Winplot - conceito

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O USO DO SOFTWARE WINPLOT NA DISCUSSÃO DO GRÁFICO DA 
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS E O GRÁFICO DE 
SUA FUNÇÃO
Gisela Hernandes Gomes
Universidade Presbiteriana Mackenzie
giselah@mackenzie.com.br
Silmara Alexandra da Silva Vicente
Universidade Presbiteriana Mackenzie
silmara@mackenzie.com.br
Introdução
Diversas pesquisas na área de Educação Matemática vêm sendo realizadas em 
decorrência das dificuldades encontradas por alunos de graduação nas disciplinas 
referentes aos conteúdos básicos. Estes estudos apontam que os alunos não atingem seus 
propósitos e que as dificuldades encontradas se tornam fatores de grande reprovação e 
conseqüente desistência destas carreiras.
O Cálculo Diferencial e Integral é uma das disciplinas básicas mais importantes 
para os cursos de Ciências Exatas e em especial os de Engenharia, possibilitando o 
estudo e a modelagem de problemas reais das mais diversas áreas de sua atuação 
profissional. Apesar de ser uma das mais tradicionais ainda é, muitas vezes, apresentada 
com ênfase nas técnicas operatórias ao invés da compreensão de conceitos, servindo 
como instrumento para a resolução dos problemas de Engenharia e não como um 
instrumento de análise que permite a formulação, a modelagem e a conseqüente 
resolução desses problemas.
Para Cury (2000) aprender os fundamentos dessa disciplina é obviamente 
diferente de memorizar definições, manipular fórmulas e aplicá-las em problemas 
padronizados.
No contexto brasileiro, instituições e associações vêm propiciando encontros e 
debates acerca do ensino da Engenharia, tais como as discussões e propostas da 
Reengenharia do Ensino da Engenharia (REENGE), do Programa de Modernização e 
Valorização das Engenharias (PROMOVE) e o Congresso Brasileiro de Ensino de 
Engenharia (COBENGE).
O objetivo desse trabalho é relatar uma experiência realizada com alunos de 1º 
semestre do curso de Engenharia Civil da Universidade Presbiteriana Mackenzie 
apresentando uma proposta metodológica para abordar a relação entre os sinais do 
gráfico da derivada de uma função f(x) e o gráfico dessa função utilizando uma 
tecnologia que permite a representação gráfica dessas funções.
As pesquisas realizadas sobre o conceito de derivada
Estudos referentes ao ensino do Cálculo têm sido destaque em diversas 
discussões e pesquisas da Educação Matemática; e pesquisadores têm apresentado 
trabalhos pertinentes e relevantes ao objeto de estudo desse trabalho.
Em 1992, Nemirovsky e Rubin estavam interessados nas causas de mudanças 
nos pensamentos dos estudantes sobre derivadas, especificamente as de uma função e 
sua derivada que possa não se assemelhar uma a outra, ao contrário da maioria das 
noções preconcebidas dos alunos. Eles trabalharam com estudantes de escola secundária 
que não tiveram contato com a disciplina de Cálculo. Os pesquisadores criaram três 
diferentes ambientes baseados em laboratórios com microcomputadores nos quais os 
alunos puderam explorar a relação entre uma função e sua derivada. As atividades 
envolveram: um sensor de movimento que produziu gráficos da posição e velocidade de 
um carro durante em um determinado intervalo de tempo; um sensor de fluxo de ar que 
produziu gráficos do volume de ar de um balão e a taxa de fluxo de ar no balão e a 
terceira envolveu integração numérica. Na análise das entrevistas realizadas, 
Nemirovsky e Rubin concluíram que os estudantes tendem a resolver problemas de 
predição entre uma função e sua derivada assumindo semelhanças parciais entre elas, 
principalmente em contextos físicos.
Villarreal (1999), pesquisadora associada ao Grupo de Pesquisa em Informática, 
Outras Mídias e Educação Matemática (GPIMEM), apresenta em sua tese de doutorado, 
compreensões sobre processos de pensamento matemático de estudantes de Cálculo 
Diferencial e Integral que trabalham em ambiente computacional, abordando questões 
matemáticas relacionadas ao conceito de derivada. Para a autora,
dentre as múltiplas potencialidades que o computador oferece 
para a Educação Matemática, poder-se-ia dizer que o processo 
de visualização por ele favorecido ocupa um lugar privilegiado. 
Ao mesmo tempo, a importância da visualização no ensino, 
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aprendizagem e construção dos conceitos de Cálculo é indicada 
como fundamental por muitos autores. Assim, a visualização se 
transforma em um denominador comum nas pesquisas que 
relacionam Cálculo e computadores (VILLAREAL, 1999, p.43).
