Provas e listas de exercício de cálculo 1 resolvidas

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ÍNDICE 
 
Prova 1 – Tipo A (1ª Avaliação) 
Resolução da Prova 1 – Tipo A (1ª 
Avaliação) 
Prova 1 – Tipo B (1ª Avaliação) 
Resolução da Prova 1 – Tipo B (1ª 
Avaliação) 
Prova 2 (2ª Avaliação)* 
Prova 3 (3ª Avaliação)* 
Lista 1 
Resolução da Lista 1 
Lista 2 
Resolução da Lista 2 
Lista 3 
Resolução da Lista 3 
Lista 4 
Resolução da Lista 4 
Lista 5 
Resolução da Lista 5 
Lista 6 
Resolução da Lista 6 
Lista 7 
Resolução da Lista 7 
Lista 8* 
Lista 9* 
Lista 10* 
Lista 11 
Resolução da Lista 11 
Lista 12 
Resolução da Lista 12 
Lista 13 
Resolução da Lista 13 
Página 
2 
8 
 
11 
 17 
 
 20 
27 
33 
34 
37 
38 
41 
42 
48 
50 
52 
54 
58 
60 
64 
66 
71 
73 
75 
77 
78 
85 
87 
94 
97
 
 
*Gabarito/Resolução não divulgado ou não encontrado. 
'
&
$
%
Cálculo I
1a Avaliação
Tipo A
Nome: Matr.:
E02- Curso:
'
&
$
%
Cálculo I - 1a Avaliação
Instituto Tecnológico
Prof.Dr. Marcos M. Diniz
Prof. Dr. Jeronimo M. Noronha
24 de maio de 2013
�� ��Nome: Matr.:
1. A energia cinética E de um corpo é dada pela expressão
E =
1
2
mv2,
em que m é a massa do corpo e v sua velocidade. Um objeto de massa m, preso a
uma mola, tem sua velocidade descrita pela expressão v(t) = v0 cos t, em que v0 é
uma constante e t é o tempo. Determine:
(a) (1 pt.) o valor da energia cinética em função do tempo;
(b) (1 pt.) os valores máximo e mínimo que a energia cinética atinge;
(c) (1/2 pt.) em que instantes o valor máximo é atingido.
Tipo A Página 1 de 5 Nome:
'
&
$
%
2. (21/2 pts.) Determine o domínio, a função inversa e a imagem da função
f(x) =
x+ 2
x− 3 .
Tipo A Página 2 de 5 Nome:
'
&
$
%
3. Determine, justificando seus cálculos, os seguintes limites:
(a) (1 pt.) lim
x→5
x2 − 25
x− 5
(b) (1 pt.) lim
x→0
|2x|
x
(c) (1 pt.) lim
x→0
x3 cos(e
1
x )
Tipo A Página 3 de 5 Nome:
'
&
$
%
4. (2 pts.) Em um certo dispositivo elétrico, a corrente I, dada em função do tempo t,
sofre uma alteração no instante t = 3 em seu comportamento funcional, dado pela
expressão
I(t) =
t , se t ≤ 327
t2
, se t > 3.
A transição em t = 3 é uma transição contínua? Justifique sua resposta.
Tipo A Página 4 de 5 Nome:
'
&
$
%
(Questão Desafio: Esta questão vale um bônus adicional de um ponto para quem
obtiver uma solução completa. Tente resolver a questão desafio somente após
resolver as quatro questões da avaliação.)
Q.D. Mostre que a média harmônica, a média geométrica e a média aritmética de
dois números reais positivos encontram-se em sequência crescente, isto é, se x > 0 e
y > 0, então
1
1
x
+ 1
y
2
≤ √xy ≤ x+ y
2
.
Em que circunstâncias ocorre a igualdade na inequação acima?
Tipo A Página 5 de 5 Nome:
Instituto de Cieˆncias Exatas e Naturais
Projeto Newton
Gabarito da Prova- Tipo A
Professores: Marcos Monteiro Diniz e Jeroˆnimo Noronha Neto
1. (a) Como E =
1
2
mv2 e v = v0 cos t basta fazer a composic¸a˜o
E =
1
2
(v0 cos t)
2 =
1
2
m(v0)
2 cos2 t
(b) Como cos t varia no intervalo [−1, 1], o cos t2 varia no intervalo [0, 1],
logo:
Emax =
1
2
m(v0)
2.1 =
1
2
m(v0)
2
Emin =
1
2
m(v0)
2.0 = 0
(c) O valor ma´ximo e´ atingido para cos2 t = 1,ou seja cos t = ±1. Enta˜o
t = kpi, k ∈ Z
Obs: Quando cos t = −1, temos que cos2 t = 1 e portanto, a func¸a˜o atinge
seu valor ma´ximo. O valor mı´nimo e´ atingido quando cos t = 0
2.
(i) x− 3 6= 0 ∴ x 6= 3 ∴ Df = R\{3}
(ii)y =
x− 2
x− 3 ⇔ yx+ 3y = x+ 2
⇔ yx− x = 3y + 2
⇔ x(y − 1) = (3y + 2)
⇔ x = 3y + 2
y − 1
f−1(y) =
3y + 2
y − 1
(iii)A imagem da func¸a˜o f coincide com o domı´nio da func¸a˜o f−1 que e´
R\{1} (pois y 6= 1)
1
3. (a)
lim
x→5
x2 − 25
x− 5 = limx→5
(x− 5)(x+ 5)
x− 5
= lim
x→5
x+ 5 (func¸a˜o polinomial, logo cont´ınua)
= 10
(b) lim
x→0
|2x|
x
= lim
x→0
2
|x|
x
na˜o existe, pois


lim
x→0−
2
|x|
x
= lim
x→0−
2
(−x)
x
= lim
x→0−
2(−1) = −2
lim
x→0+
2
|x|
x
= lim
x→0+
2
x
x
= lim
x→0+
2 = 2
(c) Como cos(e
1
x ) e´ uma func¸a˜o limitada, pois | cos(e 1x )| ≤ 1, e lim
x→0
x3 = 0
(polinomial,logo cont´ınua), enta˜o o limite do produto e´ zero:
lim
x→0
x3 cos(e
1
x ) = 0
4.
(i) lim
t→3−
I(t) = lim
t→3−
t = 3 (pois a func¸a˜o identidade e´ cont´ınua)
(ii) lim
t→3+
I(t) = lim
t→3+
27
t2
=
27
32
= 3 (pois a func¸a˜o e´ racional,logo, cont´ınua)
(iii)I(3) = 3
Como lim
t→3−
I(t) = lim
t→3+
I(t) = I(3), enta˜o a transic¸a˜o e´ cont´ınua em t = 3.
2
Obs: Para concluir a continuidade da func¸a˜o, na˜o basta calcular os limites
laterais e mostrar que coincidem. Isso garante apenas a existeˆncia do limite
quando t → 3. Para concluir a continuidade e´ necessa´rio mostrar que este
limite coincide com o valor da func¸a˜o no ponto: I(3)
5. Quaisquer que seja x > 0 e y > 0,vale (x − y)2 ≥ 0. Esta desigualdade e´
equivalente a`s desigualdades abaixo:
x2 − 2xy + y2 ≥ 0(somando 4xy)
x2 + 2xy + y2 ≥ 4xy
(x+ y)2
4
≥ xy(extraindoaraiz)
x+ y
2
≥ √xy
Agora, esta u´ltima desigualdade equivale a
1√
xy
≥ 2
x+ y
(multiplicando por xy)
xy√
xy
≥ 2xy
x+ y
√
xy ≥ 1
1
x
+
1
y
2
Finalmente, essas igualdades sa˜o va´lidas se, e somente se, a primeira o
for,isto e´, se (x− y)2 = 0, o que ocorre se, e somente se, x = y.
3
'
&
$
%
Cálculo I
1a Avaliação
Tipo B
Nome: Matr.:
E03- Curso:
'
&
$
%
Cálculo I - 1a Avaliação
Instituto Tecnológico
Prof.Dr. Marcos M. Diniz
Prof. Dr. Jeronimo M. Noronha
24 de maio de 2013
�� ��Nome: Matr.:
1. A energia cinética E de um corpo é dada pela expressão
E =
1
2
mv2,
em que m é a massa do corpo e v sua velocidade. Um objeto de massa m, preso a
uma mola, tem sua velocidade descrita pela expressão v(t) = v0 sen t, em que v0 é
uma constante e t é o tempo. Determine:
(a) (1 pt.) o valor da energia cinética em função do tempo;
(b) (1 pt.) os valores máximo e mínimo que a energia cinética atinge;
(c) (1/2 pt.) em que instantes o valor máximo é atingido.
Tipo B Página 1 de 5 Nome:
'
&
$
%
2. (21/2 pts.) Determine o domínio, a função inversa e a imagem da função
g(x) =
x− 2
x+ 5
.
Tipo B Página 2 de 5 Nome:
'
&
$
%
3. Determine, justificando seus cálculos, os seguintes limites:
(a) (1 pt.) lim
x→3
x− 3
x2 − 9
(b) (1 pt.) lim
x→0
|3x|
x
(c) (1 pt.) lim
x→0
x2sen(
1
x5
)
Tipo B Página 3 de 5 Nome:
'
&
$
%
4. (2 pts.) Em um certo dispositivo elétrico, a corrente I, dada em função do tempo t,
sofre uma alteração no instante t = 5 em seu comportamento funcional, dado pela
expressão
I(t) =
t , se t ≤ 5125
t3
, se t > 5.
A transição em t = 5 é uma transição contínua? Justifique sua resposta.
Tipo B Página 4 de 5 Nome:
'
&
$
%
(Questão Desafio: Esta questão vale um bônus adicional de um ponto para quem
obtiver uma solução completa. Tente resolver a questão desafio somente após
resolver as quatro questões da avaliação.)
Q.D. Mostre que a média harmônica, a média geométrica e a média aritmética de
dois números reais positivos encontram-se em sequência crescente, isto é, se x > 0 e
y > 0, então
1
1
x
+ 1
y
2
≤ √xy ≤ x+ y
2
.
Em que circunstâncias ocorre a igualdade na inequação acima?
Tipo B Página 5 de 5 Nome:
Instituto de Cieˆncias Exatas e Naturais
Projeto Newton
Gabarito da Prova- Tipo B
Professores: Marcos Monteiro Diniz e Jeroˆnimo Noronha Neto
1. (a)Como E =
1
2
mv2 e v = v0sent basta fazer a composic¸a˜o
E =
1
2
(v0sent)
2 =
1
2
m(v0)
2sen2t
.
(b) Como sent varia no intervalo [−1, 1], o sen2t varia no intervalo [0, 1],
logo:
Emax =
1
2
m(v0)
2.1 =
1
2
m(v0)
2
Emin =
1
2
m(v0)
2.0 = 0
(c) O valor ma´ximo e´ atingido para sen2t = 1, ou seja sent = ±1. Enta˜o
t =
pi
2
+ kpi, k ∈ Z
Obs: Quando sent = −1, temos que sen2t = 1 e portanto a func¸a˜o atinge
seu valor ma´ximo. O valor mı´nimo e´ atingido quando sent = 0.
2.
(i) x+ 5 6= 0 ∴ x 6= −5 ∴ Dg = R\{−5}
(ii)y =
x− 2
x + 5
⇔ yx+ 5y = x− 2
⇔ yx− x = −2− 5y
⇔ x(y − 1) = −(2 + 5y)
⇔ x = −(2 + 5y)
y − 1
⇔ x = 2 + 5y
1− y
g−1(y) =
2 + 5y
1− y
1
(iii)A imagem da func¸a˜o g coincide com o domı´nio da func¸a˜o g−1 que e´
R\{1} (pois y 6= 1)
3. (a)
lim
x→3
x− 3
x2 − 9 = limx→3
x− 3
(x− 3)(x+ 3)
= lim
x→3
1
x+ 3
(func¸a˜o racional, portanto cont´ınua)
=
1
6
(b) lim
x→0
|3x|
x
= lim
x→0
3
|x|
x
na˜o existe, pois


