Cálculo II

Prévia do material em texto

1. Passando o ponto P(1,√3) de coordenadas cartesianas para coordenadas polares vamos obter: 
( 2, π/6) 
2. Determine o domínio da função: F(x,y) = ( 1/√y , 1/√-x ) 
{ (x,y) ϵ R2 ; x < 0 e y > 0 } 
3. Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. 
Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da 
velocidade da asa-delta no instante t = 0. 
3 
4. Seja a função vetorial r(t) = (t²)i + (t −2)j + (5t² - 10)k . O limite dessa função quando t → 2 é dado por: 
〈4,6,10〉 
5. Calcule a derivada parcial de segunda ordem da função: f(x,y) = 2.x2 + y2. 
 
fxx = 4, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 2 
 
6. Seja F = F(x,y,z) a função identicamente nula. Então, ∂F/∂x - ∂F/∂y + ∂F/∂z é igual a: 
0 
7. Qual é o valor da derivada direcional da função f(x,y) = x2 + y2 no ponto (1,1) e na direção do vetor U = (0,-1) 
-2 
8. Encontre dwdt se: w = x.y + z, x = cost t, y = sent, z = t. Qual é o valor da derivada em t = 0? 
2 
 
9. Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫ ∫(x2 + y2) dxdy para 
os intervalos R=[-1,1] x[-2,1]. 
8(u.v.) 
10. 
27/2 
11. Calcule r'(t)=v(t) e indique a única resposta correta se r(t)=ti + (2 - t)j,em t = 1. 
r'(t)=v(t)=12i – j 
12. O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2j. Determine a 
aceleração do objeto no instante t = 1. 
6ti+2j 
 
13. Considerando as funções f(t), g(t) e h(t) para t pertencente aos Reais, analise as afirmativas abaixo: 
 
 
I. A função f(t) é contínua para t = 0; 
II. A função g(t) é descontínua para t = 0; 
III. A função h(t) não possui imagem para t = pi/6; 
Encontramos afirmativas corretas somente em: 
I e II 
14. Determine a única resposta correta para: 
(a) a derivada de r(t) =(1+t3)i+ te-tj+sen2tk 
(b) o versor tangente T em t=0. 
(b) T(0)=15j + 25k 
 
15. Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é: 
2sent i - cost j + t2 k + C 
 
16. O limite da função vetorial r = (t²)i + (t-1)j + (e^t)k quando t = 0 é: 
(0, -1, 1) 
17. Determine a única resposta correta para a equação paramética para a reta que passa por P(3, -4, -1) paralela 
ao vetor v = i + j + k 
x=3+t; y=-4+t; z=-1+t 
18. Calcule o versor tangente T(0),se: r(t)=costi + 3tj + 2sen2tk. 
T(0)=<35,45> 
19. Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
20. O limite da função vetorial r = (t²)i + (t-1)j + (e^t)k quando t = 0 é: 
(0, -1, 1) 
21. Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é: 
2sent i - cost j + t2 k + C 
22. Qual a condição de a para que o lim(t→0)〖e^(t + 1) i + [1/(e^t - a)] j - √(t^2 + 4)k] exista. 
a ≠ 1 
23. O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t)=t³i+t²j. Calcule a aceleração em t=2s. 
6i+2j 
24. O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2j. Determine a 
aceleração do objeto no instante t = 1. 
6ti+2j 
25. Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira ou (F) caso seja falsa: 
1) ( ) A reta tangente a uma curva r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k em t0 é uma reta 
que passa pelo ponto P(x(t0),y(t0),z(t0) paralela ao vetor v(t) = x'(t0)i + y'(t0)j + z'(t0)k. 
2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente são: x =x(t0) + t.x'(t0)y= y(t0) + t.y'(t0)z= z(t0) + t.z'(t0) 
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva derivável r(t) é: T= v(t)|v(t)|. 
4) ( ) O comprimento L de uma curva lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado por L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2 
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano é N=dTdt|dTdt| 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
26. Encontre a equação polar correspondente a equação cartesiana dada por 
 
r =3 tg θ . sec θ 
27. Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) : 
f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j 
28. Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta. 
(1-cost,sent,0) 
29. Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de fx,y) em função de x 
e em função de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, respectivamente. 
0 e 0 
30. O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, 
de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k 
i + j + k 
31. Encontrando Derivadas. Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk? 
(cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 
32. Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única resposta correta. 
(-sent, cost,1) 
33. Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2 
A 
34. Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1) 
4,47 
35. Encontre a derivada parcial fy se f(x,y) = y.senxy. 
xy.cosxy + senxy 
36. Encontre ∂z/∂x se a equação é yz - ln z = x + y. 
 
