LISTA 1 CA LCULO 1 2017.2

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LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 01 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
 
Conteúdo: Derivadas e Aplicações de Derivadas 
Professoras: Ella Rodrigues de Araújo e Ivana Barreto Matos 
Aluno(a): _________________________________________________________________ Semestre: 2017.2 
 
 
QUESTÃO 1 
Usando a definição de derivada, 
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)('
0
, determine a derivada das seguintes 
funções: 
 
(a) f(x) = 3x + 2 (b) f(x) = 1 – 4x2 
 
QUESTÃO 2 
Derive as funções seguintes usando as regras estudadas. Simplifique sua resposta. 
(a) f(x) = 
x
x
x
x
32
3
1
5
3
−+− (b)
13
2
2
2
+
−
=
x
xy 
(c) y = (2x + 5)3(x + 1)2 (d) 1)( 2 += xxf 
(e) f(x) = (5x4 – 3x2 + 2x + 1)10 ‘ (f) 
2
1
1






−
+
=
x
xy 
 
QUESTÃO 3 
 
Derive a função dada: 
 
(a) f(t) = sen(3t +1) 
(i) f(t) = )
2
(cos2 t−pi (q) f(t) = tg
2(t) 
 
(b) f(t) = cos2 (t) (j) f(t) = sen(2t + 1)2 
(r) f(t) = sec 





− t.2
2
pi
pi
 
(c) f(t) = sen(3t) (k) f(x) = cos(1 + 3x)2 (s) f(t) = sec(π – 4t)2 
 
(d) f(t) = cos(2t) (l) f(x) = e-x sen(x) (t) f(t) = ln (sen
2(t)) 
 
(e) f(t) = sen(1-2t) 
(m) f(u) = 
u
u
cos1
cos
−
 
 
(u) f(x) = 3tg(2x + 1) + x 
 
(f) f(t) = sen(t2) 
(n) 
sent
sent
tf
+
=
1
)( (v) f(x) = 
x
x2sec3
 
 
(g) f(t) = cos(t3 + 1) (o) f(t) = tg(5t + 2) 
 
(x) f(x) = e2x cos3x 
 
(h) f(t) = sen2(t) (p) f(t) = tg(1 – t3) 
 
(z) f(x) = - cosec2 (x3) 
 
 
 
QUESTÃO 4 
Calcule, se possível, os limites a seguir, utilizando a regra de L’Hospital: 
(a) 
3 2
22
10lim
3 2x
x x x
x x→
+ − −
− +
 
 
(b) 
7
11
1lim
1x
x x
x→+∞
+ +
−
 
 
(c) 
23
2
0 3
155lim
xx
xx
x
−
−
→
 
(d) 		�→����
��	
	��
�
 
 
(e) 		�→	�	
��� 	
����
���� 
 
(f) 		�→����
��
���
�����	� 
(g) 		�→����
��
���
�����	� 	
(h) 		�→	���
��
�����
��
��
���
� 
 
(i) 		�→����
	�����
���� 
 
QUESTÃO 5 
Nos exercícios abaixo calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada. 
 
(a) y = 3x4 – 2x; n = 5 (c) y = 1/ex; n = 4 
 (b) y = x5 + 2x4 – x3 -1; n=4 (d) y = sen(x) ; n=8 
 
QUESTÃO 6 
Encontre � = "#"� por derivação implícita. 
 
(a) 5x + 3y = 12 
(b) x2y = 1 
 
(c) (2x+ 3y)5 = x+ 1 
(d) $��� + $&'(� = 0 
(e) *+� = $� 
 
QUESTÃO 7 
Use a derivação implícita para encontrar a inclinação da reta que é tangente à curva dada para o valor 
especificado de x. 
 
(a) xy3 = 8; x= 1 (b) x2y – 2xy3 + 6 = 2x + 2y; x =0 
 
QUESTÃO 8 
Determinar a equação da reta tangente à curva � = 1 − $�, que seja paralela à reta � = 1 − $. 
	
QUESTÃO 9 
Encontrar as equações das retas tangente e normal à curva � = $� − 2$ + 1, no ponto �−2; 9�. 
 
QUESTÃO 10 
Determinar a equação da reta tangente à curva � = ���	��
2 no ponto de abscissa $ = −1. 
 
QUESTÃO 11 
Determinar a equação da reta normal à curva � = �3$� − 4$�� no ponto de abscissa $ = 2. 
 
