livro Residos solidos

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MECÂNICA DOS SÓLIDOS II
Profª. Me. Sílvia Cristina da Silva
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS II
PROFª. ME. SÍLVIA CRISTINA DA SILVA
3
 Diretor Geral: Prof. Esp. Valdir Henrique Valério
 Diretor Executivo: Prof. Dr. William José Ferreira
 Ger. do Núcleo de Educação a Distância: Profa Esp. Cristiane Lelis dos Santos
Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Profa. Esp. Imperatriz da Penha Matos
 Revisão Gramatical e Ortográfica: Profª. Débora Rith Costa Teixeira
 Revisão técnica: Prof. Gleysson Morais
 
 Revisão/Diagramação/Estruturação: Clarice Virgilio Gomes
 Prof. Esp. Guilherme Prado
 Lorena Oliveira Silva Portugal 
 
 Design: Bárbara Carla Amorim O. Silva 
 Daniel Guadalupe Reis
 Élen Cristina Teixeira Oliveira 
 Maria Eliza P. Campos 
© 2023, Faculdade Única.
 
Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autoriza-
ção escrita do Editor.
Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária Melina Lacerda Vaz CRB – 6/2920.
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS II
1° edição
Ipatinga, MG
Faculdade Única
2023
5
 CEO na empresa Modular Cria-
tivo - produtora de conteúdos didáti-
cos; Graduada em Ciências Jurídicas 
e Sociais pelo Centro Universitário 
de Ensino Octávio Bastos ? UNIFEOB; 
Mestre Interdisciplinar em Educação, 
Ambiente e Sociedade das Faculda-
des Associadas de Ensino - UNIFAE, 
atuando na linha de pesquisa em De-
senvolvimento Sustentável e Políticas 
Públicas. Participação discente em 
Seminários e Palestras no Mestrado 
Acadêmico em Análise do Discurso 
na Universidade Federal de Buenos 
Aires; Especialista em Docência no 
Ensino Superior e em Direito e Edu-
cação (FCE). Atua como Consultora 
Jurídica e Fiscal e Investigadora de 
Antecedentes para o exterior (México 
e Argentina), Docente, Tutora e Con-
teudista para cursos de graduação 
e pós-graduação, Elaboradora de 
Questões para Concursos Públicos, 
Redatora, Tradutora e Intérprete da 
Língua Espanhola e Portuguesa, De-
gravadora e Transcritora de áudios e 
textos.
SÍLVIA CRISTINA DA SILVA
Para saber mais sobre a autora desta obra e suas qua-
lificações, acesse seu Curriculo Lattes pelo link :
http://lattes.cnpq.br/5911573541377266
Ou aponte uma câmera para o QRCODE ao lado.
6
LEGENDA DE
Ícones
Trata-se dos conceitos, definições e informações importantes 
nas quais você precisa ficar atento.
Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão 
do conteúdo aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar 
ícones ao lado dos textos. Eles são para chamar a sua atenção para 
determinado trecho do conteúdo, cada um com uma função específica, 
mostradas a seguir:
São opções de links de vídeos, artigos, sites ou livros da biblioteca 
virtual, relacionados ao conteúdo apresentado no livro.
Espaço para reflexão sobre questões citadas em cada unidade, 
associando-os a suas ações.
Atividades de multipla escolha para ajudar na fixação dos 
conteúdos abordados no livro.
Apresentação dos significados de um determinado termo ou 
palavras mostradas no decorrer do livro.
 
 
 
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VAMOS PENSAR?
FIXANDO O CONTEÚDO
GLOSSÁRIO
7
UNIDADE 1
UNIDADE 2
UNIDADE 3
UNIDADE 4
SUMÁRIO
1.1 Introdução ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................11
1.2 Deslocamento de vigas retas devido à flexão .............................................................................................................................................................................................................11
 1.2.1 Relação momento curvatura ......................................................................................................................................................................................................................................................13
 1.2.2 Condições de estabilidade .........................................................................................................................................................................................................................................................15
1.3 Flambagem de Colunas .............................................................................................................................................................................................................................................................16
 1.3.1 Critérios de falha por Flambagem ............................................................................................................................................................................................................................................18
FIXANDO O CONTEÚDO ........................................................................................................................................................................................................................................................................22
2.1 Introdução ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................26
2.2 Métodos de Energia .....................................................................................................................................................................................................................................................................26
 2.2.1 Método dos deslocamentos Virtuais ....................................................................................................................................................................................................................................28
 2.2.2 Método das deformações Virtuais .......................................................................................................................................................................................................................................30
2.3 Teorema de Castigliano ............................................................................................................................................................................................................................................................31
2.4 Teorema dos Trabalhos Mínimos .......................................................................................................................................................................................................................................32
FIXANDO O CONTEÚDO ........................................................................................................................................................................................................................................................................38
3.1 Introdução ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................42
3.2 Introdução ao método dos elementos finitos ..........................................................................................................................................................................................................423.2.1 Aplicação do método dos elementos finitos ...................................................................................................................................................................................................................44
 3.2.2 Utilização do método ................................................................................................................................................................................................................................................................47
 3.2.3 Exemplo de aplicação do método ......................................................................................................................................................................................................................................48
FIXANDO O CONTEÚDO .......................................................................................................................................................................................................................................................................50
MOMENTOS FLETORES EM VIGAS RETAS
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS RELACIONADOS AO EQUILÍBRIO ESTRUTURAL
TÉCNICAS DE ANÁLISE DE COMPORTAMENTOS ESTRUTURAIS COMPLEXOS
4.1 Introdução ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................54
4.2 Vigas Curvas ....................................................................................................................................................................................................................................................................................54
 4.2.1 Deslocamento de vigas curvas ..............................................................................................................................................................................................................................................56
4.3 Deslocamento sob diversas formas de solicitação .............................................................................................................................................................................................57
 4.3.1 Carga axial .....................................................................................................................................................................................................................................................................................58
 4.3.2 Carga transversal .......................................................................................................................................................................................................................................................................59
 4.3.3 Momento fletor ............................................................................................................................................................................................................................................................................60
 4.3.4 Cisalhamento ................................................................................................................................................................................................................................................................................61
FIXANDO O CONTEÚDO ........................................................................................................................................................................................................................................................................63
MOMENTOS FLETORES EM VIGAS CURVAS
5.1 Introdução ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................67
5.2 Cilindro de paredes grossas ..................................................................................................................................................................................................................................................67
 5.2.1 Distribuição de tensões ............................................................................................................................................................................................................................................................68
 5.2.2 Deformação radial .....................................................................................................................................................................................................................................................................69
 5.2.3 Deformação axial .......................................................................................................................................................................................................................................................................70
 5.2.4 Comportamento elástico ........................................................................................................................................................................................................................................................70
5.3 Discos Girantes .................................................................................................................................................................................................................................................................................71 
 5.3.1 Deformações em um disco girante ......................................................................................................................................................................................................................................73
FIXANDO O CONTEÚDO ........................................................................................................................................................................................................................................................................75
COMPORTAMENTODE CORPOS SÓLIDOS SOB A AÇÃO DE FORÇAS EXTERNAS
UNIDADE 5
8
6.1 Introdução ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................79
6.2 Flexão obliqua ..................................................................................................................................................................................................................................................................................79
6.3 Centro de Cisalhamento ...........................................................................................................................................................................................................................................................81
6.4 Vigas sobre funções elásticas .............................................................................................................................................................................................................................................83
FIXANDO O CONTEÚDO.........................................................................................................................................................................................................................................................................86RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO........................................................................................................................................................................89
REFERÊNCIAS ....................................................................................................................................................................................................................90
BANCOS DE DADOS PARA GEOPROCESSAMENTO
UNIDADE 6
9
UNIDADE 1
Nesta unidade trataremos sobre o deslocamento de vigas retas devido à flexão, 
mencionando suas características e momentos de flexão. Veremos também 
sobre a flambagem de colunas que é um fenômeno estrutural de falhas devido 
à sua incapacidade de suportar cargas de compressão. Ambos os conceitos são 
essenciais para a elaboração de projetos.
UNIDADE 2
A resolução de problemas relacionados ao equilíbrio estrutural envolve o uso de 
métodos de energia e dos teoremas de Castigliano e dos Trabalhos Mínimos. Nesta 
unidade essas abordagens são aplicadas para determinar as deformações e 
deslocamentos em estruturas sujeitas a cargas externas.
UNIDADE 3
Nesta unidade veremos o Método dos Elementos Finitos é uma técnica numérica 
amplamente utilizada para analisar o comportamento de estruturas e sistemas 
complexos. Essa abordagem divide o domínio da estrutura em pequenos elementos 
finitos, nos quais as equações diferenciais que descrevem o comportamento da 
estrutura são aproximadas por equações algébricas.
UNIDADE 4
O deslocamento de vigas curvas é a medida da mudança na posição dos pontos 
da viga em relação à sua forma inicial quando submetida a carregamentos. Nesta 
unidade será estudada esse deslocamento que pode ocorrer em diferentes direções 
e é influenciado pela geometria da viga, pelas cargas aplicadas e pelas condições 
de suporte.
