apostila resistencia dos materiais 1

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CCE0329 – Resistência dos Materiais I
Professor:
João Miguel Santos Dias
1
2
Bibliografia principal
HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. Tradução de Daniel 
Vieira; Revisão de José Maria Campos dos Santos. 12. ed. São Paulo, SP: 
Pearson/Prentice Hall, 2011. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2010.
NASH, W. A. Resistência dos Materiais. 3ª ed. São Paulo: McGraw - Hill do 
Brasil, 1982.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
3
Bibliografia complementar
BEER, F. P. e JOHNSTON, R.E. e EISENBERG, E.R. Mecânica Vetorial para 
Engenheiros - Estática. 7 Ed. São Paulo, SP: MacGraw-Hill, 2006.
FONSECA, A. Curso de Mecânica – Volume 1. Livros Técnicos e Científicos 
Editora S. A., 1972.
FONSECA, A. Curso de Mecânica – Volume 2. Livros Técnicos e Científicos 
Editora S. A., 1973.
ALMEIDA, M. C. F. Estruturas Isostáticas. 1. ed. São Paulo, SP: Oficina de 
Textos, 2009. 
JUNIOR, E. F. M. Introdução à isostática. São Paulo, SP: EESC-USP, 1999.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
4
Avaliação
AV 1 – 50% da nota final
AV 2 (prova nacionalizada) – 50% da nota final
*AV 3 (prova nacionalizada) – 50% da nota final*
- Datas das provas conforme calendário disponível no SIA
- Aprovação conforme regulamento vigente
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
5
Sumário
1 – Introdução
2 – Forças no plano
3 – Corpos rígidos
4 – Equilíbrio de corpos rígidos
5 – Esforços solicitantes
6 – Cargas axiais
7 – Propriedades mecânicas dos materiais
8 – Cisalhamento
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
1 - Introdução
6
1 – Introdução
7
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
1 - Introdução
- Todos os materiais se deformam quando sujeitos a ações
externas;
- Comportamento reológico – maneira como o material se
deforma quando sujeito a forças externas;
- Forças externas – forças que um meio exterior exerce em um
determinado corpo, podendo ser divididas entre:
- Forças de superfície – atuam na superfície do corpo (por
ex.: reações de apoio, pressões aerodinâmicas ou
hidrostáticas, etc.);
- Forças de massa – atuam na massa do corpo (por ex.:
gravidade, vento, impacto, etc.);
8
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
1 - Introdução
- Movimento de um corpo rígido – deslocamento de todos os
pontos de um mesmo corpo, sem que haja variação da distância
relativa entre eles;
- Deformação – variação da distância entre dois pontos de um
mesmo corpo;
- Tensão – é a força interna por unidade de superfície, que
representa os esforços internos de um corpo,
independentemente de suas dimensões;
- Extensão – é a variação da distância de dois pontos de um
mesmo corpo dividida pela distância original. Assim como a
tensão, a extensão é independente das dimensões do corpo.
9
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
1 - Introdução
Silva (2004)
Relações força-tensão Relações extensão-deslocamento
Lei constitutiva
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CCE0329 – Resistência dos Materiais I
1 - Introdução
1 – Relações força-tensão:
- Baseadas nas condições de equilíbrio dos corpos;
- Relacionam o estado das tensões com as forças externas aplicadas;
- Constituem a teoria das tensões;
- É independente do tipo de material que compõe o corpo;
- Válidas para materiais contínuos.
2 – Relações extensão-deslocamento:
- Baseadas na compatibilidade de deformações;
- Relacionam as extensões com os deslocamentos que um determinado corpo apresenta;
- Constituem a teoria das extensões;
- É independente do tipo de material que compõe o corpo;
- Válidas para materiais contínuos e para corpos que apresentem deformações, deslocamentos
e rotações infinitesimais.
3 – Lei constitutiva:
- Define o comportamento reológico do material, relacionando as deformações com as
tensões;
- Só conhecida através de ensaios experimentais;
- Pode ser influenciada por algumas características dos materiais (por ex.: anisotropia,
viscosidade, plasticidade, etc.);
- A sua investigação pertence à mecânica dos sólidos.
11
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
1 - Introdução
O que é Resistência dos Materiais?
- Disciplina da mecânica que foca no estudo das relações entre as
cargas externas e as cargas internas, abrangendo o cálculo das
deformações do corpo que está sendo solicitado, permitindo o
estudo de sua estabilidade.
