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Importância da Estatística na Engenharia
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Tratamento de
Dados
Simone Echeveste
Tratamento de
Dados
O grande avanço tecnológico das últimas décadas gerou a necessida-de de formação de profissionais capazes de acompanhar esse de-
senvolvimento com habilidades para gerar e analisar dados, produzindo
informação útil a ser utilizada na resolução de problema. Nesse contexto,
as ferramentas estatísticas são imprescindíveis e o conhecimento das mes-
mas torna-se necessário para qualquer profissional.
A Estatística hoje se configura como uma das ciências que mais vem
crescendo em termos de utilização e importância na Engenharia: estudos
de qualidade, confiabilidade, desenvolvimentos de novos produtos, avalia-
ção de metodologias de produção, novos materiais etc. são alguns exem-
plos da ampla utilização das ferramentas estatísticas para resolução de
problemas e tomada de decisões nessa área.
A disciplina de Tratamento de Dados tem por objetivos: propiciar ao
aluno o estudo da estatística com vistas a análise de dados experimentais,
cálculo e interpretação das medidas descritivas, uso de probabilidades e
raciocínio lógico na resolução de problemas, utilização de testes estatísti-
cos como ferramenta de análise de comparação e relação de dados no
contexto das organizações industriais.
Os conteúdos serão apresentados em 10 capítulos contendo a explica-
ção teórica dos mesmos, bem como a apresentação de exemplos e aplica-
ções em problemas na área da Engenharia. Em cada capítulo será desta-
cado o objetivo de cada ferramenta estatística bem como a interpretação
dos resultados obtidos.
Introdução
Sumário
1 Conceitos Básicos de Estatística .............................................1
2 Medidas Estatísticas ............................................................16
3 Gráficos de Controle ...........................................................46
4 Probabilidade .....................................................................67
5 Distribuições de Probabilidade ............................................83
6 Estimação e Intervalos de Confiança .................................114
7 Testes de Hipóteses ...........................................................129
8 Análise de Variância – Anova ............................................164
9 Análise de Correlação ......................................................182
10 Análise de Regressão Linear Simples .................................205
Conceitos Básicos de
Estatística
ÂÂNeste capítulo, será apresentado o contexto da pesqui-sa em que a estatística está inserida, bem como serão
destacados os principais conceitos básicos de estatística.
O objetivo aqui é que o aluno compreenda o vocabulário
pertinente à análise estatística e que consiga identificar
as variáveis de um estudo, organizando-as em tabelas de
frequência.
Ao final deste capítulo, espera-se que o aluno, dada
uma situação problema, identifique corretamente a amos-
tra de estudo e as variáveis envolvidas, bem como cons-
trua tabelas de frequência como forma de resumo e apre-
sentação de dados.
Capítulo 1
Simone Echeveste
2 Tratamento de Dados
Conceitos de estatística e
o seu papel na ciência
A necessidade de analisar um conjunto de dados estatistica-
mente está sempre inserida no contexto de uma pesquisa, ou
seja, temos inicialmente uma situação problema a ser resol-
vida, ou ainda uma hipótese a ser testada e, para isso, uma
pesquisa deve ser realizada.
Com isso, em uma pesquisa, destaca-se a importância
da utilização da estatística de acordo com os seguintes fa-
tores:
a) Em uma pesquisa, muitas vezes, são realizados estudos
experimentais ou observacionais que culminam em uma
coleção de dados numéricos que devem ser organizados e
resumidos.
b) O padrão de variação nos dados faz a resposta não ser
óbvia, ou seja, somente tratando os dados adequadamen-
te é que poderemos verificar o comportamento das variá-
veis de estudo.
c) Uma análise estatística é composta por métodos para
coleta e descrição dos dados, viabilizando a verificação
da força da evidência nos dados pró ou contra as hi-
póteses de pesquisa. A presença de uma variação não
previsível nos dados faz disso, muitas vezes, uma tarefa
pouco trivial.
Capítulo 1 Conceitos Básicos de Estatística 3
Problema
Solução a partir de Experiências
passadas, “palpites”
Tomada de Decisão
Solução a partir da
ciência - Estatística
Figura 1 O papel da Estatística na pesquisa.
Em toda a pesquisa realizada, almeja-se a resposta a um
problema ou ainda uma situação-problema que está vincula-
da a uma tomada de decisão a ser realizada. Podemos con-
siderar que nossa decisão pode ser tomada a partir de dois
tipos de soluções: a primeira que pode ser considerada uma
solução empírica que se fundamenta na observação e na ex-
periência, livre de um método científico – é uma forma de
solução muitas vezes subjetiva que pode levar a tomada de
decisão errada.
O outro tipo de solução seria a partir do método científico,
à luz de dados provenientes de uma pesquisa que segue uma
metodologia pré-determinada para garantir a imparcialidade
das informações obtidas. Nesse caso, as ferramentas estatísti-
cas são indispensáveis para a viabilização de uma tomada de
decisão com menores riscos e incertezas.
4 Tratamento de Dados
Rao (1999) define estatística como:
“A estatística é uma ciência que estuda e pesquisa sobre:
o levantamento de dados com a máxima quantidade de
informação possível para um dado custo; o processamento
de dados para a quantificação da quantidade de incerteza
existente na resposta para um determinado problema; a to-
mada de decisões sob condições de incerteza, sob o menor
risco possível. Finalmente, a estatística tem sido utilizada na
pesquisa científica, para a otimização de recursos econô-
micos, para o aumento da qualidade e produtividade, na
otimização em análise de decisões.”
Dentre os conceitos importantes frequentemente utilizados
na Estatística estão as definições de População e Amostra:
Uma população (N) é conjunto de elementos de interesse em
um determinado estudo, que podem ser pessoas ou resultados
experimentais, com uma ou mais características comuns, que se
pretendem estudar.
Uma amostra (n) é um subconjunto da população usado para
obter informação acerca do todo. Obtemos uma amostra para
fazer inferências de uma população. Nossas inferências são vá-
lidas somente se a amostra é representativa da população.
A Estatística pode ser dividida em duas áreas: Descritiva e
Inferencial. A área descritiva é mais simples, contemplando
ferramentas de organização de dados e síntese de informação.
Capítulo 1 Conceitos Básicos de Estatística 5
A área Inferencial, por sua vez, permite ao pesquisador proje-
tar resultados amostrais para populações, bem como testar hi-
póteses concernentes a parâmetros populacionais. Inferência
estatística é o processo pelo qual estatísticos tiram conclusões
acerca da população usando informação de uma amostra. A
Estatística Inferencial está baseada em dois pilares fundamen-
tais: a Amostragem e a Probabilidade.
Outro conceito importante é o conceito da Variável, que
vem a ser a matéria prima de qualquer pesquisa, ou seja,
quando se termina uma coleta de dados em um primeiro mo-
mento dispomos de um conjunto de valores ou ainda respostas
pertinentes às nossas variáveis de pesquisa.
Uma variável (x) é uma característica dos elementos investiga-
dos que difere de um elemento para outro e do qual temos inte-
resse em estudar. Cada unidade (elemento) da população que é
escolhido como parte de uma amostra fornece uma medida de
uma ou mais variáveis, também chamadas observações.
As variáveis podem ser classificadas em:
a) Variáveis Quantitativas: são as características que po-
dem ser medidas em uma
escala quantitativa, ou seja,
apresentam valores numéricos/quantidades. Podem ser
contínuas ou discretas.
 Discretas: características mensuráveis que podem as-
sumir apenas um número finito ou infinito contável de
valores e, assim, somente fazem sentido valores inteiros.
6 Tratamento de Dados
Exemplos: número de falhas, número de itens perfeitos
números de carros vendidos etc.
 Contínuas: características mensuráveis que assumem
valores em uma escala para as quais valores fracionais
fazem sentido. Exemplos: comprimento da peça, tempe-
ratura, tempo de vida de um componente eletrônico etc.
b) Variáveis Qualitativas (ou categóricas): são as carac-
terísticas que não possuem valores quantitativos, mas, ao
contrário, são definidas por várias categorias, ou seja, re-
presentam uma classificação dos elementos. Podem ser
nominais ou ordinais.
 Variáveis Qualitativas nominais: não existe ordena-
ção dentre as categorias. Exemplos: marca do carro,
tipo de fornecedor, região de produção etc.
 Variáveis Qualitativas ordinais: existe uma ordenação
entre as categorias. Exemplos: escolaridade (Fundamen-
tal, Médio ou Superior), grau de importância (nenhuma,
pouca, razoável, muito) etc.
1.1 Análise descritiva: tabelas de
frequência
O primeiro contato do pesquisador com os seus dados é
feito a partir da construção das tabelas de frequência, po-
demos dizer que, nesse momento, os dados recebem o seu
primeiro tratamento. Nessa etapa de análise, o pesquisador
Capítulo 1 Conceitos Básicos de Estatística 7
identificará as possíveis respostas a uma determinada variá-
vel e o comportamento das mesmas no que se refere a sua
frequência.
A tabela de frequência tem por objetivo apresentar os resul-
tados de cada variável de uma forma organizada e resumida.
Nessa tabela, encontramos o número de repetições de cada
categoria de resposta de uma variável bem como o seu per-
centual no grupo investigado.
De acordo com as normas da ABNT (Associação Brasileira
de Normas Técnicas) e do IBGE (Instituto Brasileiro de Geo-
grafia e Estatística), as tabelas de frequência devem considerar
os seguintes elementos:
a) Título: deve conter as informações necessárias para que se
compreenda “o que” está sendo apresentado na tabela,
“onde” os dados foram obtidos e “quando” esses dados
foram coletados.
b) Cabeçalho: indica a natureza do conteúdo de cada colu-
na da tabela.
c) Corpo da Tabela: é a parte composta por linhas e colunas
com as informações observadas.
d) Rodapé: espaço logo abaixo da tabela que pode ser uti-
lizado para a apresentação de notas ou observações de
natureza informativa.
e) Fonte: refere-se à entidade que organizou ou forneceu os
dados apresentados na tabela.
8 Tratamento de Dados
Exemplo de construção de uma tabela de
frequência:
Considere uma pesquisa realizada com uma amostra de 20
lotes de parafusos com o objetivo de investigar o número de
parafusos fora da conformidade. Os dados observados foram:
0 1 0 2 3 3 2 1 0 4
3 1 0 0 4 2 1 0 1 0
Verifique que temos 20 números apresentados – cada nú-
mero desses corresponde a um lote. Por exemplo, o primeiro
lote possui os parafusos fora da conformidade, o segundo 1
parafuso e assim sucessivamente até o vigésimo lote que pos-
sui 0 parafusos não conformes.
