Movimento em 3D

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fabíola Almeida Mendonça 
 
 
 
 
 
 
 
 
Belo Horizonte, 2017 
Fabíola Almeida Mendonça 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Laboratório de Física Geral I: 
Relatório referente à aula de sexta-
feira, dia 01/09/2017, sobre movimento 
em três dimensões, na disciplina de 
Laboratório de Física Geral I, no curso 
de Engenharia Química, na Pontifícia 
Universidade Católica de Minas Gerais 
Professor: Euzimar Marcelo Leite 
 
 
 
 
Belo Horizonte, 2017 
Resumo 
 Neste trabalho são apresentados os resultados da aula prática de 
laboratório de física geral I que tratou de movimento em três dimensões. 
 Ao estudarmos a trajetória de uma partícula adotamos o sistema 
cartesiano com eixos x, y e z para descrever seu movimento no espaço. 
Associando pontos do espaço e números reais. Podendo assim 
demonstrar sua trajetória através de equações e grandezas relacionadas 
a ela. 
 Palavra-chave: Três dimensões. Movimento. Trajetória. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
1.INTRODUÇÃO .................................................................................................4 
 2.DESENVOLVIMENTO..................................................................................5-7 
2.1OBJETIVO GERAL........................................................................................5 
2.2PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS.......................................................6-7 
2.3RESULTADOS...........................................................................................7-8 
 3.CONCLUSÃO................................................................................................9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.INTRODUÇÃO 
 Em Física é fundamental estudar o movimento de uma partícula e o 
estudo do movimento só é possível a partir do conceito de localização da 
partícula em relação a um ponto considerado como origem de um sistema 
de coordenadas escolhido por nós. Nesta pratica utilizamos o plano 
cartesiano do R3 para estudarmos o movimento da esfera. 
 A partir da localização da partícula em relação a origem do sistema de 
coordenadas, podemos dizer se sua posição é fixa ou varia em relação ao 
tempo. Se ela é fixa a partícula está em repouso senão está em 
movimento. Quando sua posição varia estudamos o movimento medindo 
intervalos de tempo com cronômetros. 
 Quando a partícula se move ao longo do tempo podemos 
escrever as coordenadas como funções do tempo x(ݐ), y(ݐ) e z(ݐ), sendo 
o instante de tempo t a variável comum a todas coordenadas, chamada 
de parâmetro. O conjunto de pontos do espaço tridimensional por onde a 
partícula passa determina a trajetória da partícula, sendo que a cada 
ponto da trajetória localizamos a posição da partícula através de um vetor 
posição ⃗ݎ = ݔ݅ + ݕ݆ + ݖ݇. 
 Para dois pontos quaisquer A e B da trajetória a localização 
desses pontos é feita através dos vetores posição ݎ௔ =ሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ ݔ௔݅ + ݕ௔݆ + ݖ௔݇ e 
ݎ௕ =ሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ ݔ௕݅ + ݕ௕݆ + ݖ௕݇. Para estudar o quando a partícula se desloca entre 
A e B, definimos o vetor deslocamento da partícula entre esses pontos 
como sendo ∆⃗ݎ=ݎ௔ሬሬሬ⃗ -ݎ௕ሬሬሬ⃗ .A partir do conceito de deslocamento e do 
intervalo de tempo para ocorrer o deslocamento, podemos definir o vetor 
velocidade média da partícula entre os pontos A e B. O vetor velocidade 
média é definido como ݒ௠௘ௗሬሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ =
∆௥⃗
∆௧⃗
. 
De acordo com essa definição, o vetor ݒ௠௘ௗሬሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ possui a mesma direção e 
sentido do vetor deslocamento ∆⃗ݎ. Há também o conceito de velocidade 
escalar média, definida como a razão entre a distância percorrida pela 
partícula e o intervalo de tempo necessário para percorrer essa distância 
ݒ௘௠=
ௗ௜௦௧â௡௖௜௔ ௧௢௧௔௟ ௣௘௥௖௢௥௥௜ௗ௔ ௣௘௟௔ ௣௔௥௧௜௖௨௟௔
ூ௡௧௘௥௩௔௟௢ ௗ௘ ௧௘௠௣௢
 
 
 