- Através da Resistência dos Materiais é possível conhecer o
comportamento reológico do material, o que permite a construção
de equações necessárias ao dimensionamento.
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CCE0329 – Resistência dos Materiais I
1 - Introdução
Unidades de distância:
1 m = 100 cm = 1000 mm
1 m = 1 x 10² cm = 1 x 10³ mm
Unidades de área:
1 m² = 10000 cm² = 1000000 mm²
1 m² = 1 x (102)2 cm² = 1 x (103)2 
mm² 
Unidades de volume:
1 m3 = 10000 cm² = 1000000 mm²
1 m3 = 1 x (102)3 cm3 = 1 x (103)3 
mm3
Unidades de força:
1 kgf ≅ 10 N
1 N = 0,001 kN = 0,1 kgf = 0,0001 tonf
1 kN = 1000 N = 100 kgf = 0,1 tonf
Unidades de pressão:
1 MPa = 1 N/mm²
1 MPa = 10 kgf/cm²
Transformação de unidades
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2 – Forças no plano
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
2 – Forças no plano
14
1ª Lei de Newton: 
Se uma partícula está em repouso ou em movimento, tende a
apresentar a mesma condição se não for sujeita a uma força de
desequilíbrio.
2ª Lei de Newton: 
A soma de todas as forças que atua em um corpo é igual ao
produto entre a massa do corpo e aceleração adquirida.
3ª Lei de Newton:
A cada ação corresponde uma reação de intensidade e direção
iguais e sentido oposto.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
2 – Forças no plano
15
Definição de vetor
Qualquer quantidade física que requer uma 
intensidade, direção e sentido.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
2 – Forças no plano
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Operações vetoriais - notação cartesiana
�⃗ = �� + �� = ��� + ���
�� = � × cos �
�� = � × sin �
� = tan��
��
��
� = (��)² + (��)²
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
2 – Forças no plano
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Operações vetoriais - notação cartesiana
Adição de forças coplanares
�⃗ + � =
= (��� + ���) + (��� + ���) =
= (��+��)� + (��−��)� =
= A cos � + B cos � � + (A sin � − B sin �)�
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
2 – Forças no plano
18
Exercício 2.1:
Determinar as componentes cartesianas da força resultante, o seu módulo 
e o menor ângulo em relação ao eixo xx. 
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
2 – Forças no plano
19
Exercício 2.2:
Determinar as componentes cartesianas da força resultante, o seu módulo 
e os menores ângulos em relação aos eixos xx e yy.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
2 – Forças no plano
20
Exercício 2.3:
Determinar as componentes cartesianas da força resultante, o seu módulo 
e os menores ângulos em relação aos eixos xx e yy.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
2 – Forças no plano
21
Exercício 2.4:
Sabendo que a intensidade do vetor da força resultante é de 600N e o ângulo que este faz 
com o semi-eixo positivo dos xx é de 30° no sentido horário, determine F1 e o ângulo θ, 
representados na figura.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
2 – Forças no plano
22
Forças em cabos
Hibbeler (2011)
- Cabos (ou fios) têm peso
desprezável e não
apresentam deformação
axial;
- Cabos apenas suportam
forças axiais.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
2 – Forças no plano
23
Forças em molas
Hibbeler (2011)
� = ��
� = � − ��
�� � > 0, � "puxa" � ����
�� � < 0, � "empur��" � ����
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
2 – Forças no plano
24
Equilíbrio de forças
� �� + � �� = 0
� �� � � + � �� � � = 0
� � = 0
“Equilíbrio” ou “equilíbrio estático”
CCE1041 – Mecânica Geral
1 - Forças no plano
25
Diagrama de corpo livre
- Representaçãoisolada de uma ou várias partículas;
- Auxilia na representação de todas as forças/ações que atuam
em uma ou mais partículas.
Procedimento:
1 – Desenhar a partícula a ser estudada;
2 – Representar todas as forças;
3 – Identificar todas as forças.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
2 – Forças no plano
26
Hibbeler (2011) Hibbeler (2011)
Diagrama de corpo livre
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
2 – Forças no plano
27
Diagrama de corpo livre
Hibbeler (2011)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
2 – Forças no plano
28
Exercício 2.5:
Determine a força de tração nos cabos BA e BC, sabendo que o
cilindro pesa 60 kg. Considere g = 9,81 m/s2.