Para esse problema, podemos destacar as seguintes infor-
mações:
a) Variável de pesquisa: número de parafusos fora da con-
formidade.
b) Amostra investigada: 20 lotes.
Para a construção da tabela, precisamos das seguintes in-
formações:
c) Valores da variável que surgiram: corresponde às quan-
tidades observadas de parafusos fora da conformidade.
Nesse caso, encontramos 0, 1, 2, 3 e 4 parafusos.
d) Frequência (f) de cada valor da variável: corresponde
ao número de vezes que cada valor se repetiu.
Capítulo 1 Conceitos Básicos de Estatística 9
Para o exemplo, podemos observar que 0 parafusos fora da
conformidade se repetiu em 7 lotes:
0 1 0 2 3 3 2 1 0 4
3 1 0 0 4 2 1 0 1 0
Na sequência, 1 parafuso fora da conformidade se repetiu em
5 lotes:
0 1 0 2 3 3 2 1 0 4
3 1 0 0 4 2 1 0 1 0
Já 2 parafusos fora da conformidade se repetiu em 3 lotes:
0 1 0 2 3 3 2 1 0 4
3 1 0 0 4 2 1 0 1 0
Para 3 parafusos fora da conformidade, observamos uma
ocorrência em 3 lotes:
0 1 0 2 3 3 2 1 0 4
3 1 0 0 4 2 1 0 1 0
Por fim, para 4 parafusos fora da conformidade, observa-
mos uma ocorrência em 2 lotes:
0 1 0 2 3 3 2 1 0 4
3 1 0 0 4 2 1 0 1 0
10 Tratamento de Dados
Agora, organizamos essa informação a partir da estrutura
de uma tabela de frequência, considerando todos os seus ele-
mentos:
Número de parafusos fora da conformidade
Fábrica A – Junho 2013
Nº Parafusos Frequência %
0 7 35
1 5 25
2 3 15
3 3 15
4 2 10
Total 20 100
Fonte: Pesquisa Interna
Cálculo da Porcentagem: Expressão Geral:
Capítulo 1 Conceitos Básicos de Estatística 11
IMPORTANTE!!!
De acordo com as normas, as tabelas de frequência não podem ser
fechadas dos lados nem ter linhas dividindo as categorias da variável.
As únicas linhas permitidas são as que delimitam o cabeçalho e as que
delimitam o total, e no centro da tabela é opcional colocar ou não o
traço divisório das colunas.
Recapitulando
As ferramentas estatísticas são indispensáveis no tratamen-
to de dados provenientes de uma pesquisa. É pela análise e
tratamento de dados que o pesquisador obtém todas as in-
formações pertinentes ao objeto de estudo, propiciando uma
tomada de decisão com menores riscos e incertezas.
Algumas definições importantes:
 População (N): é o conjunto de elementos de interesse
em um determinado estudo.
 Amostra (n): parte da população selecionada é a quan-
tidade de elementos investigada.
 Variável (x): é a característica da amostra a ser investi-
gada, ou seja, o que desejamos saber com a pergunta
realizada.
 Categorias: representam as possíveis respostas para a
variável investigada.
12 Tratamento de Dados
 Frequência (f): é o número de vezes que cada catego-
ria da variável se repetiu, ou ainda, quantos elemen-
tos investigados optaram por determinada resposta da
questão.
As tabelas de frequência correspondem a uma forma de
apresentação de dados, seus elementos são: Título, Cabeça-
lho, Corpo, Rodapé e Fonte. Sua estrutura é composta por
linhas e colunas. As colunas são determinadas de forma que a
variável a ser apresentada e suas respectivas categorias loca-
lizam-se na primeira coluna, já na segunda coluna é apresen-
tada a frequência (número de repetições) de cada categoria,
e por fim a terceira coluna representa a porcentagem de cada
categoria de resposta.
Atividades: Conceitos básicos de
estatística
Considere a seguinte situação de pesquisa:
“Um engenheiro realizou uma pesquisa com os pneus ra-
diais de um novo veículo produzido por sua montadora com
o objetivo de verificar o desgaste. Para esse estudo, ele sele-
cionou um grupo de 50 pneus e observou a quilometragem
em que estes rodavam até a ocorrência do desgaste”.
Questão 1. A população dessa pesquisa pode ser considera-
da como:
a) Os carros produzidos pela montadora.
Capítulo 1 Conceitos Básicos de Estatística 13
b) Pneus radiais do novo veículo.
c) Desgaste dos pneus radiais.
d) Um grupo de 50 pneus investigados.
e) Quilometragem rodada pelos pneus radiais até ocorrer o
desgaste.
Questão 2. A amostra dessa pesquisa pode ser considerada
como:
a) Os carros produzidos pela montadora.
b) Pneus radiais do novo veículo.
c) Desgaste dos pneus radiais.
d) Um grupo de 50 pneus investigados.
e) Quilometragem rodada pelos pneus radiais até ocorrer o
desgaste.
Questão 3. A variável dessa pesquisa pode ser considerada
como:
a) Os carros produzidos
pela montadora.
b) Pneus radiais do novo veículo.
c) Desgaste dos pneus radiais.
d) Um grupo de 50 pneus investigados.
e) Quilometragem rodada pelos pneus radiais até ocorrer o
desgaste.
14 Tratamento de Dados
Questão 4. Marque V para verdadeiro e F para falso nas se-
guintes afirmativas:
a) ( ) Em uma pesquisa, o padrão de variação nos dados faz os
resultados não serem óbvios, por esse motivo, os resultados
obtidos devem receber um tratamento estatístico que permiti-
rá a verificação do comportamento das variáveis de estudo.
b) ( ) As variáveis quantitativas são características que não
possuem valores, mas, ao contrário, são definidas por ca-
tegorias, ou seja, representam uma classificação dos ele-
mentos.
c) ( ) No título de uma tabela de frequências, deve-se colocar
todas as informações necessárias para que se compreenda
“o que” está sendo apresentado na tabela, “onde” os dados
foram obtidos e “quando” esses dados foram coletados.
d) ( ) O número de repetições de cada categoria de uma variá-
vel é chamado de frequência e é representado pela letra “x”.
Questão 5. Os dados a seguir referem-se ao tempo que de-
terminada marca de transformador levou para apresentar a
primeira falha grave, em anos, obtidos em um grupo de 15
transformadores. Os resultados do tempo de falhas em anos
são dados por:
6 5 6 7 8
8 8 8 5 7
8 7 6 8 6
Construa uma tabela de frequência para representar esses dados.
Capítulo 1 Conceitos Básicos de Estatística 15
Gabarito das atividades propostas
Questão 1. b) Pneus radiais do novo veículo.
Questão 2. d) Um grupo de 50 pneus investigados.
Questão 3. e) Quilometragem rodada pelos pneus radiais até
ocorrer o desgaste.
Questão 4. a) V, b) F, c) V, d) F.
Questão 5.
Tempo que determinada marca de transformador levou para
apresentar a primeira falha grave, em anos
Tempo Frequência %
5 2 13,3
6 4 26,7
7 3 20,0
8 6 40,0
Total 15 100
Fonte: Pesquisa Interna
Medidas Estatísticas
ÂÂ Neste capítulo, iremos abordar as principais medidas esta-tísticas utilizadas na área da Engenharia. Elas são dividi-
das em dois grupos: Medidas de Tendência Central e Medi-
das de Variabilidade. Nosso objetivo aqui é a apresentação
de cada uma dessas medidas no que se refere à aplicabilida-
de, ao cálculo e à interpretação dos resultados obtidos.
O aluno, ao final deste capítulo, deverá conseguir cal-
cular e interpretar as medidas estatísticas apresentadas.
Podemos ainda aprofundar um pouco mais a nossa
análise estatística para o caso em que as variáveis anali-
sadas sejam QUANTITATIVAS por meio das medidas es-
tatísticas. Essas medidas dividem-se em dois grupos de
medidas: as Medidas de tendência central e as Medidas
de variabilidade.
Simone Echeveste
Capítulo 2
Capítulo 2 Medidas Estatísticas 17
Medidas
Estatísticas
Medidas de
tendência
Central
Medidas de
Variabilidade
Média
Mediana
Moda
Variância
Desvio-
padrão
Coeficiente
de variação
Figura 2 Medidas Estatísticas.
2.1 Medidas de tendência central
Essas medidas têm por objetivo encontrar a “tendência central”
de um conjunto de dados, ou seja, encontrar o valor do meio
ou ainda os valores típicos de uma distribuição. São medidas
úteis para caracterizar e representar um conjunto de dados a
partir de um único valor utilizando critérios distintos para isso.
As medidas de tendência central são: média, mediana e moda.
2.1.1 Média
A média é a medida de tendência central mais conhecida e
mais utilizada de todas. Existem vários tipos de médias, a que
18 Tratamento de Dados
utilizamos em pesquisas é a Média aritmética, obtida pela
soma de todos os valores da variável investigada (valores de
x) dividida pelo número total de valores no conjunto de dados
(total da amostra – n). É representada pelos símbolos na
amostra e por µ na população.
Notação:
µ – média populacional
– média amostral
Fórmula:
Onde:
Σ = somatório
x – variável (valores obtidos para a variável investigada)
n – tamanho da amostra
Exemplo
Os dados abaixo representam o tempo de vida útil (em mil
horas) de um conjunto de 7 lâmpadas fluorescentes:
15 18 18 20 17 18 16
Capítulo 2 Medidas Estatísticas 19
Elementos importantes:
Amostra (n): 7 lâmpadas fluorescentes
Variável (x): tempo de vida útil (em mil horas)
Média:
= 17,4 mil horas
Interpretação: Em média, o tempo de vida útil dessas lâmpa-
das fluorescentes é de 17,4 mil horas.
