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LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS Física Básica Experimental I Departamento de Física / UFPR Processo de Linearização de Gráficos � O que é linearização ? – procedimento para tornar uma curva que não é uma reta em um reta. – É encontrar uma relação entre duas variáveis, que satisfaça a equação da reta, ou seja, determinar os coeficientes angular e linear da reta ( ). � Por que linearizar ? – A análise de uma reta é mais simples que a análise de uma curva. – O processo de linearização facilita a determinação das leis físicas que governam o experimento que gerou os dados. ax b y += Métodos de Linearização tt ≡′ � 1) Troca de variáveis – A equação que governa o comportamento dos dados deve ser conhecida. – A troca de variáveis permite converter uma equação de uma curva numa equação de reta. – Exemplo: – onde – Obs: Nem todas as equações podem ser convertidas de forma útil. bax y 2 += ⇒ bxa y +′= xx 2=′ y = ax2 – Diferenças entre as retas: Os coef. e sua interpretação são diferentes (1) não passa pela origem (2) passa pela origem Qual o melhor? => quando se conhece o expoente, é melhor a mudança de variável. ln y = ln a + 2 ln x y’ = ln a + 2 x’ x’ = x2 (mudança de variável) y = ax’ y = axα ln y = ln a + α ln x y’ = ln a + α x’ α é o coeficiente angular mudança de variável => NÃO y = ax2 + c ln y = ln (ax2 + c ) NÃO x’ = x2 (mudança de variável) y = ax’ + c y = ax2 + bx + c ln y = ln (ax2 + bx + c ) NÃO x’ = x2 (mudança de variável) y = ax’ + bx 0.5 + c Não é linear => polinômio completo não lineariza Métodos de Linearização � 2) Uso de papéis especiais: mono-log e di-log � Quando um gráfico em papel milimetrado fornece uma curva, ainda assim é possível obter, em casos específicos, gráficos lineares usando papéis mono e di-log. � Este método se aplica quando a equação que governa o comportamento dos dados não é conhecida. � Funciona por tentativa e erro. Os “softwares” matemáticos permitem a troca das escalas linear para logarítmica facilitando o processo. Métodos de Linearização � Tipos de Papéis: milimetrado mono-log di-log E s c a l a l o g a r í t m i c a E s c a l a l o g a r í t m i c a Escala logarítmica � 1) Método das mudanças de variáveis: Exemplo 1 Gráfico das funções do tipo: cbxax (x)y 2 ++= 2 2 2 2 x2 (x)y:)d( 20x2 (x)y:)c( x10x2 (x)y:)b( 20x10x2 (x)y:)a( = += −= +−= lineari zação ⇒ ⇒ ⇒ Mudança de variável 2xx =′ x2(x)y)d( ′=′ 20x2(x)y)c( +′=′ 0 20 40 60 80 100 0 50 100 150 200 250 Y ( c m ) X' (cm2) c' d' 0 2 4 6 8 10 -20 0 20 40 60 80 100 120 Y ( c m ) X (cm) (a) (b) (c) (d) � Mudança de variáveis: Exemplo 2 Gráfico das funções do tipo: X/a(X)Y = X/10(X)Y = lineari zação ⇒ Mudança de variável X 1 X =′ X10)X(Y ′=′⇒ 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 2 4 6 8 10 Y ( c m ) X' (cm-1) 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 12 Y ( c m ) X (cm) � Independentes da forma que foram geradas: � 1) Os campos elétrico ( ) e magnético( ) são perpendiculares a direção de propagação. (onda transversal) � 2) O campo elétrico é perpendicular ao magnético. � 3) O produto vetorial aponta no sentido da propagação da onda. � 4) Os campos variam senoidalmente com a mesma freqüência e estão em fase. – Para uma onda que se propaga na direção x, os campos elétricos e magnéticos são funções senoidais da posição x e do tempo t : PROPRIEDADES IMPORTANTES DAS ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E r B r BE rr × )tkx(senE E m ω−= )tkx(senB B m ω−= �Mudança de variáveis: Exemplo 3 Gráfico da função: Gráfico linearizado onde 10X2 Y −= ⇒ 10X2 Y −′= X X =′ Linearização ⇒ 0 20 40 60 80 100 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 Y ( c m 1 / 2 ) X (cm) 0 2 4 6 8 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 Y ( c m 1 / 2 ) X' (cm1/2) � 2) Uso de Papéis especiais: Monolog e Dilog � Os papéis com escala logarítmica são utilizados para linearizar funções exponenciais � 2.1) Papel monolog Ae Y BX= e2 Y X8,0= Papel milimetrado Papel monolog 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 0 5 10 15 20 25 Y ( c m ) X (cm) 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 1 10 100 (X1,Y1) (X2,Y2) Y ( c