Hibbeler (2011)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
2 – Forças no plano
29
Exercício 2.6:
Determine as tensões nos cabos AB, AD e AC do sistema em
equilíbrio apresentado na figura. Considere g = 9,81 m/s2.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
2 – Forças no plano
30
Exercício 2.7:
O sistema representado na figura está em equilíbrio.
Determine a massa do corpo localizado no ponto A. Considere
g = 9,81 m/s2.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
2 – Forças no plano
31
Exercício 2.8:
Sabendo que o sistema representado se encontra em
equilíbrio e que o comprimento não deformado do cabo AB é
igual a 3m, calcule a massa do corpo localizado em D.
Considere g = 9,81 m/s2.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
2 – Forças no plano
32
Exercício 2.9:
Sabendo que o sistema representado se encontra em
equilíbrio e que o comprimento não deformado do cabo AB é
igual a 200mm, calcule as tensões nos cabos BC e BD.
Considere g = 9,81 m/s2.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
2 – Forças no plano
33
Exercício 2.10:
Hibbeler (2011)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
2 – Forças no plano
34
3 – Corpos rígidos
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
3 – Corpos rígidos
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Força: é uma ação realizada por um corpo em um outro.
Forças atuantes em um corpo:
- forças externas:
devidas às ações externas ao corpo em consideração.
- forças externas ativas:
atuam diretamente no(s) corpo(s).
- forças externas reativas:
são dependentes das forças externas ativas e dos
vínculos/ligações que impedem os movimentos dos corpos.
- forças internas:
devidas às ações entre partículas materiais de um mesmo corpo.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
3 – Corpos rígidos
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Todos os materiais se deformam sob ação de forças.
Se as deformações de um determinado corpo forem
desprezáveis: corpo rígido.
Corpo rígido: é todo o corpo que apresenta capacidade
de suporte de cargas/ações/forças, sem exibir
deformações.
No caso de se pretender determinar a resistência
mecânica de um corpo ou as suas deformações, não é
possível considerar um corpo rígido.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
3 – Corpos rígidos
37
Quando os corpos são suficientemente pequenos, é
possível considerar que todas as forças atuam em um
mesmo ponto material (ponto de aplicação das forças).
No caso de várias forças atuando em um corpo cujas
dimensões não são desprezáveis, é necessário considerar
um conjunto de pontos materiais (pontos de aplicação
das forças).
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
3 – Corpos rígidos
38
Momento de uma força:
Um corpo, quando sujeito a uma ação, tende a rotacionar. 
A essa tendência, chamamos de torque, momento de 
uma força ou apenas momento.
Hibbeler (2011)
�� = �. �. ����
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
3 – Corpos rígidos
39
Momento de uma força – formulação escalar:
�� = �. �. ��� �
F = força aplicada
d = braço da força
θ = ângulo formado entre d e F
Sentido positivo: anti-horário
Nota: normalmente considera-se θ = 90°,
uma vez que sen (90) = 1 (valor máximo) 
Hibbeler (2011)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
3 – Corpos rígidos
40
Momento resultante de um conjunto de forças:
Hibbeler (2011)
(��)� = � ��
(��)� = ���� − ���� + ����
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
3 – Corpos rígidos
41
Momento de uma força – princípio da transmissibilidade:
Hibbeler (2011)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
3 – Corpos rígidos
42
Princípio dos momentos - Teorema de Varignon:
O momento de uma força em relação a um ponto é igual
à soma dos momentos das componentes da força em
relação ao mesmo ponto.
Hibbeler (2011)
�� = � × � = � × �� + ��
�� = � × �� + � × ��
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
3 – Corpos rígidos
43
Princípio dos momentos - Teorema de Varignon:
Hibbeler (2011)
�� = ��
�� = −�� � + �� �
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
3 – Corpos rígidos
44
Exercício 3.1:
Determine o momento resultante das quatro forças que
atuam na barra em relação ao ponto O.
Hibbeler (2011)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
3 – Corpos rígidos
45
Exercício 3.2:
Determine o valor do momento da força em relação ao 
ponto O.
Hibbeler (2011)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
3 – Corpos rígidos
46
Exercício 3.3:
Determine o valor do momento da força em relação ao 
ponto O.
Hibbeler (2011)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
3 – Corpos rígidos
47
Exercício 3.4:
Determine o momento da força em relação ao ponto O.
