Funções - Apostila UFRJ

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Func¸o˜es
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Suma´rio
1 Func¸o˜es 4
1.1 Conceitos ba´sicos sobre func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Restric¸a˜o de func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Func¸a˜o crescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Func¸a˜o injetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Func¸a˜o sobrejetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5 Func¸a˜o bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Composic¸o˜es de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Func¸o˜es do 1 grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Func¸a˜o identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Func¸a˜o afim ou de primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Func¸o˜es seccionalmente afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.4 Func¸a˜o inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.5 Imagem inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.6 Parte positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.7 Parte negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Func¸o˜es perio´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1 Func¸a˜o perio´dica e integrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Func¸o˜es pares e ı´mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Func¸o˜es linearmente independentes e dependentes . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7 Func¸o˜es sime´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 Func¸a˜o mo´dulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8.1 max(x, y) =
x+ y + |x− y|
2
e min(x, y) =
x+ y − |x− y|
2
. . . . . . 22
1.9 Tipos especiais de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2
SUMA´RIO 3
1.9.1 Func¸a˜o racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9.2 Func¸o˜es limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9.3 Func¸o˜es alge´bricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.10 Operac¸o˜es com func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.11 Func¸a˜o caracter´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12 Func¸a˜o de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.13 Func¸o˜es e conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Cap´ıtulo 1
Func¸o˜es
1.1 Conceitos ba´sicos sobre func¸o˜es
Definic¸a˜o 1 (Lei de formac¸a˜o). Dados dois conjuntos C e D uma lei de formac¸a˜o e´ um
subconjunto r do produto cartesiano C ×D tendo a seguinte propriedade:
Se (c, d) ∈ r e (c, t) ∈ r enta˜o d = t.
Enta˜o para ter uma lei de formac¸a˜o e´ necessa´rio ter dois conjuntos C e D. No caso
dizemos que r e´ uma lei de formac¸a˜o de C em D.
Definic¸a˜o 2 (Domı´nio de r). Definimos o domı´nio de r como o conjunto
{c | ∃ d ∈ D |(c, d) ∈ r}.
Definic¸a˜o 3 (Imagem de r). Definimos a imagem de r como o conjunto
{d | ∃ c ∈ D |(c, d) ∈ r}.
Definic¸a˜o 4 (Func¸a˜o). Uma func¸a˜o e´ uma lei de formac¸a˜o r e um conjunto B que conte´m
a imagem de r. Domı´nio e imagem de f sa˜o definidos como o domı´nio e imagem de r, o
conjunto B e´ chamado contra-domı´nio. Enta˜o para termos uma func¸a˜o e´ necessa´rio que
tenhamos dois conjuntos C e B e a lei de formac¸a˜o de C em D ⊂ B.
4
CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES 5
Se uma func¸a˜o tem domı´nio A e contra-domı´nio B, denotamos por
f : A→ B.
Seja a um elemento de A denotamos por f(a) o u´nico elemento de B tal que a lei de
formac¸a˜o associa ao elemento a.
Definic¸a˜o 5 (Gra´fico de uma func¸a˜o). Dada f : A→ B o gra´fico de f e´ o conjunto dos
pontos {(x, f(x)), x ∈ A}.
1.1.1 Restric¸a˜o de func¸a˜o
Definic¸a˜o 6 (Restric¸a˜o de func¸a˜o). Sejam
f : A→ B
e A0 subconjunto de A definimos a restric¸a˜o de f em A0 como a func¸a˜o de A0 em B com
lei
(a, f(a)) |a ∈ A0.
1.1.2 Func¸a˜o crescente
Para as duas definic¸o˜es a seguir considere o domı´nio e a imagem da func¸a˜o f como
conjuntos ordenados.
Definic¸a˜o 7 (Func¸a˜o crescente). Dizemos que a func¸a˜o e´ crescente quando x > y implicar
f(x) > f(y) .
Definic¸a˜o 8 (Func¸a˜o decrescente). Dizemos que a func¸a˜o e´ decrescente quando x > y
implicar f(x) < f(y) .
Definic¸a˜o 9 (Func¸a˜o na˜o-crescente). Dizemos que a func¸a˜o e´ na˜o-crescente quando x > y
implicar f(x) ≤ f(y) .
Definic¸a˜o 10 (Func¸a˜o na˜o-decrescente). Dizemos que a func¸a˜o e´ na˜o-decrescente quando
x > y implicar f(x) ≥ f(y) .
CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES 6
Propriedade 1. Se uma func¸a˜o e´ na˜o-decrescente e na˜o-crescente enta˜o ela e´ constante.
Demonstrac¸a˜o. Seja um elemento qualquer x ∈ A tal que x > y, enta˜o vale f(x) ≥
f(y) e f(y) ≥ f(x), de onde segue f(x) = f(y).
1.1.3 Func¸a˜o injetiva
Definic¸a˜o 11 (Func¸a˜o injetiva ou injetora). Uma func¸a˜o f : A → B e´ dita injetiva
quando temos
f(a) = f(b)⇒ a = b
Propriedade 2. Toda func¸a˜o crescente e´ injetora.
Demonstrac¸a˜o. Sejam dois elementos a e b quaisquer no domı´nio, vale f(a) = f(b),
somente se a = b, pois se a > b vale f(a) > f(b) e se b > a vale f(b) > f(a).
1.1.4 Func¸a˜o sobrejetora
Definic¸a˜o 12 (Func¸a˜o sobrejetora). Uma func¸a˜o f : A → B e´ dita sobrejetora quando
para todo elemento y de B existe um elemento x de A tal que f(x) = y.
1.1.5 Func¸a˜o bijetora
Definic¸a˜o 13 (Func¸a˜o bijetora). Uma func¸a˜o f : A → B e´ bijetora sse e´ injetora e
sobrejetora.
Propriedade 3. f : A→ B e´ injetiva ⇔ existe g : B → A tal que g(f(x)) = x ∀x ∈ A.
