Solucionário Box Matemática I SM

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   Capítulo 12 – Circunferência trigonométrica 
Página 260 – Para começar
1. Para determinar quantas vezes o aspersor lançará água em uma 
volta, dividimos 360 (que é o valor em graus de uma volta com-
pleta) por 25 (que é a medida do ângulo de ajuste do aspersor):
 
360
 ______ 25 5 14,4
Assim, na primeira volta o aspersor lançará água 14 vezes.
2. Como o aspersor foi ajustado para lançar água a cada 258 e uma 
volta completa equivale a 3608, precisamos determinar um núme- 
ro que seja múltiplo de 25 e de 360. Fatoramos esses números:
25, 360 2
25, 180 2
25, 90 2
25, 45 3
25, 15 3
25, 5 5
5, 1 5
1, 1 23 ? 32 ? 52
Assim, o primeiro número que é múltiplo de 25 e de 360 é 1 800. 
Portanto, após 1 8008 o aspersor emitirá um jato na direção da 
posição inicial, ou seja, ao completar a 5a volta.
3. Qualquer número que seja divisor de 360 e maior do que 25 per-
mite que o aspersor lance jatos coincidentes depois da primei-
ra volta. Assim, podemos ajustá-lo nos seguintes ângulos: 3608, 
1808, 1208, 908, 728, 608, 458, 408, 368 e 308.
Página 263 – Cálculo mental
Pela relação 19 5 ( 1 _____ 60 ) 8, temos que 609 5 18.
Assim: 98 5 9 ? 609 5 5409
Página 265 – Exercícios propostos
4. O comprimento do arco é º 5 3,14 e a medida a do ângulo cen-
tral associado a ele é a 5 p. Então, pela relação º 5 a ? r, obte-
mos: 3,14 5 p ? r ä r 5 3,14 ______ p ä r > 1
Logo, o raio da circunferência mede aproximadamente 1 cm.
5. O diâmetro de uma circunferência é o dobro de seu raio. Assim 
o raio dessa circunferência mede r 5 14 cm. Sendo a a medida 
em radiano do arco, temos: a 5 º __ r 5 
14p
 ______ 14 5 p 5 180°
Logo, o raio mede 180° (alternativa d).
6. O diâmetro de uma circunferência é o dobro de seu raio. Assim, o 
raio dessa circunferência mede r 5 10 m. Sendo a a medida em 
radiano do arco, temos: a 5 º __ r 5 
30 ____ 10 5 3
Logo, o arco mede 3 rad.
7. Um relógio com mostrador circular tem, ao redor de sua circun-
ferência, exatamente 12 marcações igualmente espaçadas, que 
representam as horas. Como a circunferência completa mede 3608, 
a medida angular entre as marcações que representam as horas é 
3608 : 12 5 308, ou seja, a cada 1 hora (60 minutos) o ponteiro 
das horas percorre 308. Então, para determinar em quantos minutos 
esse ponteiro percorre 378, utilizamos uma regra de três simples:
Ponteiro das horas
(em minuto)
Ponteiro das horas
(em grau)
60 > 30
x > 37
x 5 37 ? 60 __________ 30 5 74
Assim, o ponteiro das horas percorre 378 em 74 minutos, o que 
equivale a 1 hora e 14 minutos, que é o horário mostrado pelo 
relógio.
8. O ponteiro dos minutos percorre 3608 em 60 minutos. Utilizan-
do uma regra de três simples, determinamos quantos graus o 
ponteiro dos minutos percorre em 25 minutos: 
Ponteiro dos minutos
(em minuto)
Ponteiro dos minutos
(em grau)
60 > 360
25 > x
x 5 
25 ? 360
 ____________ 60 5 150
Portanto, o ponteiro dos minutos descreve um ângulo de 1508 
a cada 25 minutos. Para transformar 1508 em radianos, usamos 
outra regra de três simples:
Medida em grau Medida em radiano
180 > p
150 > a
a 5 
150 ? p
 ___________ 180 ä a 5 
5p
 _____ 6 
Portanto, a medida do ângulo descrito pelo ponteiro dos minu-
tos em um período de 25 minutos é 5p _____ 6 rad.
9. O ponteiro dos minutos percorre 3608 em 1 hora (60 minutos). 
Assim, determinamos quantos graus esse ponteiro percorre em 
1 h 12 min (72 min):
Ponteiro dos minutos
(em minuto)
Ponteiro dos minutos
(em grau)
60 > 360
72 > x
x 5 
72 ? 360
 ____________ 60 5 432
Então, em 1 h 12 min, o ponteiro dos minutos percorre 4328 (uma 
volta completa mais 728).
O ponteiro das horas percorre 308 em 1 hora (60 minutos). 
Assim, determinamos quantos graus esse ponteiro percorre em 
1 h 12 min (72 minutos): 
Ponteiro das horas
(em minuto)
Ponteiro das horas
(em grau)
60 > 30
72 > x
x 5 
72 ? 30
 __________ 60 5 36
Então, em 1 h 12 min, o ponteiro das horas percorre 368. 
Assim, o ponteiro dos minutos, quando o relógio marca 1 h 12 min, 
está a 728 do número 12, e o ponteiro das horas a 368. Portanto, 
o menor ângulo formado pelos ponteiros é a diferença entre essas 
medidas, 728 2 368 5 368, e o maior ângulo é 3608 2 368 5 3248.
10. O ponteiro das horas percorre 30° em 1 hora (60 minutos). Uti-
lizando uma regra de três simples, determinamos quantos graus 
o ponteiro das horas percorre em 1 minuto:
Ponteiro das horas
(em minuto)
Ponteiro das horas
(em grau)
60 30
1 > x
x 5 
1 ? 30
 _________ 60 5 0,5°
Então, em 1 minuto, o ponteiro das horas percorre 0,5°.
Assim, a cada y minuto o seu desloca-
mento é de 
0,5° y 5 
y
 __ 2 ä 
y
 __ 2 5 a ä y 5 2a (I)
O ponteiro dos minutos percorre 360° 
em 1 hora (60 minutos). 
Utilizando uma regra de três simples, 
determinamos quantos graus o pontei-
ro dos minutos percorre em 1 minuto:
>
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
360˚ 2 a
a
a
 Respostas das atividades propostas no Livro do Aluno
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3
Ponteiro das horas
(em minuto)
Ponteiro das horas
(em grau)
60 360
1 > x
x 5 
1 ? 360
 __________ 60 5 6°
Então, em 1 minuto, o ponteiro dos minutos percorre 6°.
Assim, a cada y minuto o seu deslocamento é de 6°y. De acordo 
com a figura acima, obtemos:
360° 2 a 5 6°y ä y 5 360 2 a ____________ 6 (II)
Igualando (I) com (II), obtemos:
360 2 a ___ 6 5 2a ä 360 2 a 5 12a ä 360 5 12a 1 a ä
ä 360 5 13a ä a 5 360 ______ 13 
Substituindo o valor de a na equação (I), temos:
y 5 2a ä y 5 2 ∙ 360 ______ 13 5 
720 ______ 13 5 55 
5 ____ 13 
Logo, o relógio marca 6 horas e 55 5 ____ 13 minutos (alternativa c).
11. O ponteiro dos minutos percorre 360° (2p rad) em 1 hora (60 minu-
tos), enquanto o ponteiro das horas percorre 30° ( p ___ 6 rad ) .
Posição Inicial Posição Final
x
Enquanto o ponteiro das horas se deslocou x rad, o ponteiro dos 
minutos se deslocou (2p 1 x) rad.
Assim,
 2p 1 x __________ x 5 
2p ____ 
 p ___ 6 
 ≤ 2p 1 x __________ x 5 2p ? 
6 ___ p ≤ 
2p 1 x __________ x 5 12 ≤
≤ 2p 1 x 5 12x ≤ 2p 5 12x 2 x ≤ 2p 5 11x ≤ x 5 2p ____ 11 
Assim, o ponteiro dos minutos varreu um ângulo (2p 1 x) rad, 
ou seja, 2p 1 2p ____ 11 5 
24p
 ______ 11 rad (alternativa c).
12. Para representar os arcos utilizando um transferidor, determi-
namos suas medidas em graus. Adotando p 5 3,14 e utilizando 
regras de três simples, obtemos as seguintes medidas, em graus.
a) Medida em grau Medida em radiano
180 > p
 a 1 > 2
 a 1 5 
180 ? 2 __________ p > 114
b) Medida em grau Medida em radiano
180 > p
 a 2 > 
2p ____ 3 
 a 2 5 
 180 ? 2p ____ 3 
 ______________ p 5 120
c) Medida em grau Medida em radiano
180 > p
 a 3 > 3,5
 a 3 5 
180 ? 3,5 _____________ p > 200
>
d) Medida em grau Medida em radiano
180 > p
 a 4 > 7p ____ 6 
 a 4 5 
 180 ? 7p _____ 6 _______________ p 5 210 
Assim, escolhendo um ponto A de uma circunferência de centro O 
para uma das extremidades de cada arco, e sendo B 1 , B 2 , B 3 e B 4 
a outra extremidade dos arcos de medidas a 1 , a 2 , a 3 e a 4 , temos 
os arcos A B 1 , A B 2 , A B 3 e A B 4 , cujas extremidades estão represen-
tadas a seguir:
A
O
B1
B2
B3 B4
13. O ângulo central associado ao arco mede a 5 3 rad, e a circunfe-
rência tem raio medindo r 5 6 cm. Então, pela relação º 5 a ? r, 
obtemos: º 5 3 ? 6 5 18
Logo, o comprimento do arco é 18 cm.
14. O ponteiro dos minutos percorre 3608 em 60 minutos. Então, 
utilizando uma regra de três simples, determinamos quantos 
graus esse ponteiro percorre em 45 minutos: 
Ponteiro dos minutos
(em minuto)
Ponteiro dos minutos
(em grau)
60 > 360
45 > x
x 5 
45 ? 360
 ____________ 60 5 270
Portanto, o ponteiro dos minutos percorre 2708 em 45 minutos.
O ponteiro das horas percorre 308 em 60 minutos. Então, utili-
zando uma regra de três simples, determinamos quantos graus 
esse ponteiro percorre em 45 minutos:Ponteiro dos minutos
(em minuto)
Ponteiro dos minutos
(em grau)
60 > 30
45 > y
y 5 
45 ? 30
 ___________ 60 5 22,5
Portanto, o ponteiro das horas percorre 22,58 em 45 minutos.
Então, às 23 h 45 min, o ponteiro das horas percorreu um arco 
de 11 ? 308 1 22,58 5 352,58, a medida do menor arco formado 
pelos ponteiros é 352,58 2 2708 5 82,58, e a medida do maior 
arco é 3608 2 82,58 5 277,58.
15. 
polo Norte
linha do
Equador
polo Sul
208
408
608
808
0
M
P
SPM2_MP_BOX_RES_C01_002A015.indd 3 7/23/15 2:02 PM
4
A medida a do ângulo agudo formados pelos segmentos OS e OT 
é dada pela diferença entre as latitudes de Taubaté e São Luís:
a 5 23°019 2 02°219 5 20°309 5 41 ______ 360 p
O comprimento da linha do Equador é C 5 40 000 km.
Então, pela relação C 5 2pr, obtemos o valor do raio da Terra.
C 5 2pr ä 40 000 5 2pr ä r 5 40 000 ___________ 2π ù 6 367
Logo, o raio da Terra é aproximadamente 6 367 km. Assim, a dis-
tância entre as duas cidades é dada pelo comprimento º do arco 
de medida a, em radianos:
º 5 a ? r ä º 5 41 ______ 360 p ? 6 367 ä º ù 725p
Para p 5 3,14, obtemos º ù 725 ∙ 3,14 5 2 276,5. 
Logo, a distância entre São Luís e Taubaté é aproximadamente 
2 276,5 km.
16. Sendo O o centro das circunferências que determinam as lati-
tudes e longitudes (centro da esfera), o ângulo central formado 
pelos segmentos OA e OB tem medida a 5 1358 2 908 5 458, 
pois os pontos A e B pertencem à mesma latitude (coordenada y). 
Como 458 equivale a p ___ 4 rad, o comprimento º do arco AB é:
º 5 a ? r 5 p ___ 4 ? 6 400 5 
3 __ 4 ? 6 400 5 4 800
Logo, a distância percorrida para ir de A até B é 4 800 km.
Analogamente, o ângulo central formado pelos segmentos OB e 
OC tem medida b 5 608 2 08 5 608, pois os pontos B e C per-
tencem à mesma longitude (coordenada x). Como 608 equivale 
a p ___ 3 rad, o comprimento º do arco BC é:
º 5 a ? r 5 p ___ 3 ? 6 400 5 
3 ___ 3 ? 6 400 5 6 400
Logo, a distância percorrida para ir de B até C é 6 400 km.
Assim: 4 800 1 6 400 5 11 200
Portanto, a distância mínima percorrida pelo navio no trajeto 
ABC é 11 200 km.
17. Usain Bolt: o ângulo central associado mede a 5 60° 5 p ___ 3 rad, e 
a circunferência tem raio medindo r 5 60 m. Então, pela relação 
º 5 a ? r, obtemos º 5 p ___ 3 ? 60 5 20p
Para p 5 3,14, o comprimento º 5 20p 5 20 ? 3,14 5 62,8 m. 
Logo, a distância percorrida por Usain Bolt é 62,8 m.
Adversário: o ângulo central associado mede a 5 60° 5 p ___ 3 rad, 
e a circunferência tem raio medindo r 5 80 m. Então, pela rela-
ção º 5 a ? r , obtemos: º 5 p ___ 3 ? 80 5 
80 ____ 3 p
Para p 5 3,14, o comprimento º 5 80 ____ 3 p 5 
80 ____ 3 ∙ 3,14 > 83,7 m. 
Logo, a distância percorrida pelo adversário é 83,7 m.
a) Como vamos utilizar a marca que Usain Bolt conquistou em 
2009, em Berlim, portanto o tempo t 5 9,58 s 
Vamos obter a velocidade de Usain Bolt: 
Vmédia 5 
Distância _____________ Tempo 5 
62,8 m __________ 9,58 s > 6,55 m/s
Vamos obter a velocidade do adversário: 
Vmédia 5 
Distância _____________ Tempo 5 
83,7 m __________ 9,58 s > 8,74 m/s
Portanto, para que, ao longo do percurso destacado, os atle-
tas estejam sempre lado a lado, o adversário deve obter uma 
velocidade média de, aproximadamente, 8,74 m/s. 
b) Subtraindo os resultados 8,74 2 6,55 5 2,19 m/s. Utilizando 
regra de três simples, determinamos, em porcentagem, quan-
to maior a velocidade do adversário.
Velocidade
(em m/s)
Porcentagem
(em %)
8,74 > 100
2,19 > x
x 5 2,19 ∙ 100 ______________ 8,74 5 
219 _______ 8,74 > 25,06% 
Logo, a velocidade do adversário é aproximadamente 25,06% 
maior do que a de Usain Bolt.
18. Apresentamos o texto a seguir como material de apoio para a 
validação da resposta deste exercício. 
Medindo a circunferência da Terra
A ciência grega antiga sempre foi palco de grandes descobertas 
e invenções em relação à ciência experimental. Uma das grandes 
descobertas científicas gregas foi sem dúvida o comprimento da 
circunferência da Terra. Embora o método utilizado na época 
(século III a.C.) possa parecer simplório, vale lembrar que nesse 
período não se tinha conhecimento matemático e muito menos 
científico como temos hoje em dia.
Um método muito utilizado para se medir distâncias muito 
grandes é a triangulação, que requer apenas uma distância co-
nhecida para servir de base e um instrumento que permita mirar 
objetos distantes e medir o ângulo entre a direção da mira e a linha 
de base. Esse método serve, por exemplo, para medir a distância 
entre duas margens de um rio, sem a necessidade de atravessá-lo.
Uma variação deste método foi utilizada por Eratóstenes no 
século III a.C. para medir o raio da Terra. A ideia de que a Terra 
teria uma forma esférica já era difundida nessa época, pois Aris-
tóteles havia citado como argumento a sombra circular projetada 
pela Terra sobre a Lua sempre que ela estava entre o Sol e a Lua.
O método de Eratóstenes está ilustrado na figura abaixo. No dia 
de solstício de verão (o dia mais longo do ano), na cidade de Siene 
(atual Aswan), ao meio-dia, os raios solares eram extremamente 
verticais, o que ele verificou pela ausência de sombra de uma estaca 
cravada verticalmente no solo.
Alexandria
Siene
raios
solares
S
u
u
R
Ao mesmo tempo, em Alexandria, a norte de Siene sobre o mes-
mo meridiano, os raios solares faziam um ângulo u 5 7,28 com a 
vertical. Esse ângulo foi medido utilizando um fio de prumo.
Para saber a distância s entre Siene e Alexandria, Eratóstenes 
mandou seu aprendiz percorrer o trajeto entre as cidades utilizando 
uma roda com circunferência conhecida, de modo que ao final do per-
curso bastava apenas multiplicar a quantidade de voltas realizadas 
pelo comprimento da circunferência. O valor para s encontrado por 
Eratóstenes foi de 5 000 “stadia” (medida grega de comprimento 
na época). Tendo todos esses valores, o matemático grego utilizou 
uma regra de três muito simples, dada por: s ____ 2pR 5 
u ____ 
3608
 