lim
x→0−
3
|x|
x
= lim
x→0−
3
(−x)
x
= lim
x→0−
3 = −3
lim
x→0+
3
|x|
x
= lim
x→0+
3
x
x
= lim
x→0+
3(−1) = 3
(c) Como sen(e
1
x
5 ) e´ uma func¸a˜o limitada, pois |sen(e 1x5 )| ≤ 1, e lim
x→0
x2 =
0 (polinomial,logo cont´ınua), enta˜o o limite do produto e´ zero:
lim
x→0
x2sen(e
1
x
5 ) = 0
4.
(i) lim
t→5−
I(t) = lim
t→5−
t = 5 (pois a func¸a˜o identidade e´ cont´ınua)
(ii) lim
t→5+
I(t) = lim
t→5+
125
t3
=
125
53
= 1 (pois a func¸a˜o e´ racional,logo, cont´ınua)
Como lim
t→5−
I(t) 6= lim
t→5+
I(t), enta˜o a transic¸a˜o lim
t→5
I(t) na˜o existe e por-
tanto a transic¸a˜o e´ descont´ınua em t = 5.
2
5. Quaisquer que seja x > 0 e y > 0,vale (x − y)2 ≥ 0. Esta desigualdade e´
equivalente a`s desigualdades abaixo:
x2 − 2xy + y2 ≥ 0 (somando 4xy)
x2 + 2xy + y2 ≥ 4xy
(x+ y)2
4
≥ xy (extraindo a raiz)
x+ y
2
≥ √xy
Agora, esta u´ltima desigualdade equivale a
1√
xy
≥ 2
x+ y
(multiplicando por xy)
xy√
xy
≥ 2xy
x+ y
√
xy ≥ 1
1
x
+
1
y
2
Finalmente, essas igualdades sa˜o va´lidas se, e somente se, a primeira o
for,isto e´, se (x− y)2 = 0, o que ocorre se, e somente se, x = y.
3
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
Projeto Newton - Cálculo I
Lista 1: Semana de 20 a 26 de Abril de 2013.
1. Encontre todas as intersecções com os eixos da equação y = x
2 + 3x
(3x+ 1)2
.
2. Use as propriedades dos logaritmos para expandir a expressão logarítmica.
ln
(
x2 − 1
x3
)3
3. Determine se a função é impar ou par ou nenhuma das duas.
a) f(x) = 6x2 − 3.
b) f(t) =
{
1 se t > 0
−1 se t < 0
c) f(h) = (h− 1)2.
4. Determine o domínio e a imagem da função h(x) = |x − 2| + 4 e faça um
esboço de seu gráfico.
5. Determine se o gráfico de y = |x| possui simetria em relação ao eixo x, ao
eixo y ou a origem.
6. Encontre o domínio da função h(x) = 1
4
√
x2 − 5x.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
Projeto Newton - Cálculo I
Resolução da Lista 1
1. Para encontrarmos as intersecções com o eixo dos y, basta tomarmos x = 0
e substituir na equação:
y =
02 + 3(0)
(3(0) + 1)2
= 0
Resultando em y = 0. Logo a intersecção com o eixo y é apenas o ponto
(0, 0).
Para a intersecção com o eixo dos x, tomamos y = 0 na equação:
0 =
x2 + 3x
(3x+ 1)2
x(x+ 3) = 0
x = −3 e x = 0
Assim obtemos novamente o ponto (0, 0) e também o ponto (−3, 0).
2. Usando as propriedades de logaritmo de potência, multiplicação e divisão,
temos que:
ln
(
x2 − 1
x3
)3
=
= 3 ln (x2 − 1)− 3 ln x3
= 3 ln [(x+ 1)(x− 1)]− 9 ln x
= 3[ln (x+ 1) + ln (x− 1)− 3 ln x]
3. Para que uma função seja par, é necessário que f(−x) = f(x) para qualquer
valor de x no domínio da função. Do mesmo modo, para que a função
seja ímpar, é necessário que f(−x) = −f(x), dadas as mesmas condições.
Sendo assim, temos que:
1
a) f(−x) = 6(−x)2 − 3 = 6x2 − 3 = f(x) (Função Par)
b)
f(−t) =
{
1 se t < 0
−1 se t > 0
−f(t) =
{
−1 se t > 0
1 se t < 0
(Função Ímpar)
c) f(−h) = (−h− 1)2 = (−1)2 · (h+ 1)2 = (h+ 1)2 6= ±f(h)
4. Trabalhando com o módulo, a função terá a seguinte forma:
h(x) =
{
x+ 2 se x ≥ 2
−x+ 6 se x < 2
Sendo assim, a funçao terá D(h) = R e seu valor mínimo será no ponto
(2, 4), resultando em Im(h) = [4,+∞). Por fim, temos o seguinte esboço:
2
5. Por se tratar de uma função par, já que f(x) = f(−x), teremos simetria
em relação ao eixo y e não teremos em relação à origem, que ocorre em
funções ímpares. Por fim, como Im(f) = R+, não teremos simetria em
relação ao eixo x, pois toda a função está apenas de um lado do eixo.
6. Para que o valor da função exista, devemos ter que:
x2 − 5x > 0
x(x− 5) > 0
f(x)g(x) > 0
Analisando o sinal das funções separadamente e depois multiplicando, temos
que:
D(h) = (−∞, 0)
⋃
(5,+∞)
3
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
Projeto Newton - Cálculo I
Lista 2: Semana de 27 a 3 de maio de 2013.
1. Determine se f(x) ≥ g(x) ou f(x) ≤ g(x) sobre [0, 1], sendo f(x) = 3√x e
g(x) = 4
√
x.
2. Encontre os zeros da função f(x) = sen (x+ pi).
3. Determine as interseções (caso existam) entre f(x) = senx e g(x) = cossecx.
4. Verifique a identidade tg2 x+ 1 = sec2 x.
5. Verifique a identidade ln(1 + ex)− ln(1 + e−x) = x.
6. Na teoria da relatividade, a massa de uma partícula com velocidade v é
m = f(v) =
m0√
1− v
2
c2
onde m0 é a massa da partícula no repouso e c é a velocidade da luz no vácuo.
Encontre a função inversa de f e explique seu significado.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
Projeto Newton - Ca´lculo I
GABARITO Lista 2: Aulas 4 e 5
1. As func¸o˜es f e g assumem valores iguais em x = 0 e x = 1, ou seja
f(0) = g(0) = 0 e f(1) = g(1) = 1. Os pontos (0, 0) e (1, 1) sera˜o
os pontos de intersecc¸a˜o das func¸o˜es. Pore´m isso na˜o acontece para
os valores 0 < x < 1. Por ra´pida inspec¸a˜o, podemos perceber que
para nu´meros entre 0 e 1, a func¸a˜o 4
√
x assume valores maiores que a
func¸a˜o 3
√
x. Por exemplo, 4
√
0, 03 ∼= 0, 41 e 3√0, 03 ∼= 0, 144 ou ainda
4
√
0, 5 ∼= 0, 84 e 3√0, 5 ∼= 0, 79. Pore´m, para determinarmos o que pede
o exerc´ıcio, precisamos usar as propriedades desses nu´meros positivos
menores que 1. Uma delas e´ que o produto entre o nu´mero x e o nu´mero
x− 1 e´ negativo ou nulo, ou seja,
Como x ∈ [0, 1], enta˜o
x(x− 1) ≤ 0
x2 − x ≤ 0
x2 ≤ x
Multiplicando por x2, que e´ uma func¸a˜o crescente em [0, 1], na˜o altera
a desigualdade. Da mesma forma, logo abaixo podemos extrair a raiz
cu´bica e depois a raiz qua´rtica, pois elas tambe´m sa˜o crescentes no
intervalo e na˜o alterara˜o a desigualdade. Assim, procedemos
x4 ≤ x3
3
√
x4 ≤ x
3
√
x ≤ 4√x
f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [0, 1].
2. Achar os zeros e´ achar os valores para os quais a func¸a˜o se anula. A
func¸a˜o seno assume o valor 0 nos arcos que sa˜o mu´ltiplos inteiros de pi
(kpi). Logo, para esta func¸a˜o espec´ıfica, que na˜o e´ a func¸a˜o seno pura,
temos que ter:
x+ pi = kpi
x = (k − 1)pi, k ∈ Z.
Como k e´ um inteiro qualquer, tomando todos os valores inteiros de k,
na˜o ha´ diferenc¸a entre kpi e (k − 1)pi. Portanto essa func¸a˜o se anula
nos mesmos pontos da func¸a˜o sen x, apesar de terem gra´ficos bem
distintos. Voceˆ consegue ver a diferenc¸a entre essas duas func¸o˜es?
3. A func¸a˜o cossecante e´ igual ao inverso da func¸a˜o seno. Para acharmos
as intersec¸o˜es, devemos igualar as func¸o˜es:
sen x =
1
sen x
sen2 x = 1
sen x = ±1
Olhando no ciclo trigonome´trico os arcos que assumem esses valores sa˜o
os mu´ltiplos ı´mpares de pi/2 e 3pi/2, ou seja, podemos escrever esses
valores reais da seguinte forma:
S = {x ∈ R | x = (2k + 1)pi2
, k ∈ Z}
4. Devemos mostrar, a partir da definic¸a˜o de tangente, que o lado esquerdo
e´ igual ao lado direito:
tan2 x+ 1 = sec2 x
sen2 x
cos2 x
+ 1 =
sen2 x+ cos2 x
cos2 x
=
1
cos2 x
= sec2 x
5. Nesta aqui temos que usar as propriedades da func¸a˜o logar´ıtmica e
algebrismo com quocientes:
ln(1 + ex)− ln(1 + e−x) = x
ln[
1 + ex
1 + e−x
] =
ln[
1 + ex
1 + 1
e
x
] =
ln[
1 + ex
e
x+1
e
x
] =
ln[ex] = x
2
6. A func¸a˜o f dada e´ uma func¸a˜o onde podemos achar a massa a partir
da velocidade do corpo, ou seja, m = f(v). Achar sua func¸a˜o inversa
equivale a encontrar uma func¸a˜o onde podemos achar a velocidade em
func¸a˜o da massa do corpo, isto e´, v = f(m). Para isso, basta isolar
o termo que antes era independente, tornando-o dependente. Nem
sempre e´ fa´cil fazer isso. Mas neste caso
m =
m0√
1− v
2
c2
√
1− v
2
c2
=
m0
m
1− v
2
c2
=
(m0)
2
m2
v2
c2
= 1− (m0)
2
m2
v = c
√
1− (m0)
2
m2
f(m) = c
√
1− (m0)
2
m2
3
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
Projeto Newton - Ca´lculo I
Lista 3: Aulas 6 e 7
Nas treˆs questo˜es iniciais calcule os limites a seguir:
1. lim
x→1
(
1 + 3x
1 + 4x2 + 3x4
)3
2. lim
x→1
2x2 + 2x− 4
x− 1
3. lim
x→1
√
x− 1
x− 1
4. Explique porque a func¸a˜o
f(x) =
{
ex, se x < 0
x3, se x ≥ 0
e´ descont´ınua no ponto a = 0.
5. A forc¸a gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade massa a
uma distaˆncia r do centro do outro planeta e´
F (r) =