m ) X (cm) � Papel monolog (cont.) � Para linearizar em papel milimetrado � Comparando com a equação da reta Ae Y BX= ( ) ( ) BXBX elnAln Aeln Yln +== ( ) BXAln Yln += ⇒ XAB Y ′+′=′ Y)(ln Y =′ linearcoef.AlnB ==′ angularcoef.BA ==′⇒ 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 l n ( Y ) X (cm) 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 0 5 10 15 20 25 Y ( c m ) X (cm) ⇒ � Uso de papéis especiais: � 2.2) Papel dilog AX Y B= 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 Y ( c m ) X (cm) Papel milimetrado Papel dilog 0,01 0,1 1 1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0,1 1 (X2,Y2) (X1,Y1) Y ( c m ) X (cm) X2 Y 4,2= � No Papel dilog: Assim: AX Y B= ( ) ( ) ( ) ( ) XlogAlogAXlog Ylog BB +== ( ) ( ) ( ) XlogBAlog Ylog += XAB Y ′′+′=′ ( )YlogY =′ ( ) Xlog X =′ ( ) Alog B =′ B A =′ � Papel dilog (cont.) � Para linearizar em papel milimetrado: – Após a linearização: ( ) ( ) ( ) XlogBAlog Ylog += XAB Y ′′+′=′ ( )YlogY =′ ( ) Xlog X =′ 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 Y ( c m ) X (cm) -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 l o g ( Y ) log (X) ( ) Alog B =′ B A =′ Papel milimetradoPapel milimetrado Exemplo de confecção de gráfico, linearização e ajuste de reta � Dados obtidos: – Objetivo: Determinar a aceleração a partir das medidas de V e X. � X (cm) 0 15 30 45 60 75 90 V (m/s) 0,691 1,435 1,913 2,293 2,727 3,028 3,237 � 1) unificar as unidades para o mesmo sistema de unidades – Por exemplo, no SI. � 2) Fazer o gráfico: V versus X X (m) 0 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90 V (m/s) 0,691 1,435 1,913 2,293 2,727 3,028 3,237 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 V ( m / s ) X (m) Não é reta!!! � 3) Fazer a linearização: – É necessário conhecer a equação que relaciona as variáveis V e X – Análise: • Este problema é um problema típico de cinemática, que envolve aceleração constante, ou seja, MRUV. • As equações do MRUV são: – A equação que relaciona V com X é: – como 2 attVX X 2 00 ++= atV V 0 += Xa2V V 20 2 Δ+= 0XX X −=Δ aX2V V 20 2 += 0X0 = XX =Δ � 3) Fazer a linearização (cont): – Comparar com a equação da reta e fazer a mudança de variável. – Assim: – coef. linear: – coef. angular: aX2V V 20 2 += XABY ′+= XX =′ 2 0VB = a2A = ⇒ BV0 = ⇒ 2 Aa = 2VY = � 4) Montar uma tabela com as variáveis linearizadas V2 e X. � 5) Fazer o gráfico linearizado, isto é, o gráfico de V2 versus X X' = X (m) 0 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90 Y=V2 (m/s) 0,47748 2,05923 3,65957 5,25785 7,43653 9,16878 10,47817 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 2 4 6 8 10 12 Y ( m 2 / s 2 ) X (m) 2VY= � 6) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ – Calculando o coeficiente angular: X’ V2 Xi Yi Xi2 XiYi 0 0,47748 0,00000 0,00000 0,15 2,05923 0,02250 0,30888 0,30 3,65957 0,09000 1,09787 0,45 5,25785 0,20250 2,36603 0,60 7,43653 0,36000 4,46192 0,75 9,16878 0,56250 6,87659 0,90 10,47817 0,81000 9,43035 Σ 3,15 38,53761 2,04750 24,54164 ( )∑ ∑− ∑∑−∑= 2 i 2 i iiii XXN Y.XY.XN A 2 2 m/s 42813,11)15,3(04750,27 53761,3815,354164,247 A =−× ×−×= � 6) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ (cont.) – Calculando o coeficiente linear B: – Comparar os coeficientes e • calcular a aceleração: • calcular a velocidade inicial V0: XAB Y += N Y Y i∑= N X X i∑= 7/)15,353761,38(42813,11XA YB −×=−= 22/sm 36271,0B = 2/42813,112/Aa == 2m/s 71407,5a =⇒ 36271,0BV0 == ⇒ m/s 60225,0V0 = � 7) Desenhar a melhor reta no gráfico – Escolher dois pontos X1 e X2 e a partir da equação da melhor reta calcular Y1 e Y2 – Exemplo: – pontos da melhor reta: Gráfico com a melhor reta X42813,1136271,0Y += 20,0 X1 = ⇒ 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 2 4 6 8 10 12 Pontos da melhor reta Y =0,36271+11,42813 X Y ( m 2 / s 2 ) X (m) 64834,2)20,0(42813,1136271,0 Y1 =×+= FIM �LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS Processo de Linearização de Gráficos Métodos de Linearização y = ax2�� y = ax2 + bx + c� Métodos de Linearização Métodos de Linearização PROPRIEDADES IMPORTANTES DAS ONDAS ELETROMAGNÉTICAS Exemplo de confecção de gráfico, linearização e ajuste de reta
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