teoria das estruturas 2

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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
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4 - Estruturas Hiperestáticas 
4.1 - Determinação do grau Hiperestático de vigas, pórticos planos e grelhas 
planas. 
O grau Hiperestático total (G) de uma estrutura é defino por: 
 G = Ge + Gi (26) 
Onde: 
Ge  é o grau hiperestático externo da estrutura; 
Gi  é o grau hiperestático interno da estrutura; 
 
Ge - grau hiperestático externo: 
O grau hiperestático externo é defino por: 
 Ge = N.R.A. - N.E.E. - N.L.P.R. (27) 
Onde: 
N.R.A.  número de reações de apoio; 
N.E.E.  número de equações de equilíbrio. Para estruturas planas este número 
sempre será igual a 3 ( Fx= 0; Fy= 0; M= 0;). 
N.L.P.R.  número de liberações por rótula. 
 N.L.P.R. = número de barras da rótula -1 
Dica1: Qual o número de barras da rótula ? 
 
 3 barras 2 barras 2 barras 4 barras 
 
Dica2: As rótulas dos elementos de contraventamento não conta no N.L.P.R 
 
A estrutura 1 a seguir apresenta o seguinte Ge. 
No de reações de apoio = 2 + 3 = 5 
No de eq. equilíbrio = 3 
No de liberações de cada rótula = (2 – 1)C =1 
 
 
Ge = 5 - 3 - 1 = 1 Estrutura 1 
 
A estrutura 2 a seguir apresenta o seguinte Ge. 
No de reações de apoio = 2 + 3 + 3 = 8 
No de eq. equilíbrio = 3 
No de liberações de cada rótula = (3 -1)C = 2 
 
 
Ge = 8 - 3 - 2 = 3 Estrutura 2 
 
A estrutura 3 a seguir apresenta o seguinte Ge. 
No de reações de apoio = 2 + 2 + 3 + 3 = 10 
No de eq. equilíbrio = 3 
No de liberações de cada rótula = (3-1)d +(2-1)f = 3 
 
 
Ge = 10 - 3 - 3 = 4 Estrutura 3 
 
Ge  representa o número de equações suplementares necessárias para que as 
reações de apoio de uma estrutura hiperestática possam ser determinadas; 
d a 
b c 
1ª 
2ª 
3ª 
d a 
b c 
1ª 
2ª 
3ª 
4ª 
5ª 
e 
f 
e c 
b d 
1ª 
3ª 
4ª 
6ª 
7ª 
f 
g 
2ª 
5ª 
a 
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Gi - grau hiperestático interno: 
O grau hiperestático interno é defino por: 
 Gi = N.E.P.B.S. 
Onde: 
N.E.P.B.S.  número de esforços atuantes por barra seccionada (rompida); 
 
O Gi ocorre em estruturas fechadas, como as estruturas 4 e 5 apresentadas a seguir. 
Nestas estruturas é necessário “abrir” a estrutura, isto é, seccionar barras (romper, 
cortar) para que as reações de apoio da estrutura possam ser determinadas. 
Dica: o número de cortes necessários é igual ao número de seções 
fechadas internas; 
A estrutura 4 a seguir apresenta o seguinte Gi. 
Todas as barras da estrutura possuem 3 esforços atuantes: 
Esforços: N; V; M 
Neste caso, basta seccionar uma das barras para que a estrutura 
Torne-se uma estrutura aberta. Ex: seccionando a barra 4 
 Estrutura 4 
 1seção fechada: 1 corte 
 
 
Gi = (3)a = 3 
 
A estrutura 5 a seguir apresenta o seguinte Gi. 
Todas as barras da estrutura possuem 
3 esforços atuantes 
 
 
Gi = (3)a + (3)b = 6 Estrutura 5 
 2seções fechadas: 2 cortes 
 
Para estruturas fechadas é importante mencionar, que as secções devem ser 
realizadas nas barras com o menor número de esforços atuantes. 
 