Demonstrac¸a˜o. ⇒. Se f e´ injetiva ela esta´ em bijec¸a˜o com sua imagem f(A), da´ı
existe uma inversa g : f(A) ⊂ B → A, tal que g(f(x)) = x ∀x ∈ A, podemos tomar
a ∈ A e definir g(y) = a para todo y ∈ B /∈ f(A), da´ı a func¸a˜o g : B → A, continua
satisfazendo g(f(x)) = x∀x ∈ A. ⇐ . Se existe g : B → A tal que g(f(x)) = x ∀x ∈ A
enta˜o f : A → B e´ injetiva. Vamos mostrar que f(x) = f(y) implica x = y. Suponha
f(x) = f(y), como g e´ func¸a˜o tem-se g(f(x)) = g(f(y)) = x = y logo f e´ injetiva.
Definic¸a˜o 14 (Raiz de func¸a˜o). Seja f uma func¸a˜o e a um elemento do seu domı´nio, se
vale f(a) = 0 enta˜o a e´ chamado de uma raiz da func¸a˜o f .
CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES 7
1.2 Composic¸o˜es de func¸o˜es
Sejam f :M → N e g : N → P M,N e P conjuntos na˜o vazios.
Definic¸a˜o 15 (Composic¸a˜o de func¸o˜es). Definimos a func¸a˜o g◦f :M → P como a func¸a˜o
que a cada x ∈M associa z ∈ P dado por z = g(f(x)). Denotamos g(f(x)) = (g ◦ f)(a).
Propriedade 4. Se f e g sa˜o injetoras, enta˜o g ◦ f e´ injetora.
Demonstrac¸a˜o. Seja x 6= y ∈ M , temos f(x) 6= f(y) pois f e´ injetora da´ı temos
tambe´m g(f(x)) 6= g(f(y)) logo g ◦ f e´ injetora.
Propriedade 5. Se f e g sa˜o sobrejetoras , enta˜o g ◦ f e´ sobrejetora.
Demonstrac¸a˜o. Seja z ∈ P arbitra´rio como g e´ sobrejetora existe y ∈ N tal que
g(y) = z e como f e´ sobrejetora, existe x ∈ M tal que f(x) = y, logo existe x ∈ M tal
que g(f(x)) = z assim g ◦ f e´ sobrejetora.
Corola´rio 1. Se f e g sa˜o bijetoras enta˜o g ◦ f e´ bijetora.
Propriedade 6. Seja uma func¸a˜o de R em R, que satisfaz f 3(0) = 0 e |f(x) − f(y)| ≤
|x− y|, enta˜o f(0) = 0.
Demonstrac¸a˜o. Vale
|f 3(0)− f 2(0)|︸ ︷︷ ︸
=|f2(0)|
≤ |f 2(0)− f(0)| ≤ |f(0)| = |f 3(0)− f(0)| ≤ |f 2(0)|
da´ı tiramos que |f 2(0)| = |f(0)| e |f 2(0)− f(0)| ≤ |f 2(0)|. Temos tambe´m
|f 5(0)− f 3(0)|︸ ︷︷ ︸
=|f2(0)|
≤ |f 4(0)− f 2(0)| = |f 2(0)− f(0)|de |f 2(0)− f(0)| ≤ |f 2(0)| e |f 2(0)| ≤ |f 2(0)− f(0)|, conclu´ımos que
|f 2(0)| = |f 2(0)− f(0)|
logo f(0) = 0 ou f(0) = 2f 2(0) a segunda identidade implica |f(0)| = 2|f 2(0)| = 2|f(0)|,
da´ı f(0) = 0.
CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES 8
Propriedade 7. Sejam f : A → B , G,H : B → A tal que G(f(x)) = x∀x ∈ A e
f(H(y)) = y ∀y ∈ B, enta˜o G = H.
Demonstrac¸a˜o.
Exemplo 1. Dar o exemplo de duas func¸o˜es f injetora e g sobrejetora, tais que f ◦ g na˜o
seja sobrejetora nem injetora.
Sejam f, g : (0,∞) → R com f(x) = ex e g(x) = ln(x2) . g na˜o e´ injetora pois
g(1) = g(−1) = ln(1) = 0 e f e´ injetora, da´ı
eln(x
2) = x2
x2 na˜o e´ injetora nem sobrejetora .
1.3 Func¸o˜es do 1 grau.
Vamos considerar em geral func¸o˜es de um conjunto A de nu´meros reais em R, pore´m
em alguns casos func¸o˜es em outros conjuntos, quando for o caso citaremos as modificac¸o˜es.
Definic¸a˜o 16 (Func¸a˜o linear). Uma func¸a˜o f e´ linear, se e´ da forma
f(x) = ax
para algum a ∈ R.
Para f : A ⊂ C → C temos as quatro pro´ximas definic¸o˜es.
Definic¸a˜o 17 (Rotac¸o˜es). As func¸o˜es de lei f(z) = a.z onde |a| = 1 sa˜o chamadas de
rotac¸o˜es.
Definic¸a˜o 18 (Homotetias). f(z) = a.z onde a ∈ R sa˜o chamadas de Homotetias.
Definic¸a˜o 19 (Dilatac¸a˜o). f(z) = a.z com a ∈ R a > 1.
Definic¸a˜o 20 (Contrac¸a˜o). f(z) = a.z com a ∈ R 0 < a < 1.
CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES 9
Exemplo 2. Uma func¸a˜o f : Z → Z e´ definida como
f(x)
 x− 1 se x e´ ı´mparx+ 1 se x e´ par
Enta˜o quais as soluc¸o˜es de f(x) = f(2x)? 2x sempre e´ par, enta˜o vale f(2x) = 2x+1. Se
x e´ ı´mpar temos f(x) = x− 1 = 2x+ 1 da´ı x = −2 absurdo pois x deve ser ı´mpar, se x e´
par, enta˜o f(x) = x+ 1 = 2x+ 1 implicando que x = 0.
1.3.1 Func¸a˜o identidade
Definic¸a˜o 21 (Func¸a˜o identidade). E´ a func¸a˜o f de A em A dada por f(x) = x.
