Matemática Financeira

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TAXA DE JUROS: 
 EFETIVA E NOMINAL 
APARENTE E REAL 
Sétimo encontro 
NÚCLEO OESTE – CAMPUS SANTA CRUZ – PROF. CARLOS BRITTO 
Rio de Janeiro, 13 de Setembro de 2017 
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TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA 
 
 
Os conceitos de taxa nominal e taxa efetiva emitidos para o 
regime de juros simples, também são os mesmos para o 
regime de juros compostos. 
No regime de juros compostos também as taxas, os impostos 
e as comissões fazem as taxas nominal e efetiva diferirem, 
assim como os juros antecipados e os artifícios nos cálculos 
dos juros. 
No sistema de juros compostos é costume indicar uma taxa 
para um período com capitalizações em período distinto. 
Assim, é comum falar em taxa de 60% a.a. capitalizada 
trimestralmente ou taxa de 100% a.s. capitalizada 
mensalmente, e assim por diante. 
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TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA 
 
 
Essa forma de expressar a taxa, largamente utilizada no 
mercado financeiro, também é responsável por divergências 
entre as taxas nominal e efetiva. Convencionou-se, então, 
que, quando o período mencionado na taxa não corresponde 
ao período de capitalização, prevalece este último, devendo-
se tomar a taxa proporcional correspondente como taxa 
efetiva e considerar a taxa dada como nominal. 
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TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA 
 
Taxa Nominal: A taxa nominal é quando o período de 
capitalização dos juros não coincide com aquele a que a taxa 
está referida. Nas aplicações práticas, por convenção, a taxa 
por seu período de capitalização tem que ser proporcional a 
taxa nominal, sendo a taxa nominal sempre dada em anos. 
 
 24% ao ano, capitalizados mensalmente. 
 24% ÷ 12= 2% ao mês 
 20% ao ano, capitalizados semestralmente. 
 20% ÷ 2= 10% ao semestre 
 18% ao ano, capitalizados trimestralmente. 
 18% ÷ 4= 4,5% ao trimestre 
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TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA 
 
Taxa Efetiva: A taxa efetiva é quando o período de capitalização 
dos juros coincide com aquele a que a taxa está referida. 
 
 
 1% ao mês, capitalizados mensalmente; 
 5% ao semestre, capitalizados semestralmente; 
 20% ao ano, capitalizados anualmente. 
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TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA 
 
 Exemplo 1: 
No sistema de capitalização composta, qual o capital necessário para 
produzir um montante de R$ 30.000,00 após 3 anos, com juros nominal de 
12% ao ano capitalizados mensalmente? 
Primeiramente, como a capitalização é mensal, devemos transformar todas 
as unidades em meses. 
3 anos . 12= 36 meses 
Taxa Nominal de 12% ao ano é proporcional a taxa de capitalização, ou seja, 
12% ÷ 12= 1% ao mês, então temos: 
PV= ?, FV= 30.000,00, n= 36 meses, i = 1% ao mês 
Fórmula: 
FV = PV . ( 1 + i )n 
30.000 = PV. ( 1 + 0,01)36 
30.000 = PV. 1,0136 
30.000 = PV 
1,0136 
PV = 20.967,75 
 
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TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA 
 
Exemplo 2: 
Determine a taxa efetiva anual, que é equivalente a uma taxa 
nominal de 12% ao ano, capitalizados mensalmente. 
Primeiramente, a taxa nominal de 12% ao ano é proporcional a 
taxa de capitalização mensal, ou seja, 12%÷12= 1% ao mês, 
então temos: 
A taxa efetiva de 1% ao mês é equivalente a taxa anual, ou 
seja, 
[( 1 + i )n – 1] . 100 
[( 1 + 0,01 )12 – 1] . 100 
[1,0112 – 1] . 100 
[1,1268 – 1] . 100 
0,1268 . 100 
12,68% ao ano 
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TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA 
 
