35302050 Apostila de Estatistica Basica

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Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 1 
ESTATÍSTICA BÁSICA 
 
 
 Podemos dividi-la em duas: Estatística 
descritiva, que apenas descreve e analisa um 
conjunto de dados, sem tirar conclusões; e 
Estatística indutiva ou Inferência Estatística, 
que trata das inferências e conclusões, isto é, 
a partir da análise de dados são tiradas 
conclusões. 
 
MÉTODO CIENTÍFICO 
 
 Método científico é um conjunto de 
meios dispostos convenientemente para se 
chegar a um fim que se deseja. 
 
 Dos métodos científicos, vamos destacar o 
método experimental e o estatístico. 
 
Método Experimental 
 
 O Método experimental consiste em 
manter constante todas as causas (fatores), 
menos uma, e variar esta causa de modo que o 
pesquisador possa descobrir seus efeitos, caso 
existam. É o método preferido no estudo da 
Física, da Química etc. 
 
Método Estatístico 
 
 Muitas vezes temos necessidade de 
descobrir fatos em um campo em que o 
método experimental não se aplica (nas 
ciências sociais), já que os vários fatores que 
afetam o fenômeno em estudo não podem 
permanecer constantes enquanto fazemos 
variar a causa que, naquele momento, nos 
interessa. 
 Nesses casos, lançamos mão do método 
estatístico. 
 O método estatístico, diante da 
impossibilidade de manter as causas 
constantes, admite todas essas causas 
presentes variando-as, registrando essas 
variações e procurando determinar, no 
resultado final, que influências cabem a cada 
uma delas. 
 
Fases do Método Estatístico 
 
 Podemos distinguir no método estatístico 
as seguintes fases: 
 
1. Planejamento 
 
 Consiste em determinar quais são os dados 
a serem levantados e como estes serão 
levantados, fazendo uma análise de material e 
custos necessários durante a pesquisa. 
 
2. Coleta de dados 
 
 Após cuidadoso planejamento, damos 
início à coleta de dados. 
 A coleta pode ser direta e indireta. 
 A coleta é direta quando os dados são 
coletados diretamente na fonte. A coleta direta 
de dados pode ser classificada relativamente ao 
fator tempo em; 
a. contínua (registro) – quando feita 
continuamente, tal como a de 
nascimentos e óbitos e a de freqüência 
dos alunos às aulas; 
b. periódica - quando feita em intervalos 
constantes de tempo, como os censos (de 
10 em 10 anos) e as avaliações mensais 
dos alunos; 
c. ocasional – quando feita 
extemporaneamente, a fim de atender a 
uma conjuntura ou a uma emergência, 
como no caso de epidemias que assolam 
ou dizimam rebanhos inteiros. 
 
 A coleta pode ser indireta quando os 
dados são levantados em órgãos que já tenham 
efetuado a pesquisa de campo. Como exemplo, 
podemos citar a pesquisa sobre a mortalidade 
infantil, que é feita através de dados colhidos 
por uma coleta direta. 
 
3. Crítica dos dados 
 
 Obtidos os dados, eles devem ser 
cuidadosamente criticados, à procura de 
possíveis falhas e imperfeições, a fim de não 
incorrermos em erros grosseiros ou de certo 
A Estatística é a parte da 
Matemática Aplicada que trata dos 
métodos científicos para coleta, 
organização, resumo, apresentação e 
análise de dados. 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 2 
vulto, que possam influir sensivelmente nos 
resultados. 
 
4. Apuração dos dados 
 
 É a soma e o processamento dos dados 
obtidos e a disposição mediante critérios de 
classificação. 
 
5. Exposição ou apresentação dos dados 
 Por mais diversa que seja a finalidade que 
se tenha em vista, os dados devem ser 
apresentados sob forma adequada (tabelas ou 
gráficos), tornando mais fácil o exame 
daquilo que está sendo objeto de tratamento 
estatístico. 
 
6. Análise dos resultados 
 
 É o objetivo último da Estatística que 
consiste em tirar conclusões sobre o todo 
(população) a partir de informações 
fornecidas por parte representativa do todo 
(amostra).Assim, fazemos uma análise dos 
resultados obtidos e tiramos desses resultados 
conclusões e previsões. 
 
7. Conclusão 
 
 Significado matemático da pesquisa, 
podendo apresentar comentários e críticas aos 
resultados. 
 
Exercícios: 
 
1) Defina Estatística e exemplifique a sua 
utilização. 
 
2) Defina método científico. 
 
3) Cite e explique detalhadamente as fases do 
método estatístico. 
 
POPULAÇÃO E AMOSTRA 
 
Variáveis 
 
 A cada fenômeno corresponde um número 
de resultados possíveis. Assim, por exemplo: 
- para o fenômeno “sexo”são dois os 
resultados possíveis: sexo masculino e 
sexo feminino; 
- para o fenômeno “número de filhos”há um 
número de resultados possíveis expresso 
através dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 
...,n; 
- para o fenômeno “estatura”temos uma 
situação diferente, pois os resultados 
podem tomar um número infinito de 
valores numéricos dentro de um 
determinado intervalo. 
 
 Variável é, convencionalmente, o conjunto 
de resultados possíveis de um fenômeno. 
 
 Os exemplos nos dizem que uma variável 
pode ser: 
 
a. qualitativa – quando seus valores são 
expressos por atributos: sexo (masculino-
feminino), cor da pele (branca, preta, 
amarela, vermelha, parda) etc.; 
b. quantitativa – quando seus valores são 
expressos em números (salários dos 
operários, idade dos alunos de uma escola 
etc.). Uma variável quantitativa que pode 
assumir, teoricamente, qualquer valor 
entre dois limites recebe o nome de 
variável contínua (exemplos: peso dos 
alunos de uma escola) ; uma variável que 
só pode assumir valores pertencentes a um 
conjunto enumerável recebe o nome de 
variável discreta ( exemplos: número de 
alunos de uma escola). 
De modo geral, as medições dão origem a 
variáveis contínuas e as contagens ou 
enumerações, a variáveis discretas. 
 
Exercícios: 
 
1) Classifique as variáveis em qualitativas ou 
quantitativas (contínuas ou descontínuas): 
 
a) Universo: alunos de uma escola. 
 Variável: cor dos cabelos – 
b) Universo: casais residentes em uma cidade. 
 Variável: número de filhos – 
c) Universo: as jogadas de um dado. 
 Variável: o ponto obtido em cada jogada – 
d)Universo: peças produzidas por certa 
máquina. 
 Variável: número de peças produzidas por 
hora 
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ESTATÍSTICA 3 
e) Universo: peças produzidas por certa 
máquina 
 Variável: diâmetro externo – 
 
2) Diga quais das variáveis abaixo são 
discretas e quais são contínuas: 
 
a) População: alunos de uma cidade. 
 Variável: cor dos olhos. 
b) P.: estação meteorológica de uma cidade. 
 V.: precipitação pluviométrica, durante um 
ano. 
c) P.: Bolsa de Valores de São Paulo. 
 V.: número de ações negociadas. 
d) P.: pregos produzidos por uma máquina. 
 V.: comprimento. 
e) P.: casais residentes em uma cidade. 
 V.: sexo dos filhos. 
f) P.: bibliotecas da cidade de São Paulo. 
 V.: número de volumes. 
 
3) Como se separa as variáveis em discretas e 
contínuas? Dê pelo menos, três exemplos 
de cada tipo de variáveis. 
 
 
População 
 
 Ao conjunto de entes portadores de, pelo 
menos, uma característica comum 
denominamos população estatística ou 
universo estatístico. 
 Assim, os estudantes, por exemplo, 
constituem uma população, pois apresentam 
pelo menos uma característica comum: são os 
que estudam. 
 
Amostra 
 
 Na maioria das vezes, por impossibilidade 
ou inviabilidade econômica ou temporal, 
limitamos as observações referentes a uma 
determinada pesquisa a apenas uma parte da 
população. A essa parte proveniente da 
população em estudo denominamos amostra. 
 Uma amostra é um subconjunto finito de 
uma população. 
 Para as inferências serem corretas, é 
necessário garantir que a amostra seja 
representativada população, isto é, a amostra 
deve possuir as mesmas características 
básicas da população, no que diz respeito ao 
fenômeno que desejamos pesquisar. É preciso, 
pois, que a amostra ou as amostras que vão ser 
usadas sejam obtidas por processos adequados. 
 
