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5. Análise de Curtos-Circuitos ou Faltas 5.2 Componentes Simétricos (ou Simétricas) Sistemas Elétricos de Potência 5.2 Componentes Simétricos (ou Simétricas) Professor: Dr. Raphael Augusto de Souza Benedito E-mail:raphaelbenedito@utfpr.edu.br disponível em: http://paginapessoal.utfpr.edu.br/raphaelbenedito • Como vimos anteriormente, os sistemas trifásicos equilibrados e simétricos podem ser analisados através de uma de suas fases e o neutro (terra), tanto em condições normais de funcionamento quanto em decorrência de curtos-circuitos trifásicos. • Porém tal procedimento não pode ser adotado quando ocorrem faltas assimétricas, que provocam desequilíbrio nos sistemas. Em tais situações, os métodos tradicionais de cálculo pelas Leis de 5.2.1 Introdução faltas assimétricas, que provocam desequilíbrio nos sistemas. Em tais situações, os métodos tradicionais de cálculo pelas Leis de Kirchhoff revelam-se muito trabalhosos e de trato difícil, principalmente devido à presença de máquinas rotativas. • Além disso, o desbalanceamento natural das cargas e de outros elementos dos sistemas trifásicos contribuem para a assimetria da seqüência de fasores (tensão/corrente) trifásicos, dificultando a análise dos sistemas trifásicos. • Como resolver esse problema? Ou, como facilitar os cálculos de redes desequilibradas? – Através do método das Componentes Simétricas (C.O. Fortescue, 1918); – Tornou-se uma das mais poderosas ferramentas para análise de redes polifásicas desequilibradas. • Definição de Componentes Simétricas: – Um sistema desequilibrado de “n” fasores correlacionados pode ser 5.2.1 Introdução – Um sistema desequilibrado de “n” fasores correlacionados pode ser decomposto em “n” sistemas equilibrados denominados componentes simétricos (ou simétricas) dos fasores originais; – Sendo que os “n” fasores de cada conjunto de componentes são iguais em comprimento, e os ângulos entre os fasores adjacentes do conjunto são iguais. Dada uma seqüência qualquer de fasores, representada por: 5.2.2 Componentes Simétricas em Sistemas Trifásicos == C B A ACBA V V V VV & & & rr ,, )1( existe (e é única) uma seqüência direta, uma seqüência inversa e uma seqüência nula que somadas reproduzem a seqüência dada. De outra forma: uma seqüência qualquer de fasores pode ser decomposta em três outras seqüências (direta, inversa e nula) e essa decomposição é única. Matematicamente, a equação (1) pode ser decomposta em componentes simétricas da seguinte forma: 5.2.2 Componentes Simétricas em Sistemas Trifásicos ++ ++ ++ = + + =++= = 210 210 210 2 2 2 1 1 1 0 0 0 210 CCC BBB AAA C B A C B A C B A C B A A VVV VVV VVV V V V V V V V V V VVV V V V V &&& &&& &&& & & & & & & & & & rrr & & & r )2( utilizando-se o operador , temos: ++ ++ ++ = ⋅+ ⋅+ ⋅= = 2 2 10 21 2 0 210 2 2 2 10 11 1 1 1 VVV VVV VVV VVV V V V V C B A A &&& &&& &&& &&& & & & r αα αα α α α α )3( e substituindo na equação (2), resulta em: )12012401(1201 0020 −∠=∠=∠= αα 2 2 22222 111 2 111 0000 ;; ;; VVVVVV VVVVVV VVVV CBA CBA CBA &&&&&& &&&&&& &&&& ⋅=⋅== ⋅=⋅== === αα αα )4( Outra expressão para equação (4) é a seguinte: 5.2.2 Componentes Simétricas em Sistemas Trifásicos sendo: - T a matriz de transformação de componentes simétricas; )5( 2,1,0 2 1 0 2 2 1 1 111 VT V V V VA r & & & r ⋅= ⋅ = αα αα - T a matriz de transformação de componentes simétricas; - seqüência de fasores de componentes simétricas. Interpretação gráfica dos fasores das componentes simétricas 2,1,0V r 5.2.2 Componentes Simétricas em Sistemas Trifásicos A matriz T não é singular, isto é, existe a matriz T-1. Dessa forma, a seguinte expressão é válida: )6( ⋅+⋅+ ⋅+⋅+ ++ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅= = − CBA CBA CBA C B A C B A VVV VVV VVV V V V V V V T V V V V &&& &&& &&& & & & & & & & & & r αα αα αα αα 2 2 2 21 2 1 0 2,1,0 3 1 1 1 111 3 1 • Com base na decomposição de uma seqüência de fasores em suas componentes simétricas, definimos: – seqüência trifásica simétrica: => – seqüência trifásica