UNIDADE 5
Nesta unidade estudaremos sobre os cilindros de paredes grossas e os discos 
girantes que são objetos de estudo na mecânica dos sólidos, onde se analisam suas 
propriedades mecânicas, comportamento estrutural, resistência e estabilidade. É 
essencial compreender as tensões, deformações e as limitações dessas estruturas 
para garantir seu dimensionamento adequado.
UNIDADE 6
Alguns conceitos fundamentais relacionados à mecânica das estruturas são a flexão 
oblíqua, o centro de cisalhamento e as vigas sob funções elásticas. Nesta unidade 
trabalharemos esses temas para compreender melhor como são identificados e 
calculados.
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MOMENTOS FLETORES 
EM VIGAS RETAS
11
 Momentos fletores em vigas retas são forças internas que surgem quando 
uma viga é submetida a uma carga transversal ou momentos aplicados em suas 
extremidades. Esses momentos de flexão causam a curvatura da viga, resultando em 
tensões e deformações ao longo de seu comprimento.
 Os momentos fletores são responsáveis por distribuir as forças de flexão na viga, 
com os pontos de máximo momento sendo chamados de seções críticas. A magnitude 
do momento de flexão em uma seção depende da carga aplicada e da geometria da 
viga.
 Como definição geral, uma viga é um elemento estrutural usado pela engenharia 
que tem a finalidade de suportar e transmitir as cargas que são aplicadas em uma 
determinada estrutura. Esses elementos são frequentemente encontrados em diversas 
construções, tais como: pontes, edifícios, galpões, suportes e muitas outras aplicações 
onde seja necessária uma determinada resistência à flexão. 
 Assim sendo, quando nos referimos ao deslocamento de vigas retas devido à 
flexão, estamos estudando um fenômeno que acontece quando uma viga é submetida 
a uma determinada carga, o que por sua vez geram momentos fletores. Podemos definir 
de maneira geral que o momento fletor é resultado da aplicação dessas cargas externas 
à viga, como por exemplo, o peso, a pressão, as forças horizontais ou os momentos 
externos, que possam vir a causar deformações na estrutura.
 O estudo dos momentos fletores em vigas retas é essencial para o projeto e 
análise estrutural. Por meio de cálculos analíticos ou métodos numéricos, é possível 
determinar os momentos fletores máximos, as tensões resultantes e as deformações na 
viga. Isso permite dimensionar adequadamente a viga, garantindo que ela seja capaz 
de suportar as cargas aplicadas sem exceder sua capacidade de resistência.
 Ao compreender os momentos fletores em vigas retas, os engenheiros podem 
projetar estruturas mais eficientes, considerando as condições de carregamento e a 
resistência dos materiais utilizados. Além disso, a análise dos momentos fletores também 
é fundamental para a determinação de requisitos de suportes e conexões estruturais, 
assegurando a estabilidade e a segurança das vigas e da estrutura como um todo.
1.1 INTRODUÇÃO
1.2 DESLOCAMENTO DE VIGAS RETAS DEVIDO À FLEXÃO
Figura 1: Exemplo de uma viga 
Fonte: Acervo pessoal do Autor (2023)
12
As deformações na viga decorrentes desses momentos vão resultar em deslocamentos 
ao longo do comprimento dela, podendo acontecer de diversas formas e características. 
De maneira geral, o processo de deslocamento de vigas retas devido à flexão pode ser 
sequenciado da seguinte forma:
• Aplicação da carga: refere-se às cargas externas que a viga está sujeita, como seu 
próprio peso, ou mesmo as cargas concentradas e/ou distribuídas. Essas exposições 
às cargas vão gerar os momentos fletores na viga, que por sua vez são forças que 
tendem a torcê-la.
• Deformação elástica: a partir da exposição da viga aos momentos fletores, são 
geradas deformações elásticas na mesma. Desse modo, há um comportamento 
diferente em pontos específicos da viga, onde a parte superior da viga é comprimida 
ao mesmo tempo que a parte inferior é esticada. Esse comportamento acontece 
mediante às tensões de tração e compressão que são provocadas na seção 
transversal da viga.
• Linha neutra: como estamos tratando de uma viga reta, devemos considerar a 
existência de uma linha neutra que vai passar pelo centro da seção transversal, nessa 
região não vão ocorrer deformações longitudinais, pois ela vai delimitar a separação 
da região comprimida da região esticada da viga.
• Deslocamento: partindo para os efeitos dessas deformações elásticas, vamos 
observar o deslocamento da viga, que pode ser medido de acordo com a distância 
entre a linha neutra e uma determinada fibra da viga (afastamento). Poderá ser 
observado um aumento à medida que nos afastamos da linha neutra em direção à 
região comprimida ou esticada, assim sendo conhecemos como deslocamento da 
viga esse afastamento.
• Curvatura: a curvatura da viga está diretamente relacionada ao momento fletor que 
está sendo aplicado. Quanto maior o momento fletor, maior será a curvatura da 
viga. A curvatura também vai afetar o deslocamento, pois quanto maior a curvatura, 
maior será o deslocamento resultante.
 É importante ressaltar que o deslocamento de vigas devido à flexão é um fenômeno 
complexo e depende de vários fatores, que interferem direta ou indiretamente nos 
resultados que poderão ser obtidos. Para que esse cálculo seja feito de forma correta 
devemos considerar:
• Carregamento: o tipo de carregamento aplicado na viga, a magnitude e a 
distribuição dos carregamentos aplicados são cruciais. Isso deve considerar cargas 
Figura 2: Exemplo de momentos fletores uma viga reta
Fonte: Acervo pessoal do Autor (2023)
13
 1.2.1 Relação momento curvatura. 
 Na análise de vigas em flexão, o momento de curvatura vai desempenhar um papel 
fundamental, pois vai ser o resultado das forças internas que causam a deformação da 
viga. Assim sendo, esse momento vai descrever a curvatura da viga em cada ponto ao 
longo do seu comprimento e vai ser diretamente proporcional ao momento fletor que 
será aplicado.
 Em outras palavras, o momento de curvatura é definido como o produto da 
resistência do material (momento resistente) e a curvatura da viga. A curvatura é 
inversamente proporcional ao raio de curvatura da viga e representaa taxa de variação 
angular da linha neutra da viga em relação ao eixo longitudinal.
concentradas, cargas distribuídas uniformemente ou de forma não uniforme ao 
longo da viga, além claro dos momentos fletores e cortantes.
• Material: as propriedades mecânicas do material que compõem a viga são 
essenciais para determinar a resposta que ela terá mediante à flexão. A resistência 
à tração, compressão e flexão do material, além do módulo de elasticidade, são 
alguns exemplos de propriedades importantes. Essas propriedades podem variar 
para diferentes tipos de materiais, como madeira, aço, concreto etc.
• Geometria: a forma e geometria da viga, como o comprimento, altura, largura e 
formato transversal, vai refletir diretamente na forma de deslocamento que a viga 
vai seguir conforme à flexão exposta. Vigas mais longas e mais flexíveis, por exemplo, 
tendem a apresentar deslocamentos maiores em relação a vigas mais curtas e 
rígidas.
• Apoio: as condições de apoio da viga são determinantes para o cálculo adequado, 
a forma que ela está fixada em suas extremidades ou se está sendo suportada ao 
longo do seu comprimento vai indicar como o deslocamento vai acontecer devido à 
flexão. Vale ressaltar que as condições de apoio fixas ou articuladas podem resultar 
em diferentes padrões de deslocamento.
• Teoria adotada: existem diferentes teorias de flexão que podem ser utilizadas para 
calcular os deslocamentos em vigas. A escolha da teoria que será seguida vai 
determinar o cálculo dos deslocamentos e pode considerar diferentes simplificações 
e aproximações, dependendo do nível de precisão desejado. De forma geral utilizam-
se duas teorias principais conhecidas como: Teoria de Euler-Bernoulli e a Teoria de 
Timoshenko.
Vale ressaltar que teoria das vigas de Euler-Bernoulli fornece equações diferen-
ciais que relacionam o momento fletor, a força cortante, a carga aplicada e a 
rigidez da viga. Por esse motivo é uma das mais utilizadas em relação à teoria 
de Timoshenko. O vídeo indicado a seguir explica diferença entre as teorias e 
propõe um melhor entendimento sobre seu funcionamento: Video: Euler-Bernoulli 
vs Timoshenko Beam Theory. Disponível em: https://shre.ink/2OcD. Acesso em: 25 
abr. 2023.
BUSQUE POR MAIS
14
 A relação entre o momento de curvatura (M) e a curvatura (k) é encontrada 
mediante a fórmula:
 Onde:
 M= é o momento de curvatura (momento fletor) aplicado na viga;
 E= é o módulo de elasticidade do material da viga;
 I= é o momento de inércia da seção transversal da viga;
 k= é a curvatura da viga.
