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168430366 CD Prof GM Mat Paiva 2 001a328
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1a edição
Manoel Paiva
Licenciado em Matemática pela Faculdade de Filosofia
Ciências e Letras de Santo André. Mestre em Educação
Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
Professor do ensino fundamental, médio e de cursos
pré-vestibular durante 29 anos.
2
Matemática
Guia do mestre
Paiva
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Caro professor
Sigmund Freud disse certa vez que as funções de
psicanalisar, governar e educar são impossíveis. Provavelmente,
ao fazer essa afirmação, ele tinha em mente a impossibilidade
de tratar de forma global as individualidades humanas.
Polêmicas à parte, temos de reconhecer, pelo menos, a
dificuldade de educar sem considerar cada aluno o que ele é: um ser
único. Essa individualidade, na Educação, não se
limita ao aluno, estendese também ao professor e a todos os
que participam indiretamente desse processo.
Por essa característica humana, a adaptação de uma obra
didática ao complexo sistema de ensinoaprendizagem
depende não só de fatores ponderáveis, como a qualidade dos
textos e das atividades, mas também de agentes imponderáveis,
como a empatia dos envolvidos no processo com o tipo de
abordagem adotado pelo autor. O êxito de uma obra nos aspectos
imponderáveis é o objetivo de todo autor – o êxito no que é
ponderável pode ser aproximadamente estimado.
Apresentamos para o seu julgamento uma obra que
procura seguir as atuais diretrizes do ensino de Matemática e,
principalmente, considerar a individualidade, respeitando limites e
explorando potenciais.
Manoel Paiva
apresentação
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3
Motivações pedagógicas da obra
Ensinar para todos ________________________________________________ 5
A Matemática vai além de suas aplicações práticas ____________________ 5
A linguagem comum e a linguagem matemática _____________________ 5
Aspectos técnicos e pedagógicos da obra
I. A estrutura ___________________________________________________ 6
II. Objetivo das tarefas adicionais __________________________________ 6
III. Objetivo da seção “Matemática sem fronteiras” ___________________ 6
IV. Objetivos gerais da obra ________________________________________ 6
V. Distribuição dos três grandes temas ______________________________ 7
Parte geral
sumário
GM_Mat_Paiva_v2_001a007.indd 3 8/7/09 2:03:28 PM
Parte específica
Resolução das questões
Capítulo 1 – Trigonometria no triângulo retângulo _________________ 8
Capítulo 2 – Circunferência trigonométrica: seno e cosseno _________ 13
Capítulo 3 – Tangente e outras razões trigonométricas _____________ 49
Capítulo 4 – Funções trigonométricas e resolução de triângulos _____ 77
Capítulo 5 – Matrizes _________________________________________ 116
Capítulo 6 – Sistemas lineares __________________________________ 128
Capítulo 7 – Determinantes ____________________________________ 148
Capítulo 8 – Análise combinatória _______________________________ 157
Capítulo 9 – Probabilidade ____________________________________ 194
Capítulo 10 – Geometria espacial de posição ______________________ 215
Capítulo 11 – Ângulos, distâncias e poliedros _____________________ 231
Capítulo 12 – Prismas e pirâmides _______________________________ 245
Capítulo 13 – Corpos redondos _________________________________ 284
GM_Mat_Paiva_v2_001a007.indd 4 8/7/09 2:03:31 PM
Parte geral
motivações pedagógicas
da obra
ensinar Para todos
Entre os princípios nos quais esta obra se fundamen
tou, enfatizamos a inclusão de todos os alunos no pro
cesso de aprendizagem e a possibilidade de escolhas do
conteúdo e do nível de ensino.
Quando destacamos a inclusão de todos os alunos no
processo de aprendizagem, referimonos, principalmente,
ao aluno com grande potencial, que vem sendo excluído do
processo. É uma exclusão velada, da qual pouco se fala.
Como, então, atender às expectativas de todos os alunos
respeitando limites e explorando potenciais?
Este é um dos nossos maiores desafios: ensinar para
todos.
Qualquer aluno necessita de atendimento individual,
e grande parte deles se satisfaz com o curso ministrado.
Alguns, porém, querem mais, e por isso necessitam de
orientações específicas, que transcendem o curso minis
trado. Este livro foi escrito também para eles, pois lhes
oferece material de consulta para estudos mais amplos.
Quando destacamos a possibilidade de escolhas do
conteúdo, nós nos contrapomos à opção por conteúdos
mínimos, que obrigam o professor a ministrar seus cursos
de forma estereotipada, em que os conteúdos, os exercí
cios, a metodologia e as avaliações são sempre os mesmos,
independentemente do aluno. Com a possibilidade de
escolhas, procuramos seguir as diretrizes educacionais
vigentes, que enfatizam a flexibilidade, a autonomia e a
diversidade. Como acatar essas diretrizes se o professor
estiver engessado por uma obra que limita seus procedi
mentos, aquém do seu potencial?
Ao falar da possibilidade de escolhas do nível de ensi
no, referimonos às características regionais, às peculia
ridades da escola e da classe e, mais especificamente, à
individualidade do aluno. Esta obra oferece uma gama
de oportunidades de escolhas quanto ao nível teórico e
ao nível de atividades, atendendo assim às mínimas e
máximas exigências do professor e do aluno.
a matemÁtiCa Vai aLÉm de suas
aPLiCaçÕes PrÁtiCas
“Professor, pra que serve isso?”
Essa pergunta, da qual nenhum professor de Matemá
tica escapa, é absolutamente pertinente, pois é indispensá
vel estabelecer conexões entre o conhecimento matemáti
co e as experiências da vida pessoal, social e produtiva,
explorando os aspectos práticos dos assuntos estudados.
E isso basta?
Infelizmente, para o ensino de Matemática, muitos
educadores entendem que sim.
Essa forma tecnicista de estudar Matemática perde, a
nosso ver, a essência dessa ciência: o simbólico.
O ensino de Matemática calcado apenas nas aplicações
práticas tem vantagens como: possibilidade de compara
ção entre as similaridades do que é familiar e do que é
desconhecido para o aluno; entendimento de um con
ceito por analogias que sistematiza os conhecimentos e
torna as aulas mais atraentes. Porém, essa forma de ensi
no tem desvantagens como: se as analogias estão fora do
contexto socioeconômico e cultural dos alunos, elas po
dem se transformar em um complicador; uma interpre
tação equivocada da analogia pode gerar conceitos
equivocados; um mau direcionamento pode destacar
aspectos irrelevantes do análogo, em detrimento do que
é principal no simbólico.
Certamente poderíamos acrescentar outras vantagens
e desvantagens a essa lista, porém as que destacamos já
são suficientes para justificar a composição entre o simbó
lico e o real, adotada ao longo de toda a obra, o que para
nós é indispensável ao aprendizado de Matemática.
a Linguagem Comum e a
Linguagem matemÁtiCa
Ao pedir a uma pessoa que não conhece Matemática
que escolha um número entre 2 e 3, provavelmente ela
escolherá um deles. Entretanto, ao fazer o mesmo pedi
do a um conhecedor da matéria, a resposta será um
número maior que 2 e menor que 3. Isso porque a pre
posição “entre” tem um significado específico na lingua
gem matemática – e o mesmo ocorre com muitas outras
palavras.
Um importante motivo que leva a Matemática a ado
tar uma linguagem própria é a precisão: a linguagem
comum é insuficiente para a descrição de todos os obje
tos matemáticos.
A linguagem cotidiana deve ser usada no ensino de
Matemática?
É claro que sim. Porém, via de regra, é necessária uma
explicação detalhada, que mostre a diferença entre os sig
nificados da palavra usada no cotidiano e em Matemática.
Nesta obra, faremos a abordagem dos conceitos ma
temáticos transitando pelas duas linguagens.
5Parte geral matemática Paiva
GM_Mat_Paiva_v2_001a007.indd 5 8/7/09 2:03:34 PM
matemática Paiva Parte geral6
aspectos técnicos e
pedagógicos da obra
i. a estrutura
A coleção é formada por três volumes divididos em
capítulos. A teoria é intercalada com questões resolvidas
e questões propostas. Estas são seguidas de remissões
a tarefas adicionais apresentadas em cinco séries de
atividades: Roteiro de estudos, Questões técnicas, Ques
tões contextualizadas, Questõesdesafio e Questões de
revisão cumulativa. Cada capítulo é fechado com a
seção “Matemática sem fronteiras”.
ii. obJetiVo das tareFas
adiCionais
As tarefas adicionais devem ser feitas preferencialmen
te em casa, para que o aluno adquira desembaraço e
autonomia em relação ao assunto estudado. Mais do que
isso, as tarefas adicionais vão revelar dúvidas das quais o
aluno não se deu conta em sala de aula e que devem ser
dirimidas na aula seguinte.
• Roteiro de estudos
As atividades dessa série se propõem a revisar os aspec
tos mais importantes, necessários para a resolução das
questões complementares.
• Questões técnicas
Antes de executar um concerto, um estudante de
música deve passar por exercícios de escalas, até que estas
estejam incorporadas a seus sistemas motor e cognitivo.
Do mesmo modo, entendemos que o aluno de Matemá
tica só terá plenas condições de resolver problemas sobre
determinado assunto quando a técnica necessária estiver
totalmente incorporada. Por isso, as questões técnicas são
fundamentais, pois com elas adquiremse agilidade, auto
confiança e autonomia em relação às técnicas.
• Questões contextualizadas
Durante muitos anos, a Matemática foi ensinada aos
nossos jovens de modo estritamente acadêmico, forman
do cidadãos que carregaram, às vezes por toda a vida, a
falsa ideia de que muito pouco dessa matéria tem utilida
de no dia a dia.
Embora a ciência caminhe sempre à frente do prag
matismo, as questões contextualizadas são necessárias no
ensino de qualquer disciplina, porque o trânsito entre a
teoria e a prática solidifica o aprendizado.
Há divergências em relação à conceituação de con
textualização no ensino de Matemática. Adotaremos o
conceito de “problema contextualizado” como todo
problema que apresente uma situação prática, isto é, que
não seja pura criação teórica.
• Questões-desafio
Uma considerável parcela dos profissionais gosta de
desafios. O que já foi feito é obsoleto, dizem eles. Esses
profissionais foram alunos um dia.
Pensando nesses alunos é que propomos as questões
desafio.
O objetivo delas é propiciar uma autoavaliação do
potencial dos alunos que exigem sempre mais.
• Questões de revisão cumulativa
É comum, durante as aulas, o professor necessitar de
um assunto já estudado e os alunos não lembrarem. As
questões de revisão cumulativa têm o objetivo de mini
mizar esse problema. Geralmente simples, elas destacam
os aspectos mais importantes dos tópicos estudados.
iii. obJetiVo da seção “matemÁtiCa
sem Fronteiras”
Fechando cada capítulo, a seção “Matemática sem
fronteiras” apresenta um breve texto sobre uma aplicação
prática do assunto tratado no capítulo.
Essa seção tem dois objetivos. O primeiro é o mesmo
das questões contextualizadas: permear a teoria matemá
tica e a prática. O segundo é despertar a curiosidade do
aluno para aplicações mais sofisticadas que as apresenta
das nas questões contextualizadas.
iV. obJetiVos gerais da obra
• Apresentar os rudimentos do pensamento científico.
• Propiciar a compreensão da evolução do pensamento
científico por meio da ampliação de conceitos e/ou da
construção de objetos abstratos.
• Mostrar que a ciência caminha à frente das aplicações
práticas imediatas.
• Ampliar as possibilidades de representação por meio da
linguagem matemática, exercitando: a construção de
esquemas, tabelas e gráficos; as argumentações lógicas;
o uso de modelos geométricos ou algébricos etc.
• Transitar pelas várias formas de representação de um
mesmo objeto matemático.
GM_Mat_Paiva_v2_001a007.indd 6 8/7/09 2:03:37 PM
• Estabelecer conexões entre o conhecimento matemático
e as experiências da vida pessoal, social e produtiva.
• Fornecer embasamento científico para a tomada de
decisões por meio de análise de dados.
V. distribuição dos três grandes
temas
Os três grandes temas da Matemática do ensino mé
dio – Funções, Geometria e Trigonometria – são distribuí
dos nos três volumes. O objetivo maior dessa divisão é
fazer que esses temas estejam sempre presentes.
A distribuição da Trigonometria pelos três volumes
merece uma explicação mais detalhada:
• O primeiro volume apresenta uma breve introdução à
Trigonometria. São estudadas as razões trigonométricas
seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo e na
primeira volta positiva da circunferência trigonométrica,
tratando apenas de medidas em grau dos arcos trigo
nométricos. Entendemos que basta essa introdução no
volume 1, porque ela é suficiente para o desenvolvi
mento da Mecânica no curso de Física.