QUESTÃO 12 
Seja � = 5$� + 6$. Encontrar os valores de 5 e 6, sabendo que a tangente à curva no ponto �1; 5� tem 
inclinação m=8. 
 
 
 
QUESTÃO 13 
Determine uma equação de cada uma das retas tangentes à curva 3y = x3 – 3x2 + 6x + 4 que sejam paralelas à 
reta 2x – y + 3 = 0. 
 
QUESTÃO 14 
 
Uma partícula se move sobre uma trajetória segundo a equação abaixo onde S é dado em metros e tem 
segundos. Determine a velocidade e aceleração nos valores indicados: 
 
a) ( ) 1102 2 −+= tttS . Determine a velocidade no instante t = 3 s. 
b) ( ) tttS 32 += . Determine a velocidade no instante t = 2 s. 
c) ( ) 1223 +++= ttttS . Determine a velocidade no instante t = 1 s e aceleração em t = 2 s. 
 
QUESTÃO 15 
 
Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm de largura e 52 cm de 
comprimento, retirando-se um quadrado da cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os 
lados resultantes. Determine o tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de volume 
máximo. 
 
QUESTÃO 16 
Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter capacidade de 375π cm3. O custo do material usado para 
a base do recipiente é de 15 centavos o cm2 e o custo do material usado para a parte curva é de 5 centavos 
por cm2. Se não há perda de material, determine as dimensões que minimizem o custo do material. 
 
QUESTÃO 17 
Um fabricante de móveis estima que o custo semanal da fabricação de x reproduções (manuais) de uma 
mesa colonial é dado por C(x) = x3– 3x2– 80x + 500. Cada mesa é vendida por R$ 2800,00. Que produção 
semanal maximizará o lucro? Qual o máximo lucro semanal possível? 
 
QUESTÃO 18 
Uma lata cilíndrica fechada pode conter 1 litro (1000 cm3) de líquido. Como poderíamos escolher a altura e o 
raio para minimizar o material usado na confecção da lata? 
 
QUESTÃO 19 
 
Os lados de um triângulo equilátero crescem à taxa de 2,5cm/s. Qual é a taxa de crescimento da área desse 
triângulo, quando os lados tiverem 12 cm de comprimento? 
 
QUESTÃO 20 
 
Um objeto se move sobre a parábola � = 2$� + 3$ − 1de tal modo que sua abscissa varia à taxa de 6 
unidades por minuto. Qual é a taxa de variação de sua ordenada, quando o objeto estiver no ponto �0; −1�? 
 
QUESTÃO 21 
 
O óleo derramado através da ruptura do tanque de um navio se espalha, em forma circular, cujo raio cresce 
a uma taxa de 3m/h. Com que velocidade a área do derramamento está crescendo no instante em que o raio 
atingir 8,4m? 
 
 
 
QUESTÃO 22 
 
No instante t = 0, um mergulhador salta de um trampolim a 32 pés de altura. Como a velocidade inicial do 
mergulhador é de 16 pés/ seg, sua função posição é: H = -16t2+16t + 32. a) Em que instante o mergulhador 
atinge a água? b) Qual a velocidade do mergulhador no momento do impacto? 
 
QUESTÃO 23 
 
Um empresário estima que quando x unidades de certo produto são vendidas, a receita bruta associada ao 
produto é dada por R = 0,5x2+ 3x – 2 milhares de reais. Qual é a taxa de variação da receita quando 3 
unidades estão sendo vendidas? 
 
QUESTÃO 24 
 
Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água no reservatório, em 
litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por V = 50(80- t)2. Determinar: 
 
a) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento. 
b) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento. 
 
QUESTÃO 25 
 
O modelo 9 = :
:�	:
�	 mede a percentagem do nível de oxigênio em uma lagoa; t é o tempo em semanas, 
após o lançamento de detritos orgânicos na lagoa. Ache a taxa de variação de N em relação t quando t=8. 
 
QUESTÃO 26 
 
As posições de dois móveis num instante t segundos são dadas por s1 = 3t3 – 12t2 +18t + 5 m e s2 = -t3 
+ 9t2 – 12t m. Em que instante as partículas terão a mesma velocidade? 
 
QUESTÃO 27 
 
Um objeto se move de modo que no instante t a distância é dada por s = 3t4 – 2t. Qual a expressão da 
velocidade e da aceleração desse objeto? 
 
QUESTÃO 28 
 
Achar a velocidade e a aceleração no instante t = 3 segundos onde s = 3t3 – 2t2 + 2t +4 é a função que 
informa a posição (em metros) de um corpo no instante t. 
 