 Essa equação mostra que o momento de curvatura é diretamente proporcional ao 
módulo de elasticidade do material e ainda ao momento de inércia da seção transversal 
da viga. Quanto maior o momento de curvatura aplicado, maior será a deformação e o 
deslocamento resultantes na viga.
 Essa relação entre o momento de curvatura e o deslocamento em uma viga 
é descrita pela teoria da flexão de Euler-Bernoulli. Essa teoria estabelece que o 
deslocamento de um determinado ponto em uma viga é proporcional ao momento de 
curvatura aplicado nesse ponto e às propriedades geométricas da viga.
 Vamos supor que conhecemos os seguintes valores para o exemplo:
 M=500Nm (momento aplicado),
 E=200×109N/m2 (módulo de elasticidade), e 
 I=3×10−6m4 (momento de inércia).
 Agora podemos calcular a curvatura k usando a fórmula acima:
 M = E .I .k 
 Onde 
 Portanto, a curvatura da viga devido ao momento aplicado é aproximadamente 
0.000833 1/m.
 Esse exemplo ilustra a relação entre o momento de curvatura M e a curvatura k 
em uma viga, demonstrando como a curvatura é influenciada pelo momento aplicado, 
o módulo de elasticidade e o momento de inércia da seção transversal.
M = E .I .k
A relação entre o momento de curvatura e o deslocamento é aproximada e considerada 
apenas para pequenas deformações elásticas. Para que seja possível realizar análises 
mais precisas, especialmente em vigas com grandes deformações, se faz necessário re-
correr a métodos avançados de análise estrutural, como o método dos elementos finitos.
FIQUE ATENTO
15
 1.2.2 Condições de estabilidade
 
 As condições de estabilidade vão tratar dos critérios que devem ser atendidos para 
garantir a estabilidade estrutural de uma construção. Essas condições são importantes 
para garantir que a estrutura seja capaz de resistir às cargas aplicadas sem sofrer 
colapsos ou falhas catastróficas. As principais condições a serem observadas que 
podem garantir a estabilidade e segurança de uma estrutura são:
• Estabilidade global: a estrutura como um todo deve ser estável, o que significa 
que ela deve ser capaz de resistir às cargas aplicadas sem sofrer deslocamentos 
excessivos ou perda de equilíbrio. A estabilidade global é garantida por meio do 
projeto adequado dos elementos estruturais, das ligações entre eles e das fundações.
• Estabilidade lateral: a estrutura deve ser capaz de resistir a deslocamentos laterais, 
como vento lateral, terremotos ou movimentações térmicas. A estabilidade lateral 
é geralmente garantida pelo projeto de contraventamentos, diafragmas e sistemas 
de rigidez lateral.
• Estabilidade de colunas: as colunas devem ser projetadas para evitar a flambagem, 
conforme mencionado anteriormente. Isso envolve considerar o comprimento efetivo 
das colunas, as condições de suporte e a escolha adequada das seções transversais.
• Estabilidade de vigas: as vigas devem ser projetadas para resistir aos momentos 
fletores, evitando a deformação excessiva e a flambagem. A escolha adequada das 
seções transversais, a determinação dos momentos fletores críticos e a consideração 
de fatores de segurança são essenciais para garantir a estabilidade das vigas.
• Estabilidade de lajes: as lajes devem ser projetadas para resistir aos esforços de 
flexão e cisalhamento, garantindo que não ocorra colapso ou ruptura. A espessura 
adequada da laje, o posicionamento de armaduras e a consideração das cargas 
aplicadas são fatores importantes para garantir a estabilidade das lajes.
• Estabilidade de fundações: as fundações devem ser dimensionadas para suportar 
as cargas aplicadas pela estrutura e transmiti-las de maneira segura para o solo. 
A estabilidade das fundações envolve considerar a capacidade de carga do solo, 
a distribuição adequada das cargas e a prevenção de recalques excessivos ou 
deslocamentos laterais.
 Essas são apenas algumas das principais condições de estabilidade que devem 
ser levadas em consideração no projeto estrutural. É fundamental seguir as normas 
e regulamentos de engenharia adequados, bem como realizar análises estruturais 
detalhadas para garantir a estabilidade e a segurança da construção. 
No Brasil, podemos nos atentar às normas estabelecidas pela ABNT que vão dispor de 
orientações específicas para cada caso. É de suma importância que os profissionais se 
atentem a essas prerrogativas no dia a dia de suas atividades, podemos citar principal-
mente:
• NBR 8800/2019 – Projetos de Estruturas de Aço e Concreto;
• NBR 6118/2014 – Projetos de Estruturas de Concreto;
• NBR 7190/1997 – Projetos de Estruturas de Madeira.
VAMOS PENSAR?
16
Figura 3: Exemplo de Flambagem em Colunas
Fonte: Elaborado pelo Autor (2023)
 Vale lembrar que profissões que exigem um determinado grau de confiabilidade 
e segurança na execução de suas atividades possuem um determinado conselho que 
visa orientar, fiscalizar e exigir padrões de execução de tarefas e atividades recorrentes. 
Assim sendo, para as profissões que envolvem a construção civil temos o CREA e o CAU 
que são responsáveis por conceder o registro profissional das atividades de engenharia 
e arquitetura.
 Uma coluna é um elemento construtivo alongado que auxilia uma determinada 
estrutura a ter estabilidade e sustentação de cargas. As colunas possuem uma 
orientação vertical e uma seção transversal constante ao longo de seu comprimento. 
Podemos observar que quando uma carga compressiva é aplicada à coluna, ela pode 
começar a se deformar axialmente e a securvar lateralmente caso a carga seja maior 
do que a suportada pelo material, esse fenômeno é conhecido como flambagem.
 A flambagem de colunas ocorre quando uma coluna ou um elemento estrutural 
delgado é submetido a uma carga axial compressiva. Pode ser observado que em 
determinadas condições, a coluna pode sofrer uma falha por flexão lateral ou desvio 
lateral antes de atingir sua capacidade máxima de carga axial.
 É de suma importância que os engenheiros, arquitetos e projetistas responsáveis 
por determinada construção levem em consideração esse fenômeno ao dimensionar 
elementos estruturais sujeitos a compressão axial para garantir que as estruturas sejam 
seguras e confiáveis. Cada estágio e forma de flambagem deve ser prevista, sempre 
observando as funções que a construção se destina, os materiais que serão usados e 
ainda a forma de execução.
1.3 FLAMBAGEM DE COLUNAS
17
Figura 4: Tipos de Flambagem em Colunas
Fonte: Elaborado pelo Autor (2023)
 Do ponto de vista da mecânica dos sólidos, a flambagem é um problema 
de estabilidade estrutural que também pode ser entendida como uma espécie de 
instabilidade. Em outras palavras, é uma forma de falha estrutural que envolve uma 
instabilidade global da coluna, resultando em deslocamentos que podem ser por flexões 
laterais ou flexo torção, que possuem características específicas descritas a seguir: 
• Flambagem por flexão lateral: nesse modo de flambagem, a coluna desvia 
lateralmente em forma de uma curva suave ou em forma de "S". A carga axial 
comprimindo a coluna gera um momento fletor que causa a curvatura lateral. 
Se a rigidez da flexão da coluna for insuficiente para resistir a esse momento, ela 
pode falhar por flambagem. Geralmente esse fenômeno é observado em colunas 
longas e esbeltas, apresentando uma relação significativa entre o comprimento e 
o raio de giração da seção transversal. Nesse caso, ao ser exposta a uma carga 
consideravelmente grande, a coluna se curva lateralmente em um padrão de flexão, 
formando um arco ao longo do seu comprimento. Esse volume de carga capaz de 
causar esse tipo de deformação é conhecido como carga crítica de flambagem.
• Flambagem por flexo-torção: nesse modo de flambagem, a coluna desenvolve uma 
forma de encurvadura na direção perpendicular ao eixo axial. Isso ocorre devido à 
instabilidade local da coluna. As tensões compressivas geradas pela carga axial 
podem superar a capacidade de carga do material em algumas regiões, levando à 
formação de encurvaduras ou ondulações.
 Ocorre quando a coluna é submetida a cargas axiais combinadas com momentos 
fletores. Isso geralmente ocorre em colunas com seções transversais assimétricas 
ou quando a carga aplicada não está alinhada com o eixo de simetria da coluna. A 
flambagem por flexo-torção envolve tanto a deformação flexional quanto a torção da 
coluna.
 Vale ressaltar que a flambagem é influenciada por vários fatores, como o 
comprimento efetivo da coluna, a rigidez da seção transversal, as condições de apoio e 
as propriedades do material que foi construído. O comportamento da coluna pode ser 
analisado utilizando-se equações e critérios de flambagem estabelecidos pela teoria 
da elasticidade ou por métodos numéricos mais avançados.
