Lista 4 Física 2

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F´ısica 2 - EMB5039
Prof. Diego Duarte
Oscilac¸o˜es (lista 4)
19 de abril de 2017
1. Mostre que a equac¸a˜o que descreve o sistema massa-mola vertical da
figura 1 e´ dada por:
d2y′
dt2
+ ω2y′ = 0 (1)
em que ω =
√
k/m e´ a frequeˆncia natural de oscilac¸a˜o do sistema e y′
a deformac¸a˜o da mola em relac¸a˜o ao ponto de equil´ıbrio. A equac¸a˜o
1 e´ chamada de equac¸a˜o diferencial ordina´ria linear de segunda ordem
homogeˆna e com coeficientes constantes, ou apenas EDO de segunda
ordem. Considerando que o sistema parte da condic¸a˜o y′ = ymax em
t = 0, (a) mostre que a posic¸a˜o da mola em func¸a˜o do tempo pode
ser representada por uma func¸a˜o do tipo y(t) = A cos (Bt) em que A
e B sa˜o constantes. Mostre tambe´m que A = ymax e B = ω. (b)
Calcule a velocidade e a acelerac¸a˜o do corpo em func¸a˜o do tempo. (c)
Trace os gra´ficos x(t), v(t) e a(t) e fac¸a a comparac¸a˜o entre as curvas
para 0 ≤ ωt ≤ 2pi, identificando os pontos de ma´ximos e mı´nimos para
cada func¸a˜o e associando estas propriedades com o problema f´ısico.
(d) Mostre que a energia mecaˆnica e´ conservada. (e) Acesse o pro-
grama “Massas e Molas”na plataforma PhET [1] e mec¸a o per´ıodo de
oscilac¸a˜o do sistema massa-mola considerando as massas de 50, 100 e
250g. Fac¸a 5 medidas para cada massa, anote estes resultados e cal-
cule a me´dia artime´tica. Compare os valores me´dios com o resultado
obtido com equac¸a˜o do per´ıodo, que pode ser calculado a partir da
frequeˆncia angular ω. Explique a diferenc¸a entre o valor experimental
e o valor teo´rico. Lembre-se que para calcular o valor teo´rico, voceˆ
precisa conhecer a constante ela´stica da mola (a dica esta´ na figura
1). A frequeˆncia de oscilac¸a˜o depende da massa? Explique. Fac¸a este
mesmo experimento considerando a acelerac¸a˜o gravitacional de Ju´piter
e considerando o caso sem acelerac¸a˜o gravitacional.
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Figura 1: Exerc´ıcio 1.
2. Mostre que a equac¸a˜o que descreve o peˆndulo simples da figura 2 e´
dada por:
d2φ
dt2
+ ω2 sinφ = 0 (2)
em que ω =
√
g/L e´ a frequeˆncia angular de oscilac¸a˜o. Fac¸a a ana´lise
para pequenas oscilac¸o˜es (φ ≈ 0) e mostre que, neste caso, a soluc¸a˜o
do problema e´ dada por φ = φmax cos(ωt) para φ = φmax em t = 0. (a)
Acesse o programa “Pendulum Lab”na plataforma PhET [2] e mec¸a
o per´ıodo de oscilac¸a˜o para diferentes massas (0,5 kg ≤ m ≤ 2,0 kg)
e comprimentos da haste (0,5 m ≤ L ≤ 2,5 m). (b) Fac¸a as mesmas
medidas considerando a acelerac¸a˜o graviacional da Lua. (c) Calcule a
acelerac¸a˜o gravitacional do “Planeta X”. (d) A frequeˆncia angular de
oscilac¸a˜o depende da massa? Justifique com argumentos f´ısicos.
2
Figura 2: Exerc´ıcio 2.