• No segundo volume, é feita uma breve revisão da Tri
gonometria estudada no volume 1, e as ideias são
ampliadas para as infinitas voltas da circunferência tri
gonométrica, considerando agora arcos de medidas em
grau e radiano. São estudadas ainda as funções trigo
nométricas.
• Deixamos para o terceiro volume o estudo de adição
de arcos, arco duplo, transformação em produto e
funções trigonométricas inversas.
Dessa forma, o curso de Trigonometria se completa em
pequenas doses, evitando aquele curso “interminável” e
cansativo que tradicionalmente é ministrado nesse campo.
7 Parte geral matemática Paiva
GM_Mat_Paiva_v2_001a007.indd 7 8/7/09 2:03:38 PM
8 Matemática Paiva Parte específi ca
Parte Específi ca
5. cos 5 0,8 5 810
5 4
5
⇒ cos 5 45
Se é a medida de um ângulo agudo e cos 5 45
,
existe um triângulo retângulo com um ângulo agudo
de medida tal que o cateto adjacente a mede 4 e a
hipotenusa mede 5.
Assim:
4
x
5
�
Pelo teorema de Pitágoras, podemos calcular a me
dida x do cateto oposto a :
x2 1 42 5 52 ⇒ x 5 3
Então, concluímos que sen 5 35
.
6. sen 5 13
, e é a medida de um ângulo agudo.
Então, existe triângulo retângulo tal que:
x
3
1
�
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
12 1 x2 5 32 ⇒ x 5 2 2
Assim, concluímos:
tg 5 12 2 25
1
2
2
2
tg 5 24
7. De acordo com a figura e a tabela, temos:
tg 50° 5 CD BC1AB
⇒ 1,19 5 CD BC130
1
tg 35° 5 BCAB
⇒ 0,70 5 BC30 BC 5 21
2
De 1 e 2 , temos:
CD 1 21
30 5 1,19
⇒ CD 1 21 5 35, 7
CD 5 14,7
Logo, a altura da antena é 14,7 m.
8. a)
d
2 m
terreno
26°
Capítulo 1 Trigonometria no
triângulo retângulo
Questões propostas
1. a) sen 32° 5 x50
x 5 50 sen 32° 5 50 0,53 5 26,5
Portanto: x 5 26,5 cm
b) tg 40° 5 z10
z 5 10 tg 40° 5 10 0,84 5 8,4
Portanto: z 5 8,4 m
c) cos 53° 5 y48
y 5 48 cos 53° 5 48 0,60 5 28,8
Portanto: y 5 28,8 dm
2. a) sen 5 ABBC 5
3
5 5 0,6
b) Pelo teorema de Pitágoras, vamos calcular AC.
(AC )2 1 (AB)2 5 (BC )2
(AC )2 1 9 5 25
(AC )2 5 16
Portanto: AC 5 4 cm
Então:
cos 5 ACBC 5
4
5 5 0,8
c) tg 5 ABAC
5
3
4 5 0,75
3. a) tg 54° 5 sen °cos 54°
54 0,81
0,595 1,37
b) tg 54° 5 x100
⇒ x 100 1,37
Portanto: x 137
4. Como 40° e 50° são ângulos complementares, temos
cos 50° 5 sen 40°; portanto:
E 5 sen ° cos °tg °
40
40
1 50 5 sen ° sen °sen °
°
cos
40 40
40
40
1 5
5 2 sen 40° cos °sen °
40
40 5
2 40 40
40
sen °
°
sen °
cos
5
5 2 cos 40° 5 2 0,77 5 1,54
Portanto: E 5 1,54
Resolução das questões
GM_Mat_Paiva_v2_008a012.indd 8 7/31/09 9:14:25 AM
9 Parte específi ca Matemática Paiva
sen 26° 5 2d
⇒ d 20 43,
d 4,65
Portanto, o carrinho percorrerá
aproximadamente 4,65 m até o final da rampa.
b)
y
x
4 m
terreno
26°
sen 26° 5 y4
⇒ y 4 0,43 y 1,72
tg 26° 5 yx
⇒ x 1 72
0 48
,
,
⇒ x 3,58
Portanto, o deslocamento horizontal do carrinho
será de aproximadamente 1,72 m e o vertical, de
aproximadamente 3,58 m.
Notas:
1. Admitimos que a distância 4 metros foi percorrida no
final da rampa. O resultado, porém, teria sido o mesmo
se tivéssemos considerado essa distância percorrida
em qualquer outro trecho da rampa.
2. Poderíamos ter usado o cos 26° para o cálculo do deslo-
camento horizontal x.
9. Se sen 5 0,6 5 35 e é a medida de um ângulo
agudo, existe um triângulo retângulo tal que:
x
5
3
�
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
x2 1 32 5 52 ⇒ x 5 4
Portanto: tg 5 34
Indicando por h a medida da altura tBC da Torre Eiffel,
esquematizamos:
A B
h
C
400
�
Logo:
tg 5 h400
⇒ 34 400
5
h h 5 300
Concluímos, então, que a Torre Eiffel tem 300 m de
altura.
10. Com os dados da figura, podemos concluir que:
tg 30° 5 y x4 1
⇒ y 5 (4 1 x) tg 30° I
tg 60° 5 yx
⇒ y 5 x tg 60° II
De I e II , temos:
(4 1 x) tg 30° 5 x tg 60° ⇒
⇒ (4 1 x) 33 5 x 3
4 1 x 5 3x ⇒
⇒ 2x 5 4
x 5 2
Substituindo x por 2 em II , temos:
y 5 2 tg 60° ⇒ y 5 2 3
Alternativa b.
11. Com os dados da figura, podemos concluir que:
tg 45° 5 BD ADAC
1 ⇒
⇒ 1 5 BD 1 5AD AD 5 BD 1 5
tg 30° 5 ADAC
⇒ 33
5
5
AD AD 5 5 3
Logo, BD 1 5 5 5 3 ⇒
⇒ BD 5 5 3 2 5 5 5 3 1–( )
Portanto, a medida do segmento tBD é 5 3 1– .( )
12. O ponto O equidista dos lados do ângulo B BAC; logo,
AO- é bissetriz desse ângulo e, portanto,
m(B BAO) 5 m(C BAO) 5 30°.
Indicando por r a medida do raio da circunferência,
temos:
A
B
C
O
r
10
30°
30°
r
tg 30° 5 r10
⇒
⇒ 3
3 5
r
10
r 5 10 33
Assim, a medida do raio da circunferência é
10 3
3 cm.
13. Esquematizando a situação, temos:
A
B
C
30°
100 m
45°
D
GM_Mat_Paiva_v2_008a012.indd 9 7/31/09 9:14:55 AM
10 Matemática Paiva Parte específica
Assim:
tg 30° 5 BCAB
⇒ 33 100
5
1
BC
BD
1
tg 45° 5 BCBD
⇒ 1 5 BCBD BC 5 BD 2
De 1 e 2 , temos:
3
3 1005 1
BC
BC
⇒ 3 100( )1 BC 5 3 BC
3 3–( )BC 5 100 3 ⇒ BC 5 100 33 – 3
BC 5 50 3 11( ) 137
Logo, a altura da parte emersa é 50 3 11( ) m ou,
aproximadamente, 137 m.
14. Com base na figura, temos:
a
C Ab
B (Norte)
(Oeste)
60°
60 km
120°
m(ABCB) 5 60°
sen 60° 5 60a
⇒ a 5 60
2
3
a 5 40 3
tg 60° 5 60b
⇒ b 5 60
3
b 5 20 3
a 1 b 5 40 3 1 20 3 5 60 3
Alternativa c.
Roteiro de estudos
1. Ver “Razões trigonométricas no triângulo retângulo”,
na página 9.
2. Dois ângulos são complementares quando a soma de
suas medidas é 90°.
3. Ver a consequência (1), na página 10.
4. Ver a consequência (2), na página 10.
5. Vamos considerar o quadrado e o triângulo equilátero
a seguir:
A B
CD
45°
1
1
1 1
45°
√2
E F
G
M
30°
60°
1 1
1
1
2
60°
30°
√3
2
1
2
Do triângulo retângulo ABC, temos:
sen 45° 5 ABAC
5 5
1
2
2
2
cos 45° 5 BCAC 5 5
1
2
2
2
tg 45° 5 ABBC
5 5
1
1
1
Do triângulo retângulo GMF, temos:
sen 30° 5 EM
EG 5 5
1
2 1
21
cos 30° 5 GMEG
5 5
3
2 3
21
tg 30° 5 EMGM
5 5
1
2
2
1
2
3
2
3
1
3
3
3
5 5
sen 60° 5 GMEG
5 5
3
2 3
21
cos 60° 5 EMEG
5 5
1
2 1
21
tg 60° 5 GMEM
5 5
3
2
1
2
3
2
2
1
3
1
35 5
Deduzimos, assim, os valores do seno, do cosseno e
da tangente de todos os ângulos notáveis.
Questões complementares
Questões técnicas
1. Pelo teorema de Pitágoras, temos:
(BC )2 5 (AB)2 1 (AC )2 ⇒
⇒ (3x 2 2)2 5 52 1 (2x 1 2)2
9x2 2 12x 1 4 5 25 1 4x2 1 8x 1 4 ⇒
⇒ 5x2 2 20x 2 25 5 0
x2 2 4x 2 5 5 0 ⇒ x 5 5 ou x 5 21 (não convém)
Portanto, x 5 5; assim:
AB 5 5, AC 5 12 e BC 5 13
Logo:
a) sen 5 ABBC
5
5
13
b) cos 5 ACBC
5
12
13
c) tg 5 ABAC
5
5
12
2. tg 42° 5 sencos
42
42 1
°
°
5
1
x
x
⇒
⇒ 0 67
1
,
0,74
5
1
x
x
GM_Mat_Paiva_v2_008a012.indd 10 8/1/09 9:50:24 AM
11 Parte específica Matemática Paiva
0,74x 5 0,67x 1 0,67 ⇒
⇒ 0,07x 5 0,67
x 5 0 67,0,07 9,57
Portanto, o valor mais próximo de x é 10.
Alternativa d.
3. No ponto B, podemos observar que:
1 90° 1 5 180° ⇒ 1 5 90°
Então, e são complementares e, portanto,
sen 5 cos .
a) sen 5 cos 5 0,62
b) sen 5 CDBD
⇒ 0,62 5 15x
x 5 150 62,
⇒ x 24,2
Assim, concluímos que a medida da hipotenusa tBD é,
aproximadamente, 24,2 cm.
4. tg 5 2 e é a medida de um ângulo agudo.
Então, existe triângulo retângulo tal que:
1
2
x
�
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
x2 5 12 1 22 ⇒ x 5 5
Assim, concluímos:
sen 5 2
5
2 5
5
5
cos 5 1
5
5
55
5. Se cos 5 23 e é a medida de um ângulo agudo,
existe um triângulo retângulo tal que:
2
3y
�
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
y2 1 22 5 32 ⇒ y 5 5
Portanto: sen 5 53 (I).
Do triângulo retângulo apresentado no enunciado da
questão, obtemos:
sen 5 5x (II)
Por (I) e (II), concluímos:
5 5
3x
5 ⇒ x 5 3 5
6. Seja M o ponto comum aos segmentos tAB e tCD.
Como o quadrilátero ABCD é simétrico em relação a
tAB, temos tAB ⊥ tDC e MD 5 MC. Indicando por x e y
as medidas MB e MD, respectivamente, obtemos:
60°30°
80 – x
A B
D
C
y
y
M x
Logo:
tg 30° 5 y x
y
x80
3
3 80
5
– –
⇒ 1
tg 60° 5 y
x
⇒ 3 x 5 y 2
De 1 e 2 , temos:
3
80
3
3
x
x
5
– ⇒ x 5 20
Substituindo x 5 20 em 2 , obtemos:
y 5 3 x ⇒ y 5 20 3 DC 5 40 3 cm
ÁreaADBC 5
AB DC
2
80 40 3
2
5 cm2 5
5 1 600 3. cm2
Ou ainda:
ÁreaABCD 5 0 16 3, m
2
Alternativa b.
Questões contextualizadas
7. Sendo a e x as medidas em metros de tEF e tBC, res
pectivamente, temos:
0,75 m
A
E
DC
B F
a
5,25 – ax
� �
EF 1 FC 5 5,25
sen 5 AEFE ⇒ 0,6 5
0 75,
a a 5 1,25
1
sen 5 BCFC ⇒ 0,6 5
x
a5 25, –
2
De 1 e 2 , temos:
0,6 5 x5 25 1 25, – , ⇒ x 5 0,6 4 x 5 2,4
Logo, a largura BC é 2,4 m.