Média para dados agrupados em tabelas
de frequência
Quando os dados estão organizados na forma de uma tabela
de frequências, devemos multiplicar os diferentes valores “x”
pelas respectivas frequências “f”. A fórmula utilizada deverá
ser nesse caso:
Onde:
Σ = somatório
x – variável
20 Tratamento de Dados
f – frequência de cada valor da variável
n – tamanho da amostra
Exemplo
Considere a seguinte tabela referente ao Número de peças
defeituosas encontradas em uma amostra de 62 lotes produ-
zidos:
Número de peças defeituosas
Nº peças (x) Frequência (f) % x.f
0 5 8,0 0 x 5 = 0
2 25 40,3 2 x 25 = 50
4 30 48,4 4 x 30 = 120
6 2 3,2 6 x 2 = 12
Total 62 (n) 100 182
= 2,9 peças
Capítulo 2 Medidas Estatísticas 21
Interpretação: Em média, cada lote possui 2,9 peças defeitu-
osas.
2.1.2 Mediana
Ordenados os elementos da amostra em ordem crescente, a
mediana é o valor considerado o ponto do meio, que a divide
ao meio, isto é, metade dos elementos da amostra é menor ou
igual à mediana e a outra metade é maior ou igual à mediana.
Notação:
Md ou Me
Como obter a Mediana:
1º) todos os valores do conjunto de dados devem ser coloca-
dos em ordem crescente, se houver algum valor que se repita
mais de uma vez, ele deve ser repetido na ordenação também.
2º) devemos encontrar a posição da mediana considerando a
seguinte regra: se o tamanho da amostra (n) é ímpar, a me-
diana é o valor central; se o tamanho da amostra (n) for par, a
mediana será a média dos dois valores centrais.
Exemplo 1: Quando o tamanho da amostra “n” for ímpar.
“Uma pesquisa foi realizada com o objetivo de verificar o pH
de 5 amostras de tintas acrílicas de diferentes marcas. Os
dados coletados estão apresentados abaixo”.
8,0 9,1 8,5 9,7 9,2
Amostra (n): 5 amostras de tintas de diferentes marcas
22 Tratamento de Dados
Variável (x): valor do pH
Mediana (Md)
1º) Colocar os valores em ordem crescente
8,0 8,5 9,1 9,2 9,7
2º) Encontrar o valor central no conjunto de dados
8,0 8,5 9,1 9,2 9,7
Mediana
Interpretação: Metade das amostras de tinta possuem pH de
9,1 ou menos, e metade das amostras de tinta possuem pH de
9,1 ou mais.
Exemplo 2: Quando o tamanho da amostra “n” for par.
Vamos observar o mesmo exemplo anterior, porém agora va-
mos considerar um grupo de 6 amostras de tintas acrílicas.
“Uma pesquisa foi realizada com o objetivo de verificar o pH
de 6 amostras de tintas acrílicas de diferentes marcas. Os
dados coletados estão apresentados abaixo”.
8,0 8,8 8,5 9,7 9,5 9,2
Amostra (n): 6 amostras de tintas de diferentes marcas
Variável (x): valor do pH
Capítulo 2 Medidas Estatísticas 23
1º) Colocar os valores em ordem crescente
8,0 8,5 8,8 9,2 9,5 9,7
2º) Encontrar os dois valores centrais no conjunto de dados
8,0 8,5 8,8 9,2 9,5 9,7
Mediana
3º) Calcular o ponto médio entre esses dois valores centrais
(somando os dois valores e dividindo por dois)
Md = 9,0
Interpretação: Metade das amostras de tinta possuem pH infe-
rior a 9, e metade das amostras de tinta possuem pH superior a 9.
2.1.3 Moda
A moda de um conjunto de dados é simplesmente o valor do
conjunto de dados que ocorreu com maior frequência, ou seja,
que mais se repetiu.
Notação:
Mo
24
Tratamento de Dados
Exemplo
Os dados apresentados a seguir são provenientes de experi-
mentos realizados com uma marca de concreto para determi-
nar a resistência (kg/cm2) em uma amostra de 8 unidades:
200 kg/cm2 210 kg/cm2 200 kg/cm2 210 kg/cm2
210 kg/cm2 250 kg/cm2 230 kg/cm2 210 kg/cm2
Amostra (n): 8 unidades
Variável (x): resistência do concreto (kg/cm2)
Moda
Mo = 210 kg/cm2
(esse valor se repete quatro vezes na amostra, foi o valor de
resistência que mais se repetiu).
200 kg/cm2 210 kg/cm2 220 kg/cm2 210 kg/cm2
210 kg/cm2 250 kg/cm2 230 kg/cm2 210 kg/cm2
Interpretação: O valor da resistência do concreto que ocorreu
com maior frequência foi de 210 kg/cm2.
Capítulo 2 Medidas Estatísticas 25
Algumas situações podem ocorrer em relação à moda:
1ª) Um conjunto de dados pode não ter moda, ou seja, nenhum
valor se repetir
Exemplo: Tempo de produção de 5 peças (em minutos)
34, 56, 23, 42, 38
Nenhum valor se repete – não tem moda!
2ª) Um conjunto de dados pode ter mais que uma moda, ou
seja, poderemos ter mais que um valor da variável se repetindo
com frequências iguais
Exemplo: Número de peças produzidas em 8 dias:
35, 23, 35, 40, 51, 40, 32, 55
Duas modas: 35 e 40 peças!
2.2 Medidas de variabilidade
Tão importante quanto representarmos todos os valores de um
conjunto de dados a partir das medidas de tendência central
é ter o conhecimento da variação que ocorre em torno dessa
medida. As medidas de variabilidade são extremamente úteis
no tratamento de dados, pois estas indicam a variação existen-
te em torno da média.
26 Tratamento de Dados
Vamos considerar o seguinte exemplo apresentado abaixo:
Exemplo
Considere uma linha de produção que possui três máquinas
em operação: Máquina A, Máquina B e Máquina C. Está sen-
do investigado o número de unidades com falhas produzidas
em três dias de produção. Os dados coletados foram:
MÁQUINA A
Unidades com falhas:
1º Dia: 5 unidades
2º Dia: 0 unidades
3º Dia: 10 unidades
Média de vendas:
5 + 0 + 10
3
5x
n
= = =
xΣ
Em média, a Máquina A
produz 5 unidades com
falhas por dia.
MÁQUINA B
Unidades com falhas:
1º Dia: 5 unidades
2º Dia: 5 unidades
3º Dia: 5 unidades
Média de vendas:
5 + 5 + 5
3
5x
n
= = =
xΣ
Em média, a Máquina B
produz 5 unidades com
falhas por dia.
MÁQUINA C
Unidades com falhas:
1º Dia: 5 unidades
2º Dia: 4 unidades
3º Dia: 6 unidades
Média de vendas:
5 + 4 + 6
3
5x
n
= = =
xΣ
Em média, a Máquina C
produz 5 unidades com
falhas por dia.
Observando apenas a média de unidades com falhas das
três máquinas investigadas, chegaremos à conclusão de que
elas são iguais, ou seja, possuem o mesmo comportamento no
que se refere à produção de unidades com falhas. Porém, ao
Capítulo 2 Medidas Estatísticas 27
analisar os dados brutos (unidades com falhas para cada um
dos dias investigados), observamos que, embora a média seja
a mesma entre as três máquinas, a variação de um dia para o
outro possui um comportamento bem distinto.
Enquanto a Máquina A varia de 0 unidades com falha
em um dia a 10 unidades com falha em outro, a Máquina B
mantém uma produção de unidades com falha constante de
5 unidades em todos os três dias do estudo. Para esse caso a
análise realizada utilizando somente a média como ferramen-
ta estatística pode induzir o investigador a uma interpretação
errônea a respeito dos dados.
Por esse motivo, além das medidas de tendência central,
devemos obter as medidas de variabilidade que contribuem
para uma melhor interpretação do comportamento de uma
variável quantitativa. Essas medidas representam a variação
de um conjunto de dados em torno da média.
Medias de Variabilidade
Variância Desvio-padrão Coeficiente de
Variação
Figura 3 Medidas de Variabilidade.
28 Tratamento de Dados
2.2.1 Variância
A variância de uma amostra corresponde à média dos qua-
drados dos desvios dos valores em relação à média, Quanto
maior for a variação dos valores do conjunto de dados, maior
será a variância.
Notação:
σ2– variância populacional
s2 – variância amostral
Fórmula:
Onde:
x – valores da variável investigada
– média da amostra
n – tamanho da amostra
Σ – somatório
Propriedades da variância
1. Somando-se (ou subtraindo-se) a cada elemento de um con-
junto de valores uma constante, a variância não se altera;
2. Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada elemento de um con-
junto de valores por um valor constante, a variância fica multipli-
cada (ou dividida) pelo quadrado da constante.
Capítulo 2 Medidas Estatísticas 29
No cálculo da variância, pode-se observar que a unidade
da variável estudada é levada ao quadrado, dificultando, as-
sim, a interpretação de seu resultado final. A solução para esse
problema é extrair a raiz quadrada da variância, permitindo
assim que se volte à unidade original da variável. Essa nova
medida (a raiz quadrada da variância) é chamada de desvio-
-padrão.
2.2.2 Desvio-padrão
O desvio-padrão corresponde à raiz quadrada da variância.
Essa medida expressa a variação média do conjunto de dados
em torno da média, para mais ou para menos na mesma uni-
dade de medida da média.
Notação:
σ – desvio-padrão populacional
s – desvio-padrão amostral
Fórmula:
30 Tratamento de Dados
Propriedades do desvio-padrão
1. Somando-se (ou subtraindo-se) a cada elemento de um con-
junto de valores uma constante, o desvio-padrão não se altera;
2. Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada elemento de um con-
junto de valores por um valor constante, o desvio-padrão fica
multiplicado (ou dividido) pela constante.
O desvio-padrão de uma amostra pode ser calculado con-
siderando as seguintes etapas:
1a) Calcular a média
2a) Subtrair a média de cada valor do conjunto (desvio)
3a) Elevar ao quadrado cada desvio
4a) Somar os quadrados dos desvios
5a) Dividir essa soma por (n-1)
6a) Extrair a raiz quadrada
Figura 4 Etapas para o cálculo do Desvio-padrão.
Capítulo 2 Medidas Estatísticas 31
Vamos considerar o exemplo inicial da comparação do nú-
mero de unidades com falhas entre as máquinas A, B e C em
uma amostra de 3 dias:
MÁQUINA A
Unidades com
falhas:
1º Dia: 5 unidades
2º Dia: 0 unidades
3º Dia: 10 unidades
MÁQUINA B
Unidades com
falhas:
1º Dia: 5 unidades
2º Dia: 5 unidades
3º Dia: 5 unidades
MÁQUINA C
Unidades com
falhas:
1º Dia: 5 unidades
2º Dia: 4 unidades
3º Dia: 6 unidades
Importante:
Amostra (n): 3 dias
Variável (x): Número de unidades produzidas com falhas
Máquina A
Média de vendas:
Interpretação: Para a Máquina A, observa-se que, em média,
são produzidas ao dia 5 unidades com falhas com uma varia-
ção em torno dessa média de 5 unidades.