Substituindo o valor obtido para u, Eratóstenes chegou à 
seguinte expressão: C 5 2pR 5 50 s
Assim, foi possível calcular o raio da Terra, e consequentemente 
o comprimento da circunferência da Terra, chegando ao valor de: 
C 5 250 000 “stadia”, o que corresponde a C 5 39 250 km.
Hoje, este valor está medido muito precisamente, correspon-
dendo a C 5 40 023 km, ou seja, a medida feita pelo matemático 
grego apresentou um erro menor que 2% em relação ao conhecido 
atualmente. Assim, é possível notar a exatidão das medidas rea-
lizadas por Eratóstenes, em uma época em que ainda não havia 
sido desenvolvido o cálculo e muito menos aparelhos capazes de 
realizar medidas de longas escalas de comprimento.
Disponível em: <http://www.inape.org.br/colunas/fisica-conceito-historia/
medindo-circunferencia-terra>. Acesso em: 15 jul. 2015.
Página 268 – Exercícios propostos
20. Temos que: se 08 , m( C AB ) , 908, então o arco AB está no 1o qua- 
drante; se 908 , m( C AB ) , 1808, então o arco AB está no 2o quadran- 
te; se 1808 , m( C AB ) , 2708, então o arco AB está no 3o quadrante; 
e se 2708 , m( C AB ) , 3608, então o arco AB está no 4o quadrante.
a) Como a medida do arco AB é 2008, valor que está entre 1808 
e 2708, a extremidade B do arco AB está no 3o quadrante.
SPM2_MP_BOX_RES_C01_002A015.indd 4 7/23/15 2:02 PM
5
b) Como a medida do arco AB é 968, valor que está entre 908 e 
1808, a extremidade B do arco AB está no 2o quadrante.
c) Para determinar a posição da extremidade B do arco AB, po-
demos escrever sua medida em grau: 15p ______ 8 5 
15 ? 180 ____________ 8 5 337,5
Como a medida 337,58 está entre 2708 e 3608, a extremidade B 
do arco AB está no 4o quadrante.
d) Sabemos que 2p rad equivalem a 3608; então, por uma regra 
de três simples, determinamos 1,5 rad em grau:
Medida em grau Medida em radiano
180 > p
x > 1,5
x 5 
180 ? 1,5
 _____________ p > 86
Como a medida 868 está entre08 e 908, a extremidade B do 
arco AB está no 1o quadrante.
e) Sabemos que 2p rad equivalem a 3608; então, por uma regra 
de três simples, determinamos 3 rad em grau: 
Medida em grau Medida em radiano
180 > p
x > 3
x 5 
180 ? 3 
 ____________ p ä x > 172
Como a medida 1728 está entre 908 e 1808, a extremidade B 
do arco AB está no 2o quadrante.
f) Escrevemos 2 
3p
 _____ 5 rad em grau: 2 
 3 ? 180
 ___________ 5 5 2108
Então, saindo do ponto A(1, 0), percorremos no sentido 
horário 1088. Como 1088 5 908 1 188, percorremos todo o 
4o quadrante e mais 188. Então, a extremidade B do arco AB 
está no 3o quadrante.
g) Saindo do ponto A(1, 0), percorremos no sentido horário 808. 
Então, a extremidade B do arco AB está no 4o quadrante.
h) Saindo do ponto A(1, 0), percorremos no sentido horário 
3308. Como 3308 5 2708 1 608, percorremos todo o 4o qua-
drante, todo o 3o quadrante, todo o 2o quadrante e mais 608. 
Então, a extremidade B do arco AB está no 1o quadrante.
i) Sabemos que 2p rad equivalem a 3608; então, por uma regra 
de três simples, determinamos 22,5 rad em grau:
Medida em grau Medida em radiano
180 > p
x > 22,5
x 5 
180 ? (22,5)
 __________________ p > 2143 
Então, saindo do ponto A(1, 0), percorremos no sentido horá-
rio 1438. Como 1438 5 908 1 538, percorremos todo o 4o qua-
drante mais 538. Então, a extremidade B do arco AB está no 
3o quadrante.
21. Determinamos a medida dos arcos para cada valor de n:
Para n 5 0: m( C A B 0 ) 5 
(3 ? 0 1 2) ? p
 ____________________ 6 5 
2p
 ____ 6 5 
p ___ 3 
Para n 5 1: m( C A B 1 ) 5 
(3 ? 1 1 2) ? p
 ___________________ 6 5 
5p
 _____ 6 
Para n 5 2: m( C A B 2 ) 5 
(3 ? 2 1 2) ? p
 ___________________ 6 5 
8p
 _____ 6 5 
4p
 _____ 3 
Para n 5 3: m( C A B 3 ) 5 
(3 ? 3 1 2) ? p
 ____________________ 6 5 
11p
 ______ 6 
Então, temos a representação das extremidades de cada arco: 
y
A
x
B1
B2
B3
B4
22. Como uma circunferência tem 2p rad de comprimento, dividin-
do-a em 10 partes iguais, obtemos: 2p ____ 10 rad 5 
p ___ 5 rad
Assim, as medidas dos arcos são:
m ( C AB ) 5 p ___ 5 rad, m ( 
C AC ) 5 2p ____ 5 rad, m ( 
C AD ) 5 3p _____ 5 rad, 
m ( C AE ) 5 4p _____ 5 rad, m ( C AF ) 5 p rad, m ( C AG ) 5 
6p _____ 5 rad, 
m ( C AH ) 5 7p _____ 5 rad, m ( 
C AI ) 5 8p _____ 5 rad e m ( 
C AJ ) 5 9p _____ 5 rad
23. Podemos desenhar arcos que meçam no mínimo 2p ____ 3 rad (1208) e 
no máximo 5p ____ 3 rad (3008). 
O menor arco que pertence a 
esse intervalo é:
2p
3
y
x
B
A
O maior arco que pertence a 
esse intervalo é:
y
x
5p
3
B
A
Qualquer arco cuja medida esteja 
entre a medida do menor e do maior 
arco pertence ao intervalo dado. Ao 
lado, temos uma resposta possível:
y
x
B
A
5p
4
24. Os vértices consecutivos dos polígonos regulares dividem a cir-
cunferência em arcos de medidas iguais. Como a circunferência 
tem 3608, dividindo 360 pela quantidade de arcos formados, de-
terminamos a medida ângular desses arcos.
a) Os vértices consecutivos do hexágono regular dividem a 
circunferência em 6 arcos de medidas iguais: 3608 _______ 6 5 608
Então: m ( C AB ) 5 608, m ( C AC ) 5 1208, m ( C AD ) 5 1808, 
m ( C AE ) 5 2408 e m ( C AF ) 5 3008
Logo, os arcos AB, AC, AD, AE e AF medem 608, 1208, 1808, 
2408 e 3008. 
b) Os vértices consecutivos do pentágono regular dividem a 
circunferência em 5 arcos de medidas iguais: 3608 _______ 5 5 728
 Assim: m ( C BC ) 5 728
Como m ( C AC ) 5 908, temos:
m ( C AB ) 5 m ( C AC ) 2 m ( C BC ) 5 908 2 728 5 188 
Então:
 m ( C AD ) 5 m ( C AC ) 1 m ( C CD ) 5 908 1 728 5 1628
 m ( C AE ) 5 m ( C AD ) 1 m ( C DE ) 5 1628 1 728 5 234°
 m ( C AF ) 5 m ( C AE ) 1 m ( C EF ) 5 2348 1 728 5 306°
 Logo, os arcos AB, AC, AD, AE e AF medem 188, 908, 1628, 2348 
e 3068.
c) Os vértices consecutivos do octógono regular dividem a 
circunferência em 8 arcos de medidas iguais: 3608 _______ 8 5 458
Pela figura, a medida a é metade de 458. Assim: a 5 458 _____ 2 5 22,58
Então:
m ( C AB ) 5 22,58
 m ( C AC ) 5 m ( C AB ) 1 m ( C BC ) 5 22,58 1 458 5 67,58
 m ( C AD ) 5 m ( C AC ) 1 m ( C CD ) 5 67,58 1 458 5 112,58
 m ( C AE ) 5 m ( C AD ) 1 m ( C DE ) 5 112,58 1 458 5 157,58
 m ( C AF ) 5 m ( C AE ) 1 m ( C EF ) 5 157,58 1 458 5 202,58 
SPM2_MP_BOX_RES_C01_002A015.indd 5 7/23/15 2:02 PM
6
m ( C AG ) 5 m ( C AF ) 1 m ( C FG ) 5 202,58 1 458 5 247,58
 m ( C AH ) 5 m ( C AG ) 1 m ( C GH ) 5 247,58 1 458 5 292,58
 m ( C AI ) 5 m ( C AH ) 1 m ( C HI ) 5 292,58 1 458 5 337,58
 Logo, os arcos AB, AC, AD, AE, AF, AG, AH e AI medem 22,58; 
67,58; 112,58; 157,58; 202,58; 247,58; 292,58 e 337,58.
Página 270 – Exercícios propostos
27. a) Temos: 7p _____ 3 5 
6p _____ 3 1 
p ___ 3 5 2p 1 
p
 ___ 3 e 
19p
 ______ 3 5 
18p ______ 3 1 
p ___ 3 5 6p 1 
p ___ 3 
Portanto, os arcos de medidas 7p _____ 3 rad e 
19p
 ______ 3 são côngruos, 
pois a primeira determinação positiva dos dois arcos é p ___ 3 .
b) Temos: 18p _______ 5 5 
10p _______ 5 1 
8p _____ 5 5 2p 1 
8p _____ 5 e 1 0088 5 2 ? 3608 1 2888
Substituímos p por 180 em 8p _____ 5 , obtemos: 
8p _____ 5 5 
8 ? 180 __________ 5 5 288 
Logo, os arcos de medidas 18p ______ 5 rad e 1 0088 são arcos côngruos, 
pois a primeira determinação positiva dos dois arcos é 2888. 
28. a) A primeira determinação positiva do arco de 408 é 408. 
Portanto, a expressão das medidas dos arcos côngruos ao 
arco de medida 408 é: a 5 408 1 k ? 3608, com k [ Z
b) Temos 5278 5 1678 1 1 ? 3608; então 1678 é a primeira deter-
minação positiva do arco de medida 5278. Portanto, a expres-
são das medidas dos arcos côngruos ao arco de medida 5278 
é: a 5 1678 1 k ? 3608, com k [ Z
c) Temos 35p ______ 4 5 
32p
 ______ 4 1 
3p
 _____ 4 5 8p 1 
3p
 _____ 4 ; então a primeira 
determinação positiva do arco de medida 35p ______ 4 rad é 
3p
 _____ 4 rad. 
Portanto, a expressão das medidas dos arcos côngruos ao 
arco de medida 35p ______ 4 rad é: a 5 
3p
 _____ 4 1 k ? 2p, com k [ Z
d) Temos 2 
38p
 ______ 6 5 2 
36p
 ______ 6 2 
2p
 ____ 6 5 26p 2 
p
 ___ 3 ; então a primeira 
determinação negativa do arco de medida 2 
38p
 ______ 6 é 2 
p ___ 3 rad e a 
primeira determinação positiva é 2 p ___ 3 rad 1 2p rad 5 
5p
 _____ 3 rad. 
Portanto, a expressão das medidas dos arcos côngruos ao 
arco de medida 2 
38p
 ______ 6 rad é: a 5 
5p
 _____ 3 1 k ? 2p, com k [ Z
29. a) Temos 4 2608 5 11 ? 3608 1 3008; então, 3008 é a primeira 
determinação positiva do arco de medida 4 2608. 
A expressão das medidas dos arcos côngruos a esse arco é: 
a 5 3008 1 k ? 3608, com k [ Z
Assim, para k 5 21, temos a primeira determinação negativa: 
a 5 3008 2 3608 5 2608
b) Temos 52p ______ 3 5 
48p
 _______ 3 1 
4p
 _____ 3 5 16p 1 
4p
 _____ 3 ; então, 
4p
 _____ 3 rad é a pri-
meira determinação positiva do arco de medida 52p ______ 3 rad. 
A expressão das medidas dos arcos côngruos a esse arco é: 
a 5 
4p
 _____ 3 1 k ? 2p, com k [ Z
Assim, para k 5 21, temos a primeira determinação negativa: 
a 5 4p _____ 3 2 2p 5 
4p
 _____ 3 2 
6p _____ 3 5 2 
2p
 ____ 3 
c) Temos 23 8408 5 210 ? 3608 2 2408; então, 22408 é a pri-
meira determinação negativa do arco de 23 8408 e a primeira 
determinação positiva é 22408 1 3608 5 1208.
d) Temos 2 
47p
 ______ 4 5 2 
40p
 _______ 4 2 
7p
 _____ 4 5 2 10p 2 
7p
 _____ 4 ; então, 2 
7p
 _____ 4 rad 
é a primeira determinação negativa do arco de 2 
47p
 ______ 4 rad e a 
primeira determinação positiva é 2 
7p
 _____ 4 rad 1 2p rad 5 
p
 ___ 4 rad.
e) Temos 7508 5 2 ? 3608 1 308;então, 308 é a primeira deter-
minação positiva do arco de medida 7508. 
A expressão das medidas dos arcos côngruos a esse arco é: a 
5 308 1 k ? 3608, com k [ Z
Assim, para k 5 21, temos a primeira determinação negativa: 
a 5 308 2 3608 5 23308
f) Temos 95p ______ 6 5 
84p
 _______ 6 1 
11p ______ 6 5 14p 1 
11p ______ 6 ; então, 
11p ______ 6 rad é a 
primeira determinação positiva do arco de medida 95p ______ 6 rad.
A expressão das medidas dos arcos côngruos a esse arco é: 
a 5 
11p
 ______ 6 1 k ? 2p, com k [ Z
Assim, para k 5 21, temos a primeira determinação negativa: 
a 5 11p ______ 6 2 2p 5 
11p ______ 6 2 
12p ______ 6 5 2 
p
 ___ 6 
30. a) Para representar esses arcos em uma circunferência trigono-
métrica, basta representarmos sua primeira determinação 
positiva, pois os demais arcos são côngruos, ou seja, têm as 
mesmas extremidades. Assim, representamos as extremi- 
dades do arco de 1208.
y
x
1208
b) Analogamente ao item anterior, representamos as extremi- 
dades do arco de 2 
3p
 _____ 4 rad.
3p
4
2
y
x
31. Os vértices consecutivos do octógono regular dividem a circun-
ferência em 8 arcos de medidas iguais: 3608 _______ 8 5 458
Assim: m ( C AB ) 5 458, m ( C AC ) 5 908, m ( C AD ) 5 1358, m ( C AE ) 5 1808, 
m ( C AF ) 5 2258, m ( C AG ) 5 2708 e m ( C AH ) 5 3158
Então, temos as seguintes expressões dos arcos côngruos.
Para o arco AB: 458 1 k ? 3608, com k [ Z
Para o arco AC: 908 1 k ? 3608, com k [ Z
Para o arco AD: 1358 1 k ? 3608, com k [ Z
Para o arco AE: 1808 1 k ? 3608, com k [ Z
Para o arco AF: 2258 1 k ? 3608, com k [ Z
Para o arco AG: 2708 1 k ? 3608, com k [ Z
Para o arco AH: 3158 1 k ? 3608, com k [ Z
32. Como as voltas estão no sentido horário, a medida a desse arco é 
negativa.
Então: a 5 211 ? 3608 1 ( 2 1 __ 3 ) ? 3608 5 211 ? 3608 2 1208
Assim, 21208 é a primeira determinação negativa desse arco 
e 21208 1 3608 5 2408 é a primeira determinação positiva. 
Logo, a expressão das medidas dos arcos côngruos a esse arco é: 
 a 5 2408 1 k ? 3608, com k [ Z
33. Sendo p o comprimento da engrenagem menor e g o comprimen-
to da engrenagem maior, pela relação º 5 a ? r, temos:
p 5 a ? 21 ä a 5 
p
 ____ 21 e g 5 a ? 33 ä a 5 
g
 ____ 33 
Igualando as duas equações, obtemos:
 