 Essas variáveis de flambagem de colunas são de suma importância durante o 
18
projeto e a análise de estruturas para que seja possível garantir que as colunas sejam 
projetadas e dimensionadas adequadamente, visando uma garantia de desempenho 
e redução de possíveis falhas por flambagem antes de atingir a capacidade de carga 
desejada.
 Nessa análise da flambagem de colunas envolve o cálculo da carga crítica de 
flambagem, que depende das propriedades geométricas da coluna e das condições de 
suporte. Diversos métodos analíticos e técnicas de análise estrutural, como o método 
dos elementos finitos são aplicados para determinar a carga crítica e projetar colunas 
que sejam seguras contra a flambagem.
 
 1.3.1 Critérios de falha por flambagem
 Alguns dos critérios mais comuns utilizados incluem sistemas de cálculo para 
que seja possível conseguir mensurar as variáveis necessárias para delimitar o volume 
de carga possível para a estrutura em questão. Vale lembrar que, existem critérios de 
flambagem aplicados aos demais elementos construtivos como vigas retas, vigas 
curvas e placas. Contudo nesse estudo daremos ênfase à flambagem de colunas e 
consequentemente aos critérios para determinar possíveis falhas por flambagem.
 Para identificar quais as cargas críticas de flambagem em determinada coluna são 
usados métodos de estudo para identificar os vários critérios de falha por flambagem. 
Esses critérios são usados para determinar a capacidade de carga de elementos 
estruturais estão sujeitos. 
• Critério de Euler
 O critério de Euler é aplicado para a flambagem por flexão de colunas longas e 
esbeltas. Ele estabelece que a carga crítica de flambagem é diretamente proporcional 
ao momento de inércia da seção transversal e inversamente proporcional ao quadrado 
do comprimento efetivo da coluna. O critério de Euler assume que a falha ocorre quando 
a flambagem por flexão atinge uma tensão crítica de compressão.
 A carga crítica de Euler, também conhecida como carga crítica de flambagem, 
é um conceito importante na mecânica dos sólidos que descreve a carga máxima 
que uma coluna ou elemento estrutural pode suportar antes de sofrer um fenômeno 
conhecido como flambagem ou instabilidade elástica.
Figura 5: Flambagem Lateral com Distorção
Fonte: Acervo pessoal do Autor (2023)
19
 A flambagem é um modo de falha que ocorre em colunas ou elementos 
comprimidos quando a carga aplicada excede um certo valor crítico. Quando a carga 
crítica de Euler é alcançada, o elemento estrutural sofre uma deformação súbita e 
instável, perdendo sua capacidade de suportar cargas adicionais.
 A carga crítica de Euler é determinada por meio da teoria da elasticidade, 
considerando-se as propriedades geométricas do elemento estrutural, como seu 
comprimento, momento de inércia e rigidez à flexão. Para uma coluna idealizada, com 
uma extremidade fixa e a outra livre, a carga crítica de Euler pode ser calculada pela 
fórmula:
 Onde:
 Pccr= é a carga crítica de Euler,
 E= é o módulo de elasticidade do material,
 I= é o momento de inércia da seção transversal da coluna,
 L= é o comprimento da coluna.
 É importante ressaltar que a fórmula acima é aplicável a colunas ideais e elementos 
estruturais esbeltos, ou seja, em que o comprimento é significativamente maior do que 
as dimensões transversais. Para elementos mais complexos, com diferentes condições 
de contorno ou geometrias, podem ser necessários métodos de análise mais avançados 
para determinar a carga crítica de flambagem.
 EXEMPLO:
 Um tubo de aço A-36 sem costura com diâmetro nominal de 33,4mm com 5,0 m 
de comprimento com 4,6mm de espessura será utilizado estruturalmente como pilar, 
afixado estruturalmente por pinos de aço. Determine a carga axial máxima admissível 
com a qual a coluna pode sofrer flambagem. Sendo módulo de elasticidade E= 210Gpa 
Tensão de escoamento ⌠e= 250Mpa 
 1) Cálculo do menor momento de inércia da seção transversal
 2) Área da secção transversal
 d=D-e
 d= 0,0334-0,0046
 2) Área da secção transversal 
 D = diâmetro externo da seção = 0,0334m 
 d = diâmetro interno da seção =0,0288 
 A= 0,000225m2
20
• Critério de Johnson
 O critério de flambagem de Johnson é utilizado para a flambagem por flexo-
torção de colunas sujeitas a momentos fletores e cargas axiais combinadas, sendo 
considerada tanto a tensão de compressão quanto a tensão de torção na determinação 
da carga crítica de flambagem. Esse método estabelece que a falha ocorre quando a 
tensão de compressão máxima combinada com a tensão de torção máxima atinge a 
resistência do material.
 A flambagem de Johnson é utilizada na mecânica dos sólidos para analisar 
a flambagem de colunas ou elementos comprimidos levando em consideração 
imperfeições geométricas e de carregamento.Esse critério é uma extensão do critério 
de Euler, incorporando os efeitos das imperfeições onde se estabelece que a carga 
crítica de flambagem de uma coluna é dada pela multiplicação da carga crítica de 
flambagem de Euler (Pcr) por um fator de redução denominado fator de redução de 
Johnson (φ). 
 O fator de redução de Johnson é determinado a partir de uma fórmula que 
considera os parâmetros que descrevem as imperfeições da coluna, sendo que leva 
em consideração principalmente três tipos de imperfeições:
 Imperfeições geométricas: essas imperfeições incluem desvios de retitude, 
desalinhamentos e não linearidades geométricas. Elas são representadas por um 
parâmetro chamado excentricidade (e), que descreve a distância entre a linha de ação 
da carga aplicada e o eixo central da coluna.
 Imperfeições de carregamento: essas imperfeições se referem a variações nas 
cargas aplicadas. Elas são representadas pelo parâmetro de esbeltez reduzida (λ), que 
é a relação entre a carga aplicada e a carga crítica de Euler.
Figura 6: Flambagem por Flexo-torção
Fonte: Acervo pessoal do Autor (2023)
21
 Imperfeições combinadas: essas imperfeições consideram a combinação das 
imperfeições geométricas e de carregamento. O parâmetro que as representa é a razão 
de esbeltez reduzida (λ'), que é a relação entre a carga aplicada e a carga crítica de 
Euler considerando as imperfeições geométricas.
 O fator de redução de Johnson (φ) é então determinado por meio de uma fórmula 
que relaciona os parâmetros de imperfeição (e,λ,λ') com as características da coluna 
e a geometria da seção transversal. Essa fórmula é determinada por meio de estudos 
experimentais e análises teóricas.
 Em resumo, o critério de flambagem de Johnson estende o critério de Euler, 
considerando as imperfeições geométricas e de carregamento, e utiliza um fator de 
redução para determinar a carga crítica de flambagem de uma coluna real. Esse critério 
é amplamente utilizado na análise de estabilidade de estruturas sujeitas a compressão.
 É importante ressaltar que diferentes critérios de falha podem ser aplicáveis em 
diferentes situações e dependem das características específicas do elemento estrutural 
em análise. Além disso, existem outros critérios de falha mais avançados que levam em 
consideração fatores como não-linearidade material e geometria não-linear. A seleção 
do critério adequado de falha por flambagem deve ser feita com base nas normas e 
códigos de projeto aplicáveis e no contexto específico da estrutura em questão.
Vale ressaltar que teoria das vigas de Euler-Bernoulli fornece equações diferen-
ciais que relacionam o momento fletor, a força cortante, a carga aplicada e a 
rigidez da viga. Por esse motivo é uma das mais utilizadas em relação à teoria de 
Timoshenko. O vídeo indicado a seguir explica diferença entre as teorias e propõe 
um melhor entendimento sobre seu funcionamento:
Video: Euler-Bernoulli vs Timoshenko Beam Theory. Disponível em: https://shre.
ink/2OcD. Acesso em: 15 abr. 2023.
BUSQUE POR MAIS
22
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Dentre as aplicações da engenharia civil, a utilização de vigas é frequente em 
diversas estruturas, tais como pontes, edifícios, galpões e suportes. Um dos fenômenos 
estudados relacionados às vigas é o deslocamento de vigas retas devido à flexão, que 
ocorre quando a viga é submetida a cargas externas, resultando em momentos fletores. 
Esses momentos fletores são causados pela aplicação de diversas cargas, como peso, 
pressão, forças horizontais e momentos externos, que podem ocasionar deformações 
na estrutura. Como consequência desses momentos, ocorrem deslocamentos ao longo 
do comprimento da viga, podendo apresentar diferentes formas e características.
Considerando o exposto, qual é o principal objetivo das vigas em uma estrutura?
a) Distribuir o peso uniformemente.
b) Resistir à pressão atmosférica.
c) Suportar cargas externas e transmiti-las à estrutura.
d) Minimizar as deformações na estrutura.
e) Gerar momentos fletores para aumentar a resistência.