GM_Mat_Paiva_v2_008a012.indd 11 7/31/09 9:15:52 AM
12 Matemática Paiva Parte específica
8. Sendo h a altura do paredão, temos:
tg 70° 5 h h50
70
50
⇒ sen °
cos 70°
5
0 94
0 34 50
,
,
5
h ⇒
⇒ h 2,76 50 5 138
Portanto, a altura do paredão é, aproximadamente,
138 m.
9. Se sen 5 513 e é a medida de um ângulo agudo,
existe um triângulo retângulo tal que:
5
13
x
�
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
x2 1 52 5 132 ⇒ x 5 12
Portanto: tg 5 512
Indicando por p a profundidade do rio, esquema ti
zamos:
20
AB
p
C
�
Logo:
tg 5 p20
⇒ 512 20
5
p
p 5 253
Concluímos, então, que a profundidade do rio é 253 m
ou, aproximadamente, 8,3 m.
10. Se sen 5 0,8 5 45 e é a medida de um ângulo
agudo, existe um triângulo retângulo tal que:
5 4
x
�
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
x2 1 42 5 52 ⇒ x 5 3
Portanto: tg 5 43
.
Indicando por a largura AB do rio, esquemati
zamos:
20A C
B
�
�
Logo:
tg 5 20
⇒ 43 20
5
5 803
Concluímos, então, que a largura do rio é 803
m ou,
aproximadamente, 26,7 m.
11. Os triângulos ABC e ADE são congruentes.
4 m
4 m
C
E
D
y
x yA B
x
90° – �
�
90° – � �
sen 5 DAEA ⇒
5
8 4
5
x x 5 2,5
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
42 5 x2 1 y2 ⇒ y2 5 16 2 6,25 y2 5 9,75 ⇒
⇒ y 3,1
x 1 y 2,5 1 3,1 5 5,6
Portanto, a distância entre os muros é 5,6 m, aproxi
madamente.
Questões-desafio
12. Como AB 5 AC, concluímos que o triângulo ABC é
isósceles e, portanto, os ângulos da base são con
gruentes, medindo 72° cada um. Assim:
36°
36°
36°
72°
A
B
D
x – r
x
r
r
r
C
Sendo tCD bissetriz interna relativa ao vértice C do
triângulo, podemos afirmar que:
m(B BCD) 5 m(D BCA) 5 722
° 5 36°
Então, o triângulo ACD é isósceles e, portanto,
AD 5 DC 5 r.
Também o triângulo BCD é isósceles, pois:
m(B BDC) 5 180° 2 72° 2 36° 5 72°
GM_Mat_Paiva_v2_008a012.indd 12 7/31/09 9:16:10 AM
13 Parte específica Matemática Paiva
Assim: DC 5 BC 5 AD 5 r e BD 5 x 2 r
Observamos, ainda, que os triângulos isósceles ABC
e BCD são semelhantes:
72° 72°
A
B C
x x
r
r
2
72° 72°
C
D B
r r
x – r
x – r
2
a) Da semelhança entre os triângulos ABC e DBC,
obtemos:
x
r x r5 2
r
⇒ x2 2 rx 5 r2 x2 2 rx 2 r2 5 0
Resolvendo a equação do 2º grau na incógnita x,
temos:
5 r2 2 4 1 (2r2) 5 5r2
x 5 2 2( ) r r± 52
2
⇒
x 5 r
2
5
2r r5
2
1 5
2
( ) , 0 (não convém)
⇒ ou
x 5 r 1 5
1r r5
2
1 5
2
( )
Portanto: x 5
r 1 5
2
1( )
b) cos 72° 5
r
x
2
Mas x 5 r2
1 51( ) ; então:
cos 72° 5
r
r
2
2
1 51( )
5 11 5
5 1
41
5
2
Portanto: cos 72° 5 5 14
2
13. Sabemos que, se ABCDEF é um hexágono regular, a
medida de cada um dos seus ângulos internos é 120°.
120°
6 cm
6 cm 60°
60°
x
A B
CF
DE
A diagonal tEB está contida na reta bissetriz do ângu-
lo FBED, então ela divide esse ângulo em dois ângulos
congruentes de 60° cada.
Indicando por x a distância entre o vértice F e a dia-
gonal tEB do hexágono, temos:
sen 60° 5 x x6
3
2 6
⇒ 5 x 5 3 3
Portanto, a distância procurada é 3 3 cm.
Capítulo 2 Circunferência
trigonométrica: seno
e cosseno
Questões propostas
1. a) c 5 2πr ⇒
⇒ c 5 2 π 6 5 12π
c 12 3,14 ⇒
⇒ c 37,68
Logo, o comprimento dessa circunferência é 12π cm
ou, aproximadamente, 37,68 cm.
b) c 5 2πr ⇒
⇒ c 5 2 π 20 5 40π
c 40 3,14 ⇒
⇒ c 125,6
Logo, o comprimento dessa circunferência é 40π cm
ou, aproximadamente, 125,6 cm.
2. Indicando por r a medida do raio da roda, a distância
d percorrida por ela em uma volta é dada por:
d 5 2πr 5 2 3,14 0,5 m 5 3,14 m
Logo, o número n de voltas necessárias para que essa
roda percorra 12,56 km é dado por:
n 5 12 56 12 5603 14
, .
,
km
3,14 m
m
m
5 ⇒ n 5 4.000
3. Sendo m o menor número inteiro de voltas da roda
maior para que a roda menor gire n voltas completas,
temos:
m 2π 55 5 n 2π 35 ⇒ m 5 711
n
O menor número inteiro positivo representado pela
fração 7
11
n é obtido para n 5 11, para o qual temos
m 5 7 1111
5 7.
Concluímos, então, que 7 é o menor número de vol-
tas completas que deve girar a roda maior para que a
menor gire um número inteiro de voltas.
Alternativa b.
4. A
x
12 cm
100 rotações por minuto
150 rotações por minuto
GM_Mat_Paiva_v2_013a029.indd 13 7/31/09 9:43:58 AM
14 Matemática Paiva Parte específica
Quando a roldana maior faz 10 rotações, o ponto A
percorre 7.536 cm (2 3,14 12 100).
Assim, para a roldana menor fazer 150 rotações por
minuto, temos:
2 3,14 x 150 5 7.536
942x 5 7.536
x 5 8
Logo, para que a roldana menor faça 150 rotações
por minuto, seu raio deve medir 8 cm.
Alternativa a.
5. O comprimento x do arco )AB pode ser obtido pela
proporção:
25 360° °
2 10x
5
π ⇒ x 5
25
18
π
Logo, o comprimento do arco )AB é 25
18
π cm.
6. A razão entre o comprimento do arco e a medida do
raio, nessa ordem, é a medida x do arco em radiano,
ou seja:
x 5 102 5, rad ⇒ x 5 4 rad
7. a) π
rad grau
180 ———
———x 30
⇒ x 5 30180 6
π π 5
Portanto, 30° equivalem a π
6
rad.
b) π
rad grau
180 ———
———x 120
⇒ x 5 120180
2
3
π π 5
Portanto, 120° equivalem a 2
3
π rad.
c) π
rad grau
180 ———
———x 225
⇒ x 5 225180
5
4
π π 5
Portanto, 225° equivalem a 5
4
π rad.
d) π
rad grau
180 ———
———x 300
⇒ x 5 300
180
5
3
π π 5
Portanto, 300° equivalem a 5
3
π rad.
e) π
rad grau
180 ———
———x 240
⇒ x 5 240
180
4
3
π π 5
Portanto, 240° equivalem a 4
3
π rad.
f ) π
rad grau
180 ———
———x 330
⇒ x 5 330
180
11
6
π π 5
Portanto, 330° equivalem a 11
6
π rad.
8. a) π
π
———
———
180
4
°
x
⇒ x 5
π
π
4
180 °
x 5 45°
b) ———
———
π
π
180
3
2
°
x
⇒ x 5
3
2
180π
π
°
x 5 270°
c)
———
———
π
π
180
7
6
°
x
⇒ x 5
7
6
180π
π
°
x 5 210°
d) ———
———
π
π
180
2
5
°
x
⇒ x 5
2
5
180π
π
°
x 5 72°
e) ———
———
π
π
180
5
3
°
x
⇒ x 5
5
3
180π
π
°
x 5 300°
9. Sejam: (MAQ e (NBP os arcos das circunferências das
polias em contato com a correia; e tCD, com D e tOQ e
tCD / tPQ, conforme mostra a figura:
A B
M
N
P
C
O
Q
D
4
240°
60°
60°
120°
1
3
1
Temos:
• m((MAQ) 5 23 2π 4 cm 5
16
3
π cm
• m( (NBP) 5 13 2π 1 cm 5
2
3
π cm
• tg 60° 5 CD3 ⇒ 3 3
5 CD CD 5 3 3 cm
• CD 5 QP 5 MN
Concluímos, assim, que o comprimento da correia
é dado por:
5 2 3 3 16
3
2
3
1 1
π π
cm ⇒
⇒ 5 6 3 1 π( ) cm
Alternativa b.
10. a) 7, 2 °850 km
°
5
360
c ⇒ c 5
360° 850 km
°
7, 2
c 5 42.500 km
O comprimento c obtido foi 42.500 km.
b) c 5 2πr ⇒ c 5 42.500 2 3,14 r
r 42.500
6,28
km ⇒ r 6.768 km
A medida aproximada do raio da Terra é 6.768 km.
c) 40.000 5 2πR
R 40.000
2 3,14
6.369
A partir dessa estimativa, o raio da Terra mede
6.369 km, aproximadamente.
GM_Mat_Paiva_v2_013a029.indd 14 7/31/09 9:45:58 AM
15 Parte específica Matemática Paiva
d) r
R
≈ 6.768
6 369.
1,063
Ou seja, o percentual do erro cometido por Era-
tóstenes foi de 6,3%, aproximadamente.
11. Com os dados fornecidos, fazemos:
min
min
min
2 30
2 15
4 45
h
h
h
1
Assim, após 2 h 15 min o relógio estará marcando
4 h 45 min.
�
5 4 30° 1 30°4 5 120° 1 7,5 5 127,5°
A medida do menor ângulo formado pelos ponteiros
será, portanto, 127,5°.
Alternativa a.
12. As rotações dessas engrenagens por unidade de tem-
po são inversamente proporcionais aos seus respecti-
vos números de dentes. Assim, temos a regra de três
inversa:
rotações por número de
unidade de tempo dentes
(em grau)
1.800° 8
x 36
Logo, 1.800 °
x
5
36
8
⇒ x 5 400°
Portanto, quando a engrenagem menor gira 1.800°, a
maior gira 400°.
Alternativa e.
13. a) x1 5 50°
x2 5 50° 1 360° 5 410°
x3 5 50° 1 2 360° 5 770°
Logo, as medidas procuradas são 50°, 410° e 770°.
b) x1 5 50° 2 360° 5 2310°
x2 5 50° 2 2 360° 5 2670°
Logo, as medidas procuradas são 2310° e 2670°.
14. a) x1 5
6
7
π
x2 5
6
7
π 1 2π ⇒ x2 5
20
7
π
x3 5
6
7
π 1 2 2π ⇒ x3 5
34
7
π
Logo,
as medidas procuradas são 67
π rad,
20
7
π rad e 34
7
π rad.
b) x2 5
6
7
π 2 2π ⇒ x2 5 2
8
7
π
x3 5
6
7
π 2 2 2π ⇒ x3 5 2
22
7
π
Logo, as medidas procuradas são 2 87
π rad e
2
22
7
π rad.
15. a) 2 923
43
.
° 360°
° 8
Logo, a medida do arco trigonométrico procurado
é 43°.
b) 1 972
172 5
.
° 360°
°
Logo, a medida do arco trigonométrico procurado
é 172°.
c) 240° 1 360° 5 320° (1ª volta positiva)
Logo, a medida do arco trigonométrico procurado
é 320°.
d) 2400° 1 360° 5 240 (1ª volta negativa)
240° 1 360° 5 320° (1ª volta positiva)
Logo, a medida do arco trigonométrico procurado
é 320°.
e) 45
11
π rad 5 44
11 11
π π
1
rad 5 4 11π
π 1
rad
Logo, a medida do arco trigonométrico procurado
é π
11
rad.
f ) 38
5
3
5
π π π rad 35
5
5 1
rad 5 7 3
5
π π 1
rad 5
5 6 3
5
π π π1 1
rad 5 6 8
5
π π 1
rad
Logo, a medida do arco trigonométrico procurado
é 8
5
π rad.
g) 2 π13 rad 5 [2
π
13 1 2π] rad 5 [
2 1π π26
13 ] rad 5
5 25π13 rad.