z / (yz - 1) 
37. A circunferência \(x ^2+y ^2 = 9\) em coordenadas polares é dada por: 
r = 3 
38. Encontre ∂y/∂x para y^(2 )- x^2-sen (x.y)=o usando derivação implícita. 
(2x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy)) 
 
39. Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é: 
V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t) 
 
40. Calcule a integral definida: ∫01 [t3i + 7j + (t + 1)k]dt. 
 
0,25i + 7j + 1,5k 
 
41. 
 
 
42. Determine a única resposta correta para a equação paramética para a reta que passa por P(3, -4, -1) paralela 
ao vetor v = i + j + k. 
x=3+t; y=-4+t; z=-1+t 
43. Use a regra da cadeia para encontrar a derivada de w = xy em relação a t ao longo do caminho x = cost, y = 
sent. Qual é o valor da derivada em t = Π/2? 
-1 
44. Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x 
 
2sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
45. Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da função: f(x,y,z)=e-x+e-y+e-z no ponto P0(-1,-
1,-1) 
∇f=<-e,-e,-e> 
46. Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k 
(-sen t)i + (cos t)j 
47. Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
z=-8x+12y -14 
48. Encontre dw/dt , onde w=ln (x^2 y^2)/z com x = at, y = senbt e z = cost. 
2/t + 2bcotgt + tgt 
49. O domínio da função f(x, y) = √(25 - x^2 - y^2 ) está: 
Limitado pela circunferência do círculo de raio igual a 5, com centro em (0, 0). 
50. Determine as derivadas de primeira ordem da função: f(x,y,z) = x2y - 3xy2 + 2yz. 
fx = 2xy - 3y2 , fy = x2 - 6xy + 2z, fz = 2y 
51. A função de derivada parcial T(x,y) = 80 + 3x2 + 4y2 representa a temperatura em qualquer ponto de uma 
chapa. Calcular a razão de variação da temperatura em relação à distância percorrida ao longo da chapa na 
direção do eixo positivo de x e no ponto (2, 4), em que a temperatura média é dada em graus e a distância 
em centímetros. Então, a temperatura está: 
Aumentando em 12º/cm. 
52. Marque apenas a alternativa correta: 
Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 cm, 
respectivamente, com possível erro nessas medidas de, no máximo, 0,1 cm. Utilizando o diferencial total para 
estimar o erro máximo contido no cálculo, podemos afirmar que volume do cone é de aproximadamente 20π 
cm^3. 
53. Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = 
(t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 
2j 
54. Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz)+cos(x+2z) encontre 2∂f∂x+2∂f∂y-∂f∂z2(xz+yz-xy)xyz 
55. Encontre a integral ∬dxdy no interior da região R, definida pelos pontos (0,0), (1,0) e (0,1): 
½ ua 
56. Calcule o limite de: lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y) 
11 
57. Encontre a derivada parcial fy se f(x,y) = y.senxy. 
xy.cosxy + senxy 
58. 
 
 
9/2 u.v 
59. Marque a única resposta correta para a derivada parcial da função f(x,y) = x2 + y2 + x2y 
fx = 2x(1 + y); fy = 2y + x2 
60. Calcular o volume do sólido:∫01 ∫01-z ∫02 dxdydz. 
1 
61. Determine a integral ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy 
2π 
62. Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t2), indicando a única resposta correta. Considere a resposta 
em t=π4 
(-22,22,π2) 
63. O volume de uma esfera de raio igual a 6 vale: 
288π 
64. ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy 
 