Amostragem 
 
 Consiste em uma técnica especial para 
recolher amostras, que garante, tanto quanto 
possível, o acaso na escolha. 
 Dessa forma, cada elemento da população 
passa a ter a mesma chance de ser escolhido, o 
que garante à amostra o caráter de 
representatividade, e isto é muito importante, 
pois nossas conclusões relativas à população 
vão estar baseadas nos resultados obtidos nas 
amostras dessa população. 
Principais técnicas de amostragem: 
 
1- Amostragem casual ou aleatória simples 
 
 Este tipo de amostragem é equivalente a 
um sorteio lotérico. 
 Na prática, a amostragem casual ou 
aleatória simples pode ser realizada 
numerando-se a população de 1 a n e 
sorteando-se, a seguir, por meio de um 
dispositivo aleatório qualquer, k números dessa 
seqüência, os quais corresponderão aos 
elementos pertencentes à amostra. 
Exemplo: 
 Vamos obter uma amostra representativa 
para a pesquisa da estatura de noventa alunos 
de uma escola: 
a. Numeramos os alunos de 01 a 90. 
b. Escrevemos os números, de 01 a 90, em 
pedaços iguais de um mesmo papel, 
colocando-os dentro de uma caixa. 
Agitamos sempre a caixa para misturar 
bem os pedaços de papel e retiramos, 
um a um, nove números que formarão a 
amostra. Neste caso, 10% da 
população. 
 Quando o número de elementos da amostra 
é grande, esse tipo de sorteio torna-se muito 
trabalhoso. A fim de facilita-lo, foi elaborada 
uma tabela – Tabela de Números Aleatórios -
, construída de modo que os dez algarismos (0 
a 9) são distribuídos ao acaso nas linhas e 
colunas (Anexo I) 
 Para obtermos os elementos da amostra 
usando a tabela, sorteamos um algarismo 
qualquer da mesma, a partir do qual iremos 
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ESTATÍSTICA 4 
considerar números de dois, três ou mais 
algarismos, conforme nossa necessidade. Os 
números assim obtidos irão indicar os 
elementos da amostra. 
 A leitura da tabela pode ser feita 
horizontalmente (da direita para a esquerda 
ou vice-versa), verticalmente ( de cima para 
baixo ou vice-versa), diagonalmente (no 
sentido ascendente ou descendente) ou 
formando desenhos de uma letra qualquer. A 
opção, porém, deve ser feita antes de iniciado 
o processo. 
 
2 – Amostragem proporcional estratificada 
 
 Muitas vezes a população se divide em 
subpopulações – estratos. 
 Como é provável que a variável em estudo 
apresente, de estratos em estratos, um 
comportamento heterogêneo e, dentro de 
cada estrato, um comportamento homogêneo, 
convém que o sorteio dos elementos da 
amostra leve em consideração tais estratos. 
 É exatamente isso que fazemos quando 
empregamos a amostragem proporcional 
estratificada, que, além de considerar a 
existência dos estratos, obtém os elementos 
da amostra proporcional ao número de 
elementos dos mesmos. 
Exemplo: 
 Supondo, no exemplo anterior, que, dos 
noventa alunos, 54 sejam meninos e 36 sejam 
meninas, vamos obter a amostra proporcional 
estratificada. 
 São, portanto, dois estratos (sexo 
masculino e sexo feminino) e queremos uma 
amostra de 10% da população. Logo, temos: 
 
SEXO POPUL. 10% AMOSTRA 
 
M 
 
 
F 
 
54 
 
 
36 
4,5
100
5410
=
×
 
 
6,3
100
3610
=
×
 
 
5 
 
 
4 
 
 
TOTAL 
 
90 
 
0,9
100
9010
=
×
 
 
9 
 
 
 
 Numeramos os alunos de 01 a 90, sendo 
que de 01 a 54 correspondem meninos e de 
55 a 90, meninas. Usando a tabela de números 
aleatórios retiramos os elementos da 
população. 
 
3 – Amostragem sistemática 
 
 Quando os elementos da população já se 
acham ordenados, não há necessidade de 
construir o sistema de referência. São 
exemplos os prédios de uma rua, as linhas de 
produção etc. Nestes casos, a seleção dos 
elementos que constituirão a amostra pode ser 
feita por um sistema imposto pelo 
pesquisador. A esse tipo de amostragem 
denominamos sistemática. 
Exemplo: 
 No caso de uma linha de produção, 
podemos, a cada dez itens produzidos, retirar 
um para pertencer a uma amostra da 
população diária. Neste caso, estaríamos 
fixando o tamanho da amostra em 10% da 
população. 
 
Exercícios: 
 
1) Descreva as técnicas de amostragens. 
Quando se utiliza cada uma delas? 
 
 
 
2) O que é população estatística? 
 
3) O que é amostra? 
 
4) O que é amostragem? 
 
 
5) O diretor de uma escola, na qual estão 
matriculados 280 meninos e 320 meninas, 
desejoso de conhecer as condições de vida 
extra-escolar de seus alunos e não 
dispondo de tempo para entrevistar todas 
as famílias, resolveu fazer um 
levantamento, por amostragem, em 10% 
dessa clientela. Obtenha, para esse diretor, 
os elementos componentes da amostra. 
 
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ESTATÍSTICA 5 
 
6) Uma cidade X apresenta o seguinte 
quadro relativo às suas escolas de 1º 
grau: 
 
Nº DE ESTUDANTES ESCOLAS 
 MASCULINO FEMININO 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
80 
102 
110 
134 
150 
300 
95 
120 
92 
228 
130 
290 
Total 876 955 
 
 Obtenha uma amostra proporcional 
estratificada de 120 estudantes. 
 
7) Em uma escola existem 250 alunos, sendo 
35 na 1ª série, 32 na 2ª, 30 na 3ª, 28 na 4ª, 
35 na 5ª, 32 na 6ª, 31 na 7ª e 27 na 8ª. 
Obtenha uma amostra de 40 alunos e 
preencha o quadro seguinte. 
 
Série População Cálculo 
Proporcional 
Amostra 
 1ª 
2ª 
3ª 
4ª 
5ª 
6ª 
7ª 
8ª 
 
Total 250 40 
 
SÉRIES ESTATÍSTICAS 
 
 Um dos objetivos da Estatística é 
sintetizar os valores que uma ou mais 
variáveis podem assumir, para que tenhamos 
uma visão global da variação dessa ou dessas 
variáveis. E isto ela consegue, inicialmente, 
apresentando esses valores em tabelas e 
gráficos, que irão nos fornecer rápidas e 
seguras informações a respeito das variáveis 
em estudo, permitindo-nos determinações 
administrativas e pedagógicas mais coerentes 
e científicas. 
 
Tabela 
 
 Tabela é um quadro que resume um 
conjunto de observações. 
 
 Uma tabela compõe-se de: 
a. corpo – conjunto de linhas e colunas 
que contêm informações sobre a 
variável em estudo; 
b. cabeçalho – parte superior da tabela 
que especifica o conteúdo das colunas; 
c. coluna indicadora – parte da tabela 
que especifica o conteúdo das linhas; 
d. linhas – retas imaginárias que facilitam 
a leitura, no sentido horizontal, de 
dados que se inscrevem nos seus 
cruzamentos com as colunas; 
e. casa ou célula – espaço destinado a um 
só número; 
f. título – conjunto de informações, as 
mais completas possíveis, localizado no 
topo da tabela; 
g. rodapé – são os elementos 
complementares da tabela, tais como 
fonte, as notas e as chamadas, 
colocados, de preferência, no fecho da 
tabela. 
 
Exemplo: 
 
 PRODUÇÃO DE CAFÉ 
 BRASIL – 1996-2000 
ANOS PRODUÇÃO 
(1.000 t) 
 
1996 
1997 
1998 
1999 
2000 
 
2.535 
2.666 
2.122 
3.750 
2.007 
 
 FONTE: Dados Hipotéticos 
 
Séries Estatísticas 
 
 Denominamos série estatística toda tabela 
que apresenta a distribuição de um conjunto de 
dados estatísticos em função da época, do local 
ou da série. 
 Daí podemos concluir que numa série 
estatística observamos a existência de três 
elementos ou fatores: o tempo, o espaço e a 
espécie. 
Cabeçalho 
Coluna 
Indicadora 
Corpo 
Rodapé 
Cabeçalho 
Coluna 
Numérica 
 Casa ou Célula 
Linhas 
Título 
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ESTATÍSTICA 6 
 Conforme varie um dos elementos da 
série, podemos classifica-la em histórica, 
geográfica e específica. 
 
Séries históricas 
 
 Descrevem os valores da variável, em 
determinado local, descriminados segundo 
intervalos de tempo variáveis. 
 
Exemplo: 
PRODUÇÃO DE FERTILIZANTES 
FOSFATADOS – BRASIL 
1995 – 1999 
ANOS QUANTIDADE 
(t) 
1995 
1996 
1997 
1998 
1999 
3.570.115 
4.504.201 
5.448.835 
4.373.226 
4.024.813 
 Fonte: Dados Hipotéticos 
 
Séries Geográficas 
 
 Descrevem os valores da variável, em 
determinado instante, discriminados segundo 
regiões. 
 
Exemplo: 
 
PRODUÇÃO DE OVOS DE 
 GALINHA NO BRASIL – 2000 
REGIÃO QUANTIDADE 
(1.000 dúzias) 
Norte 
Nordeste 
Sudeste 
Sul 
Centro-Oeste 
66.092 
356.810 
937.463 
485.098 
118.468 
 Fonte: Dados hipotéticos 
 
 
Séries Específicas 
 
 Descrevem os valores da variável, em 
determinado tempo e local, discriminados 
segundo especificações ou categorias. 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
REBANHOS BRASILEIROS 
2000 
ESPÉCIE QUANTIDADE 
(1.000 cabeças) 
Bovinos 
Eqüinos 
 Suínos 
 Ovinos 
Caprinos 
 Coelhos 
139.599 
 5.855 
 32.121 
 20.085 
 11.313 
 909 
 Fonte: Dados hipotéticos 
 
Séries Conjugadas – Tabela de Dupla 
Entrada 
 
 Muitas vezes temos necessidade de 
apresentar, em uma única tabela, a variação de 
valores de mais de uma variável, isto é, fazer 
uma conjugação de duas ou mais séries. 
 Conjugando duas séries em uma única 
tabela, obtemos uma tabela de dupla entrada. 
Em uma tabela desse tipo ficam criadas duas 
ordens de classificação: uma horizontal (linha) 
e uma vertical (coluna). 
 