Hibbeler (2011)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
3 – Corpos rígidos
48
Exercício 3.5:
Hibbeler (2011)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
3 – Corpos rígidos
49
Exercício 3.6:
Hibbeler (2011)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
3 – Corpos rígidos
50
4 – Equilíbrio de corpos 
rígidos
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
4 – Equilíbrio de corpos rígidos
51
Condições necessárias para ocorrer o equilíbrio de um corpo:
� �� = 0
� �� = 0
� �� = 0
�� = � � = �
� �� = �
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
4 – Equilíbrio de corpos rígidos
52
Equilíbrio no plano:
- os corpos são considerados em um único plano, logo o sistema
de forças é coplanar;
- para uma melhor compreensão do problema, é necessário
recorrer aos diagramas de corpo livre;
- os corpos podem ter diferentes vinculações (logo, diferentes
reações) em relação ao seu meio exterior;
- para cada translação restringida existe uma força de reação
(reação de apoio);
- para cada rotação restringida existe uma reação momento.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
4 – Equilíbrio de corpos rígidos
53
Apoios com 1 incógnita:
Junior (2015)
Almeida (2015)
Apoio simples ou apoio móvel
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
4 – Equilíbrio de corpos rígidos
54
Apoios com 1 incógnita:
Hibbeler (2011)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
4 – Equilíbrio de corpos rígidos
55
Apoios com 1 incógnita:
Hibbeler (2011)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
4 – Equilíbrio de corpos rígidos
56
Apoios com 2 incógnitas:
Junior (2015)
Almeida (2015)
Apoio fixo, apoio duplo, apoio do 2º gênero ou articulação
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
4 – Equilíbrio de corpos rígidos
57
Apoios com 2 incógnitas:
Hibbeler (2011)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
4 – Equilíbrio de corpos rígidos
58
Apoios com 2 incógnitas:
Junior (2015)
Hibbeler (2011)
Engaste móvel, slide ou pistão
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
4 – Equilíbrio de corpos rígidos
59
Almeida (2015)
Apoios com 3 incógnitas:
Engaste
Hibbeler (2011)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
4 – Equilíbrio de corpos rígidos
60
Exercício 4.1:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
4 – Equilíbrio de corpos rígidos
61
Exercício 4.2:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
4 – Equilíbriode corpos rígidos
62
Exercício 4.3:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
4 – Equilíbrio de corpos rígidos
63
Exercício 4.4:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
4 – Equilíbrio de corpos rígidos
64
Exercício 4.5:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
4 – Equilíbrio de corpos rígidos
65
Exercício 4.6:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
4 – Equilíbrio de corpos rígidos
66
Exercício 4.7:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
4 – Equilíbrio de corpos rígidos
67
5 – Esforços solicitantes
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
5 – Esforços solicitantes
68
1 – Todos os corpos são deformáveis;
2 – Mesmo com um equilíbrio de forças externas, as forças
internas não se equilibram imediatamente;
3 – O equilíbrio das forças internas só ocorre após algum tempo
depois do início da aplicação das cargas;
Fonseca (1976)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
5 – Esforços solicitantes
69
4 – Após ocorrer o equilíbrio das forças internas, as moléculas da
parte direita irão exercer ações (P2, P3 e P4) nas moléculas da parte
esquerda do corpo;
5 – As ações (P1 e Pn) têm intensidade e direções iguais e sentidos
opostos;
Fonseca (1976)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
5 – Esforços solicitantes
70
6 – As distribuições das forças internas em uma seção pode ser
determinada através da força resultante das forças externas e pelo
momento resultante;
7 - A força resultante (R) e o momento resultante (G) das partes
esquerda e direita deverão ter intensidade e direção iguais e
sentidos opostos;
Fonseca (1976)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
5 – Esforços solicitantes
71
8 – R e G que atuam na parte esquerda são devidas a P2, P3 e P4. r
e G que atuam na parte direita são devidos a P1 e Pn que atuam na
parte esquerda;
9 – Cada seção está em equilíbrio (R e G têm direções e
intensidades iguais, mas sentidos opostos);
Fonseca (1976)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
5 – Esforços solicitantes
72
10 – Princípio da superposição dos efeitos: se os materiais se
encontram em regime elástico (deformações dos materiais
suficientemente reduzidas) o efeito global de um conjunto de
forças é igual à soma do efeito de cada ação;
11 – Analisando R e G isoladamente, temos:
Fonseca (1976)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
5 – Esforços solicitantes
73
12 – Analisando R isoladamente, temos:
N = esforço axial ou esforço normal
Q ou V = esforço cortante ou esforço de cisalhamento
Fonseca (1976)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
5 – Esforços solicitantes
74
13 – Analisando G isoladamente, temos:
T = momento torsor
M = momento fletor
Fonseca (1976)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
5 – Esforços solicitantes
75
14 – M atua no plano da seção;
15 – M provoca a rotação da seção em torno do seu eixo horizontal;
Fonseca (1976)
CCE1041 – Mecânica Geral
5 – Esforços solicitantes
76
Esforço normal: tendência para comprimir (compressão) ou
distender (tração) a seção;
Esforço cortante: tendência para cortar a seção;
Momento torsor: tendência para rotacionar a seção em torno do
eixo perpendicular ao plano desta;
Momento fletor: tendência para rotacionar a seção em torno de
um eixo contido pelo plano desta.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
5 – Esforços solicitantes
77
Almeida (2009)
ou V
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
5 – Esforços solicitantes
78
1 – Determinação das reações de apoio;
2 – Localizar seções-chave (ou elementos);
3 – Calcular esforços à esquerda ou à direita das seções (ou
elementos);
4 – Traçar os diagramas.