GMr
R3
, se r < R
GM
r2
, se r ≥ R
onde M e´ a massa da Terra, R e´ o seu raio e G e´ a constante gravita-
cional. F e´ uma func¸a˜o cont´ınua de r?
6. (a) Mostre que a func¸a˜o valor absoluto F (x) = |x| e´ cont´ınua em R.
(b) Demonstre que se f for uma func¸a˜o cont´ınua em um intervalo
[a, b], enta˜o h(x) = |f(x)| tambe´m o e´.
(c) A rec´ıproca da parte (b) e´ verdadeira? Em outras palavras, se
h(x) = |f(x)| for cont´ınua em [a, b] seque que f(x) tambe´m e´? Se
for assim, demonstre isso. Caso contra´rio, encontre um contra-
exemplo.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
Projeto Newton - Ca´lculo I
Gabarito da Lista 3 – Aulas 6 e 7
Resumo dos conteu´dos da Sec¸a˜o 2.3
Alguns limites ba´sicos
Para a, b,∈ R e n ∈ N tem-se
L1. lim
x→a
b = b;
L2. lim
x→a
x = a;
L3. lim
x→a
xn = an;
L4. lim
x→a
n
√
x = n
√
a (se n par, suponha a > 0).
Propriedades de limite
Sejam a, k ∈ R, n ∈ N, f e g func¸o˜es tais que lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M.
Enta˜o
P1. Multiplicac¸a˜o por escalar: lim
x→a
k f(x) = k L;
P2. Soma ou diferenc¸a: lim
x→a
(f(x)± g(x)) = L±M ;
P3. Produto: lim
x→a
(f(x) g(x)) = LM ;
P4. Quociente: lim
x→a
f(x)
g(x)
=
L
M
, se M 6= 0;
P5. Poteˆncia: lim
x→a
(f(x))n = Ln;
Limites laterais
LL. lim
x→a
f(x) = L ⇔ lim
x→a+
f(x) = L = lim
x→a−
f(x)
1
Resoluc¸a˜o das questo˜es 1, 2 e 3
Vamos resolver as questo˜es 1, 2 e 3 da lista de exerc´ıcios aplicando alguns resul-
tados da sec¸a˜o 2.3.
Soluc¸a˜o da questa˜o 1:
Sejam f(x) = 1 + 3x e g(x) = 1 + 4x2 + 3x4. Enta˜o,
lim
x→1
f(x) = lim
x→1
1 + 3x = 1 + 3 lim
x→1
x; por L1, P1 e P2;
= 1+ 3.1 = 4; por L2;
lim
x→1
g(x) = lim
x→1
1 + 4x2 + 3x4 = 1+4 lim
x→1
x2+ 3 lim
x→1
x4; por L1, P1 e P2;
= 1 + 4.12 + 3.14 = 8; por L3.
Como lim
x→1
g(x) = 8 6= 0 temos que
lim
x→1
f(x)
g(x)
= lim
x→1
1− 3x
1 + 4x2 + 3x4
=
4
8
=
1
2
; por P4
e, logo,
lim
x→1
(
f(x)
g(x)
)3
=
(
lim
x→1
1− 3x
1 + 4x2 + 3x4
)3
=
(
1
2
)3
=
1
8
; por P5.
Soluc¸a˜o da questa˜o 2: Observe que, neste caso, na˜o podemos usar a propriedade
P5, pois lim
x→1
g(x) = lim
x→1
x − 1 = 0. Para resolvermos o limite vamos usar o seguinte
resultado enunciado na pa´gina 92 do Livro texto:
P. Se f(x) = g(x) para x 6= a enta˜o lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x), desde que o limite exista.
Para isto, observe que
2x2 + 2x− 4 = 2(x2 + x− 2) = 2(x− 1)(x+ 2),
e, logo,
2x2 + 2x− 4
x− 1 =
2(x2 + x− 2)
x− 1 =
2(x− 1)(x+ 2)
x− 1 . (1)
2
Mas, as func¸o˜es f(x) =
(x− 1)(x+ 2)
x− 1 e g(x) = x+ 2 sa˜o iguais ∀x exceto
x = 1 e lim
x→1
g(x) = lim
x→1
(x+ 2) = 3. Enta˜o, pela propriedade P tem-se
lim
x→1
(x− 1)(x+ 2)
x− 1 = limx→1(x+ 2) = 3. (2)
Combinando (1) e (2) e aplicando a propriedade P1 obtemos
lim
x→1
2x2 + 2x− 4
x− 1 = limx→1
2(x− 1)(x+ 2)
x− 1 = 2 limx→1
(x− 1)(x+ 2)
x− 1 = 2 limx→1(x+2) = 2.3 = 6
Me´todo pra´tico:
lim
x→1
2x2 + 2x− 4
x− 1 = limx→1
2(x− 1)(x+ 2)
x− 1 = 2 limx→1
(x− 1)(x+ 2)
x− 1 = 2 limx→1(x+2) = 2.3 = 6
Soluc¸a˜o da questa˜o 3: observe que temos a mesma situac¸a˜o da questa˜o 2, pois
lim
x→1
g(x) = lim
x→1
x− 1 = 0. Para aplicar a propriedade P, observe que
√
x− 1
x− 1 =
(
√
x− 1)(√x+ 1)
(x− 1)(√x+ 1) =
x− 1
(x− 1)(√x+ 1) .
Logo, as func¸o˜es f(x) =
x− 1
(x− 1)(√x+ 1) e g(x) =
1√
x+ 1
sa˜o iguais ∀x exceto
x = 1. Ale´m disso, aplicando P2 e L4 temos que
lim
x→1
(
√
x+ 1) = lim
x→1
√
x+ 1 = 1 + 1 = 2.
Portanto, podemos aplicar a propriedade P4 para obter
lim
x→1
√
x− 1
x− 1 = limx→1
(
√
x− 1)(√x+ 1)
(x− 1)(√x+ 1) = limx→1
x− 1
(x− 1)(√x+ 1) = limx→1
1√
x+ 1
=
1
2
.
Me´todo pra´tico:
lim
x→1
√
x− 1
x− 1 = limx→1
(
√
x− 1)(√x+ 1)
(x− 1)(√x+ 1) = limx→1
x− 1
(x− 1)(√x+ 1) = limx→1
1√
x+ 1
=
1
2
.
3
Resumo dos conteu´dos da Sec¸a˜o 2.5
Definic¸a˜o de continuidade
Uma func¸a˜o f e´ cont´ınua no ponto a se lim
x→a
f(x) = f(a), ou seja,
i) a ∈ Df ;
ii) existe lim
x→a
f(x);
iii) lim
x→a
f(x) = f(a).
Continuidade de func¸o˜es polinomiais e racionais
C1. Se p(x) =
n∑
i=1
bi x
i e q(x) =
n∑
i=1
ci x
i sa˜o func¸o˜es polinomiais com bi, ci,∈ R,
1 ≤ i ≤ n, enta˜o p(x) e´ cont´ınua em R e p(x)
q(x)
e´ cont´ınua exceto para x tal que
q(x) = 0.
Logo, lim
x→a
p(x) = p(a) e lim
x→a
p(x)
q(x)
=
p(a)
q(a)
.
Continuidade de func¸o˜es trigonome´tricas
C2. As func¸o˜es cos(x) e sen(x) sa˜o cont´ınuas em R.
Logo, lim
x→a
cos(x) = cos(a) e
lim
x→a
sen(x) = sen(a).
Continuidade da exponencial e da logar´ıtmica
C3.A func¸a˜o ex e´ cont´ınua em R e a func¸a˜o ln(x) e´ cont´ınua em seu domı´nio.
Logo, lim
x→a
ex = ea e lim
x→a
ln(x) = ln(a).
4
Continuidade da composta
C4. Se g e´ cont´ınua em a e f e´ cont´ınua em g(a), enta˜o a composta f ◦ g e´
cont´ınua em a.
Resoluc¸a˜o das questo˜es 4, 5 e 6
Vamos resolver as questo˜es 4, 5 e 6 da lista de exerc´ıcios aplicando alguns resul-
tados da sec¸a˜o 2.5.
Soluc¸a˜o da questa˜o 4: Como a func¸a˜o f e´ dada por sentenc¸as, vamos usar o
resultado de limites laterais dado em LL. Assim,
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
x3 = 0; por L3;
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
ex = e0 = 1; por C3.
E logo, lim
x→0+
f(x) 6= lim
x→0−
f(x) e por LL, ∄ lim
x→0
f(x). Portanto, pela definic¸a˜o de
continuidade, f e´ descont´ınua em a = 0.
Soluc¸a˜o da questa˜o 5: Note que e´ a mesma situac¸a˜o da questa˜o 4. Assim,
lim
r→R+
F (r) = lim
r→R+
GM
r2
= GM lim
r→R+
1
r2
=
GM
R2
; por P4;
lim
r→R−
F (r) = lim
r→R−
GM r
R3
=
GM
R3
lim
r→R−
r =
GM
R3
.R =
GM
R2
; por L2.
Logo, lim
r→R
F (r) = lim
r→R+
F (r) = lim
r→R−
F (r) =
GM
R2
e F (R) =
GM
R2
, portanto,
lim
r→R
F (r) = F (R) e F e´ cont´ınua em r = R
5
Nos outros pontos de r 6= R temos a continuidade pelas as propriedades
das func¸o˜es racionais.
Soluc¸a˜o da questa˜o 6(a): A func¸a˜o modular f(x) = |x| e´ cont´ınua em R.
Defato,
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
x = 0; por L2;
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
−x = 0; por L2.
Logo, lim
x→0
|x| = lim
x→0+
|x| = lim
x→0−
|x| = 0 = |0|.
Soluc¸a˜o da questa˜o 6(b): Como g(x) = |x| e´ cont´ınua e f(x) tambe´m e´ cont´ınua
temos, pelo resultado C4, (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = |f(x)| e´ cont´ınua.
Como a func¸a˜o modular e´ polinomial antes e depois do 0, enta˜o ela e´ cont´ınua em
toda a reta real.
Soluc¸a˜o da questa˜o 6(c): Na˜o. Considere, por exemplo, a func¸a˜o descont´ınua
f(x) =