Exemplo: 
TELEFONES INSTALADOS – 1997-99 
REGIÃO 1997 1998 1999 
Norte 
Nordeste 
Sudeste 
Sul 
Centro-Oeste 
 373.312 
1.440.531 
8.435.308 
2.106.145 
 803.013 
 403.712 
1.567.006 
8.892.409 
2.192.762 
 849.401 
 457.741 
1.700.467 
8.673.660 
2.283.581 
 944.075 
Total 13.158.309 13.905.290 14.059.524 
Fonte: Dados Hipotéticos 
 
 A conjugação, no exemplo dado, foi série 
geográfico-histórica. 
 
Exercícios 
1) Classifique as séries 
a) PRODUÇÃO BRASILEIRA DE 
CARVÃO MINERAL BRUTO 1998-00 
ANO QUANTIDADE 
PRODUZIDA 
(1.000 t) 
1998 
1999 
2000 
22.700 
18.115 
20.984 
 Fonte: Dados Hipotéticos 
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ESTATÍSTICA 7 
b) AVICULTURA BRASILEIRA - 1999 
ESPÉCIE NÚMERO 
(1.000 cabeças) 
Galinhas 
Patos, marrecos e gansos 
Perus 
511.834 
5.888 
3.823 
 Fonte: Dados Hipotéticos 
 
 
c) CRIANÇAS NÃO-VACINADAS 
 CONTRA A PÓLIO - 1999 
REGIÕES QUANTIDADE 
Nordeste 
Sudeste 
Norte 
Centro-Oeste 
Sul 
512.900 
299.585 
148.818 
124.791 
105.371 
Total 1.191.465 
 Dados fictícios 
 
d) 
AQUECIMENTO DE UM MOTOR 
DE AVIÃO DE MARCA X 
MINUTOS TEMPERATURA 
(º C) 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
20 
27 
34 
41 
49 
56 
63 
 Dados Fictícios 
 
 
e) PRODUÇÃO DE LAMINADOS 
 NÃO-PLANOS - BRASIL - 1998-2000 
QUANTIDADE (1.000 t) TIPOS 
1998 1999 2000 
Barras 
Vergalhões 
Perfilados 
Tubos 
1.414 
2.203 
 526 
 390 
1.272 
2.140 
 538 
 344 
1.139 
2.209 
 425 
 330 
 Dados Fictícios 
 
f) PESSOAL DOCENTE DO ESTADO 
 DE SÃO PAULO - 1999 
REDES 1º GRAU 2º GRAU 
Estadual 
Municipal 
Particular 
171.910 
 18.429 
 31.514 
38.281 
 1.304 
19.902 
Total 221.853 59.487 
 Dados hipotéticos 
 
2)(Enem)A tabela abaixo apresenta dados 
referentes à mortalidade infantil, à 
porcentagem de famílias de baixa renda 
com crianças menores de 6 anos e às taxas 
de analfabetismo das diferentes regiões 
brasileiras e do Brasil como um todo. 
 
Regiões 
do 
Brasil 
Mortalidade 
infantil* 
Famílias de 
baixa renda 
com 
crianças 
menores de 
6 anos (em 
%) 
Taxa de 
analfabetismo 
em maiores 
 de 15 anos 
 (em %) 
Norte 35,6 34,5 12,7 
Nordeste 59,0 54,9 29,4 
Sul 22,5 22,4 8,3 
Sudeste 25,2 18,9 8,6 
Centro-
Oeste 
25,4 25,5 12,4 
Brasil 36,7 31,8 14,7 
Fonte: Folha de S. Paulo, 11/3/99 
* A mortalidade infantil indica o número de crianças que 
morrem antes de completar um ano de idade para cada grupo 
de 1.000 crianças que nasceram vivas. 
 
 Suponha que um grupo de alunos recebeu a 
tarefa de pesquisar fatores que interferem na 
manutenção da saúde ou no desenvolvimento 
de doenças. O primeiro grupo deveria colher 
dados que apoiasses a idéia de que, se 
combatendo agentes biológicos e químicos, 
garante-se a saúde. Já o segundo grupo deveria 
coletar informações que reforçassem a idéia de 
que a saúde de um indivíduo está diretamente 
relacionada à sua condição socioeconômica. 
Os dados da tabela podem ser utilizados 
apropriadamente para: 
a) apoiar apenas a argumentação do primeiro 
grupo. 
b) apoiar apenas a argumentação do segundo 
grupo. 
c) refutar apenas a posição a ser defendida 
pelo segundo grupo. 
d) apoiar a argumentação dos dois grupos. 
e) refutar as posições a serem defendidas 
pelos dois grupos. 
3)(Enem)Lâmpadas incandescentes são 
normalmente projetadas para trabalhar com 
a tensão da rede elétrica em que serão 
ligadas. Em 1997, contudo, lâmpadas 
projetadas para funcionar com 127 V 
foram retiradas do mercado e, em seu 
lugar, colocaram-se lâmpadas concebidas 
para uma tensão de 120 V. Segundo dados 
recentes, essa substituição representou uma 
mudança significativa no consumo de 
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ESTATÍSTICA 8 
energia elétrica para cerca de 80 milhões 
de brasileiros que residem nas regiões em 
que a tensão da rede é de 127 V. 
 A tabela abaixo apresenta algumas 
características de duas lâmpadas de 60 W, 
projetadas respectivamente para 127 V 
(antiga) e 120 V (nova), quando ambas se 
encontram ligadas numa rede de 127 V. 
 
Lâmpada 
(projeto 
original) 
Tensão 
da rede 
elétrica 
Potência 
medida 
(watt) 
Lumino 
sidade 
medida 
(lúmens) 
Vida 
útil 
média 
(horas) 
60 W – 127 V 127 V 60 750 1.000 
60 W – 120 V 127 V 65 920 452 
 
 Acender uma lâmpada de 60 W e 120 V 
em um local onde a tensão na tomada é de 
127 V, comparativamente a uma lâmpada de 
60 W e 127 V no mesmo local, tem como 
resultado: 
a) mesma potência, maior intensidade de luz e 
maior durabilidade. 
b) mesma potência, maior intensidade de luz e 
menor durabilidade. 
c) maior potência, maior intensidade deluz e 
maior durabilidade. 
d) maior potência, maior intensidade de luz e 
menor durabilidade. 
e) menor potência, menor intensidade de luz e 
menor durabilidade. 
 
 
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 
 
 O gráfico estatístico é uma forma de 
apresentação dos dados estatísticos, cujo 
objetivo é o de produzir, no investigador ou 
no público em geral, uma impressão mais 
rápida e viva do fenômeno em estudo, já que 
os gráficos falam mais rápido à compreensão 
que as séries. 
 Para tornarmos possível uma 
representação gráfica, estabelecemos uma 
correspondência entre os termos da série e 
determinada figura geométrica, de tal modo 
que cada elemento da série seja representado 
por uma figura proporcional. 
 A representação gráfica de um fenômeno 
deve obedecer a certos requisitos 
fundamentais, para ser realmente útil: 
a) Simplicidade – o gráfico deve ser 
destituído de detalhes de importância 
secundária, assim como de traços 
desnecessários que possam levar o 
observador a uma análise morosa ou 
com erros. 
b)Clareza – o gráfico deve possibilitar 
uma correta interpretação dos valores 
representativos do fenômeno em 
estudo. 
c) Veracidade – o gráfico deve expressar 
a verdade sobre o fenômeno em estudo. 
 
 Os principais tipos de gráficos são os 
diagramas, os cartogramas e os 
pictogramas. 
 
DIAGRAMAS 
 
 Os diagramas são gráficos geométricos de, 
no máximo, duas dimensões; para sua 
construção, em geral, fazemos uso do sistema 
cartesiano. 
 Dentre os principais diagramas, 
destacamos: Gráfico em linha ou em curva; 
Gráfico em coluna ou em barras; Gráfico 
em colunas ou em barras múltiplas; Gráfico 
em setores. 
 
Gráfico em linha ou em curva 
 
 Os dados, geralmente de uma série (tabela), 
são colocados num sistema cartesiano 
ortogonal. Graficamente, temos pontos ligados 
por segmentos de reta. 
 