p
 ____ 21 5 
g
 ____ 33 ä p 5 
21g
 _____ 33 ä p 5 
7g
 ____ 11 
SPM2_MP_BOX_RES_C01_002A015.indd 6 7/23/15 2:02 PM
7
Como queremos que tanto a engrenagem pequena quanto a 
engrenagem grande façam voltas completas, a engrenagem 
pequena deve dar 11 voltas para que a maior complete um nú-
mero inteiro de voltas (7 voltas).
Página 273 – Exercícios propostos
38. a) sen 608 1 3 ? sen 1208 2 sen 1508 5 
 dXX 3 
 ____ 2 1 3 ? 
 dXX 3 ____ 2 2 
1 ___ 2 5
5 4 
dXX 3 21 __________ 2 > 2,96
b) 
 ( sen 308 ) 2
 ____________________________ 
sen 608 2 sen 2408
 5 
 ( 1 __ 2 ) 
2
 
 ____________________ 
 
dXX 3 ____ 2 2 ( 2 dXX 3 ____ 2 ) 
 5 
0,52
 ________________________ 0,87 2 (2 0,87) > 0,14
c) sen ( 3p _____ 2 ) 2 sen ( 5p _____ 3 ) 1 2 ? sen ( p ___ 2 ) 5 21 2 ( 2 dXX 3 ____ 2 ) 1 2 ? 1 5 
5 1 1 ( dXX 3 ____ 2 ) > 1 1 0,87 5 1,87
d) 
24 ? sen ( p ___ 3 ) 1 3 ? sen ( 7p _____ 4 ) 
 _______________________________________ 
2sen ( 11p ______ 6 ) 2 
 sen ( 3p _____ 4 ) 
 ______________ 2 
 5 
24 ? 
dXX 3 ____ 2 1 3 ? ( 2 dXX 2 ____ 2 ) _____________________________ 
2  ( 2 1 __ 2 ) 2 
 