1.3.2 Func¸a˜o afim ou de primeiro grau
Definic¸a˜o 22 (Func¸a˜o afim ou de 1◦ grau). f e´ uma func¸a˜o afim sse f(x) e´ do tipo
f(x) = ax+ b
para a e b reais.
Exemplo 3 (ITA-1966). Seja f : R→ R com f(2x+1) = x para qualquer x, enta˜o, qual
expressa˜o para f(x)?
Tomamos y = 2x+ 1 da´ı
y − 1
2
= x, tem-se
f(y) =
y − 1
2
.
1.3.3 Func¸o˜es seccionalmente afin
Definic¸a˜o 23 (Func¸o˜es seccionalmente afin). Uma func¸a˜o e´ seccionalmente afin se ela e´
afin numa colec¸a˜o de intervalos cuja unia˜o da´ o domı´nio da func¸a˜o.
1.3.4 Func¸a˜o inversa.
Definic¸a˜o 24 (Func¸a˜o inversa.). Seja f : A → B enta˜o g : B → A e´ inversa de f sse
f(g(y)) = y ∀y ∈ B e g(f(x)) = x ∀x ∈ A. Denotamos g = f−1.
CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES 10
1.3.5 Imagem inversa
Definic¸a˜o 25. Sejam a func¸a˜o f : A→ B e o conjunto C ⊂ B. Definimos
f−1(C) = {x ∈ A |f(x) ∈ C}.
Chamamos tal conjunto de imagem inversa de C pela func¸a˜o f .
Definic¸a˜o 26 (Homeomorfismo). Uma func¸a˜o f de A em B e´ um homeomorfismo sse ela
e´ bijetora , cont´ınua e sua inversa e´ cont´ınua.
Definic¸a˜o 27. Sejam U ⊂ Rm um aberto, f uma func¸a˜o de U em Rm. Se todas as
derivadas de ordem k existem e sa˜o cont´ınuas para k ≤ r enta˜o dizemos que f ∈ Cr(U).
Se f ∈ Cr(U) para cada r natural enta˜o dizemos que f ∈ C∞(U). Se f e´ anal´ıtica (pode
ser expressa como uma se´rie convergente na vizinhanc¸a de qualquer ponto de U enta˜o
escrevemos f ∈ Cw(U).)
Definic¸a˜o 28 (Func¸o˜es Cr e C∞.). Dizemos que f e´ de classe Cr se f r(x) existe e e´
cont´ınua em todo seu intervalo de definic¸a˜o . Diremos que a func¸a˜o f(x) e´ suave se ela e´
pelo menos C1, isto e´, a derivada existe e e´ cont´ınua. Diremos que uma func¸a˜o e´ C∞ se
para todo n ∈ N f(x) e´ Cn.
Definic¸a˜o 29 (Cr difeomorfismo). f e´ uma func¸a˜o Cr se f e´ um homeomorfismo Cr tal
que f−1 e´ tambe´m Cr.
Definic¸a˜o 30 (Composic¸a˜o recorrente de func¸o˜es). Definimos
f 0(x) = x
fn+1(x) = f(fn(x))
para n natural. Chamamos fn(x) de ene´sima composic¸a˜o de f(x)
Se f−1 existe denotamos f−n(x) como a n-e´sima composic¸a˜o de f−1(x).
Propriedade 8.
[fn(x)]′ =
n−1∏
k=0
f ′(fk(x)).
CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES 11
Propriedade 9. Seja f uma func¸a˜o de R em R deriva´vel, enta˜o ela pode ser escrita como
soma de uma func¸a˜o par e uma func¸a˜o ı´mpar.
Demonstrac¸a˜o. Definimos
g(x) =
f(−x) + f(x)
2
e temos
g(−x) = f(x) + f(−x)
2
= g(x)
logo a func¸a˜o e´ par, definimos
h(x) =
−f(−x) + f(x)
2
e temos
h(−x) = −f(x) + f(−x)
2
= −−f(−x) + f(x)
2
logo h(x) e´ ı´mpar, somando ambas tem-se
g(x) + h(x) =
f(−x) + f(x)
2
+
−f(−x) + f(x)
2
= f(x).
1.3.6 Parte positiva
Definic¸a˜o 31 (Parte positiva). Seja f(x) : A → R definimos a parte positiva da func¸a˜o
como
f+(x) =
 f(x) se f(x) ≥ 00 se f(x) < 0.
A parte positiva assume sempre valores na˜o-negativos.
Outra maneira de definir e´ usando a func¸a˜o ma´ximo
f+(x) = max{0, f(x)}.
1.3.7 Parte negativa
Definic¸a˜o 32 (Parte negativa). Seja f(x) : A→ R definimos a parte negativa da func¸a˜o
como
f−(x) =
 0 se f(x) > 0−f(x) se f(x) ≤ 0.
CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES 12
A parte negativa assume sempre valores na˜o-negativos.
Outra maneira de definir e´ usando a func¸a˜o ma´ximo
f−(x) = max{0,−f(x)}.
Propriedade 10.
f(x) = f+(x)− f−(x).
Demonstrac¸a˜o. Se existe x tal que f(x) = 0, enta˜o f+(x) = 0 = f−(x) e vale
f(x) = 0 = 0− 0.
Se existe x tal que f(x) = a > 0, enta˜o f+(x) = a e f−(x) = 0 da´ı
f(x) = a = f+(x)− f−(x) = a− 0 = a.
E por u´ltimo, se existe x tal que f(x) = b < 0, enta˜o f+(x) = 0 e f−(x) = −b da´ı
f(x) = b = f+(x)− f−(x) = 0− (−b) = b.
Propriedade 11.
|f(x)| = f+(x) + f−(x).
Demonstrac¸a˜o. Se f(x) > 0 temos f+(x) = f(x) e f−(x) = 0 logo
|f(x)| = f(x) = f+(x) + f−(x) = f(x) + 0.
Se f(x) < 0 enta˜o f+(x) = 0 e f−(x) = −f(x), logo
|f(x)| = f(x) = f+(x) + f−(x) = 0− f(x).