[5 unidades com falha/dia ± 5 unidades com falha/dia]
MÁQUINA A
Unidades com falhas:
1o Dia: 5 unidades
2o Dia: 0 unidades
3o Dia: 10 unidades
32 Tratamento de Dados
Máquina B
Média de vendas –
Interpretação: Para a Máquina B, observa-se que, em média,
são produzidas ao dia 5 unidades com falhas com uma varia-
ção em torno dessa média de 0 unidades.
[5 unidades com falha/dia ± 0 unidades com falha/dia]
Máquina C
Média de vendas –
MÁQUINA B
Unidades com falhas:
1o Dia: 5 unidades
2o Dia: 5 unidades
3o Dia: 5 unidades
MÁQUINA C
Unidades com falhas:
1o Dia: 5 unidades
2o Dia: 4 unidades
3o Dia: 6 unidades
Capítulo 2 Medidas Estatísticas 33
Interpretação: Para a Máquina C, observa-se que, em média,
são produzidas ao dia 5 unidades com falhas com uma varia-
ção em torno dessa média de 1 unidade.
[5 unidades com falha/dia ± 1 unidades com falha/dia]
Podemos agora comparar as três máquinas utilizando as
medidas
estatísticas média e desvio-padrão da seguinte forma:
MÁQUINA A
Nessa máquina,
em média, são
produzidas 5 uni-
dades com falhas
ao dia com uma
variação de 5 uni-
dades.
[5 ± 5]
MÁQUINA B
Nessa máquina,
em média, são
produzidas 5 uni-
dades com falhas
ao dia com uma
variação de 0 uni-
dades.
[5 ± 0]
MÁQUINA C
Nessa máquina,
em média, são
produzidas 5 uni-
dades com falhas
ao dia com uma
variação de 1 uni-
dade.
[5 ± 1]
2.2.3 Coeficiente de variação
Neste momento, poderemos questionar: quando um desvio-
-padrão é grande e quando ele é pequeno? Na verdade, um
desvio padrão pode ser considerado grande ou pequeno de-
pendendo da ordem de grandeza da variável. Por esse motivo,
quando desejamos comparar a variabilidade entre métodos,
ou ainda entre grupos de valores, é indicada a utilização do
Coeficiente de Variação que representa o desvio-padrão ex-
presso como uma porcentagem da média.
34 Tratamento de Dados
Notação:
C.V. – Coeficiente de variação
Fórmula:
C. V. =
s
× 100
x
Onde:
– média da amostra
s – desvio-padrão
No exemplo da comparação das filiais:
MÁQUINA A
C. V. =
5
× 100
5
C. V. = 100%
MÁQUINA B
C. V. =
0
× 100
5
C. V. = 0%
MÁQUINA C
C. V. =
1
× 100
5
C. V. = 20%
Analisando as medidas de variabilidade, podemos obser-
var que, embora o número médio de unidades com falhas
produzidas pelas três máquinas seja o mesmo, não podemos
considerar a qualidade da produção dessas máquinas a mes-
ma, já que a variabilidade apresenta resultados bem distintos
entre as máquinas.
Uma informação importante que podemos obter a partir do
Coeficiente de variação diz respeito à homogeneidade de um
conjunto de dados comparado a outro, por exemplo, podemos
Capítulo 2 Medidas Estatísticas 35
observar que, dessas filiais, a que possui uma produção de uni-
dades com falhas mais homogênea é a máquina B, pois possui
menor coeficiente de variação (C.V. = 0%), seguida pela má-
quina C (C.V. = 20%) e, por fim, com maior coeficiente de va-
riação e maior heterogeneidade está a máquina A (C.V. = 100).
Maior coeficiente de variação - Dados
mais HETEROGÊNEOS
Menor coeficiente de variação - Dados
mais HOMOGÊNEOS
Figura 5 Interpretação Coeficiente de Variação.
Exemplo
Vamos considerar agora um exemplo em que não tenhamos
que comparar conjunto de valores:
Os dados apresentados a seguir são provenientes de expe-
rimentos realizados com uma marca de concreto para deter-
minar a resistência (kg/cm2) em uma amostra de 6 unidades:
200 kg/cm2 210 kg/cm2 200 kg/cm2
210 kg/cm2 250 kg/cm2 230 kg/cm2
36 Tratamento de Dados
Amostra (n): 6 unidades
Variável (x): resistência do concreto (kg/cm2)
Para estes dados, vamos calcular e interpretar a Média e o
Desvio-padrão:
Média
Variância
Desvio-Padrão
Interpretação: Em média, a resistência dessa marca de con-
creto é de 216,7 kg/cm2 com uma variação de 19,7 kg/cm2.
[216,7 ± 19,7 kg/cm2]
Capítulo 2 Medidas Estatísticas 37
Exemplo para dados agrupados em
tabelas de frequência
Considere a seguinte tabela anteriormente citada referente ao
Número de peças defeituosas encontradas em uma amostra
de 62 lotes produzidos:
Número de peças defeituosas
Nº peças (x) Frequência (f) % x.f
0 5 8,0 0 x 5 = 0
2 25 40,3 2 x 25 = 50
4 30 48,4 4 x 30 = 120
6 2 3,2 6 x 2 = 12
Total 62 (n) 100 182
Para esse exemplo, já havíamos calculado a média:
0 + 50 + 120 + 12
62
x
n
= =
x . fΣ
182
62
x
n
= =
x . fΣ
= 2,9
Agora, vamos calcular a variância e o desvio-padrão. Nes-
se caso, devemos considerar a frequência de cada valor da
variável.
38 Tratamento de Dados
Variância
Número de peças defeituosas
Nº peças (x) Frequência (f) %
0 5 8,0 (0 – 2,9)2. 5 = 42,05
2 25 40,3 (2 – 2,9)2. 25 = 20,25
4 30 48,4 (4 – 2,9)2. 30 = 36,3
6 2 3,2 (6 – 2,9)2. 2 = 19,22
Total 62 (n) 100 117,82
Desvio-padrão
s = 1,4 peças defeituosas
Interpretação: Em média, são produzidas 2,9 peças defeitu-
osas com uma variação de 1,4 peças. [2,9 ± 1,4 peças defei-
tuosas]
Capítulo 2 Medidas Estatísticas 39
Recapitulando
Para o caso em que a variável analisada é QUANTITATIVA,
podemos aprofundar nossa análise a partir das medidas esta-
tística. Essas medidas dividem-se em dois grupos de medidas:
as Medidas de tendência central e as Medidas de variabilidade.
As Medidas de Tendência Central (média, mediana e moda)
são medidas úteis para caracterizar e representar um conjunto
de dados a partir de um único valor, utilizando critérios distin-
tos para isso.
Já as Medidas de Variabilidade (Variância, Desvio-padrão e
Coeficiente de Variação) são extremamente úteis no tratamento de
dados, pois estas indicam a variação existente em torno da média.
Quando realizamos o tratamento estatístico de dados pro-
venientes de variáveis quantitativas, o cálculo e interpretação
dessas medidas fornece informação detalhada e de extrema
importância na tomada de decisão do pesquisador.
Atividades medidas de tendência central e
medidas de variabilidade
Questão 1. Os dados abaixo são referentes às taxas de de-
semprego (em %) em alguns países selecionados:
Grupo 1: Países da América do Sul e América do Norte
Brasil
11.4
Uruguai
12.1
Chile
5.6
Argentina
7.3
Canadá
4.8
EUA
5.3
Venezuela
7.3
40 Tratamento de Dados
Grupo 2: Países da Europa
Espanha
4.8
Portugal
5.2
Itália
4.3
Alemanha
3.8
Suécia
2.5
Inglaterra
5.8
França
3.6
2a) Complete a tabela abaixo com as medidas estatísticas so-
licitadas:
Comparação das taxas de desemprego (em %)
Grupo n Taxa Média Desvio-padrão Coef. Variação
Américas do Sul
e Norte
Europa
2b) Qual dos grupos apresentou resultados mais homogêneos?
a) ( ) Países da América do Sul e América do Norte
b) ( ) Países da Europa
c) ( ) Nenhum dos grupos foi mais homogêneo
Questão 2. A companhia GE Esmaltec usa um processo para
pintar geladeiras com uma camada de esmalte. Durante cada
turno, uma amostra de 5 geladeiras é selecionada e a espes-
sura da pintura (mm) é determinada. Considere os seguintes
dados coletados:
Manhã: 2,7 2,3 2,6 2,4 2,7
Tarde: 2,6 2,3 2,0 2,5 2,4
Noite: 1,8 2,8 2,3 1,6 2,9
Capítulo 2 Medidas Estatísticas 41
a) Calcule as medidas descritivas: média e desvio-padrão da
espessura da pintura para cada turno.
b) Qual turno apresentou resultados mais homogêneos?
Questão 3. Um fabricante de molas está interessado em im-
plementar um sistema de controle de qualidade para monitorar
seu processo de produção. Para isso, foi registrado o número
de molas fora da conformidade em cada lote de produção. Os
dados apresentados na tabela de frequência abaixo referem-
-se a 20 lotes selecionados, observando-se o número de mo-
las fora da conformidade.
Tabela 1 Número de molas fora de conformidade
Número de molas f %
6 3 15,0
7 6 30,0
8 4 20,0
9 3 15,0
12 4 20,0
Total 20 100,0
a) Calcule e interprete as medidas descritivas: média e des-
vio-padrão para esses dados.
42 Tratamento de Dados
Questão 4. A capacidade em litros dos porta-malas dos car-
ros populares produzidos no Brasil foi investigada, obtendo-se
os seguintes dados:
Corsa: 240 litros Uno: 224 litros Hobby: 325 litros Gol: 146
litros
a) Calcule e interprete a Mediana para esses dados.
b) Calcule e interprete a média e o desvio-padrão para esses
dados.
Gabarito das atividades propostas
Questão 1
a) Comparação das taxas de desemprego (em %)
Grupo n Taxa Média Desvio-padrão Coef. Variação
Américas do
Sul e Norte
7 7,7% 2,9% 37,7%
Europa 7 4,3% 1,1% 25,6%
b) O mais homogêneo foi o grupo dos países da Europa,
pois possui menor Coeficiente de
variação.