dXX 2 ____ 2 ______ 2 
 > 
> 
24 ? 0,87 1 3 ? ( 20,71 ) 
 __________________________________ 
2  ( 20,5 ) 2 
 ( 0,71 ) _________ 2 
 > 38,69
39. a) Temos 3908 5 1 ? 3608 1 308; então, 308 é a primeira deter-
minação positiva do arco de medida 3908.
Portanto: sen 3908 5 sen 308 5 1 __ 2 
b) Temos 4 2008 5 11 ? 3608 1 2408; então, 2408 é a primeira 
determinação positiva do arco de medida 4 2008.
Portanto: sen 4 2008 5 sen 2408 5 2 
 dXX 3 
 ____ 2 
c) Temos 29458 5 22 ? 3608 2 2258; então 22258 é a primeira 
determinação negativa do arco de medida, 29458 e 22258 1 
1 3608 5 1358 é a primeira determinação positiva.
Portanto: sen 29458 5 sen 1358 5 
dXX 2 ____ 2 
d) Temos 1 0808 5 3 ? 3608 1 08; então, 08 é a primeira deter-
minação positiva do arco de medida 1 0808.
Portanto: sen 1 0808 5 sen 08 5 0
40. Temos que sen 180° 5 0. 
Logo, A 5 sen 91° ? sen 92° ? sen 9° ∙ … ∙ sen 180° ∙…∙ sen 269° 5 0 
(alternativa d).
41. Os valores do seno pertencem ao intervalo [21, 1]. Então:
21 < 3k 2 5 < 1 ä 3k 2 5 > 21 e 3k 2 5 < 1
Resolvemos essas equações: 
3k 2 5 > 21 ä 3k > 4 ä k > 4 ___ 3 
3k 2 5 < 1 ä 3k < 6 ä k < 2
A intersecção dessas soluções é 4 ___ 3 < k < 2. Portanto: k [ h 
4 ___ 3 , 2j
42. a) sen 08 1 sen 4058 2 sen 3908 1 3 ? sen 8558 5 
5 sen 08 1 sen 458 2 sen 308 1 3 ? sen 1358 5 
5 0 1 
dXX 2 ____ 2 2 
1 __ 2 1 3 ? 
 dXX 2 ____ 2 > 0 1 0,71 2 0,5 1 2,13 5 2,34 
b) 
 dXX 2 ? ( sen 5858 1 4 ? sen 3158 ) 
 ______________________________________________ 
 dXX 3 ? ( 2 ? sen 1 1408 2 sen 9608 ) 
 5 
 dXX 2 ? [sen 2258 1 4 ? sen 3158]
 _________________________________________ 
 dXX 3 ? [2 ? sen 608 2 sen 2408]
 5 
5 
 dXX 2 ? [2sen 458 1 4 ? (2sen 458)]
 _____________________________________________ 
 dXX 3 ? [2 ? sen 608 2 (2sen 608)]
 5 
 dXX 2 ? (25 ? sen 458)
 __________________________ 
 dXX 3 ? (3 ? sen 608) 
 5 
5 
 dXX 2 ? ( 25 ? dXX 2 ____ 2 ) 
 _____________________ 
 dXX 3 ? ( 3 ? dXX 3 ____ 2 ) 
 5 
 25 
 _______ 
 9 ___ 2 
 5 2 10 ____ 9 
c) sen ( 19p ______ 6 ) 1 5 ? sen ( 19p ______ 4 ) 2 2 ? sen ( 23p ______ 6 ) 5
5 sen ( 12p ______ 6 1 7p _____ 6 ) 1 5 ? sen ( 16p ______ 4 1 3p _____ 4 ) 2 2 ? sen ( 12p ______ 6 1 11p ______ 6 ) 5 
5 sen ( 2p 1 7p _____ 6 ) 1 5 ? sen ( 4p 1 3p _____ 4 ) 2 2 ? sen ( 2p 1 11p ______ 6 ) 5 
5 sen 7p _____ 6 1 5 ? sen 
3p
 _____ 4 2 2 ? sen 
11p ______ 6 5 
 5 2 1 __ 2 1 5 ? 
 dXX 2 ____ 2 2 2 ? ( 2 1 __ 2 ) > 20,5 1 3,55 1 1 5 4,05 
43. a) Na circunferência trigonométrica, há dois arcos no intervalo 
[0, 2p[ que satisfazem sen a 5 1 __ 2 ; são os arcos de medidas 
a 5 p ___ 6 e a 5 
5p
 _____ 6 . Porém, todos os arcos côngruos a 
p ___ 6 e 
5p
 _____ 6 
também satisfazem sen a 5 1 __ 2 . Portanto: a 5 
p ___ 6 1 2kp ou 
a 5 
5p
 _____ 6 1 2kp, k [ Z
b) Na circunferência trigonométrica, há dois arcos no intervalo 
[0, 2p[ que satisfazem sen a 52 
 dXX 3 
 ____ 2 ; são os arcos de medidas 
a 5 4p _____ 3 e a 5 
5p
 _____ 3 . Porém, todos os arcos côngruos a 
4p
 _____ 3 e 
5p
 _____ 3 
também satisfazem sen a 52 
 dXX 3 
 ____ 2 . Portanto: a 5 
4p
 _____ 3 1 2kp 
ou a 5 
5p
 _____ 3 1 2kp, k [ Z
44. a) Como julho é o sétimo mês, temos t 5 7. Então:
 1 050 1 50 ? 7 ? sen 308 5 1 050 1 350 ? 1 __ 2 5 1 225
Logo, há 1 225 indivíduos dessa espécie no mês de julho.
b) Para o mês de junho, temos t 5 6:
1 050 1 50 ? 6 ? sen 308 5 1 050 1 300 ? 1 __ 2 5 1 200
Para o mês de dezembro, temos t 5 12:
1 050 1 50 ? 12 ? sen 308 5 1 050 1 600 ? 1 __ 2 5 1 350
Logo, a diferença entre o número de indivíduos nos meses de 
junho e dezembro é 1 200 2 1 350 5 2150.
c) Para o mês de janeiro, temos t 5 1: 
1 050 1 50 ? 1 ? sen 308 5 1 050 1 50 ? 1 __ 2 5 1075
Para o mês de dezembro, temos 1 350 indivíduos (valor deter-
minado no item b). Então: 1 350 2 1 075 5 275
Logo, a variação no número de indivíduos entre o primeiro e 
o último mês é 275 indivíduos.
Página 276 – Exercícios propostos
49. a) cos 608 2 2 ? cos 2108 2 cos 1508 5 1 __ 2 2 2 ? ( 2 dXX 3 ____2 ) 2 dXX 3 ____ 2 > 
> 0,5 2 2 ? ( 20,87 ) 2 ( 20,87 ) 5 0,5 1 1,74 1 0,87 > 3,11
b) 
 ( cos 308 ) 2 1 cos 2258
 _____________________________ 
cos 1808 1 cos 3308
 5 
 ( dXX 3 ____ 2 ) 
2
 1 ( 2 dXX 2 ____ 2 ) 
 _____________________ 
21 1 
dXX 3 ____ 2 
 > 
> 
 (0,87) 2 1 (2 0,71)
 __________________________ 21 1 0,87 > 20,36 
c) cos ( 2p ____ 3 ) 1 2 ? cos ( 11p ______ 6 ) 2 4 ? cos 2p 5
5 cos ( 2p ____ 3 ) 1 2 ? cos ( 6p _____ 6 1 5p _____ 6 ) 2 4 ? cos 2p 5
5 cos 2p ____ 3 1 2 ? 2 cos 
5p
 _____ 6 2 4 ? cos 2p > 
> 20,5 1 1,74 2 4 5 22,76 
d) 
2cos ( 3p _____ 4 ) 1 3 ? sen ( 7p _____ 4 ) 
 ___________________________________ 
2cos ( p ___ 6 ) 2 
 cos ( 3p _____ 4 ) 
 ______________ 3 
 > 
2  ( 20,71 ) 1 3 ? ( 20,71 ) 
 __________________________________ 
20,87 2 
 ( 20,71 ) ____________ 3 
 > 
> 0,71 2 2,13 ____________________ 
20,87 1 0,24 > 2,25
SPM2_MP_BOX_RES_C01_002A015.indd 7 7/23/15 2:02 PM
8
50. a) Temos 7208 5 2 ? 3608 1 08; então, 08 é a primeira determi-
nação positiva do arco de 7208.
Portanto: cos 7208 5 cos 08 5 1
b) Temos 27658 5 22 ? 3608 1 (2458); então, 2458 é 
a primeira determinação negativa do arco de 27658 e 
2458 1 3608 5 3158 é a primeira determinação positiva.
Portanto: cos (27658) 5 cos 3158 5 
dXX 2 ____ 2 
c) Temos 11p 5 10p 1 p; então, p rad é a primeira determina-
ção positiva do arco de 11p rad. 
Portanto: cos 11p 5 cos p 5 21
d) Temos 2 
15p
 ______ 4 5 2 
8p
 _____ 4 2 
7p
 _____ 4 5 22p 2 
7p
 _____ 4 ; portanto, 2 
7p
 _____ 4 rad 
é a primeira determinação negativa do arco de 2 
15p
 ______ 4 rad e 
2 
7p
 _____ 4 rad 1 2p rad 5 
p
 ___ 4 rad é a primeira determinação positiva.
 Portanto: cos ( 2 15p ______ 4 ) 5 cos ( 2 7p _____ 4 ) 5 cos ( p ___ 4 ) 5 dXX 2 ____ 2 
51. Os valores do cosseno pertencem ao intervalo [21, 1]. Então: 
21 < 25 1 2m < 1 ä 25 1 2m > 21 e 25 1 2m < 1
Resolvemos essas equações:
25 1 2m > 21 ä 2m > 4 ä m > 2
25 1 2m < 1 ä 2m < 6 ä m < 3
A intersecção desses intervalos é 2 < m < 3. Logo: m [ [2, 3]
52. Analogamente ao exercício anterior, temos:
21 < k2 2 2k 2 2 < 1 ä k2 2 2k 2 2 > 21 e k2 2 2k 2 2 < 1
Resolvemos essas equações:
 ▪ k2 2 2k 2 2 > 21 ä k2 2 2k 2 1 > 0
Sendo ƒ(k) 5 k2 2 2k 2 1 a lei de correspondência da função 
associada a essa inequação, temos os seguintes zeros:
D 5 (22) 2 2 4 ? 1 ? (21) 5 8
k 5 2 ± 
dXX 8 _________ 2 5 1 ± 
dXX 2 
Como a concavidade da parábola que representa essa função 
é para cima, a função assume valores positivos ou nulos para 
k < 1 2 dXX 2 e para k > 1 1 dXX 2 
 ▪ k2 2 2k 2 2 < 1 ä k2 2 2k 2 3 < 0
Sendo g(k) 5 k2 2 2k 2 3 a lei de correspondência da função 
associada a essa inequação, temos os seguintes zeros:
D 5 (22) 2 2 4 ? 1 ? (23) 5 16
k 5 2 ± 
dXXX 16 ___________ 2 ä k 5 3 ou k 5 21
Como a concavidade da parábola que representa essa função 
é para cima, a função assume valores negativos ou nulos para 
3 < k < 21
Determinamos, então, a intersecção dessas soluções:
21
21
3
3
1 2 2 1 1 2
1 2 2 1 1 2
Portanto: S 5 qk [ R u 21 < k < 1 2 dXX 2 ou 1 1 dXX 2 < k < 3 w
53. a) Na circunferência trigonométrica, há dois arcos no intervalo 
[0, 2p[ que satisfazem cos a 5 
dXX 2 ____ 2 ; são os arcos de medidas 
a 5 p ___ 4 e a 5 
7p
 _____ 4 . Além disso, como o arco de medida a está no 
intervalo [0, 4p[, os arcos côngruos a esses arcos e que perten-
cem à segunda volta na circunferência trigonométrica também 
satisfazem a igualdade, ou seja, a 5 p ___ 4 1 2p 5 
p ___ 4 1 
8p _____ 4 5 
9p
 _____ 4 e 
a 5 7p _____ 4 1 2p 5 
7p
 _____ 4 1 
8p _____ 4 5 
15p
 ______ 4 .
 Portanto, os possíveis valores para a são: q p ___ 4 , 
7p
 _____ 4 , 
9p
 _____ 4 , 
15p
 ______ 4 w 
b) Na circunferência trigonométrica, há dois arcos no intervalo 
[0, 2p[ que satisfazem cos a 5 20,5; são os arcos de medidas 
a 5 2p ____ 3 e a 5 
4p
 _____ 3 . Porém, a está no intervalo [2p, 4p[, 
então consideramos somente os arcos côngruos a esses 
arcos e que pertencem à segunda volta na circunferência tri-
gonométrica, ou seja, a 5 2p ____ 3 1 2p 5 
2p ____ 3 1 
6p _____ 3 5 
8p _____ 3 ou 
a 5 4p _____ 3 1 
6p _____ 3 5 
10p ______ 3 .
 Portanto, os possíveis valores para a são: q 8p _____ 3 , 
10p ______ 3 w
54. a) 
cos ( 7p _____ 3 ) 
 ____________ 
sen ( 7p _____ 3 ) 
 1 3 ? cos p 2 cos 6p 5 
cos ( 6p _____ 3 1 p ___ 3 ) 
 ___________________ 
sen ( 6p _____ 3 1 p ___ 3 ) 
 1 3 ? (21) 2 1 5 
5 
cos ( p ___ 3 ) 
 ___________ 
sen ( p ___ 3 ) 
 2 3 2 1 5 
 1 __ 2 ______ 
 
dXX 3 ____ 2 
 2 4 5 
dXX 3 
 ____ 3 2 4 
b) cos 4208 1 cos 7508 2 3 ? cos 6008 5 cos (3608 1 608) 1 
1 cos (2 ? 3608 1 308) 1 cos (3608 1 2408) 5 cos 608 1 
1 cos 308 2 3 ? cos 2408 5 1 __ 2 1 
 dXX 3 
 ____ 2 2 3 ? ( 2 1 __ 2 ) 5 2 1 dXX 3 ____ 2 
c) cos ( 7p ____ 2 ) 1 4 ? cos ( 13p ______ 4 ) 2 3 ? cos ( 7p ____ 3 ) 5
5 cos ( 4p _____ 2 1 3p _____ 2 ) 1 4 ? cos ( 8p _____ 4 1 5p _____ 4 ) 2 3 ? cos ( 6p _____ 3 1 p ___ 3 ) 5
5 cos ( 2p 1 3p _____ 2 ) 1 4 ? cos ( 2p 1 5p _____ 4 ) 2 3 ? cos ( 2p 1 p ___ 3 ) 5
5 cos ( 3p _____ 2 ) 1 4 ? cos ( 5p _____ 4 ) 2 3 ? cos ( p ___ 3 ) 5 
5 0 1 4 ? ( 2 dXX 2 ____ 2 ) 2 3 ? 1 __ 2 5 2 dXX 2 2 3 __ 2 
55. a) Na circunferência trigonométrica, há dois arcos no intervalo 
[0, 2p[ que satisfazem cos a 5 1 __ 2 ; são os arcos de medidas 
a 5 p ___ 3 e a 5 
5p
 _____ 3 . Porém, todos os arcos côngruos a esses ar-
cos também satisfazem cos a 5 1 __ 2 . 
Portanto: a 5 p ___ 3 1 2kp ou a 5 
5p
 _____ 3 1 2kp, k [ Z
b) Na circunferência trigonométrica, há dois arcos no intervalo 
[0, 2p[ que satisfazem cos a 5 2 
dXX 3 ____ 2 ; são os arcos de medidas 
a 5 5p _____ 6 e a 5 
7p
 _____ 6 . Porém, todos os arcos côngruos a esses 
arcos também satisfazem cos a 5 2 
dXX 3 ____ 2 .
Portanto: a 5 5p _____ 6 1 2kp ou a 5 
7p
 _____ 6 1 2kp, k [ Z
56. A soma das medidas apresentadas é a soma dos termos de uma 
P.G. infinita de razão q 5 1 __ 2 .
Podemos calcular a soma dos infinitos termos de uma P.G. pela 
expressão: S 5 
 a 1 ________ 1 2 q , em que a 1 é o primeiro termo da P.G. e q 
é a razão. Assim:
cos ( p ___ 2 1 p ___ 4 1 p ___ 8 1 ... ) 5 cos S 5 cos ( a 1 ________ 1 2 q ) 5 cos ( 
p ___ 2 ________ 
1 2 1 __ 2 
 ) 5 
5 cos ( 
p ___ 2 _____ 
 1 __ 2 
 ) 5 cos ( p ___ 2 ? 2 __ 1 ) 5 cos p 5 21
57. Temos que 2 940° 5 8 ∙ 360° 1 60°; então é a primeira deter-
minação positiva do arco 2 940°.
Portanto, cos 2 940 5 cos 60° 5 1 __ 2 5 sen 30° (alternativa b).
58. Calculamos os valores de custo e venda de 4 centenas de fras-
cos, ou seja, calculamos o valor das expressões para p 5 4.
5 1 2 ? 4 ? cos ( p ___ 3 ) 5 5 1 8 ? 1 __ 2 5 5 1 4 5 9
8 ? 4 ? dXX 2 ? cos ( 7p _____ 4 ) 5 32 ? dXX 2 ? dXX 2 ____ 2 5 32 ? 2 __ 2 5 32
SPM2_MP_BOX_RES_C01_002A015.indd 8 7/23/15 2:02 PM
9
Logo, o custo de 4 centenas de frascos é 9 mil reais e o valor de 
venda é 32 mil reais. Assim: 32 2 9 5 23
Portanto, haverá lucro de 23 mil reais na produção de 4 centenas 
de frascos de creme hidratante.
Página 277 – Ação e cidadania
 ▪ Resposta pessoal. É comum adolescentes vivenciarem conflitos 
em situações em grupo, o que leva a pensar que pode surgir 
algum fato ou problema que esteja ocorrendo na sala de aula, 
na escola ou na comunidade extraescolar e que mereça a 
reflexão para um encaminhamento adequado. Caso os alunostenham dificuldade no desenvolvimento da atividade, comente 
fatos de seu conhecimento, que envolvam a necessidade de 
se adotar uma posição firme e direta para se resolverem e se 
transformarem em uma situação mais harmoniosa para todos.
 ▪ Resposta pessoal. Avalie a coerência e a articulação dos alunos 
e se eles conseguem transpor o conteúdo estudado para expli-
car a expressão “sair pela tangente”. Sugestão de resposta: 
Sair pela tangente significa evitar lidar diretamente com algo 
difícil, se comportando de forma evasiva, sem se comprometer 
com o assunto, resvalar o problema; analogamente, a reta da 
tangente em uma circunferência trigonométrica a intersecta 
em um único ponto, o ponto de tangência.
Página 278 – Exercícios propostos
59. a) tg 308 1 tg 3008 5 
dXX 3 ____ 3 1 ( 2 dXX 3 ) 5 2 
2 dXX 3 
 ______ 3 > 21,15
b) tg ( 3p _____ 4 ) 2 tg ( 5p _____ 3 ) 5 21 2 ( 2 dXX 3 ) 5 21 1 dXX 3 > 0,73
60. a) Temos 4508 5 1 ? 3608 1 908; então, 908 é a primeira deter-
minação positiva do arco de 4508.
Portanto: tg 4508 5 tg 908 
Como a tangente de 908 não existe, a tangente de 4508 tam-
bém não existe.
b) Temos 2 4008 5 6 ? 3608 1 2408; então, 2408 é a primeira 
determinação positiva do arco de 2 4008.
Portanto: tg 2 4008 5 tg 2408 5 dXX 3 
c) Temos 43p ______ 4 5 
40p
 _______ 4 1 
3p
 _____ 4 5 
3p
 _____ 4 1 10p; então, 
3p
 _____ 4 é a primeira 
determinação positiva do arco de 43p ______ 4 rad. 
Portanto: tg ( 43p ______ 4 ) 5 tg ( 3p _____ 4 ) 5 21
d) Temos 25108 5 21 ? 3608 1 (21508); então, 21508 é 
a primeira determinação negativa do arco de 25108 e 
21508 1 3608 5 2108 é a primeira determinação positiva 
desse arco.
Portanto: tg (25108) 5 tg 2108 5 
 dXX 3 
 ____ 3 
e) Temos 29008 5 22 ? 3608 1 (21808); então, 21808 
é a primeira determinação negativa do arco de 29008 e 
21808 1 3608 5 1808 é a primeira determinação positiva 
desse arco.
 Portanto: tg (29008) 5 tg (21808) 5 tg 1808 5 0
f) 2tg ( 7p _____ 4 ) 5 2(21) 5 1
Página 282 – Exercícios propostos
64. a) sec 3308 5 1 ____________ cos 3308 5 
1 ______ 
 