Logo, a medida do arco trigonométrico procurado
é 25π
13
rad.
h) 2 185
π rad 5 2 2105
π π 8
5
rad 5
5 [22π 2 8
5
π ] rad ⇒
⇒ 2 185
2π π
rad 5 2 18 5
π π10
rad 5
5
2π
5 rad
Logo, a medida do arco trigonométrico procurado
é 2π
5
rad.
GM_Mat_Paiva_v2_013a029.indd 15 7/31/09 9:46:42 AM
16 Matemática Paiva Parte específica
16. a) 2 040
240
.
° 360°
° 5
Logo: x 5 240°
b) x 5 240° 1 360° ⇒ x 5 600°
c) x 5 240° 1 2 360° ⇒ x 5 960°
d) x 5 240° 2 360° ⇒ x 5 2120°
17. 1216
120
6
π π π
5
1 5 1206 6
π π
1 5 20π 1 π
6
a) x 5 π6
b) x 5 π6 1 2π ⇒ x 5
13
6
π
c) x 5 π6 1 2 2π ⇒ x 5
25
6
π
d) x 5 π6 2 2π ⇒ x 5 2
11
6
π
18. Temos:
1 volta da engrenagem → 1
4
de volta do ponteiro
Assim:
4.135 voltas da engrenagem → 4.135 1
4
de volta do
ponteiro
4.135 14 5 1.033 voltas 1 0,75 volta
Logo: 0,75 volta de 360° corresponde a 270°.
Alternativa a.
19. a) N: 180° 2 22° 5 158°
P: 180° 1 22° 5 202°
Q: 360° 2 22° 5 338°
b) N: π rad 2 π7 rad 5
6
7
π rad
P: π rad 1 π7 rad 5
8
7
π rad
Q: 2π rad 2 π7 rad 5
13
7
π rad
20. a) M: 180° 2 120° 5 60°
N: 120°
P: 180° 1 60° 5 240°
Q: 360° 2 60° 5 300°
b) M: 210° 2 180° 5 30°
N: 180° 2 30° 5 150°
P: 210°
Q: 360° 2 30° 5 330°
c) M: 360° 2 310° 5 50°
N: 180° 2 50° 5 130°
P: 180° 1 50° 5 230°
Q: 310°
d) M: π 2 45 5
π π 5
N: 4
5
π
P: π 1 π π5
6
5
5
Q: 2π 2 π π5
9
5
5
e) M: 43
π 2 π 5 π3
N: π 2 π π3
2
3
5
P: 4
3
π
Q: 2π 2 π π
3
5
3
5
f ) M: 2π 2 16 6
1π π 5
N: π 2 π π6
5
6
5
P: π 1 π π6
7
6
5
Q: 11
6
π
21. A(1, 0), B(0, 1), A(21, 0) e B(0, 21)
a) cos 0 5 1
b) sen 0 5 0
c) cos π
2
5 0
d) sen π
2
5 1
e) cos π 5 21
f ) sen π 5 0
g) cos 3
2
π 5 0
h) sen 3
2
π 5 21
i) cos 2π 5 1
j) sen 2π 5 0
k) cos 720° 5 cos 0° 5 1
l) sen 450° 5 sen (90° 1 360°) 5 sen 90° 5 1
m) sen 990° 5 sen (2 360° 1 270°) 5 sen 270° 5 21
n) cos 810° 5 cos (2 360° 1 90°) 5 cos 90° 5 0
o) sen (2270°) 5 sen 90° 5 1
p) cos (2180°) 5 cos 180° 5 21
q) cos 12π 5 cos 0 5 1
r) cos 11π 5 cos (5 2π 1 π) 5 cos π 5 21
s) sen 2
2
1π 5 sen 20
2 2
π π
1
5 sen π
2
5 1
t) sen 23
2
π 5 sen 202
3
2
π π
1
5 sen
3
2
π 5 21
u) sen (2π) 5 sen π 5 0
v) cos (23π) 5 cos (22π 2 π) 5 cos (2π) 5 cos π 5
5 21
22. E 5 sen ° ° °sen 270°
cos cos
cos
90 180 2702 1
2 90°
E 5 1 ( )
2 2 1
2 2
1 0
1 0 5
2
12 5 22
23. a) f π2
5 2 sen
π
2
⇒ sen π 1 cos 3π
2
f π2
5 2 1 1 0 1 0 5 2
GM_Mat_Paiva_v2_013a029.indd 16 7/31/09 9:47:31 AM
17 Parte específica Matemática Paiva
b) f (π) 5 2 sen π 1 sen 2π 1 cos 3π
f (π) 5 2 0 1 0 1 (21) 5 21
c) • f (0) 5 2 sen 0 1 sen 0 1 cos 0
f (0) 5 2 0 1 0 1 1 5 1
• f (2π) 5 2 sen 2π 1 sen 4π 1 cos 6π
f (2π) 5 2 0 1 0 1 1 5 1
• f 3π
2
5 2 sen 3π
2
1 sen 3π 1 cos 9π
2
f 3π
2
5 2 (−1) 1 0 1 0 5 −2
Logo: f f
f
( ) ( )0 2
3
2
1 π
π
5 1 12
2
2
1
2
5
2
5 21
24. E 5
sen
sen
cos
π π
π
6 3
2
1
⇒ E 5
1
2
1
2
1
1
1
1
5 5 1
25. Para x R, temos:
21 sen x 1
Portanto, o valor máximo de f é 1 e o valor mínimo
é 21.
26. a) sen 17° , cos 74°
Falso, pois cos 74° 5 sen (90° 2 74°) 5 sen 16°,
e sen 17° sen 16°.
b) sen 74° , cos 17°
Falso, pois cos 17° 5 sen (90° 2 17°) 5 sen 73°,
e sen 74° sen 73°.
c) cos 37° 5 cos 143°
Falso, pois cos 37° 5 2cos (180° 2 37°) 5
5 2cos 143°.
d) sen 31° sen 150°
Verdadeiro, pois sen 150° 5 sen (180° 2 150°) 5
5 sen 30°, e sen 31° sen 30°.
Alternativa d.
27. Sendo P a posição da partícula em dado instante e a
medida do arco )AP, com A(5, 0), esquematizamos:
P
A
O g (�)
5
�
A função g, que expressa a abscissa de P para cada
medida é:
g() 5 5 cos (I)
A medida , em radiano, pode ser obtida em função
do tempo t, em segundo, pela regra de três:
deslocamento angular tempo em
da partícula em radiano segundo
2π 3
t
5 2
3
πt rad (II)
Substituindo (II) em (I), temos:
g 2
3
πt
5 5 cos 2
3
πt
Indicando essa função por f (t), concluímos:
f (t) 5 5 cos 2
3
πt
Alternativa b.
28. Sendo P a posição da partícula em dado instante e a
medida do arco )AP, com A(5, 0), esquematizamos:
P
A
O
g (�)
5
�
A função g que expressa a ordenada de P para cada
medida é:
g() 5 5 sen (I)
A medida , em radiano, pode ser obtida em função
do tempo t, em segundo, pela regra de três:
deslocamento angular tempo em
da partícula em radiano segundo
2π 3
t
5 2
3
πt rad (II)
Substituindo (II) em (I), temos:
g 2
3
πt
5 5 sen 2
3
πt
Indicando essa função por f (t), concluímos:
f (t) 5 5 sen 2
3
πt
Alternativa d.
29. a) sen 150° 5 sen (180° 2 30°) 5 sen 30° 5 12
b) cos 150° 5 cos (180° 2 30°) 5 2cos 30° 5 2 32
c) sen 240° 5 sen (180° 1 60°) 5 2sen 60° 5 2 32
d) cos 240° 5 cos (180° 1 60°) 5 2cos 60° 5 2 12
e) sen 330° 5 sen (360° 2 30°) 5 2sen 30° 5 2 12
f ) cos 330° 5 cos (360° 2 30°) 5 cos 30° 5 32
GM_Mat_Paiva_v2_013a029.indd 17 7/31/09 9:47:53 AM
18 Matemática Paiva Parte específica
30. a) • M e N são simétricos em relação ao eixo das or-
denadas; logo, suas abscissas são opostas e suas
ordenadas são iguais. Assim, temos
N 2 32
1
2
,
.
• M e P são simétricos em relação à origem do
sistema de eixos cartesianos; logo, suas abscis-
sas são opostas e suas ordenadas são opostas.
Assim, temos P 2 232
1
2
, .
• M e Q são simétricos em relação ao eixo das abs-
cissas; logo, suas ordenadas são opostas e suas
abscissas são iguais. Assim, temos Q
3
2
1
2
, .2
b) • M e P são simétricos em relação à origem do
sistema de eixos cartesianos; logo, suas abscis-
sas são opostas e suas ordenadas são opostas.
Assim, temos M 2
2
2
2
, .
• N e P são simétricos em relação ao eixo das abs-
cissas; logo, suas ordenadas são opostas e suas
abscissas são iguais. Assim, temos
N 2 22
2
2
, .
• Q e P são simétricos
em relação ao eixo das or-
denadas; logo, suas abscissas são opostas e suas
ordenadas são iguais. Assim, temos
Q 2
2
2
2
, .2
c) • M e Q são simétricos em relação ao eixo das
abscissas; logo, suas ordenadas são opostas e
suas abscissas são iguais. Assim, temos
M 1
2
3
2
, .
• N e Q são simétricos em relação à origem do sis-
tema de eixos cartesianos; logo, suas abscissas
são opostas e suas ordenadas são opostas.
Assim, temos N , .2 12
3
2
• P e Q são simétricos em relação ao eixo das orde-
nadas; logo, suas abscissas são opostas e suas or-
denadas são iguais. Assim, temos P 2 212
3
2
, .
31. a) sen 2π3 5
3
2 f ) sen
3
4
π 5 22
b) cos 23
π 5 2 12 g) cos
3
4
2
2
π 5 2
c) sen 76
π 5 2 12 h) sen
5
4
2
2
π 5 2
d) cos 76
π 5 2 32 i) cos
5
4
2
2
π 5 2
e) sen 53
π 5 2 32 j) sen
7
4
2
2
π 5 2
32. a) sen (230°) 5 2sen 30° 5 2
1
2
b) cos (230°) 5 cos 30° 5 32
c) sen (2300°) 5 2sen 300° 5 2(2sen 60°) 5
5 sen 60° 5 32
d) cos (2300°) 5 cos 300° 5 cos 60° 5 12
e) sen (21.485°) 5 2sen 1.485° 5 2sen 45° 5
5 2 22
f ) cos (21.230°) 5 cos 1.230° 5 cos 210° 5
5 2cos 30° 5 2 3
2
g) sen 2 π6
5 2sen π6 5 2
1
2
h) cos 2 43
π
5 cos 4
3
π
5 2cos π3 5 2
1
2
i) sen 2 116
π
5 2sen 11
6
π
5 2 2sen π
6
5
5 sen π6 5
1
2
j) cos 2 5π3
5 cos 5π
3
5 cos π3 5
1
2
k) cos 2 7π4
5 cos π4 5
2
2
l) sen 25π6 5 sen
24π
6
π
6
1
5 sen 4π π
6
1
5
5 sen π6 5
1
2
m) sen 33π4 5 sen
32π
4
π
4
1
5
5 sen 8π π
4
1
5 sen π
4
5
2
2
33. E 5 cos ( ) ( ) (180 180 180° sen ° sen1 1 1 1x x °°
°
)
cos ( )
2
2
x
x360
⇒
⇒ E 5 2 2 1cos cos
x x x
x
sen sen
E 5 2 cos
cos
x
x
5 21
34. Como a medida do arco )AN, na primeira volta positi-
va, é π 2 , temos que a medida do arco )AM, na pri-
meira volta positiva, é . Então:
a) sen 5 513
b) cos 5 1213
c) cos (π 1 ) 5 2cos 5 2 12
13
d) sen (2) 5 2sen 5 2 513
GM_Mat_Paiva_v2_013a029.indd 18 7/31/09 9:48:41 AM
19 Parte específica Matemática Paiva
e) cos (2π 2 ) 5 cos 5 1213
f ) cos π
2
2
5 sen 5 513
g) sen 3π
2 2
5 2cos 5 2 12
13
h) sen π
2
1
5 cos 5 1213
35. a) E 5
sen
sen
( ) cos
( ) co
2 1 2
2 1
3π
2
π
ss
3π
2 1
⇒
⇒ E 5 2 1 2
1
sen sen
sen sen
( )
E 5 2
2
2
sen
sen 5 21
b) E 5 cos ( ) cos ( ) ( 90 90 180° ° sen °2 1 1 2 2
1
)
(cos )270°
⇒
⇒ E 5 sen sen sensen
( )
1 2 2
E 5 2
sen
sen
5 21
36. Façamos um esquema:
h
8 m
180° – �
�
cos (180° 2 ) 5 h8 ⇒ 2cos 5
h
8
2 2 558 8
h ⇒ h 5 5
Logo, a altura do piso superior em relação ao piso in-
ferior é 5 m.
