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Circuitos Magnéticos
Máquinas Elétricas
Prof. Marcos Gondim
Referencial 
Bibliográfico
Prof. Marcos Gondim – CURSO DE MÁQUINAS ELÉTRICAS 2
Roteiro
 Fluxo e Densidade de fluxo magnético
 Lei de Ampère
 Lei de Faraday (1831)
 Lei de Lenz (1833)
 Circuitos Magnéticos
 Histerese
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Densidade de 
fluxo 
magnético
 Densidade de fluxo magnético:
 B é número de linhas de campo por unidade de área.
 Unidade Unidade é Tesla [T];
 Um Tesla é igual a 1 Weber por metro quadrado de área.
 Fluxo magnético magnético:
 Fluxo (ϕ) é o conjunto de todas as linhas de campo que atingem 
perpendicularmente uma área.
 Unidade é weber [Wb];
 Um Weber corresponde a 1𝑥108 linhas de campo.
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Andre-Marie
Ampère
 Nascido em 20 de junho de 1775, 
na França.
 Aos doze anos, Ampère já 
dominava os principais teoremas 
da álgebra e da geometria.
 Em 1820 apresentou, à Academia 
de Ciências de Paris, suas 
primeiras observações sobre as 
propriedades magnéticas da 
corrente elétrica.
 Publicou a obra:
TEORIAS MATEMÁTICAS DOS 
FENÔMENOS ELETRODINÂMICOS.
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O experimento 
de Oersted e a 
Lei de 
Ampère
 A referida Lei foi proposta por André-Marie Ampère em 1822 e 
posteriormente foi modificada por James Clerk Maxwell. Por isto é 
também chamada de Lei de Ampère-Maxwell. 
 Ampère se baseou nos estudos de Oersted (1819), que observou a 
deflexão da agulha de uma bússola, posicionada paralelamente a 
um fio condutor de corrente elétrica.
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Lei de 
Ampère
 A Lei de Ampère: relaciona a corrente através da superfície S, com 
a intensidade do Campo Magnético H ao longo de um contorno.
 Assim H é originado pela densidade de corrente J, conforme 
apresentado pela equação a seguir.
 
𝐶
𝐻. 𝑑𝑙 = 
𝑆
𝐽. 𝑑𝑎 = 𝐼𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑎
 O sucesso no uso da Lei de Ampère no cálculo do Campo 
Magnético, depende da simetria do problema.
H – Campo Magnético – Ampère por metro (A/m)
𝐽 – Corrente total ou líquida (A)
𝜇0 – Permeabilidade do vácuo (4𝜋 ∗ 10
−7 H /m)
𝐼𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑎 - corrente líquida ou total (N.i)
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Cálculo de uma 
superfície fechada
(Integral de linha)
Lei de 
Ampère
 Interpretação da lei de Ampère:
 A existência de uma corrente elétrica em um condutor, gerará 
um campo magnético.
 Cada parcela do campo magnético gerado pela corrente que passa 
em uma espira de um circuito magnético será somada formando 
um campo magnético líquido (ou total).
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Lei de 
Ampère
 Assim podemos desenvolver o cálculo da integral de linha como: 
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𝐻. 𝑙𝑐 = 𝑁. 𝑖
 Ou seja, a intensidade do campo magnético que passa em um 
circuito de comprimento médio 𝑙𝑐 é igual ao número de espiras de 
um enrolamento vezes a corrente.
𝐻 =
𝑁. 𝑖
𝑙𝑐
=
𝐴𝑚𝑝è𝑟𝑒 . 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎
𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
Lei de Faraday
 Nasceu em 1791, originário de 
uma família pobre da Inglaterra.
 Trabalhava como encadernador 
durante o dia e estudava os 
mesmo livros encadernados nas 
horas livres.
 Aos 20 anos, Faraday foi 
convidado a trabalhar 
com sir Humphry Davy, químico 
inglês e presidente da Royal 
Society.