2. Durante o processo de deformação elástica em uma viga, a exposição aos momentos 
fletores resulta em comportamentos distintos em pontos específicos. Nesse contexto, 
ocorrem tensões de tração e compressão na seção transversal da viga, ocasionando 
um comportamento diferenciado. Enquanto a parte superior da viga é comprimida, 
a parte inferior é esticada. Essas tensões de tração e compressão são responsáveis 
por provocar deformações elásticas na viga. Com base nessas informações, qual é o 
efeito das tensões de tração e compressão na seção transversal de uma viga durante 
o processo de deformação elástica?
a) As tensões de tração e compressão não geram deformações na viga.
b) As tensões de tração e compressão causam a mesma deformação em toda a viga.
c) As tensões de tração provocam compressão na parte superior da viga e estiramento 
na parte inferior.
d) As tensões de tração provocam estiramento na parte superior da viga e compressão 
na parte inferior.
e) As tensões de tração e compressão geram deformações aleatórias na viga.
3. Na análise de vigas em flexão, o momento de curvatura desempenha um papel 
crucial, representando as forças internas responsáveis pela deformação da viga. Em 
termos simples, o momento de curvatura é o resultado do produto entre a resistência 
do material (momento resistente) e a curvatura da viga. Com base nessas informações, 
qual é a relação entre o momento de curvatura e o momento fletor em uma viga em 
flexão?
a) O momento de curvatura não está relacionado ao momento fletor.
b) O momento de curvatura é diretamente proporcional ao momento fletor.
23
c) O momento de curvatura é inversamente proporcional ao momento fletor.
d) O momento de curvatura depende da resistência do material, mas não do momento 
fletor.
e) O momento de curvatura depende da taxa de variação angular da linha neutra, mas 
não do momento fletor.
4. As condições de estabilidade são fundamentais para garantir a integridade e 
segurança de uma estrutura. Elas envolvem critérios que devem ser atendidos para 
evitar colapsos ou falhas catastróficas em decorrência das cargas aplicadas. Com 
base nessas informações, qual é a importância das condições de estabilidade para 
uma estrutura?
a) Garantir que a estrutura seja visualmente atraente.
b) Assegurar que a estrutura seja resistente ao desgaste do tempo.
c) Minimizar a necessidade de reparos ou manutenção da estrutura.
d) Evitar deslocamentos excessivos e perda de equilíbrio da estrutura.
e) Reduzir o custo total da construção da estrutura.
5. Qual é o fenômeno que ocorre quando uma coluna é submetida a uma carga axial 
compressiva e começa a se deformar axialmente e a se curvar lateralmente, caso a 
carga seja maior do que a suportada pelo material?
a) Deformação plástica.
b) Ruptura por tração.
c) Flambagem.
d) Deslocamento lateral.
e) Tensão residual.
6. Qual é o fenômeno que ocorre quando uma coluna longa e esbelta, com uma relação 
significativa entre o comprimento e o raio de giração da seção transversal, desvia 
lateralmente em forma de uma curva suave ou em forma de "S" devido a um momento 
fletor gerado pela carga axial compressiva?
a) Deformação plástica.
b) Ruptura por tração.
c) Flambagem por torção.
d) Flambagem por flexão lateral.
e) Deslocamento vertical.
7. Qual é o fenômeno que ocorre quando uma coluna, submetida a cargas axiais 
combinadas com momentos fletores, desenvolve uma forma de encurvadura na direção 
perpendicular ao eixo axial, devido à instabilidade local e às tensões compressivas que 
podem superar a capacidade de carga do material em algumas regiões?
a) Deformação plástica.
b) Ruptura por tração.
24
c) Flambagem por torção.
d) Flambagem por flexão lateral.
e) Flambagem por flexo-torção.
8. Qual critério é empregado para calcular a carga crítica de flambagem em colunas 
longas e esbeltas, levando em consideração que essa carga crítica é diretamente 
proporcional ao momento de inércia da seção transversal e inversamente proporcional 
aocomprimento efetivo da coluna?
a) Critério de deformação plástica.
b) Critério de resistência à tração.
c) Critério de rigidez à flexão.
d) Critério de instabilidade elástica.
e) Critério de Euler.
25
RESOLUÇÃO DE 
PROBLEMAS 
RELACIONADOS AO 
EQUILÍBRIO ESTRUTURAL
26
 A resolução de problemas relacionados ao equilíbrio estrutural envolve o uso de 
métodos de energia e dos teoremas de Castigliano e dos Trabalhos Mínimos. Essas 
abordagens são aplicadas para determinar as deformações e deslocamentos em 
estruturas sujeitas a cargas externas.
 Os métodos de energia, como o método do trabalho virtual, são baseados no 
princípio de que o trabalho realizado pelas forças externas é igual ao trabalho interno 
gerado pelas tensões internas na estrutura. Esses métodos permitem obter as equações 
de equilíbrio através da minimização da energia potencial total da estrutura.
 O teorema de Castigliano é uma técnica que utiliza o conceito de derivadas 
parciais para calcular deslocamentos e deformações em pontos específicos da 
estrutura. Ele afirma que a derivada parcial da energia de deformação em relação a 
uma força externa é igual ao deslocamento correspondente.
 O teorema dos Trabalhos Mínimos, também conhecido como princípio dos 
Trabalhos Virtuais, estabelece que o trabalho realizado pelas forças externas é mínimo 
quando a estrutura está em equilíbrio estático. Esse teorema permite determinar as 
deformações e deslocamentos através da minimização do trabalho externo.
 Ambos os teoremas são ferramentas poderosas para a análise de estruturas 
complexas, permitindo a obtenção de soluções analíticas ou numéricas para problemas 
de equilíbrio estrutural. Eles são amplamente utilizados na engenharia civil e mecânica 
para o dimensionamento de estruturas e a determinação das respostas estruturais sob 
diferentes condições de carga.
 Em resumo, os métodos de energia e os teoremas de Castigliano e dos Trabalhos 
Mínimos fornecem uma abordagem eficiente e precisa para resolver problemas de 
equilíbrio estrutural, permitindo a determinação das deformações e deslocamentos em 
estruturas sujeitas a cargas externas.
 Os métodos de energia, também conhecidos como métodos dos trabalhos virtuais, 
são técnicas utilizadas na mecânica dos sólidos para analisar e resolver problemas 
relacionados ao equilíbrio de estruturas e aos deslocamentos e deformações resultantes. 
Esses métodos são fundamentados no princípio de que o trabalho realizado por forças 
externas em uma estrutura é igual ao trabalho realizado pelas forças internas.
 Em outras palavras, podemos definir que os métodos de energia são técnicas 
utilizadas para determinar as respostas estruturais de corpos sólidos sujeitos a forças 
externas. Esses métodos são baseados no princípio do trabalho virtual, que estabelece 
que o trabalho realizado pelas forças reais sobre um corpo sólido é igual ao trabalho 
realizado pelas forças virtuais em um estado deformado imaginário do corpo.
2.1 INTRODUÇÃO
2.2 MÉTODOS DE ENERGIA
27
 Definimos que as forças virtuais são perturbações fictícias aplicadas ao corpo 
para analisar seu comportamento. Elas são utilizadas para calcular as deformações e 
as tensões internas resultantes da aplicação das forças reais. As forças virtuais não são 
físicas, mas sim construções matemáticas e conceituais que ajudam na formulação 
das equações de equilíbrio e de compatibilidade de deformações.
 Esse sistema virtual dimensionado é completamente independente do sistema 
real, que nada mais é do que a estrutura verdadeira da qual se quer calcular um 
deslocamento ou rotação (ou ainda definir uma compatibilidade). Assim sendo, o 
sistema virtual vai trabalhar com a mesma estrutura do real, porém com cargas 
diferentes. 
 Para determinação das cargas do sistema virtual é definida uma força (ou 
momento) escolhida arbitrariamente na direção do deslocamento (ou rotação) que 
se deseja calcular e também as correspondentes reações de apoio. Desse modo, as 
cargas do sistema virtual não existem na realidade (por isso, são ditas virtuais) e são 
meras projeções para efeito de cálculo.
EXEMPLO:
 Considere a imagem a seguir de uma viga biapoiada com uma determinada 
carga concentrada P1 em seu centro. Neste caso, pretende-se determinar o valor do 
deslocamento D2 em um ponto qualquer definido pela distancia a no apoio à esquerda. 
O sistema virtual pode ser considerado como a força aplicada nesse ponto e com a 
mesma direção do deslocamento, de acordo com os diagramas de momentos fletores 
que observamos na imagem a seguir: (LIAH, 2014.)
Figura 7: Estruturação de uma Edificação
Fonte: Acervo pessoal do Autor (2023)
28
 Portanto, esse sistema vai permitir que os cálculos de deslocamentos e rotações 
possam ser generalizados. Desse modo, as cargas da estrutura real podem ser 
estipuladas e os deslocamentos e rotações podem ser dimensionados de qualquer 
ponto e em qualquer direção. 