Exemplo 3 : 
Determine a taxa efetiva anual, que é equivalente a uma taxa 
nominal de 12% ao ano, capitalizados semestralmente. 
Primeiramente, a taxa nominal de 12% ao ano é proporcional a 
taxa de capitalização semestral, ou seja, 12%÷2= 6% ao 
semestre, então temos: 
A taxa efetiva de 6% ao semestre é equivalente a taxa anual, ou 
seja: 
[( 1 + i )n – 1] . 100 
[( 1 + 0,06 )2 – 1] . 100 
[1,062 – 1] . 100 
[1,1236 – 1] . 100 
0,1236 . 100 
12,36% ao ano 
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TAXA APARENTE E TAXA REAL 
Taxa Aparente: A taxa aparente é aquela que são aplicadas 
nas operações correntes. A taxa aparente é formada pela 
taxa real e a taxa da inflação do período. 
Taxa Real: A taxa real é aquela que elimina o efeito da 
inflação no período. Podemos afirmar que a taxa real 
corresponde à taxa efetiva corrigida pelo índice inflacionário 
do período. 
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TAXA APARENTE E TAXA REAL 
 
Exemplo 4: 
Qual a taxa aparente correspondente a uma taxa real de 2% ao mês 
e uma inflação de 5% no período? 
 
Sendo: r= 0,02 e I=0,05, temos: 
 
1 + i = (1 + 0,02).(1 + 0,05) 
1 + i = (1,02).(1,05) 
1 + i = 1,071 
i = 1,071 – 1 
i = 0,071 . 100 
i = 7,1%, a taxa aparente deve ser de 7,1% 
Fórmula: 
1 + i = (1 + r).(1 + I), 
onde: 
i = taxa aparente; 
r = taxa real; 
I = taxa de Inflação 
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TAXA APARENTE E TAXA REAL 
 
Exemplo 5: 
Certa categoria profissional obteve reajuste salarial de 7% ao ano. 
Sabendo que a inflação no período foi de 5,5%, determine o valor 
do reajuste real. 
 
Sendo: i= 0,07 e I=0,055, temos: 
1 + 0,07 = (1 + r).(1 + 0,055) 
1,07= (1 + r) .1,055 
1,07 = (1 + r) 
1,055 
1,0142 – 1 = r 
0,0142 . 100 = r 
 
r= 1,42% , ou seja, a taxa real de aumento foi de 1,42% ao ano. 
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TAXA APARENTE E TAXA REAL 
 
Exemplo 6 : 
Uma aplicação financeira obteve rendimento efetivo de 10% ao 
ano. Sabendo que a taxa de inflação no período foi de 7%, 
determine a taxa real desta aplicação. 
 
Sendo: i = 0,10 e I=0,07, temos: 
1 + 0,10 = (1 + r).(1 + 0,07) 
1,10= (1 + r) .1,07 
1,10 = (1 + r) 
1,07 
1,0280 – 1 = r 
0,0280 . 100 = r 
r = 2,80% , ou seja, a taxa real de aumento foi de 2,80% ao ano. 
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EXERCÍCIOS – TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA 
1) A caderneta de Poupança, além da atualização monetária, paga 
juros de 6% a.a. capitalizados mensalmente. 
a) Qual a taxa nominal de juros pagos pela Caderneta de Poupança? 
b) Qual a taxa efetiva mensal? 
c) Qual a taxa efetiva anual? 
 
2) Uma pessoa tomou um empréstimo de R$10.000,00 para pagar 
após três meses com juros de 18% a.a. capitalizados mensalmente. Na 
data da liberação do empréstimo pagou uma taxa de serviço de 2,5% 
sobre o valor do empréstimo. Qual a taxa efetiva anual paga pelo 
tomador? 
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EXERCÍCIOS – TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA 
1) A caderneta de Poupança, além da atualização monetária, paga 
juros de 6% a.a. capitalizados mensalmente. 
a) Qual a taxa nominal de juros pagos pela Caderneta de Poupança? 
b) Qual a taxa efetiva mensal? 
c) Qual a taxa efetiva anual? 
a) 6% a.a. 
 
b) 
𝟔%
𝟏𝟐
 = 0,5% a.m. 
 