Embora o processo de visualizar esteja intimamente ligado aos trabalhos que 
envolvem ensino e computadores, para Frant (2002) a imagem não depende apenas da 
visualização, mas sobre tudo da linguagem que a constitui. No I Colóquio de História e 
Tecnologia no Ensino da Matemática (HTEM), Frant pôs em debate o papel do corpo e 
da tecnologia na cognição matemática apresentando um estudo de caso com alunos de 
licenciatura e analisando suas produções de significados quando envolvidos em 
atividades matemáticas com calculadoras gráficas e sensores CBR1. Em especial, se 
deteve a olhar como professores e alunos de matemática constroem e interpretam 
gráficos de funções lineares que representam movimento.
Em julho de 2004, no 10º International Congress Mathematical Education 
(ICME) realizado na Dinamarca, o Topic Study Group 12, Pesquisa e Desenvolvimento 
no ensino e aprendizagem do Cálculo, trouxe para discussão e reflexão uma visão da 
evolução da prática e pesquisas sobre o ensino e aprendizagem do Cálculo. Além da 
reflexão, o grupo teve por objetivo iluminar futuras pesquisas sobre o ensino e 
aprendizagem do Cálculo e algumas perguntas nesse evento foram levantadas:
Qual é o papel da tecnologia no ensino do cálculo?
Como podemos caracterizar e categorizar os modos de usar novas tecnologias 
para ensinar cálculo e análise matemática mais profundamente? 
Como avaliamos o uso de novas tecnologias no aprendizado dos estudantes?
Diante desses e outros questionamentos, nossa experiência como docentes e 
pesquisadoras nos levou a elaborar uma atividade que pudesse propiciar a compreensão 
do conceito do gráfico da derivada de uma função e o gráfico dessa função usando o 
software Winplot. 
A atividade
A disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I na Escola de Engenharia da 
Universidade Presbiteriana Mackenzie tem uma carga horária de 6 aulas (50 minutos 
cada aula) semanais e estão divididas em 4 aulas teóricas e 2 aulas teóricas-práticas. As 
1 Calculator Base Range – sensor de distância
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aulas teóricas-práticas são trabalhadas com a metade da turma, ou seja, enquanto uma 
parte da turma está assistindo às aulas de Cálculo, a outra metade, pode, por exemplo, 
estar assistindo à aula de laboratório de Física. Essa divisão propicia um ambiente no 
qual o professor e aluno podem estabelecer uma relação mais próxima facilitando a 
detecção das dificuldades encontradas pelos alunos em determinados assuntos e 
promovendo a integração aluno/professor e aluno/aluno de tal forma que o aluno tenha 
mais espaço para a discussão dos conceitos vistos em aula. 
Os principais tópicos abordados nessa disciplina são: estudo das funções reais de 
uma variável real, limites, continuidade, derivadas e suas aplicações, integrais, 
primitivas, integral de Riemann e aplicações (cálculo de área e volume).
A atividade foi elaborada no 1º semestre de 2005 e aplicada a 36 alunos 
ingressantes do curso de Engenharia Civil no horário destinado à aula teórica-prática.Antes da aplicação dessa atividade foi abordada em aula a teoria relacionada à 
construção do gráfico de uma função através do estudo dos sinais da 1ª e 2ª derivadas 
dessa função. A importância do estudo desse tópico, em especial, se deve as futuras 
aplicações feitas pelos alunos do curso de Engenharia Civil que vão desde os problemas 
de otimização até os mais específicos da Mecânica dos Sólidos que abordam força 
cortante2 e momento fletor3.
Após a explanação da teoria de como as derivadas influenciam na construção do 
gráfico de uma função, os alunos foram levados ao laboratório de informática e lhes foi 
apresentado o software Winplot. O primeiro contato teve como intuito explorar a 
ferramenta e verificar a digitação de funções na forma explícita.
Na aula seguinte, feita em classe, cada aluno deveria escolher uma função que 
envolvesse, pelo menos, a multiplicação ou a divisão de duas funções. Como por 
exemplo: f(x) = x2.senx ou f(x) = x
senx
. A professora anotou a função dada por cada 
aluno e não poderia haver repetição de escolhas, coibindo dessa forma que um aluno 
fizesse e os outros copiassem.
A atividade consistiu em cada aluno esboçar o gráfico da função escolhida e o 
gráfico de sua derivada usando o Winplot. Depois de copiarem os gráficos para um 
editor de texto, cada aluno representou os sinais da derivada e o crescimento e 
2 Força de cisalhamento, ou seja, fenômeno de deformação ao qual um corpo está sujeito quando as 
forças sobre ele agem provocam um deslocamento em planos diferentes, mantendo o volume constante.