Exemplos: 
 
a) 
VENDA DE TRATORES DE UMA 
FÁBRICA - 2000 
Mês Unidades vendidas 
Janeiro 20 
Fevereiro 12 
Março 16 
Abril 24 
Maio 8 
Junho 18 
Dados fictícios 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 9 
0
4
8
12
16
20
24
J F M A M J
v
e
n
da
s
mês
 
b) DESEMPENHO DOS CANDIDATOS 
 1º SEMESTRE - 2001 
Desempenho (%) 
Candidatos 
Mês A B C 
Janeiro 12 30 40 
Fevereiro 16 25 36 
Março 20 20 40 
Abril 24 18 32 
Maio 30 20 35 
 Dados fictícios 
 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
J F M A M
A
B
C
D
e
s
e
m
pe
n
ho
 
(%
)
Mês
 
Exercícios 
 
Construa o gráfico de linhas para as tabelas a 
seguir: 
a) VENDA DE AUTOMÓVEIS 
 1º SEMESTRE 2001 
Mês Unidades vendidas 
Janeiro 12 
Fevereiro 20 
Março 18 
Abril 24 
Maio 16 
Junho 8 
 Dados hipotéticos 
 
b) 
PRONTO SOCORRO – CASOS 
Dias da semana Atendimento 
Segunda 12 
Terça 20 
Quarta 18 
Quinta 24 
Sexta 16 
Sábado 8 
 Dados fictícios 
c) 
DISCOS VENDIDOS 
(em milhões) 
Anos Vendas 
1992 76,6 
1993 44,8 
1994 44,3 
1995 34,5 
1996 44 
1997 60 
 Dados hipotéticos 
 
d) COMÉRCIO EXTERIOR 
 BRASIL – 1989-98 
Anos Quantidade (1.000 t) 
 Exportação Importação 
1989 98.010 75.328 
1990 109.100 71.855 
1991 123.994 64.066 
1992 119.990 60.718 
1993 178.790 55.056 
1994 141.737 53.988 
1995 146.351 48.870 
1996 133.832 60.605 
1997 142.382 61.975 
1998 169.396 58.085 
Fonte: Dados hipotéticos 
 
 
Gráfico em colunas ou em barras 
 
 É a representação de uma série por 
meio de retângulos, dispostos verticalmente 
(em colunas) ou horizontalmente (em barras). 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 10 
 Quando em colunas, os retângulos têm 
a mesma base e as alturas são proporcionais 
aos respectivos dados. 
 Quando em barras, os retângulos têm a 
mesma altura e os comprimentos são 
proporcionais aos respectivos dados. 
 Assim estamos assegurando a 
proporcionalidade entre as áreas dos 
retângulos e os dados estatísticos. 
 
 
Exemplos: 
 
 
a) Gráfico em colunas 
 
CONSTRUÇÃO DE AERONAVES 
BRASIL - 1994-99 
ANOS UNIDADES 
1994 184 
1995 171 
1996 167 
1997 203 
1998 199 
1999 197 
 Fonte: Dados Hipotético 
 
 
 
 
 Construção de Aeronaves 
Brasil – 1994-99 
0
50
100
150
200
250
1994 95 96 97 98 99
U
n
id
a
de
s
Anos
 
 
 
 
 
 
b) Gráfico em barras 
PRODUÇÃO DE ALHO 
BRASIL – 2000 
Estados Quantidade 
(t) 
Santa Catarina 13.973 
Minas Gerais 13.389 
Rio Grande do Sul 6.892 
Goiás 6.130 
São Paulo 4.179 
 Fonte fictícia 
 
Produção de Alho 
Brasil – 2000 
0 2 4 6 8 10 12 14
São Paulo
Goiás
Rio Grande do Sul
Minas Gerais
Santa Catarina
toneladas
 
c) Gráfico em colunas ou em barras 
múltiplas 
 
Este tipo de gráfico é geralmente empregado 
quando queremos representar, 
simultaneamente, dois ou mais fenômenos 
estudados com o propósito de comparação. 
 
Exemplo: 
 
 PÚBLICO NO BRASIL QUE 
FREQÜENTA CINEMA - 1994-2000 
Ano Filmes nacionais 
% 
Filmes 
estrangeiros % 
1994 16 84 
1995 18 82 
1996 21 79 
1997 25 75 
1998 30 70 
1999 29 71 
2000 31 69 
 Fonte hipotética 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 11 
 
Público no Brasil que Freqüenta Cinema 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
94 95 96 97 98 99 00
Filmes nacionais
Filmes estrangeiros
Pe
rc
e
n
tu
a
l
Ano
Fonte hipotética
 
Exercícios 
 
1) Represente as tabelas usando o gráfico em 
colunas: 
 
a) 
 
CHEGADA DE VISITANTES 
BRASIL - 1997-2000 
ANOS NÚMERO 
(milhares) 
1997 1.450 
1998 1.550 
1999 1.700 
2000 1.900 
 Fonte: hipotética 
b) 
ENTREGA DE GASOLINA PARA 
CONSUMO - BRASIL – 1997-00 
ANOS QUANTIDADE 
(1.000 m3) 
1997 9.700 
1998 11.100 
1999 9.727 
2000 9.347 
 Dados hipotéticos 
 
 
2) Usando o gráfico em barras, represente as 
tabelas: 
 
 
 
a) 
 
PRODUÇÃO DE OVOS DE GALINHA 
BRASIL - 1999 
REGIÃO QUANTIDADE 
(1.000 dúzias) 
Norte 66.092 
Nordeste 356.810 
Sudeste 937.463 
Sul 485.098 
Centro-Oeste 118.468 
 Fonte: Hipotética 
 
b) 
MORADORES DO BAIRRO A, SEGUNDO 
O HÁBITO DE ASSISTIR A NOVELAS 
HÁBITO PERCENTUAL 
Sim 82% 
Não 18% 
Total 100% 
 Fonte: fictícia 
 
 
 
3) Represente as tabelas por meio de um 
gráfico de colunas múltiplas. 
 
a) 
NATALIDADE SEGUNDO 
AS REGIÕES DO PAÍS 
 
 (em %) 
 1940 1960 1980 
Norte 54,4 57,4 43,6 
Nordeste 53,5 52,6 41,5 
Sudeste 43,7 42,5 28,9 
Sul 39,2 41,7 29,4 
Centro-Oeste 46,8 47,0 35,9 
Fonte: jornal Folha de S. Paulo, 21/7/88 
 
 
 
 
Gráfico em Setores 
 
 Este gráfico é construído com base em 
um círculo, e é empregado sempre que 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 12 
desejamos ressaltar a participação do dado no 
total. 
 O total é representado pelo círculo, 
que fica dividido em tantos setores quantas 
são as partes. 
 Os setores são tais que suas áreas são 
respectivamente proporcionais aos dados da 
série. 
 Obtemos cada setor por meio de uma 
regra de três simples e direta, lembrando que 
o total da série corresponde a 360º. 
 
Exemplo: 
 
REBANHOS BRASILEIROS 
1988 
ESPÉCIE QUANTIDADE 
(milhões de cabeças) 
Bovinos 140 
Suínos 32 
Ovinos 20 
Caprinos 11 
Total 203 
 Fonte: IBGE 
 
Temos: 
 
 
 
 
 x2 = 56,7 x2 = 57º 
 x3 = 35,4 x3 = 35º 
 x4 = 19,5 x4 = 20º 
Com esses dados (valores em graus), 
marcamos num círculo de raio arbitrário, com 
um transferidor, os arcos correspondentes, 
obtendo o gráfico: 
 
REBANHOS BRASILEIROS – 1988 
Bovino
Suíno
Ovino
Caprino
Fonte: 
IBGE
 
Exercícios: 
 
1) Represente as tabelas por meio de 
gráficos em setores. 
a) 
QUEM DOMINA O SETOR 
FARMACÊUTICO 
% de participação 
no mercado 
Número de 
companhias 
Americana 22 
Italiana 4 
Inglesa 6 
Francesa 5 
Alemã 10 
Austríaca/Holandesa 2 
Suíça 6 
Subtotal 280 
Origem nacional 55 
Total 335 
 Fonte: Jornal Folha de S, Paulo, 23/7/88 
 
c) 
A OCUPAÇÃO DE CADAUM 
 Fonte: Revista Veja, jun/87 
c) 
ÁREA TERRESTRE BRASIL 
REGIÕES RELATIVA 
(%) 
Norte 45,25 
Nordeste 18,28 
Sudeste 10,85 
Sul 6,76 
Centro-Oeste 18,86 
Total 100,00 
 Fonte: IBGE 
x1= 248,2 x1 = 248º 203 __ 360º 
140 __ x1 
 
 
Fazendeiros e 
empresários 
Executivos, 
profissionais 
liberais e 
outros Operários Total no 
Congresso 37% 62% 1% 
PMDB 39% 60% 0,3% 
PFL 37% 62% 0,0% 
PDS 50% 50% 0,0% 
PDT 19% 76% 4% 
PT 0% 80% 19% 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 13 
Cartograma 
 
 O cartograma é a representação sobre 
uma carta geográfica. 
 
 Este gráfico é empregado quando o 
objetivo é o de figurar os dados estatísticos 
diretamente relacionados com áreas 
geográficas ou políticas. 
 Distinguimos duas aplicações: 
 
a) Representar dados absolutos 
(população) – neste caso, lançamos 
mão, em geral, dos pontos, em 
número proporcional aos dados. 
b) Representar dados relativos 
(densidade) – neste caso, lançamos 
mão, em geral, de hachuras. 
 
Exemplo: 
 
POPULAÇÃO PROJETADA DA REGIÃO 
SUL DO BRASIL - 1990 
ESTADO POPULAÇÃO 
(hab.) 
ÁREA 
(Km2) 
DENSIDADE 
Paraná 9.137.700 199.324 45,8 
Santa 
Catarina 
4.461.400 95.318 46,8 
Rio 
Grande do 
Sul 
9.163.200 280.674 32,6 
Fonte: IBGE 
 
POPULAÇÃO PROJETADA DA REGIÃO 
SUL DO BRASIL - 1990 
 
DENSIDADE POPULACIONAL 
PROJETADA DA REGIÃO SUL DO 
BRASIL - 1990 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pictograma 
 
 O pictograma constitui um dos 
processos que melhor fala ao público, pela sua 
forma ao mesmo tempo atraente e sugestiva. A 
representação gráfica consta de figuras. 
 