37. sen2 1 cos2 5 1 ⇒ 3
5
2
1 cos2 5 1
cos2 5 1 2 925 ⇒ cos
2 5 1625
cos 5 ± 4
5
Como π
2
π, concluímos que cos 5 2 4
5
.
38. sen2 1 cos2 5 1 ⇒ 2 513
2
1 cos2 5 1
cos2 5 1 2 25169 ⇒ cos
2 5 144169
cos 5 ± 12
13
Como 3
2
π 2π, concluímos que cos 5 12
13
.
39. sen I
sen
2 2 1
2
cos ( )
cos
1 5
5 ( )II
Substituindo (II) em (I), temos:
(2 cos )2 1 cos2 5 1 e, portanto:
4 cos2 1 cos2 5 1 ⇒ 5 cos2 5 1
cos2 5 1
5
⇒ cos 5 5
5
Como π 3
2
π , concluímos que cos 5 2 5
5
.
Substituindo cos por 2 5
5
, em (II), obtemos:
sen 5 2 2 5
5
40. sen2 x 1 cos2 x 5 1 ⇒ m m
4
1
2
2 2
1
1 5 1
m m
2
16
1
4
1 1 5 1 ⇒ m m
2 4 4
16
16
16
1 1 5
m2 1 4m 2 12 ⇒ m 5 2 ou m 5 26 (não convém)
Concluímos, então, que m 5 2.
41.
x
E
B
A C
D
�
51 cm
30,6 cm
90° – �
Aplicando a relação fundamental, sen2 1 cos2 51,
calculamos cos :
15
17
1
2
2
=1 cos ⇒ cos2 5 289 225289
2 5 64289
cos 5 ± 8
17
Como é a medida de um ângulo agudo, só nos inte-
ressa o valor positivo do cosseno, isto é: cos 5 817
Do triângulo CDE, obtemos:
sen (90°2 ) 5 x30 6, ⇒ cos 5
x
30 6,
8
17
5 x30 6, ⇒ x 5
30 6 8
17
, 5 14,4
Portanto, a distância do ponto D à hipotenusa tBC é
14,4 cm.
42. Fazendo a mudança de variável cos x 5 y, obtemos a
equação do 2º grau:
3y2 2 4y 1 1 5 0
5 (24)2 2 4 3 1 5 16 2 12 5 4
y 5 2 2( )
4 2
2 3
±
⇒ y 5 1 ou y 5 13
GM_Mat_Paiva_v2_013a029.indd 19 8/1/09 10:00:20 AM
20 Matemática Paiva Parte específica
Retornando à variável original, temos:
cos x 5 1 [não convém, pois 0 , x , π
2
] ou
cos x 5 13
Pela relação fundamental, sen2 x 1 cos2 x 5 1, con-
cluímos:
sen2 x 1 13
2
5 1 ⇒ sen
2 x 5 1 2 19
sen2 x 5 8
9
⇒ sen x 5 ± 2 2
3
Como 0 , x , π
2
, só nos interessa o valor positivo
do seno, isto é:
sen x 5 2 23
43. 4 cos
2 x 1 9 sen x 2 6 5 0 ⇒ {4 cos
2 x 1 9 sen x 5 6 (I) { cos2 x 1 sen2 x 5 1 cos2 x 5 1 2 sen2 x (II)
Substituindo (II) em (I), temos:
4(1 2 sen2 x) 1 9 sen x 5 6 ⇒ 4 sen2 x 2 9 sen x 1 2 5 0
Fazendo a mudança de variável sen x 5 t, obtemos a
equação do 2º grau:
4t2 2 9t 1 2 5 0
5 (29)2 2 4 4 2 5 49
t 5 ( )
2 29 49
2 4
±
⇒ t 5 2 ou t 5 14
Retornando à variável original, temos sen x 5 2 (não
convém) ou sen x 5 14
Substituindo sen x por 1
4
na equação (I), concluí-
mos:
4 cos2 x 1 9 14 5 6 ⇒ 4 cos
2 x 5 6 2 94
cos2 x 5 24 916
2 ⇒ cos2 x 5 1516
cos x 5 ± 15
4
Logo, cos x 5 2 15
4
ou cos x 5 154
.
44. Substituindo cos2 x por 1 2 sen2 x, temos:
1 2 2 sen2 x 1 sen4 x 1 sen2 x(1 2 sen2 x) 5
5 1 2 2 sen2 x 1 sen4 x 1 sen2 x 2 sen4 x 5
5 1 2 sen2 x 5 cos2 x
Alternativa a.
45. Sendo A o ponto de intersecção da reta ,TD- com o
plano do solo, esquematizamos:
T
C B A
x
D
y
0,9 m
0,4 m
solo
180° – �
�
Temos:
cos (180° 2 ) 5 2cos 5 2 65
sen (180° 2 ) 5 sen 5 1 2 6
5
1
5
2
2 2 5
Assim:
(I) Do triângulo ADB, obtemos:
sen (180° 2 ) 5 0 4 15
0 4, ,
y y
⇒ 5
y 5 0 41
5
, ⇒ y 5 2
(II) Do triângulo ATC, obtemos:
sen (180° 2 ) 5 0 9, x y1 ⇒ x 1 y 5
0 9
1
5
, ⇒
⇒ x 1 y 5 4,5
De (I) e (II), concluímos:
x 1 2 5 4,5 ⇒ x 5 2,5
Portanto, a distância entre T e D é 2,5 m.
46. a) Os valores de x, com 0 x , 2π, para os quais
sen x 5 22 são x 5
π
4
ou x 5 π 2 π π4
3
4
.5
Logo, S 5 { }π π4
3
4
, .
b) Os valores de x, com 0 x , 2π, para os quais
cos x 5 2 2
2
são x 5 π 2 π π4
3
4
5 ou
x 5 π 1 π π4
5
4
.5
Logo, S 5 { }34
5
4
π π, .
c) Os valores de x, com 0 x , 2π, para os quais
sen x 5 32 são x 5
π
3 ou x 5 π 2
π π
3
2
3
.5
Logo, S 5 { }π π3
2
3
, .
d) Os valores de x, com 0 x , 2π, para os quais
cos x 5 2 3
2
são x 5 π 2 5π6
5
6
π ou
x 5 π 1 π π
6
7
6
.5
Logo,
S 5 { }56
7
6
π π, .
e) Os valores de x, com 0 x , 2π, para os quais
cos x 5 12 são x 5
π
3 ou x 5 2π 2 5
π π
3
5
3
.
Logo, S 5 { }π π3
5
3
, .
f ) Os valores de x, com 0 x , 2π, para os quais
sen x 5 2 1
2
são x 5 π 1 5π
6
7
6
π ou
GM_Mat_Paiva_v2_013a029.indd 20 7/31/09 9:49:27 AM
21 Parte específica Matemática Paiva
x 5 2π 2 5π π
6
11
6
.
Logo, S 5 { }7π π
6
11
6
, .
g) O valor de x, com 0 x , 2π, para o qual
sen x 5 21 é x 5 32
π .
Logo, S 5 { }32
π .
h) O valor de x, com 0 x , 2π, para o qual
cos x 5 1 é x 5 0.
Logo, S 5 {0}.
i) Os valores de x, com 0° x , 2π, para o qual
sen x 5 0 são x 5 0 ou x 5 π .
Logo, S 5 {0, π}.
j) Não existe x tal que sen x 5 3. Logo, S 5 .
k) Não existe x tal que cos x 5 22. Logo, S 5 .
47. a) cos2 x 5 14 ⇒ cos x 5 2
1
2
ou cos x 5 12
– 1
2
1
2
cos
π
3
5π
3
4π
3
2π
3
x 5 π
3
ou x 5 2
3
π ou x 5 4
3
π ou x 5 5
3
π
Logo, S 5 { }π π π π
3
2
3
4
3
5
3
, , , .
b) cos2 x 5 1 ⇒ cos x 5 1 ou cos x 5 21
cos1
0π
–1
x 5 0 ou x 5 π
Logo, S 5 {0, π}.
c) cos2 x 5 1 ⇒ cos x 5 1 ou cos x 5 21
cos2π1
0
–1π
x 5 0 ou x 5 π ou x 5 2π
Logo, S 5 {0, π, 2π}.
d) sen2 x 5 14 ⇒ sen x 5 2
1
2 ou sen x 5
1
2
–
–
1
2
1
2
sen
π
6
π
6
– 5π
6
x 5 2 56
π ou x 5 2 π6 ou x 5
π
6
Logo, S 5 { }2 256 6 6
π π π, , .
48. sen2 x 5 34 ⇒ sen x 5 2
3
2 ou sen x 5
3
2
sen
480° � 120° 60° � 420°
600° � 240° 300° � 660°
– √3
2
√3
2
x 5 60° ou x 5 120° ou x 5 240° ou
x 5 300° ou x 5 420° ou x 5 480° ou
x 5 600° ou x 5 660°.
Logo, S 5 {60°, 120°, 240°, 300°, 420°, 480°, 600°,
660°}.
GM_Mat_Paiva_v2_013a029.indd 21 7/31/09 9:49:48 AM
22 Matemática Paiva Parte específica
49. sen x 5 cos x
sen
cos
– √2
2
– √2
2
√2
2
5π
4
π
4√2
2
x 5 π
4
ou x 5 5
4
π
Logo, S 5 { }π π
4
5
4
, .
50. a) sen x 5 sen π
5
sen
π
5
sen π
54π
5
Para 0 x , 2π, temos:
sen x 5 sen π
5
⇒ x 5 π
5
ou x 5 45
π
Logo, S 5 { }π π
5
4
5
, .
b) cos x 5 cos π
5
cos
π
5
cos π
5
9π
5
Para 0 x , 2π, temos:
cos x 5 cos π
5
⇒ x 5 π5 ou x 5
9
5
π
Logo, S 5 { }π π
5
9
5
, .
51. Como sen π
2
1 x
5 cos x, temos:
cos x 1 sen π
2
1 x
5 21 ⇒ cos x 1 cos x 5 21
2 cos x 5 21 ⇒ cos x 5 2 1
2
Os valores de x, com 0 x , 4π, tais que
cos x 5 2 1
2
são: 2
3
4
3
8
3
10
3
π π π π, , ,
Assim:
2
3
4
3
8
3
10
3
24
3
π π π π π
1 1 1 5 5 8π
Alternativa d.
52. Sendo, respectivamente, d e as medidas de uma
diagonal do retângulo e de um ângulo que essa diago-
nal forma com um dos lados, esquematizamos:
d d
2
�
90° – �
Assim, temos:
sen 1
2
5
, ,0 90° °
⇒ 5 30°
Concluímos, então, que cada diagonal forma ângulos
de 30° e de 60° com os lados do retângulo.
53. 2 3 2 2sen cos x x 2 2( )( ) 5 0 ⇒
⇒ 2 sen x 2 3 5 0 ou 2 cos x 2 2 5 0
sen x 5 32 ou cos x 5
2
2
Para 0 x , 2π, concluímos:
• sen x 5 32 ⇒ x 5
π
3 ou x 5
2
3
π
• cos x 5 22 ⇒ x 5
π
4 ou x 5
7
4
π
Logo, S 5 { }π π π π
4 3
2
3
7
4
, , , .
54. 2 sen x cos x 1 sen x 5 0 ⇒ sen x(2 cos x 1 1) 5 0
sen x 5 0 ou 2 cos x 1 1 5 0 ⇒
⇒ sen x 5 0 ou cos x 5 2 1
2
Para 0 x , 2π, concluímos:
• sen x 5 0 ⇒ x 5 0 ou x 5 π
• cos x 5 2 1
2
⇒ x 5 23
π ou x 5 43
π
Logo, S 5 {0, π, 2
3
4
3
π π, }.