3 Os materiais possuem uma capacidade limitada de suportar torque, mais especificamente chamado de 
momento fletor.
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decrescimento correspondente na função. Essa tarefa deveria ser feita em casa, ou nos 
laboratórios da Universidade, e entregues a professora após uma semana. Dessa forma, 
pudemos colher alguns resultados de como os alunos compreendem a relação do gráfico 
da derivada de uma função e o gráfico da função. Alguns trabalhos foram escolhidos 
para que possamos ilustrar a riqueza de informações.
Na Figura 1, a aluna 14 explorou os sinais da função derivada com seu respectivo 
crescimento e decrescimento na função f(x) = senx(x2 + x) + cos x, indicando com as 
flechas para cima e para baixo. Ela também se ateve aos pontos de máximos e mínimos 
da função escolhida, no qual, além de marcar uma reta tangente em cada um desses 
pontos, indicou o coeficiente angular dessa reta (m = 0). É interessante observar o fato 
da aluna relacionar com uma reta pontilhada, no sentido vertical, os pontos de máximos 
e mínimos aos pontos no qual a derivada equivale a zero.
4 O nome dos alunos foi preservado.
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Figura 1
O aluno 2 além de representar os intervalos na qual a função f(x) = x3cosx é 
crescente ou decrescente com a flecha para baixo e para cima, indicou o m negativo e 
positivo respectivamente aos intervalos da derivada com os sinais de menos e mais, 
como ilustrado na Figura 2. Essa indicação nos leva a acreditar que o fato do coeficiente 
angular da reta tangente ser negativo ou positivo, para esse aluno, está atrelado ao 
crescimento ou decrescimento da função.
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Figura 2
O aluno 3 associou os intervalos de crescimento e decrescimento da função 
f(x) = lnx.cosx com os sinais positivos e negativos de sua função derivada em cores 
distintas como ilustra a Figura 3.
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Figura 3
O Winplot possui um recurso que pode nos fornecer o gráfico da função 
derivada sem digitarmos a sua respectiva função. Basta digitar a função desejada e no 
quadro inventário selecionarmos o botão “derivada”. Para escondermos a função 
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digitada inicialmente clica-se no botão “mostrar gráfico” e ela fica escondida, 
aparecendo apenas o gráfico da função derivada.
Nota-se que o aluno 4, apesar de indicar os pontos de máximos e mínimos 
associados aos pontos do qual a primeira derivada vale zero e os sinais positivos e 
negativos da primeira derivada aos intervalos de crescimento e decrescimento da 
função, não digitou a função derivada para obter o gráfico, pois seu registro não condiz 
com o desenho da função, como ilustrado na Figura 4.
Figura 4
Conclusão
O Winplot, como toda ferramenta computacional, propicia ao aluno a 
visualização gráfica e uma maior compreensão dos conceitos estudados em aula. 
Nessa atividade observamos que os alunos ao obterem o gráfico de uma função e 
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o de sua derivada, fizeram a correspondência entre os sinais da função derivada e os 
intervalos de crescimento e decrescimento da função escolhida por eles. No decorrer do 
final do semestre, notamos que os alunos apresentaram uma compreensão maior do que 
em outros semestres quando abordamos os problemas de otimização.
No entanto vale ressaltar que apesar da vantagem visual do software, é 
necessário estarmos atentos às atividades de forma mais ampla, pois para o aluno 4 o 
uso do Winplot o ajudou a desenhar as funções sem mesmo saber derivar corretamente a 
função por ele escolhida. Ele soube comparar os gráficos, sem saber as regras de 
derivação.
Bibliografia
FRANT, J. B. Corpo, Tecnologia e Cognição Matemática. In: HISTÓRIA E 
TECNOLOGIA NO ENSINO DA MATEMÁTICA, 2, 2002, Rio de Janeiro. História e 
Tecnologia no Ensino da Matemática. Rio de Janeiro: Editora IME-UERJ, 2002. p. 
129-139. Disponível: <http://www.ime.uerj.br/~htem2/anaisihtem.pdf>. Acesso: fev. 
2007.
NEMIROVSKY, R.; RUBIN, A. Students’ tendency to assume resemblances between a 
function and its derivative. TERC Communications, Cambridge, MA, 1992. Disponível: 
<http://eric.ed.gov/ERICDocs/data/ericdocs2/content_storage_01/0000000b/80/23/60/e
0.pdf>. Acesso: fev. 2007.
VILLARREAL, M. E. O Pensamento Matemático de estudantes universitários de 
Cálculo e Tecnologias Informáticas. 1999. 402 f. Tese (Doutorado em Educação 
Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual 
Paulista, Rio Claro, 1999.
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