dXX 3 ____ 2 
 5 
2 dXX 3 
 ______ 3 > 1,15
b) cotg 2108 5 
 2 
 dXX 3 
 ____ 2 _________ 
2 
1 __ 2 
 5 dXX 3 > 1,74
c) cossec 2408 1 tg 2108 5 1 _____________ sen 2408 1 tg 2108 5 
1 _________ 
 2 
 dXX 3 
 ____ 2 
 1 
 dXX 3 
 ____ 3 5 
5 2 
2 dXX 3 
 ______ 3 1 
 dXX 3 
 ____ 3 5 2 
 dXX 3 
 ____ 3 > 20,57 
65. a) Pela relação fundamental da trigonometria, obtemos:
sen2 a 1 cos2 a 5 1 ä sen2 a 1 ( 2 __ 3 ) 2 5 1 ä sen2 a 1 4 ___ 9 5 1 ä
ä sen2 a 5 1 2 4 ___ 9 ä sen
2 a 5 5 ___ 9 ä sen a 5 ± 
 dXX 5 ____ 3 
Como 0 , a , p ___ 2 , temos sen a positivo. Logo: sen a 5 
 dXX 5 ____ 3 
b) sec a 5 1 ________ 
cos a
 5 1 ____ 
 2 __ 3 
 5 1 ? 3 __ 2 5 
3 __ 2 
c) tg a 5 sen a ________ 
cos a
 5 
 
 dXX 5 
 ____ 3 
 ______ 
 2 __ 3 
 5 
 dXX 5 
 ____ 3 ? 
3
 __ 2 5 
 dXX 5 ____ 2 
d) cossec a 5 1 ________ 
sen a
 5 1 ______ 
 
dXX 5 ____ 3 
 5 1 ? 3 ____ 
 dXX 5 
 5 3 ____ 
 dXX 5 
 5 3 ____ 
 dXX 5 
 ? 
dXX 5 ____ 
 dXX 5 
 5 3 
dXX 5 ______ 
5
 
66. Pela relação fundamental da trigonometria, obtemos:
sen2 a 1 cos2 a 5 1 ä ( 2 __ 5 ) 2 1 cos2 a 5 1 ä 4 ____ 25 1 cos2 a 5 1 ä 
ä cos2 a 5 1 2 4 ____ 25 ä cos
2 a 5 21 ____ 25 ä cos a 5 ± 
 dXXX 21 ______ 5 
Como 0 , a , p ___ 2 , temos cos a negativo. Logo: cos a 5 2 
21 ____ 5 
Assim:
cos2 a 1 2 ? cos a 5 ( 2 dXXX 21 ______ 5 ) 
2
 1 2 ? ( 2 dXXX 21 ______ 5 ) 5
5 21 ____ 25 2 
2 dXXX 21 _______ 5 5 
21 2 10 dXXX 21 ________________ 25 
67. Pela relação fundamental da trigonometria, obtemos:
sen2 a 1 cos2 a 5 1 ä ( 2 2 __ 3 ) 2 1 cos2 a 5 1 ä 4 ___ 9 1 cos2 a 5 1 ä 
ä cos2 a 5 1 2 4 ___ 9 ä cos
2 a 5 5 ___ 9 ä cos a 5 ± 
 dXX 5 ____ 3 
Logo, como 08 , a , 3608, temos: cos a 5 2 
 dXX 5 
 ____ 3 ou cos a 5 
 dXX 5 ____ 3 
68. Pela relação fundamental da trigonometria, obtemos:
sen2 a 1 cos2 a 5 1 ä sen2 a 1 ( 2 2 __ 3 ) 2 5 1 ä sen2 a 1 4 ___ 9 5 1 ä 
ä sen2 a 5 1 2 4 ___ 9 ä sen
2 a 5 5 ___ 9 ä sen a 5 ± 
 dXX 5 ____ 3 
Como p ___ 2 , a , p, temos sen a positivo. Logo: sen a 5 
 dXX 5 ____ 3 
69. Pela relação fundamental da trigonometria, obtemos:
sen2 a 1 cos2 a 5 1 ä ( 2 dXX 3 ____ 2 ) 
2
 1 cos2 a 5 1 ä 3 ___ 4 1 cos
2 a 5 1 ä 
ä cos2 a 5 1 2 3 ___ 4 ä cos
2 a 5 
1 ___ 4 ä cos a 5 ± 
1 ___ 2 
Como 3p _____ 2 , a , 2p, temos cos a positivo. Logo: cos a 5 
1 __ 2 
Assim:
sec a 1 cossec a 5 1 ________ cos a 1 
1 ________ sen a 5 
 1 ____ 
 1 __ 2 
 1 1 _______ 
 
dXX 3 ____ 2 
 5 1 ? 2 1 1 ? 2 ____ 
 dXX 3 
 5
52 1 2 ____ 
 dXX 3 
 5 
2 dXX 3 1 2
 ____________ 
 dXX 3 
 5 2 
dXX 3 1 2 ____________ 
 dXX 3 
 ? 
 dXX 3 
 ____ 
 dXX 3 
 5 
6 1 2 dXX 3 
 ____________ 3 
70. tg a ? 1 ________ 
sen a
 5 sen a ________ 
cos a
 ? 1 ________ 
sen a
 5 1 ________ 
cos a
 5 1 ____ 
 3 __ 5 
 5 1 ? 5 __ 3 5 
5 __ 3 
71. 
sen ( 3p _____ 2 ) ? cos ( 5p _____ 4 ) ? tg ( p ___ 3 ) 
 ________________________________________ 
sec ( 2p ) ? cossec ( p ___ 2 ) ? cotg ( 2p _____ 3 ) 
 5 
sen ( 3p _____ 2 ) ? cos ( 5p _____ 4 ) ? tg ( p ___ 3 ) 
 ___________________________________________ 
 1 ____________ cos ( 2p ) ? 
1 ___________ 
sen ( p ___ 2 ) 
 ? 
cos ( 2p _____ 3 ) 
 ______________ 
sen ( 2p _____ 3 ) 
 
 5 
5 
21 ? ( 2 dXX 2 _______ 2 ) ? dXX 3 
 _______________________ 
 1 __ 1 ? 
1 __ 1 ? 
 ( 2 1 __ 2 ) ________ 
 
dXX 3 ____ 2 
 
 5 
 
 dXX 6 ____ 2 ____________________ 
 1 ? ( 2 1 __ 2 ) ? 2 _____ dXX 3 
 5 
 
 dXX 6 ____ 2 _________ 
 2 1 _____ 
 dXX 3 
 
 5 
dXX 6 ____ 2 ? ( 2 dXX 3 ) 5 
5 2 
 dXXX 18 ______ 2 5 2 
3 dXX 2 
 ______ 2 
SPM2_MP_BOX_RES_C01_002A015.indd 9 7/23/15 2:02 PM
10
72. cos a 1 2 ? sen a 5 1 ä 2 ? sen a 5 1 2 cos a ä sen a 5 1 2 cos a ______________ 2 
Pela relação fundamental da trigonometria, obtemos:
sen2 a 1 cos2 a 5 1 ä ( 1 2 cos a ______________ 2 ) 
2
 1 cos2 a 5 1 ä
ä 1 2 2 ? cos a 1 cos
2 a ______________________________ 4 1 cos
2 a 5 1 ä
ä 1 2 2 ? cos a 1 cos
2 a 1 4 ? cos2 a
 ______________________________________________ 4 5 1 ä 
ä 5 ? cos2 a 2 2 ? cos a 1 1 5 4 ä 
ä 5 ? cos2 a 2 2 cos a 1 1 2 4 5 0 ä
ä 5 ? cos2 a 2 2 ? cos a 2 3 5 0
Substituindo cos a por x nessa equação, obtemos:
5 ? cos2 a 2 2 ? cos a 2 3 5 0 ä 5x2 2 2x 2 3 5 0 
Resolvemos a equação obtida:
D 5 ( 22 ) 2 2 4 ? 5 ? ( 23 ) 5 64
x 5 
2 ± dXXX 64 
 ___________ 10 5 
2 ± 8 _______ 10 ä x 5 
2 1 8 ________ 10 5 1 ou x 5 
2 2 8 ________ 10 5 2 
3
 __ 5 
Portanto: cos a 5 1 ou cos a 5 2 
3
 __ 5 
73. Temos que sec a 5 1 ________ cos a . Apesar de o cosseno estar no intervalo 
[21, 1], a secante não está restrita a esse intervalo. A seguir 
temos alguns exemplos:
cos a 5 1 __ 2 ä sec a 5 
1 ____ 
 1 __ 2 
 5 2 e cos a 5 3 __ 5 ä sec a 5 
 1 ____ 
 3 __ 5 
 5 5 __ 3 
cos a 5 2 
dXX 2 ____ 2 ä sec a 5 2 
 1 _______ 
 
dXX 2 ____ 2 
 5 2 2 ____ 
 dXX 2 
 5 2 2 ____ 
 dXX 2 
 ? 
dXX 2 ____ 
 dXX 2 
 5 2 dXX 2 
Página 284 – Exercícios propostos
Nos exercícios a seguir, usaremos as seguintes numerações para 
as relações trigonométricas: 
sen2 a 1 cos2 a 5 1 (I)
tg a 5 sen a ________ cos a (II)
sec a 5 1 ________ cos a (III)
cossec a 5 1 ________sen a (IV)
cotg a 5 cos a ________ sen a (V)
cotg a 5 1 ______ tg a (VI)
tg2 a 1 1 5 sec2 a (VII)
1 1 cotg2 a 5 cossec2 a (VIII)
Como consequência de (III), temos: sec2 a 5 1 _________ cos2 a (IX)
Como consequência de (IV), temos: cossec2 a 5 1 _________ sen2 a (X)
Como consequência de (VI), temos: cotg2 a 5 1 _______ tg2 a (XI)
76. a) Da relação (VII), obtemos:
tg2 a 1 1 5 sec2 a ä 25 ____ 9 1 1 5 sec
2 a ä sec2 a 5 34 ____ 9 
b) Da relação (XI), obtemos:
cotg2 a 5 1 _________ tg 2 a ä cotg
2 a 5 1 ______ 
 25 ____ 9 
 ä cotg2 a 5 9 ____ 25 
c) Da relação (VIII), obtemos:
1 1 cotg2 a 5 cossec2 a ä 1 1 9 ____ 25 5 cossec
2 a ä 
ä cossec2 a 5 34 ____ 25 
d) Da relação (X), obtemos:
cossec2 a 5 1 _________ sen2 a ä sen
2 a 5 1 _____________ cossec2 a ä sen
2 a 5 1 ______ 
 34 ____ 25 
 ä 
ä sen2 a 5 25 ____ 34 
77. Da relação (VIII), obtemos:
1 1 cotg2 a 5 cossec2 a ä cotg2 a 5 cossec2 a 2 1
Substituindo cotg2 a por cossec2 a 2 1 e, pela relação (IX), 
substituindo sec2 a por 1 _________ cos2 a na expressão dada, obtemos:
 1 ___________ cotg2 a 2 3 ? cotg
2 a 1 sec2 a 5 1 ____________________ cossec2 a 2 1 2 3 ? cossec
2 a 2 
2 1 1 1 _________ cos2 a 
Da relação (X), obtemos: 
 1 ______________ cossec2 a 2 1 2 3 ? ( cossec
2 a 2 1 ) 1 1 _________ cos2 a 5 
5 1 _________________ 
 1 __________ sen2 a 2 1 
 2 3 ? ( 1 _________ sen2 a 2 1 ) 1 1 _______________ 1 2 sen2 a 5 
5 1 ________________ 
 1 2 sen
2 a _______________ sen2 a 
 2 3 ? ( 1 2 sen2 a _______________ sen2 a ) 1 1 _______________ 1 2 sen2 a 5 
5 sen
2 a _______________ 1 2 sen2 a 2 3 ? ( 1 2sen
2 a ______________ sen2 a ) 1 1 ______________ 12 sen2 a 
Do enunciado, temos que sen a 5 3 ___ 4 . Então:
 sen
2 a _______________ 1 2 sen2 a 2 3 ? ( 1 2 sen
2 a _______________ sen2 a ) 1 1 _______________ 1 2 sen2 a 5 
5 
 ( 3 ___ 4 ) 
2
 
