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2 cálculo I exercícios ExErcício 1 a. Calcule, pela definição, a derivada da função f(x) = x6. b. Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f , no ponto (-1,1) . ExErcício 2 Considere a função f(x) = 3 x . a. Calcule f '(x), x ≠ 0 b. Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x0 = 8. c. Use esta equação para obter um valor aproximado de 3 8,19 . d. Obtenha este valor usando uma calculadora. e. Os valores obtidos em c. e d. possuem quantas ca- sas decimais em comum? ExErcício 3 Usando as regras de derivação, calcule a derivada das funções: a. f(x) = 3x2senx Cálculo I / Aulas 5–8 Exercícios 2 b. f(x) = (2x + 1)cosx c. f(x) = 3senx log3x d. f(x) = senx cosx e. f(x) = secx f. f(x) = cossecx g. f(x) = cotgx h. f(x) = 2x + 1 x2 + 3 ExErcício 4 Obtenha as funções derivadas de: a. f(x) = x7 b. f(x) = x3ex c. f(x) = x 2 tgx ExErcício 5 Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de y = ex no ponto de abscissa x = 0. Conclua que para valores “pequenos” de x, ex pode ser aproximada por 1 + x. Obtenha uma valor aproximado de e0,1. Cálculo I / Aulas 5–8 Exercícios 3 Gabarito ExErcício 1 a. f '(x) = h → 0 lim f(x) - f(x0) x - x0 = h → 0 lim (x)6 - (x0) 6 x - x0 = = h → 0 lim (x - x0)(x 5 + x4x0 + x 3x0 2 + x2x0 3 + xx0 4 + x0 5) x - x0 = 6x5 b. f '(-1) = -6, e a reta tangente é: y - f(x0) x - x0 = f '(x0). Logo y - 1 x + 1 = -6 ⇒ y = - 6x - 5 ExErcício 2 a. f(x) = 3 x = x ¹⁄³ ⇒ f'(x) = 1 3 x -²⁄³ = 1 3x²⁄³ = 1 3 3 x2 b. f(8) = 3 8 = 2; f'(8) = 1 3 3 82 = 1 3 ⋅ 4 = 1 12 Reta tangente: y - f(x0) y - x0 = f '(x0) ⇔ y - f(8) x - 8 = f '(8) ⇔ y - 2 x - 8 = 1 12 y = x 12 - 8 12 + 2 = x 12 + 16 12 = x 12 + 4 3 c. 3 8,19 ≈ 8,19 12 + 4 3 = 2,0158 d. 2,01569... e. 3 casas após a vírgula ExErcício 3 a. f'(x) = (3x2)'senx + 3x2(senx)' = 6xsenx + 3x2cosx b. f'(x) = (2x + 1)'cosx + (2x + 1)(cosx)' = 2cosx - (2x + 1)senx c. f'(x) = (3senx)'log3x + 3senx(log3x)' = 3cosx.log3x + 3senx. 1 xln3 Cálculo I / Aulas 5–8 Exercícios 4 d. f'(x) = (senx)'cosx + senx(cosx)' = cosx.cosx + senx(-cosx) = = cos2x - sen2x = cos(2x) e. f'(x) = (secx)' = 1 cosx ' = - (cosx)' (cosx)2 = senx cos2x = 1 cosx senx cosx = secx.tgx f. f'(x) = (cossecx)' = 1 senx ' = - (senx)' (senx)2 = - cosx sen2x = - 1 senx cosx senx = -cossecxcotgx g. f'(x) = (cotgx)' = cosx senx ' = (cosx)'senx - cosx(senx)' (senx)2 = -senx.senx - cosx.cosx sen2x = = -(sen2x + cos2x) sen2x = - 1 sen2x = - 1 senx 2 = -cossec2x h. f'(x) = (2x +1)'(x 2 + 3) - (2x +1)(x2 + 3)' (x2 + 3)2 = 2(x2 + 3) - (2x + 1)2x (x2 + 3)2 = -2x2 - 2x + 6 (x2 + 3)2 ExErcício 4 a. f(x) = x7 = x7⁄2 ⇒ f'(x) = 7 2 x5⁄2 = 7 2 2 x5 b. f'(x) = 3x2ex + x3ex = x2ex(3 + x) c. f'(x) = 2x ⋅ tgx - x 2 ⋅ sec2x tg2x ExErcício 5 Sendo f(x) = ex temos f(0) = e0 = 1 e f'(x) = ex ⇒ f'(0) = e0 = 1 Reta tangente: y - f(x0) y - x0 = f '(x0) ⇔ y - f(0) x - 0 = f '(0) ⇔ y - 1 x = 1 ⇔ y = x + 1 Logo ex ≈ 1 + x, em vizinhanças de x = 0 (valores “pequenos” de x) e0,1 ≈ 1 + 0,1 = 1,1 (valor exato e0,1 = 1,105170...)