No u´ltimo caso, se f(x) = 0 enta˜o f+(x) = 0 e f−(x) = 0 de onde segue
|f(x)| = |0| = 0 = f+(x) + f−(x) = 0 + 0.
CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES 13
1.4 Func¸o˜es perio´dicas
Definic¸a˜o 33 (Func¸a˜o perio´dica). Uma func¸a˜o f de A em B (conjuntos de nu´meros reais)
e´ dita perio´dica sse, existe p 6= 0 real. tal que
f(x+ p) = f(x)
para todo x ∈ A. E´ necessa´rio que p 6= 0, pois sempre vale f(x + 0) = f(x), desse modo
todas as func¸o˜es seriam perio´dicas.
Definic¸a˜o 34. Quando existe o menor p tal que p e´ per´ıodo de f enta˜o p e´ dito per´ıodo
fundamental.
Exemplo 4. A func¸a˜o f de R em R dada por f(x) = c onde c ∈ R constante na˜o possui
per´ıodo mı´nimo, todo valor p e´ per´ıodo dela, pois f(x+ p) = c = f(x).
Propriedade 12. Se f e g sa˜o perio´dicas de per´ıodo T , mostre que f + g, f.g e af com
a ∈ R tambe´m sa˜o func¸o˜es de per´ıodo T.
Demonstrac¸a˜o. Tomando h(x) = f(x)+g(x) temos h(x+T ) = f(x+T )+g(x+T ) =
f(x)+g(x) pois f e g sa˜o per´ıodicas, logo a func¸a˜o soma tambe´m e´ per´ıodica com o mesmo
per´ıodo, o mesmo para o produto L(x) = f(x).g(x) segue h(x + T ) = f(x + T ).g(x +
T ) = f(x).g(x). Agora sendo a um nu´mero real, tomando que W (x) = af(x) segue
W (x+ T ) = af(x+ T ) = af(x) .
Propriedade 13. Se T e´ per´ıodo da func¸a˜o f enta˜o para todo inteirom, f(x+mt) = f(x).
Demonstrac¸a˜o. Vamos provar primeiro para m natural, por induc¸a˜o, para m = 0
vale f(x + 0t) = f(x) supondo validade para m, f(x + mt) = f(x) vamos provar para
m+ 1, f(x+ (m+ 1)t) = f(x) temos que
f(x+ (m+ 1)t) = f((x+mt) + t) = f(x+mt) = f(x).
Agora para −m na˜o positivo temos que f(x−mt+mt) = f(x−mt) = f(x) .
Propriedade 14. Se f per´ıodica de per´ıodo T e g per´ıodica de per´ıodo P e existindo
inteiros m e n tais que mT = nP enta˜o vale (f + g)(x+mT ) = (f + g)(x).
CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES 14
Demonstrac¸a˜o. Temos que
(f + g)(x+mT ) = f(x+mT ) + g(x+mT ) = f(x+mT ) + g(x+nP ) = f(x) + g(x) .
Propriedade 15. f(t) = cosat+ cosbt e´ per´ıodica sse
a
b
e´ racional.
Demonstrac¸a˜o. Suponha existeˆnciade um per´ıodo P , enta˜o
f(t+p) = cos(at+ap)+cos(bt+bp) = cosat.cosap−senap.senat+cosbp.cosbp−senbtsenbp = f(t) =
= cosat.cosbt
temos que ter enta˜o cosap = 1, senap = 0, cosbp = 1, senbp = 0 para isso temos que ter
ap = 2pik para algum k inteiro logo p =
2pik
a
e bp = 2pis com s inteiro logo p =
2pis
b
,
como temos p = p segue
2pis
b
=
2pik
a
,
s
k
=
b
a
ou
a
b
=
k
s
como
k
s
e´ racional e´ necessa´rio
que
a
b
seja racional.
Propriedade 16. Se f possui per´ıodo w enta˜o g definida como g(x) = f(cx) tem per´ıodo
w
c
.
Demonstrac¸a˜o. O per´ıodo de f e´ w, logo tem-se f(cx + w) = f(cx) = g(x), por
outro lado f(c
cx+ w
c
) = g(
cx+ w
c
) = g(x +
w
c
) = g(x), sendo w o menor valor que
satisfaz essa propriedade.
Exemplo 5. Seja H : R → R definida como H(x) = 1 se x racional e H(x) = 0 se x
irracional . Mostrar que H e´ perio´dica e o conjunto dos seus per´ıodos e´ denso em R.
Vamos mostrar que todo nu´mero racional p e´ per´ıodo da func¸a˜o H. Seja x racional,
enta˜o vale x+ p ∈ Q da´ı
H(x) = 1 = H(x+ p)
se x e´ irracional enta˜o x+ p e´ irracional, implicando que
H(x) = 0 = H(x+ p).
Nu´meros irracionais na˜o sa˜o per´ıodos, pois dado x ∈ Q e p na˜o racional vale x + p na˜o
racional, H(x) = 1 e H(x + p) = 0, logo sa˜o distintos. O conjunto dos racionais e´ denso
em R.
CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES 15
1.4.1 Func¸a˜o perio´dica e integrac¸a˜o
Propriedade 17. Se f e´ uma func¸a˜o per´ıodica de per´ıodo P e integra´vel enta˜o fa(t) =
t+a∫
t−a
f(s)ds e´ tambe´m per´ıodica de per´ıodo P .
Demonstrac¸a˜o.
fa(t+ P ) =
t+a∫
t−a
f(s)ds =
t+P+a∫
t+P−a
f(s)ds =
t+a∫
t−a
f(s+ p)ds =
t+a∫
t−a
f(s+ p)ds = fa(t) .
Propriedade 18. Se f e´ perio´dica com per´ıodo a e integra´vel sobre [0, a] enta˜o∫ a
0
f(x)dx =
∫ b+a
b
f(x)dx.