 ____________ 
1 2 ( 3 ___ 4 ) 
2
 
 2 3 ? ( 1 2 ( 
3 ___ 4 ) 
2
 
 ____________ 
 ( 3 ___ 4 ) 
2
 
 ) 1 1 ____________ 1 2 ( 3 ___ 4 ) 2 5 
5 
 9 ____ 16 ___________ 
1 2 9 ____ 16 
 2 3 ? ( 1 2 
9 ____ 16 __________ 
 9 ____ 16 
 ) 1 1 __________ 1 2 9 ____ 16 5 
9 ____ 16 ______ 
 7 ____ 16 
 2 3 ? 
 7 ____ 16 ______ 
 9 ____ 16 
 1 1 ______ 
 7 ____ 16 
 5 
5 9 ___ 7 2 
21 ____ 9 1 
16 ____ 7 5 
25 ____ 7 2 
7 __ 3 5 
26 ____ 21 
Portanto: 1 __________ cotg2 a 2 3 ? cotg
2 a 1 sec2 a 5 26 ____ 21 
78. Da relação (IX), obtemos:
sec2 a5 1 _________ cos2 a ä 
9 ___ 4 5 
1 _________ cos2 a ä 9 ? cos
2 a 5 4 ä cos2 a 5 4 ___ 9 
Pela relação fundamental da trigonometria (I), obtemos:
sen2 a 1 cos2 a 5 1 ä sen2 a 1 4 ___ 9 5 1 ä sen
2 a 5 1 2 4 ___ 9 ä 
ä sen2 a 5 9 2 4 _________ 9 ä sen
2 a 5 5 ___ 9 
Então, das relações (II) e (IV) e dos valores calculados, obtemos:
( tg 2 a 2 cotg 2 a) ? 1 _____________ cossec 2 a 5 ( sen 
2 a _________ cos 2 a 2 
 cos 2 a _________ sen 2 a ) ? 1 _________ 1 _________ sen 2 a 
 5
5 ( sen2 a _________ cos2 a 2 cos
2 a _________ sen2 a ) ? sen2 a 5 ( 
5 ___ 9 ____ 
 4 ___ 9 
 2 
 4 ___ 9 ___ 
 5 ___ 9 
 ) ? 5 ___ 9 5 ( 5 ___ 4 2 4 ___ 5 ) ? 5 ___ 9 5 
5 9 ____ 20 ? 
5 ___ 9 5 
1 ___ 4 
79. Da relação (IX), obtemos:
sec2 a 5 1 _________ cos2 a ä 3 5 
1 _________ cos2 a ä 3 ? cos
2 a 5 1 ä cos2 a 5 1 __ 3 
Pela relação fundamental da trigonometria (I), obtemos:
sen2 a 1 cos2 a 5 1 ä sen2 a 1 1 __ 3 5 1 ä sen
2 a 5 1 2 1 __ 3 ä 
ä sen2 a 5 3 2 1 ________ 3 ä sen
2 a 5 2 __ 3 
Portanto: 
sen2 a 2 
3 ? tg2 a
 _________________ 2 1 2 ? tg2 a 5 sen
2 a 2 
3 ? sen
2 a _________ cos2 a ____________________ 
2 1 2 ? sen
2a _________ cos2 a 
 5 
5 
2 __ 3 2 
3 ? 2 __ 3 ? 
3 __ 1 __________________ 
2 1 2 ? 2 __ 3 ? 
3 __ 1 
 5 2 __ 3 2 
6 ________ 2 1 4 5 
2 __ 3 2 
6 ___ 6 5 2 
1 __ 3 
80. a) sec2 a ? cos2 a 5 1 _________ cos2 a ? cos
2 a 5 1
b) 2 ? cossec2 a ? sen2a 5 2 ? 1 _________ sen2 a ? sen
2 a 5 2
c) 
cotg2 a 1 1
 _________________ 2 ? cossec2 a 5 
cossec2 a _________________ 2 ? cossec2 a 5 
1 __ 2 
SPM2_MP_BOX_RES_C01_002A015.indd 10 7/23/15 2:02 PM
11
d) 3 ? ( sec2 a 2 1 ) ? ( cossec2 a 2 1 ) 5 3 ? tg 2 a ? cotg2 a 5 
5 3 ? 1 5 3
81. Da relação (VII), obtemos: sec2 a 5 tg2 a 1 1 ä a2 1 3 5 
5 ( a 1 1 ) 2 1 1 ä a2 1 3 5 a2 1 2a 1 1 1 1 ä 2a 5 1 ä a 5 1 __ 2 
82. Da relação (IX), obtemos: sec2 a 5 1 _________ cos2 a ä ( 2 dXX 3 ______ 3 ) 
2
 5 1 _________ cos2 a ä 
ä 4 ? 3 _______ 9 5 
1 _________ cos2 a ä 
4 ___ 3 5 
1 _________ cos2 a ä 4 ? cos
2 a 5 3 ä cos2 a 5 3 ___ 4 
Pela relação fundamental da trigonometria (I), obtemos:
sen2 a 1 cos2 a 5 1 ä sen2 a 1 3 ___ 4 5 1 ä sen
2 a 5 1 2 3 ___ 4 ä 
ä sen2 a 5 1 ___ 4 
Portanto: 3 ? cotg2 a 2 2 ? tg2 a 5 3 ? ( cos2 a _________ sen2 a ) 2 2 ? ( sen2 a _________ cos2 a ) 5 
5 3 ? 
 3 ___ 4 ____ 
 1 ___ 4 
 2 2 ? 
 1 ___ 4 ____ 
 3 ___ 4 
 5 9 2 2 __ 3 5 
25 ____ 3 
83. cotg a ? sen a __________________________________ ( 1 2 sen a ) ? ( 1 1 sen a ) 5 
 cos a ________ sen a ? sen a
 ___________________ 1 2 sen2 a 5 
cos a
 _______________ 1 2 sen2 a 5 
5 cos a _________ cos2 a 5 
1 ________ 
cos a
 5 sec a
Da relação (IV), obtemos: 
tg2 a 1 1 5 sec2 a ä ( dXX 2 ____ 2 ) 
2
 1 1 5 sec2 a ä 2 ___ 4 1 1 5 sec
2 a ä 
ä sec2 a 5 1 __ 2 1 1 ä sec
2 a 5 3 __ 2 ä 
ä sec a 5 ± dXX 3 __ 2 5 ± 
 dXX 3 ____ 
 dXX 2 
 ? 
dXX 2 ____ 
 dXX 2 
 5 ± dXX 6 ____ 2 
Como 0 , a , p ___ 2 , temos sec a positivo. Portanto: sec a 5 
 dXX 6 ____ 2 
84. I. Para qualquer arco de medida x, 21 < cos x < 0. 
 Então: cos x 5 3m 1 5 ä 21 < 3m 1 5 < 0 
 Podemos resolver esta inequação simultaneamente:
 21 < 3m 1 5 < 0 ä 21 25 < 3m < 0 2 5 ä
 ä 26 < 3m < 25 ä 2 6 ___ 3 < m < 2 
5
 __ 3 ä 22 < 3m < 2 
5
 __ 3 
 Portanto: m [ q22, 2 5 __ 3 w. Logo, a afirmação está incorreta.
 II. Como x pertence ao 2o quadrante, temos que cotg x é nega-
tivo, ou seja, cotg x , 0. Logo, a afirmação é incorreta.
 III. Pela relação da tangente de um arco, obtemos:
 sen x 5 cotg x ä sen x 5 cos x _______ sen x ä sen
2 x 5 cos x ä 
 ä 1 2 cos2 x 5 cos x ä cos2 x 1 cos x 2 1 5 0
 Substituindo cos x por a nessa equação obtemos:
 cos2 x 1 cos x 2 1 5 0 ä a2 1 a 2 1 5 0
 Resolvendo a equação obtida:
 ∆ 5 12 2 4 ? 1 ? (21) 5 1 1 4 5 5
 a 5 21 6 
dXX 5 _____________ 2 ä a 5 
21 1 dXX 5 _____________ 2 ou a 5 
21 2 dXX 5 _____________ 2 
 Portanto: cos x = 21 2 
dXX 5 _____________ 2 ou cos x = 
21 1 dXX 5 _____________ 2 
 Como 3p _____ 2 , x , 2p, temos cosseno positivo, assim cos x 5 
5 
dXX 5 2 1 __________ 2 . Logo, a afirmação está incorreta.
 IV. Temos: 23p ______ 3 5 
22p ______ 3 1 
p ___ 3 
 Portanto: cos 23p ______ 3 5 cos 
p ___ 3 5 
1 __ 2 
 Temos: 5p _____ 6 5 
4p
 _____ 6 1 
p ___ 6 
 Portanto: sen 5p _____ 6 5 sen 
p ___ 6 5 
1 __ 2 
 Assim, cos 23p ______ 3 5 sen 
5p
 _____ 6 . Logo a afirmação é incorreta.
 Logo, todas as informações estão incorretas (alternativa e).
85. Pela relação da tangente de um arco, obtemos:
tg a 5 sen a ________ cos a 5 6 
 dXXXXXXXXX 1 2 sen2 a 
 _________________ cos a 5 6 
 dXXXXXXXX 1 2 ( 1 __ 2 ) 
2
 
 _____________ 
 1 __ 2 
 5 6 
 dXXXXXX 1 2 1 ___ 4 
 __________ 
 1 __ 25 
5 6 
 dXXXXXX 4 2 1 ________ 4 
 __________ 
 1 __ 2 
 5 6 
 dXX 3 ___ 4 
 _____ 
 1 __ 2 
 5 6 
 dXX 3 __ 2 ____ 
 1 __ 2 
 5 6 
 dXX 3 
 ____ 2 ? 
2 __ 1 5 6 
dXX 3 
Como 0 , a , p ___ 2 , temos tangente positiva. Logo, tg a 5 
dXX 3 .
Substituindo o valor determinado na equação e pela relação fun-
damental da trigonometria, obtemos:
A 5 
cos ( p ___ 2 2 a ) ∙ dXX 3 ______________________ cossec a 5 sen a ∙ dXX 3 _______________ 
 1 _______________ 
sen(p + a)
 
 5 sen a ∙ 
dXX 3 ____________ 
 1 ___________ 2sen a 
 5 
5 (sen a ∙ dXX 3 ) ∙ (2sen a) 5 2sen2 a ∙ dXX 3 5 2 dXX 3 ∙ (1 2 cos2 a) 5 
5 2 dXX 3 ∙ ( 1 2 ( 1 __ 2 ) 
2
 ) 5 2 dXX 3 ∙ ( 1 2 1 ___ 4 ) 5 2 dXX 3 ∙ 3 ___ 4 5 2 3 dXX 3 ______ 4 
Logo, o valor da expressão A 5 2 
3 dXX 3 
 ______ 4 
86. sen u ___________ cossec u 1 
cos u _______ sec u 5 
sen u ________ 
 1 _______ sen u 
 1 cos u _______ 
 1 _______ cos u 
 5 sen u ? sen u 1 cos u ? cos u 5 
5 se n 2 u 1 co s 2 u 5 1 
(alternativa a)
87. 
Como é uma circunferência trigonométrica, temos o raio unitário, as-
sim AO 5 OB 5 1.
Obtemos o valor de OE:
cos 30° 5 OE _____ AO 5 
x __ 1 5 x ä x 5 
 dXX 3 ____ 2 
Portanto, x 5 
dXX 3 ____ 2 .
Obtemos o valor de Of:
cos 60° 5 OF _____ OB 5 
y
 __ 1 5 y ä y 5 
1 __ 2 
Portanto, y 5 1 __ 2 .
Logo, a razão entre OE _____ OF 5 
x __ y 5 
 
dXX 3 ____ 2 _____ 
 1 __ 2 
 5 
dXX 3 ____ 2 ? 
2 __ 1 5 dXX 3 .
88. Temos que sen a 5 8 ____ 17 .
 I. Como 0 , a , p ___ 2 , temos cosseno positivo. Logo, cos a . 0, e a 
 afirmação é incorreta.
 II. Pela relação fundamental da trigonometria, obtemos:
y
x
b 5 150º
60º
30º
A
E
O
1
1
FB
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12
 tg a 5 sen a ________ cos a 5 
sen a __________________ 
± dXXXXXXXX 1 2 sen2a 
 5 ± 
 8 ____ 17 ________________ 
 dXXXXXXXX 1 2 ( 8 ____ 17 ) 
2
 
 5
 5 ± 
 8 ____ 17 ______________ 
 dXXXXXXX 1 2 64 ______ 289 
 5 ± 
 8 ____ 17 _________________ 
 dXXXXXXXXX 289 2 64 ______________ 289 
 5 
 5 ± 
 8 ____ 17 ________ 
 dXXXX 225 ______ 289 
 5 ± 
 8 ____ 17 ____ 
 15 ____ 17 
 5 ± 8 ____ 17 ∙ 
17 ____ 15 5 ± 
8 ____ 15 
 Como p ___ 2 , a , p, temos tangente negativa. Logo, tg a 5 2 
8 ____ 15 , 
e a afirmação é correta.
 III. Pela relação fundamental da trigonometria, obtemos:
 sec a 5 1 ________ cos a 5 
1 ____________________ 
± dXXXXXXXXX 1 2 sen2 a 
 5 ± 1 _______________ 
 dXXXXXXXX 1 2 ( 8 ____ 17 ) 
2
 