 2. DESENVOLVIMENTO 
2.1 OBJETIVO GERAL 
Aprender a construir os vetores posição de uma partícula como uma 
combinação linear de vetores unitários, calcular os vetores deslocamento 
e velocidade média e calcular a velocidade escalar média. 
2.2 PROCEDIMENTO 
Material utilizado: 
Esfera, cronômetro e régua. 
Descrição do experimento 
1. Escolha de um sistema de coordenadas cartesianas: Usando uma das 
extremidades da mesa como origem de um sistema de coordenadas 
cartesianas, estabeleça o sentido para os eixos coordenados x, y e z. É a 
partir da escolha de um ponto de referência como sendo a origem e da 
orientação dos eixos que as coordenadas cartesianas de qualquer ponto 
da trajetória são encontradas. 
2. Encontrando as coordenadas ݔ௔, ݕ௔, ݖ௔ ݁ ݔ௕, ݕ௕, ݖ௕ .Utilizando uma trena 
meça os valores das coordenadas e para dois pontos A e B da rampa. Os 
valores medidos serão as coordenadas dos pontos A e B. 
3. Construção dos vetores posição: Os vetores posição associados aos 
pontos A e B são, respectivamente, ݎ௔ =ሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ ݔ௔݅ + ݕ௔݆ + ݖ௔݇ e ݎ௕ =ሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ ݔ௕݅ +
ݕ௕݆ + ݖ௕݇ . Substitua as coordenadas encontradas acima e encontre os 
vetores posição ݎ௔ሬሬሬ⃗ e ݎ௕ሬሬሬ⃗ . 
 4. Verificação dos valores das coordenadas encontradas: Com as 
coordenadas dos pontos A e B podemos encontrar o módulo dos vetores 
posição ݎ௔ሬሬሬ⃗ e ݎ௕ሬሬሬ⃗ através do cálculo |ݎ௔ሬሬሬ⃗ |=ඥݔ௔ଶ + ݕ௔ଶ + ݖ௔ଶ e |ݎ௕ሬሬሬ⃗ |=ඥݔ௕
ଶ + ݕ௕
ଶ + ݖ௕
ଶ 
.Calcule os módulos dos vetores posição acima e verifique, usando a 
trena, se os resultados obtidos são coincidentes com as distâncias entre 
a origem e o ponto A e entre a origem e o ponto B. 
5. Construção do Vetor deslocamento: Com os vetores ݎ௔ሬሬሬ⃗ e ݎ௕ሬሬሬ⃗ podemos 
construir o vetor deslocamento ∆⃗ݎ, com origem no ponto A e extremidade 
no ponto B. Como ∆⃗ݎ=ݎ௔ሬሬሬ⃗ -ݎ௕ሬሬሬ⃗ , construa o vetor ∆⃗ݎ =(∆ݔ)݅ + (∆ݕ)݆ + (∆ݖ)݇ 
6. Verificação do vetor deslocamento obtido: Calcule o módulo do vetor 
deslocamento |∆⃗ݎ| = ඥ∆ݔଶ + ∆ݕଶ + ∆ݖଶ. O resultado do módulo deve ser 
igual ao comprimento do segmento de reta que liga os pontos A e B. 
Usando a trena, verifique essa igualdade. 
7. Medida do intervalo de tempo: Um dos nossos objetivos é determinar o 
vetor velocidade média da esfera entre os pontos A e B. Para isso 
precisamos medir o intervalo de tempo necessário para que a esfera 
percorra a trajetória entre esses pontos. Para medir esse intervalo de 
tempo libere a esfera do ponto A e simultaneamente, acione o cronômetro. 
Quando a esfera passar pelo ponto B, pare o cronômetro. A leitura no 
cronômetro será o valor de t. O intervalo de tempo t é uma medida que 
não se reproduz se a medida for feita mais de uma vez (iremos ver esse 
tipo de medida e como trabalhar com ela na prática da próxima semana). 
Pelo fato de haver um valor diferente para cada medida do intervalo de 
tempo, iremos repetir a medida 5 vezes e escolher o valor de t como 
sendo o valor médio. Preencha a tabela abaixo e na última coluna 
complete com o valor. 
∆t=૚
૞
∑ ∆࢚࢏
૞
࢚ୀ૚ 
∆࢚૚(࢙) ∆࢚૛(࢙) ∆࢚૜(࢙) ∆࢚૝(࢙) ∆࢚૞(࢙) ∆࢚(࢙) 
0,40 0,34 0,50 0,51 0,54 0,45 
 Tabela 1: Medidas dos intervalos de tempo em que a esfera cai. 
8. Vetor velocidade média: Conhecendo o vetor deslocamento e o 
intervalo de t, que calculamos no item anterior, podemos calcular o vetor 
velocidade média a partir da equação ݒ௠௘ௗሬሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ =
∆௥⃗
∆௧⃗
=
∆௫
∆௧⃗
݅ +
∆௬
∆௧⃗
݆ +
∆௭
∆௧⃗
݇ Faça 
os cálculos e escreva o vetor ݒ௠௘ௗሬሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ em termos dos vetores unitários i, j e 
k. 
 9. Módulo da velocidade média: Agora que temos o vetor velocidade 
médiapodemos encontrar o módulo desse vetor, ou seja o valor da 
velocidade média através da equação |ݒ௠௘ௗሬሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ | = ටቀ
∆௫
∆௧
ቁ
ଶ
+ ቀ
∆௬
∆௧
ቁ
ଶ
+ ቀ
∆௭
∆௧
ቁ
ଶ
 