Demonstrac¸a˜o. Escrevemos
∫ b+a
b
f(x)dx =
∫ a
b
f(x)dx+
∫ b+a
a
f(x)dx =
∫ a
b
f(x)dx+
∫ b
0
f(x+ a)dx =
=
∫ b
0
f(x)dx+
∫ a
b
f(x)dx =
∫ a
0
f(x)dx .
1.5 Func¸o˜es pares e ı´mpares
Definic¸a˜o 35 (Func¸a˜o par.). Uma func¸a˜o f e´ par quando dado qualquer a no domı´nio
da func¸a˜o −a tambe´m pertence ao domı´nio e vale
f(a) = f(−a).
Definic¸a˜o 36 (Func¸a˜o ı´mpar.). Uma func¸a˜o f e´ ı´mpar quando dado qualquer a no
domı´nio da func¸a˜o −a tambe´m pertence ao domı´nio e vale
f(a) = −f(−a).
Nesta sec¸a˜o iremos considerar apenas func¸o˜es que satisfazem a propriedade de a no
domı´nio enta˜o −a no domı´nio.
CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES 16
Propriedade 19. Se a e´ raiz de uma func¸a˜o f , par ou ı´mpar, enta˜o −a tambe´m e´ raiz
dessa func¸a˜o.
Demonstrac¸a˜o. Se f e´ par temos
f(a) = f(−a) = 0
da´ı f(−a) = 0 enta˜o −a e´ raiz. Se f e´ ı´mpar, tem-se
f(a) = −f(−a) = 0
logo −f(−a) = 0 que implica f(−a) = 0, logo −a e´ ra´ız de f em ambos casos.
Propriedade 20. Seja a func¸a˜o f de A em {0} identicamente nula,isto e´, dada pela lei
f(x) = 0 pra todo x ∈ A, enta˜o f e´ par e f e´ ı´mpar.
Demonstrac¸a˜o. Seja a no domı´nio enta˜o −a tambe´m pertence ao domı´nio e pela
func¸a˜o ser identicamente nula, segue que f(a) = f(−a) = 0, logo f(a) = −f(−a) = −0 e
f(a) = f(−a) = 0.
Propriedade 21. Se f e´ ı´mpar, enta˜o f(0) = 0.
Demonstrac¸a˜o. Como f e´ ı´mpar, vale f(0) = f(−0) logo f(0) = −f(0), 2f(0) = 0,
da´ı f(0) = 0.
Propriedade 22. Se f e´ ı´mpar e perio´dica de per´ıodo p , enta˜o f(p) = 0.
Demonstrac¸a˜o. Vale f(x + p) = f(p) para todo x, em especial para x = −p temos
f(0) = f(p) = 0.
Propriedade 23. Se f e´ par e ı´mpar enta˜o f(x) = 0 para todo x no seu domı´nio.
Demonstrac¸a˜o. Seja x um elemento qualquer do domı´nio, como f e´ par segue
f(x) = f(−x) e como f e´ ı´mpar segue que f(x) = −f(−x) da´ı f(−x) = −f(−x),
2f(−x) = 0, f(−x) = 0 = f(x), logo f e´ identicamente nula pela arbitrariedade de x.
Propriedade 24. Seja p(x) um polinoˆmio, considere a func¸a˜o p de R em R com lei
x→ p(x) enta˜o se p e´ par o polinoˆmio se escreve como
p(x) =
v∑
k=0
a2kx
2k
CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES 17
se p e´ ı´mpar o polinoˆmio se escreve como
p(x) =
s∑
k=0
a2k+1x
2k+1
, isto e´ se p e´ ı´mpar enta˜o os coeficientes de ı´ndice par sa˜o nulos e se p e´ par enta˜o os
coeficientes de ı´ndice ı´mpares sa˜o nulos.
Demonstrac¸a˜o. Seja p(x) um polinoˆmio dado, se p(x) = 0 enta˜o ele e´ par e ı´mpar,
se ele na˜o e´ identicamente nulo, seja n o grau do polinoˆmio , logo p(x) =
n∑
k=0
akx
k com
an 6= 0. De k = 0 ate´ n temos ı´ndices pares e ı´mpares, separamos a soma enta˜o como
p(x) =
v∑
k=0
a2kx
2k +
s∑
k=0
a2s+1x
2s+1
se p e´ par, temos
p(x) = p(−x) =
v∑
k=0
a2kx
2k +
s∑
k=0
a2k+1x
2k+1 =
v∑
k=0
a2k(−x)2k +
s∑
k=0
a2k+1(−x)2k+1 =
=
v∑
k=0
a2kx
2k +
s∑
k=0
a2k+1x
2k+1 =
v∑
k=0
a2k(x)
2k −
s∑
k=0
a2k+1(x)
2k+1
da´ı
−
s∑
k=0
a2k+1(x)
2k+1 =
s∑
k=0
a2k+1(x)
2k+1
2
s∑
k=0
a2k+1(x)
2k+1 = 0
logo os coeficientes a2k+1 sa˜o zero e o polinoˆmio e´ do tipo
p(x) =
v∑
k=0
a2kx
2k
quando p e´ par.
Agora se p ı´mpar, temos
p(x) = −p(−x) =
v∑
k=0
a2kx
2k +
s∑
k=0
a2k+1x
2k+1 = −
v∑
k=0
a2k(−x)2k −
s∑
k=0
a2k+1(−x)2k+1 =
= −
v∑
k=0
a2kx
2k +
s∑
k=0
a2k+1x
2k+1 =
v∑
k=0
a2k(x)
2k +
s∑
k=0
a2k+1(x)
2k+1
CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES 18
da´ı
−
v∑
k=0
a2k(x)
2k =
v∑
k=0
a2k(x)
2k
2
v∑
k=0
a2k(x)
2k = 0
logo os coeficientes a2k sa˜o zero e o polinoˆmio e´ do tipo
p(x) =
s∑
k=0
a2k+1x
2k+1
quando p e´ ı´mpar.
Propriedade 25. Se f e´ par e deriva´vel enta˜o f ′ e´ ı´mpar.