Localização das seções-chave (ou elementos):
- Vínculos externos (antes e após, se aplicável);
- Vínculos internos (antes e após);
- Forças ou momentos concentradas(os) (antes e após);
Diagramas de esforços ou linhas de estado em estruturas planas:
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
5 – Esforços solicitantes
79
Diagrama de esforço normal:
Almeida (2009)
Diagramas de esforços ou linhas de estado em estruturas planas:
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
5 – Esforços solicitantes
80
Exercício 5.1:
Trace o diagrama de esforço normal.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
5 – Esforços solicitantes
81
Exercício 5.2:
Trace o diagrama de esforço normal.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
5 – Esforços solicitantes
82
Exercício 5.3:
Trace o diagrama de esforço normal.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
5 – Esforços solicitantes
83
Exercício 5.4:
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
5 – Esforços solicitantes
Hibbeler (2010)
84
6 – Cargas axiais
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
85
Hipóteses:
- Materiais contínuos - não existem interrupções dos materiais, não
existem vazios, a matéria é contínua em vez de ser composta por
átomos e moléculas.
- Materiais coesos – toda a matéria está devidamente interligada.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
86
Hibbeler (2010)
1 – Considere-se um corpo qualquer sujeito a duas ações (F1, F2, F3 e F4).
2 – Se o corpo for secionado e separado, é possível constatar a presença das
forças que a parte superior exerce na parte inferior.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
87
Hibbeler (2010)
3 – Considere-se agora uma área infinitesimal ΔA, pertencente à seção da
parte inferior;
4 – Uma força infinitesimal ΔF, com direção e sentido iguais a Fr ,
atravessa a área ΔA;
5 – ΔF pode ser decomposta em uma projeção normal ao plano de ΔA –
ΔFz – e em duas projeções tangentes ao plano de ΔA – ΔFx e ΔFy;
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
88
Hibbeler (2010)
6 – Quanto menor for ΔA, menor será ΔF;
7 – A relação (quociente) entre F e A compõe a tensão e caracteriza a
intensidade da força que passa por uma unidade de área;
8 - Tensão normal será calculada através de:
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
89
Hibbeler (2010)
9 – A tensão de cisalhamento será dada através de:
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
90
Hibbeler (2010)
Direção perpendicular 
à face
10 – Para outras faces do corpo, as tensões são definidas pelas direções
perpendiculares à face e pelas direções tangenciais a estas;
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
91
11 – O estado geral de tensão de é obtido através do corte do corpo de
forma a ser obtido um volume infinitesimal ΔV.
1 ��� = 1 × 106 ��
1 ��� = 1 �/��²
Hibbeler (2010)
1 �� = 1 �/�²
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
92
Hibbeler (2010)
Para determinar a distribuição da tensão normal média atuante em
uma barra sujeita a carga axial, deve-se considerar que:
1 – A barra irá permanecer reta antes e depois da aplicação da carga (as seções
transversais irão permanecer planas);
2 – P será aplicada ao longo do eixo da barra, que passa pelo centroide da seção
transversal (haverá deformação uniforme);
3 – Material homogêneo (mesmas propriedades físicas e mecânicas) em todo o
volume e isotrópico (mesmas propriedades em todas as direções).