1 se x ≥ 0
−1 se x < 0
Enta˜o, |f(x)| = 1 e´ cont´ınua, mas f na˜o e´. Veja os gra´ficos.
f(x) |f(x)|
6
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
Projeto Newton - Ca´lculo I
Lista 04: Aulas 7, 8 e 9.
1. Calcule os limites abaixo, justificando seus ca´lculos:
(a) lim
x→3
√
x+ 13− 4
x− 3 (b) limx→0x
3sen (
1
x2
)
2. Determine os limites e limites laterais nos pontos a, b e c, se existirem, da
func¸a˜o cujo gra´fico e´ apresentado abaixo:
3. Determine, justificando sua resposta, em quais pontos a func¸a˜o g : R→ R
definida abaixo e´ cont´ınua:
g(x) =

x2 − 4
x− 2 , se x < 0
2, se x = 0
−x
3
+ 2, se 0 < x < 3
4, se x = 3
ex−3, se x > 3
1
4. Determine a derivada da func¸a˜o
f(x) =
√
x
em um ponto x = a (a > 0).
5. Um circuito ele´trico possui um dispositivo que, ao ser acionado, descarrega-
se segundo a func¸a˜o
Q(t) = 8− t3, 0 6 t 6 2,
sendo o tempo t dado em segundos e a carga ele´trica Q dada em Coulombs.
Determine a intensidade da corrente ele´trica “de sa´ıda”do dispositivo no
instante t = 1s. (Lembre-se que a corrente ele´trica e´ a taxa de variac¸a˜o
da carga ele´trica em relac¸a˜o ao tempo!)
6. Use o Teorema do Valor Intermedia´rio para concluir que a equac¸a˜o
ex = x4
admite uma raiz entre 1 e 2.
2
Instituto de Ciências Exatas e Naturais
Projeto Newton
Resolução da Lista 04 de Calculo Diferencial e Integral
Professores: Marcos Monteiro Diniz e Jerônimo Noronha Neto
Data: xx/05/2013
1. (a) Como é um limite indeterminado 0
0
, é necessário retirar a indeterminação.
Isto é feito multiplicando o numerador e o denominador por
√
x+ 13+4, ou seja:
√
x+13−4
x−3 =
√
x+13−4
x−3
√
x+13+4√
x+13+4
=
√
x+13
2−42
(x−3)(
√
x+13+4)
= x−3
(x−3)(
√
x+13+4)
= 1√
x+13+4
Logo
lim
x→3
√
x+ 13− 4
x− 3 = limx→3
1√
x+ 13 + 4
=
1√
3 + 13 + 4
=
1
8
.
(b) Como |sen( 1
x3
)| ≤ 1, a função é limitada e limx→0 x3 = 0, assim teremos
lim
x→0
x3sen(
1
x3
) = 0.
2. Como limx→a− f(x) = 3 e limx→a+ f(x) = 7 teremos que limx→a f(x) não
existe.
Como limx→b− f(x) = 4 e limx→a+ f(x) = 4 então limx→a f(x) = 4.
Como limx→c− f(x) = +∞ e limx→c+ f(x) = −∞ então limx→c f(x) não
existe.
3. Com exceção dos pontos 0 e 3 sabemos que a função g é continua em x ∈
R/{0, 3}, pois é obtida através de soma, diferença, produto e divisão de funções
contínuas. Vamos verificar o que ocorre no ponto 0:
lim
x→0−
g(x) = lim
x→0−
x2 − 4
x− 2 =
02 − 4
0− 2 = 2;
lim
x→0+
g(x) = lim
x→0+
(−x
3
+ 2) = (−0
3
+ 2) = 2.
1
Assim
lim
x→0
g(x) = 2 = g(0)
portanto g é contínua no ponto 0.
Agora no ponto 3:
lim
x→3−
g(x) = lim
x→3−
(−x
3
+ 2) = −3
3
+ 2 = 1;
lim
x→3+
g(x) = lim
x→3+
ex−3 = e3−3 = e0 = 1.
Assim
lim
x→3
g(x) = 1 6= 4 = g(3)
e g não é contínua no ponto 3.
Reunindo as informações obtemos que g é contínua em R/{3}.
4. Vamos determinar a derivada de f pela definição:
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = limx→a
√
x−√a
x− a = limx→a
√
x−√a
(
√
x)2 − (√a)2 = limx→a
1√
x+
√
a
de onde
f ′(a) =
1√
a+
√
a
=
1
2
√
a
.
5. Como Q(t) = 8 − t3 para 0 ≤ t ≤ 2, teremos I(t) = Q′(t) = −3t2 e
I(1) = −3.12 = −3.
6. Considere a função f(x) = ex−x4, que é contínua, pois é obtida por operações
elementares em funções contínuas. Como f(1) = e1 − 14 = e− 1 > 0 e f(2) =
e2 − 24 = e2 − 16 < 0, teremos pelo Teorema do Valor Intermediário que existe
1 < x < 2 tal que f(x) = 0, ou seja ex = x4.
2
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
Projeto Newton - Ca´lculo I
Lista 05: Aulas 11 e 12.
1. Usando a definic¸a˜o, calcule a derivada no ponto x = a das func¸o˜es:
(a) f(x) =
1√
2x
(b) f(x) = e2x, sabendo que lim
h→0
eh − 1
h
= 1
2. Verifique se a func¸a˜o definida por
f(x) =


