PE Maputo2017 9

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Processos Estocásticos
Mestrado em Ciências Actuariais
Alexandra Bugalho de Moura
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Agosto 2017
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 1 / 13
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1 Processos de Markov homogéneos em tempo contínuo
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 2 / 13
Processos de Markov homogéneos em tempo contínuo
Processo de Markov homogéneos em tempo contínuo
Cadeia de Markov dos saltos de um processo de Markov em tempo contínuo
Seja
{X (t)}t>0 um processo de Markov homogéneo em tempo contínuo
Q a matriz de taxa de transição do processo, ou seja, a matriz das intensidades do saltos de
i para j , para todo i , j ∈ S
Wn o instante do n-ésimo salto:
W0 = 0, Tn = Wn+1 −Wn e P(Tn > t|X (Wn) = i) = eqii t
X∗n = X (Wn), n > 0
Então
{X∗n }n>0 é uma cadeia de Markov em tempo discreto e
designa-se cadeia dos saltos do processo de Markov
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 3 / 13
Processos de Markov homogéneos em tempo contínuo
Processo de Markov homogéneos em tempo contínuo
Cadeia de Markov dos saltos de um processo de Markov em tempo contínuo
Estamos apenas interessados nos instantes em que ocorrem saltos
Passamos de um processo de Markov (homogéneo) em tempo contínuo, para uma cadeia de
Markov em tempo discreto
A probabilidade de transição de i para j é a probabilidade do processo transitar (“saltar”) de i
para j
Cadeia de Markov dos saltos de um processo de Markov em tempo contínuo
Matriz de probabildiades de transição da cadeia dos saltos do processo de Markov:
P∗ =
(
p∗ij
)
i,j∈S
tal que 

p∗ij =
qij
−qii
, se j 6= i
p∗ii = 0
se qii < 0
{
p∗ij = 0, se j 6= i
p∗ii = 1
se qii = 0
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 4 / 13
Processos de Markov homogéneos em tempo contínuo
Processo de Markov homogéneos em tempo contínuo
Exemplo
(unidade de tempo: anos)
Qual a matriz de probabilidade de transição da cadeia de saltos deste processo?
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 5 / 13
Processos de Markov homogéneos em tempo contínuo
Processo de Markov homogéneos em tempo contínuo
Estados acessíveis
O estado j diz-se acessível a partir do estado i , para uma cadeia de Markov homogénea em tempo
contínuo, se
P(X (s) = j |X (0) = i) = pij (s) > 0, para algum s > 0
Estados e classes comunicantes
Tal como nas cadeias de Markov em tempo discreto, os estados i e j são comuncantes se i é
acessível a partir de j e j é acessível a partir de i
É imediato que i e j comunicam numa cadeia de Markov em tempo contínuo sse comunicam
na cadeia de Markov discreta dos saltos {X∗n }n>0
Logo, também nas cadeias de Markov em tempo contínuo o espaço de estados pode ser
particionado em classes comunicantes (de equivalência) disjuntas
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 6 / 13
Processos de Markov homogéneos em tempo contínuo
Processo de Markov homogéneos em tempo contínuo
Cadeia irredutível
Uma cadeia de Markov em tempo contínuo irredutível é uma cadeia irredutível se existir
apenas uma classe de comunicação (todos os estados comunicam)
Uma cadeia de Markov em tempo contínuo irredutível é uma cadeia irredutível sse a cadeia
discreta dos saltos é irredutível
Q diz-se irredutível se P∗ for irredutível
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Processos de Markov homogéneos em tempo contínuo
Processo de Markov homogéneos em tempo contínuo
Estado recorrente
O estado i diz-se recorrente se, com probabilidade 1, a cadeia volta a revisitar o estado i .
Caso contrário o estado diz-se transiente
Um estado i é recorrente (transiente) para uma cadeia de Markov em tempo contínuo sse for
recorrente (transiente) para a cadeia de Markov discreta dos saltos
Recorrência positiva e nula podem diferir na cadeia em tempo contínuo ou tempo discreto
(se o número de estados for infinito)
Periodicidade
Não existem problemas de periodicidade para a cadeia de Markov em tempo contínuo (para
tempo contínuo não faz sentido falar em periodicidade)
Mas o conceito de periodicidade existe para a cadeia de Markov dos saltos, em tempo
discreto
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Processos de Markov homogéneos em tempo contínuo
Processo de Markov homogéneos em tempo contínuo
Exemplo
Considere o processo de Markov em tempo contínuo com a seguinte matriz geradora:
Q =

−4 1 0 0 3
2 −6 3 1 0
0 0 −5 5 0
0 0 4 −4 0
0 0 0 0 0

1 Classifique os estados
2 Calcule a probabilidade de que o processo seja absorvido no estado 5, tendo começado no
estado 1
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Processos de Markov homogéneos em tempo contínuo
Processo de Markov homogéneos em tempo contínuo
Distribuição estacionário
Dada uma cadeia de Markov em tempo contínuo, uma distribuição de probabilidade em S
pij > 0, ∀j ∈ S e
∑
j∈S
pij = 1
diz-se estacionária sse, para todo t > 0
pi P(t) = pi
A distribuição estacionária, pi, também se designa por distribuição de equilíbrio e representa
a proporção de tempo que o processo passa em cada estado, no longo prazo
Se pi é distribuição estacionária, então pij > 0, para todo j ∈ S
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 10 / 13
Processos de Markov homogéneos em tempo contínuo
Processo de Markov homogéneos em tempo contínuo
Teorema
A distribuição pi é estacionária sse
piQ = 0
Teorema
Seja S a única classe fechada (cadeia irredutível). Então, das duas uma:
1) Existe uma única distribuição estacionária e
lim
t→∞ pij (t) = pij , ∀i , j ∈ S
(se S for finito, este é necessariamente o caso)
2) Não existe distribuição estacionária e
lim
t→∞ pij (t) = 0, ∀i , j ∈ S
(este caso só acontence em situações em que S é infinito)
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 11 / 13
Processos de Markov homogéneos em tempo contínuo
Processo de Markov homogéneos em tempo contínuo
Exemplo
Determine a distribuiçãode equilibrio do processo.
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 12 / 13
Processos de Markov homogéneos em tempo contínuo
Processo de Markov homogéneos em tempo contínuo
Exercício
Os condutores que chegam a um centro de inspecção automóvel esperam, em média, 15min para
serem atendidos. Quando são atendidos, levam em média 20min pela avaliação do problema. Após
a avalição, os automóveis podem não precisar de qualquer arranjo ou precisar de arranjos ligeiros ou
arranjos significativos. O tempo médio de espera por arranjos ligeiros é de 30min, enquanto o tempo
médio de espera por arranjos significativos é 180min. Admita que a percentagem de automóveis
sem qualquer problema é 80%, a percentagem de automóveis com necessidade de reparações ligeiras
é 15% e a percentagem de automóveis com necessidade de arranjos significativos é 5%.
Quais as hipótese que têm que ser consideradas por forma a resolver o problema como uma
cadeia de Markov?
Assumindo essas hipóteses, determine a matriz geradora.
Use as equações diferenciais de Kolmogorov para obter pWM(t) e pWA(t)
Mostre que pWA(t) = 4e−t/20 − 4e−t/15 (com t medido em minutos).
Obtenha uma expressão para pWM(t)
Seja Ti o tempo de espera (em minutos) até que um automóvel vá para casa, dado que o
processo está no estado i
Justifique que TW = 15 + TA
Obtenha expressões para TA, TM e Ts
Calcule TW
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 13 / 13
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