 Neste exemplo podemos estabelecer que a magnitude da força virtual é 
irrelevante, pois seu valor vai ser cancelado na expressão acima mediante o diagrama 
de momentos fletores virtuais , por ser uma função linear de Contudo, geralmente 
faz-se a adoção de um valor unitário para a carga virtual. (LIAH, 2014)
 Existem dois principais métodos de energia que podemos citar, são eles: o método 
dos deslocamentos virtuais e o método das deformações virtuais. Ambos os métodos 
são baseados na formulação do trabalho virtual, que envolve a análise do trabalho 
realizado por forças externas virtuais e o trabalho realizado pelas forças internas 
correspondentes.
 Ambos os métodos de energia são aplicados em conjunto com as equações de 
equilíbrio e as relações constitutivas do material para resolver problemas de mecânica 
dos sólidos. Eles fornecem uma abordagem sistemática e geralmente simplificada 
para determinar as respostas estruturais, como forças internas, tensões, deformações 
e deslocamentos.
É importante destacar que a aplicação dos métodos de energia requer o estabelecimento 
de hipóteses adequadas, como a linearidade das deformações e a ausência de grandes 
deslocamentos. Além disso, a seleção do método apropriado depende da natureza 
do problema em questão e das características específicas da estrutura e do material 
envolvidos.
 2.2.1 Método dos deslocamentos Virtuais
 Nesse método, as incógnitas são os deslocamentos nas direções de interesse 
da estrutura. O princípio fundamental é que o trabalho virtual realizado pelas forças 
Figura 8: Exemplo de deslocamento genérico em viga biapoiada com uma carga central
Fonte: Acervo pessoal do Autor (2023)
29
Figura 9: Exemplo de deformações reais que podem ser “previstas” mediante cálculo virtual
Fonte: Acervo pessoal do Autor (2023)
externas virtuais deve ser igual ao trabalho virtual realizado pelas forças internas 
correspondentes. Esse método é aplicado principalmente para determinar as forças 
internas em estruturas lineares e para resolver problemas de equilíbrio.
 O Método dos Deslocamentos Virtuais é um dos métodos de energia utilizados na 
mecânica dos sólidos para analisar estruturas e determinar as respostas internas, como 
tensões e deformações. Ele é baseado no princípio do trabalho virtual, que estabelece 
que o trabalho realizado pelas forças reais em um sistema mecânico é igual ao trabalho 
realizado pelas forças virtuais correspondentes.
 No Método dos Deslocamentos Virtuais, as variações infinitesimais dos 
deslocamentos são consideradas como as forças virtuais. Essas variações são aplicadas 
em pontos específicos da estrutura, permitindo calcular as respostas estruturais sem a 
necessidade de resolver equações diferenciais complexas.
 Aqui estão os passos básicos do Método dos Deslocamentos Virtuais:
• Formulação do problema: defina a geometria da estrutura e as condições de contorno, 
incluindo as forças e deslocamentos conhecidos. Determine o tipo de suporte ou 
restrições presentes.
• Escolha das coordenadas virtuais:selecione um conjunto de deslocamentos virtuais 
independentesque satisfaçam as condições de contorno e que sejam convenientes 
para o problema em questão. Esses deslocamentos virtuais são considerados como 
forças virtuais aplicadas nos pontos específicos da estrutura.
• Cálculo do trabalho virtual:calcule o trabalho virtual realizado pelas forças virtuais 
nos deslocamentos virtuais escolhidos. Isso envolve multiplicar as forças virtuais 
pelos deslocamentos virtuais e somar esses produtos para cada ponto da estrutura.
• Equação de equilíbrio:estabeleça a equação de equilíbrio com base nas forças reais 
atuantes na estrutura. Essa equação relaciona as forças reais às forças virtuais 
através do princípio do trabalho virtual.
30
• Solução do problema: resolva a equação de equilíbrio para obter as respostas 
estruturais desejadas, como as tensões e deslocamentos. Isso pode envolver 
manipulação algébrica e aplicação de técnicas de análise estrutural.
 O Método dos Deslocamentos Virtuais é uma técnica poderosa para resolver 
problemas de mecânica dos sólidos, pois evita a necessidade de resolver equações 
diferenciais complicadas. Ele fornece uma abordagem variacional para determinar as 
respostas estruturais, permitindo a obtenção de soluções aproximadas que satisfazem 
o princípio do trabalho virtual.
 No entanto, é importante ressaltar que o Método dos Deslocamentos Virtuais 
é um método aproximado e requer algumas suposições simplificadoras. Além disso, 
sua aplicação adequada requer um bom entendimento da teoria da elasticidade e da 
análise estrutural.
 2.2.2 Método das deformações Virtuais
 Nesse método, as incógnitas são as deformações nas direções de interesse 
da estrutura. O princípio fundamental é que o trabalho virtual realizado pelas forças 
externas virtuais deve ser igual ao trabalho virtual realizado pelas tensões internas 
correspondentes. Esse método é especialmente útil para analisar materiais não lineares, 
como materiais elásticos-plásticos.
 O Método das Deformações Virtuais é outro método de energia utilizado na 
mecânica dos sólidos para analisar e determinar as respostas internas de uma 
estrutura. Assim como o Método dos Deslocamentos Virtuais, ele se baseia no princípio 
do trabalho virtual.
 No Método das Deformações Virtuais, as variações infinitesimais das deformações 
são consideradas como as forças virtuais. Essas deformações virtuais são aplicadas 
em toda a extensão da estrutura, permitindo calcular as respostas estruturais sem a 
necessidade de resolver equações diferenciais complexas.
 Aqui estão os passos básicos do Método das Deformações Virtuais:
• Formulação do problema: defina a geometria da estrutura, as propriedades do 
material e as condições de contorno, incluindo as forças e deformações conhecidas. 
Determine o tipo de suporte ou restrições presentes.
• Escolha das deformações virtuais: selecione um conjunto de deformações virtuais 
independentes que satisfaçam as condições de contorno e que sejam convenientes 
para o problema em questão. Essas deformações virtuais são consideradas como 
as forças virtuais aplicadas em toda a estrutura.
• Cálculo do trabalho virtual: calcule o trabalho virtual realizado pelas forças virtuais 
nas deformações virtuais escolhidas. Isso envolve multiplicar as forças virtuais pelas 
deformações virtuais e somar esses produtos em toda a estrutura.
• Equação de equilíbrio: estabeleça a equação de equilíbrio com base nas forças 
reais atuantes na estrutura. Essa equação relaciona as forças reais às forças virtuais 
através do princípio do trabalho virtual.
• Solução do problema: resolva a equação de equilíbrio para obter as respostas 
estruturais desejadas, como as tensões e deformações. Isso pode envolver 
manipulação algébrica e aplicação de técnicas de análise estrutural.
 Assim como o Método dos Deslocamentos Virtuais, o Método das Deformações 
31
Virtuais é uma técnica aproximada e requer algumas suposições simplificadoras. 
Também é necessário ter um bom entendimento da teoria da elasticidade e da análise 
estrutural para aplicar corretamente esse método.
 Ambos os métodos, Deslocamentos Virtuais e Deformações Virtuais, são 
amplamente utilizados na análise de estruturas e proporcionam uma abordagem 
teórica rigorosa para determinar as respostas internas dos sólidos sujeitos a forças 
externas.
A principal diferença entre o Método das Deformações Virtuais e o Método dos Desloca-
mentos Virtuais é a escolha das forças virtuais. No Método dos Deslocamentos Virtuais, 
as forças virtuais são aplicadas nos pontos específicos da estrutura, enquanto no Método 
das Deformações Virtuais, as forças virtuais são aplicadas em toda a extensão da estru-
tura.
FIQUE ATENTO
 O teorema de Castigliano é um princípio importante na mecânica dos sólidos que 
permite determinar deslocamentos ou rotações específicas em uma estrutura através 
do cálculo de derivadas parciais dos deslocamentos elásticos em relação às forças ou 
momentos aplicados.
 Esse teorema vai se basear no conceito de energia de deformação elástica 
armazenada em uma estrutura quando esta for submetida a carregamentos. Desse 
modo, é possível estabelecer que o deslocamento elástico em uma determinada 
direção é proporcional à derivada parcial da energia de deformação em relação à força 
aplicada na mesma direção. Esse princípio é válido para estruturas elásticas lineares.
 Também conhecido como Teorema da Energia de Deformação, ele vai estabelecer 
que, em uma estrutura linear elástica, o deslocamento em um determinado ponto pode 
ser obtido derivando a energia de deformação em relação à força conjugada a esse 
deslocamento. 
 Por ser uma ferramenta poderosa para determinar os deslocamentos em 
estruturas complexas sem a necessidade de resolver sistemas de equações diferenciais, 
o teorema é particularmente útil quando se tem interesse em calcular o deslocamento 
em um ponto específico da estrutura, enquanto todas as outras variáveis são mantidas 
constantes.
 Para que possamos entender como o teorema de Castigliano funciona, devemos 
considerar uma estrutura elástica sujeita a uma carga externa. Assim sendo, esse 
método de sequenciamento vai permitir determinar o deslocamento em um ponto 
específico da estrutura ao calcular as derivadas parciais da energia de deformação 
elástica em relação às forças ou momentos aplicados nesse ponto.