 5 
 5 ± 1 ______________ 
 dXXXXXXX 1 2 64 ______ 289 
 5 ± 1 _________________ 
 dXXXXXXXXX 289 2 64 _______________ 289 
 5 ± 1 ________ 
 dXXXX 225 ______ 289 
 5 
 = ± 1 ____ 
 15 ____ 17 
 = ± 1 ? 17 ____ 15 = ± 
17 ____ 15 
 Como p ___ 2 , a , p, temos cosseno negativo. Logo, sec a 5 2 
17 ____ 15 , 
e a afirmação é correta.
 Portanto: (I) incorreta, (II) correta e (III) correta (alternativa e).
Página 285 – Exercícios propostos
89. a) sec 1088 > 23,24
b) cossec 3418 > 23,07
c) cotg 8128 > 20,03
d) sec 4238 > 2,20
e) cossec 1 1878 > 1,04
f) cotg 7028 > 23,07
90. a) I. 1o quadrante, pois: 08 , 678 , 908
 II. 2o quadrante, pois: 908 , 1328 , 1808
 III. 3o quadrante, pois: 1808 , 2468 , 2708
 IV. 4o quadrante, pois: 2708 , 3058 , 3608
 V. 2o quadrante, pois: 908 , 4918 , 1808
 VI. 4o quadrante, pois: 2708 , 6368 , 3608
b) I. A secante é positiva, a cossecante é positiva e a cotan-
gente é positiva.
 II. A secante é negativa, a cossecante é positiva e a cotan-
gente é negativa.
 III. A secante é negativa, a cossecante é negativa e a cotan-
gente é positiva.
 IV. A secante é positiva, a cossecante é negativa e a cotan-
gente é negativa.
 V. A secante é negativa, a cossecante é positiva e a cotan-
gente é negativa.
 VI. A secante é positiva, a cossecante é negativa e a cotan-
gente é negativa.
c) Sim. Como sec a 5 1 ________ cos a , o sinal da secante de um arco é o 
mesmo do cosseno desse arco; como cossec a 5 1 ________ sen a , o si-
nal da cossecante de um arco é o mesmo do seno desse arco; 
e como cotg a 5 1 ________ tg a , o sinal da cotangente de um arco é o 
mesmo da tangente desse arco.
Página 286 – Exercícios complementares
91. A medida a do ângulo agudo formado pelos segmentos OM e 
OP é dada pela diferença entre as latitudes de Porto Alegre e 
de Macapá:
a 5 308 019 5999 2 08 029 2099 5 298 599 3999 > 308 5 p ___ 6 rad
Assim, a distância entre as duas cidades é dada pelo compri-
mento º do arco de medida a, em radianos:
º 5 a ? r 5 p ___ 6 ? 
12 750 _________ 2 5 1 062,5p
Para p 5 3,14, obtemos: º 5 1 062,5 ? 3,14 5 3 336,25
Logo, a distância entre Macapá e Porto Alegre é aproximadamente 
3 336,25 km.
92. a) Os arcos de 2258 e de 2158 estão no 3o quadrante da circun-
ferência trigonométrica. Nesse quadrante, o cosseno varia de 
21 a 0 conforme a medida do arco aumenta. Assim, quanto 
maior a medida do arco nesse quadrante, maior é o valor de 
seu cosseno. 
Logo, cos 2258 . cos 2158, e a afirmação dada é falsa.
b) Os arcos de 1608 e de 1728 estão no 2o quadrante da circunfe-
rência trigonométrica. Nesse quadrante, o seno varia de 1 a 0 
conforme a medida do arco aumenta. Assim, quanto maior a 
medida do arco nesse quadrante, menor é o valor de seu seno. 
Logo, sen 1608 . sen 1728, e a afirmação dada é verdadeira.
c) Temos 4958 5 3608 1 1358; então 1358 é a primeira determi-
nação positiva do arco de 4958. Assim:
sen 4958 5 sen 1358 5 sen (1808 2 458) 5 sen 458
Logo, sen 4958 5 sen 458, e a afirmação dada é verdadeira.
d) Temos 8p _____ 7 5 
7p
 _____ 7 1 
p ___ 7 5 
p ___ 7 1 p; então o arco de 
8p _____ 7 rad está 
no 3o quadrante. Nesse quadrante, a tangente assume valores 
positivos.
Logo, tg ( 8p _____ 7 ) . 0, e a afirmação dada é falsa.
e) Os arcos de p ___ 5 rad e 
p ___ 6 rad estão no 1
o quadrante da circunfe-
rência trigonométrica. Nesse quadrante, o seno varia de 0 a 1 
conforme a medida do arco aumenta.
Como p ___ 5 . 
p ___ 6 , temos: sen ( 
p ___ 5 ) . sen ( p ___ 6 ) 
Assim, como sen ( p ___ 6 ) 5 1 __ 2 , temos sen ( p ___ 5 ) . 1 __ 2 e, então: 
sen ( p ___ 5 ) 1 sen ( p ___ 5 ) . 1
Pela afirmação dada, sen ( p ___ 5 ) 1 sen ( p ___ 5 ) 5 sen ( 2p ____ 5 ) . Então, 
temos sen ( 2p ____ 5 ) . 1, o que é falso pois o seno de um arco 
assume valor máximo igual a 1. 
Logo, sen ( p ___ 5 ) 1 sen ( p ___ 5 ) 5 sen ( 2p _____ 5 ) , e a afirmação dada 
é falsa.
f) No intervalo dado, cos a varia de 1 a 
dXX 2 ____ 2 , e sen a varia de 
0 a 
dXX 2 ____ 2 . Portanto, cos a > sen a, e a afirmação dada é falsa.
93. O ponteiro dos minutos percorre 3608 em 60 minutos; então, ele 
percorre 68 a cada minuto. Já o ponteiro das horas percorre 308 
em 60 minutos; então, ele percorre 0,58 a cada minuto.
À 1 hora da tarde, o ponteiro dos minutos está na posição 08 do 
relógio e o das horas, na posição 308. Após 5 minutos, o ponteiro 
dos minutos se encontra na posição 308, enquanto o ponteiro das 
horas, na posição 32,58. No sexto minuto, o ponteiro dos minutos 
está na posição 368, enquanto o ponteiro das horas, na posição 
338; assim, o ponteiro dos minutos está em uma posição mais à 
frente do ponteiro das horas.
Logo, o ponteiro dos minutos coincide com o ponteiro das horas 
entre 1 h 05 min e 1 h 06 min.
94. O seno de um arco pertence ao intervalo [21, 1]. Então, para que 
exista um arco satisfazendo sen x 5 m 2 4, é necessário 
que m 2 4 pertença ao intervalo [21, 1], ou seja:
21 < m 2 4 < 1
Resolvemos essa inequação simultânea:
21 < m 2 4 < 1 ä m 2 4 > 21 e m2 4 < 1
m 2 4 > 21 ä m > 3
m 2 4 < 1 ä m < 5
A intersecção dessas soluções é 3 < m < 5.
95. a) sen 1558 5 sen (1808 2 258) 5 sen 258
Logo, os valores são iguais.
b) cos 2208 5 cos (1808 1 408) 5 2cos 408
Logo, os valores são opostos.
c) cos ( 5p _____ 6 ) 5 cos ( 6p _____ 6 2 p ___ 6 ) 5 cos ( p 2 p ___ 6 ) 5 2cos ( p ___ 6 ) 
Logo, os valores são opostos.
d) tg 2308 5 tg (1808 1 508) 5 tg 508
Logo, os valores são iguais.
e) tg ( 7p _____ 6 ) 5 tg ( 6p _____ 6 1 p ___ 6 ) 5 tg ( p 1 p ___ 6 ) 5 tg ( p ___ 6 ) 
Logo, os valores são iguais.
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13
f) sen ( 2  2p ____ 3 ) 5 2sen ( 2p 2 2p ____ 3 ) 5 2sen ( p ___ 3 ) 
Logo, os valores são opostos.
96. Temos 2 8208 5 7 ? 3608 1 3008, 1 8308 5 5 ? 3608 1 308 e 
1 6658 5 4 ? 3608 1 2258. Então:
sen 2 8208 5 sen 3008 5 sen ( 3608 2 608 ) 5 2sen 608
cos 1 8308 5 cos 308
tg 1 6658 5 tg 2258 5 tg (1808 1 458) 5 tg 458
Logo:
 
sen 2 8208 ? cos 1 8308
 _______________________________ tg 1 6658 5 
2sen 608 ? cos 308
 ___________________________ 
tg 458
  5 
2  
dXX 3 ____ 2 ? 
 dXX 3 ____ 2 ______________ 1 5 2 
3 ___ 4 
97. a) Temos a seguinte situação: 
A
C
P
B
Q
1 dm 7 dm
2 dm 2 dm
r
 O segmento BC foi obtido traçando uma reta paralela à reta r 
e que passa pelo ponto B. Como a reta r é perpendicular ao seg- 
mento AP, o segmento BC também é perpendicular ao segmen- 
to AP. Além disso, BC 5 PQ e BQ 5 CP 5 2 dm; logo, AC 5 1 dm.
 Pelo teorema de Pitágoras no triângulo ABC, obtemos:
 72 5 12 1 ( BC ) 2 ä 49 5 1 1 ( BC ) 2 ä ( BC ) 2 5 49 2 1 ä 
ä ( BC ) 2 5 48 ä BC 5 dXXX 48 ä BC 5 dXXXXX 16 ? 3 5 4 dXX 3 
 Logo: PQ 5 4 dXX 3 
 Pelo teorema de Pitágoras no triângulo BPQ, obtemos:
 ( BP ) 2 5 ( 4 dXX 3 ) 2 1 22 ä ( BP ) 2 5 16 ? 3 1 4 ä ( BP ) 2 5 52 ä 
ä BP 5 dXXX 52 ä BP 5 dXXXXX 4 ? 13 5 2 dXXX 13 
 Assim, no triângulo BPQ, temos:
 sen ( B 
 ̂ 
 P Q ) 5 2 _______ 
2 dXXX 13 
 5 1 ______ 
 dXXX 13 
 5 
dXXX 13 ______ 13 
 Logo, a distância entre os pontos P e Q é 4 dXX 3 , e o seno do 
ângulo B 
 ̂ 
 P Q é 
dXXX 13 ______ 13 .
b) Sendo º g o comprimento da roda maior e º p o comprimento da 
roda menor, temos:
 º g 5 2p ? 3 ä p 5 
 º g 
 ___ 6 e º p 5 2p ? 2 ä p 5 
 º p ___ 4 
 Igualando as equações, obtemos:
 
 º g 
 ___ 6 5 
 º p ___ 4 ä 4 ? º g 5 6 ? º p ä º p 5 
4 ? º g 
 _______ 6 ä º p 5 
2 ? º g 
 _______ 3 
 Quando o aro da roda maior descreve um ângulo de 608 
 ( p ___ 3 rad ) , temos: º g 5 p ___ 3 ? 3 5 p
 Substituindo º g por p em º p 5 
2 ? º g 
 _______ 3 , obtemos: º p 5 
2 ? p _______ 3 5 
2p ____ 3 
 Assim, determinamos a medida a do ângulo descrito pelo aro 
da roda menor:
 º p 5 a ? r ä a 5 
 º p ___ r 5 
 2p ____ 3 ______ 2 5 
2p ____ 3 ? 
1 __ 2 5 
p ___ 3 
 Portanto, os aros da roda menor descrevem um ângulo de 608.
c) Quando a roda maior tiver completado 80 voltas, ela vai ter 
percorrido uma distância de 80 ? 6p dm 5 480p dm.
 Como a roda menor tem 4p dm de comprimento, o número de 
voltas que ela terá de completar para percorrer 480p dm é: 
480p : 4p 5 120
 Logo, quando a roda maior tiver completado 80 voltas, a me-
nor terá completado 120 voltas.
98. a) A circunferência trigonométrica tem comprimento 2p. 
Sendo a a medida do arco que corresponde a 1 ___ 8 da circunfe-
rência trigonométrica, temos: a 5 1 ___ 8 ? 2p 5 
p ___ 4 
 Substituindo p por 180, obtemos: a 5 180 ______ 4 5 45
 Logo, o arco mede p ___ 4 rad ou 458.
b) A circunferência trigonométrica tem comprimento 2p. 
Sendo b a medida do arco que corresponde a 3 __ 5 da circunfe-
rência trigonométrica, então: b 5 3 __ 5 ? 2p 5 
6p _____ 5 
 Substituindo p por 180, obtemos: b 5 6 ? 180 __________ 5 5 216
 Logo, o arco mede 6p _____ 5 rad ou 2168.
99. Pela descrição do salto, o raio da circunferência mede 90 cm. 
Se o arco tem 124 cm de comprimento, então a medida a do ân-
gulo central, que é a medida do arco, em radiano, é:
º 5 a ? r ä 124 5 a ? 90 ä a 5 124 ______ 90 > 1,38 ä a > 1,38
Assim: cos 1,38 > 0,19
Logo, o cosseno do ângulo de abertura das pernas da ginasta é 
aproximadamente 0,19.
100. As alamedas têm comprimento r igual ao raio da circunferência 
que forma a praça. Além disso, como a praça é dividida em par-
tes iguais por 12 alamedas, o arco formado entre cada alameda 
mede p ___ 6 rad ( 2p : 12 5 
p ___ 6 ) . Assim, o comprimento desses arcos é: 
º 5 a ? r 5 p ___ 6 ? r 5 
pr ____ 6 
Então, podemos avaliar as afirmações dadas.
 I. Carmem se desloca do ponto E ao ponto R pelo centro da 
praça, percorrendo duas alamedas (2r) e depois disso vai 
ao ponto L, percorrendo pela calçada pr ____ 6 . Portanto, Carmem 
percorre uma distância total de 2r 1 pr ____ 6 .
 Sérgio se desloca do ponto E ao ponto C pelo centro da 
praça, percorrendo duas alamedas (2r) e depois disso vai 
ao ponto L, percorrendo pela calçada pr ____ 6 . Portanto, Sérgio 
percorre uma distância total de 2r 1 pr ____ 6 .
 Logo, os dois percorrem a mesma distância e a afirmação I 
é verdadeira. 
 II. Maria percorre 4 arcos de comprimento pr ____ 6 , percorrendo 
uma distância total de 4 ? pr ____ 6 .
 Como calculado anteriormente, Sérgio percorre 2r 1 pr ____ 6 . 
Simplificando essa expressão, obtemos:
 2r 1 pr ____ 6 5 
12r 1 pr ____________ 6 5 
 ( 12 1 p ) ? r ________________ 6 
 Como 4p , 12 1 p, Maria caminha menos para chegar à 
lanchonete do que Sérgio, e a afirmação II é verdadeira.
 III. Carmem se desloca por duas alamedas, percorrendo 2r. 
Sérgio se desloca por duas alamedas e por dois arcos pela 
calçada, percorrendo 2r 1 2 ? pr ____ 6 , e Maria se desloca por 
cinco arcos pela calçada, percorrendo 5 ? pr ____ 6 .
 Comparando essas distâncias, temos:
 2r , 2r 1 2 ? pr ____ 6 e 2r , 5 ? 
pr ____ 6 
 Logo, Carmem percorre a menor distância, e a afirmação III 
é verdadeira.
101. a) sec ( p ___ 3 ) 5 1 __________ cos ( p ___ 3 ) 
 5 1 ____ 
 1 __ 2 
 5 2 
 Localizar o número 2 em uma circunferência trigonométrica 
é o mesmo que percorrer um arco de 2 rad. Por uma regra de 
três simples e considerando p 5 3,14, transformamos 2 ra-
dianos em grau:
Medida em grau Medida em radiano
180 > p
x > 2
 x 5 2 ? 180 __________ p 5 
360
 ______ 3,14 > 114,65
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14
 Portanto, 2 rad equivale a um arco de aproximadamente 
1148, como representado a seguir. 
1
1
21
21
2 rad
b) cossec ( p ___ 6 ) 5 1 ___________ sen ( p ___ 6 ) 
 5 1 ____ 
 1 __ 2 
 5 2
Analogamente ao item a, temos: x > 1148
1
1
21
21
2 rad
102. a) sec 9608 5 1 _____________ 
cos 9608
 5 1 ______________________________ 
cos ( 2 ? 3608 1 2408 ) 5 
1 ____________ 
cos 2408
 