x2 , se x ≥ 0
x2 sen (
1
x
) , se x < 0
e´ deriva´vel em x = 0.
3. Em cada caso abaixo, encontre a equac¸a˜o de uma reta tangente ao
gra´fico da func¸a˜o f(x) e paralela a reta r dada:
(a) f(x) = x3 e r : y = x+ 5
(b) f(x) =
1
1 + x2
e r : 25y − 4x = 1 (Sugesta˜o: Procure uma ra´ız
inteira da equac¸a˜o resultante).
4. Calcule a derivada das func¸o˜es abaixo:
(a) f(x) =
x
1 + x2
(b) f(x) = tg x
(c) f(x) = ex cosx
(d) f(x) = x2 + x+ 1 + x−1 + x−2
5. A lei dos gases ideais que relaciona a pressa˜o P , o volume V e a temper-
atura T e´ PV = nRT , onde n e R sa˜o constantes. Supondo a temperatura
constante e igual a 10, e supondo nR = 1, encontre a taxa de variac¸a˜o
do volume em relac¸a˜o a` pressa˜o quando a pressa˜o e´ 20.
1
6. A taxa de variac¸a˜o da massa M em relac¸a˜o ao tempo t de uma
substaˆncia radioativa e´ proporcional a` sua massa, isto e´M ′(t) = −λM(t),
onde λ e´ uma constante. Encontre a func¸a˜o que satisfaz esta equac¸a˜o, com
M(0) = M0. Qual o tempo t0 para o qual M(t0) =
1
2
M0?
2
Instituto de Cieˆncias Exatas e Naturais
Projeto Newton
Resoluc¸a˜o da Lista 05 de Calculo Diferencial e Integral
Professores: Marcos Monteiro Diniz e Jeroˆnimo Noronha Neto
Data: xx/05/2013
1. (a)
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = limx→a
1√
2x
− 1√
2a
x− a .
Como
1√
2x
− 1√
2a
x− a =
1√
2x
− 1√
2a
x− a
1√
2x
+ 1√
2a
1√
2x
+ 1√
2a
=
1
2x
− 1
2a
x− a
1
1√
2x
+ 1√
2a
=
a−x
2ax
x− a
1
1√
2x
+ 1√
2a
=
−1
2ax
1
1√
2x
+ 1√
2a
temos
f ′(a) = lim
x→a
−1
2ax
1
1√
2x
+ 1√
2a
=
−1
2a2
1
1√
2a
+ 1√
2a
=
−1
(
√
2a)
3
2
(b)
f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
= lim
h→0
e2(a+h) − e2a
h
= lim
h→0
e2a(e2h − 1)
h
= 2e2a lim
h→0
e2h − 1
2h
= 2e2a.1 = 2e2a
2.Calculando os limites laterais:
i) lim
x→0+
f(x)− f(0)
x− 0 = limx→0+
x2
x
= lim
x→0+
x = 0
ii) lim
x→0−
f(x)− f(0)
x− 0 = limx→0−
x2sen( 1
x
)
x
= lim
x→0−
xsen
1
x
= 0
1
Pois sen 1
x
e´ limitada. Segue que:
lim
x→0−
f(x)− f(0)
x− 0 = 0
Logo f e´ deriva´vel em x = 0 e f ′(0) = 0.
3. (a) Se y = x + 5 enta˜o a declividade da reta e´ 1, logo deve existir um a
real tal que f ′(a) = 1.
Como f ′(x) = 3x2 enta˜o f ′(a) = 3a2 = 1.
Logo, a = ± 1√
3
Como pede-se apenas uma reta escolhemos a =
1√
3
.
Neste ponto f(a) = (
1√
3
)3 =
1
3
√
3
. Assim a reta tem declividade 1 passa no
ponto (
1√
3
,
1
3
√
3
). Sua equac¸a˜o e´
y − 1
3
√
3
= x− 1
3
√
3
ou
y = x− 2
3
√
3
(b) Neste caso a declividade da reta e´ m =
4
25
. Devemos encontrar a tal
que f ′(a) =
4
25
.
Agora pela regrada divisa˜o f ′(x) =
(1 + x2)1′ − 1(1 + x2)′
(1 + x2)2
ou
f ′(x) =
−2x
(1 + x2)2
Enta˜o
−2a
(1 + a2)2
=
4
25
e assim e´ fa´cil ver que a = −2.
2
Enta˜o a reta tem declividade m =
4
25
e passa pelo ponto (−2, 1
5
).
Sua equac¸a˜o
y − 1
5
=
4
25
(x+ 2)
ou
25y − 4y = 13.
4 (a) Usando a derivada do quociente:
f ′(x) =
(1 + x2)x′ − x(1 + x2)′
(1 + x2)2
=
1 + x2 − x.2x
(1 + x2)2
=
(1− x2)
(1 + x2)2
.
(b)Usando a derivada do quociente que tgx =
senx
cosx
,obtemos:
tgx = (
senx
cosx
)′=
cosx(senx)′ − senx(cosx)′(cosx)2
=
cosx.cosx− senx(−senx)
(cosx2)
=
cosx2 + senx2
cosx2
=(
1
cosx
)2=(secx)2=secx.
(c)Aplicando a regra da derivada do produto:
f(x) = (ex)′cosx+ ex(cosx)′=excosx+ ex(−senx)=ex(cosx− senx).
(d)Aplicando a fo´rmula de derivada de poteˆncias tem:
f ′(x) = 2x+ 1 + 0 + (−1)x−2 + (−2)x−3=2x+ 1− x−2 − 2x−3.
5. No problema PV = 10 e assim V (P ) =
10
P
=10−1
Tomando a derivada,obtemos:
V ′(P ) = −10P−2=−10
P 2
3
Para P = 20,obtemos: V ′(P ) =
−10
202
=
−1
40
.
6. Observe que o problema 1b) nos diz que (e2x)′ = 2e2x.Em geral
(ekt)′ = ket
A func¸a˜o exponencial
f(t) = e−λt
satisfaz enta˜o:
f ′(t) = (−λ)e−λt = −λf(t)
Como a multiplicac¸a˜o por uma constante C na func¸a˜o faz a derivada ficar
multiplicada pela a constante C, podemos considerar a func¸a˜o mais geral
M(t) = Ce−λt
que satisfaz
M ′(t) = −λM(t)
Como M(o) = M0, fazendo t = 0 temos M(0) = Ce
−λ.0=Ce0=C.1=C
ou seja M0 = C. Assim
M(t) = M0e
−λt.
Queremos a meia-vida t0 da substaˆncia,ou seja,
1
2
M0 = M0e
−λt0
ou e−λt0 =
1
2
. Enta˜o ln(e−λt0)= ln
1
2
=− ln 2
ou
−λt0 = − ln 2
e assim
t0 =
ln 2
λ
.
4
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
Projeto Newton - Ca´lculo I
Lista 06: Encontros 18 e 19.
1. Calcule as derivadas das func¸o˜es abaixo:
(a) f(x) = 3 e2x+2 cosx− 3 senx
(b) g(x) = sen(2x) e−3x
(c) h(x) = (1 + x2)
√
x
2. Calcule as derivadas das func¸o˜es abaixo, dizendo que grandezas elas re-
presentam e em quais unidades:
(a) v(t) = cos(senh t), se v(t) representa a velocidade (dada em m/s)
em um instante t (dado em segundos) de uma part´ıcula em movi-
mento retil´ıneo;
(b) V (t) =
5−2t
1 + t2
, se V (t) exprime o volume de a´gua (dado em m3)
em um reservato´rio a cada instante t (dado em segundos);
(c) P (t) = arccos(t) log3(t) , em que P (t) fornece o momento linear
(em kg.m/s) de uma part´ıcula em um instante t (dado em segundos).
3. Verifique que as func¸o˜es
y = e−x cos(2x)
y = e−x sen(2x)
sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial que descreve ummovimento harmoˆnico
amortecido:
d2 y
dx2
+ 2
d y
dx
+ 5y = 0
4. A Lei de Resfriamento de Newton afirma que “a taxa de perda de calor
de um corpo e´ proporcional a` diferenc¸a de temperatura entre o corpo e o
ambiente”. Considerando constante a temperatura Ta do meio ambiente
e sendo K a constante de proporcionalidade referida pela Lei:
(a) escreva a equac¸a˜o diferencial que a func¸a˜o temporal da temperatura
do corpo, T = T (s) deve obedecer;
1
(b) sento T0 a temperatura inicial do corpo (isto e´, T (0) = T0), diga
qual a soluc¸a˜o da equac¸a˜o, mostrando que ela satisfaz a equac¸a˜o do
item (a);
(c) esboce um gra´fico para a func¸a˜o.
5. O numero de ce´lulas de levedura em uma cultura de laborato´rio aumenta
rapidamente no ı´nicio, mas eventualmente estabiliza. A populac¸a˜o e´ mo-
delada pela func¸a˜o:
n = f(t) =
a
1 + b e−0,7t
,
em que t e´ medido em horas. No instante t = 0 a populac¸a˜o e´ de 20 ce´lulas
e esta´ crescendo a uma taxa de 12 ce´lulas por hora. Encontre os valores
de a e b. De acordo com esse modelo, o que ocorre com a populac¸a˜o de
levedura depois de muito tempo?
6. Questo˜es geome´tricas para pensar. Mostre que:
i. a derivada da a´rea de um c´ırculo em relac¸a˜o ao raio fornece o
comprimento da circunfereˆncia;
ii. a derivada do volume de uma esfera em relac¸a˜o ao raio fornece
a a´rea da superf´ıcie esfe´rica;
iii. a derivada do volume de um cilindro em relac¸a˜o ao raio
(supondo sua altura constante) fornece a a´rea lateral do mesmo;
iv. a derivada do volume de um cilindro em relac¸a˜o a` altura
(supondo agora o raio constante) fornece a a´rea de uma base do
mesmo.
Fac¸a um esforc¸o para “enxergar geometricamente” cada uma dessas relac¸o˜es
(pense, por exemplo, o quanto muda o volume de uma esfera quando se
varia “so´ um pouquinho” o raio da esfera). Apo´s ter conseguido enxergar
esses quatro exemplos, ficara´ mais fa´cil de “entender geometricamente”
por que a derivada, em relac¸a˜o a` medida da aresta, do volume de um cubo
fornece a a´rea de exatamente treˆs faces laterais!!
2
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
Projeto Newton - Ca´lculo I
Lista 06: Encontros 18 e 19.
GABARITO
1. a)
f ′(x) = 3(2x)′e2x + 2(− senx)− 3 cosx
= 6e2x − 2 senx− 3 cosx
b)
g′(x) = [cos(2x)(2x)′] e−3x + sen(2x)[(−3x)′e−3x]
= 2 cos(2x)e−3x − 3 sen(2x)e−3x
= [2 cos(2x)− 3 sen(2x)]e−3x
c) Como h(x) =
[
eln(1+x
2)
]√x
= e
√
x ln(1+x2)
temos
h′(x) =
[√
x ln(1 + x2)
]′
e
√
x ln(1+x2)
=
[
(
√
x)′ ln(1 + x2) +
√
x[ln(1 + x2)]′
]
(1 + x2)
√
x
=
(
1
2
√
x
ln(1 + x2) +
√
x
2x
1 + x2
)
(1 + x2)
√
x
2. a)
v′(t) = cos′(senh t)(senh t)′
= − sen(senh t)cosh t
A taxa de variac¸a˜o v′(t) da velocidade e´ a acelerac¸a˜o medida em
m/s2.
b) Temos que
V ′(t) =
(1 + t2)(5−2t)′ − (5−2t)(1 + t2)′
(1 + t2)2
Como
5−2t = e−2t ln 5
enta˜o
(5−2t)′ = −2 ln 5e−2t ln 5 = −2 ln 5.5−2t
1
e substituindo teremos
V ′(t) =
(1 + t2)(−2 ln 5)5−2t − (5−2t)2t
(1 + t2)2
=
5−2t
[−2 ln 5(1 + t2)− 2t]
(1 + t2)2
A taxa de variac¸a˜o do volume V ′(t) sera´ a vaza˜o medida em m3/s.
c) Como (arccos t)′ =
−1√
1− t2 enta˜o
P ′(t) =
−1√
1− t2 log3 t+ arccos(t)
1
t ln 3
pois (log3 t)
′
=
(
ln t
ln 3
)′
=
1
t ln 3
.
A taxa de variac¸a˜o P ′(t) do momento e´ a forc¸a medida em kg.m/s2
3. Seja y = e−x [A cos(2x) +B sen(2x)]
Fazendo A = 1 e B = 0 ou A = 0 e B = 1, temos os dois casos solicitados.
Enta˜o
y′ = (e−x)′ [A cos(2x) +B sen(2x)] + e−x [A cos(2x) +B sen(2x)]′
y′ = −e−x [A cos(2x) +B sen(2x)] + e−x [−2A sen(2x) + 2B cos(2x)]
y′ = e−x [(2B −A) cos(2x) + (−2A−B) sen(2x)]
e
y′′ = −e−x [(2B −A) cos(2x)− (2A+B) sen(2x)]
+e−x [−2(2B −A) sen(2x)− 2(2A+B) cos(2x)]
y′′ = e−x [(−3A− 4B) cos(2x) + (4A− 3B) sen(2x)]
Logo
d2y
dx2
+ 2
dy
dx
+ 5y = e−x[{(−3A− 4B) + 2(2B −A) + 5A} cos(2x)
+ {(4A− 3B) + 2(−2A−B) + 5B} sen(2x)]
= 0
4. a) A taxa de variac¸a˜o da temperatura no tempo
dT
dt
e´ proporcional a
T − Ta, isto e´
dT
dt
T − Ta = k ou
dT
dt
= k(T − Ta)
b) A ide´ia e´ procurar uma soluc¸a˜o da forma T (t) = Aekt+B, ajustando
os valores de A e B. Subtitu´ındo T (t) e T ′(t) = kAekt na equac¸a˜o,
obtemos kAekt = k(Aekt+B−Ta). Assim B = Ta e nossa soluc¸a˜o e´
T (t) = Aekt + Ta
2
. Falta determinar A. Como T (0) = T0, segue que fazendo t = 0
obtemos T0 = A+ Ta ou A = T0 − Ta. Assim
T (t) = (T0 − Ta)ekt + Ta.
c) Quando o tempo aumenta, T (t) deve tender para Ta a temperatura
ambiente.Enta˜o k deve ser negativo, para que
lim
t→+∞ e
kt = 0.
Temos dois casos:
Figura 1: T0 > Ta
Figura 2: T0 < Ta
5. Seja f(t) =
a
1 + be−0,7t
com f(0) = 20 e f ′(0) = 12. Como f ′(t) =
−a(−0, 7be−0,7t)
(1 + be−0,7t)2
, obtemos f(0) =
a
1 + b
= 20 e f ′(0) =
0, 7ab
(1 + b)2
= 12.
Da segunda equac¸a˜o temos usando a primeira:
12 =
0, 7b
1 + b
a
1 + b
=
0, 7b
1 + b
20
3
ou seja 12(1 + b) = 14b ou b = 6.
Voltando para a primeira temos
a
1 + b
= 20 ou a = 140.
Enta˜o f(t) =
140
1 + 6e−0,7t
Quando t cresce, e−0,7t tende a 0, logo f(t) se aproxima de 140
6. i)
A = pir2
dA
dr
= 2pir
ii)
V =
4pi
3
r3
dV
dr
= 4pir2
iii)
V = pir2h
dV
dr
= 2pirh
iv)
dV
dh
= pir2
4
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
Projeto Newton - Ca´lculo I
Lista 07: Encontros 21 e 22.
1. Determine dydx , onde y e´ a func¸a˜o definida implicitamente pela equac¸a˜o:
