cilindro x² + y² = 9 
limitado pelos planos x + y + z = 1 (inferiormente) 
e 2x - y + z = 10 (superiormente).
Observe que os planos podem ser escritos como z = 1 - x - y e z = 10 - 2x + y. 
Parametrização: 
6.
Calcule a massa do pedaço de esfera x² + y² + z² = 16, 
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, com densidade δ(x, y, z) = z.
Parametrização: 
7.
Calcule o fluxo do campo 
sobre o pedaço do plano x - 2y + z - 4 = 0, com 0 ≤ x ≤ 1, 
0 ≤ y ≤ 2 orientado pela normal com cota z positiva.
Parametrização: 
 
8.
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ESCONDER
GABARITO
Como este vetor tem cota z positiva ele representa a orientação pedida no enunciado.