 Maior contribuição: descoberta 
da indução eletromagnética, em 
1831.
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Lei de Faraday
Lei de Faraday
 Relaciona a ação do Campo Magnético e a Corrente Elétrica em 
um condutor caracterizado por ser um circuito fechado (ex: 
espira).
 Com a variação da distância da espira em relação ao imã, haverá 
uma variação do fluxo magnético (linhas que passam dentro da 
espira) e isto induzirá uma corrente elétrica alternada.
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Lei de Faraday
 Um outro experimento realizado por Faraday utilizava solenoides:
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 Estágio 1: Chave aberta e não há corrente no primeiro circuito e 
consequentemente não há campo magnético.
Lei de Faraday
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 Estágio 2: Chave ao ser fechada no 1º circuito, gera um campo
magnético que induz uma corrente alternada no 2ºcircuito.
 A existência de um campo constante não é uma condição para a
indução de uma f.e.m., é necessário que o fluxo deste campo varie
no interior do circuito fechado.
Fonte: Pura física - Indução Eletromagnética.
Lei de Faraday
 A variação do fluxo das linhas do campo magnético Φ numa 
espira pode ser obtida variando-se os parâmetros B, A e θ: 
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Φ = 𝐵. 𝐴. 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜱 - fluxo magnético líquido através de uma 
superfície dado em Weber (Wb);
𝑩 – densidade do fluxo magnético em Tesla (T);
𝑨 - área da superfície atravessada pelas linhas de campo
magnético (𝑚2);
𝜽 - ângulo formado entre a normal (n) da superfície
atravessada e as linhas de campo.
Lei de Faraday
 A Lei de Faraday então é dada por:
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𝜀 =
ΔΦ
Δ𝑡
(𝑉𝑜𝑙𝑡)
 Interpretação da lei de Faraday:
 A f.e.m. induzida (corrente) surgirá a partir da variação do fluxo ΔΦ.
Lei de Lenz
 Nascido na Estonia, em 1865.
 Contribuição: Demonstrou a 
relação entre o sentido da 
corrente elétrica induzida em um 
circuito fechado e o campo 
magnético variável que a induziu.
 Faraday deduziu a intensidade da 
corrente, porém não previa o 
sentido da mesma.
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Lei de Lenz
 A corrente elétrica induzida possui um sentido tal que o campo 
magnético que ela cria tende a contrariar a variação do fluxo 
magnético que a originou.
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 Ao aproximar a espira do imã, o fluxo Φ aumenta (quantidade de 
linhas) e a corrente induzida gerará um campo que se opõe (linhas 
amarelas) ao sentido do campo do imã (linhas azuis).
 A corrente induzida tenta conter o aumento do fluxo neste 
primeiro exemplo e pode ser definida pela regra da mão direita.
Lei de Lenz
 No segundo exemplo a espira se afasta do imã e com isto há uma 
diminuição do fluxo do campo magnético.
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 Com isto, a corrente induzida gerará um campo (linhas amarelas) 
na mesma direção e sentido do campo do imã (linhas azuis).
 A corrente induzida tenta compensar a diminuição do fluxo.
Lei de Lenz
 Determinando o sentido da corrente em detrimento da variação 
do fluxo magnético:
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 A corrente elétrica induzida, vai se opor à variação do fluxo devido 
à variação da distância do imã.
Circuito 
Magnético
 Um circuito magnético consiste em uma estrutura que, em sua 
maior parte, é composta por material magnético de 
permeabilidade elevada.
 A permeabilidade magnética pode ser entendida como a razão 
entre a densidade de fluxo magnético (B) e a intensidade do 
campo magnético (H).
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 A presença de um material de alta permeabilidade magnética
tende a confinar o fluxo magnético nos caminhos delimitados
pela estrutura, assim como as correntes são confinadas nos
condutores.