GM_Mat_Paiva_v2_013a029.indd 22 7/31/09 9:50:20 AM
23 Parte específica Matemática Paiva
55. Sendo a medida do ângulo B BAC, temos:
A
�
C
300
150
B
cos 5 ACAB ⇒ cos 5
150
300
1
2
5
Como 0° , x , 90° e cos 5 12
, concluímos que
5 60°.
56. a) sen x 32
π
3
2π
3
sen
√3
2
Logo, S 5 {x R | π3 , x ,
2
3
π } .
b) sen x 32
π
3
2π
3
sen
√3
2
Logo, S 5 {x R | 0 x π3 ou
2
3
π x , 2π}.
c) cos x 2 12
2π
3
4π
3
1
2
– cos
Logo, S 5 {x R | 23
π x
4
3
π } .
d) cos x 32
11π
6
π
6
cos√3
2
Logo, S 5 {x R | 0 x , π6 ou
11
6
π , x , 2π}.
e) cos x 0
0 cos
π
2
3π
2
Logo, S 5 {x R | π2 x
3
2
π } .
f ) sen x , 0
2ππ
0
sen
Logo, S 5 {x R | π , x , 2π}.
g) cos x 0
0 cos
π
2
3π
2
Logo, S 5 {x R | 0 x , π
2
ou 3
2
π , x , 2π}.
GM_Mat_Paiva_v2_013a029.indd 23 7/31/09 9:50:44 AM
24 Matemática Paiva Parte específica
h) sen x 12
π
6
1
2
5π
6
sen
Logo, S 5 {x R | 0 x π
6
ou 5
6
π x , 2π}.
i) cos x , 2
2
π
4
7π
4
cos√2
2
Logo, S 5 {x R | π4 , x ,
7
4
π } .
j) sen x 2 12
1
2
–
11π
6
7π
6
sen
Logo, S 5 {x R | 76
π x
11
6
π } .
k) cos x 2 1
2
1
2
–
4π
3
2π
3
cos
Logo, S 5 {x R | 0 x , 2
3
π ou 4
3
π , x , 2π}.
l) sen x 1
Não existem valores de x que satisfaçam essa ine-
quação, pois 21 sen x 1, para todo x R.
Logo, S 5 .
m) cos x , 1
cos1
Logo, S 5 {x R | 0 , x , 2π}.
n) sen x 2 3
2
sen
4π
3
–
5π
3
√3
2
Logo, S 5 {x R | 0 x , 2π e x 4
3
π e
x 53
π } .
57. a) sen x , sen π
9
sen
=
sen π
9 π
9
π
9
π – 8π
9
Logo, S 5 {x R | 0 x , π
9
ou 8
9
π , x , 2π}.
GM_Mat_Paiva_v2_013a029.indd 24 7/31/09 9:51:07 AM
25 Parte específica Matemática Paiva
b) cos x cos π
7
cos
cos π
7
π
7
π
7
= 2π –13π
7
Logo, S 5 {x R | 0 x π7 ou
13
7
π x , 2π}.
58. a)
cos ( )
( )
x , 2
1
2 I
sen 1
2
IIx
Resolvendo cada uma das inequações do sistema,
temos:
(I) cos x , 2 1
2
1
2
–
4π
3
2π
3
cos
(II) sen x 1
2
1
2
5π
6
π
6
sen
Fazendo a interseção dos conjuntos soluções de (I)
e (II), vamos ter:
(I)
(II)
(I) � (II)
2π0
0
0
2π
2π
2π
3
π
6
4π
3
5π
6
5π
6
2π
3
Logo, S 5 {x R | 2
3
π , x
5π
6
}
b)
sen I
II
x
x
,
2
2
sen 3
2
( )
( )
Resolvendo (I) e (II), temos:
(I) sen x 2
2
sen
3π
4
π
4
√2
2
(II) sen x , 3
2
2π
3
√3
2
π
3
sen
Fazendo a interseção dos conjuntos soluções de (I)
e (II), vamos ter:
(I)
(II)
(I) � (II)
2π0
0
0
2π
2π
π
4
π
3
3π
4
2π
3
3π
4
π
3
π
4
2π
3
Logo, S 5 {x R | π
4
, x , π
3
ou 2π
3
, x ,
3π
4
} .
59. a) A dupla desigualdade é equivalente ao sistema
sen 0 I
II
x
x
,
( )
( )sen 3
2
Resolvendo (I) e (II), temos:
(I) sen x 0
π 0
sen
GM_Mat_Paiva_v2_013a029.indd 25 7/31/09 9:51:27 AM
26 Matemática Paiva Parte específica
(II) sen x , 32
2π
3
√3
2
π
3
sen
Fazendo a interseção dos conjuntos soluções de (I)
e (II), obtemos:
(I)
(II)
(I) � (II)
2π0
0
0
2π
2π
π
π
3
2π
3
π
3
π2π
3
Logo, S 5 {x R | 0 , x , π
3
ou 2π
3
, x , π}.
b) A dupla desigualdade é equivalente ao sistema
cos I
II
x
x
,
1
2
( )
( )cos 2
2
Resolvendo (I) e (II), temos:
(I) cos x 1
2
1
2
5π
3
π
3
cos
(II) cos x , 2
2
π
4
7π
4
cos√2
2
Fazendo a interseção dos conjuntos soluções de (I)
e (II), obtemos:
(I)
(II)
(I) � (II)
2π0
0
0
2π
2π
π
3
π
4
7π
4
7π
4
5π
3
5π
3
π
3
π
4
Logo, S 5 {x R | π
4
, x π
3
ou
5π
3
x ,
7π
4
} .
c) |sen x| , 1
2
⇒ 2 12 , sen x ,
1
2
Essa dupla desigualdade é equivalente ao sistema
sen I
II
x
x
2
,
1
2
1
2
( )
( )sen
Resolvendo (I) e (II), temos:
(I) sen x 2 1
2
1
2
–
11π
6
7π
6
sen
(II) sen x , 1
2
π
6
1
2
5π
6
sen
Fazendo a interseção dos conjuntos soluções de (I)
e (II), obtemos:
(I)
(II)
(I) � (II)
2π0
0
0
2π
2π
7π
6
11π
6
11π
6
π
6
5π
6
7π
6
5π
6
π
6
Logo, S 5 {x R | 0 x , π
6
ou 5π
6
, x , 7π
6
ou 11
6
π , x , 2π}.
GM_Mat_Paiva_v2_013a029.indd 26 7/31/09 9:51:50 AM
27 Parte específica Matemática Paiva
60. a) 2 sen2 x 2 sen x , 0.
Fazendo a mudança de variável sen x 5 t, obtemos
a inequação 2t2 2 t , 0.
A variação de sinal da função f (t) 5 2t2 2 t é es-
quematizada por:
t�
� �
1
2
0
Assim, f (t) , 0 ⇒ 0 , t , 1
2
.
Retornando à variável original, temos
0 , sen x , 1
2
e, portanto:
1
2
5π
6
00
π
6
π
sen
Concluímos, então:
S 5 {x R | 0 , x , π
6
ou 5π
6
, x , π}
b) 2 sen2 x 2 2 sen x 0
Fazendo a mudança de variável sen x 5 t, obtemos
a inequação 2t2 2 2 t 0.
A variação de sinal da função f (t) 5 2t2 2 2 t é
esquematizada por:
t�
� �
0 √2
2
Assim, f (t) 0 ⇒ t 0 ou t 2
2
.
Retornando à variável original, temos sen x 0
ou sen x 2
2
. A reunião dos conjuntos solução
dessas inequações é representada por:
sen
3π
4
0
0
π
4
π
√2
2
Concluímos, então:
S 5 {x R | x 5 0 ou π4 x
3
4
π ou
π x , 2π}
c) 2 sen2 x 1 5 cos x 2 4 0 ⇒
⇒ 2(1 2 cos2 x) 1 5 cos x 2 4 0
22 cos2 x 1 5 cos x 2 2 0 ⇒
⇒ 2 cos2 x 2 5 cos x 1 2 , 0
Fazendo a mudança de variável cos x 5 t, obtemos
a inequação 2t2 2 5t 1 2 , 0.
A variação de sinal da função f (t) 5 2t2 2 5t 1 2 é
esquematizada por:
t�
� �
1
2
2
Assim, f (t) , 0 ⇒ 12 , t , 2
Retornando à variável original, temos
1
2 , cos x , 2, ou seja, cos x
1
2
, cujas soluções
são representadas por:
π
3
5π
3
1
2
cos
Concluímos, então:
S 5 {x R | 0 x , π
3
ou 5
3
π , x , 2π}
d) 2 cos2 x 1 5 sen x 2 8 , 0 ⇒
⇒ 2(1 2 sen2 x) 1 5 sen x 2 8 , 0
22 sen2 x 1 5 sen x 2 6 , 0 ⇒
⇒ 2 sen2 x 2 5 sen x 1 6 0
Fazendo a mudança de variável sen x 5 t, obtemos
a inequação 2t2 2 5t 1 6 0.
A variação de sinal da função f (t) 5 2t2 2 5t 1 6 é
esquematizada por:
t
�
Assim, f (t) 0 para todo t R.
Retornando à variável original, concluímos que
qualquer valor do sen x satisfaz a inequação.
Concluímos, então:
S 5 {x R | 0 x , 2π}
GM_Mat_Paiva_v2_013a029.indd 27 7/31/09 9:52:09 AM
28 Matemática Paiva Parte específica
e) (2 cos x 2 1)(2 cos x 2 2 ) , 0.
Fazendo cos x 5 t, obtemos a inequação
(2t 2 1)(2t 2 2 ) , 0.
Estudando a variação de sinal das funções
f (t) 5 2t 2 1, g(t) 5 2t 2 2 e f g, temos:
t
f
�
�
1
2
t
g
�
�
√2
2
��
��
��
�
�
�
f
t
t
f � g
g
√2
2
1
2
√2
2
1
2
f (t) g(t) , 0 ⇒ 1
2
, t , 2
2
Logo, 1
2
, cos x , 2
2
, e, portanto:
π
4
π
3
1
2
7π
45π
3
cos√2
2
Concluímos, então:
S 5 {x R | π
4
, x , π
3
ou 5
3
π , x , 74
π }
f ) 2 1
2 2
sen
sen
x
x
2
2
, 0
Fazendo sen x 5 t, obtemos a inequação
2 1
2 2
t
t
2
2
, 0.
Estudando a variação de sinal das funções
f (t) 5 2t 2 1, g(t) 5 2t 2 2 e f
g
, temos:
t
f
�
�
1
2
t
g
�
�
√2
2
��
��
��
�
�
�
f
t
t
g
√2
2
1
2
√2
2
1
2
f
g
f t
g t
( )
( ) , 0 ⇒
1
2 , t ,
2
2
Logo, 1
2
, sen x , 2
2
, e, portanto:
π
4 π
6
1
2
5π
6
3π
4
sen
√2
2
Concluímos, então:
S 5 {x R | π6 , x ,
π
4 ou
3
4
π , x , 56
π }
g) 2 1
2 1
cos
cos
x
x
2
1
0
Fazendo cos x 5 t, obtemos a inequação
2 1
2 1
t
t
2
1
0.
Estudando a variação de sinal das funções
f (t) 5 2t 2 1, g(t) 5 2t 1 1 e fg , temos:
t
f
�
�
1
2
1
2
t
g
� �
�
��
��
��
�
�
�
�
�
f
t
t
g
1
2
1
2
1
2
1
2
f
g
f t
g t
( )
( ) 0 ⇒ t , 2
1
2
ou t 12 .
Logo, cos x , 2 1
2
ou cos x 1
2
, e, portanto:
GM_Mat_Paiva_v2_013a029.indd 28 7/31/09 9:52:42 AM
29 Parte específica Matemática Paiva
2π
3
π
3
4π
3
5π
3
1
2
– 1
2
cos
Concluímos, então:
S 5 {x R | 0 x , π3 ou
2π
3 , x ,
4
3
π ou
5
3
π , x , 2π}
61. Sendo a medida do ângulo agudo formado pelas
retas ,PQ- e ,OC-; tPDu / tOCu, com D tCQu; e PQ 5 d,
esquematizamos:
P
d
Q
D
CO
�
�
8
55
sen
5
8
d
d 16
⇒ sen , 1
2
Como é a medida de um ângulo agudo, concluímos
que 0° , , 30°.
Roteiro de estudos
1. A afirmação é verdadeira porque todas as circunfe-
rências são semelhantes entre si. Assim, podemos
dizer que a razão entre o comprimento C e a medida
2r de seu diâmetro é constante.