3. Considere um sistema massa mola amortecido similar ao da figura 3
onde que a forc¸a de arrasto, devido ao fluido, e´ dado por −bv. Mostre
que a equac¸a˜o do movimento e´ representada por:
m
d2y
dt2
+ b
dy
dt
+ ky = 0 (3)
em que y e´ a posic¸a˜o instantaˆnea do corpo de massa m. Mostre que a
equac¸a˜o:
y(t) = ymaxe
−(b/2m)t cosω′t (4)
satisfaz a equac¸a˜o 3 em que ω′ = ω0
√
1−
(
b
2mω0
)2
com ω0 =
√
k/m.
Estude os casos subamortecido e criticamente amortecido e esboce as
soluc¸o˜es y(t). Considere que este mesmo corpo e´ excitado por uma
forc¸a externa na forma F0 cosωt em que ω e´ a frequeˆncia angular de ex-
citac¸a˜o. Neste caso, a amplitude de oscilac¸a˜o, em regime estaciona´rio,
e´ representada por:
A =
F0√
m2(ω20 − ω2) + b2ω2
(5)
3
Esboce o gra´fico da equac¸a˜o 5 em func¸a˜o de ω e indique qual a regia˜o
que devemos evitar para que o sistema na˜o tenha ressonaˆncia.
Figura 3: Exerc´ıcio 3.
4. Um peˆndulo simples, de comprimento L, esta´ preso a um carrinho
massivo que desce um plano inclinado, sem atrito, que forma um aˆngulo
θ com a horizontal, como mostra a figura 4. Determine o per´ıodo de
pequenas oscilac¸o˜es para este peˆndulo.
Resposta: T = 2pi
√
L/(g cos θ)
5. Um peˆndulo, em seu laborato´rio de f´ısica, tem um comprimento de
75 cm e uma bolinha de 15 g de massa. Despreze a massa da haste.
Para iniciar o balanc¸o da bolinha, voceˆ colocar um ventilador pro´ximo
a` ela, soprando uma corrente horizontal de ar. Enquanto o ventilador
esta´ ligado, a bolinha fica em equil´ıbrio com o peˆndulo deslocado de
um aˆngulo de 5,0◦ com a vertical. O vento e´ soprado pelo ventilador
a 7,0 m/s. Voceˆ desliga o ventilador e deixa que o peˆndulo oscile. (a)
Supondo que a forc¸a de arrasto seja dada pela forma −bv, calcule a
constante b. (b) Quanto tempo levara´ para a amplitude do peˆndulo
chegar em 1,0◦?
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Figura 4: Exerc´ıcio 4.
6. Um bloco de massa m, em repouso sobre uma mesa horizontal, e´ preso
a uma mola que tem uma constante ela´stica k, como mostra a figura
5. O coeficiente de atrito cine´tico entre o bloco e a mesa e´ µc. (a) Um
impulso inicial para direita e´ aplicado sobre a massa quando a mola
esta´ na posic¸a˜o x = 0. Mostre a equac¸a˜o do movimento neste caso
(1/4 do per´ıodo) e´ dada por:
d2x′
dt2
+ ω2x′ = 0 (6)
em que x′ = x + µcmg/k e ω =
√
k/m. (b) Mostre que no segundo
quarto do per´ıodo (movimento da direita para x = 0), a equac¸a˜o do
movimento sera´:
d2x′′
dt2
+ ω2x′′ = 0 (7)
com x′′ = x − µcmg/k. Dica: em cada situac¸a˜o, observe o sentido da
forc¸a ela´stica e da forc¸a de atrito.
Figura 5: Exerc´ıcio 6.
7. Um corpo de 3,0 kg, sobre uma superf´ıcie horizontal sem atrito, oscila
preso a uma das extremidades de uma mola com uma amplitude de 8,0
cm. Sua acelerac¸a˜o ma´xima e´ 3,5 m/s2. Determine a energia mecaˆnica
total.
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Refereˆncias
[1] Massas e Molas, Phet Interactive Simulations. Last view: 18/04/2017.
[2] Pendulum Lab, Phet Interactive Simulations. Last view: 19/04/2017.
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