NIV_MAT_UNIDADE_10

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UNIVERSIDADE DE ITAÚNA 
Nivelamento em Matemática 
 
Prof. Tarcísio Valério Diniz 1
UNIDADE X – FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Quando temos uma operação matemática, podemos pensar em uma operação inversa 
que “desfaz” o que a operação fez. Veja o quadro abaixo: 
OPERAÇÃO OPERAÇÃO INVERSA 
ADIÇÃO SUBTRAÇÃO 
743 =+ 347 =− ou 437 =− 
MULTIPLICAÇÃO DIVISÃO 
1243 =× 3412 =÷ ou 4312 =÷ 
 
No caso da potenciação a situação é um pouco diferente. 
Veja o exemplo: 813 4= . Não existe uma operação que desfaz o 81 usando o 3 ou 
usando o 4 com o mesmo comportamento. Veja: 
381813 44 =⇒= , chamada operação radiciação( já tratada no curso ) 
Porém, se fizermos 481813 34 =⇒= não teremos uma igualdade verdadeira. Daí, a 
necessidade de se criar uma nova operação que “desfaz” uma potenciação, usando a 
base para encontrar o expoente. Essa nova operação se chama logaritmação e é o 
assunto que trataremos a seguir. 
DEFINIÇÃO DE LOGARÍTMO 
Sejam Rna ∈, com 10 ≠> aea . nbba an =⇔= log 
Exemplo: 481log813 34 =⇒= 
Deste modo, conseguimos desfazer a potenciação usando a base e encontrando o 
expoente. 
Na expressão nba =log , temos: a = base do logaritmo 
 b = anti-logarítmo 
 n = logaritmo 
Para calcularmos um logaritmo, recorremos às equações exponenciais. 
Veja os exemplos seguintes: 
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01-) 729log 3 
Teremos: 
633
7293729log
6
3
=⇒=
=⇔=
x
x
x
x
 Portanto, 6729log 3 = 
02-) 








532 4
8log 
Teremos: 
( )
25
13
5
1352222
2
22
4
832
4
8log
5
13
55
235
5
2
3
5
5532
=⇒=⇒=⇒=⇒










=
=⇔=








−
xx
x
xxx
x
 
 Portanto, 








532 4
8log = 
25
13
 
PROPRIEDADES: 
 
)
)
)
cbcb
na
aapoisna
aapoisa
apois
aa
na
nnn
a
a
a
loglog)5
4
log3
1log2
101log)1
log
1
0
=⇒=−
=−
==−
==−
==−
 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: 
De acordo com a definição, somente serão números reais os logaritmos que tiverem a 
base positiva e diferente de 1 e o anti-logarítmo positivo. Portanto, completando a 
definição de logaritmos, teremos: 
 
01,0,,log >≠>∈∀=⇔= beaaRanbba an 
Nem sempre é possível calcular um logaritmo através de uma equação exponencial como 
as estudadas pois não conseguimos igualar as bases das potências. Veja o exemplo 
seguinte: 
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31731log 7 =⇔=
x
x . Sabemos que x existe e é um número compreendido entre 1 e 2 
pois 77 1 = ( pouco ) e 497 2 = ( muito ). Veja que não conseguiríamos transformar 31 em 
uma potência de base 7 pelos métodos já estudados. 
Para resolver este problema foram criados dois sistemas de logaritmos que estudaremos 
a seguir. 
SISTEMA DE LOGARÍTMOS DECIMAIS 
É o sistema de logaritmos em que a base utilizada é o número 10 
Para o cálculo de logaritmos decimais, utilizamos uma calculadora científica e a tecla log 
Quando estamos trabalhando com logaritmos decimais, não escrevemos a base. Assim, a 
expressão blog equivale a b10log 
Exemplo: Com o uso de uma calculadora, calcule 32log 
Teclamos log 32 e aparece no visor da calculadora o número 1,50514997832 
Portanto, 25051499783,132log = Este número é um decimal não exato e não periódico e 
é um número irracional. 
SISTEMA DE LOGARÍTMOS NATURAIS OU NEPERIANOS 
É o sistema de logaritmos em que a base utilizada é o número e ( número de Euler ) 
Este número aparece no desenvolvimento de uma sequência numérica e vale 2,7182818.. 
Para o cálculo de logaritmos decimais, utilizamos uma calculadora científica e a tecla ln 
Quando estamos trabalhando com logaritmos naturais,também não escrevemos a base 
e mudamos o símbolo log para ln Assim, a expressão bln equivale a belog 
Exemplo: Com o uso de uma calculadora, calcule 32ln 
Teclamos ln 32 e aparece no visor da calculadora o número 3,4657359028 
Portanto, 4657359028,332ln = . Este número é um decimal não exato e não periódico e é 
um número irracional. 
O estudo de logaritmos é todo fundamentado em propriedades que passaremos a 
estudar. 
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PROPRIEDADES OPERATÓRIAS 
1-) O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores. 
Assim, ( ) cbcb aaa logloglog +=× 
Demonstração 
Sejam 