pura: => 5.2.3 Conseqüências 0,0;0 0;0 021 021 =≠≠ ==≠ VVV VVV &&& &&& AV r – seqüência trifásica pura: => – seqüência trifásica impura: => 0,0;0 0,0;0 021 021 ≠≠≠ =≠≠ VVV VVV &&& &&& • Quando substituímos uma dada seqüência fasorial trifásica por outra obtida por uma rotação cíclica de seus fasores, isto corresponde a uma rotação de α (α=1|1200) na componente simétrica de seqüência inversa. Matricialmente, temos: 5.2.4 Rotação Cíclica na Ordem de Fasores ⋅ = = 2 1 0 2 2 1 1 111 A A A C B A A V V V V V V V & & & & & & r αα αα ⋅ = ⋅ = = ⋅ = ⋅ = = 2 1 0 2 2 2 1 0 2 2 2 1 0 2 2 2 1 0 2 2 1 111 1 1 1 111 111 1 1 1 1 111 A A A C C C B A C C A A A B B B A C B B V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V & & & & & & & & & r & & & & & & & & & r αα αα αα αα αα αα αα αα )7( • Assim, uma rotação nos elementos da seqüência VA, corresponde a mesma rotação nos elementos correspondentes da linha da matriz T. • O grau de desequilíbrio de uma dada seqüência trifásica pode ser definida como sendo a relação entre os módulos das componentes de seqüência inversa (negativa) e direta (positiva), ou seja: 5.2.5 Grau de Desequilíbrio de uma Seqüência V& )8( 1 2 . V V deseqgrau & & = • Para facilitar a compreensão da aplicação de componentes simétricas à sistemas trifásicos, iremos considerar um sistema trifásico ligado em estrela, conforme a figura a seguir: 5.2.6 Aplicação • Em termos de tensões de fase, a seqüência VAN fica: ⋅+ ⋅+ ⋅= ⋅= = 2 2 2 10 2 1 0 11 1 1 1 α α α α VVV V V V T V V V V CN BN AN AN &&& & & & & & & r )9( Figura 1: Sistema trifásico ligado em estrela (gerador 3Ø) • A partir da expressão (9) podemos desenhar o sistema elétrico da seguinte forma: 5.2.6 Aplicação • Como vemos na figura 2, podemos substituir a tensão gerada VAN pela associação série de três f.e.m.s V0, V1 e V2 (o raciocínio é análogo para as outras duas fases). • A fig. 2b caracteriza o efeito da componente de seqüência zero da tensão, que é o de elevar o potencial do centro-estrelo. Figura 2: a) Circuito equivalente; b) Circuito equivalente com a componente de seqüência zero isolada • A tensão de linha VAB pode ser calculada em termos das componentes simétricas da seguinte forma: 5.2.6 Aplicação • A equação (10) mostra que a tensão de componente nula não entra (ou não influencia) nos cálculos de tensão de linha. 21 21 2 21 2 21 )303()303( )1()1( VVV VVVVVVV oo AB AB &&& &&&&&&& ⋅−∠+⋅∠= ⋅−+⋅−=⋅−⋅−+= αααα )10( influencia) nos cálculos de tensão de linha. • Em termos de seqüência de fasores, a seqüência de tensão de linha decomposta em componentes simétricas torna-se: −+ −= ⋅ −− −− −− = = ⋅ − ⋅ = − =−= 2 2 2 1 2 2 1 0 2 22 2 2 1 0 2 2 2 1 0 2 2 1 )1( 1 )1( )1()1(0 )()(0 )1()1(0 111 1 1 1 1 111 α αα α αα αα αααα αα αα αα αα αα ANAN AN AN AN CA BC AB AB AN AN AN AN AN AN AN CN BN CN BN AN BNANAB VV V V V V V V V V V V V V V V V V V V V VVV && & & & & & & r & & & & & & & & & & & & rrr )11( • Até aqui foram adotados apenas fasores de tensão no estudo de componentes simétricas, entretanto o Teorema de Fortescue aplica-se igualmente a quaisquer fasores associados a uma máquina ou a um circuito trifásico, tais como corrente elétrica. Veja: 5.2.6 Aplicação ⋅ = = 1 0 2 2 1 1 111 I I I I I I I B A A & & & & & & r αα αα )12( 2 21 IIC && αα ⋅ = = C B A I I I I I I I & & & & & & r αα αα 2 2 2 1 0 2,1,0 1 1 111 3 1 )13( e também é válido: • Em sistemas trifásicos a 4 fios, a soma das correntes de linha é igual à corrente de retorno IN pelo neutro. • Do mesmo modo, em sistemas trifásicos a 3 fios com ligação estrela aterrada, a soma das correntes de linha é igual à corrente de retorno IN pela terra. Para ambas as situações temos: 5.2.6 Aplicação CBAN IIII &&&& ++= )14( entretanto, como concluímos que:)( 3 1 0 CBAA IIII &&&& ++= AN II 03 && ⋅= )15( • Através da equação (15), vemos que a corrente de seqüência zero só existe se houver um circuito fechado no qual possa circular. • Em sistemas trifásicos a 3 fios, com carga em estrela isolada ou com carga em triângulo, a soma das correntes de linha