 Como o arco de 2408 pertence ao 3o quadrante, o cosseno 
desse arco é negativo. Logo, sec 9608 é negativa.
b) cotg 2 4908 5 1 ______________ 
tg 2 4908
  5 1 ______________________________ 
tg ( 6 ? 3608 1 3308 ) 5 
1 ____________ 
tg 3308
 
 Como o arco de 3308 pertence ao 4o quadrante, a tangente 
desse arco é negativa. Logo, cotg 2 4908 é negativa.
c) Não existe sec ( 3p _____ 2 ) , pois a secante é o inverso do cosseno, 
que é igual a zero.
d) cossec ( 17p ______ 7 ) 5 1 ______________ 
sen ( 17p ______ 7 ) 
 5 1 ______________________ 
sen ( 14p ______ 7 1 3p _____ 7 ) 
 5 1 ____________ 
sen ( 3p _____ 7 ) 
 
 Como o arco de 3p _____ 7 rad está no 1
o quadrante, o seno desse 
arco é positivo. Logo, cossec ( 17p ______ 7 ) é positiva.
103. a) Temos:
 cossec 3 0158 5 1 ______________ 
sen 3 0158
 5 1______________________________ 
sen ( 8 ? 3608 1 1358 ) 5 
1 ____________ 
sen 1358
 , 
cotg 458 5 1 __________ 
tg 458
 , sec 2008 5 1 _____________ 
cos 2008
 e sec 308 5 1 ___________ 
cos 308
 
 Como o arco de 1358 está no 2o quadrante, o seno desse arco é 
positivo e cossec 3 0158 é positiva. Como o arco de 458 está no 
1o quadrante, a tangente desse arco é positiva e cotg 458 é po-
sitiva. Como o arco de 2008 está no 3o quadrante, o cosseno 
desse arco é negativo e sec 2008 é negativa. Como o arco de 
308 está no 1o quadrante, o cosseno desse arco é positivo e sec 308 
é positiva.
 Assim, o numerador da expressão dada é negativo, pois é um 
produto entre dois valores positivos e um valor negativo, en-
quanto o denominador é um valor positivo. Logo, a expres-
são é negativa.
b) Temos: cos 4 050° 5 cos (11 ? 360° 1 90°) 5 cos 90° 5 0
 Então, sec 4 050° não existe e não existe um valor para a ex-
pressão dada.
104. O ponteiro dos minutos percorre 3608 em 60 minutos; então, 
ele percorre 68 a cada minuto. Já o ponteiro das horas percorre 
308 em 60 minutos; então, ele percorre 0,58 a cada minuto. 
Assim, a cada minuto o ponteiro dos minutos percorre um arco 
de 5,58 a mais do que o ponteiro das horas.
a) Por uma regra de três simples, podemos calcular a quantida-
de y de minutos percorridos a partir do meio-dia para que os 
ponteiros formem um ângulo de 118.
Medida em grau Quantidade de minutos
5,5 > 1
11 > y
y 5 11 ? 1 ______ 5,5 5 2
 Logo, às 12 h 02 min, os ponteiros formam um ângulo de 118.
b) Analogamente ao item a, temos:
Medida em grau Quantidade de minutos
5,5 > 1
132 > y
y 5 132 ? 1 ________ 5,5 5 24
 Logo, às 12 h 24 min os ponteiros formam um ângulo de 1328.
c) Analogamente ao item a, temos: 
Medida em grau Quantidade de minutos
5,5 > 1
143 > y
y 5 143 ? 1 __________ 5,5 5 26
 Logo, às 12 h 26 min, os ponteiros formam um ângulo de 1438.
d) Analogamente ao item a, temos:
Medida em grau Quantidade de minutos
5,5 > 1
198 > y
y 5 198 ? 1 __________ 5,5 5 36
 Logo, às 12 h 36 min os ponteiros formam um ângulo de 1988.
105. a) Sabendo que sen a , sen b, a e b [ j0, p ___ 2 h, temos que 
a , b, pois, no 1o quadrante, o seno aumenta conforme a 
medida do arco aumenta. Já o cosseno de um arco do 1o qua-
drante diminui conforme a medida do arco aumenta. Logo, 
cos a . cos b, e a afirmação dada é verdadeira.
b) Como a e b [ j0, p ___ 2 he, nesse intervalo, tanto seno quanto 
cosseno de um arco são positivos, o produto entre eles tam-
bém é positivo. Logo, a afirmação dada é verdadeira.
c) Analogamente ao item a, de sen a , sen b, a e b [ j0, p ___ 2 h, 
temos que a , b, pois, no 1o quadrante, o seno aumenta con-
forme a medida do arco aumenta. Logo, a afirmação dada é 
falsa e o correto é a , b.
d) No 1o quadrante, o seno de um arco é 0 quando o arco mede 
0 rad e aumenta conforme a medida do arco aumenta. Já o 
cosseno é 1 quando o arco mede 0 rad e diminui conforme 
a medida do arco aumenta. Assim, temos sen a , cos a até 
que o valor para ambos coincidam; isso ocorre quando o 
arco mede p ___ 4 rad. Logo, a afirmação dada é verdadeira.
106. 
 cos ( 2a ) 2 sen ( 9 ___ 4 a ) 
 _____________________________ 
sen ( a ___ 2 ) 2 cos ( 9 ___ 4 a ) 
 5 
cos ( 2p ____ 3 ) 2 sen ( 9 ___ 4 ? p ___ 3 ) 
 _________________________________ 
 sen ( 
p ___ 3 _____ 2 ) 2 cos ( 9 ___ 4 ? p ___ 3 ) 
 5 
5 
20,52 sen ( 9p _____ 12 ) 
 _______________________________ 
sen ( p ___ 3 ? 2 __ 1 ) 2 cos ( 9p _____ 12 ) 
 5 
20,5 2 sen ( 3p _____ 4 ) 
 ____________________________ 
sen ( 2p ____ 3 ) 2 cos ( 3p _____ 4 ) 
 5 
> 20,5 2 0,71 ______________________ 0,87 2 (20,71) 5 
21,21
 _________ 1,58 5 20,76 
107. Temos p ___ 4 , 1 , 
p ___ 2 . Assim, sen 1 [ j 
 dXX 2 ____ 2 , 1h, cos 1 [ j0, 
 dXX 2 ____ 2 h e 
tg 1 [ j1, `h. Portanto: cos 1 , sen 1 , tg 1
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15
108. Pela relação fundamental da trigonometria, temos:
sen2 a 1 cos2 a 5 1 ä sen2 a 1 ( 2 1 ___ 4 ) 2 5 1 ä sen2 a 5 1 2 1 ____ 16 ä 
ä sen2 a 5 15 ____ 16 ä sen a 5 ± 
 dXXX 15 ______ 4 
Como o arco de medida a está no 2o quadrante, temos sen a 
positivo. Portanto: sen a 5 
dXXX 15 ______ 4 
Então:
 cotg a 1 cossec a ___________________ sec a 5 
 cos a ________ sen a 1 
1 ________ sen a ______________________ 
 1 ________ cos a 
 5 
 
2 
1 ___ 4 1 1 ___________ 
 
dXXX 15 ______ 4 
 
 ______________ 
 1 _______ 
 2 1 ___ 4 
 
 5
5 
 3 ___ 4 ? 
 4 ______ 
 dXXX 15 
 
 ____________ 
24 5 2 
3
 _______ 
4 dXXX 15 
 5 2 
3 dXXX 15 
 ________ 4 ? 15 5 2 
 dXXX 15 ______ 20 
109. Da igualdade cotg a 5 k, obtemos: 
cotg a 5 k ä cos a ________ sen a 5 k ä cos a 5 k ? sen a
Então:
 cos a ? ( sen a 2 cos a ) ________________________________ sen2 a 2 cos2 a 5 
k ? sen a ? ( sen a 2 k ? sen a ) 
 ________________________________________ 
sen2 a 2 ( k ? sen a ) 2 5
5 
k ? sen2 a 2 k2 ? sen2 a
 _______________________________ sen2 a 2 k2 ? sen2 a 5 
k ? sen2 a ? ( 1 2 k ) _________________________ 
sen2 a ? ( 1 2 k2 ) 
 5 k ? 
( 1 2 k ) ______________ 1 2 k2 5 
5 
k ? ( 1 2 k ) 
 ______________________ 
 ( 1 1 k ) ? ( 1 2 k ) 5 
k ________ 1 1 k 
110. Calculamos o comprimento º de cada roda: º 5 2 p ? 60 _____ 2 5 60p
Adotando p 5 3,14, obtemos: º 5 60 ? 3,14 5 188,4
Logo, o comprimento de cada roda é aproximadamente 188,4 cm. 
Como a cada minuto as rodas completam 600 voltas, temos que, 
em 1 minuto, o veículo se desloca 600 ? 188,4 5 113 040 cm, 
ou seja, 1,1304 km.
Assim, em 1 hora, temos 60 ? 1,1304 km 5 67,824 km. Logo, a 
velocidade das rodas é aproximadamente 67,8 km/h.
111. A distância d é o comprimento de um arco de 458 ( p ___ 4 rad ) 
que pertence a uma circunferência de raio medindo 6 375 km. 
Assim: d 5 p ___ 4 ? 6 375 5 
6 375p
 __________ 4 5 1 593,75p 5 1 593,75 ? 3,14 5 
5 5 004,375
Logo, a distância da linha do Equador a esse ponto é aproxima-
damente 5 004 km.
112. ( sen a ________ cotg a 1 cos a ) ? sec a 5 ( sen a __________ cos a ________ sen a 1 cos a ) ? sec a 5 
5 ( sen a ? sen a ________ cos a 1 cos a ) ? sec a 5 sen
2 a 1 cos2 a ______________________ cos a ? sec a 5 
5 1 ________ cos a ? 
1 ________ cos a 5 
5 __ 2 ? 
5 __ 2 5 
25 ____ 4 
113. tg a 1 sen a ___________________ cossec a 5 
 sen a ________ cos a 1 sen a _____________________ 
 1 ________ sen a 
 5 
5 ( sen a 1 sen a ? cos a ______________________________ cos a ) ? sen a ________ 1 5 sen
2 a 1 sen2 a ? cos a _______________________________ cos a 
Da relação fundamental da trigonometria, temos:
sen2 a 1 cos2 a 5 1 ä sen2 a 5 1 2 cos2 a
Então: 
 sen
2 a 1 sen2 a ? cos a
 ________________________________ cos a 5 
1 2 cos2 a 1 ( 1 2 cos2 a ) ? cos a
 ______________________________________________ cos a 5
5 
1 2 cos2 a 1 cos a 2 cos3 a
 ______________________________________ cos a 
114. Pela relação fundamental da trigonometria, obtemos:
sen2 a 1 cos2 a 5 1 ä sen2 a 1 ( 3 __ 5 ) 
2
 5 1 ä sen2 a 5 1 2 9 ____ 25 ä 
ä sen2 a 5 16 ____ 25 ä sen a 5 ± 
4 ___ 5 
Como o arco de medida a está no 4o quadrante, temos sen a 
negativo. Portanto: sen a 5 2 4 ___ 5 
Então: sen a 1 5 ? sen2 a 5 2 4 ___ 5 1 5 ? ( 2 4 ___ 5 ) 
2
 5 2 4 ___ 5 1 
16 ____ 5 5 
12 ____ 5 
115. Como sec a 5 4 ___ 3 , temos cos a 5 
1 ____ 
 4 ___ 3 
 5 3 ___ 4 .
Pela relação fundamental da trigonometria, obtemos:
sen2 a 1 cos2 a 5 1 ä sen2 a 1 ( 3 ___ 4 ) 
2
 5 1 ä sen2 a 5 1 2 9 ____ 16  ä 
ä sen2 a 5 7 ____