A estrutura 6 a seguir apresenta o seguinte Gi. 
Como a barra 5 é um contraventamento, nesta 
barra atua portanto apenas 1 esforço: N 
 
Por este motivo uma das seções será realizada 
na barra 5 
 Estrutura 6 
 2seções fechadas: 2 cortes 
A outra seção necessária pode ser realizada 
na barra: 4 ou 6 ou 7 ou 8 (todas com 3 esforços) 
Ex: seccionando a barra 6 
 
Gi = (1)a + (3)b = 4 
 
 Estrutura 6 
Gi  representa o número de esforços simples (N; Q; M) cujo conhecimento 
permite determinar as reações de apoio de uma estrutura hiperestática; 
d a 
b c 
1ª 
2ª 
3ª 
4ª 
5ª 
e 
f 
d a 
b c 
1ª 
2ª 
3ª 
4ª 
1ª 
2ª 
3ª 
4ª 
V 
N 
M 
a 
a 
b 
6a 7a 
8a 
a 
b 
e c 
b d 
1ª 
3ª 
4ª 
6ª 
7ª 
f 
g 
2ª 
5ª 
a 
e c 
b d 
1ª 
3ª 
4ª 
6ª 
7ª 
f 
g 
2ª 
5ª 
a 
8a 
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Usualmente, o modelo de grelha plana é utilizado para representar o 
comportamento do conjunto de vigas de um pavimento de uma edificação, ou de um 
tabuleiro de uma ponte, conforme mostram as estruturas 7a e 7b. 
 
 
 
 
 
 
 
 Estrutura 7a Estrutura 7b 
 
Neste modelo é considerada apenas a ação de cargas verticais, ou seja, de 
cargas perpendiculares ao plano da grelha. 
Portanto, neste modelo, os apoios podem apresentam apenas uma reação 
vertical e duas componentes de momento (momento fletor e momento torçor), 
conforme indicado a seguir: 
Apoios do primeiro e segundo gênero: 1 reação vertical apenas 
 
 
 V 
Apoios do terceiro gênero: 1 reação vertical, 
 1 reação de momento fletor 
 1 reação de momento torçor 
 
 T 
 
 
 M V 
 
Desta forma o grau hiperestático das estruturas 8a e 8b vale respectivamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 Estrutura 8a Estrutura 8b 
 
Grelha da figura 8 a. 
Ge = 8 - 3 - 0 = 5 
Gi = 0 
G = 5 + 0 = 5 
 
Grelha da figura 8 b. 
Ge = 7 - 3 - 0 = 4 
Gi = (3)a + (3)b = 6 
G = 4 + 6 = 10 
 
a 
b 
V 
T 
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3.2 - Determinação do grau Hiperestático de treliças planas. 
O grau Hiperestático total (G) de uma treliça plana é defino por: 
 G = b + r – 2 . n (28) 
Onde: 
b  é o número de barras da treliça; 
r  é o número de reações de apoio da treliça; 
n  é o número de nós da treliça; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 12: Determine o grau hiperestático das estruturas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica: o número de cortes necessários é igual ao número de seções 
fechadas internas; 
Ge = 
Gi = 
G = 
Ge = 
Gi = 
G = 
Ge = 
Gi = 
G = 
Ge = 
Gi = 
G = 
Ge = 
Gi = 
G = 
Ge = 
Gi = 
G = 
Ge = 
Gi = 
G = 
Ge = 
Gi = 
G = 
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Dica: o número de cortes necessários é igual ao número de seções 
fechadas internas; 
Ge = 
Gi = 
G = 
Ge = 
Gi = 
G = 
Ge = 
Gi = 
G = 
Ge = 
Gi = 
G = 
Ge = 
Gi = 
G = 
Ge = 
Gi = 
G = 
Ge = 
Gi = 
G = 
Ge = 
Gi = 
G = 
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4 - Lista de exercícios 
1) Determine o grau hiperestático das estruturas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ge = 
Gi = 
G = 
Ge = 
Gi = 
G = 
Ge = 
Gi = 
G = 
Ge = 
Gi = 
G = 
Ge = 
Gi = 
G = 
Ge = 
Gi = 
G = 
Ge = 
Gi = 
G = 
Ge = 
Gi = 
G =