(a) y4 + xy2 − x2y = 0
(b) ey cosh−1(y) = x
(c) xy + yx = 2
2. Calcule as equac¸o˜es das retas tangente e normal a lemniscata dada impli-
citamente por
3(x2 + y2)2 = 100(x2 − y2)
no ponto (4, 2).
3. Verifique que
arcsenh(tg x) = ln(secx+tg x)
4. Uma piscina tem 8m de largura, 10m de comprimento, 1m de profundi-
dade nas extremidades e 3m no meio, de modo que o fundo seja formado
por dois planos inclinados. Despeja-se a´gua na piscina a uma taxa de
0, 6m3/min. Seja h a altura da a´gua em relac¸a˜o a` parte mais profunda da
piscina. A que velocidade h estara´ variando no instante em que h = 1m?
1
5. Quando o sangue flui ao longo de um vaso sangu´ıneo, o fluxo F (volume
de sangue passando, por unidade de tempo, por um ponto dado) e´ pro-
porcional a` quarta poteˆncia do raio R do vaso, ou seja,
F = kR4,
em que k e´ uma certa constante. Essa lei e´ conhecida como Lei de
Poiseuille. Uma arte´ria parcialmente obstru´ıda pode ser alargada por
uma operac¸a˜o chamada angioplastia, na qual um cateter do tipo bala˜o e´
inflado dentro da arte´ria a fim de aumenta´-la e restaurar o fluxo normal do
sangue. Mostre que a variac¸a˜o relativa ocorrida em F e´ cerca de quatro
vezes a variac¸a˜o relativa ocorrida em R. Como um aumento de 5% no
raio da arte´ria afetara´ o fluxo de sangue?
6. Usando os princ´ıpios da f´ısica, pode ser mostrado que, quando um cabo e´
pendurado entre dois postes, toma a forma de uma curva y = f(x), que
satisfaz a equac¸a˜o diferencial:
d2 y
dx2
=
ρg
T
√
1 +
(
d y
dx
)2
,
em que ρ e´ a densidade linear do cabo, g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade e T e´
a tensa˜o no cabo no ponto mais baixo, tendo sido o sistema de coordenadas
apropriadamente escolhido. Verifique que a func¸a˜o
y = f(x) =
T
ρg
cosh
(ρg
T
x
)
e´ uma soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o diferencial. Qual a inclinac¸a˜o da reta tan-
gente ao cabo no ponto em que x = 0?
2
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
Projeto Newton - Ca´lculo I
Lista 07: Encontros 21 e 22.
GABARITO
1. Vamos derivar implicitamente em relac¸a˜o a x, onde y = y(x), usaremos:
(P1) Derivada da soma
(P2) Regra do produto
(P3) Regra do quociente
(P4) Regra da cadeia
(P5)
[
f(x)g(x)
]′
= f(x)g(x). [g(x) ln(f(x))]
′
(P6) Regra da poteˆncia: (xn)′ =
nxn−1
(P7) Derivada de (α.f)′ = α.f ′
(a) y4 + xy2 − x2 = 0
(y4 + xy2 − x2.y)′ = 0′
(y4)′ + (xy2)′ − (x2.y)′ = 0 P1
4y3
dy
dx
+ x′.y2 + x.(y2)′ −
(
2x.y + x2
dy
dx
)
= 0 P2 e P4
4y3
dy
dx
+ 1.y2 + x.2y
dy
dx
− 2xy − x2 dy
dx
= 0 P4 e P6
dy
dx
.
(
4y3 + 2xy − x2) = 2xy − y2
dy
dx
=
2xy − y2
4y3 + 2xy − x2
(b) ey. cosh−1(y) = x (
ey. cosh−1(y)
)′
= x′
(ey)′. cosh−1(y) + ey(cosh−1(y))′ = 1 P2
ey
dy
dx
. cosh−1(y) + ey
1√
y2 − 1
dy
dx
= 1 P4
dy
dx
(
ey
(
cosh−1(y) +
1√
y2 − 1
))
= 1
dy
dx
=
e−y
cosh−1(y) +
1√
y2 − 1
dy
dx
=
e−y
√
y2 − 1
1 + cosh−1(y)
√
y2 − 1
1
(c) xy + yx = 2
(xy + yx)
′
= 2′
(xy)
′
+ (yx)
′
= 0 P1
xy. [y. ln(x)]
′
+ yx. [x. ln(y)]
′
= 0 P5
xy.
[
dy
dx
. ln(x) + y
1
x
]
+ yx.
[
1. ln(y) + x.
1
y
dy
dx
]
= 0 P2 e P4
dy
dx
[
xy ln(x) + xyx−1
]
= − (yxy−1 + yx ln(y))
dy
dx
= − yx
y−1 + yx ln(y)
xy ln(x) + xyx−1
2. Determinando as equac¸o˜es das retas tangente e normal a limniscata no
ponto (4, 2).
3(x2 + y2)2 = 100(x2 − y2)(
3(x2 + y2)2
)′
=
(
100(x2 − y2))′
2.3(x2 + y2).(x2 + y2)′ = 100(x2 − y2)′ P4 e P7
6(x2 + y2).
(
2x+ 2y
dy
dx
)
= 100
(
2x− 2y dy
dx
)
P4 e P6
6(42 + 22).
(
2.4 + 2.2
dy
dx
)
= 100
(
2.4− 2.2dy
dx
)
x = 4 e y = 2
dy
dx
= − 2
11
Como a equac¸a˜o da reta tangente e´ dada por
y − y0 = m(x− x0)⇒ 2x+ 11y = 30
e da reta normal
y − y0 = − 1
m
(x− x0)⇒ 2y − 11x = −40
3. Verifique que
sinh−1(tan(x)) = ln(sec(x) + tan(x))
Seja
y = sinh−1(tan(x))⇒ sinh(y) = tan(x)
da´ı
ey − e−y
2
= tan(x)
fazendo u = ey teremos
u− 1u
2
= tan(x)⇒ u2 − 2 tan(x)u− 1 = 0
2
Figura 1: Curva Limniscata
sendo esta u´ltima, uma equac¸a˜o do segundo grau de varia´vel u, da´ı
u =
2 tan(x)±
√
4 tan2(x) + 4
2
u =
2 tan(x)± 2 sec(x)
2
u = tan(x) + sec(x) pois u ≥ 0
ey = tan(x) + sec(x) pois u = ey
y = ln(tan(x) + sec(x))
da´ı segue que,
sinh−1(tan(x)) = ln(sec(x) + tan(x))
4. Queremos determinar a que velocidade h esta´ variando no instante em que
h = 1m
x
h
=
10
2
⇒ x = 5h
da´ı podemos calcular o volume do prisma de a´gua
Ab =
5h2
2
3
volume do prisma
V = Ab × 8⇒ V = 5h
2
2
× 8⇒ V = 20h2
Assim, teremos
V (t) = 20h2(t)
da´ı
dV
dt
= 40h(t)
dh
dt
como
dV
dt
= 0, 6
segue que
0, 6 = 40.1
dh
dt
⇒ dh
dt
= 0, 015m/s
5. F = kR4
Temos que
∆F
∆R
≈ dF
dR
∆F
∆R
≈ 4kR3
∆F ≈ 4kR3∆R
∆F
F
≈ 4kR
3∆R
F
∆F
F
≈ 4kR
3∆R
kR4
∆F
F
≈ 4∆R
R
sendo,
∆R
R
= 5%
teremos
∆F
F
= 20%
6.
y =
T
ρg
cosh
(ρg
T
x
)
note que
dy
dx
= sinh
(ρg
T
x
)
4
assim,
ρg
T
√
1 +
(
dy
dx
)2
=
√
1 + sinh2
(ρg
T
x
)ρg
T
=
√
cosh2
(ρg
T
x
)ρg
T
= cosh
(ρg
T
x
) ρg
T
=
d2y
dx2
5
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
Projeto Newton - Ca´lculo I
Lista 08: Encontros 24 e 25.
1. Encontre os pontos de ma´ximo e mı´nimo globais da func¸a˜o
f(x) = 18x+ 15x2 − 4x3,
no intervalo [−3, 4] e determine os valores ma´ximo e mı´nimo globais que a
func¸a˜o assume. Ale´m destes, a func¸a˜o admite outros pontos de ma´ximo/mı´nimo
locais? Se sim, diga quais.
2. A figura abaixo mostra o gra´fico de uma func¸a˜o em que aparecem pontos
cr´ıticos e pontos de inflexa˜o destacados.
(a) Determine quais sa˜o pontos cr´ıticos, dizendo quais destes sa˜o de
ma´ximo local, mı´nimo local ou de inflexa˜o (horizontal) e determine
os intervalos de crescimento e decrescimento da func¸a˜o.
(b) Determine quais os pontos de inflexa˜o e os intervalos de concavidade
para cima e os de concavidade para baixo.
1
3. Um objeto de massa m e´ arrastado ao longo de um plano horizontal por
uma forc¸a agindo ao longo de uma corda presa ao objeto. Se a corda fizer
um aˆngulo θ com o plano, enta˜o a intensidade da forc¸a sera´
F =
µmg
µ sen θ + cos θ
,
em que µ e´ uma constante chamada coeficiente de atrito e 0 6 θ < pi/2.
Mostre que F e´ minimizada quando θ = arctanµ.
4. Considere a func¸a˜o f(x) = x4 − 8x3 + 16x2 + 4. Determine:
(a) seus pontos cr´ıticos, dizendo quais os de ma´ximo/mı´nimo locais, e
intervalos de crescimento e decrescimento da func¸a˜o;
(b) os intervalos de concavidade para cima/para baixo e seus pontos de
inflexa˜o.
5. Uma pessoa, viajando de carro de Bele´m ate´ Salino´polis, percorre a distaˆncia
de 228 km em cerca de treˆs horas. Pode-se afirmar que o motorista viajou
a` velocidade constante de 76 km/h? Pode-se afirmar que em pelo menos
um momento da viagem o motoristo esteve a 76 km/h? Justifique sua
resposta. (Utilize no Teorema do Valor Me´dio)
6. Encontre os pontos cr´ıticos da func¸a˜o
f(x) =
x
x2 + 1
,
e determine quais sa˜o de ma´ximo e quais sa˜o de mı´nimo utilizando:
(a) o Teste da Primeira Derivada;
(b) o Teste da Segunda Derivada;
e diga qual o me´todo que voceˆ preferiu.
2
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
Projeto Newton - Ca´lculo I
Lista 09: Encontros 27 e 28.
1. Calcule os limites laterais (ambos) indicados abaixo:
(a) lim
x→a±
1
x− a
(b) lim
x→3±
1
(x− 3)2
(c) lim
x→2±
x− 5
x2 − 3x+ 2
2. Calcule os limites no infinito indicados abaixo:
(a) lim
x→+∞
2x3 − x+ 5
5x3 − 8x2 + 2x
(b) lim
x→−∞
−x4 − 3x− 25
2x5 − 8x3 + 9x
(c) lim
x→0−
arctan(
1
x
)
(d) lim
x→+∞
(
3 + 2 e−2x
)
3. Determine intervalos de crescimento/decrescimento, concavidades, limites
pertinentes e esboce o gra´fico da func¸a˜o
f(x) = 3x5 − 20x3 + 2
4. Determine intervalos de crescimento/decrescimento,concavidades, limites
pertinentes e esboce o gra´fico da func¸a˜o
g(x) =
x+ 1
x2 + 1
5. Ummodelo usado para a produc¸a˜o Y de uma colheita agr´ıcola como func¸a˜o
de n´ıvel de nitrogeˆnio N no solo (medido em unidades apropriadas) e´
Y =
kN
1 +N2
,
em que k e´ uma constante positiva. Que n´ıvel de nitrogeˆnio fornece a
melhor produc¸a˜o?
1
6. A energia gasta por um peixe ao nadar a uma velocidade v em relac¸a˜o a`
a´gua, por unidade de tempo, e´ proporcional a v3. Acredita-se que os peixes
migrato´rios tentam minimizar a energia total necessa´ria para nadar uma
distaˆncia fixa. Se o peixe estiver nadando contra uma corrente u (u < v),
enta˜o o tempo necessa´rio para nadar a uma distaˆncia L e´ L/(v − u) e a
energia total E requerida para nadar a distaˆncia e´ dada por
E(v) = av3
L
v − u,
em que a e´ uma constante de proporcionalidade. Determine o valor de v
que minimiza E (na˜o deixe de mostrar que o valor encontrado e´, de fato,
um ponto de mı´nimo!)
2
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
Projeto Newton - Ca´lculo I
Lista 10: Encontros 33 e 34.
1. Determine a famı´lia de primitivas (primitiva geral) de cada uma das
func¸o˜es abaixo:
(a) g(x) = 8x9 − 3x6 + 12x3
(b) f(x) = 3 e2x+7 sec2 x
(c) h(θ) = cos(2θ) + sen(5θ)
2. Determine f em cada um dos casos abaixo:
(a) f ′′(θ) = 12 sen(2θ)− 18 cos(3θ), f ′(0) = 0, f(0) = 3.
(b) f ′′(t) = 2 et+3 sen t, f(0) = 0, f(pi) = 0.
3. Expresse, em termos de integral das func¸o˜es, a a´rea das regio˜es hachuradas
em cada caso abaixo:
(a)
1
(b)
4. Calcule “geometricamente” as integrais abaixo, fazendo interpretac¸o˜es em
termos de a´rea:
(a)
∫ 2
−2
√
4− x2 dx
(b)
∫ 3
−1
(3− 2x) dx
5. Determine o valor de ∫ 5
0
f(x) dx,
se
f(x) =
{
3 se x < 3
x se x > 3
6. Use as propriedades da integral para mostrar que
√
2pi
24
6
∫ pi
4
pi
6
cosxdx 6
√
3pi
24
sem calcular a integral.
2
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
Projeto Newton - Ca´lculo I
Lista 11: Encontros 36 e 37.
1. Determine a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo:
(a) g(x) =
∫ x
0
cos(s) ln((s2 + 5) + es) ds
(b) f(x) =
∫ 3x2
5
e2ξ ξ2 dξ
(c) h(x) =
∫ x2
x
θ cos(2θ) dθ
2. Calcule as integrais dadas abaixo:
(a)
∫
ex
ex+1
dx
(b)
∫ √pi
0
ξ cos(ξ2) dξ
(c)
∫ a
0
t
√
a2 − t2 dt
3. Determine a a´rea de cada uma das regio˜es delimitadas pelas curvas abaixo,
desenhando um retaˆngulo t´ıpico aproximado, colocando sua base e altura:
(a) y = x2 + 1 , y = 3− x2 , x = −2 , x = 2
(b) y = 3x2 , y = 8x2 , 4x+ y = 4 , x > 0
4. Determine o volume do so´lido obtido a partir da rotac¸a˜o em torno do
eixo y da regia˜o delimitada pelas curvas x = y2 + 1 e x = 5:
(a) pelo Me´todo do Fatiamento;
(b) pelo Me´todo das Cascas Cili´ındricas.
1
 