=
=
nc
mb
a
a
log
log
 Aplicando a definição, teremos: 



=
=
ca
ba
n
m
 . Multiplicando membro a 
membro, nmacb +=× . Tomando logaritmo na base a nos dois membros: 
( ) ( ) ( ) nmcbacb anmaa +=×⇒=× + logloglog ( propriedade 3 do quadro da pág. 2) 
Concluindo, ( ) cbcb aaa logloglog +=× 
2-) O logaritmo de um quociente é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o 
logaritmo do divisor. 
Assim, 0,logloglog ≠∀−=





ccb
c
b
aaa 
Demonstração 
Sejam 



=
=
nc
mb
a
a
log
log
 Aplicando a definição, teremos: 



=
=
ca
ba
n
m
 . Dividindo membro a 
membro, nma
c
b
−
= . Tomando logaritmo na base a nos dois membros: 
( ) ( ) nmcba
c
b
a
nm
aa −=×⇒=





− logloglog ( propriedade 3 do quadro da pág. 2) 
Concluindo, cb
c
b
aaa logloglog −=





 
Observação: 
Quando fazemos 1=b na propriedade 2, temos: 
ccc
cc
b
aaaaaa loglog0log1log
1loglog −=−=−=





=





. A expressão calog− é 
chamada cologarítmo e representamos cco alog . Assim, ccco aa loglog −= 
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3-) O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base. 
Assim, bcb aca loglog ×= 
Demonstração 
Sejam 




=
=
nb
mb
a
c
a
log
log
 Aplicando a definição, teremos: 



=
=
ba
ba
n
cm
 . Elevando os dois 
membros da segunda igualdade ao expoente c ,temos, ( ) cnc ab = e daí, ncc ab ×= . 
Comparando os resultados: ncmaa ncm ×=⇒= × 
Como 




=
=
nb
mb
a
c
a
log
log
, teremos: bcb a
c
a loglog ×= 
Concluindo, bcb aca loglog ×= 
4-) Mudança de base 
Suponhamos que um logaritmo numa base c deva ser escrito em uma outra base, por 
exemplo, a . 
?loglog ac n = 
Façamos: 





=
=
=
zc
yn
xn
a
a
c
log
log
log
 Aplicando a definição, teremos: 





=
=
=
ca
na
nc
z
y
x
. Fazendo as 
substituições possíveis nas igualdades encontradas, temos: 
( )
z
y
xyxzaaaa yxzy
xz
=⇒=×⇒=⇒= × . Como 





=
=
=
zc
yn
xn
a
a
c
log
log
log
, teremos: 
 
c
n
n
a
a
c log
log
log =
 
Observe que o logaritmo que estava escritona base “c” passou a ser escrito na base “a” 
O uso das propriedades estudadas é fundamental na resolução de exercícios. 
 