Questão 2
a) Manhã:
Média = 2,5 mm
Desvio-padrão = 0,19 mm
CV = 7,6%
Capítulo 2 Medidas Estatísticas 43
Tarde:
Média = 2,4 mm
Desvio-padrão = 0,23 mm
CV = 9,6%
Noite:
Média = 2,3 mm
Desvio-padrão = 0,58 mm
CV = 25,2%
b) O turno da manhã, pois o seu coeficiente de variação
(CV) foi o menor, comparado com os dos demais turnos.
Questão 3
Tabela 1 Número de molas fora de conformidade
Número de molas f % x . f (x – x–)2. f
6 3 15,0 6 x 3 = 18 (6 – 8,4)2 . 3 = 17,28
7 6 30,0 7 x 6 = 42 (7 – 8,4)2 . 6 = 11,76
8 4 20,0 8 x 4 = 32 (8 – 8,4)2 . 4 = 0,64
9 3 15,0 9 x 3 = 27 (9 – 8,4)2 . 3 = 1,08
12 4 20,0 12 x 4 = 48 (12 – 8,4)2 . 4 = 51,84
Total 20 100,0 167 82,6
Média
167
20
x
n
= =
x . fΣ
= 8,4
44 Tratamento de Dados
Variância
Desvio-padrão
s = 2,1 molas fora da conformidade
Interpretação: Em média, são produzidas, por lote, 8,4 molas
fora da conformidade com uma variação de 2,1 molas. [8,4 ±
2,1 molas fora da conformidade]
Questão 4
a) Calcule e interprete a Mediana para estes dados.
146 224 240 325
Interpretação: Em metade dos carros, a capacidade do porta-
-malas é inferior a 232 litros, e em metade dos carros a capa-
cidade do porta-malas é superior a 232 litros.
b) Calcule e interprete a média e o desvio-padrão para estes
dados.
Média
Capítulo 2 Medidas Estatísticas 45
Variância
Desvio-padrão
Interpretação: Em média, a capacidade do porta-malas des-
ses carros é de 233,8 litros com uma variação de 73,4 litros.
Gráficos de Controle
ÂÂNeste capítulo, iremos abordar a utilização das medi-das estatísticas anteriormente vistas em uma aplica-
ção prática extremamente importante na área da Enge-
nharia: Controle de qualidade. Aqui, será demonstrada a
construção de gráficos de controle e a interpretação das
informações que estes nos fornecem.
O aluno deverá conseguir construir gráficos de contro-
le utilizando, para isso, medidas estatísticas de tendência
central e variabilidade, bem como deverá realizar a corre-
ta interpretação dos mesmos.
Simone Echeveste
Capítulo 3
Capítulo 3 Gráficos de Controle 47
Os gráficos de controle estão inseridos no Controle Estatís-
tico de Qualidade – é um sistema amplo e complexo que tem
por finalidade a inspeção, a análise e a ação corretiva aplica-
dos a um processo produtivo. O processo estará sob controle
quando a variação da qualidade estiver dentro dos limites de
especificação do produto.
Alguns dos princípios fundamentais dos gráficos de
controle:
 Pensar e decidir baseado em dados e fatos.
 Pensar separando a causa do efeito, buscar sempre co-
nhecer a causa fundamental dos problemas.
 Reconhecer a existência da variabilidade na produção e
administrá-la.
 Identificar instantaneamente focos e locais de disfunção
e corrigir os problemas a tempo.
A variação que ocorre em um processo de produção pode
ser desmembrada em duas componentes: uma de difícil con-
trole, chamada variação aleatória; e outra chamada varia-
ção controlável. Assim, a equação da variação total de um
processo pode ser escrita como:
Variação
Aleatória
Variação
Controlável
Variação
Total
48 Tratamento de Dados
Se as variações forem conhecidas, controladas e reduzidas,
os índices de produtos defeituosos certamente se reduzirão. Os
gráficos de controle são utilizados para avaliar se o processo
está sob controle. A partir de sua análise, é possível evitar, re-
duzir ou eliminar não conformidades em tempo real (durante o
processo de produção).
Os gráficos de controle são úteis para:
Monitorar variabilidade do processo
Detectar variabilidade do processo
Auxiliar na eliminação de causas especiais, trazendo o processo para o
estado de controle
Dar indicações de como mudanças podem afetar um processo sob controle
Benefícios dos gráficos de controle
 Podem ser aplicados pelos próprios operários, que po-
derão discutir com os supervisores, engenheiros e técni-
cos por meio da linguagem dos dados fornecidos pelos
gráficos de controle.
 Os gráficos de controle servem para monitoramento do
processo, mostrando a ocorrência de um descontrole
(presença de causas especiais) e/ou a tendência dessa
ocorrência.
 Ao melhorar o processo, os gráficos de controle per-
mitem: aumentar a porcentagem de produtos que sa-
tisfaçam exigências dos clientes; diminuir os índices de
Capítulo 3 Gráficos de Controle 49
retrabalho dos itens produzidos e, consequentemente,
dos custos de produção aumentando a produtividade.
Gráficos de controle para medições
O uso dos gráficos de controle para medições deve ocorrer
sempre que uma característica da qualidade observada é ex-
pressa em unidades reais como peso em quilogramas, compri-
mento em centímetros, temperatura em graus Celsius.
Fornecem informações sobre um processo a partir dos re-
sultados de pequenas amostras coletadas periodicamente em
que, a cada intervalo h, retira-se uma amostra de tamanho n
para análise. Cada grupo fornece uma ideia do que o proces-
so está produzindo naquele momento.
Para a construção de um gráfico controle de variáveis, são
coletados dados de subgrupos de pequenas amostras de n =
4 ou 5 itens extraídos a intervalos regulares (de hora em hora,
dia a dia etc.). O intervalo adequado para extração das amos-
tras depende de cada processo de fabricação.
Símbolos Importantes:
n = tamanho da amostra
k = número (quantidade) de amostras
= média das médias das amostras (média global)
R = amplitude amostral média
= média das amplitudes
d2, A3, D3, D4 = fatores de correção tabelados
50 Tratamento de Dados
Passo a passo: Gráfico de controle para
média e amplitude
1º) Determinar o tamanho das amostras n (usualmente 4 ou
5) e a quantidade K das amostras (no mínimo 25, ou 20,
respectivamente).
2º) Calcular para cada amostra a média e a amplitude R:
3º) Calcular para todas as k amostras obtidas a Média das
Médias e a Média das amplitudes :
4º) Calcular o desvio-padrão das médias
Capítulo 3 Gráficos de Controle 51
Tamanho das amostras (n)
Fator de Correção
D3 D4 D c4 d2
2 0 3,267 0,709 0,798 1,128
3 0 2,574 0,524 0,886 1,693
4 0 2,282 0,446 0,921 2,059
5 0 2,114 0,403 0,94 2,326
6 0 2,004 0,375 0,952 2,534
7 0,076 1,924 0,353 0,959 2,704
8 0,136 1,864 0,338 0,965 2,847
9 0,184 1,816 0,325 0,969 2,970
10 0,223 1,777 0,314 0,973 3,078
Figura 6 Fator de Correção para gráfico de controle das Médias.
5º) Calcular os Limites
 Limite Superior de Controle (LSC)
 Linha Média (LM)
 Limite Inferior de Controle (LIC)
52 Tratamento de Dados
6º) Plotar o gráfico no Excel
90
85
80
75
70
65
60
55
50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Amostra
Média
LSC
LM
LIC
7º) O gráfico obtido constitui a norma de controle de fabrica-
ção; permitirá acompanhar o processo.
8º) Por fim, construir o gráfico de controle para R – amplitude
 Limite Superior de Controle (LSC)
 Linha Média (LM)
 Limite Inferior de Controle (LIC)
Capítulo 3 Gráficos de Controle 53
Exemplo 1
A cada 2 horas de atividade, uma amostra de 5 peças é me-
dida e dentre as características de qualidade monitoradas está
o peso de um dos componentes plásticos que são fabricados
por sopro. Foram extraídas 10 amostras (cada uma com as
respectivas 5 peças), foram pesadas e indicaram os resultados
descritos abaixo:
Amostra Pesos Observados (n = 5)
1 65 70 75 60 80
2 75 70 80 90 70
3 80 70 70 80 80
4 65 65 65 80 65
5 80 60 80 80 75
6 75 70 60 85 75
7 80 75 65 75 70
8 70 65 75 65 85
9 85 85 75 65 80
10 65 65 65 80 60
Atenção:
K = 10 amostras extraídas
n = 5 peças em cada amostra
- Calcular para cada amostra a média e a amplitude R:
R = xmax – xmin
54 Tratamento de Dados
Amostra Pesos Observados (n = 5) Soma Média (x–) Amplitude (R)
1 65 70 75 60 80 350 70 20
2 75 70 80 90 70 385 77 20
3 80 70 70 80 80 380 76 10
4 65 65 65 80 65 340 68 15
5 80 60 80 80 75 375 75 20
6 75 70 60 85 75 365 73 25
7 80 75 65 75 70 365 73 15
8 70 65 75 65 85 360 72 20
9 85 85 75 65 80 390 78 20
10 65 65 65 80 60 335 67 20
- Calcular para todas as k amostras obtidas a Média das
Médias e a Média das amplitudes
- Calcular o desvio-padrão das médias
Como obter o valor para d2
Fator de Correção para gráfico de controle das Médias
Tamanho das
amostras (n)
Fator de Correção
D3 D4 D c4 d2
4 0 2,282 0,446 0,921 2,059
5 0 2,114 0,403 0,94 2,326
6 0 2,004 0,375 0,952 2,534
7 0,076 1,924 0,353 0,959 2,704
Capítulo 3 Gráficos de Controle 55
- Calcular os Limites
Limite Superior de Controle (LSC)
Linha Média (LM)
Limite Inferior de Controle (LIC)
Amostra Média LCS LM LCI
1 70 83,57 72,9 62,23
2 77 83,57 72,9 62,23
3 76 83,57 72,9 62,23
4 68 83,57 72,9 62,23
5 75 83,57 72,9 62,23
6 73 83,57 72,9 62,23
7 73 83,57 72,9 62,23
8 72 83,57 72,9 62,23
9 78 83,57 72,9 62,23
10 67 83,57 72,9 62,23
56 Tratamento de Dados
- Construir o gráfico de controle para a Média
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
LSC
Média
LM
LIC
- Gráfico de controle para R – Amplitude
 Limite Superior de Controle (LSC)
Como obter o valor para D4
Fator de Correção para gráfico de controle das Médias
Tamanho das
amostras (n)
Fator de Correção
D3 D4 D c4 d2
4 0 2,282 0,446 0,921 2,059
5 0 2,114 0,403 0,94 2,326
6 0 2,004 0,375 0,952 2,534
7 0,076 1,924 0,353 0,959 2,704
 Linha Média (LM)
Capítulo 3 Gráficos de Controle 57
 Limite Inferior de Controle (LIC)
Como obter o valor para D3
Fator de Correção para gráfico de controle das Médias
Tamanho das amostras
(n)
Fator de Correção
D3 D4 D c4 d2
4 0 2,282 0,446 0,921 2,059
5 0 2,114 0,403 0,94 2,326
6 0 2,004 0,375 0,952 2,534
7 0,076 1,924 0,353 0,959 2,704
Amostra Amplitude R LSC LM LIC
1 20 39,11 18,5 0
2 20 39,11 18,5 0
3 10 39,11 18,5 0
4 15 39,11 18,5 0
5 20 39,11 18,5 0
6 25 39,11 18,5 0
7 15 39,11 18,5 0
8 20 39,11 18,5 0
9 20 39,11 18,5 0
10 20 39,11 18,5 0
58 Tratamento de Dados
- Construir o Gráfico de controle para R – Amplitude
Gráfico de controle para amplitude
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-5
-10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
LSC
Amplitude R
LM
LIC
Avaliação dos gráficos de controle
Processo sob controle: é aquele cujos resultados de medição apresentam
variação dentro dos limites de controle.