2.3 TEOREMA DE CASTIGLIANO
32
Vale ressaltar que esse teorema envolve uma série de cálculos sequenciais, podemos ve-
rificar exemplos práticos. A indicação para leitura e aplicação, não só desse teorema, mas 
também sobre os diversos temas abrangentes da mecânica dos sólidos é a obra: 
Livro: Mecânica dos Materiais (Mechanics of Materials) dos autores: Ferdinand P. Beer, E. 
Russell Johnston Jr., John T. DeWolf e David F. Mazurek.
BUSQUE POR MAIS
 De forma geral, podemos estabelecer uma sequência para realização do 
procedimento básico para aplicação do teorema de Castigliano da seguinte forma:
 1) Identificar qual o ponto na estrutura onde deseja-se determinar o deslocamento 
ou rotação.
 2) Selecione qual a carga ou o momento aplicado apropriado que vai afetar 
diretamente no deslocamento ou na rotação desejada nesse ponto.
 3) Fazer o cálculo da energia de deformação elástica associada a essa 
determinada carga ou momento.
 4) Calcular a derivada parcial dessa energia de deformação em relação à carga 
ou momento que está sendo aplicado.
 5) Por fim, é realizada a multiplicação da derivada parcial pelo fator de 
proporcionalidade adequado (geralmente trata-se de um módulo de elasticidade ou 
momento de inércia) para que seja possível obter o deslocamento ou rotação no ponto 
desejado.
 O teorema de Castigliano é amplamente utilizado em análises estruturais para 
determinar deflexões, deslocamentos e rotações em pontos específicos de uma 
estrutura. É especialmente útil quando o cálculo direto dessas grandezas é complexo 
ou difícil de ser realizado.
 Vale ressaltar que o teorema de Castigliano tem suas limitações e é aplicável 
somente em estruturas elásticas lineares.Além disso, é importante ter cuidado ao 
aplicar o teorema em casos de estruturas com comportamento não linear ou onde o 
efeito de grandes deslocamentos é significativo.
 O teorema dos trabalhos mínimos, também conhecido como princípio dos 
trabalhos virtuais, é um princípio utilizado na mecânica dos sólidos para analisar e 
resolver problemas de equilíbrio e deformação em estruturas. Esse teorema afirma que 
a configuração estática de uma estrutura é aquela que minimiza a energia potencial 
total do sistema.
 De acordo com esse teorema, uma estrutura está em equilíbrio quando a variação 
da energia potencial é mínima para pequenas perturbações. Isso significa que, para 
uma estrutura equilibrada, a soma dos trabalhos virtuais externos e internos é igual a 
zero.
2.4 TEOREMA DOS TRABALHOS MÍNIMOS
33
 Em outras palavras, podemos estabelecer que em um sistema em equilíbrio, 
a configuração que a estrutura assume é aquela que minimiza o trabalho externo 
realizado sobre ela. Esse teorema é amplamente utilizado na análise estrutural para 
determinar as respostas internas das estruturas e calcular deslocamentos, tensões e 
outras grandezas.
 De maneira geral, assim como no Teorema de Castigliano, há como definir um 
conjunto de procedimentos essenciais para realização do cálculo do teorema dos 
Trabalhos Mínimos de acordo com os passos a seguir:
 1) Defina a geometria da estrutura a ser analisada bem como suas propriedades 
de material e as suas condições de contorno e forças externas aplicadas.
 2) Selecione um conjunto de deformações virtuais independentes que possibilitem 
satisfazer as condições de contorno e que também sejam convenientes para o problema 
em questão.
 3) Faça o cálculo do trabalho virtual realizado pelas forças externas nas 
deformações virtuais escolhidas. Isso envolve multiplicar as forças externas pelas 
deformações virtuais e somar esses produtos para cada ponto da estrutura.
 4) A partir daí se calcula a derivada parcial do trabalho virtual em relação a cada 
uma das forças externas. Isso automaticamente vai resultar nas equações de equilíbrio, 
com base nas derivadas parciais do trabalho virtual em relação às forças externas 
(essas equações vão relacionar as forças reais com as deformações virtuais).
 5) Finalmente, resolva essas equações de equilíbrio para obter as respostas 
estruturais desejadas, como os deslocamentos, as tensões e outras grandezas.
 EXEMPLO:
Figura 10: Edificação com estrutura em construção
Fonte: Acervo pessoal do Autor (2023)
34
 Para aplicar a somatória dos momentos, vamos adotar o sentido horário negativo.
 Vamos, agora, aplicar a somatória de forças horizontais para encontrar a reação 
HB:
35
36
 O Teorema dos Trabalhos Mínimos é uma ferramenta poderosa para a análise 
de estruturas, permitindo determinar as respostas estruturais sem a necessidade de 
resolver sistemas de equações diferenciais. Ele é particularmente útil em problemas 
complexos, nos quais as equações de equilíbrio tradicionais podem ser difíceis de serem 
estabelecidas ou resolvidas.
É importante observar que esse sistema é uma consequência do princípio de Hamilton, 
um dos princípios mais gerais da física que determina que a trajetória seguida por um sis-
tema físico é aquela que minimiza a ação. Podemos definir que o Teorema dos Trabalhos 
Mínimos é uma aplicação desse princípio direcionado especificamente para sistemas 
mecânicos em equilíbrio.
A relação entre o princípio de Hamilton e o Teorema dos Trabalhos Mínimos é que ambos 
envolvem a minimização de uma grandeza física. No princípio de Hamilton, a grandeza a 
FIQUE ATENTO
37
 Assim sendo, o teorema dos trabalhos mínimos é uma ferramenta poderosa para 
análise de estruturas e sistemas mecânicos em equilíbrio, podendo ser amplamente 
utilizado na análise estrutural - identificando deslocamento, tensões e deformações em 
sistemas mecânicos – e em projetos de estruturas – otimizando o design de estruturas, 
encontrando configurações que minimizam o trabalho externo ou as tensões em pontos 
críticos. 
 Devemos destacar que esse teorema ainda permite analisar os efeitos de 
diferentes carregamentos e restrições em uma estrutura, fornecendo uma maneira de 
quantificar os deslocamentos e as forças resultantes em pontos específicos, auxiliando 
na avaliação da estabilidade e segurança da estrutura. Além de possibilitar a análise de 
mecanismos e sistemas mecânicos determinando as forças internas, os deslocamentos 
e as reações em diferentes componentes. 
 É importante ressaltar que o teorema dos trabalhos mínimos é aplicável a sistemas 
em equilíbrio, nos quais as forças e os deslocamentos estão em um estado estático. 
Além disso, ele é baseado em pressupostos da mecânica clássica e é mais adequado 
para sistemas elásticos lineares.
 Em resumo, o teorema dos trabalhos mínimos é indicado em uma ampla gama 
de aplicações na análise e projeto de estruturas e sistemas mecânicos. Ele oferece uma 
abordagem eficiente e poderosa para determinar as respostas estruturais e otimizar o 
desempenho dos sistemas.
 Devemos ter em mente que a aplicação do teorema dos trabalhos mínimos requer 
algumas hipóteses, como o comportamento elástico-linear do material e uma pequena 
perturbação aplicada. Em casos de estruturas com comportamento não linear, outros 
métodos, como o método dos elementos finitos, podem ser necessários.
ser minimizada é a integral da ação ao longo do tempo, enquanto no Teorema dos Tra-
balhos Mínimos, a grandeza a ser minimizada é o trabalho realizado pelas forças externas 
em um sistema mecânico em equilíbrio.
Na engenharia civil e estrutural, o teorema dos trabalhos mínimos é amplamente utilizado 
para analisar e projetar estruturas, como pontes, edifícios, torres de transmissão, entre ou-
tros. Isso se deve ao fato desse teorema ser capaz de fornecer uma abordagem eficiente 
para determinar as respostas estruturais e garantir a estabilidade e a segurança das cons-
truções.
Na engenharia e arquitetura existe uma série de fatores importantes que devem ser obser-
vados para que o profissional consiga estabelecer uma linha de trabalho coerente e confi-
ável. A busca constante por aperfeiçoamento, a conferência dos dados e cálculos obtidos 
por meio dos sistemas e o monitoramento constante das obras é essencial para o sucesso 
do projeto que está sendo desenvolvido.
VAMOS PENSAR?
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FIXANDO O CONTEÚDO
1. Qual dos seguintes princípios fundamentais é utilizado nos métodos de energia na 
mecânica dos sólidos para analisar e resolver problemas relacionados ao equilíbrio de 
estruturas e às deformações resultantes?
a) Princípio da conservação da energia.
b) Princípio do trabalho virtual.
c) Princípio da deformação elástica.
d) Princípio da resistência dos materiais.
e) Princípio do equilíbrio estático. 