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
93
Hibbeler (2010)
Cada área ΔA estará sujeita a uma força ΔF = σ . ΔA
A seção transversal da barra - A (soma de ΔA) estará sujeita à 
soma de ΔF, então temos: 
Hibbeler (2010)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
94
Para os casos em que a seção transversalda barra e/ou o
esforço normal/axial são variáveis, é pertinente calcular
a tensão normal média máxima. Assim, o cálculo do
diagrama de esforço normal/axial é uma ferramenta
imprescindível.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
95
Exercício 6.1:
Hibbeler (2010)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
96
Exercício 6.2:
Hibbeler (2010)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
97
Exercício 6.3:
Hibbeler (2010)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
98
Exercício 6.4:
Hibbeler (2010)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
99
Exercício 6.5:
Hibbeler (2010)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
100
Tensão admissível:
Para o dimensionamento de uma barra sujeita a um carregamento axial,
existe um limite para as ações atuantes tal que a ação atuante não poderá
ser superior à ação admissível.
Os motivos para esta condição poderão ser inerentes a incertezas no
cálculo, do material, da execução, da quantificação das cargas, de
alterações nas estruturas durante o seu tempo de vida útil, de ações
desconhecidas, etc.
Para que a ação admissível não seja ultrapassada, recorre-se a um fator de
segurança (FS), sempre superior a 1,0.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
101
Exercício 6.6:
Hibbeler (2010)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
102
Exercício 6.7:
Hibbeler (2010)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
103
Hibbeler (2010)
Quando um corpo está sujeito a uma força, este tende a apresentar
mudanças na sua forma. Essas mudanças são chamadas de
deformações.
As deformações, em geral, não são uniformes para todo o volume de um
corpo. Estas são consideradas suficientemente pequenas em aplicações
de engenharia.
As deformações podem ser relacionadas com as tensões através da lei
constitutiva do material.
Deformação normal (grandeza adimensional): é o alongamento ou
encurtamento por unidade de comprimento. O seu valor é dado por:
Para valores pequenos de s, temos:
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
104
Exercício 6.8:
Hibbeler (2010)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
105
Exercício 6.9:
Hibbeler (2010)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
106
Exercício 6.10:
Hibbeler (2010)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
107
Exercício 6.11 a):
Hibbeler (2010)
Exercício 6.11 b):
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
108
Exercício 6.12:
Hibbeler (2010)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
109
Exercício 6.13 a):
Hibbeler (2010)
Exercício 6.13 b):
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
110
Hibbeler (2010)
Exercício 6.14 a):
Exercício 6.14 b):
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
6 – Cargas axiais
111
7 – Propriedades mecânicas 
dos materiais
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
7 – Propriedades mecânicas dos materiais
112
A resistência de um material é a capacidade que este apresenta para
suportar cargas sem exibir deformações excessivas ou rupturas.
A resistência mecânica de um material deve ser determinada por
ensaios com metodologias e corpos de prova (CP’s) padronizados .
Alguns videos de ensaios de compressão:
https://www.youtube.com/watch?v=91-Eb3noNCs
https://www.youtube.com/watch?v=0_s_vfI4v3g
https://www.youtube.com/watch?v=y5dx9zQFu3Q
Alguns videos de ensaios de tração:
https://www.youtube.com/watch?v=CMdKW09HWzs
https://www.youtube.com/watch?v=sKBOdB0x4gk
https://www.youtube.com/watch?v=wgoU-UJpj90
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
7 – Propriedades mecânicas dos materiais
113
Os CP’s apresentam uma área de seção transversal inicial (A0) e um
comprimento inicial (L0) que servem como referência.
A máquina de ensaios exerce forças axiais (ou deslocamentos) com
taxas de aplicação pré-definidas e apresenta os valores em
intervalos de tempo.
Para calcular o alongamento (δ = Lf – L0), são utilizados
extensômetros, que fornecem os valores das distâncias entre dois
pontos do corpo previamente identificados (algumas máquinas de
ensaio já dispõem destes equipamentos incorporados).
O resultado final é o diagrama tensão-deformação.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
7 – Propriedades mecânicas dos materiais
114
Hibbeler (2010)
O diagrama tensão-deformação providencia informações acerca do
comportamento reológico do material.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
7 – Propriedades mecânicas dos materiais
115
Hibbeler (2010)
Tensão nominal ou tensão de engenharia – considera a tensão
constante em todos os pontos do CP.
Deformação nominal ou deformação de engenharia – considera
a tensão constante em todos os pontos do CP.