𝝁 =
𝑩
𝑯
Permeabilidade 
(μ)
 Indica o quão fácil é estabelecer um campo magnético em um 
determinado tipo de material (μ).
 O ar tem permeabilidade constante igual a: 𝜇0 = 4𝜋. 10
−7 𝐻
𝑚
 A permeabilidade relativa é a razão entrea permeabilidade de 
um dado material e a permeabilidade do ar.
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𝜇𝑟 =
𝜇
𝜇0
 Exemplo: um material com 𝝁𝒓 = 𝟐𝟎𝟎𝟎, quer dizer que o material 
tem uma permeabilidade 2000 vezes maior que a do ar.
Vantagens do 
uso de 
Circuitos 
Magnéticos
 Simplifica a análise de projetos de máquinas elétricas e 
transformadores, com uma aproximação aceitável.
 Premissas adotadas:
 Relutância constante;
 Fluxo magnético unidimensional;
 Produto escalar entre H (intensidade de campo) e l (corrente) é 
sempre máximo.
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Circuito 
Magnético
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Fonte: Máquinas Elétricas de Fitzgerald e Kingsley, 7th Edition.
 O núcleo da figura tem seção reta uniforme e é excitado por um 
enrolamento de N espiras, conduzindo uma corrente de i ampères. 
 Esse enrolamento produz um campo magnético no núcleo, que é 
confinado devido a permeabilidade magnética do material usado.
 Circuito típico utilizado em transformadores, que são enrolados 
em circuitos fechados.
Circuito 
Magnético
 Conceito chave: O campo magnético pode ser visualizado em 
termos de linhas de fluxo formando laços fechados interligados 
com o enrolamento.
 A fonte do campo magnético do núcleo é o produto 𝑁. 𝑖, em 
ampères-espiras (𝐴. 𝑒). 
 Na terminologia dos circuitos magnéticos, 𝑁. 𝑖 é a força
magnetomotriz (FMM) ℱ que atua no circuito magnético. 
 Embora a Figura anterior mostre apenas uma única bobina, os 
transformadores e a maioria das máquinas rotativas têm no 
mínimo dois enrolamentos, e 𝑁. 𝑖 deve ser substituído pela soma 
algébrica dos ampères-espiras de todos os enrolamentos.
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Circuito 
Magnético
 A partir da Lei de Ampère podemos obter a seguinte expressão:
 Onde,
 𝓕: é a força magnetomotriz (FMM)
 N: número de espiras
 i: corrente elétrica
 𝑯𝒄: é o módulo médio do campo magnético
 𝒍𝒄: comprimento médio do núcleo
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ℱ = 𝑁. 𝑖 = 𝐻𝑐 . 𝑙𝑐 Guardem esta equação!
Circuito 
Magnético
com entreferro
 Os transformadores são enrolados em circuitos fechados.
 Os dispositivos de conversão de energia que contém um elemento 
móvel devem incluir entreferros de ar em seus circuitos 
magnéticos, conforme figura a seguir. 
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Circuito 
Magnético
com entreferro
 Quando o comprimento do entreferro “g” for muito menor do que 
as dimensões das faces adjacentes do núcleo, o fluxo magnético 
𝜙𝑐 seguirá o caminho definido pelo núcleo e pelo entreferro.
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Circuito 
Magnético
com entreferro
 Desde que o comprimento do entreferro “g” seja suficientemente
pequeno, pode ser analisada como um circuito magnético com
dois componentes em série, ambos conduzindo o mesmo fluxo φ:
 um núcleo magnético de permeabilidade μ, área de seção reta Ac e
comprimento médio lc,
 um entreferro de permeabilidade μ0, área de seção reta Ag e
comprimento g.