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RESUMINDO 
 
( )
c
n
n
bcb
ccoc
c
cb
c
b
cbcb
a
a
c
a
c
a
aaa
aaa
aaa
log
log
log
loglog
loglog1log
logloglog
logloglog
=
×=
=−=





−=





+=×
 
 
Estude bem a teoria desenvolvida até agora e observe alguns exercícios resolvidos. 
01-) Sendo 3010,02log = e 4771,03log = , calcule: 
 A) 432log 
( ) 4771,033010,043log32log43log2log32log432log 3434 ×+×=×+×=+=×= 
Assim, 6353,24313,1204,1432log =+= . Daí, 6353,2432log = 
B) 405log 
( ) 2log10log3log4
2
10log3log45log3log53log405log 44 −+×=





+×=+=×=
 
Daí, 3010,014771,04405log −+×= . Concluindo, 6074,2405log = 
 
02-) Com o auxílio de uma calculadora, determine o valor de 31log 7 
Aplicando a propriedade da mudança de base e mudando o logaritmo para a base 10, 
temos: 
764721,1
845098,0
491362,1
7log
31log31log 7 === 
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Observação: Se procedermos da mesma forma e mudarmos para a base “e”, 
encontraremos o mesmo resultado. 
Assim, 764721,1
945910,1
433987,3
7ln
31ln31log 7 === 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Definição: é a função definida por xy alog= , com 01,0 >≠> xeaa 
Domínio: pela definição, { }0>∈= xRxD 
Gráfico: Para exemplificar, construiremos 2 gráficos: 
A) ( ) xxf 2log= 
Tabela de correspondência: 
Veja o cálculo de um dos pares da tabela: 22log
4
1log
4
1 2
22 −==





=





−f
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 B) ( ) xxf
2
1log= 
Tabela de correspondência: 
Veja o cálculo de um dos pares da tabela: 2
4
1log
4
1log
4
1 2
2
1
2
1 =





=





=




f 
( )
24
12
01
1
2
1
2
4
1
−
−
xfx
•• • •• • x
y
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Observe que no primeiro exemplo, a função é crescente. Isto acontece em todas as 
funções logarítmicas de base maiores que 1 enquanto no segundo exemplo, a função é 
decrescente e o fato se deve à base estar compreendida entre 0 e 1. 
Exercício: 
Determine o domínio da função dada por ( ) ( ) ( )





−
−+−
= 2
2
9
62log
x
xxx
xf 
De acordo com a condição da definição de logaritmos, devemos ter: 
( ) ( )
2
2
9
62
x
xxx
−
−+−
 > 0 
2
1
2
2
1
=
−
−=−⇒



=
−=
a
b
b
af 








−=
=
⇒
±−
=⇒=+=∆⇒
−=
=
=
3
2
2
5125241
6
1
1
,,
,
x
x
x
C
B
A
g 








=
−=
⇒
−
±
=⇒=+=∆⇒
=
=
−=
3
3
2
6036360
9
0
1
,,
,
x
x
x
C
B
A
h 
{ }3>∈= xRxD Portanto, 
 { }3>∈= xRxD 
( )
24
12
01
1
2
1
2
4
1
−
−
xfx
•• • •• • x
y
f g
h 323−
3− 2 3
f
g
h
h
gf .
0
0
0
0
0
++
+++
++
−
−−
−
−−
+−−
ooo
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EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
As equações logarítmicas são resolvidas com o uso da definição e das propriedades. 
Resolveremos algumas para servir de exemplos. 
01-) ( ) 23log 2 =− xxx 
Condição de existência: 
03
1
0
2 >−
≠
>
xx
x
x
 
( ) 22 log3log xxx xx =− ( observe que pela propriedade 3 da pag. 2, 2log 2 =xx ) 
( )




=⇒=−
=
⇒=−⇒=−⇒=−
2
1012
0
012023 222
xx
x
xxxxxxx
 
Testando as respostas encontradas na condição de existência: 
( )
( )
( )



>−
≠
>
⇒=
F
V
F
x
000.3
10
00
0
2
 
( )
( )
( )







>−⇒>−





≠
>
⇒=
V
V
V
x
0
2
1
4
30
2
1
2
1
.3
1
2
1
0
2
1
2
1
2
 
Note que apenas a solução 
2
1
=x tornou verdadeira a condição de existência. 
Daí, a solução da equação será: 