QUESTÃO 29 
Uma partícula se move segundo a equação s(t) = t3 – 2t2 + 5t – 1, sendo s medido em metros e t em 
segundos. Em que instante a sua velocidade vale 9 m/s? 
 
QUESTÃO 30 
Uma chapa metálicaquadrada de lado x cm está se expandindo segundo a equação x = 2+ t2, onde a variável 
t representa o tempo em minutos. Determinar a taxa de variação da área desse quadrado no tempo t = 
2min. 
 
 
RESPOSTAS 
1. (a) 3 (b) - 8x 
2. (a) 
26
2 31
3
53)('
xxx
xxf +++= (b) 
22 )13(
14)('
+
−
=
x
x
xf (c) y’=2(2x+5)
2(x+1)(5x+8) 
 (d)
1
)('
2 +
=
x
x
xf (e) f’(x) = 10(5x4 -3x2 + 2x + 1)9.(20x3 – 6x + 2) (f) 3)1(
)1(4
'
x
xy
−
+
=
 
3. 
a) f’(t) = 3cos(3t+1) b) f”(t) = -2costsent c) f’(t) = 3cos3t 
d) f”(t) = -2sen2t e) f’(t) = -2cos(1-2t) f) f’(t) = 2t.cost2 
g) f’(t) = -3t2sen(t3 + 1) h) f’(t) = 2sent.cost i) 
'( ) 2 cos
2 2
f t t sen tpi pi   = − −   
   
 
j) f’(t) = 4cos(2t+1)2(2t+1) k) f’(x) = -6sen(1+3x)2(1+3x) l) f’(x) = e-x(-senx + cosx) 
m) 
2)cos1()(' u
senu
uf
−
−
= n) 2
cos
'( ) (1 )
tf t
sent
=
+
 o) f’(t) = 5sec2(5t + 2) 
p) f’(t) = -3t2 .sec2(1 – t3) q) f’(t) = 2tgt.sec2t r) 






−





−−= ttgttf .2
2
.2
2
sec2)(' pipipipipi 
s) f’(t)= )4()4()4sec(8 22 tttgt −−−− pipipi t) f’(t) = 2cotgt u) 2 1
'( ) 6sec (2 1)
2
f x x
x
= + + 
 
v) 
2 2
2
6 sec 3sec
'( ) x tgx xf x
x
−
=
 x) f’(x)= e2x(2cos3x – 3 sen3x) z) f’(x) = 6x.cosec2x3.cotgx3 
4. a) 15 b) 0 c)∞ d) -1/2 e) 0 f) 2 g) -1/2 h) 0 
5. (a) 0 (b) '
�<= 	�� (c) 120x + 48 (d) sem(x) 
6. (a) y’ = -5/3 (b) y’ = -2y/x (c) 
3
2
)32(15
1
' 4 −+
=
yx
y
 
(d) - (2xy2+sen y)/(2x2y+x cos y) (e)y/(sec2y - x) 
7. (a) -2/3 (b) -28 
8. 4x+4y-5=0 
9. t:y+6x+3=0 n:6y-x-56=0 
10. 11x+49y+4=0 
11. 64y+x-1026=0 
12. a=3, b=2 
13. y=2x+4/3; y=2x 
14. a) 22m/s b) 7m/s c) v=7m/s; a=14m/s2 
15. >	 = 	$�40	– 	2$��52	– 	2$�				@<+<					$	 = 	7,47	CD 
16. >	 = 	375E	CD�						>	 = EF�ℎ					ℎ	 = 	375/F� 
17.�$� = 	I�$�– J�$�K�$� = 	2800$–	�$�– 	3$�– 	80$	 + 	500�K’�$� = 	0		$	 = 	32	D'&5&							K�32� = 	61	964	F'5O& 
18. F	 = P����
� ≅ 	5,42	CD						ℎ	 = 	10,84	CD 
19. 15√3 cm2/s 
20. 18 unid/min 
21. 158,26 m2/h 
22. : a) t = 2seg b) - 48 pés/s 
23. 6 mil reais / unidade 
24. a) - 7200 litros / hora b) 38750 litros.
 
25. Resposta: 0,015%/semana 
26. 1 s e 2,5 s 
27. v = 12t3 – 2 ; a = 36t2 
28. 71 m/s; 50 m/s2 
29. 2 s 
30. 48cm2/min