Exemplos: 
 
AUMENTA CONSUMO DE GÁS 
(Consumo mensal de gás de nafta na região 
metropolitana de São Paulo em milhões me m3) 
 
 
 Fonte: Jornal Folha de S. Paulo, jul./88 
 
 
 Menos de 33,0 hab/Km2 
 
 Menos de 46,0 hab/Km2 
 
 Menos de 47,0 hab/Km2 
• 400.000 habitantes 
27,39 
JAN./88 
28,00 
FEV./ 
28,71 
MAR./ 
29,03 
ABR./ 
30,15 
MAI./ 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 14 
CRESCE O NÚMERO DE 
PASSAGEIROS NOS ÔNIBUS 
URBANOS DE CAMPINAS (SP) 
(em milhões) 
 
Fonte: Jornal Folha de São Paulo, jul./98 
 
 
 
APURAÇÃO DOS VOTOS PARA 
PRESIDENTE 
Até 22h34, em % 
 
 Fonte: jornal Folha de S. Paulo, 5 out. 1994 
 
 
Exercícios 
 
1)(Enem) Um estudo sobre o problema do 
desemprego na Grande São Paulo, no 
período 1985-1996, realizado pelo SEADE-
DIEESE, apresentou o seguinte gráfico 
sobre taxa de desemprego. 
 
Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, 
no período considerado: 
a) a maior taxa de desemprego foi de 
14%. 
b) A taxa de desemprego no ano de 1995 
foi a menor do período. 
c) A partir de 1992, a taxa de 
desemprego foi decrescente. 
d) No período 1985-1996, a taxa de 
desemprego esteve entre 8% e 16%. 
e) A taxa de desemprego foi crescente no 
período compreendido entre 1988 e 
1991. 
 
MÉDIAS ANUAIS DA TAXA DE 
DESEMPREGO TOTAL 
GRANDE SÃO PAULO 
1985-1996 
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
 
 Fonte: SEP, Convênio SEADE-DIEESE 
 
2)(Enem) Uma pesquisa de opinião foi 
realizada para avaliar os níveis de audiência de 
alguns canais de televisão, entre 20h e 21h, 
durante uma determinada noite. Os resultados 
obtidos estão representados no gráfico de 
barras a seguir: 
 
0
20
40
60
80
100
TvA TvB TvC TvD Nenhum
canal
N
º
 
de
 
re
s
id
e
n
c
ia
I. O número de residências atingidas nessa 
pesquisa foi, aproximadamente , de: 
a) 100 c) 150 e) 220 
b) 135 d) 200 
 
 II. A percentagem de entrevistados que 
declararam estar assistindo à TvB é 
aproximadamente igual a: 
a) 15% c) 22% e) 30% 
b) 20% d) 27% 
 
 
140,1 
1993 
152,4 
1994 
158,8 
1995 
162,1 
1996 
166,2 
1997 
FHC 
(PSDB) 
Lula 
(PT) 
Enéas 
(Prona) 
Quércia 
(PMDB) 
Amim 
(PPR) 
Brizola 
(PDT) 
54,0 24,2 6,7 
5,8 
5,6 2,9 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 15 
3)(Univali) O gráfico mostra as vendas de 
televisores em uma loja: 
 
0
10
20
30
40
50
60
Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun.
Mês
U
n
id
a
de
s
 
v
e
n
di
da
s
 
Pode-se afirmar que: 
a) as vendas aumentaram mês a mês. 
b) foram vendidos 100 televisores até 
junho. 
c) as vendas do mês de maio foram 
inferiores à soma das vendas de 
janeiro e fevereiro. 
d) foram vendidos 90 televisores até 
abril. 
e) Se cada televisor é vendido por 
R$240,00, em maio a loja faturou, 
com as vendas desse produto, 
R$7.200,00. 
 
4)(Enem) Para convencer a população local 
da ineficiência da Companhia Telefônica 
Vilatel na expansão da oferta de linhas, um 
político publicou no jornal local o gráfico I, 
abaixo representado. A companhia Vilatel 
respondeu publicando dias depois o gráfico II, 
onde pretende justificar um grande aumento 
na oferta de linhas. O fato é que, no período 
considerado, foram instaladas, efetivamente, 
200 novas linhas telefônicas. 
 
Gráfico I 
2.000
2.020
2.040
2.060
2.080
2.100
2.120
2.140
2.160
2.180
2.200
Jan. Abr. Ago. Dez.N
º
 
to
ta
l d
e
 
lin
ha
s
 
te
le
fô
n
ic
a
s
 
 
 
GRÁFICO II 
 
2.000
2.050
2.100
2.150
2.200
Jan. Abr. Ago. Dez.Nº
 
to
ta
l d
e
 
lin
ha
s
 
te
le
fô
n
ic
a
s
 
 
Analisando os gráficos, pode-se concluir que: 
a) o gráfico II representa um crescimento 
real maior do que o do gráfico I. 
b) o gráfico I apresenta o crescimento real. 
Sendo o II incorreto. 
c) o gráfico II apresenta o crescimento 
real, sendo o gráfico I incorreto. 
d) a aparente diferença de crescimento nos 
dois gráficos decorre da escolha das 
diferentes escalas. 
e) os dois gráficos são incomparáveis, 
pois usam escalas diferentes. 
 
5) Analisando o gráfico responda: 
a) Quantas unidades do produto A foram 
vendidas em janeiro? E em fevereiro? 
b) Em que mês o produto B atingiu a venda de 
70.000 unidades? 
c) Em que mês os dois produtos tiveram o 
mesmo número de unidades vendidas? 
d) Em que meses o produto B foi mais vendido 
que o produto A? 
 
6) O gráfico nos mostra o número de chamadas 
telefônicas ocorridas numa determinada 
cidade de 1995 a 1999. Construa uma 
tabela que represente esse gráfico. 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
JAN FEV MAR ABR MAI JUN
meses
v
e
nd
a
 (
e
m
 
mil
 
Produto A
Produto B 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 16 
 
7) O gráfico a seguir fornece a evolução do 
preço médio de um videocassete brasileiro, de 
1994 a 1999. Construa a tabela referente ao 
gráfico e responda: 
 
0
200
400
600
800
1000
1200
1994 1995 1996 1997 1998 1999
anos
pr
e
ço
s
 
(U
S$
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) O gráfico nos mostra o movimento de 
importações e das exportações de um país, 
de 1995 a 1999. Faça uma tabela que 
represente esse gráfico. 
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
1995 1996 1997 1998 1999
Importação
Exportação
anos
m
il
hõ
e
s
 
de
 
dó
la
r
e
s
 
 
9) O gráfico abaixo nos mostraa participação 
em 47 vôos semanais para o exterior de 
algumas empresas brasileiras (dados de 
outubro de 1991). Construa a tabela 
referente ao gráfico apresentado. 
 
9%
23%
68%
Varig
Transbrasil
Vasp
 
 
 
TÉCNICA DE SOMATÓRIO 
 
 Para indicarmos a soma dos xi (x índice 
i) valores de uma variável x, isto é, a soma de 
x1 + x2 + x3 + ... + xn, utilizamos o símbolo 
grego sigma (Σ), denominado, em Matemática, 
SOMATÓRIO. 
 Assim, a soma x1 + x2 + x3 + ... + xn 
pode ser representado
 
por
 
∑
=
n
1i
ix (somatório de 
xi, onde x varia de 1 a n). 
 
TÉCNICAS DE SOMATÓRIO são as 
técnicas que auxiliam na soma dos xi valores 
de uma variável x. 
 
VARIÁVEL é o conjunto de valores 
possíveis que representam um fenômeno. 
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
1995 1996 1997 1998 1999
anos
n
úm
e
r
o
 
de
 
c
ha
m
a
da
s
a) Que nome se dá a esse tipo de gráfico? 
 
b) Qual era o preço médio do 
videocassete brasileiro em 1987? 
 
c) Qual a variação do preço médio do 
videocassete brasileiro entre 1986 e 
1991? 
 
Fonte: revista Veja 
Fonte: revista Isto É 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 17 
 
Ex.: x = {0, 1, 2, 3, ..., 10} 
 x = variável 
 i = índice ou ordem que o elemento 
ocupa na seqüência 
x1 = 0 x3 = 2 
x2 = 1 x4 = 3 , e assim por diante. 
 
SEQÜÊNCIA é uma função cujo 
domínio é o conjunto de números positivos 
que indicam a posição. 
 
Ex.: X = {x1, x2, x3, ... , xn} ⇒ {1, 2, 
3, .. , n} é o conjunto das posições 
 
 
PROPRIEDADES: 
 
a) ∑
=
n
1i
ix = x1 + x2 + x3 + ... + xn 
 
Ex.: Sendo o conjunto X = {1, 3, 5, 6, 8, 9} 
faça: 
 
• ∑
=
6
1i
ix = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 1 + 3 
+ 5 + 6 + 8 + 9 = 32 
• ∑
=
5
3i
ix = x3 + x4 + x5 = 5 + 6 + 8 =19 
 
b) ∑
=
n
1i
k
 = 44 344 21
vezesn
k...kkk ++++
 = n·k, onde k é 
uma constante real. 
Ex.: Determine 8
1
7
i =
∑
 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 
+ 8 = 7·8 = 56 
 
c) i
n
1i
xk∑
=
= kx1 + kx2 + kx3 + kx4 + ...+ kxn = 
k·∑
=
n
1i
ix , onde k é uma constante real. 
 