 Se os pontos estão dentro dos limites, não é necessário
intervir no processo.
 A variação é decorrente de causas aleatórias.
 Se um ponto cai fora desses limites: deve-se intervir no
processo, pois o afastamento excessivo desse ponto
em relação à linha média provavelmente é devido
a uma causa especial.
Capítulo 3 Gráficos de Controle 59
Exemplo de um processo que está FORA de controle
50
55
60
65
70
75
80
85
90
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Amostra
Média
LCI
LM
LCS
Recapitulando
Os gráficos de controle correspondem a uma das ferramen-
tas mais úteis no controle de um processo, pois permitem a
identificação de causas que não são naturais ao processo de
produção e que podem prejudicar a qualidade de um produto.
Após a identificação de um processo fora de controle, po-
deremos agir nas causas e melhorar continuamente o proces-
so de produção garantindo a qualidade desejada no produto
final.
60 Tratamento de Dados
Atividades gráficos de controle
Questão 1. Considere os dados apresentados a seguir de 12
amostras de tamanho 5, para os quais foi medido o volume
em saquinhos de 1 litro de leite. Construa o gráfico de controle
para a Média e para a Amplitude com esses dados e verifique
se o processo está sob controle.
Amostra Medidas (litros de leite)
1 1003,2 1004,4 993,5 994,6 997,6
2 1002,3 999,0 1000,8 1000,7 998,0
3 998,3 998,1 1004,2 1002,1 991,3
4 1002,2 996,6 1002,7 1004,2 1001,8
5 998,3 997,5 1006,1 996,5 998,1
6 995,8 1000,8 999,1 1002,5 1001,0
7 1004,1 1003,0 1004,8 997,9 999,9
8 1000,1 994,9 1000,1 1004,9 997,3
9 1000,2 996,1 998,0 1006,1 999,4
10 996,2 1017,3 993,6 996,5 1003,7
11 1014,0 1008,9 1004,1 1007,9 1000,7
12 997,1 1000,7 999,8 1000,6 1001,7
Questão 2. Responda: quais são os princípios fundamentais
dos gráficos de controle?
Capítulo 3 Gráficos de Controle 61
Questão 3. Os gráficos de controle são utilizados para:
a. ( ) Identificar exatamente o que está causando algum tipo
de problema no processo.
b. ( ) Identificar o tipo de defeito nas unidades produzidas.
c. ( ) Auxiliar na eliminação de causas especiais, trazendo o
processo para o estado de controle.
d. ( ) Analisar a melhor forma de efetuar o controle estatístico
do processo.
Questão 4. A variação que ocorre em um processo de pro-
dução pode ser desmembrada em duas componentes, quais
são elas?
Questão 5. Um processo está sob controle quando:
a. ( ) Os resultados de medição apresentam variação dentro
dos limites de controle.
b. ( ) O desvio-padrão encontrado é menor que a média da
variável.
c. ( ) A variação aleatória é conhecida durante todo o pro-
cesso.
d. ( ) Não há ocorrência registrada de danos nas unidades
produzidas.
62 Tratamento de Dados
Gabarito atividades propostas
Questão 1
Amostra Medidas (litros de leite) Amplitude (R) Média (x–)
1 1003,2 1004,4 993,5 994,6 997,6 10,9 998,7
2 1002,3 999,0 1000,8 1000,7 998,0 4,3 1000,2
3 998,3 998,1 1004,2 1002,1 991,3 12,9 998,8
4 1002,2 996,6 1002,7 1004,2 1001,8 7,6 1001,5
5 998,3 997,5 1006,1 996,5 998,1 9,6 999,3
6 995,8 1000,8 999,1 1002,5 1001,0 6,7 999,8
7 1004,1 1003,0 1004,8 997,9 999,9 6,9 1001,9
8 1000,1 994,9 1000,1 1004,9 997,3 10,0 999,5
9 1000,2 996,1 998,0 1006,1 999,4 10,0 1000,0
10 996,2 1017,3 993,6 996,5 1003,7 23,7 1001,5
11 1014,0 1008,9 1004,1 1007,9 1000,7 13,3 1007,1
12 997,1 1000,7 999,8 1000,6 1001,7 4,6 1000,0
Resultados para o gráfico de controle para a média
Média LIC LM LSC
998,7 994,9 1000,7 1006,5
1000,2 994,9 1000,7 1006,5
998,8 994,9 1000,7 1006,5
1001,5 994,9 1000,7 1006,5
999,3 994,9 1000,7 1006,5
999,8 994,9 1000,7 1006,5
1001,9 994,9 1000,7 1006,5
999,5 994,9 1000,7 1006,5
1000,0 994,9 1000,7 1006,5
1001,5 994,9 1000,7 1006,5
1007,1 994,9 1000,7 1006,5
1000,0 994,9 1000,7 1006,5
Capítulo 3 Gráficos de Controle 63
Resultados para o gráfico de controle para a amplitude
LSC Amplitude (R) LM LIC
21,2 10,9 10,04 0
21,2 4,3 10,04 0
21,2 12,9 10,04 0
21,2 7,6 10,04 0
21,2 9,6 10,04 0
21,2 6,7 10,04 0
21,2 6,9 10,04 0
21,2 10 10,04 0
21,2 10 10,04 0
21,2 23,7 10,04 0
21,2 13,3 10,04 0
21,2 4,6 10,04 0
Gráfico de controle para média
985
990
995
1000
1005
1010
1015
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
LSC
Média
LM
LIC
64 Tratamento de Dados
O processo está fora do controle!
Gráfico de controle para amplitude
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
LSC
Amplitude ( R )
LM
LIC
O processo está fora do controle!
Questão 2
Resposta: pensar e decidir baseado em dados e fatos; pensar
separando a causa do efeito, buscar sempre conhecer a causa
fundamental dos problemas; reconhecer a existência da varia-
bilidade na produção e administrá-la e Identificar instantane-
amente focos e locais de disfunção
e corrigir os problemas a
tempo.
Questão 3
c. ( x ) Auxiliar na eliminação de causas especiais, trazendo o
processo para o estado de controle.
Capítulo 3 Gráficos de Controle 65
Questão 4 Uma de difícil controle que é a variação aleatória
e outra chamada variação controlável.
Questão 5 Um processo está sob controle quando:
a.( x ) Os resultados de medição apresentam variação dentro
dos limites de controle.
Como construir gráficos de
controle no Excel
Após a realização dos cálculos para determinar os limites para
o gráfico, em uma planilha do Excel, coloque as informações
obtidas da seguinte forma:
66 Tratamento de Dados
Vá até a barra de ferramentas na opção Inserir – gráfico
de linhas -
Probabilidade
ÂÂ Este capítulo tem por objetivo apresentar os conceitos básicos de probabilidade, viabilizando ao aluno o ra-
ciocínio lógico e probabilístico na resolução de proble-
mas. Ao final deste estudo, espera-se que o aluno resolva
problemas aplicando, para isso, os conhecimentos bási-
cos de probabilidade aprendidos.
Simone Echeveste
Capítulo 4
68 Tratamento de Dados
Conceitos básicos de probabilidade
A Teoria das Probabilidades se apresenta como um estudo
teórico de fenômenos envolvendo a incerteza, utilizando fer-
ramentas básicas do Cálculo Matemático. Esses fenômenos,
conhecidos como aleatórios, estocásticos ou não determinísti-
cos, são aqueles que a sua repetição, em condições idênticas,
produz resultados diferenciados, isto é, não é possível determi-
nar, com exatidão, qual o seu resultado.
A Probabilidade é o ramo da matemática que trata de fenô-
menos aleatórios. A observação de um fenômeno aleatório
por parte do homem é chamada de experimento aleatório.
Características de um experimento aleatório:
1ª) Não se conhece um particular valor do experimento antes
dele ser executado, porém podemos descrever todos os
possíveis resultados – as possibilidades – o conjunto das
possibilidades de um experimento aleatório é denominado
de Espaço Amostral (S).
2ª) Quando o experimento é repetido algumas vezes, os re-
sultados ocorrem de uma forma aparentemente acidental.
Mas quando o número de repetições aumenta, uma regu-
laridade aparecerá. E essa regularidade que torna possível
construir um modelo matemático preciso para analisar o
experimento.
Capítulo 4 Probabilidade 69
Definição de probabilidade
Na definição clássica de probabilidade, considerando que
todos os resultados possíveis são equiprováveis, podemos de-
finir probabilidade de um evento qualquer A como:
Exemplo
Considere uma caixa contendo 10 brindes: 4 livros, 2 celula-
res, 1 rádio e 3 perfumes. Você tem direito a um desses brindes
que serão sorteados. Qual a probabilidade de você:
a) Ganhar um livro?
b) Ganhar um celular?
c) Ganhar um rádio ou um celular?
d) Não ganhar perfume?