Demonstrac¸a˜o. Seja g dada por g(x) = f ′(x), como f e´ par, vale f(x) = f(−x),
derivando em ambos lados segue f ′(x) = −f ′(−x), como g(−x) = f ′(−x) segue que
g(x) = −g(−x) logo g que e´ a func¸a˜o derivada e´ ı´mpar.
Propriedade 26. Se f e´ ı´mpar e deriva´vel enta˜o f ′ e´ par.
Demonstrac¸a˜o. Seja g = f ′ logo g(x) = f ′(x) e g(−x) = f ′(−x), como f e´ ı´mpar
vale f(x) = −f(−x) derivando ambos lados segue f ′(x) = f ′(−x), logo g(x) = g(−x),
logo a func¸a˜o derivada e´ par.
Propriedade 27. O produto finito de func¸o˜es pares com mesmo domı´nio e´ uma func¸a˜o
par.
Demonstrac¸a˜o.
Sejam n func¸o˜es pares (fk(x))|nk=1, enta˜o vale pra cada k, fk(x) = fk(−x), seja a
func¸a˜o g dada pelo produto dessas n func¸o˜es
g(x) =
n∏
k=1
fk(x)
enta˜o
g(−x) =
n∏
k=1
fk(−x) =
n∏
k=1
fk(x) = g(x).
Propriedade 28. O produto de n func¸o˜es ı´mpares de mesmo domı´nio e´ uma func¸a˜o
ı´mpar se n e´ ı´mpar e e´ uma func¸a˜o par se n e´ par.
CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES 19
Demonstrac¸a˜o. Sejam n func¸o˜es ı´mpares (fk(x))|nk=1, vale a propriedade fk(x) =
−fk(−x), seja g definida pelo produto
g(x) =
n∏
k=1
fk(x)
g(−x) =
n∏
k=1
fk(−x) =
n∏
k=1
(−1)fk(x) = (−1)n
n∏
k=1
fk(x) = (−1)ng(x).
logo vale g(−x) = (−1)ng(x), se n par temos g(−x) = g(x) assim a func¸a˜o e´ par e se n
ı´mpar g(−x) = −g(x) logo a func¸a˜o e´ ı´mpar.
Propriedade 29. A soma finita de func¸o˜es pares no mesmo domı´nio e´ uma func¸a˜o par.
Demonstrac¸a˜o. Seja g definida pela soma de func¸o˜es pares fk, temos que fk(x) =
fk(−x), da´ı
g(x) =
n∑
k=1
fk(x)
g(−x) =
n∑
k=1
fk(−x) =
n∑
k=1
fk(x) = g(x).
Propriedade 30. A soma finita de func¸o˜es ı´mpares no mesmo domı´nio e´ uma func¸a˜o
ı´mpar.
Demonstrac¸a˜o. Seja g definida pela soma de func¸o˜es ı´mpares fk, temos que fk(x) =
−fk(−x), da´ı
g(x) =
n∑
k=1
fk(x)
g(−x) =
n∑
k=1
fk(−x) = −
n∑
k=1
fk(x) = −g(x).
Propriedade 31. Se f e´ par e integra´vel em [−a, a] vale∫ a
−a
f(x)dx = 2
∫ a
0
f(x)dx.
Demonstrac¸a˜o.∫ a
−a
f(x)dx =
∫ a0
f(x)dx+
∫ 0
−a
f(x)dx =
∫ a
0
f(x)dx+
∫ a
0
f(−x)dx =
∫ a
0
f(x)dx+
∫ a
0
f(x)dx =
= 2
∫ a
0
f(x)dx.
CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES 20
Propriedade 32. Se f e´ ı´mpar e integra´vel em [−a, a] vale∫ a
−a
f(x)dx = 0.
Demonstrac¸a˜o.∫ a
−a
f(x)dx =
∫ a
0
f(x)dx+
∫ 0
−a
f(x)dx =
∫ a
0
f(x)dx+
∫ a
0
f(−x)dx =
=
∫ a
0
f(x)dx−
∫ a
0
f(x)dx = 0.
(Propriedades de somato´rio de func¸o˜es ı´mpares e pares no texto somato´rios 2.)
Propriedade 33. Se f(0) = 0 e f ′(x) e´ par enta˜o f e´ ı´mpar.
Demonstrac¸a˜o. Vamos mostrar que f(−x) = −f(x) . Seja g(x) = f(−x) + f(x),
vale que g(0) = 0 e
g′(x) = −f ′(−x) + f(x) = −f ′(x) + f ′(x) = 0.
Logo g e´ constante, valendo enta˜o g(x) = 0∀x.
Definic¸a˜o 37 (Parte ı´mpar). Seja uma func¸a˜o f : R → R. Definimos a parte ı´mpar de
f como
fi(x) =
f(x)− f(−x)
2
.
Definic¸a˜o 38 (Parte par). Seja uma func¸a˜o f : R→ R. Definimos a parte par de f como
fp(x) =
f(x) + f(−x)
2
.
Propriedade 34. A parte ı´mpar e´ ı´mpar e a parte par e´ par .
Demonstrac¸a˜o.
fi(−x) = f(−x)− f(x)
2
= −f(x)− f(−x)
2
= −fi(x).
fp(−x) = f(−x) + f(x)
2
= f(x).
Corola´rio 2. Toda func¸a˜o pode ser escrita como soma da sua parte ı´mpar com sua parte
par, pois
fi(x) + fp(x) =
f(−x) + f(x)
2
+
f(x)− f(−x)
2
= f(x).
CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES 21
Exemplo 6 (ITA -questa˜o 1- 1990- Soluc¸a˜o). Dadas as func¸o˜es f(x) =
1 + ex
1− ex x ∈ R\{0}
e g(x) = xsen(x), x ∈ R enta˜o g e´ par, por ser produto de duas func¸o˜es ı´mpares e f e´
ı´mpar, pois
f(−x) = 1 + e
−x
1− e−x =
ex
ex
1 + e−x
1− e−x =
ex + 1
ex − 1 = −
1 + ex
1− ex = −f(x).