Com a tensão nominal e a deformação nominal, podemos obter o
diagrama tensão-deformação convencional (não considera a
geometria do CP).
Hibbeler (2010)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
7 – Propriedades mecânicas dos materiais
116
Comportamento elástico:
- a tensão é proporcional à deformação;
- é válida a Lei de Hooke:
onde E é o módulo de Elasticidade ou módulo de
Young (igual ao declive da reta na região elástica)
Hibbeler (2010)
- o limite superior do comportamento elástico é chamado de limite de
proporcionalidade (tensão limite de proporcionalidade: σlp);
- se a tensão ultrapassar σlp, a reta tende a transformar-se em uma curva
até atingir o limite de elasticidade;
- um corpo, neste estado, exibe um comportamento elástico linear.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
7 – Propriedades mecânicas dos materiais
117
Comportamento plástico:
- após atingir o limite de elasticidade, a tensão
apresenta um pequeno aumento sucedido de
decréscimo, passando a surgir deformações
irreversíveis (plásticas), também conhecido como
escoamento;
- a tensão que provoca o escoamento é chamada
de tensão de escoamento, σe);
- em alguns materiais, é possível diferenciar o ponto de escoamento superior
(tensão imediatamente após o limite de elasticidade) do ponto de escoamento
inferior (tensão que sofreu um decréscimo após o limite de elasticidade);
- durante o escoamento ocorre o aumento da deformação sem que hajam
acréscimos de tensão;
- um corpo, neste estado, exibe um comportamento perfeitamente plástico;
- uma vez que, em geral, σe e σlp estão próximos, é possível considerar iguais;
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
7 – Propriedades mecânicas dos materiais
118
Comportamento plástico:
- quando o material se encontra no final do
escoamento, experimental o endurecimento por
deformação;
- o endurecimento por deformação apresenta
acréscimos de tensão e de deformação até atingir o
limite de resistência (tensão limite de resistência:
σlr);
- a seção transversal do corpo submetido à tração vai diminuindo no decorrer do
ensaio (este fenômeno ocorre ao longo de todo o comprimento de referência do
corpo);
- após se atingir σlr, ocorre uma diminuição localizada da seção transversal do
corpo (estricção), devido aos deslizamentos relativos dos planos do material
(cisalhamento);
- quando a área da seção transversal é demasiado pequena para suportar a carga,
ocorre a ruptura (tensão limite de resistência: σrup).
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
7 – Propriedades mecânicas dos materiais
119
Tensão real – considera a área da seção transversal variável.
Deformação real – considera a área da seção transversal variável.
Com a tensão real e a deformação real, podemos obter o diagrama tensão-
deformação real (considera a geometria do CP).
Hibbeler (2010)
diagrama tensão-deformação realNota:
A maioria do
dimensionamento de
estruturas é realizado na
fase elástica, uma vez que as
divergências entre valores
experimentais e teóricos
são pequenas.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
7 – Propriedades mecânicas dos materiais
120
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
7 – Propriedades mecânicas dos materiais
121
Os materiais podem ser classificados quanto ao seu
comportamento mecânico.
Comportamento dúctil:
- exibe grande escoamento antes da ocorrência da ruptura;
- é desejável para estruturas, uma vez que o material “avisa” a sua
ruptura;
- a ductilidade é representada através do percentual de
alongamento ou da porcentagem da redução da seção
transversal do corpo no instante da ruptura.
Hibbeler (2010)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
7 – Propriedades mecânicas dos materiais
122
Comportamento dúctil:
- alguns materiais não apresentam patamar de escoamento (por
ex.: alumínio). Nesse caso, σlr é obtido para uma deformação de
0,2% (0,002 mm/mm), sendo a reta paralela ao comportamento
elástico do material.
Hibbeler (2010)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
7 – Propriedades mecânicas dos materiais
123
Comportamento dúctil:
- materiais que não nem exibem relações lineares entre a tensão e
a deformação (por ex.: borracha natural) apresentam um
comportamento elástico não linear.
Hibbeler (2010)
Neste caso, não 
existe limite de 
proporcionalidade!
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
7 – Propriedades mecânicas dos materiais
124
Comportamento frágil:
- materiais que exibem escoamento reduzido antes da ruptura;
Hibbeler (2010)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
7 – Propriedades mecânicas dos materiais
125
Hibbeler (2010)
Comportamento frágil:
- materiais que exibem escoamento reduzido antes da ruptura;
NOTA: os materiais podem apresentar comportamentos dúcteis e frágeis, a
depender das condições de contorno (temperatura, umidade, etc.) ou da sua
composição química (aços com teores de carbono diferentes).