=
2
1S
 
02-) ( ) 06loglog 323 =−− xx 
Condição de existência: 0>x 
Nesta equação faremos uma mudança de variáveis. 
Façamos 



−=
=
⇒
±
=⇒=−−⇒=
2
3
2
5106log
,,
,
2
3
t
t
ttttx 
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Daí, 




=⇒=⇒=⇒−=
=⇒=⇒=⇒=
−−
9
133loglog2log
2733loglog3log
22
333
33
333
xxxx
xxxx
 
Testando as soluções encontradas na condição de existência: 
( )
( )



>
>
⇒> V
V
x 0
9
1
027
0
 Portanto, as duas soluções encontradas satisfazem a condição de 
existência e daí, 
 






= 27,
9
1S
 
03-) ( ) ( ) 52log2log 22 =−++ xx 
Condição de existência: 02
02
>−
>+
x
x
 
Desfazendo a propriedade do logaritmo do produto: ( ) ( )[ ] 522 2log2.2log =−+ xx 
( )( ) 63636324222 225 ±=⇒±=⇒=⇒=−⇒=−+ xxxxxx 
Testando na condição de existência: 
( )
( )

>−
>+
⇒=
V
V
x
026
026
6 
( )
( )

>−−
>+−
⇒−=
F
F
x
026
026
6 
Apenas a solução 6=x satisfaz a equação. Daí, 
 { }6=S 
03-) 7logloglog 1642 =++ xxx 
Condição de existência: 0>x 
Inicialmente devemos escrever todos os logaritmos na mesma base usando a propriedade 
da mudança de base. 
Vamos escrever todos os logaritmos na base 2: 
 
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7
4
log
2
log
log7
16log
log
4log
log
log 222
2
2
2
2
2 =++⇒=++
xx
x
xx
x
 
Fazendo 428728247
42
log 2 =⇒=⇒=++⇒=++⇒= ttttt
tt
ttx 
Daí, 1622loglog4log 44222 =⇒=⇒=⇒= xxxx 
Testando na condição de existência: ( )V016 > 
 
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
Para resolvermos inequações logarítmicas usamos a mesma metodologia da resolução 
de equações logarítmicas. 
A diferença básica é que nas equações, encontramos os resultados e testamos nas 
condições de existência, enquanto nas inequações devemos resolver também as 
condições de existência e fazer a intersecção com a solução da inequação. 
Também na hora de eliminarmos o logaritmos temos de pensar na base pois a função 
pode ser crescente ou decrescente, como nas funções exponenciais. 
Assim. Para bases maiores que 1, mantemos o sinal da desigualdade, enquanto que para 
bases compreendidas entre 0 e 1, invertemos o sinal da desigualdade. 
Veja o quadro: 



<<>
><
⇒<



<<<
>>
⇒>
10
1
loglog10
1
loglog
asecb
asecb
cb
asecb
asecb
cb
aa
aa
 
Veja alguns exemplos: 
01-) ( ) 4log15log 33 >−x 
Condição de existência: 
5
115015 >⇒>⇒>− xxx 
Solução da inequação: ( ) 4log15log 33 >−x 415 >−⇒ x ( observe que o sinal da 
desigualdade foi mantido pois a base é 3 e 3 > 1 ) 
{ }16=S
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155415 >⇒>⇒>− xxx . Devemos agora fazer a intersecção das duas 
desigualdades. 
 
 
{ }1>∈= xRxS 
 
 
02-) ( ) 4log3log
2
1
2
1 ≥−x 
Condição de existência: 303 >⇒>− xx 
Solução da inequação: ( ) 4log3log
2
1
2
1 ≥−x 43 ≤−⇒ x ( observe que o sinal da 
desigualdade foi invertido pois a base é 
2
1
 e 1
2
10 << ) 
743 ≤⇒≤− xx . Devemos agora fazer a intersecção das duas desigualdades. 
 