xy cos xy + sen xy 
 
65. Se f(x,y,z) = sen(xy) + cos(z), encontre o valor máximo da derivada direcional no ponto (0,π,π/2). 
√(π^2+ 1) 
66. Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às 
variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 4] , y varia no intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 2]. 
35/4 
67. Calcule a aceleração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a única resposta correta. 
(0,-1,2) 
68. Dadas as expressões paramétricas: x=e-2t e y=6e4t indique a única expressão correta na forma y=f(x): 
y=6x2, x>0 
69. Vamos supor que a função f(x,y) = 1000 - 2x2 + 15y represente o consumo semanal de feijão de um 
restaurante (em Kg), em função do preço x (em R$) do quilo de feijão e do preço y (em R$) do quilo de 
arroz. 
Analisando os resultados das derivadas parciais fx e fy no ponto P=(3,4), podemos concluir acertadamente que: 
Aumentando o preço do feijão de 3 para 4 reais, mantendo-se fixo o preço do arroz, o consumo de feijão irá 
reduzir em, aproximadamente, 12 Kg. 
70. Seja F(x,y) = x³-y.x². Então, ∂²F/∂x² + ∂²F/∂y² é igual a 
6x - 2y 
71. Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t 
(i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1] 
4 * (14)^(1/2) 
72. Encontre dy/dx derivando implicitamente: x^(4 ) ( x+y)= y^2 (3x-y ) 
(3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy) 
73. Determine a integral ∫01∫02∫01-zdydxdz 
1 
74. Seja ∫((cost)i + (4t3)j) dt, Integrando temos: 
(sent)i + t4j 
 
75. A derivada da função f(x,y,z) = x3 - xy2 - z, em Po=(-2, 1, 0), na direção do vetor V = 2i +3j - 6k será: 
40/7 
76. Calcular o volume do sólido E limitado superiormente pela superfície de equação z = x² + y² e inferiormente 
pela região R = {(x, y) ∈ R² : 1 ≤ x² + y² ≤ 4 e x ≥ 0} 
15π/4 
77. O vetor gradiente da função f(x,y,z) = xy2z3 no ponto P = (3; -2; 1) terá módulo, aproximadamente: 
38,16 
78. Encontre a derivada direcional do escalar w= e^xyz + sen(x+y+z), na direção do vetor v = - i - j - k, no ponto 
(0, 0, π). 
√3 
79. Considere a função F(x,y,z) = ( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). Calcular o 
divergente da função F(x,y,z). 
6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) + 
 
80. Calcule a integral dupla de f(x,y) = xy^2, onde R = [−1, 0] × [0, 1]. 
-1/6 
81. Uma partícula se move no espaço com uma aceleração dada por a(t)=4ti + 6tj + k. 
Determine a sua velocidade em um instante qualquer t. 
v(t)=2t2i + 3t2j + tk + C 
82. Determine a área da região limitada por 
64/3 
83. Das alternativas abaixo, assinale a que representa a solução da derivada parcial f(x, y) = (x3 + y3) . sen(x) em 
relação a x 
3x2.sen(x) + (x3 + y3).cos(x) 
84. Seja F(r,θ,φ)=(r.cos(θ).cos(φ), r.sen(θ).cos(φ), r.sen(φ)). Então, o div F é igual a: 
cos(θ).cos(φ) + r.cos(θ).cos(φ) + r.cos(φ) 
85. Seja F(x,y) = (x²-7, x.y, z). Então div F é igual a: 
3x+1 
86. Marque apenas a alternativa correta: Qual o gradiente da função z=xy^2+yx^2 no ponto (1,2) e qual o valor 
máximo da derivada direcional neste ponto? 
8i ⃗+5j ⃗ e √89 
87. Calcule a integral de linha de função f(x,y)=2xy sobre a curva no R2 dada por x2+4y2=4 ligando os pontos 
(2,0) e (0,1) pelo arco de menor comprimento 
28/9 
88. Um objeto percorre uma elipse 4x^2 +25y^2 = 100 no sentido anti-horário e se encontra submetido à força F 
(x, y) = (−3y, 3x), com a força em Newtons e o deslocamento em metros. Ache o trabalho realizado em 
Joules. 
60PI 
89. O valor da integral é 
-1/12 
 
90. Calcular a integral tripla de F(x,y,z) = z sobre a região R limitada no primeiro octante pelos planos y=0, 
z=0, x+y=2, 2y+x=6 e pelo cilindro y^2 + z^2 = 4. 
 
