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Prof. Walter Assunto: Centróide 
Prof. Walter Martins Notas de aula Calculo 2
SALA: 68- C Animais
Cálculo Diferencial e Integral 2
Quarta Feira
4a Aula 
 Aplicações de Integrais Definidas: 
 Centróide e Volume
Turma: BCT
Prof. Walter Martins
 Versão: 2o Semestre de 2010
Aplicações das Integrais Definidas
A integral definida para cálculo do Centróide 
	O problema de determinar o centróide de uma região planar (R) é definido como o centro de massa da região. O centro de massa é o ponto pelo qual esta região R pode ser suspensa sem girar. As coordenadas (
, 
) do centróide são dadas por
			
			
Exemplo: Achar as coordenadas do centróide da região limitada pela curva y2 = 2x e o eixo x, no intervalo [0,3].
Solução: Acha-se a área 
	
 
	
A = 
�� EMBED Equation.3 = 
�� EMBED Equation.3 = 
 . 2 . 
 = 
Exemplo: Determinar o centróide da figura entre as duas curvas 
 e 
.
 
 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 0,43
Exemplo: Determinar o centróide de uma semicircunferência positiva. 
Solução: 
A equação da circunferência e 
, onde 
. Então, 
 é a semicircunferência.
 
	
 
 ,
como já era esperado.
 
Exercício: Calcule o centróide de uma semicircunferência. A equação da circunferência e x2 + y2 = r2 , onde r = raio, r = 2. Então y = 
 é a semicircunferência.
 
	
	
 
	
 (como já era esperado)
	
A = 
�� EMBED Equation.3 = 
 
 = 
 
= 
	 
	
A = 
 ( 
 = 
 = 
 = 
 = 0,8488
Exercício: Determinar o centróide da área delimitada pelas parábolas 
, 
 e o eixo 
 .
 
 
									
	
	
 (como já era esperado)
Aplicações das Integrais Definidas
Volume de sólidos de revolução
Uma região tridimensional (S) que possui as propriedades (a) e (b) a seguir é um sólido:
A fronteira de S consiste em um número finito de superfícies lisas que se interceptam num número finito de arestas que por sua vez, podem se interceptar num número finito de vértices.
S é uma região limitada.
Sólidos de Revolução - Método do Disco
Dada uma região 
 plana e uma linha reta, ou eixo, que pode tocar (a) ou não (b) em 
 e que esteja no mesmo plano de 
. Girando-se 
 em torno deste eixo, forma-se um região no espaço tridimensional denominada sólido de revolução.
Girando o gráfico de uma função 
 tem-se:
									
									
									
							
Exemplo: Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região sob a função 
, no intervalo 
.
Exemplo: Achar o volume gerado pela função 
 em 
 
 
 
que é o volume da esfera gerada!
Exemplo: Uma região plana pode ser girada em torno do eixo 
 ao invés do eixo 
, e novamente um sólido de revolução será gerado.
V = 
= (
 que é o volume do sólido
 Exemplo: Calcule o volume gerado pela parábola y = x2 girando em torno do eixo de y, no intervalo [0,4].
 
 
O Método do Disco pode ser estendido para o Método dos Anéis Circulares. Este método surge quando a área de revolução é limitada por duas funções f(x) e g(x), tal que f(x) > g(x), para todo x([a,b].
O elemento de volume do anel é dado por:
de forma que o volume todo é dado por:
Note que o vão interno é descontado pela subtração dos dois volumes.
Exemplo: Calcular, usando o método dos anéis circulares, o volume formado pela rotação da região entre 
 e 
.
Solução: Faz-se 
 e 
 (pois 
 )
Pontos de Interseção: 
, isto é: 
 
 
logo 
 
Exercício: Se a revolução for em torno do eixo y, como por exemplo para as funções 
 e 
, tem-se:
de forma que o volume todo é dado por:
 
As vezes, o sólido de revolução é gerado em torno de um eixo externo que pode ser paralelo a "
" ou a "
". O método dos anéis circulares, pode ser aplicado, desde que se identifique o raio do giro.
Exercício: Achar o volume do sólido gerado pela revolução da região 
 em torno do eixo 
. 
 é limitada pelos gráficos de 
 e 
.
Solução: Para isolar-se 
 faz-se: 
 . 
Também, se tem que: se 
 
Observação: 
raio externo
 e 
raio interno
 
 (unidades de volume)
Parábola girando em torno de um eixo externo
 
 Parabolóide gerado pela rotação
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ��� = � EMBED Equation.3 ��� = � EMBED Equation.3 ��� = 0,92
 y = � EMBED Equation.3 ��� (só a parte positiva)
y
y2 = 2x
 1 2 3 x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Sólido gerado pela área em revolução
Área entre curvas, em revolução
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
 Sólido de revolução
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
(2,4)
(-1,1)
R
� EMBED Equation.3 ���
Área entre parábola e reta.
 Área plana em revolução
 Sólido gerado pela revolução
g(x)
 x
y
f(x)
Anel projetado
dV
dx
y
 a	 b x
g(x)
f(x)
Sólido gerado pela Parábola de revolução
 
x
 x =� EMBED Equation.3 ���
y = x2
 0		 2 x
4
y
Seção plana parábola girando em y
y
Sólido de revolução da área plana em torno de y
dV
r = x = g(y)
dy
x
y
x = g(y)
a
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
(1,1)
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ��� = � EMBED Equation.3 ��� = � EMBED Equation.3 ��� = 1,8
b
x
y
R
 Área plana girando em y
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Sólido gerado pela rotação do semi-círculo
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Semi-círculo em rotação
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Elemento de volume
r
x
(2,8)
(1,1)
Área plana 
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBEDEquation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
R
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
(2,8)
(1,1)
� EMBED Equation.3 ���
 1		 2	� EMBED Equation.3 ���		
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Cálculo do elemento de volume 
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Área plana 
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 
b)
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ��� 
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Área plana 
 Sólido gerado pela Rotação.
a)
 Sólido gerado pela Rotação.
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Área plana 
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