Ex.: Sendo o conjunto x = {1, 3, 5, 6, 8, 9} 
determine: 
∑
=
6
2i
ix3 = 3x2 + 3x3 + 3x4 + 3x5 + 3x6 = 3·3 + 
3·5 + 3·6 + 3·8 + 3·9 = 93 
 
Aplicando a propriedade temos, 
∑
=
6
2i
ix3 = 3·∑
=
6
2i
ix = 3(x2 + x3 + x4 + x5 + x6) = 
3(3 + 5 + 6 + 8 + 9) = 3·31 = 93 
 
 
d) xi jji
∑∑ = x11 + x12 + ... + xij 
 
Seja por exemplo a tabela 
 
J 
Níveis fator 2 
i 
Níveis 
fator 1 1 2 3 
 
1 X11 X12 X13 Σx1j 
2 X21 X22 X23 Σx2j 
 Σxi1 Σxi2 Σxi3 Σxij 
 
 
 P 
 
 
N 
1 2 3 
1 28 35 46 109 
2 36 48 62 146 
 64 83 108 255 
 
xij ⇒ i → linha 
 j → coluna 
 
como fica a notação de somatório: 
da 1ª coluna → x11 + x21 = ∑
=
2
1i
x
i1 = 28 + 36 = 
64 
da 1ª linha → x11 + x12 + x13 = ∑
=
3
1j
x 1j = 28 + 
35 + 46 = 109 
 
 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 18 
Ex. Seja a matriz M = 





98
64 determine 
∑∑
= =2i
2
1j
ijx = x21 + x22 = 8 + 9 = 17 
 
e)∑
=
n
1i
iiyx = x1·y1 + x2·y2 + ... + xn·yn 
 
Ex.: Sejam os conjuntos X={0,1,2,3,4,5,6} e 
Y = {5,6,7,8,9}, determine: 
 
∑
=
5
3i
iiyx = 2·7 + 3·8 + 4·9 = 14 + 24 + 36 = 
74 
 
f) ∑
=
+
n
1i
ii )yx( = (x1 + y1)+(x2 + y2)+...+(xn + yn) 
= ∑
=
n
1i
ix + ∑
=
n
1i
iy
 
 
Ex.: Sejam os conjuntos X = {0,1,2,3, 4,5,6} 
e Y = {5,6,7,8,9}, determine: 
∑
=
+
5
2i
ii )yx( = ∑
=
5
2i
ix + ∑
=
5
2i
iy = 2 + 3 + 4 + 5 + 
6 + 7 + 8 + 9 = 44 
 
g) ∑
=
+
n
1i
t
i )ax( = (x1 + a)t + (x2 + a)t + (x3 + a)t 
+ ... + (xn + a)t , onde a é uma constante real 
 
Ex.: Seja X = {2, 3, 4, 5, 6}, determine: 
∑
=
+
4
1i
2
i )1x( = ( 2 + 1)2 + (3 + 1)2 + (4 + 1)2 
+ (5 + 1)2 = 32 + 42 + 52 + 62 = 9 + 16 + 25 + 
36 = 86 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Desenvolva os seguintes somatórios: 
a) ∑
=
7
1i
ix
 c) ∑
=
7
3i
ix 
b) ∑
=
3
1i
iy
 d) ∑
=
10
4i
iy
 
 
2) Sendo X = {2, 5, 6, 7} calcule: 
a) ∑
=
4
1i
ix b)∑
=
2
1i
ix 
c) ∑
=
+
3
1i
i )1x( d)∑
=
+
4
2i
2
i )3x( 
 
 
3) Sendo X = {1, 2, 3, 6}, calcule: 
a) ∑
=
⋅
4
1i
ix10
 b)∑
=
⋅+
4
1i
i)x102(
 
 
4) Calcule os seguintes somatórios, sendo 
Y = {0, 4, 3, 7} 
a) ∑
=
3
1i
iy b) ∑
=
4
1i
8
 c) ∑
=
4
1i
iy4
 
d) ∑
=
⋅
3
1i
i 10y
 e)∑
=
+
3
1i
i)y125(
 
f)∑
=
−
3
1i
i )y3(
 g) ∑
=
−+
4
1i
ii )10y3y4(
 
h) ∑
=
+−
4
1i
ii )y2y3(
 
 
5) Sendo X = {3, 7, 2, 1} e Y = {0, 3, 1, 2}, 
calcule: 
 
a) ∑
=
+
4
1i
ii )yx(
 b) ∑
=
−
4
1i
ii )yx(
 
c) ∑
=
+
2
1i
2
i )x2( d) ∑
=
+
4
1i
2
ii )yx( 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 19 
e) ∑
=
4
1i
ii yx
 f) ∑
=
+
4
1i
i )1x(
 
 
f) ∑
=
4
1i
ix +∑
=
4
1i
iy g) ∑
=
++
4
1i
ii )y2x(
 
 
6) Sendo ∑
=
4
1i
ix =10 , ∑
=
4
1i
iy =20 e ∑
=
4
1i
2
ix =30, 
calcule: 
a) ∑
=
+
4
1i
ii )yx( b) ∑
=
+
4
1i
2
i )3x(
 
c) ∑
=
+
4
1i
ii )yx4(
 
 
7) Sendo M = 










−−
−−
1253
5421
3362
, determine: 
a) ∑
=
3
1i
2ix
 b) ∑
=
4
1j
j3x
 
c) ∑ ∑
= =
3
1i
3
2j
ijx d)∑∑
= =
3
1i
4
1j
ijx
 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Tabela primitiva 
 
Estatura de 40 alunos do Colégio A 
166 160 161 150 162 160 
165 167 164 160 162 161 
168 163 156 173 160 155 
164 168 155 152 163 160 
155 155 169 151 170 164 
154 161 156 172 153 157 
156 158 158 161 
 
Rol 
 
Estatura de 40 alunos do Colégio A 
150 151 152 153 154 155 
155 155 155 156 156 156 
157 158 158 160 160 160 
160 160 161 161 161 161 
162 162 163 163 164 164 
164 165 166 167 168 168 
169 170 172 173 
 
No exemplo dado, a variável em 
questão, estatura, será observada e estudada 
muito mais facilmente quando dispusermos 
valores ordenados em uma coluna e 
colocarmos, ao lado de cada valor, o número 
de vezes que aparece repetido.] 
Denominamos freqüência o número de 
alunos que fica relacionado a um determinado 
valor da variável. Obtemos, assim, uma tabela 
que recebe o nome de distribuição de 
freqüência: 
 
Tabela I 
 
ESTATURA DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO 
A 
 
ESTAT. 
(cm) 
FREQ. ESTAT. 
(cm) 
FREQ. 
150 1 163 2 
151 1 164 3 
152 1 165 1 
153 1 166 1 
154 1 167 1 
155 4 168 2 
156 3 169 1 
157 1 170 1 
158 2 172 1 
160 5 173 1 
161 4 
162 2 
 
TOTAL 
 
40 
 
Freqüência – repetição de determinado 
dado. 
Tabela Primitiva – tabela cujos 
elementos não foram numericamente 
organizados 
Rol – tabela obtida após a ordenação 
dos dados . 
 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 20 
 O processo dado exige muito espaço, 
mesmo quando o número de valores da 
variável (n) é de tamanho razoável. A 
solução mais aceitável, pela própria natureza 
da variável contínua, é o agrupamento dos 
valores em váriosintervalos. 
 Deste modo, estaremos agrupando os 
valores da variável em intervalos, sendo que, 
em estatística, preferimos chamar os 
intervalos de classes. 
 Chamando de freqüência de uma 
classe o número de valores da variável 
pertencentes à classe, os dados da tabela 
anterior podem ser dispostos em uma tabela 
denominada distribuição de freqüência com 
intervalos de classe. 
 
Tabela II 
 
ESTATURA DE 40 ALUNOS DO 
COLÉGIO A 
ESTATURAS 
(cm) 
FREQÜÊNCIA 
 150├ 154 4 
154 ├ 158 9 
158 ├ 162 11 
162 ├ 166 8 
166 ├ 170 5 
170 ├ 174 3 
Total 40 
 
 OBS: Os intervalos de classe devem 
ser escritos, de acordo com a Resolução 
886/66 do IBGE, em termos de desta 
quantidade até menos aquela, empregando, 
para isso o símbolo ├ (inclusão de li e 
exclusão de Li). 
 
 Ao agruparmos os valores da variável 
em classes, ganhamos em simplicidade mas 
perdemos em pormenores. Assim, na tabela I, 
podemos verificar, facilmente, que quatro 
alunos têm 161 cm de altura e que não existe 
nenhum aluno com 171 cm de altura. Já na 
tabela II não podemos ver se algum aluno tem 
a estatura de 159 cm. No entanto, sabemos, 
com segurança, que onze alunos têm estatura 
compreendida entre 158 e 162 cm. 
 O que se pretende com a construção 
dessa nova tabela é realçar o que há de 
essencial nos dados e, também, tornar 
possível o uso de técnicas analíticas para sua 
total descrição, até porque a Estatística tem por 
finalidade analisar o conjunto de valores, 
desinteressando-se por casos isolados. 
 