c) (1 + 𝒊𝒂)¹ = (𝟏 + 𝒊𝒎)
𝟏𝟐 
𝒊𝒂 = 𝟏, 𝟎𝟎𝟓
𝟏𝟐- 1 = 0,061678 . 100 = 
 
 6,17% a.a. 
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EXERCÍCIOS – TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA 
2) Uma pessoa tomou um empréstimo de R$10.000,00 para pagar 
após três meses com juros de 18% a.a. capitalizados mensalmente. Na 
data da liberação do empréstimo pagou uma taxa de serviço de 2,5% 
sobre o valor do empréstimo. Qual a taxa efetiva anual paga pelo 
tomador? 
 Taxa mensal efetiva: 
 𝟏𝟖%
𝟏𝟐
 = 1,5% a.m. 
 2,5% de 10.000,00 = 250,00 
 Empréstimo efetivo: 10.000 – 250 = 9.750 
 Pagamento final: FV = PV(𝟏 + 𝒊)𝒏 = 10.000 (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟓)𝟑 = 
10.456,78 
 Taxa efetiva mensal: FV = PV(𝟏 + 𝒊)𝒏 = 𝒊 = 
𝟏𝟎.𝟒𝟓𝟔,𝟕𝟖
𝟗.𝟕𝟓𝟎
𝟑
 - 1 = 0,0236 
 Taxa efetiva anual: 𝒊𝒂 = (𝟏 + 𝒊𝒎)
𝟏𝟐 - 1 = 𝟏, 𝟎𝟐𝟑𝟔𝟏𝟐 - 1 = 0,3230 . 
100 = 
 32,30% a.a. 
 
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EXERCÍCIOS – TAXA APARENTE E TAXA REAL 
3) O salário de um funcionário público era de R$ 500,00 e, depois de 
um aumento concedido pelo Governo, passoua ser R$ 635,00. 
a) Qual a taxa aparente e qual a taxa real de aumento desse 
funcionário se a inflação do período foi de 22,5%? 
b) E se a inflação do período foi de 28,2%? 
 
4) Num ano, a fábrica α vendeu 253 mil caixas da sua mercadoria. 
Como o preço unitário da caixa era R$ 6,50; o total das vendas foi de 
R$ 1.644.500,00. No ano seguinte, essa empresa vendeu 265 mil 
caixas da mesma mercadoria, mas o preço da caixa tinha subido para 
R$ 11,05, pois houve uma inflação de 70% nesse ano, e o total das 
vendas atingiu R$ 2.928.250,00. Determinar a taxa real de 
crescimento nas vendas: 
a) Considerando as quantidades vendidas de mercadoria; 
b) Considerando o valor total das vendas. 
 
 
 
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EXERCÍCIOS – TAXA APARENTE E TAXA REAL 
3) O salário de um funcionário público era de R$ 500,00 e, depois de 
um aumento concedido pelo Governo, passou a ser R$ 635,00. 
a) Qual a taxa aparente e qual a taxa real de aumento desse 
funcionário se a inflação do período foi de 22,5%? 
b) E se a inflação do período foi de 28,2%? 
a) 𝒊
𝒂= 
𝟔𝟑𝟓
𝟓𝟎𝟎
 −𝟏=𝟎,𝟐𝟕
 𝒊𝒓= 
𝟏+ 𝒊𝒂
𝟏+ 𝒊𝒊
 - 1 = 0,0367 
 b) 𝒊𝒂 = 0,27 
 
 𝒊𝒓 = 
𝟏+𝟎,𝟐𝟕
𝟏+𝟎,𝟐𝟖𝟐
 − 𝟏 = −𝟎, 𝟎𝟎𝟗𝟒 
a) A taxa aparente é 27%, mas o aumento real do salário foi de 
apenas 3,67%; 
b) A taxa aparente é a mesma, 27%, mas houve decréscimo real de 
0,94% no salário do funcionário. 
Taxa de inflação 
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EXERCÍCIOS – TAXA APARENTE E TAXA REAL 
a) 𝒊
𝒓= 
𝟐𝟔𝟓
𝟐𝟓𝟑
 −𝟏=𝟎,𝟒𝟕𝟒
 
 
 
b) 𝒊
𝒂= 
𝟐.𝟗𝟐𝟖.𝟐𝟓𝟎
𝟏.𝟔𝟒𝟒.𝟓𝟎𝟎
 −𝟏=𝟎,𝟕𝟖𝟎𝟔
 
 
 
 
 