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
7 – Propriedades mecânicas dos materiais
126
Energia de deformação:
- traduz a forma como o material armazena a energia, quando está sujeito
à deformação.
Módulo de resiliência:
- É obtido através da área compreendida entre o zero absoluto o
limite de proporcionalidade (fase elástica). Só é válido se o
comportamento do material for elástico linear;
- Representa a capacidade de absorção de energia, sem exibir
deformações permanentes/irreversíveis.
Hibbeler (2010)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
7 – Propriedades mecânicas dos materiais
127
Hibbeler (2010)
Energia de deformação:
Módulo de tenacidade:
- É obtido através da área total do diagrama (fases elástica e
plástica).
- Representa a capacidade de absorção de energia total do
material;
- Relevante para materiais que possam sofrer ações acidentais,
uma vez que traduz a capacidade de sofrer ruptura repentina ou
não.
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
7 – Propriedades mecânicas dos materiais
128
Exercício 7.1:
Hibbeler (2010)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
7 – Propriedades mecânicas dos materiais
129
Exercício 7.2:
Hibbeler (2010)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
7 – Propriedades mecânicas dos materiais
130
Exercício 7.3:
Hibbeler (2010)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
7 – Propriedades mecânicas dos materiais
131
Coeficiente de Poisson:
- O coeficiente de Poisson é o quociente entre a deformação
lateral e a deformação longitudinal;
- É válido para materiais homogêneos e isotrópicos;
- Na expressão, o sinal negativo é devido à contração lateral
(deformação negativa);
- A deformação é a mesma em todas as direções laterais ou
radiais e é causada apenas pela carga axial.
Hibbeler (2010)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
7 – Propriedades mecânicas dos materiais
132
Exercício 7.4:
Hibbeler (2010)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
7 – Propriedades mecânicas dos materiais
133
Exercício 7.5:
Hibbeler (2010)
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
7 – Propriedades mecânicas dos materiais
134
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
8 – Cisalhamento
8 – Cisalhamento
135
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
8 – Cisalhamento
Hibbeler (2010)
136
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
8 – Cisalhamento
Hibbeler (2010)
Direção perpendicular 
à face
137
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
8 – Cisalhamento
Hibbeler (2010)
138
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
8 – Cisalhamento
Hibbeler (2010)
Tensão de cisalhamento simples ou direto 
(provocado somente pela força)
139
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
8 – Cisalhamento
Hibbeler (2010)
Cisalhamento simples em conexões
despreza-se o atrito e o momento fletor (para placas finas)
140
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
8 – Cisalhamento
Hibbeler (2010)
141
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
8 – Cisalhamento
142
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
8 – Cisalhamento
Hibbeler (2010)
143
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
8 – Cisalhamento
Exercício 8.1:
Hibbeler (2010)
144
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
8 – Cisalhamento
Exercício 8.2:
Hibbeler (2010)
145
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
8 – Cisalhamento
Hibbeler (2010)
146
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
8 – Cisalhamento
Exercício 8.3:
Hibbeler (2010)
147
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
8 – Cisalhamento
Exercício 8.4:
Hibbeler (2010)
148
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
8 – Cisalhamento
Exercício 8.5:
Hibbeler (2010)
149
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
8 – Cisalhamento
Exercício 8.6:
Hibbeler (2010)
150
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
8 – Cisalhamento
Exercício 8.7:
Hibbeler (2010)
151
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
8 – Cisalhamento
Exercício 8.8:
Hibbeler (2010)
152
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
8 – Cisalhamento
Exercício 8.9:
Hibbeler (2010)
153
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
8 – Cisalhamento
Exercício 8.10:
Hibbeler (2010)
154
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
8 – Cisalhamento
Exercício 8.11:
Hibbeler (2010)
155
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
8 – Cisalhamento
- Tensões tangenciais iguais nas quatro faces
- Material homogêneo e isotrópico
� = distorção angular
�� = tensão de cisalhamento máxima
���� = tensão de cisalhamento de ruptura
��� = tensão limite de proporcionalidade
� = módulo de elasticidade ao cisalhamento ou módulo de rigidez
Hibbeler (2010)
156
CCE0329 – Resistência dos Materiais I
8 – Cisalhamento
Exercício 8.12:
Hibbeler (2010)