2. Qual dos seguintes métodos é utilizado na mecânica dos sólidos para analisar 
estruturas e determinar as respostas internas, como tensões e deformações, com base 
no princípio do trabalho virtual?
a) Método dos deslocamentos virtuais.
b) Método dos trabalhos virtuais.
c) Método das forças virtuais.
d) Método das respostas internas.
e) Método das estruturas lineares.
3. O teorema de Castigliano é um princípio importante na mecânica dos sólidos que 
permite determinar deslocamentos ou rotações específicas em uma estrutura através 
do cálculo de derivadas parciais dos deslocamentos elásticos em relação às forças 
ou momentos aplicados. Qual é o princípio fundamental do teorema de Castigliano na 
análise estrutural?
a) O deslocamento elástico é proporcional à força aplicada na mesma direção.
b) O teorema de Castigliano é aplicável apenas a estruturas não lineares.
c) A energia de deformação é diretamente proporcional à força aplicada.
d) O deslocamento elástico pode ser obtido derivando a energia de deformação em 
relação à força conjugada.
e) O teorema de Castigliano é válido apenas para estruturas com comportamento 
elástico não linear.
4. De acordo com o teorema de Castigliano, qual é a relaçãoentre o deslocamento 
elástico em um ponto específico de uma estrutura e a derivada parcial da energia de 
deformação em relação à força conjugada a esse deslocamento?
a) O deslocamento elástico é diretamente proporcional à derivada parcial da energia 
de deformação.
b) O deslocamento elástico é inversamente proporcional à derivada parcial da energia 
de deformação.
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c) O deslocamento elástico é igual à derivada parcial da energia de deformação.
d) O deslocamento elástico não tem relação com a derivada parcial da energia de 
deformação.
e) O deslocamento elástico é o resultado da integral da energia de deformação em 
relação à força conjugada.
5. Qual das seguintes afirmações está correta em relação ao teorema dos trabalhos 
mínimos?
a) O teorema dos trabalhos mínimos é utilizado para determinar os deslocamentos e 
rotações em pontos específicos de uma estrutura.
b) O teorema dos trabalhos mínimos afirma que a configuração estática de uma 
estrutura é aquela que minimiza a energia potencial total do sistema.
c) O teorema dos trabalhos mínimos é aplicável somente a estruturas elásticas não 
lineares.
d) O teorema dos trabalhos mínimos estabelece que a soma dos trabalhos virtuais 
externos e internos é sempre positiva.
e) O teorema dos trabalhos mínimos é usado para calcular as forças internas em uma 
estrutura sujeita a carregamentos externos.
6. De acordo com o teorema dos trabalhos mínimos, qual é a condição de equilíbrio 
para uma estrutura em análise?
a) A soma dos trabalhos virtuais internos é mínima.
b) A soma dos trabalhos virtuais internos é igual à soma dos trabalhos virtuais externos.
c) A soma dos trabalhos virtuais externos é máxima.
d) A energia potencial total do sistema é máxima.
e) A energia potencial total do sistema é mínima.
7. O Teorema dos Trabalhos Mínimos é uma ferramenta poderosa para a análise de 
estruturas, permitindo determinar as respostas estruturais sem a necessidade de 
resolver sistemas de equações diferenciais. Com esse conhecimento, informe quais são 
os passos essenciais para realizar o cálculo do Teorema dos Trabalhos Mínimos?
a) Definir as propriedades de material da estrutura e selecionar um conjunto de 
deformações virtuais independentes.
b) Determinar as condições de contorno da estrutura e calcular o trabalho virtual 
realizado pelas forças externas.
c) Estabelecer as forças externas aplicadas na estrutura e derivar parcialmente o 
trabalho virtual em relação a elas.
d) Resolver as equações de equilíbrio obtidas a partir das derivadas parciais do trabalho 
virtual.
e) Calcular as respostas estruturais desejadas, como deslocamentos e tensões, sem a 
necessidade de resolver equações diferenciais.
8. De acordo com o Teorema dos Trabalhos Mínimos, qual é o critério utilizado para 
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determinar a configuração estática de uma estrutura?
a) A configuração estática é aquela em que a soma dos trabalhos virtuais externos e 
internos é igual a zero.
b) A configuração estática é aquela em que a soma dos deslocamentos virtuais externos 
e internos é igual a zero.
c) A configuração estática é aquela em que a soma das tensões virtuais externas e 
internas é igual a zero.
d) A configuração estática é aquela em que a soma dos momentos virtuais externos e 
internos é igual a zero.
e) A configuração estática é aquela em que a soma das deformações virtuais externas 
e internas é igual a zero.
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TÉCNICAS DE ANÁLISE DE 
COMPORTAMENTOS 
ESTRUTURAIS COMPLEXOS
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 O Método dos Elementos Finitos é uma técnica numérica amplamente utilizada 
para analisar o comportamento de estruturas e sistemas complexos. Trata-se de uma 
abordagem que divide o domínio da estrutura em pequenos elementos finitos, nos 
quais as equações diferenciais que descrevem o comportamento da estrutura são 
aproximadas por equações algébricas.
 A ideia fundamental do Método dos Elementos Finitos é discretizar a estrutura em 
elementos finitos, que podem ser pontos, linhas, superfícies ou volumes, dependendo da 
dimensão do problema. Cada elemento finito é definido por nós ou pontos de controle, 
onde são atribuídas incógnitas, como deslocamentos, tensões ou temperaturas.
 Por meio da discretização, das equações diferenciais que governam o 
comportamento da estrutura são transformadas em um sistema de equações 
algébricas, conhecido como sistema de equações de elementos finitos. Esse sistema é 
resolvido numericamente para obter as soluções aproximadas das incógnitas em cada 
nó da malha.
 Esse método é amplamente utilizado na engenharia civil, mecânica, aeroespacial 
e outras áreas para projetar e analisar estruturas, componentes e sistemas. Ele fornece 
uma abordagem eficiente e precisa para modelar o comportamento de estruturas 
complexas, permitindo a otimização de projetos, a previsão de respostas estruturais e a 
avaliação de seu desempenho sob diferentes condições de carga e ambiente.
 O Método dos Elementos Finitos se faz necessário em situações nas quais a 
análise analítica é difícil ou impossível, em problemas com geometrias complexas, 
comportamento não linear, otimização de projeto e simulações virtuais. A utilização desse 
método vai fornecer uma ferramenta poderosa para a análise numérica de problemas 
de engenharia e a obtenção de informações detalhadas sobre o comportamento 
estrutural.
 Em outras palavras, podemos definir esse método como uma metodologia 
numérica utilizada para resolver problemas complexos de engenharia e análise 
estrutural, que pode ser amplamente aplicado em áreas como a mecânica dos sólidos, 
engenharia civil, engenharia mecânica, engenharia aeroespacial e diversas outras.
 O objetivo do método dos elementos finitos é dividir o domínio do problema 
em uma série de elementos finitos menores, nos quais as equações governantes são 
3.1 INTRODUÇÃO
3.2 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Podemos definir que o método dos elementos finitos é uma técnica numérica amplamen-
te utilizada na engenharia e na ciência para resolver problemas complexos de análise 
estrutural, transferência de calor, fluidodinâmica, eletromagnetismo e outros fenômenos 
físicos. Ele oferece uma abordagem eficiente e precisa para modelar e analisar o compor-
tamento de estruturas e sistemas complexos.
FIQUE ATENTO
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aproximadas por funções matemáticas. Cada elemento é considerado como uma 
unidade independente, e o comportamento global do sistema é obtido pela combinação 
dos comportamentos de cada elemento individual.
 Essa nova divisão do domínio do problema geralmente é categorizada em 
uma espécie de malha ou grade de elementos finitos, que são pequenas sub-regiões 
geométricas. Vale destacar que esses elementos podem ter diferentes formas, como 
triângulos, quadriláteros, tetraedros e hexaedros, dependendo da natureza do problema.
 Assim sendo, cada elemento finito poderá ser definido por um conjunto de nós ou 
pontos discretos dentro de um determinado domínio. Os chamados “nós de elementos” 
são usados para definir as funções aproximadas que vão descrever o comportamento 
do problema. As funções aproximadas são combinadas para representar a solução do 
problema dentro de cada elemento finito.
 Desse modo, o método utiliza equações diferenciais ou equações de equilíbrio 
que governam o comportamento do sistema físico em estudo. Essas equações são 
aproximadas por meio de técnicas de interpolação ou de aproximação polinomial, e as 
incógnitas são determinadas através de um processo conhecido como: discretização.
 Uma vez que o domínio é discretizado e as equações são aproximadas, o sistema 
resultante é transformado em um sistema de equações algébricas, que pode ser 
resolvido numericamente. Cabe a essa resolução envolver métodos diretos ou iterativos, 
variando conforme a natureza do problema e a escolha do algoritmo.
 Esse sistema permite modelar problemas complexos com geometrias irregulares, 
materiais não homogêneos e condições de contorno arbitrárias. Assim sendo, possui a 
capacidade de lidar com problemas de elasticidade, transferência de calor, mecânica