10. Velocidade escalar média: Podemos agora calcular a velocidade 
escalar média e comparar o resultado com o valor obtido com o módulo 
da velocidade média calculado acima. Com a trena meça o comprimento 
da curva entre os pontos A e B. O valor da velocidade escalar média é 
calculado por ݒ௘௠ =
ௌ஺஻
∆௧
. Compare os resultados de |ݒ௠௘ௗሬሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ | e de ݒ௘௠. 
Questões 
11-a. Compare o valor do módulo da velocidade média calculado acima 
com o resultado da fração |∆⃗ݎ|/∆t , sendo que o valor de |∆⃗ݎ| foi calculado 
no item 6 e t no item 7. Os valores de |ݒ௠௘ௗሬሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ | e |∆⃗ݎ|/∆t são iguais ou 
diferentes? O que você esperava obter e por quê? 
b. Mostre que a igualdade ∆⃗ݎ=ݎ௔ሬሬሬ⃗ -ݎ௕ሬሬሬ⃗ é obtida a partir da regra do 
paralelogramo que foi estudada em Geometria Analítica. 
2.3. Resultados 
2- Ponto A: (95,5; 55,9; 23,4)cm. 
Ponto B:(36,6; 37,4; 1,9)cm. 
3- ݎ௔ =ሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ (95,5 i+55,9j+23,4k)cm e ݎ௕ =ሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ (36,6݅ + 37,4݆ + 1,9݇)ܿ݉. 
4- |ݎ௔ሬሬሬ⃗ |=(ඥ95,5ଶ + 55,9ଶ + 23,4ଶ)ܿ݉ =113,10cm 
 |ݎ௕ሬሬሬ⃗ |=(ඥ36,6ଶ + 37,4ଶ + 1,9ଶ)ܿ݉=52,363cm 
5- ∆⃗ݎ(݉݁݀݅݀݋) = 63,4cm 
∆⃗ݎ=ݎ௔ሬሬሬ⃗ -ݎ௕ሬሬሬ⃗ =(95,5 i+55,9j+23,4k)cm -(36,6݅ + 37,4݆ + 1,9݇)ܿ݉= 
∆⃗ݎ =(∆ݔ)݅ + (∆ݕ)݆ + (∆ݖ)݇=(58,9݅ + 18,5݆ + 21,5݇)cm 
6- |∆⃗ݎ| = (ඥ58,9ଶ + 18,5ଶ + 21,5ଶ)ܿ݉ = 65,3 ܿ݉ 
8- ݒ௠௘ௗሬሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ =
∆௥⃗
∆௧⃗
=
∆௫
∆௧⃗
݅ +
∆௬
∆௧⃗
݆ +
∆௭
∆௧⃗
݇ → (
ହ଼,ଽ
଴,ସହ௦
݅ +
ଵ଼,ହ
଴,ସହ௦
݆ +
ଶଵ,ହ
଴,ସହ௦
݇)cm→ 
ݒ௠௘ௗሬሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ = (130,88i+41,11j+47,77k) cm/s 
9- |ݒ௠௘ௗሬሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ | = ට(
ହ଼,ଽ
଴,ସହ
)ଶ + (
ଵ଼,ହ
଴,ସହ
)ଶ + (
ଶଵ,ହ
଴,ସହ
)ଶcm→ 145,27cm/s 
10- ݒ௘௠ =
ௌ஺஻
∆௧
 →଺ଷ,ସୡ୫
଴,ସହ௦
→ 140,88 cm/s 
11-a. |ݒ௠௘ௗሬሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ | = 145,27cm/s 
|∆⃗ݎ|/∆t=଺ହ,ଷ௖௠
଴,ସହ௦
=145,11cm/s 
Os valores são diferentes, já era esperado a diferença entre eles devido a erros 
durante a pratica que levaram a isto. 
b. Utilizamos a regra do paralelogramo que nos permite encontrar o vetor 
deslocamento através da subtração das retas que vão da origem até o ponto A 
e B através do prolongamento destes vetores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.CONCLUSÃO 
 Através dos resultados desta prática (que aconteceu no dia 
01/09/2017) aprendemos a associar pontos do espaço com o plano do R3, 
e fazer cálculos do comportamento de uma partícula nele. 
 Foi demonstrada nessa pratica, novamente, a diferença entre os valores 
esperados e os obtidos devido a erros de medida. 
 A finalidade da prática era aprender a construir os vetores posição de 
uma partícula como uma combinação linear de vetores unitários, calcular os 
vetores deslocamento e velocidade média e calcular a velocidade escalar 
média, que foi alcançada.