PE Maputo2017 7

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Processos Estocásticos
Mestrado em Ciências Actuariais
Alexandra Bugalho de Moura
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Agosto 2017
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 1 / 14
Outline
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1 Processos de Poisson
Processo de Poisson Composto
Processo de Poisson Misto
Processo de Polya
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 2 / 14
Processos de Poisson Processo de Poisson Composto
Processo de Poisson Composto
Processo de Poisson Composto
{Xt}t>0 tal que
Xt =
Nt∑
i=1
Yj
com {Nt}t>0 processo de Poisson e {Yj}+∞j=1 sequência de v.a.’s i.i.d. e independente de {Nt}t>0
Tem-se
E(Xt) = E(Nt)× E(Y ) = λt × E(Y ) e Var(Xt) = λt × E(Y 2)
Aplicação em Teoria do Risco
Sinistros chegam a uma seguradora segundo:
um processo de Poisson, com intensidade λ
e um monetante individual j : Yj
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 3 / 14
Processos de Poisson Processo de Poisson Composto
Funções geradoras
Processo de Poisson
Função geradora dos momentos
MN(t)(r) = E [e
rN(t)] = eλt(e
r−1)
Processo de Poisson composto
Função geradora dos momentos
MX (t)(r) = MN(t) [ ln(MY (r)) ] = e
λt (MY (r)−1)
Exercício 3, exame 2015
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 4 / 14
Processos de Poisson Processo de Poisson Misto
Processo de Poisson Misto
Processo de Poisson Misto
Processo de Poisson tal que a intensidade do processo, λ, é o resultado da observação (realização)
de uma v.a. não negativa Λ com função de distribuição (cumulativa)
Λ v.a. com FΛ(λ) = P(Λ 6 λ)
A v.a. Λ designa-se v.a. estrutural (ou distribuição estrutural)
Processo de Poisson Misto
Para um dado λ fixo o processo de Poisson misto é um processo de Poisson de intensidade λ:
N(t)|Λ = λ ∼ Poisson(λt) =⇒ N(t)|Λ = λ é processo de Poisson de intensidade λ
Em geral (não condicional)
N(t) é processo de Poisson misto
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 5 / 14
Processos de Poisson Processo de Poisson Misto
Processo de Poisson Misto
Processo de Poisson Misto
O processo de contagem incondicional {N(t)}t>0, com N(0) = 0, tal que
P(N(t + s)− N(s) = k) =
∫ +∞
0
P(N(t + s)− N(s) = k|Λ = λ)dFΛ
=
∫ +∞
0
e−λt(λt)k
k!
dFΛ
=
∫ +∞
0
e−λt(λt)k
k!
fΛ(λ) dλ
= E [P(N(t + s)− N(s) = k|Λ = λ)]
designa-se de processo de Poisson Misto.
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 6 / 14
Processos de Poisson Processo de Poisson Misto
Processo de Poisson Misto
Processo de Poisson Misto
Tem-se
pk,k+n(s, t) =
(k + n)!
k!n!
( s
t
)k ( t − s
t
)n pk+n(t)
pk (s)
A probabilidade de transição, pk,k+n(s, t), é expressa em função das probabilidades marginais
pk (s) e pk+n(t).
Processo de Poisson Misto
Dada a equação anterior e a distribuição dos incrementos conclui-se que os incrementos não são
independentes:
O processo de Poisson Misto é um processo com incrementos estacionários, mas não
independentes
Embora tenha incrementos estacionários, não é homogéneo
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 7 / 14
Processos de Poisson Processo de Poisson Misto
Processo de Poisson Misto
Processo de Poisson Misto
Tem-se, para 0 < s < t, a seguinte probabilidade condicionada
P(N(s) = k|N(t) = n + k) = (k + n)!
k!n!