GABARITO 
1. 
a) g(x) = ∫ ( ) ( ) 
 
 
 
 
g’(x) = (x) (x ) 
 
b) f(x) = ∫ 
 
 
 
 
f’(x) = ( 
 ) ( ) . ( ) 
 = 
 
 . 
 = 
 
 
 
c) h(x) = ∫ ( ) 
 
 
 
 = ∫ ( ) 
 
 
 + ∫ ( ) 
 
 
 
 = ∫ ( ) 
 
 
 + ∫ ( ) 
 
 
 
Logo, 
h’(x) = x.cos(2x) + ( ) ( ) 
 = x.cos(2x) + ( ) 
 
 
2. 
a) ∫
 
 
 
 { = 
 
 = 
 
 = ∫
 
 
 
 = ln|u| + C = ln( ) + C 
b) ∫ (
√ 
 
 ) 
 
 
{
 
 
 
 
 = 
 = 
 
 
 = = 
 = √ = 
 
 
 = ∫ ( ) 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 [ ( )] 
 = 
 
 
 ( – ) = 
 
 
 ( ) = 
 
c) ∫ √ 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 = 
 = 
 
 
 
 = = 
 = = 
 
 
= ∫ √ 
 
 
 (
 
 
) 
= 
 
 
∫ √ 
 
 
 = 
 
 
 [
 
 
 
 
 ] 
 = 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
(a) y = x2 + 1 , y = 3 - x2, x = -2 , x = 2 
 
Pode-se resolver a alternativa (a), de duas maneiras. 
(1ª Solução) 
Tem-se que a área A, será: 
A= ∫ ( ) 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 
 = [
 
 
 ] 
 [ 
 
 
] 
 [
 
 
 ] 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 8 
 
 
 
(2ª Solução) 
A = ∫ | ( )| 
 
 
 
 = ∫ | | 
 
 
 
 Como a função é par, 
 = 2∫ | | 
 
 
 
 | | = {
 ( ) 
 
 
 Assim, 
 = 2.[∫ ( ) 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 ] 
 = 2.([ 
 
 
 ] 
 [
 
 
 ] 
 
) 
 = 2.{[ 
 
 
 ] + [
 
 
 (
 
 
 )]} 
 = 2.(
 
 
 
 
 
) = 8 
 
(b) y = 3x2 , y = 8x2, 4x+y = 4 , x ≥ 0 
 
 
 
 (*) Determinação de a : 
 Função: y = 8x
2 
(1) Reta: y = 4 4x (2) 
 Substituindo (2) em (1), tem-se: 
 8 = = {
 = ( )
 =
 
 
 
 Portanto a = 
 
 
 
 
 
 
 
 (**) Determinação de b : 
 Função: y = 3x
2 
(3) Reta: y = 4 4x (4) 
 Substituindo (4) em (3), tem-se: 
 = {
 = ( )
 =
 
 
 
 Logo =
 
 
 
 
 Com isso, a área A será: 
 A= ∫ ( ) ∫ [( ) ] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = ∫ ( ) ∫ [ ] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 5. 
 
 
] 
 
 [ ] 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
= 
 
 
 
 
 
4. Considere a figura a seguir: 
 
(a) Pelo método do fatiamento 
 
A(y) = 
 = = ( ) 
 = [ ( ) ] 
 = ( ) 
 
V =∫ ( ) =
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 
 = 2 ∫ ( ) 
 
 
 
 = 2 .[ 
 
 
 
 
 
 ] 
 = 
 
 
=
 
 
 
 
(b) Pelo método das cascas cilíndricas 
 
dV = 2 = ( √ ) 
 
V = ∫ ( √ ) 
 
 
 = 4 ∫ √ 
 
 
 
 {
 = = 
 = 
 = = 
 = = 
 
 
V = 4π∫ ( ) √ 
 
 
 
 = ∫ ( 
 
 
 
 )
 
 
 
 = [
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ] 
 
 = (
 
 
 
 
 