1.6 Func¸o˜es linearmente independentes e dependen-
tes
Definic¸a˜o 39 (Func¸o˜es linearmente independentes e dependentes). As func¸o˜es (fk)
n
1 :
R → V (V um espac¸o vetorial com escalares que contenham R) sa˜o LD ⇔ existem
(ck)
n
1 ∈ R (pelo menos um na˜o nulo), em que vale
n∑
k=1
ckfk(x) = 0, ∀x ∈ R.
Se
n∑
k=1
ckfk(x) = 0, ∀x ∈ R implicar cada ck = 0 enta˜o (fk)n1 sa˜o ditas LI .
1.7 Func¸o˜es sime´tricas
Definic¸a˜o 40. Uma func¸a˜o g de duas varia´veis x, y e´ sime´trica quando g(x, y) = g(y, x)
Propriedade 35.
g(x, y) = f(|x− y|)
e´ sime´trica.
Demonstrac¸a˜o.
g(x, y) = f(|x− y|) = f(| − 1||y − x|) = f(y − x) = g(y, x).
f(h(x-y)) onde h e´ par
CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES 22
1.8 Func¸a˜o mo´dulo
1.8.1 max(x, y) =
x+ y + |x− y|
2
e min(x, y) =
x+ y − |x− y|
2
.
Propriedade 36. Vale max(x, y) =
x+ y + |x− y|
2
e min(x, y) =
x+ y − |x− y|
2
.
Demonstrac¸a˜o. Se x ≥ y enta˜o x − y = |x − y| da´ı x+ y + x− y
2
= x como vale
max(x, y) + min(x, y) = x+ y enta˜o min(x, y) =
x+ y − |x− y|
2
.
1.9 Tipos especiais de func¸o˜es
1.9.1 Func¸a˜o racional
Definic¸a˜o 41 (Func¸a˜o racional). Uma func¸a˜o f : A→ C e´ dita func¸a˜o racional, quando
vale
f(z) =
n∑
k=1
akz
k
m∑
k=1
ck.zk
∀z ∈ A
onde A ⊂ C e p(z) =
m∑
k=1
ck.z
k na˜o possui raiz em A.
1.9.2 Func¸o˜es limitadas
Definic¸a˜o 42. Uma func¸a˜o f : A ⊂ Rn → Rn e´ dita limitada quando existe uma
constante real M > 0 tal que
‖f(x)‖ ≤M ∀x ∈ A.
Sendo ‖‖ a norma euclidiana em Rn.
1.9.3 Func¸o˜es alge´bricas
Definic¸a˜o 43 (Func¸a˜o alge´brica). E´ qualquer func¸a˜o f : C → C que denotaremos por
y = f(x) que satisfaz
n∑
k=0
Pk(z)y
k = 0
CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES 23
onde cada pk(z) e´ um polinoˆmio em z com coeficientes em C.
1.10 Operac¸o˜es com func¸o˜es
Definic¸a˜o 44 (Operac¸o˜es com func¸o˜es). Dado um conjunto B munido de uma operac¸a˜o
∗, e duas func¸o˜es f : A→ B e g :→ B definimos a func¸a˜o f ∗ g : A→ B como
(f ∗ g)(x) = f(x) ∗ g(x)
para x ∈ A.
Caso ∗ seja uma adic¸a˜o temos a func¸a˜o soma
(f + g)(x) = f(x) + g(x).
Caso ∗ seja um produto, tem-se a func¸a˜o produto
(f.g)(x) = f(x).g(x).
Definic¸a˜o 45 (Espac¸o das func¸o˜es ). Seja X um conjunto na˜o vazio, e A um anel com
unidade. Definimos f(X,A) como o conjunto de todas func¸o˜es f : X → A. Consideramos
tambe´m o caso de ter no lugar de A, E um espac¸o vetorial .
Definic¸a˜o 46 (Soma e produto). Definimos a adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar de duas
func¸o˜es quaisquer f, g em f(X,A) por
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(cf)(x) = cf(x)
onde c ∈ A, ficando assim definidas uma operac¸a˜o de adic¸a˜o e de multiplicac¸a˜o. O mesmo
com E, um espac¸o vetorial no lugar de A
Definic¸a˜o 47 (Soma e produto). Definimos o produto de duas func¸o˜es (f.g)(x) = f(x).g(x)
Propriedade 37. f(X,A) e f(X,E) sa˜o espac¸os vetoriais.
CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES 24
Demonstrac¸a˜o.
• Vale a associatividade da adic¸a˜o
(f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x))
• Existe elemento neutro da adic¸a˜o 0 ∈ A(V ) e a func¸a˜o constante f(x) = 0 ∀ x ∈
A(V ), da´ı
g(x) + 0 = g(x).
• Existe o sime´trico para todo f(x), −f(x), definindo g(x) = −f(x) ∀x tem-se
f(x) + g(x) = f(x)− f(x) = 0
• Existe a identidade escalar 1 ∈ A (ou 1 ∈ K o corpo associado ao espac¸o vetorial
E) e vale 1f(x) = f(x).
• Vale a associatividade da multiplicac¸a˜o por escalar
(c.t)f(x) = c.(tf(x)
por propriedade do anel (espac¸o vetorial).
• Vale a distributividade
(c+ t)f(x) = cf(x) + tf(x)
•
c(f(x) + g(x)) = cf(x) + cg(x).
Exemplo 7. Exemplos de F (X,E).
• Caso X = In temos En =
n∏
k=1
E.
• Caso X = N temos E∞ =
∞∏
k=1
E.
• CasoX = In×Im temos o espac¸o das matrizes de n linhas em colunas com elementos
em E.
CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES 25
Propriedade 38. Sejam X um conjunto qualquer e K um corpo, enta˜o o conjunto
F (X,K) munido de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de func¸o˜es e´ um anel comutativo com uni-
dade, na˜o existindo inverso para todo elemento. Lembrando que em um anel comu-
tativo com unidade temos as propriedades, associativa, comutativa, elemento neutro e
existeˆncia de inverso aditivo, para adic¸a˜o. valendo tambe´m a comutatividade, associati-
vidade, existeˆncia de unidade 1 para o produto e distributividade que relaciona as duas
operac¸o˜es.