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Circuito 
Magnético
com entreferro
 Analisando o circuito magnético pode-se definir que:
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ℱ = 𝐻𝑐 . 𝑙𝑐+𝐻𝑔. 𝑔
 Escrevendo-se H em função de B teremos:
ℱ =
𝐵𝑐
𝜇
. 𝑙𝑐 +
𝐵𝑔
𝜇0
. 𝑔
 E dado que: 𝐵𝑐 =
𝜙
𝐴𝑐
e 𝐵𝑔 =
𝜙
𝐴𝑔
 Podemos reescrever a equação da FMM como:
ℱ = 𝜙
𝑙𝑐
𝜇𝐴𝑐
+
𝑔
𝜇0𝐴𝑔
Circuito 
Magnético
com entreferro
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 Os termos que multiplicam o fluxo são chamados de relutância e 
são representados por:
ℛ𝑐 =
𝑙𝑐
𝜇𝐴𝑐
ℛ𝑔 =
𝑔
𝜇0𝐴𝑔
 Podemos reescrever a equação da força magnetomotriz como:
ℱ = 𝜙 ℛ𝑐 + ℛ𝑔
𝜙 =
ℱ
ℛ𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
Circuito 
Magnético
com entreferro
 Podemos fazer uma analogia entre circuito elétrico e magnético.
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 Percebe-se que a relutância do entreferro é muito maior que a do 
núcleo devido aos diferentes valores de permeabilidade 
magnética. Assim:
ℛ𝑐<<ℛ𝑔 ∴ ℛ𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙≈ ℛ𝑔
Circuito 
Magnético
com entreferro
 Assim podemos escrever que:
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 Nos sistemas reais, as linhas de campo magnético “espraiam-se” 
um pouco para fora quando cruzam o entreferro, como ilustrado 
na Figura. No livro este efeito é desprezado.
𝜙 ≈
ℱ
ℛ𝑔
=
ℱ𝜇0𝐴𝑔
𝑔
= 𝑁𝑖
𝜇0𝐴𝑔
𝑔
Analogia entre 
Circuito 
Magnético e 
Elétrico.
 Para completar a analogia entre circuitos elétricos e magnéticos, 
podemos generalizar a equação da FMM da seguinte forma: 
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ℱ = 
𝑘
ℱ𝑘 = 
𝑘
𝐻𝑘 . 𝑙𝑘
 A interpretação desta equação nos diz que ℱ é a FMM, que atua 
para impulsionar o fluxo em um laço fechado de um circuito 
magnético e ℱ𝑘 = 𝐻𝑘. 𝑙𝑘 é a queda de FMM no k-ésimo elemento 
daquele laço. 
 Isso está em analogia direta com a lei das tensões de Kirchhoff
aplicada a circuitos elétricos, constituídos por fontes de tensão e 
resistores.
𝑉 = 
𝑘
𝑅𝑘 . 𝑖𝑘
 Em que V é a fonte de tensão que impulsiona a corrente em uma 
malha e 𝑅𝑘 . 𝑖𝑘 é a queda de tensão no k-ésimo elemento resistivo 
daquele laço.
Exercício 1.1
 Exercício 1.1 – página 9.
 Um circuito magnético tem as dimensões: 
 Ac = Ag = 9 cm2, g = 0,050 cm, lc = 30 cm e N = 500 espiras. 
 Suponha o valor μr = 70.000 para o material do núcleo. 
 (a) Encontre as relutâncias Rc e Rg. Dada a condição de que o circuito 
magnético esteja operando com densidade de fluxo Bc = 1,0 T.
 (b) encontre o fluxo φ 
 (c) encontre a corrente i.
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Problema 
prático 1.1
(p.10)
 Encontre o fluxo φ e a corrente para o Exercício 1.1 se:
 (a) o número de espiras for dobrado para N = 1000 espiras, 
mantendo-se as mesmas dimensões; 
 (b) se o número de espiras for N = 500 e o entreferro for reduzido a 
0,040 cm. 