Resolução:
Vamos considerar então que, ao todo, nessa caixa, temos 10
brindes dos quais apenas 1 deles será seu. Então o Espaço
amostral (conjunto de todos os possíveis resultados de um ex-
perimento) pode assim ser definido:
S = { livro, celular, rádio, perfume}
70 Tratamento de Dados
a) Ganhar um livro
Como temos na caixa 4 livros em um total de 10 brindes, a
probabilidade de ganhar um livro é:
b) Ganhar um celular
c) Ganhar um rádio ou um celular
d) Não ganhar perfume
Não esqueça!
A probabilidade de um evento A deve ser sempre:
0 ≤ P(A) ≤ 1
ou ainda
0% ≤ P(A) ≤ 100%
Capítulo 4 Probabilidade 71
Propriedades da probabilidade
Propriedade 1: Probabilidade Complementar
A probabilidade complementar de A É o evento formado por
todos os resultados do espaço amostral que não pertencem à
A. A probabilidade de não ocorrência de A é descrita como
)(AP e é expressa da forma:
)(1)( APAP −=
Propriedade 2: Regra da Adição
 Se A e B são dois eventos independentes, então:
A B
P(A ou B) = P(A) + P(B)
Exemplo
Ao retirar uma carta do baralho, considere os eventos: A –
retirar um Ás e R – retirar um Rei. Qual a probabilidade de
selecionar aleatoriamente uma carta desse baralho e ela ser
um Ás ou um Rei?
P(A ou R) = P(A) + P(R) = 4/52 + 4/52 = 8/52 = 0,1538
72 Tratamento de Dados
 Se A e B são dois eventos dependentes, então:
A B
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
Exemplo
Ao retirar uma carta do baralho, considere os eventos: A – re-
tirar um Ás e E – retirar uma carta no naipe Espadas. Qual a
probabilidade de selecionar aleatoriamente uma carta desse
baralho e ela ser um Ás ou uma carta do naipe de espadas?
P(A ou E) = P(A) + P(E) – P(A e E)
4/52 + 13/52 – 1/52 =
16/52 = 0,3077
Atenção!
Dois eventos são independentes quando a ocorrência ou não
de um evento não tem efeito algum na probabilidade de ocor-
rência do outro evento. Dois eventos são dependentes quando
a ocorrência ou não ocorrência de um evento afeta a probabi-
lidade de ocorrência do outro.
Capítulo 4 Probabilidade 73
Mais exemplos de aplicação das
propriedades
Questão 1
De 300 estudantes do curso de Engenharia, 100 são matricu-
lados em Geometria Analítica e 80 em Estatística. Esses dados
incluem 30 estudantes que estão matriculados em ambas as
disciplinas. Qual a probabilidade de um estudante de enge-
nharia selecionado ao acaso estar matriculado em Geometria
Analítica ou Estatística?
Vamos considerar os eventos:
GA – estar matriculado em Geometria Analítica
E – estar matriculado em Estatística
Qual a probabilidade de um estudante de engenharia se-
lecionado ao acaso estar matriculado em Geometria Analítica
ou Estatística?
74 Tratamento de Dados
Questão 2
De 100 pessoas que solicitaram emprego de engenheiro de
produção, durante o ano passado, 65 possuíam experiência
anterior e 30 possuíam um certificado profissional. Vinte dos
candidatos possuíam tanto experiência anterior como certifi-
cado profissional. Qual a probabilidade de um candidato se-
lecionado ao acaso desse grupo ter experiência anterior ou
certificado profissional?
Vamos considerar os eventos:
EA – possuir experiência anterior
CP – possuir certificado profissional
Qual a probabilidade de um candidato selecionado ao
acaso desse grupo ter experiência anterior ou certificado pro-
fissional?
Capítulo 4 Probabilidade 75
Propriedade 3: Regra da Multiplicação
 Se A e B são dois eventos independentes, então:
P(A e B) = P(A) x P(B)
Exemplo
Em uma linha de produção, a probabilidade de uma peça fa-
bricada estar fora das especificações em relação a sua largura
é 2%, em relação ao seu comprimento é 5%. Considere que a
ocorrência de defeito na largura ou comprimento acontece de
forma independente. Uma peça foi aleatoriamente selecionada
dessa linha de produção e seu comprimento e largura verificados
pelo controle de qualidade, qual a probabilidade dessa peça:
a) Apresentar defeito na largura e no comprimento
P(DL e Dc) = 0,02 x 0,05 = 0,001
b) Apresentar defeito apenas na largura
P(DL e Pc) = 0,02 x 0,95 = 0,019
c) A peça ser perfeita na largura e no comprimento
P(PL e Pc) = 0,98 x 0,95 = 0,931
d) A peça apresentar pelo menos um desses defeitos
P(DL e Pc) ou P(PL e Dc) ou P(DL e Dc)=
(0,02 x 0,95) + (0,98 x 0,05) + (0,02 x 0,05) =
76 Tratamento de Dados
0,019 + 0,049 + 0,001 = 0,069
Propriedade 4: Probabilidade Condicional
 Se A e B são dois eventos dependentes, então:
Quando dois eventos são dependentes, o conceito de pro-
babilidade condicional é empregado para indicar a probabi-
lidade de ocorrência de um evento relacionado. A expressão
P(B/A) indica a probabilidade de ocorrer o evento B, dado que
tenha ocorrido o evento A .
P(A e B) = P(A) x P(B/A)
Onde:
P(A)
B) eP(A
P(B/A) =
Exemplo
Um lote de 10 peças produzidas por
uma fábrica contém 8
peças boas e 2 defeituosas. Duas peças são retiradas alea-
toriamente sem reposição pelo comprador do lote. Qual é a
probabilidade de:
a) As duas peças serem boas
P(B1 e B2) = P(B1) x P(B2/B1) = 8/10 x 7/9 = 56/90 = 0,6222
b) A primeira peça ser boa e a segunda defeituosa
P(B1 e D2) = P(B1) x P(D2/B1) = 8/10 x 2/9 = 16/90 = 0,1777
c) As duas peças serem defeituosas
P(D1 e D2) = P(D1) x P(D2/D1) = 2/10 x 1/9 = 2/90 = 0, 0222
Capítulo 4 Probabilidade 77
ÁRVORE DE PROBABILIDADES
8 Boas
2 Defeituosas
__________
10 peças
Boa
8/10
Defeituosa
2/10
Boa
7/9
Boa
8/9
Defeituosa
2/9
Defeituosa
1/9
1ª Peça
2ª Peça
Mais exemplos de aplicação das
propriedades
Questão 1
Um sistema tem dois componentes A e B que operam inde-
pendentemente. Suponha que a probabilidade de falha do
componente A seja 10% e do componente B 20%. Qual é a
probabilidade de:
a) A falha do sistema ocorrer em ambos componentes
78 Tratamento de Dados
b) A falha do sistema ocorrer apenas no componente A
Utilizando a propriedade 1 da probabilidade complementar:
Então
A falha do sistema ocorrer apenas no componente A:
c) Não ocorrer falha no sistema
Então
Não ocorrer falha no sistema
Questão 2
Dos eleitores de certa comunidade, 33% são homens e 10%
dos eleitores votaram em branco na última eleição. Supondo
Capítulo 4 Probabilidade 79
que esses eventos sejam independentes, determine a probabi-
lidade de escolher aleatoriamente um homem e este ter votado
em branco na última eleição.
Considere os eventos:
H – ser homem
B – votar em branco
Recapitulando
O estudo da probabilidade viabiliza o entendimento das chan-
ces associadas aos fenômenos aleatórios presentes em várias
atividades do nosso dia a dia.
A definição clássica de uma probabilidade é
Para a resolução dos problemas, podemos considerar algu-
mas propriedades importantes do cálculo das probabilidades:
Probabilidade Complementar:
)(1)( APAP −=
80 Tratamento de Dados
Regra da Adição:
Se A e B são dois eventos independentes: P(A ou B) = P(A) + P(B)
Se A e B são dois eventos dependentes: P(A ou B) = P(A) +
P(B) – P(A e B)
Regra da Multiplicação:
Se A e B são dois eventos independentes: P(A e B) = P(A) x P(B)
Se A e B são dois eventos dependentes: P(A e B) = P(A) x P(B/A)
Onde:
P(A)
B) eP(A P(B/A)=
Atividades
Questão 1. Um pacote de sementes de flores contém 4 se-
mentes de flores vermelhas, 3 amarelas, 3 roxas e 1 flor la-
ranja. Escolhida ao acaso, uma semente desse pacote, qual a
probabilidade de:
a) ser de flor vermelha ou laranja?
b) não ser de flor amarela?
c) ser roxa?
Questão 2. A probabilidade de um homem estar vivo daqui a
30 anos é de 40% e de sua mulher é de 65%. Qual a proba-
bilidade de que daqui a 30 anos:
a) Ambos estejam vivos.
b) Somente a mulher esteja viva.
Capítulo 4 Probabilidade 81
Questão 3. Marcelo tem dois velhos automóveis. Nas manhãs
frias, há 20% de probabilidade de um deles não pegar e 30%
do outro não pegar. Em uma manhã fria, qual a probabilidade
de nenhum dos carros pegar?
Questão 4. Uma urna contém 7 moedas de 50 centavos e 5 mo-
edas de 10 centavos. Duas moedas são retiradas ao acaso, sem
reposição. Qual a probabilidade de se retirar dessa urna 1 real.
Questão 5. Verificou-se que, na exportação de um artigo de
higiene, problemas relacionados à embalagem ocorrem com
probabilidade de 0,02, e que problemas relacionados à con-
sistência desse produto ocorrem com uma probabilidade de
0,05. Considerando que esses problemas ocorrem de forma
independente do outro, qual é a probabilidade de ao sele-
cionar ao acaso um desses artigos de higiene este apresentar
pelo menos um desses problemas?