 { }73 ≤<∈= xRxS 
 
03-) ( ) ( ) 12log1log 1212 ≤−+− xx 
Condições de existência: 



>⇒>−
>⇒>−
202
101
xx
xx
 
Solução da inequação: ( ) ( )[ ] 12log21log 1212 ≤−− xx 
 








−=
=
⇒
×
±
=⇒=+=∆⇒
−=
−=
=
≤−−
≤+−
2
5
12
7349409
10
3
1
0103
1223
,,
,
2
2
x
x
x
C
B
A
xx
xx
 
 52 ≤≤−⇒ x 
Devemos agora fazer a intersecção das três desigualdades. 
5
1
•
1
1
•
•
•
7
3
•
o
o
3 7
• •
2− 5
00+ − +
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 { }52 ≤<∈= xRxS 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
01-) Calcule o valor da expressão (((( ))))12541 53545 logloglog log ++++++++ Resp: 6 
02-) Calcule 
3527
2549
loglog
A −−−−==== Resp: A = - 5 
03-) Determine o domínio da função dada por (((( )))) (((( )))) (((( ))))xxlogxf x 521 −−−−==== −−−− 
 Resp: {{{{ }}}}5>>>>ℜℜℜℜ∈∈∈∈==== xxD 
04-) Resolva a equação (((( )))) 2514 ====−−−− xlog
x
 Resp: {{{{ }}}}2====S 
05-) Resolva a equação 
5
24
2
4
1
====
−−−−
++++
++++
++++ xlog
xlog
xlog
xlog
 Resp: 








=
−
4
17
10,000.10S 
06-) Resolva a equação (((( ))))[[[[ ]]]]
2
1
324 ====xlogloglog Resp: {{{{ }}}}81====S 
07-) Sabendo que 32 ======== blog,alog e 6−−−−====clog , calcule 5 3
22
c
balog Resp: 
5
28
 
08-) Resolva a equação (((( )))) (((( )))) 143 22 ====−−−−++++−−−− xlogxlog Resp: {{{{ }}}}5====S 
09-) Resolva a equação (((( )))) (((( )))) 112510 2 ====−−−−−−−−++++ xlog.xlog Resp: 






====
4
1S 
10-) Resolva a equação (((( )))) (((( ))))3244 122 −−−−++++====++++ ++++xx logxlog Resp: {{{{ }}}}2====S 
11-) Resolva a equação 
(((( )))) 42 31
2
5
5
2 xlogxlog −−−−++++






====





 Resp: {{{{ }}}}100====S 
12-) Resolva o sistema 





====−−−−−−−−++++
====
−−−−
13
7
17
33 xlogyxlog
yx
 Resp: (((( )))){{{{ }}}}54 ,S ==== 
o
o
••
o •
1
2
2− 5
2 5
 UNIVERSIDADE DE ITAÚNA 
Nivelamento em Matemática 
 
Prof. Tarcísio Valério Diniz 14
13-) Resolva a equação 
125
4
5 xx
xlog
==== Resp: { }5=S 
13-) Resolva a equação (((( )))) (((( )))) 41442 2 logxlogcoxxlog ====++++++++−−−−++++ Resp: {{{{ }}}}2====S 
14-) Resolva a equação 3102 ====++++
x
logxlog
 Resp: {{{{ }}}}10010,S ==== 
15-) Resolva a equação ( ) ( )1log11log 222 −+=+ xx Resp: {{{{ }}}}3====S 
16-) Resolva a equação 222
6416
xxx
loglog.log ==== Resp: {{{{ }}}}84 ,S ==== 
17-) Resolva as inequações: 
A-) (((( )))) (((( ))))224
2
1
2
1 −−−−≤≤≤≤−−−− xlogxlog Resp: {{{{ }}}}21 ≤≤≤≤<<<<ℜℜℜℜ∈∈∈∈ xx 
B-) (((( )))) 322
2
1 −−−−≥≥≥≥−−−− xxlog Resp: { }4202 ≤<<≤−ℜ∈ xouxx 
C-) (((( )))) (((( )))) 123 22 <<<<−−−−++++−−−− xlogxlog Resp: {{{{ }}}}43 <<<<<<<<ℜℜℜℜ∈∈∈∈ xx