 ) = 
 
 
= 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
Projeto Newton - Ca´lculo I
Lista 12: Encontros 39 e 40.
1. Determine as integrais abaixo:
(a)
∫
t sen(t) dt
(b)
∫ 9
4
ln ξ√
ξ
dξ
(c)
∫
e3θ cos(θ) dθ
2. Primeiro fac¸a uma substituic¸a˜o e enta˜o use integrac¸a˜o or partes para cal-
cular as seguintes integrais:
(a)
∫
t3 e−t
2
dt
(b)
∫ pi
0
ecos x sen 2x dx
(c)
∫
sen(lnu) du
3. Calcule as integrais dadas abaixo:
(a)
∫
sen6x cos3xdx
(b)
∫ 1
0
ξ
√
ξ2 + 4dξ
(c)
∫
x2 + 1
(x2 − 2x+ 2)2 dx
4. Um foguete acelera pela queima do combust´ıvel a bordo; assim, sua massa
diminui com o tempo. Suponha que a massa inicial do foguete no lanc¸a-
mento (incluindo o combust´ıvel) seja m, que o combust´ıvel seja consumido
1
a uma taxa r, e que os gases de exausta˜o sejam ejetados a uma veloci-
dade constante ve (relativaao foguete). Um modelo para a velocidade do
foguete a um tempo t e´ dado pela seguinte equac¸a˜o:
v(t) = −gt− ve ln m− rt
m
em que g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade, e t na˜o e´ muito grande. Se g =
9.8m/s2, m = 30000 kg, r = 160 kg/s e ve = 3000m/s, ache a altitude do
foguete 1 minuto apo´s o lanc¸amento.
5. (Questa˜o importante, que aparecera´ futuramente, em outras disciplinas,
quando se for estudar Expansa˜o em Se´ries de Fourier)
Sejam m e n inteiros positivos. Mostre que:∫ pi
−pi
sen(mx) sen(nx) dx =
{
pi , se m = n
0 , se m 6= n
2
Q1
a)
∫
tsen(t)dt = −tcos(t)−
∫
−cos(t)dt
= −tcos(t) + sent+ C
b)
∫ 9
4
(
lnζ√
ζ
)
dζ =
[
2
√
ζln(ζ)
]9
4
−
∫ 9
4
2
√
ζ
1
ζ
dζ
= 6ln9− 4ln4−
∫ 9
4
2√
ζ
dζ
= 6ln9− 4ln4−
[
4
√
ζ
]9
4
= 6ln9− 4ln4− 4
= 12ln3− 8ln2− 4
c)
∫
e3θcos(θ)dθ = e3θsen(θ)−
∫
3e3θsen(θ)dθ
= e3θsen(θ)− 3
∫
e3θsen(θ)dθ
= e3θsen(θ)− 3
[
−e3θcos(θ)−
∫
3e3θ(−cos(θ)dθ
]
∫
e3θcos(θ)dθ = e3θsen(θ) + 3e3θcos(θ)− 9
∫
e3θcos(θ)dθ∫
e3θcos(θ)dθ + 9
∫
e3θcos(θ)dθ = e3θ(sen(θ) + 3cos(θ)∫
e3θcos(θ)dθ =
e3θ
10
(sen(θ) + 3cos(θ))
Q2
a)
Fazendo u = −t2, dudt = −2t, isto é, tdt = −du2 , logo∫
t3e−t
2
dt =
∫
t2e−t
2
tdt
=
∫
−ueu
(−du
2
)
=
1
2
∫
ueudu
=
1
2
[
ueu −
∫
1eudu
]
=
1
2
(ueu − eu)
=
eu
2
(u− 1)
=
e−t
2
2
(−t2 − 1)
=
e−t
2
2
(t2 + 1) + C
1
b)
Fazendo u = cos(x), temos du = −sen(x)dx, Para x = 0, u = 1 e x = Π, u = −1∫ Π
0
ecosxsen(2x)dx =
∫ Π
0
ecosx2sen(x)cos(x)dx
= 2
∫ Π
0
cos(x)ecosxsen(x)dx
= 2
∫ −1
1
ueu(−du)
= 2
∫ 1
−1
ueudu
= 2
(
[ueu]1−1 −
∫ 1
−1
eudu
)
= 2
[
(e+
1
e
)− (e− 1
e
)
)
=
4
e
c)
Fazendo v = lnu⇒ u = ev, temos dv = 1udu⇒ du = evdv∫
sen(lnu)du =
∫
sen(v)e(v)dv∫
sen(v)evdv = evsen(v)−
∫
evcos(v)dv
= evsen(v)−
[
evcos(v)−
∫
ev(−sen(v))dv
]
∫
sen(v)evdv = ev(sen(v)− cos(v))−
∫
evsen(v)dv
2
∫
sen(v)evdv = ev(sen(v)− cos(v))∫
sen(v)evdv =
ev
2
(sen(v)− cos(v)) + C
logo ∫
sen(lnu)du =
elnu
2
(sen(lnu)− cos(ln(u))) + C
=
u
2
(sen(lnu)− cos(ln(u))) + C
QUESTAO 02
I =
∫ Π
−Π
sen(mx)sen(nx)dx
como
sen(a)sen(b) =
1
2
[cos(a− b)− cos(a+ b)]
I =
∫ Π
−Π
1
2
(cos(mx− nx)− cos(mx+ nx))dx)
=
∫ Π
−Π
1
2
(cos(m− n)x− cos(m+ n)x)dx)
2
(a) se m 6= n
I =
[
sen((m− n)x)
m− n −
sen((m+ n)x)
m+ n
]Π
−Π
= 0
pois sen(KΠ) = 0 para todo K inteiro.
se m = n
I =
1
2
∫ Π
−Π
(cos(0)− cos((m+ n)x)dx
=
1
2
[
x− sen((m+ n)x)
m+ n
]
= Π
3
LISTA 12
3o questa˜o
Item (a)
Devemos fazer a seguinte mudanc¸a de variave´l:
u = sin(x)
du = cos(x)dx
Assim,
∫
sin6(x) cos3(x) dx =
∫
sin6(x) cos2(x) cos(x) dx
=
∫
sin6(x)(1− sin2(x)) cos(x) dx
=
∫
u6(1− u2) du
=
∫
(u6 − u8) du
=
u7
7
− u
9
9
+ C
=
1
7
sin7(x)− 1
9
sin9(x) + C
Item (b)
Devemos fazer a seguinte mudanc¸a de variave´l:
u = ξ2 + 4
du = 2ξ dξ
e ainda,
ξ = 0→ u = 4
ξ = 1→ u = 5
1
Assim,
∫ 1
0
ξ
√
ξ2 + 4 dξ =
∫ 5
4
√
u
du
2
=
1
2
[
2
3
u
3
2
]5
4
=
1
3
(5
√
5− 8)
Item (c)
Devemos fazer a seguinte mudanc¸a de variave´l:
x− 1 = tan(u)
x = 1 + tan(u)
dx = sec2(u) du
2
Assim,
∫
x2 + 1
(x2 − 2x+ 2)2 dx =
∫
x2 + 1
((x2 − 2x+ 1) + 1)2 dx
=
∫
x2 + 1
((x− 1)2 + 1)2 dx
=
∫
(1 + tan(u))2 + 1
(tan2(u) + 1)2
sec2(u) du
=
∫
1 + 2 tan(u) + tan2(u) + 1
sec4(u)
sec2(u) du
=
∫
1 + 2 tan(u) + sec2(u)
sec2(u)
du
=
∫ (
1
sec2(u)
+ 2
tan(u)
sec2(u)
+ 1
)
du
=
∫
(cos2(u) + 2 sin(u) cos(u) + 1) du
=
u
2
+
sin(2u)
4
− cos(2u)
2
+ u
=
3u
2
+
sin(u) cos(u)
2
− cos
2(u)− sin2(u)
2
=
1
2
(3u+ sin(u) cos(u)− cos2(u)− sin2(u))
mas x− 1 = tan(u), logo, u = arctan(x− 1) e
sec2(u) = 1 + tan2(u) = 1 + (x− 1)2 = x2 − 2x+ 2
cos2(u) =
1
x2 − 2x+ 2 ⇒ cos(u) =
1√
x2 − 2x+ 2
sin2(u) = 1− cos2(u) = x
2 − 2x+ 1
x2 − 2x+ 2 ⇒ sin(u) =
x− 1√
x2 − 2x+ 2
Logo,
∫
x2 + 1
(x2 − 2x+ 2)2 dx =
1
2
(
3 arctan(x− 1) + x− 1
x2 − 2x+ 2 +
x2 − 2x
x2 − 2x+ 2
)
+C
∫
x2 + 1
(x2 − 2x+ 2)2 dx =
1
2
(
3 arctan(x− 1) + x
2 − x− 1
x2 − 2x+ 2
)
+C
3
4o questa˜o
Devemos fazer a seguinte mudanc¸a de variave´l:
u = 1− 4
750
t
du = − 4
750
dt
dt = −750
4
du
Assim,
v(t) = −9, 8t− 3000 ln
(
30000− 160t
30000
)
v(t) = −9, 8t− 3000 ln
(
1− 4
750
t
)
∆S =
∫ 60
0
[
−9, 8t− 3000 ln
(
1− 4
750
t
)]
dt
=
[
−9, 8
2
t2
]60
0
−
∫ 60
0
3000 ln
(
1− 4
750
t
)
dt
= −4, 9 · 602 − 3000
∫ 60
0
ln
(
1− 4
750
t
)
dt
= −4, 9 · 602 − 3000
∫ 51
75
1
ln(u)
(
−750
4
)
du
= −4, 9 · 602 + 3000750
4
∫ 51
75
1
ln(u) du
= −17640 + 562500[u ln(u)− u]
51
75
1
= −17640 + 562500
(
51
75
ln
(
51
75
)
−51
75
+ 1
)
= 14844, 1m
4
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
Projeto Newton - Ca´lculo I
Lista 13: Encontros 42 e 43.
1. Determine se cada integral e´ convergente ou divergente. No primeiro caso,
calcule-as:
(a)
∫ ∞
0
e−2t dt
(b)
∫ ∞
0
x
(x2 + 2)2
dx
(c)
∫ 0
−∞
1
2s− 5 ds
2. Encontre o valor me´dio, fM , da func¸a˜o
f(x) =
√
x,
no intervalo [0, 4]. Encontre c ∈ (0, 4) (cuja existeˆncia e´ grantida pelo
Teorema do Valor Me´dio!), tal que f(c) = fM . Esboce o gra´fico da func¸a˜o
e um retaˆngulo cuja a´rea e´ a mesma da regia˜o sob o gra´fico da func¸a˜o, no
intervalo considerado.
3. Um tanque esfe´rico com raio igual a 3m esta´ preechido ate´ a metade com
o´leo de densidade igual a 900 kg/m3. Determine o trabalho necessa´rio
para bombear todo o o´leo para uma sa´ıda situada 1m acima do ponto
mais alto do tanque.
1
4. Um balde furado de 5 kg e´ levantado do cha˜o ate´ uma altura de 12m, a`
velocidade constante, com ajuda de uma corda de densidade linear igual a
0,8 km/m. Inicialmente o balde conte´m 36 kg de a´gua, mas a a´gua vaza a
uma taxa constante e o balde acaba ficando vazio justamente quando ele
atinge os 12m de altura. Qual o trabalho realizado?
5. A curva formada por um fio suspenso entre dois pontos e sob a ac¸a˜o
exclusiva da gravidade e´ conhecida por catena´ria,
e pode ser descrita pela equac¸a˜o
y = a cosh(x/a).
A superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o de uma tal curva em torno do eixo x e´
conhecida por cateno´ide,
que e´ um exemplo de superf´ıcie mı´nima, possuindo a propriedade de mi-
nimizar a energia associada a` superf´ıcie. Tais superf´ıcies sa˜o capazes de
descrever a estabilizac¸a˜o das pel´ıculas de saba˜o
2
e seu estudo possui diversas aplicac¸o˜es em engenharia.
Considere a catena´ria dada pela equac¸a˜o
y = coshx, −1 6 x 6 1 .
Determine:
(a) o comprimento da catena´ria;
(b) a a´rea do cateno´ide gerado a partir da rotac¸a˜o desta catena´ria em
torno do eixo x.
3