é zero e portanto nenhuma componente de seqüência zero está presente nas correntes de linha. Geradores Trifásicos 5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas Elétricos em Componentes Simétricas - Como as tensões trifásicas internas geradas (Ea, Eb e Ec) são simétricas, elas não afetam as seqüências inversa e zero, apenas a seqüência direta. - A impedância de seqüência zero leva em conta a impedância de aterramento do centro-estrela e a impedância do gerador de seqüência zero. Veja abaixo: 00 3 gn ZZZ +⋅= 000 222 111 ZIV ZIV ZIEV aa aa aaa ⋅−= ⋅−= ⋅−= & & && )16( )17( 5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas Elétricos em Componentes Simétricas Geradores Trifásicos 5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas Elétricos em Componentes Simétricas - Matricialmente, podemos representar um gerador trifásico em componentes simétricas da seguinte forma: ⋅ − = 000 00 000 aa I I Z Z EV V & & && & )18( ⋅ − = 2 1 2 1 2 1 00 00 0 a aa a a I I Z ZE V V & && & & Transformadores Trifásicos - Transformadores e linhas de transmissão, elementos estáticos dos sistemas, apresentam reatância de seqüência positiva com mesmo valor da reatância de seqüência negativa. - Os circuitos equivalentes, por fase, para seqüência positiva e negativa são elaboradas desprezando-se resistências e corrente de excitação, e referindo as reatâncias a um dos lados. 5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas Elétricos em Componentes Simétricas as reatâncias a um dos lados. - O modelo para seqüência zero depende do tipo do trafo e da maneira como foi conectado, permitindo, ou não, o estabelecimento de corrente de seqüência zero através de um percurso fechado (veja a seguir). Transformadores Trifásicos – Seqüência zero: 5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas Elétricos em Componentes Simétricas Linhas de Transmissão - Transformadores e linhas de transmissão, elementos estáticos dos sistemas, apresentam reatância de seqüência positiva com mesmo valor da reatância de seqüência negativa. - A reatância de seqüência zero das linhas é influenciada por grande número de variáveis (características dos condutores, natureza e resistividade do solo sob a linha, entre outros). De modo geral, a reatância de seqüência zero 5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas Elétricos em Componentes Simétricas sob a linha, entre outros). De modo geral, a reatância de seqüência zero apresenta valor que se situa na faixa de 2 a 5 vezes o valor da reatância de seqüência positiva. Exemplo de rede de seqüência nula Fig.: Sub-rede equivalente de seqüência nula (ou zero) 5.2.8 Exercícios Exercício 1: Considere a seqüência fasorial a seguir: Encontre as tensões de seqüência nula, direta e inversa para a fase A, e )( 90380 90380 0120 0 0 0 V V V V V C B A A ∠ −∠ ∠ = = & & & r Encontre as tensões de seqüência nula, direta e inversa para a fase A, e represente graficamente tais fasores. Resposta: V0 = 40|00 (V); V1 = 260|00 (V); V2 = 180|1800 (V) 5.2.8 Exercícios Exercício 2: Certo sistema trifásico apresenta seqüência de fases A, B e C, e tem as seguintes componentes simétricas de correntes de linha: )( 61,7112,4 80,2611,13 31,14661,3 0 0 0 2 1 0 A I I I −∠ ∠ −∠ = & & & Obtenha os fasores das correntes de linha IA, IB e IC do sistema. Resposta: IA = 10|00 (A); IB = 12,04 |-94,760 (A); IC = 18,97|161,570 (A) 61,7112,42I −∠ 5.2.8 Exercícios Exercício 3: Considerando que a potência base do sistema abaixo é 10 MVA e que todas as reatâncias já estão nas referidas bases. Para o sistema elétrico abaixo, desenhe o diagrama unifilar (ou sub-rede) de: a) seqüência positiva; b) seqüência negativa; c) seqüência nula. [1] STEVENSON, W. D. Elementos de Análise de Sistemas de Potência. 2ª ed. Editora MacGraw-Hill do Brasil. São Paulo.1986. [2] ZANETTA Jr., LUIZ CERA. Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência. 1ª. Edição; Editora Livraria da Física, São Paulo, 2005. Referências Bibliográficas
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