Demonstrac¸a˜o.
• Vale a associatividade da adic¸a˜o
((f + g) + h)(x) = (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = (f + (g + h))(x)
• Existe elemento neutro da adic¸a˜o 0 ∈ K e a func¸a˜o constante 0(x) = 0 ∀ x ∈ K, da´ı
(g + 0)(x) = g(x) + 0(x) = g(x).
• Comutatividade da adic¸a˜o
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x)
• Existe a func¸a˜o sime´trica, dado g(x), temos f com f(x) = −g(x) e da´ı
(g + f)(x) = g(x)− g(x) = 0.
• Vale a associatividade da multiplicac¸a˜o
(f(x).g(x)).h(x) = f(x).(g(x).h(x))
• Existe elemento neutro da multiplicac¸a˜o 1 ∈ K e a func¸a˜o constante I(x) = 1 ∀ x ∈
K, da´ı
(g.I)(x) = g(x).1 = g(x).
• Comutatividade da multiplicac¸a˜o
(f.g)(x) = f(x)g(x) = g(x)f(x) = (g.f)(x)
CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES 26
Por u´ltimo vale a distributividade (f(g + h))(x) = f(x)(g(x) + h(x)) = f(x)g(x) +
f(x)h(x) = (f.g + f.h)(x).
Na˜o temos inverso multiplicativo para toda func¸a˜o, pois dada uma func¸a˜o, tal que
f(1) = 0 e f(x) = 1 para todo x 6= 1 em K, na˜o existe func¸a˜o g tal que g(1)f(1) = 1,
pois f(1) = 0, assim o produto de f por nenhuma outra func¸a˜o gera a identidade.
1.11 Func¸a˜o caracter´ıstica
Definic¸a˜o 48 (Func¸a˜o caracter´ıstica). Seja E ⊂ X definimos a func¸a˜o caracter´ıstica
χE : X → {0, 1} como
χE(x) =
 0, x ∈ E
c
1, x ∈ E
A func¸a˜o caracter´ıstica tambe´m pode ser chamada de func¸a˜o indicadora e denotada
por IE.
Definic¸a˜o 49 (Func¸a˜o simples). Uma func¸a˜o S : X → B tal que S(X) e´ um conjunto
finito e´ dita ser uma func¸a˜o simples.
1.12 Func¸a˜o de conjunto
Definic¸a˜o 50 (Func¸a˜o de conjunto). Seja B um conjunto e A ⊂ 2B, 2B o conjunto das
partes de B, que tambe´m e´ simbolizado por P (B). Uma func¸a˜o µ :A → M , onde M e´
um conjunto qualquer e´ chamada de func¸a˜o de conjunto.
1.13 Func¸o˜es e conjuntos
Propriedade 39. Seja f : A→ B , enta˜o valem
1.
f(X) \ f(Y ) ⊂ f(X \ Y )
X, Y subconjuntos de A.
CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES 27
2. Se f for injetiva enta˜o f(X \ Y ) = f(X) \ f(Y ).
Demonstrac¸a˜o.
1. Seja z ∈ f(X) \ f(Y ) enta˜o z = f(x) e na˜o existe y ∈ Y tal que z = f(y) enta˜o
z ∈ f(X \ Y ) pois e´ imagem de um elemento x ∈ X \ Y .
2. Ja´ sabemos que vale a inclusa˜o f(X) \ f(Y ) ⊂ f(X \ Y ). Vamos provar agora a
outra inclusa˜o f(X \ Y ) ⊂ f(X) \ f(Y ). Seja z ∈ f(X \ Y ) enta˜o existe x ∈ X \ Y
portanto x ∈ X e x /∈ Y tal que f(x) = z. Se z ∈ f(Y ) enta˜o existiria y ∈ Y tal
que f(y) = z mas como f e´ injetora x = y o que contraria x ∈ X \ Y , logo vale a
outra inclusa˜o e o resultado fica provado .
Propriedade 40. f : A→ B e´ injetora ⇔ f(A \X) = f(A) \ f(X) ∀X ⊂ A.
Demonstrac¸a˜o.
⇒). Ja´ fizemos na propriedade anterior.
⇐). Suponha por absurdo que f na˜o e´ injetiva enta˜o existem a 6= x tais que f(x) =
f(a), seja X = {x}, vale que f(a) ∈ f(A \ X) pois a ∈ A, a /∈ X = {x} pore´m f(a) /∈
f(A) \ f(X) enta˜o na˜o vale a igualdade, o que e´ absurdo.
Propriedade 41. Dada f : A→ B enta˜o
1. ∀X ⊂ A temos X ⊂ f−1(f(X)).
2. f e´ injetora ⇔ f−1(f(X)) = X ∀X ⊂ A.
Demonstrac¸a˜o.
1. f−1(f(X)) e´ o conjunto dos elementos x ∈ A tal que f(x) ∈ f(X) enta˜o vale
claramente que f(X) ⊂ f−1(f(X)).
2. ⇒). Suponha f injetora, ja´ sabemos que f(X) ⊂ f−1(f(X)) pelo item anterior,
vamos provar agora que f−1(f(X)) ⊂ f(X) suponha por absurdo que exista y /∈ X
tal que f(y) ∈ f(X), f(y) = f(x) para y /∈ X e x ∈ X, enta˜o f na˜o e´ injetora
o que contraria a hipo´tese enta˜o deve valer que a inclusa˜o que quer´ıamos mostrar
e portanto a igualdade dos conjuntos. ⇐). Suponha que f−1f(X) = X ∀X ⊂ A,
vamos mostrar que f e´ injetora. Suponha que f na˜o e´ injetora enta˜o existem x 6= y
tais que f(x) = f(y), sendoX = {x}, y = {y} da´ı f−1f(X) 6⊂ X pois Y ⊂ f−1f(X),
Y 6⊂ X. O que e´ absurdo enta˜o f e´ injetora.