 
𝒊𝒓= 
𝟏 + 𝒊𝒂
𝟏 + 𝒊𝒊
 − 1 𝒊
𝒓= 
𝟏,𝟕𝟖𝟎𝟔
𝟏,𝟕𝟎 −𝟏=𝟎,𝟒𝟕𝟒
 
a) Considerando as quantidades vendidas, a taxa real de 
crescimento é 4,74%; 
b) Tendo em vista o valor total das vendas, a taxa real de 
crescimento também é 4,74%. 
EXERCÍCIO 4) 
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EXERCÍCIOS 
5) Determine a taxa efetiva anual, equivalente a uma taxa nominal de 
24% ao ano, capitalizados mensalmente. 
6) Determine a taxa nominal anual, que é equivalente a uma taxa 
efetiva de 10% ao ano, capitalizados mensalmente. 
7) Um serviço obteve reajuste de preço de 8% no ano. Sabendo que a 
inflação neste ano foi de 6%, determine o valor do reajuste real. 
8) Qual a taxa aparente correspondente a uma aplicação financeira 
que obteve rendimento real de 5% ao ano. Sabendo que a taxa de 
inflação no período foi de 4%? 
9) Qual a taxa real correspondente a um investimento que rendeu 
12% ao ano, num período em que a inflação foi de 8%? ,15% ao dia, 
qual o valor a ser pago? 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
5) Determine a taxa efetiva anual, equivalente a uma taxa nominal 
de 24% ao ano, capitalizados mensalmente. 
 
Primeiramente, a taxa nominal de 24% ao ano é proporcional a taxa 
de capitalização mensal, ou seja, 24% ÷ 12= 2% ao mês, então 
temos: 
 
A taxa efetiva de 2% ao mês é equivalente a taxa anual, ou seja, 
[( 1 + i )n – 1] . 100 
[( 1 + 0,02 )12 – 1] . 100 
[1,0212 – 1] . 100 
[1,2682 – 1] . 100 
0,2682 . 100 
26,82% ao ano 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
6) Determine a taxa nominal anual, que é equivalente a uma taxa 
efetiva de 10% ao ano, capitalizados mensalmente. 
 
Primeiramente, a taxa efetiva de 10% ao ano é equivalente a taxa 
de capitalização mensal, então temos: 
 
[( 1 + i )1/n – 1] . 100 
[( 1 + 0,10 )1/12 – 1] . 100 
[1,101/12 – 1] . 100 
[1,0080 – 1] . 100 
0,0080 . 100 
0,80% ao mês 
A taxa nominal é proporcional à taxa de capitalização mensal, ou 
seja, 0,80% ao mês x 12 meses= 9,6% ao ano. 
4 
1.10 enter 
1 enter 
12 
visor 0.0833 
 
visor 1.007974 
÷ 
𝒚𝒙 
𝒙 
f 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
7) Um serviço obteve reajuste de preço de 8% no ano. Sabendo 
que a inflação neste ano foi de 6%, determine o valor do reajuste 
real. 
 
Sendo: i= 0,08 e I=0,06, temos: 
 
1 + 0,08 = (1 + r).(1 + 0,06) 
1,08= (1 + r) .1,06 
1,08 = (1 + r) 
1,06 
1,0189 – 1 = r 
0,0189. 100 = r 
r= 1.8868 arredondando 
r= 1,89%, ou seja, a taxa real de aumento foi de 1,89% ao ano. 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
8) Qual a taxa aparente correspondente a uma aplicação financeira 
que obteve rendimento real de 5% ao ano. Sabendo que a taxa de 
inflação no período foi de 4%? 
 
Sendo: r= 0,05 e I=0,04, temos: 
 
1 + i = (1 + r).(1 + I) 
1 + i = (1 + 0,05).(1 + 0,04) 
1 + i = 1,05.1,04 
1 + i = 1,092 
i = 1,092 – 1 
i = 0,092 . 100 
i = 9,2%, a taxa aparente de 9,2% 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
9) Qual a taxa real correspondente a um investimento que rendeu 
12% ao ano, num período em que a inflação foi de 8%? 
 
Sendo: i= 0,12 e I=0,08, temos: 
 
1 + 0,12 = (1 + r).(1 + 0,08) 
1,12= (1 + r) .1,08 
1,12 = (1 + r) 
1,08 
1,0370 – 1 = r 
0,0370 . 100 = r 
r= 3,70% , ou seja, a taxa real do investimento foi de 3,70% ao ano. 
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