26/3 
91. Para classificar o escoamento de um fluido quanto à compressibilidade recorremos ao operador ∇ . F 
Se ∇ . F=0, o escoamento é incompressível, caso contrário, é incompressível. 
Um escoamento é representado pelo campo de velocidade V(x,y ,z) = (- 2xy)i + (y2 - x2)j. 
A divergência desse campo vetorial e compressibilidade desse escoamento são: 
∇ . F = -2y + 2y, incompressível 
92. Determine a integral de linha do campo conservativo F=(2xy-3x, x^2+2y) entre os pontos (1,2) e (0,-1). 
-7/2 
93. Qual a força necessária que atua num objeto 3 kg de massa e vetor posição r = t3i + t2j + t3k? 
F = 18t i + 6 j + 18t k 
94. Use coordenadas esféricas para calcular o volume limitado acima pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 e abaixo 
pelo cone z= SQRT( x^2 + y^2). 
64*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14 
 
25, 33 
95. As coordenadas do vetor tangente à função f(t), para t pertencente ao intervalo [1;5], em t0=2 são: 
 
v = (4; 16) 
96. Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às 
variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [2 , 5] e z varia no intervalo [3 , 4]. 
203 * ( 3*x^(1/2) - 1 ) / 24 
97. São derivadas parciais de 2° ordem da função f(x,y) = x^2y -xy^2 + 2xy 
f´´x(x,y) = 2y f´´y(x,y) = 2x - 2y + 2 f´´x(x,y) = 2x - 2y + 2 f´´y(x,y) = - 2x 
98. Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral de linha abaixo, sabendo-se que C é a curva representada 
pela fronteira . 
 
-6 
99. A equação de Laplace tridimensional é : 
 ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0 
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas. 
 Considere as funções: 
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z² 
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z² 
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz 
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz² 
 Identifique as funções harmônicas: 
1,3,4 
100. Indique a única resposta correta como solução da integral: ∫0π∫0senxydydx 
π4 
 
101. O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. Determine 
a velocidade do objeto no instante t = 1. 
3t2 i + 2t j 
 
102. Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 - x2 - y2 
8π2 
 
103. O valor da integral ∫03∫02∫01(2x+3y2) dz dy dx é: 
 
42 
 
104. Calcule ∫1x2e1xsec(1+e1x).tg(1+e1x)dx 
 
u = 1+e1x 
du=e1x.-1x2dx 
∫1x2e1xsec(1+e1x).tg(1+e1x)dx= 
-∫secutanudu=-secu+C=-sec(1+e1x)+C 
 
105. Determine a área da região no primeiro quadrante limitada à esquerda pelo eixo y, abaixo pela curva 
x=2.y, acima e à esquerda pela curva x=(y- 1)2 e acima e a direita pela reta x=3-y 
 
A1+ A2= 4/3 + 7/6 = 15/6 = 5/2 
106. Encontre os valores de ∂f∂x e ∂f∂y no ponto (4, -5) se f(x, y) = x² + 3xy + y – 1 
∂f∂x=2x+3y 
∂f∂x em (4, -5) = -7 
∂f∂y=3x+1 
∂f∂y em (4, -5) = 13 
 
107. Calcule a integral ∮Cxydy-y2dx onde C é o quadrado cortado do primeiro quadrante pelas retas x = 1 
e y = 1 
108. 
∮Cxydy-y2dx= 
∫∫R(y+2y)dxdy= 
∫01∫013ydxdy= 
∫013ydy= 
32 
109. Encontre um vetor normal a curva r(t) = (et
 cos t)i + (e
t
 sen t)j + 2k 
N=(-cost-s∫2)i+(-s∫+cost2)j 
110. Calcule a integral tripla ∫1e∫1e∫1e(lnrlnslnt)dtdrds no espaço rst 
∫1e∫1e(lnrlns)[tlnt-t]|1e=∫1e(lns)[rlnr-r]|1e=[slns-s]|1 e=1