Exercício: 
 
1) Observe a tabela seguinte. 
 
Algumas informações sociais sobre os 30 
funcionários da Indústria Santo Afonso. 
 
Nº Estado 
Civil 
Nº de 
depen 
dentes 
Grau de 
instrução 
Salário 
(x mínimo) 
1 casado 2 1º grau 3 
2 casado 2 1º grau 3 
 solteiro 0 2º grau 6 
4 divorc. 2 2º grau 6 
5 casado 2 superior 15 
6 solteiro 0 1º grau 3 
7 casado 2 2º grau 6 
8 casado 3 1º grau 3 
9 solteiro 0 1º grau 3 
10 casado 2 1º grau 3 
11 divorc. 3 1º grau 3 
12 casado 2 1º grau 3 
13 casado 2 1º grau 3 
14 casado 2 2º grau 15 
15 solteiro 0 1º grau 4 
16 solteiro 0 2º grau 8 
17 solteiro 1 1º grau 4 
18 casado 2 1º grau 4 
19 casado 2 2º grau 8 
20 divorc. 2 1º grau 4 
21 solteiro 1 superior 15 
22 casado 3 1º grau 4 
23 casado 2 2º grau 8 
24 solteiro 0 1º grau 4 
25 casado 2 2º grau 8 
26 solteiro 1 1º grau 4 
27 solteiro 0 2º grau 8 
28 casado 2 1º grau 4 
29 solteiro 0 2º grau 8 
30 solteiro 0 1º grau 4 
Fonte: dados hipotéticos 
 
Elabore uma tabela de freqüência (absoluta e 
relativa) considerando como variável: 
 
a) o estado civil. 
b) o número de dependentes. 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 21 
c) O grau de instrução. 
d) O salário. 
 
2) As notas de Estatística de uma turma de 50 
alunos estão anotadas na tabela a seguir. 
Faça uma tabela de freqüência (absoluta e 
relativa) para essas notas. 
 
NOTAS DE ESTATÍSTICA 
 
4 6 8 5 8 5 7 
4 10 6 7 5 6 4 
6 7 10 10 5 10 5 
7 5 8 7 4 5 6 
7 6 7 9 9 6 5 
9 6 5 9 8 10 8 
5 6 7 5 6 8 5 
4 
 
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO 
DE FREQÜÊNCIA 
 
1 – Classe 
 
 
 
 
 
 As classes são representadas 
simbolicamente por i, sendo i = 1,2,3, ... ,K 
(onde K é o número total de classes da 
distribuição). 
 
2 – Limites de classe 
 
 
 
 
 O menor número é o limite inferior 
da classe ( li ) e o maior número, o limite 
superior da classe ( Li ) . 
 
3 – Amplitude de um intervalo de classe 
 
 
 
 
 
 
 Ela é obtida pela diferença entre os 
limites superior e inferior dessa classe e 
indicada por hi. Assim: 
 
 
 
 
4 – Amplitude total da distribuição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 – Amplitude amostral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 – Ponto médio de uma classe 
 
 
 
 
 
 
 
 Para obtermos o ponto médio de uma 
classe, calculamos a semi-soma dos limites da 
classe ( média aritmética): 
 
 
 
 
 
7 – Freqüência simples ou absoluta 
 
 
 
 
 
Classes de freqüência ou, 
simplesmente, classes são intervalos de 
variação da variável. 
Determinamos limites de 
classe os extremos de cada classe. 
Amplitude de um intervalo 
de classe ou, simplesmente, intervalo 
de classe é a medida do intervalo que 
define a classe. 
hi = L i - li 
Amplitude total da distribuição 
( AT ) é a diferença da última classe ( 
limite superior máximo) e o limite 
inferior da primeira classe ( limite 
inferior mínimo). 
AT = L(máx.) – l(mín.) 
Amplitude amostral ( AA ) é a 
diferença entre o valor máximo e o valor 
mínimo da amostra. 
AA = x(max.) – x(min.) 
Ponto médio de uma classe ( xi ) 
é, como o próprio nome indica, o ponto 
que divide o intervalo de classe em duas 
partes iguais. 
2
Ll
x iii
+
= 
 Freqüência simples ou freqüência 
absoluta ou, simplesmente freqüência de 
uma classe ou de um valor individual é o 
número de observações correspondentes a 
essa classe ou a esse valor. 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 22 
 A freqüência simples é simbolizada 
por fi ( lemos: f índice i ou freqüência da 
classe i ). 
 A soma de todas as freqüências é 
representada pelo símbolo de somatório: 
 
 
 
 
 
 
NÚMERO DE CLASSES 
INTERVALO DE CLASSE 
 
 Para a determinação do número de 
classes de uma distribuição podemos lançar 
mão da regra de Sturger, que nos dá o 
número de classes em função do número de 
valores da variável: 
 
 
 
onde: 
 i é o número de classe; 
 n é o número total de dados. 
 
 Decidido o número de classes que 
deve ter a distribuição, resta-nos resolver o 
problema da determinação da amplitude do 
intervalo de classe, o que conseguimos 
dividindo a amplitude total pelo número de 
classes: 
 
 
 
 
 Quando o resultado não é exato, 
devemos arredonda-lo para mais. 
 
Exercício: 
 
1) As notas obtidas por 50 alunos de uma 
classe foram: 
1 2 3 4 5 6 6 7 7 8 
2 3 3 4 5 6 6 7 8 8 
2 3 4 4 5 6 6 7 8 9 
2 3 4 5 5 6 6 7 8 9 
2 3 4 5 5 6 7 7 8 9 
 
a) Complete a distribuição de freqüência : 
 
 
i Notas xi fi 
1 0 ├ 2 
2 2 ├ 4 
3 4 ├ 6 
4 6 ├ 8 
5 8 ├10 
 ∑ =if 
 
b) Agora, responda: 
 
1) Qual a amplitude amostral? 
2) Qual a amplitude da distribuição? 
3) Qual o número de classes da 
distribuição? 
4) Qual o limite inferior da quarta classe? 
5) Qual o limite superior da classe de 
ordem 2? 
6) Qual a amplitude do segundo intervalo 
de classe? 
 
c) Complete: 
 
1) h3 = _____ 2) l1 = _____ 3) x2 = ___ 
 
4) n = _____ 5) L3 = ____ 6) f5 = ____ 
 
TIPOS DE FREQÜÊNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 A soma das freqüências simples é igual 
ao número total dos dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑
=
k
1i
fi 
i ≅ 1 + 3,3 . log n 
h ≅
i
AT
 
Freqüências simples ou 
absolutas (fi) são os valores que 
realmente representam o número de 
dados de cada classe. 
nf i =∑ 
Freqüência relativa (fri) são 
os valores das razões entre as 
freqüências simples e a freqüência 
total 
∑
=
i
i
i f
f
fr 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 23 
 O propósito das freqüências relativas é 
o de permitir a análise ou facilitar as 
comparações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA SEM 
INTERVALODE CLASSE 
 
 Quando se trata de variável discreta 
de variação relativamente pequena, cada valor 
pode ser tomado como um intervalo de classe 
e, nesse caso, a distribuição é chamada 
distribuição sem intervalo de classe, 
tomando a seguinte forma: 
 
xi fi 
x1 f1 
x2 f2 
: : 
xn fn 
 ∑ = nf i 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
Seja X a variável “número de cômodos das 
casas ocupadas por vinte famílias 
entrevistadas”: 
 
 
i xi fi 
1 2 4 
2 3 7 
3 4 5 
4 5 2 
5 6 1 
6 7 1 
 ∑ = 20 
 
 
Exercícios: 
 
1) Considerando as notas de um teste de 
inteligência aplicado a 100 alunos: 
 
64 78 66 82 74 103 78 86 103 87 
73 95 82 89 73 92 85 80 81 90 
78 86 78 85 98 75 73 90 86 101 
86 84 86 76 76 83 86 84 85 103 
76 80 92 73 87 70 85 79 93 102 
82 90 83 81 85 72 81 96 81 85 
68 96 86 70 72 74 84 99 81 89 
71 73 63 74 98 78 78 83 96 105 
95 94 88 62 91 83 98 93 83 76 
94 75 67 95 708 98 71 92 72 73 
 
Forme uma distribuição de freqüência. 
Determine: 
a) ∑ if b) fri c) Fi d) Fri 
 
2) A distribuição abaixo indica o número de 
acidentes ocorridos com 70 motoristas de 
uma empresa de ônibus: 
 
Nº acidentes 0 1 2 3 4 5 6 7 
Nº motoristas 20 10 16 9 6 5 3 1 
 
Determine: 
a) o número de motoristas que não sofreram 
nenhum acidente: 
b) o número de motoristas que sofreram pelo 
menos 4 acidentes; 
c) o número de motoristas que sofreram 
menos de 3 acidentes; 
d) o número de motoristas que sofreram no 
mínimo 3 e no máximo 2 acidentes; 
e) a percentagem dos motoristas que sofreram 
no máximo 2 acidentes. 
 