2. Ver “O número π”, na página 19.
3. Ver “Unidades de medida de arco e de ângulo”, na
página 21.
4. São arcos da circunferência trigonométrica que têm
origem no ponto A(1, 0).
5. São arcos trigonométricos que têm a mesma extre-
midade.
6. Seno e cosseno de um arco trigonométrico )AM são,
respectivamente, a ordenada e a abscissa da extremi-
dade M do arco.
7. O seno (cosseno) de um arco de medida do 2º, 3º ou
4º quadrantes tem o mesmo módulo do seno (cosse-
no) do arco correspondente no 1º quadrante; logo,
para calcular o sen (cos ) tomamos o valor do seno
(cosseno) do arco correspondente no 1º quadrante e
atribuímos a esse valor um sinal, 1 ou 2, de acordo
com o quadrante em que está a medida .
Exemplo
Para o cálculo do sen 210°, basta obter o seno do cor-
respondente de 210° no 1º quadrante, ou seja, sen 30°,
e atribuir a ele o sinal do seno no 3º quadrante, isto é,
o sinal negativo:
sen 210° 5 2sen 30°
8. Ver a demonstração no item 5, na página 37.
Questões complementares
Questões técnicas
1. Cespiral 5
5
1
2 (C C C CAB BC CDcircunf circunf circunf ci1 1 1 rrcunfDE )
Cespiral 5
1
2 [2π 4 1 2π 2 1 2π 1 1 2π
1
2
] cm
Cespiral 5 π [4 1 2 1 1 1
1
2
] cm 5 152
π cm
Portanto, o comprimento da espiral é 15
2
π cm.
2. A medida em radiano desse arco é 4
8
π , ou seja,
π
2
rad, cuja conversão para graus é dada por:
2
360
2π
π
° 5
x
⇒ x 5 90°
Logo, a medida procurada é 90°.
3. A razão entre o comprimento do arco e a medida do
raio, nessa ordem, é a medida x do arco, em radiano,
ou seja:
x 5 212
π rad 5 π6 rad
4. Observando que 180° 5 10.800 e 12°10 5 730, te-
mos:
π ————— 10.800
x ————— 730 ⇒ x 5
730
10 800
73
1 080
5
π π
. .
Portanto, 12°10 equivalem a 73
1 080
π
.
rad.
5. 1375
130
5
π π
5 1 75
π 5 26π 1 75
π
Logo, 7
5
π rad é a medida de um arco côngruo a
137
5
π rad.
Alternativa e.
GM_Mat_Paiva_v2_013a029.indd 29 7/31/09 9:53:03 AM
30 Matemática Paiva Parte específica
b) M: 234° 2 180° 5 54°
N: 180° 2 54° 5 126°
P: 234°
Q: 360° 2 54° 5 306°
c) M: 360° 2340° 5 20°
N: 180° 2 20° 5 160°
P: 180° 1 20° 5 200°
Q: 340°
d) M: π 2 2336
13
36
π π
5
N: 23
36
π
P: π 1 1336
49
36
π π
5
Q: 2π 2 1336
59
36
π π
5
e) M: 11
9
2
9
π π π2 5
N: π 2 29
7
9
π π
5
P: 11
9
π
Q: 2π 2 29
16
9
π π
5
f ) M: 2π 2 53 3
π π
5
N: π 2 π π3
2
35
P: π 1 π π3
4
35
Q: 5
3
π
10. M:
N: 1 90° 5 180° 2 ⇒ 5 90° 2 (I)
P: 70° 1 3 1 5 180° 1 ⇒ 2 1 5 110° (II)
Q: 360° 2
De (I) e (II), temos:
2 1 90° 2 5 110°
5 110° 2 90°
520°
Substituindo por 20° na medida associada ao ponto
Q, temos:
Q: 360° 2 5 360° 2 20° 5 340°
Alternativa d.
11. Para x R, temos:
0 |sen x| 1
Portanto, o valor mínimo de f é zero.
12. A expressão 1
|cos |x
assume o valor mínimo quan-
do o denominador |cos x| assume o valor máximo.
Como o valor máximo de |cos x| é 1, concluímos que
o valor mínimo de 1|cos |x é
1
1 5 1.
6. a) 360° : 8 5 45° (0° x 360°)
xA 5 0° xE 5 180°
xB 5 45° xF 5 225°
xC 5 90° xG 5 270°
xD 5 135° xH 5 315°
Logo: A (0°), B (45°), C (90°), D (135°), E (180°),
F (225°), G (270°) e H (315°).
b) xF na 2ª e na 3ª voltas positivas.
225° 1 360° 5 585° (na 2ª volta positiva)
225° 1 2 360° 5 945° (na 3ª volta positiva)
Logo, as medidas procuradas associadas ao vértice
F são 585° e 945°.
c) xH na 1ª e na 2ª voltas negativas.
315° 2 360° 5 245° (na 1ª volta negativa)
315° 2 2 360° 5 2405° (na 2ª volta negativa)
Logo, as medidas procuradas associadas ao vértice
H são 245° e 2405°.
7. a) 2π : 6 5 π3
xA 5 0 rad xD 5 π rad
xB 5
π
3 rad xE 5
4
3
π rad
xC 5
2
3
π rad xF 5
5
3
π rad
Logo: A(0), B π
3
, C 2
3
π
,
D (π), E 4
3
π
, F 5
3
π
.
b) xC na 2ª e na 3ª voltas positivas.
2
3
π 1 2π 5 83
π (na 2ª volta positiva)
2
3
π 1 2 2π 5 143
π (na 3ª volta positiva)
Logo, as medidas procuradas associadas ao vértice
C são 8
3
π rad e 14
3
π rad.
c) xF na 1ª e na 2ª voltas negativas.
5
3
π 2 2π 5 2 π3 (na 1ª volta negativa)
5
3
π 2 2 2π 5 2 73
π (na 2ª volta negativa)
Logo, as medidas procuradas associadas ao vértice
H são 2 π3 rad e 2
7
3
π rad.
8. Adicionando à medida 30° qualquer múltiplo inteiro
de 360°, obtém-se a medida de um arco côngruo ao
arco de 30°. Assim, pode-se afirmar que a medida
pode ser expressa por: 5 30° 1 k 360°, para algum
k Z.
Alternativa e.
9. a) M: 180° 2 133° 5 47°
N: 133°
P: 180° 1 47° 5 227°
Q: 360° 2 47° 5 313°
GM_Mat_Paiva_v2_030a048.indd 30 7/31/09 10:36:51 AM
31 Parte específica Matemática Paiva
13. a b com a e b no 3º quadrante, temos:
• cos a cos b
• sen a sen b
• cos a 0 e cos b 0 ⇒ cos a cos b 0
Alternativa e.
14. Sendo M e N as extremidades dos arcos trigonomé-
tricos de medidas e , respectivamente, temos:
a) V, pois a ordenada de M é maior que a ordenada
de N.
b) F, pois a ordenada de M é menor que a ordenada
de N.
c) F, pois a abscissa de M é menor que a abscissa
de N.
d) V, pois a abscissa de M é maior que a abscissa
de N.
15. Sendo tADu a altura relativa ao lado tBCu, temos:
A
B a D b C
12 cm 8 cm
radπ
3rad
π
4
cos π
4 125
a ⇒ 2
2 125
a ⇒ a 5 6 2
cos π3 85
b ⇒ 12 85
b ⇒ b 5 4
Logo: BC 5 a 1 b 5 6 2 1 4
Portanto, a medida de tBCu é 6 2 41( ) cm.
16. cos 1.560 5 cos (4 360° 1 120°) 5 cos 120° 5
5 cos (180° 2 60°) 5 2cos 60°
Alternativa d.
17. cos 263
π 1 cos 893
π 5
5 cos 243
2
3
π π
1
1 cos
84
3
5
3
π π
1
5
5 cos 8 23π
π
1
1 cos 28 53π
π
1
5
5 cos 23
π 1 cos 53
π 5
5 2 112
1
2 5 0
Alternativa b.
18. E 5 sen sen
sen 2
( ) ( )
( )
π π
π
2 2 1
2
x x
x
5
5
sen sen
sen
1
2
x x
x
5 2sen
sen 2
x
x
5 22
Alternativa d.
19. Se cos 5 2 47
, então cos (180° 2 ) 5
5 2cos 5 47
Assim:
cos (180° 2 ) 5 AB12 ⇒ AB 5
4
7 12 ⇒ AB 5
48
7
Portanto, a medida do cateto tABu é 48
7
cm.
20. a) E 5
cos sen
sen 3
2
( )
2 1 1
2
π
π
2
⇒
⇒ E 5 cos coscos
1
2
E 5 2 coscos
2
5 22
b) E 5 cos 0° sen °sen 90° cos (360°
22 1
1
( )90
22 ) ⇒
⇒ E 5 1 cos1 cos
22
1
E 5 (1 cos (1 cos1 cos
1 2
1
) ) 5 12 cos
21. E 5
sen sen
cos 3
2
( )
π π
π
2 2 2
2
x
x
2
y
⇒
⇒ E 5 sen cossen
2
2
x y
x
Mas x 1 y 5 32
π ⇒ y 5 32
π 2 x
Então, cos y 5 cos 3
2
π 2 x
5 2sen x; portanto:
E 5 sen sensen
2 2
2
x x
x
( ) ⇒ E 5 2 sensen 2
x
x 5 22
22. Como sen 70° 5 cos 20° e sen 50° 5 cos 40°, temos:
E 5 sen2 20° 1 sen2 40° 1 sen2 50° 1 sen2 70° ⇒
⇒ E 5 sen2 20° 1 sen2 40° 1 cos2 40° 1 cos2 20°
E 5 2
23. Como cos 140° 5 2cos 40°; temos:
E 5 sen cos
sen cos
2 2
2 2
1
1
30 60
40 140
° °
° °
⇒
⇒ E 5
1
2
1
2
40 40
2 2
2
1
1sen 2 ° °cos
5
1
4
1
4
1
1
E 5 12
1
▲▲
1
▲▲
GM_Mat_Paiva_v2_030a048.indd 31 7/31/09 10:37:37 AM
32 Matemática Paiva Parte específica
24.
a
� b
a 1 b 1 5 180° ⇒ a 1 b 5 180° 2
Logo, cos (a 1 b) 5 cos (180° 2 ) 5 2cos
Pela relação fundamental, sen2 1 cos2 5 1, te-
mos:
15
4
2
1 cos2 5 1 ⇒ cos2 5 1 2 1516
1
165
cos 5 ± 1
4
Como é a medida de um ângulo agudo, obtemos
cos 5 14
.
Concluímos, então, que cos (a 1 b) 5 2cos 5
5 2 14
.
25. Sendo d a distância procurada, esquematizamos:
A
20 cm
180° � �
�
�
E
d
D C
B
Pela relação fundamental, sen2 1 cos2 5 1, calcu-
lamos sen :
sen2 1 2 53
2
5 1 ⇒ sen2 5 1 2 59
4
9
5
sen 5 ± 2
3
Como 0 90°, só nos interessa o valor positivo
do seno, isto é:
sen 5 23
Do triângulo ADE, obtemos:
sen (180° 2 ) 5 d20 ⇒ sen 5
d
20
23 20
5
d ⇒ d 5 403
Portanto, a distância do ponto D à reta ,AB - é 40
3
cm.
26. sen x 1 cos x 5 0,6 ⇒ (sen x 1 cos x)2 5 (0,6)2
sen2 x 1 2 sen x cos x 1 cos2 x 5 0,36 ⇒
⇒ 1 1 2 sen x cos x 5 0,36
sen x cos x 5 0 36 12
, 2
sen x cos x 5 20,32
27. 4 5 5 0
1
2
2 2
cos
cos
x x
x x
5 2 5
1 5
sen
sen
⇒
⇒ 4 5 5 0
2
2
cos ( )
cos
x x
x
5 2 5
5
sen I
11 2 ( )2 sen IIx
Substituindo (II) em (I), temos:
4(1 2 sen2 x) 1 5 sen x 2 5 5 0 ⇒
⇒ 4 sen2 x 1 5 sen x 1 1 5 0
Fazendo a mudança de variável sen x 5 k, obtemos a
equação do 2º grau:
4k2 2 5k 1 1 5 0
5 (25)2 2 4 4 1 5 9
k 5 22( )5 92 4
±
⇒ k 5 1 ou k 5 14
Retornando à variável original, temos:
sen x 5 1 [não convém, pois 0 x π2 ]
ou sen x 5 14
Portanto, concluímos que sen x 5 14
.