( s
t
)k ( t − s
t
)n
Ou seja, tal como no caso do processo de Poisson
N(s)|N(t) = n + k ∼ Binomial
(
n + k, p =
s
t
)
Observações
É possível mostrar que o processo de Poisson Misto é um processo de nascimento não homogéneo
com
λk (t) = E [Λ|N(t) = k]
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 8 / 14
Processos de Poisson Processo de Poisson Misto
Processo de Poisson Misto
Processo de Poisson Misto
Função geradora dos momentos:
MN(t)(r) = MΛ(t (e
r − 1))
Valor esperado e variância:
E [N(t)] = t E [Λ] e Var [N(t)] = t E [Λ] + t2 Var [Λ]
Quando t é fixo, N(t) é uma v.a. de Poisson mista
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 9 / 14
Processos de Poisson Processo de Polya
Processo de Polya
Processo de Polya
Caso particular do processo de Poisson Misto em que Λ tem distribuição Gamma:
Λ ∼ Gamma(r , β) fΛ(λ) =
1
Γ(r)βr
e−λ/βλr−1, λ > 0
Processo de Polya: probabilidade incondicional
Neste caso tem-se
pk (t) =
(r + k − 1)!
k!(r − 1)!
(
1
1 + βt
)r ( βt
1 + βt
)k
ou seja
N(t) ∼ BinomialNegativa(r , βt)
Logo, a função geradora dos momentos é
MN(t)(s) = (1− t β (es − 1))−r
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 10 / 14
Processos de Poisson Processo de Polya
Processo de Polya
Processo de Polya: probabilidade condicional
Tem-se, para s < t,
pk,k+n(s, t) =
(r + k + n − 1)!
n!(r + k − 1)!
(
β(t − s)
1 + βt
)n (1 + βs
1 + βt
)r+k
ou seja
N(t)− N(s)|N(s) = k ∼ BinomialNegativa
(
r + k,
t − s
s + 1/β
)
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 11 / 14
Processos de Poisson Processo de Polya
Processo de Polya
Processo de Polya: observações
Se fixarmos o intervalo de tempo, o número de ocorrências nesse intervalo de tempo segue
uma binomial negativa, mas os incrementos não são independentes
É um processo de contágio (os incrementos não são independentes)
O processo de Polya é um processo de nascimento não homogéneo com contágio linear
positivo:
λk (t) = E [Λ|N(t) = k] = (r + k)
β
1 + βt
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 12 / 14
Processos de Poisson Processo de Polya
Processo de Polya
Exemplo
Seja {N(t)}t>0 um processo de Polya com E(Λ) = 1 e Var(Λ) = 2. Calcule a probabilidade de
não haver indemnizações nos dois primeiros anos.
Exemplo
Considere que, de ano para ano, o número de indemnizações é independente e que cada ano o
número de indemnizações segue uma binomial negativa com parâmetros r =
1
2
e β = 2. Calcule
a probabilidade de não haver indemnizações nos dois primeiros anos.
Nota
Se Λ ∼ Gamma(r , β), então E(Λ) = rβ e Var(Λ) = rβ2
Alexandra Bugalhode Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 13 / 14
Processos de Poisson Processo de Polya
Processo de Poisson
Exercício
As chegadas do autocarro número 1 formam um processo de Poisson de taxa 1 autocarro por hora
e as chegadas do autocarro número 7 formam um processo de Poisson independente de taxa 7
autocarros por hora.
Qual é a probabilidade que passem exatamente 3 autocarros numa hora?
Exercício
Uma loja abre às 8h. Das 8h às 10h os clientes chegam a uma taxa de Poisson de 4 por hora.
Entre as 10h e as 12h chegam a uma taxa de Poisson de 8 por hora. Das 12h às 14h a taxa de
chegada aumenta linearmente das 8 por hora para 10 por hora. Das 14h às 17h a taxa de chegada
diminui linearmente das 10 por hora para as 4 por hora.
Calcule a distribuição de probabilidade do número de clientes que entra na loja num dia.
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 14 / 14
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