Gabarito
Questão 1
a) P(V ou L) = 5/11 = 0,4545
b) P(não Amarela) = 8/11 = 0,7272
c) P(R) = 3/11 = 0,2727
Questão 2
a) P(Ambos estejam vivos) = 0,26
b) P(Somente a mulher esteja viva) = 0,39
82 Tratamento de Dados
Questão 3
P(Nenhum pegar) = 0,60
Questão 4
P(50 centavos) = 7/12 = 0,5833 P(10 centavos) = 5/12 = 0,4167
p(1 real) = p(50 e 50) = 0,5833 x 0,5833 = 0,3403
Questão 5
P(Embalagem) = 0,02 P(Consistência) = 0,05
P(E e C) = P(E) X P(C) = 0,02 X 0,05 = 0,001
Distribuições de
Probabilidade
ÂÂ Este capítulo tem por objetivo apresentar as principais distribuições de probabilidades aplicadas à área da
Engenharia, trazendo exemplos da área. O aluno deverá
conseguir identificar, para cada situação, a distribuição de
probabilidade indicada para resolvê-la bem como aplicar
corretamente os modelos na resolução dos problemas.
Simone Echeveste
Capítulo 5
84 Tratamento de Dados
Uma distribuição de probabilidades é caracterizada pela
construção de um modelo matemático que representa para
uma variável aleatória “X” as probabilidades associadas aos
possíveis valores que essa variável pode assumir. Seu objeti-
vo é determinar a probabilidade de ocorrência de cada valor
que uma variável aleatória pode assumir, ou seja, é uma cor-
respondência que associa probabilidades aos valores de uma
variável aleatória, ou ainda, é uma Função que relaciona a
probabilidade de ocorrência de um valor da variável aleatória:
P(X=x) = f(x)
5.1 Distribuição binomial
A distribuição Binomial é útil para avaliar experimentos em que so-
mente dois resultados são possíveis: sucesso ou fracasso que são
mutuamente excludentes. As características dessa distribuição são:
Características:
 O experimento pode ser repetido “n” vezes em condi-
ções essencialmente inalteradas;
 Há apenas dois resultados possíveis em cada repetição,
denominados sucesso (p) e fracasso (1-p)
 As probabilidades “p” (sucesso) e “1-p” (fracasso) per-
manecem constantes em todas as repetições.
 As repetições são independentes, ou seja, o resultado de
uma repetição não é influenciado por outros resultados.
Capítulo 5 Distribuições de Probabilidade 85
O modelo binomial
Exemplo 1
A probabilidade da ocorrência de peças defeituosas em um
lote produzido por uma fábrica é de 5%. Cinco lotes são inves-
tigados, qual é a probabilidade de:
a) Somente um lote contenha uma peça defeituosa
n = 5 lotes
x = nº lotes com peças defeituosas
p = 0,05 (5%)
(1-p) = 1- 0,05 = 0,95 (95%)
Pede-se: somente um lote contenha peças defeituosas –
P(x = 1)
86 Tratamento de Dados
b) Nenhum lote contenha peças defeituosas
n = 5 lotes
x = nº lotes com peças defeituosas
p = 0,05 (5%)
(1-p) = 1- 0,05 = 0,95 (95%)
Pede-se: nenhum lote contenha peças defeituosas – P(x = 0)
Exemplo 2
A probabilidade de ocorrer problemas na direção hidráulica
de um caminhão de uma determinada marca é de 0,10. Con-
siderando uma frota de 8 caminhões dessa marca, qual é a
probabilidade de que metade deles venha a ter problemas na
direção hidráulica?
X = Nº de caminhões com problemas na direção hidráulica
p = 0,10 (a probabilidade de um caminhão ter problemas na
direção hidráulica)
(1-p) = 0,90
n = 8 caminhões
Capítulo 5 Distribuições de Probabilidade 87
Pede-se:
P(metade da frota de 8 caminhões apresentar problemas na
direção hidráulica) P(x=4)
Resolução:
P(x= 4) = 0,0046 0,6561 . 0,0001 . 70 .0,90.0,10
4!.4!
8! 44 ==
P(x= 4) = 0,0046
Média ou valor esperado da distribuição binomial
Se a variável aleatória X possui distribuição Binomial, então
sua média e seu desvio-padrão podem ser definidos como:
)1.(. ppn –=σpnxE .)( ==µ
Média Desvio -padrão
Exemplo
Vamos considerar o exemplo anteriormente visto: a probabi-
lidade de ocorrer problemas na direção hidráulica de um ca-
minhão de uma determinada
marca é de 0,10. Considerando
uma frota de 8 caminhões dessa marca, qual é a probabili-
dade de que metade deles venha a ter problemas na direção
hidráulica?
88 Tratamento de Dados
A média de caminhões com problemas na direção hidráu-
lica, ou ainda o valor esperado de caminhões com problemas
na direção hidráulica seria de:
E o desvio-padrão:
5.2 Distribuição Poisson
Depois da Binomial, a distribuição de Poisson é a distribuição
de probabilidade discreta mais utilizada, pois pode ser apli-
cada a muitos casos práticos nos quais interessa o número de
vezes que um determinado evento pode ocorrer durante um
intervalo de tempo ou em um determinado ambiente físico,
por exemplo:
 O número de acidentes de carros por dia em uma gran-
de cidade.
 O número de garrafas mal fechadas por trinta minutos
na máquina de enchimento de cerveja.
 O número de defeitos de soldagem em seis metros de
tubo.
Em um processo de Poisson, podem ser observados eventos
discretos em uma área de oportunidade de tal forma que, re-
Capítulo 5 Distribuições de Probabilidade 89
duzindo suficientemente essa área de oportunidade, que pode
ser um intervalo de tempo, espaço, ou área na qual mais de
uma ocorrência de um evento pode ocorrer:
Características da distribuição Poisson
 A probabilidade de observar apenas um sucesso no in-
tervalo é estável.
 A probabilidade de observar mais de um sucesso no in-
tervalo é zero.
 A ocorrência de um sucesso em qualquer intervalo é es-
tatisticamente independente da ocorrência em qualquer
outro intervalo.
A distribuição de Poisson é caracterizada apenas pelo pa-
râmetro λ.
Enquanto a variável aleatória do processo de Poisson “X”
se refere ao número de sucessos por área de oportunidade, o
parâmetro λ se refere ao valor esperado, ou média, do núme-
ro de sucessos por área de oportunidade.
O modelo Poisson
A probabilidade de ocorrerem exatamente “x” eventos é dada
por:
90 Tratamento de Dados
Onde:
P(x) = a probabilidade de x ocorrências em um intervalo
p = número de ocorrências por unidade (tempo ou espaço)
λ = valor esperado ou número médio de ocorrências em um
intervalo
e ≅ 2,71828 (número de Euler)
Exemplo 1
Em uma linha de produção, uma peça é finalizada a uma taxa
λ = 2 peças por minuto. Qual a probabilidade de que, nessa
mesma linha, sejam finalizadas 8 peças no próximo 1 minuto?
x = Nº peças finalizadas
n = 1 minuto
p =
λ = n . p =
Pede-se:
P(x = 8 peças finalizadas)
Capítulo 5 Distribuições de Probabilidade 91
Exemplo 2
Os defeitos na produção de espumas para revestimentos ocor-
rem a uma taxa de 2 defeitos a cada 10 metros. Determine
a probabilidade de que, em três metros ocorram: a) nenhum
defeito; b) 3 defeitos.
Informações Importantes:
x = nº de defeitos
p = = 0,2
n = 3 metros
λ = n . p =
a) Nenhum defeito
Pede-se: P(x = 0)
b) Ocorram 3 defeitos
Pede-se: P(x = 3)
5.3 Distribuição Normal
A distribuição Normal é o modelo probabilístico mais utilizado
no tratamento estatístico de dados, pois diversas ferramentas
92 Tratamento de Dados
estatísticas necessitam da suposição de que os dados se distri-
buam normalmente para ser utilizadas.
A sua função densidade de probabilidade f(x) é dada por:
2
2
2
)(
2
1)( σ
µ−
−
σπ
=
x
exf ; para –∞ < x < ∞, –∞ < µ < ∞ e σ2 > 0
Os parâmetros da Normal são a média (µ) e o desvio-
-padrão (σ), que permitem infinitas curvas normais com dife-
rentes formatos (mas sempre simétricas). O gráfico da função
densidade de probabilidade é apresentado a seguir:
Distribuição Normal
.500
.450
.400
.350
.300
.250
.200
.150
.100
.050
.000
µ − 4σ µ − 3σ µ − 2σ µ − 1σ µ µ + 1σ µ + 2σ µ + 3σ µ + 4σ
Figura 7 Gráfico da Curva Normal.
Características da distribuição normal
 Sua curva de probabilidades tem forma de sino.
 A área total sob a curva é igual a 1.
Capítulo 5 Distribuições de Probabilidade 93
 No ponto mais alto na curva, encontra-se a média da
distribuição.
 A curva é simétrica em relação à média.
 O desvio padrão determina a largura da curva. Quanto
maior o desvio padrão, mais larga e mais plana tende a
ser a curva, mostrando a variabilidade nos dados.
 As probabilidades para a variável aleatória normal são
dadas por áreas sob a curva.
A distribuição Normal, independentemente dos valores dos
parâmetros, apresenta sempre a seguinte relação:
f (x) Distribuição Normal
68,26%
95,46%
99,73%
µ ± 1σ
µ ± 2σ
µ ± 3σ
µ x
Figura 8 Áreas importantes da Curva Normal.
94 Tratamento de Dados
Distribuição normal-padrão ou
normal reduzida – Z
A função densidade de probabilidade f(x) da distribuição nor-
mal depende dos valores de µ e σ, por essa razão teremos vá-
rias equações para vários diferentes valores de µ e σ. Todas as
curvas normais representativas de distribuições de frequências
podem ser transformadas em uma curva normal padrão, usan-
do-se a média µ e o desvio padrão σ da variável em estudo.
Para evitar cálculos com a integração, uma tabela única foi
desenvolvida para uma variável aleatória agora chamada de
“Z” com µ=0 e σ=1, e sua distribuição de probabilidades é
definida como normal padronizada, ou ainda normal padrão.
Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com
quaisquer parâmetros média µ e desvio-padrão σ. Para reali-
zar o processo de padronização, devemos realizar a seguinte
transformação:
σ
µ−
=
xZ
Onde:
x = valor de interesse da variável
µ = média da variável
σ = desvio-padrão da variável
Após a padronização, poderemos obter as probabilidades
associadas a cada área a partir da Tabela Normal padrão
apresentada a seguir:
Capítulo 5 Distribuições de Probabilidade 95
Tabela da Distribuição Normal Padrão P(Z<z) – VALORES POSITIVOS
z 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936Compartilhar
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