28. x2 2 4x 1 4 cos2 5 0
5 (24)2 2 4 1 4 cos2 5 16 2 16 cos2 5
5 16(1 2 cos2 )
Como 1 2 cos2 5 sen2 , temos:
5 16 sen2
x 5 22 ( )
4 16
2 1
2± sen
⇒ x 5 4 4 ± sen 2
x 5 2 2 sen
Portanto: S 5 {2 2 2 cos , 2 1 2 cos }
29. E 5
cos cos
(
0 1 2 1sen
2
sen
π πx x
( )
22 1x x) cos π
2
⇒
⇒ E 5 1 cos ( cos ) ( )
1 2
2 2
x
x
x x
sen sen E 5
1 2
2
2cos
x
xsen
Como 1 2 cos2 x 5 sen2 x, concluímos:
E 5 sen
sen
2
2
x
x
5 1
30. a) Soma 5 22( )21
k 5 2k
b) Produto 5 k k
2
1
1 5 k2 1 k
c) Sendo as raízes sen e cos , temos:
sen I
sen
cos ( )
cos
1 5
2k
5 1k k2 ( )II
Quadramos ambos os membros de (I):
(sen 1 cos )2 5 (2k)2 ⇒
⇒ sen2 1 2 sen cos 1 cos2 5 4k2
1 1 2 sen cos 5 4k2 (III):
Substituímos (II) em (III):
1 1 2(k2 1 k) 5 4k2
2k2 2 2k 2 1 5 0
5 (22)2 2 4 2 (21) 5 12
k 5 22( )
2 12
2 2
±
5 2 2 34
± ⇒
GM_Mat_Paiva_v2_030a048.indd 32 8/1/09 10:11:36 AM
33 Parte específica Matemática Paiva
⇒ k 5 1 32
±
Como k é um número real negativo, concluímos
que k 5 1 32
.2
31. a) O valor de x, com 0° x 360°, para que sen x 5 1
é x 5 90°.
Logo, S 5 {90°}.
b) Os valores de x, com 0° x 360°, para os quais
cos x 5 0 são x 5 90° ou x 5 270°.
Logo, S 5 {90°, 270°}.
c) Os valores de x, com 0° x 360°, para os quais
sen x 5 12 são x 5 30° ou x 5 180° 2 30° 5 150°.
Logo, S 5 {30°, 150°}.
d) Os valores de x, com 0° x 360°, para os quais
cos x 5 2 12 são x 5 180° 2 60° 5 120° ou
x 5 180° 1 60° 5 240°.
Logo, S 5 {120°, 240°}.
32. sen2 x 5 12 ⇒ sen x 5 2
2
2 ou sen x 5
2
2
sen
3π
4
�
� 3π
4
�
π
4
π
4
√2
2
√2
2
x 5 2 34
π ou x 5 2 π4 ou x 5
π
4 ou x 5
3
4
π
Logo, S 5 { }2 234 4 4
3
4
π π π π, , , .
33. 43 cos x 5 8 ⇒ (22)3 cos x 5 23
22 3 cos x 5 23 ⇒ 26 cos x 5 23
6 cos x 5 3 ⇒ cos x 5 12
Os valores de x, com 0 x 2π, tais que cos x 5 12
são x 5 π3 ou x 5
5
3
π .
Alternativa a.
34. Sendo m(A BCB) 5 , temos duas possibilidades:
A
8
16
�
B C
ou
A
816
�
B
C
180° � �
Na primeira figura, temos sen 5 816 5
1
2
; na se-
gunda, temos sen (180° 2 ) 5 816 5
1
2
.
Como, porém, sen (180° 2 ) 5 sen , deduzimos
que nas duas figuras as medidas são raízes da equa-
ção sen 5 12
, com 0° 180°. Essas raízes são:
30° ou 150°.
Alternativa d.
35. Sendo a medida procurada, esquematizamos:
A C
O
B
20 cm
10√3 cm
�
Assim, temos:
cos 5 5
10 3
20
3
2
0° 90°
⇒ 5 30°
Logo, a medida do ângulo agudo que a corda tABu for-
ma com o diâmetro tACu é 30°.
36. sen x cos x 5 0 ⇒ sen x 5 0 ou cos x 5 0
Para 0 x 2π, concluímos:
• sen x 5 0 ⇒ x 5 0 ou x 5 π ou x 5 2π
• cos x 5 0 ⇒ x 5 π
2
ou x 5 32
π
Logo, S 5 { }0 2
2
3
2
, , , , .π π π π
37. sen x cos x 2 3 sen x 5 0 ⇒ sen x (cos x 2 3) 5 0
sen x 5 0 ou cos x 5 3 (não convém)
Para 0 x 2π, concluímos:
sen x 5 0 ⇒ x 5 0 ou x 5 π
Logo, S 5 {0, π}.
38. 2 sen x cos x 2 2 cos x 5 0 ⇒
⇒ cos x (2 sen x 2 2 ) 5 0
cos x 5 0 ou sen x 5 22
Para 0 x 2π, concluímos:
• cos x 5 0 ⇒ x 5 π2 ou x 5
3
2
π
• sen x 5 22 ⇒ x 5
π
4 ou x 5
3
4
π
Logo, S 5 { }π π π π
2
3
2 4
3
4
, , , .
GM_Mat_Paiva_v2_030a048.indd 33 8/1/09 10:12:26 AM
34 Matemática Paiva Parte específica
39. 2 sen x cos x 5 cos x ⇒ 2 sen x cos x 2 cos x 5 0
cos x(2 sen x 2 1) 5 0 ⇒ cos x 5 0 ou sen x 5 12
Para 0 x 2π, concluímos:
cos x 5 0 ⇒ x 5 π2 ou x 5
3
2
π
sen x 5 12 ⇒ x 5
π
6 ou x 5
5
6
π
Logo, S 5 { }π π π π
2
3
2 6
5
6
, , , .
40. sen3 x cos x 2 3 sen x cos x 5 0 ⇒
⇒ sen x cos x (sen2 x 2 3) 5 0
sen x 5 0 ou cos x 5 0 ou sen x 5 3 (não con-
vém)
Para 0 x 2π, concluímos:
• sen x 5 0 ⇒ x 5 0 ou x 5 π
• cos x 5 0 ⇒ x 5 π2 ou x 5
3
2
π
Logo, S 5 { }0
2
3
2
, , , .π π π
41. a) (4 sen2 x 2 3)(cos x 2 1) 5 0 ⇒ 4 3 0sen2
(I)
x 2 5
ou cos x 2 51 0
(II)
Resolvendo as equações (I) e (II), para 0 x 2π,
temos:
(I) 4 sen2 x 2 3 5 0 ⇒ sen2 x 5 34
sen x 5 ± 32 ⇒ x 5
π
3 ou x 5
2
3
π ou
x 5 43
π ou x 5 53
π
(II) cos x 2 1 5 0 ⇒ cos x 5 1 x 5 0 ou x 5 2π
De (I) e (II), concluímos:
S 5 { }0
3
2
3
4
3
5
3
2, , , , , π π π π π
b) cos2 x sen x 2 sen x 5 0 ⇒ sen x (cos2 x 2 1) 5 0
sen x 5 0 ou cos x 5 1 ou cos x 5 21
Para 0 x 2π, concluímos:
• sen x 5 0 ⇒ x 5 0 ou x 5 π ou x 5 2π
• cos x 5 1 ⇒ x 5 0 ou x 5 2π
• cos x 5 21 ⇒ x 5 π
Logo, S 5 {0, π, 2π}.
c) 4 sen x cos x 1 2 sen x 2 2 cos x 2 1 5 0 ⇒
⇒ 2 sen x (2 cos x 1 1) 2 1 (2 cos x 1 1) 5 0
(2 cos x 1 1)(2 sen x 2 1) 5 0 ⇒ cos x 5 2 12
ou sen x 5 12
Para 0 x 2π, concluímos:
• cos x 5 2 12 ⇒ x 5
2
3
π ou x 5 43
π
• sen x 5 12 ⇒ x 5
π
6 ou x 5
5
6
π
Logo, S 5 { }2
3
4
3 6
5
6
π π π π, , , .
d) 2 sen2 x 2 sen x 5 0 ⇒ sen x (2 sen x 2 1) 5 0
sen x 5 0 ou sen x 5 12
Para 0 x 2π, concluímos:
• sen x 5 0 ⇒ x 5 0 ou x 5 π ou x 5 2π
• sen x 5 12 ⇒ x 5
π
6 ou x 5
5
6
π
Logo, S 5 0
6
5
6
2, , , , .π π π π
42. sen2 x 1 sen (2x) 5 0 ⇒ sen2 x 2 sen x 5 0
sen x (sen x 2 1) 5 0 ⇒ sen x 5 0 ou sen x 5 1
Para 0 x 2π, obtemos:
• sen x 5 0 ⇒ x 5 0 ou x 5 π ou x 5 2π
• sen x 5 1 ⇒ x 5 π2
Concluímos, assim, que a soma das raízes é:
0 1 π 1 2π 1 π π2
7
2
5
Alternativa a.
43. a) cos2 x 2 4 cos x 1 3 5 0
Fazendo a mudança de variável cos x 5 t, obtemos
a equação de 2º grau:
t2 2 4t 1 3 5 0
5 (24)2 2 4 1 3 5 16 2 12 5 4
t 5 22 5( )
4 4
2 1
4 2
2
± ±
⇒ t 5 3 ou t 5 1
Como cos x 5 t, temos cos x 5 3 (impossível) ou
cos x 5 1.
Para 0 x 2π, concluímos:
cos x 5 1 ⇒ x 5 0
Logo, S 5 {0}.
b) sen2 x 2 3 sen x 1 2 5 0
Fazendo a mudança de variável sen x 5 t, obtemos
a equação do 2º grau:
t2 2 3t 1 2 5 0
5 (23)2 2 4 1 2 5 9 2 8 5 1
t 5 22 5( )
3 1
2 1
3 1
2
± ±
⇒ t 5 2 ou t 5 1
Como sen x 5 t, temos sen x 5 2 (impossível) ou
sen x 5 1.
Para 0 x 2π, concluímos:
sen x 5 1 ⇒ x 5 π2
Logo, S 5 { }π
2
.
c) 2 cos2 x 1 3 cos x 1 1 5 0
Fazendo a mudança de variável cos x 5 t, obtemos
a equação do 2º grau:
2t2 1 3t 1 1 5 0
5 32 2 4 2 1 5 9 2 8 5 1
t 5 2 5 23 12 2
3 1
4
± ±
⇒
⇒ t 5 2 12 ou t 5 21
Como cos x 5 t, temos cos x 5 2 12 ou cos x 5 21.
GM_Mat_Paiva_v2_030a048.indd 34 8/1/09 10:13:11 AM
35 Parte específica Matemática Paiva
Para 0 x 2π, concluímos:
• cos x 5 2 12 ⇒ x 5
2
3
π ou x 5 43
π
• cos x 5 21 ⇒ x 5 π
Logo, S 5 { }23
4
3
π π π, , .
44. 2 sen2 x 2 3 sen x 1 1 5 0
Fazendo a mudança de variável sen x 5 t, obtemos a
equação do 2º grau:
2t2 2 3t 1 1 5 0
5 (23)2 2 4 2 1 5 9 2 8 5 1
t 5 2 2 5( )
3 1
2 2
3 1
4
± ±
⇒ t 5 12 ou t 5 1
Retornando à variável original, temos:
sen x 5 12 ou sen x 5 1
Para 0 x 52
π , concluímos:
• sen x 5 12 ⇒ x 5
π
6 ou x 5
5
6
π ou
x 5 136
π (3 soluções)
• sen x 5 1 ⇒ x 5 π2 ou x 5
5
2
π (2 soluções)
Logo, a equação possui 5 soluções no intervalo consi-
derado.
Alternativa d.
45. sen2 x 2 2 cos x 2 2 5 0 ⇒ 1 2 cos2 x 2 2 cos x 2 2 5 0
cos2 x 1 2 cos x 1 1 5 0
Fazendo a mudança de variável cos x 5 y, obtemos a
equação do 2º grau:
y2 1 2y 1 1 5 0
5 22 2 4 1 1 5 0
y 5 22 02 1
±
⇒ y 5 21
Retornando à variável original, temos cos x 5 21.
Assim, para 0 x 2π, concluímos:
cos x 5 21 ⇒ x 5 π
Logo, S 5 {π}.
46. 9 2 2 cos2 x 5 15 sen x ⇒ 9 2 2(1 2 sen2 x) 5 15 sen x
2 sen2 x 2 15 sen x 1 7 5 0
Fazendo a mudança de variável sen x 5 t, obtemosCompartilhar
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