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Exercício 1.2
p.10
 A estrutura magnética de uma máquina síncrona está mostrada 
esquematicamente na Figura abaixo. Assumindo que o ferro do rotor 
e do estator têm permeabilidade infinita (μ →∞), encontre o fluxo φ 
do entreferro e a densidade de fluxo Bg. Neste exemplo, I = 10 A, N = 
1000 espiras, g = 1 cm e Ag= 200 cm2.
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Máquina síncrona simples.
Problema 
Prático 1.2
 Para a estrutura magnética do exercício anterior com as 
dimensões dadas, observa-se que a densidade de fluxo do 
entreferro é Bg = 0,9 T. Encontre o fluxo de entreferro φ e, para 
uma bobina de N = 500 espiras, a corrente necessária para 
produzir esse valor de fluxo no entreferro.
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Fluxo 
concatenado, 
indutância e 
energia
 Quando um campo magnético varia no tempo, produz-se um 
campo elétrico no espaço de acordo com outra equação de 
Maxwell, conhecida como lei de Faraday:
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 O que a Lei de Faraday diz, é que a variação de uma campo 
magnético produz um campo elétrico.
 Nota: o valor da integral de linha é a soma dos valores do campo 
em todos os pontos da curva, ponderado por uma função escalar 
(geralmente o comprimento).
Indica que o campo varia 
com o tempo.
Fluxo 
concatenado
 O fluxo concatenado pode ser definido de formasimplificada por:
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 𝜆 = fluxo concatenado do enrolamento;
 N = número de espiras;
 𝜑 = fluxo magnético.
𝜆 = 𝑁. 𝜑 Fluxo vezes o nº de espiras.
Indutância
 Definição: 
 Em física, corresponde a uma propriedade da bobina de um circuito 
elétrico capaz de originar um campo magnético ou armazenar energia 
magnética quando transporta uma corrente. 
 A indutância é definida como a relação de fluxo concatenado e a 
corrente de um circuito magnético de permeabilidade constante: 
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𝐿 =
𝜆
𝑖
=
𝑁2
𝑅𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
(𝐻𝑒𝑛𝑟𝑦)
 A relutância total é igual a relutância do entreferro.
𝐿 =
𝑁2
 
𝑔
𝐴𝑔. 𝜇0
(𝐻𝑒𝑛𝑟𝑦)
Exemplo 1.3
O circuito magnético da Figura é constituído por uma bobina de N espiras 
enroladas em um núcleo magnético, de permeabilidade infinita, com dois 
entreferros paralelos de comprimentos g1 e g2, e áreas A1 e A2, 
respectivamente.
Encontre:
(a) a indutância do enrolamento;
(b) a densidade de fluxo B1 no entreferro 1 quando o enrolamento está 
conduzindo uma corrente i. Despreze os efeitos de espraiamento no entreferro
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Exemplo 1.4
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Dimensões: 
Ac = Ag = 9 cm2, g = 0,050 cm, lc = 30 cm e N = 500 espiras.
Relutância do entreferro: 4,42. 105
𝐴.𝑒
𝑊𝑏
HISTERESE
 É a tendência de um sistema de conservar suas propriedades na 
ausência de um estímulo que as gerou.
 Em outras palavras quando um material, que no caso do 
transformador é um meio ferromagnético, for magnetizado a um 
ponto máximo e em seguida o mesmo for diminuído, a densidade 
do fluxo não acompanhará o decrescimento do campo. 
 Assim quando o campo for nulo, o material pode apresentar certa 
quantidade de densidade de fluxo, chamada de remanescente.
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DIPOLOS 
MAGNÉTICOS
 Espaços de alinhamento unidirecionais dos momentos 
magnéticos;
 O Momento Magnético é uma grandeza vetorial que determina a 
intensidade da força que um imã pode exercer sobre uma corrente 
elétrica e o torque que o campo magnético gerado exercerá sobre 
esta mesma corrente
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HISTERESE
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Exercícios
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Exercícios
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Exercícios
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Exercícios
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