3) Sejam as alturas (em centímetros) de 25 
alunos de uma determinada classe: 
 
 
 Freqüência acumulada (Fi) é o 
somatório de todas as classes anteriores 
da referida classe. 
Fk = f1 + f2 + ... + fk 
Freqüência acumulada 
relativa (Fri) de uma classe é a 
freqüência acumulada da classe, 
dividida pela freqüência total da 
distribuição. 
∑
=
i
i
i f
F
Fr 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 24 
150 159 157 151 152 
156 153 163 159 175 
162 162 164 158 159 
164 168 166 160 162 
 
a) Calcule a amplitude do rol. 
b) Calcule a amplitude para cada intervalo de 
classe. 
c) Ache a distribuição de freqüência com 
intervalos de classe, a freqüência relativa, a 
freqüência acumulada e a freqüência 
acumulada relativa. 
 
4) A tabela abaixo apresenta uma distribuição 
de freqüência das áreas de 400 lotes: 
 
ÁREAS 
(m2) 
Nº DE 
LOTES 
300 ├ 400 14 
400 ├ 500 46 
500 ├ 600 58 
600 ├ 700 76 
700 ├ 800 68 
800 ├ 900 62 
900 ├ 1000 48 
1000 ├ 1100 22 
1100 ├ 1200 6 
 
Com referência a essa tabela, determine: 
a) a amplitude total; 
b) o limite superior da quinta classe; 
c) o limite inferior da oitava classe; 
d) o ponto médio da sétima classe; 
e) a amplitude do intervalo da segunda classe; 
f) a freqüência da quarta classe; 
g) a freqüência relativa da sexta classe; 
h) a freqüência acumulada da quinta classe; 
i) o número de lotes cuja área não atinge 700 
m
2; 
j) o número de lotes cuja área atinge e 
ultrapassa 800 m2; 
k) a percentagem dos lotes cuja área não 
atinge 600 m2; 
l) a percentagem dos lotes cuja área seja 
maior ou igual a 900 m2; 
m) a percentagem dos lotes cuja área é de 
500m2, no mínimo, mas inferior a 1.000m2; 
n) a classe do 72º lote; 
o) até que classe estão incluídos 60% dos lotes. 
 
5) Baseando que um amostra apresentou os 
resultados abaixo, clacule a amplitude do 
intervalo de classe ( h ) e o número total de 
classes ( i ). 
 
a) n=50 AA=150 
 
b) n=70 AA=10 
 
6) Complete os dados que faltam na 
distribuição de freqüência: 
 
a) 
I Xi fi fri fi 
1 0 1 0.05 
2 1 0.15 4 
3 2 4 
4 3 0.25 13 
5 4 3 
6 5 18 
7 6 19 
8 7 
 ∑ = 20 ∑ = 001. 
 
 
b) 
i Classes xi fi Fi fri 
1 0 ├ 2 1 4 0,04 
2 2 ├ 4 8 
3 4 ├ 6 5 30 0,18 
4 7 27 0,27 
5 15 72 
6 10 ├ 12 83 
7 13 10 93 0,10 
8 14 ├ 16 0,07 
 ∑ = ∑ = 
 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA 
DISTRIBUIÇÃO 
 
 Uma distribuição de freqüência pode 
ser representada graficamente pelo 
histograma, pelo polígono de freqüência e 
pelo polígono de freqüência acumulada 
(ogiva de Galton). 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 25 
 Construímos qualquer um dos gráficos 
mencionados utilizando o primeiro quadrante 
do sistema de eixos coordenados cartesianos 
ortogonais. Na linha horizontal (eixo das 
abscissas) colocamos os valores da variável e 
na linha vertical ( eixo das ordenadas), as 
freqüências. 
 
HISTOGRAMA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 As larguras dos retângulos são iguais 
às amplitudes dos intervalos de classe. 
 As alturas dos retângulos devem ser 
proporcionais às freqüências das classes, 
sendo a amplitude dos intervalos iguais. Isso 
nos permite tomar as alturas numericamente 
iguais às freqüências. 
 
Exemplo: À distribuição da tabela 
corresponde o seguinte histograma: 
 
ESTATURA DE 40 ALUNOS DO 
COLÉGIO A 
i ESTATURAS 
(cm) 
fi 
1 150├ 154 4 
2 154 ├ 158 9 
3 158 ├ 162 11 
4 162 ├ 166 8 
5 166 ├ 170 5 
6 170 ├ 174 3 
 Total ∑ = 40f i 
 
0
2
4
6
8
10
12
150 158 162 166 170 174
fre
qu
ên
ci
a
classes
154
 
O histograma goza de uma propriedade 
da qual faremos considerável uso: a área de 
um histograma é proporcional à soma das 
freqüências. 
 
POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para realmente obtermos um polígono 
(linha fechada), devemos completar a figura, 
ligando os extremos da linha obtida aos pontos 
médios da classe anterior à primeira e da 
posterior à última, da distribuição. 
 
Exemplo: 
ESTATURA DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO 
A 
i ESTATURAS 
(cm) 
fi 
1 150├ 154 4 
2 154 ├ 158 9 
3 158 ├ 162 11 
4 162 ├ 166 8 
5 166 ├ 170 5 
6 170 ├ 174 3 
 Total ∑ = 40f i 
 
0
2
4
6
8
10
12
148 152 156 160 164 168 172 176
fre
qu
ên
ci
a
Estatura
 
 No caso de termos uma variável 
essencialmente positiva, cuja distribuição se 
inicie no valor zero, devemos considerar um 
intervalo anterior localizado no semi-eixo 
negativo. Porém consideraremos apenas a parte 
positiva do segmento que liga o ponto médio 
O histograma é formado por um 
conjunto de retângulos justapostos, cujas 
bases se localizam sobre o eixo 
horizontal, de tal modo que seus pontos 
médios coincidam com os pontos médios 
dos intervalos de classe. 
 O polígono de freqüência é um 
gráfico em linha, sendo as freqüências 
marcadas sobre perpendiculares ao eixo 
horizontal, levantadas pelos pontos 
médios dos intervalos de classe. 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 26 
desse intervalo com a freqüência do intervalo 
0├ ... . 
 
POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA 
ACUMULADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
ESTATURA DE 40 ALUNOS DO 
COLÉGIO A 
i ESTATURAS 
(cm) 
fi 
1 150├ 154 4 
2 154 ├ 158 9 
3 158 ├ 162 11 
4 162 ├ 166 8 
5 166 ├ 170 5 
6 170 ├ 174 3 
 Total ∑ = 40f i 
 
 
0
10
20
30
40
150 154 158 162 166 170 174
Fr
e
qü
e
n
c
ia
Estatura
 
 
GRÁFICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE 
FREQÜÊNCIA SEM INTERVALO DE 
CLASSE 
 
 Uma distribuição de freqüência sem 
intervalo de classe é representada 
graficamente por um diagrama onde cada 
valor da variável é representado por um 
segmento de reta vertical e de comprimento 
proporcional à respectiva freqüência. 
 
Exemplo: 
 
i xi fi Fi 
1 2 4 4 
2 3 7 11 
3 4 5 16 
4 5 2 18 
5 6 1 19 
6 7 120 
 ∑ = 20
 
 
 
0
2
4
6
8
1 2 3 4 5 6 7
Fr
e
qü
ên
c
ia
 
 Também podemos representar a 
distribuição pelo gráfico da freqüência 
acumulada, o qual se apresentará com pontos 
de descontinuidade nos valores observados da 
variável: 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Dada a distribuição abaixo, construa para os 
dados apresentados: 
 
Áreas 
(m2) 
nº de 
lotes 
300 ├ 400 14 
400 ├ 500 46 
500 ├ 600 58 
600 ├ 700 76 
700 ├ 800 68 
800 ├ 900 62 
900 ├ 1000 48 
1000 ├ 1100 22 
1100 ├ 1200 6 
 
 O polígono de freqüência 
acumulada é traçado marcando-se as 
freqüências acumuladas sobre 
perpendiculares ao eixo horizontal, 
levantadas nos pontos correspondentes aos 
limites superiores dos intervalos de classe. 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 27 
a) O histograma; 
b) o polígono de freqüência; 
c) o polígono de freqüência acumulada. 
 
2) Dada a distribuição abaixo, construa para 
os dados apresentados: 
 
i Classes fi 
1 4 ├ 8 2 
2 
 8 ├ 12 5 
3 12 ├ 16 9 
4 16 ├ 20 6 
5 20 ├ 24 2 
6 24 ├ 28 1 
 Σ = 25 
 
 
 
 
 
3) Conhecidas as notas de 50 alunos: 
 
68 85 33 52 66 77 84 65 74 57 
71 35 81 50 35 64 74 47 54 68 
80 61 41 91 55 73 59 53 77 45 
41 55 78 48 69 85 67 39 60 76 
94 88 66 66 73 42 65 94 88 89 
 
pede-se: 
a) A distribuição de freqüência começando 
por 30 e adotando-se o intervalo de classe 
de amplitude igual a 10. 
b) A freqüência acumulada. 
c) O histograma. 
d) O polígono de freqüência. 
f) O polígono de freqüência acumulada. 
 
4) A tabela abaixo apresenta os coeficientes 
de liquidez obtidos da análise de balanço 
em 50 indústrias 
 
3,9 7,4 10,0 11,8 2,3 4,5 10,5 8,4 15,6 
18,8 2,9 2,3 0,4 5,0 9,0 5,5 9,2 12,4 
4,5 4,4 10,6 5,6 8,5 2,4 17,8 11,6 0,8 
7,1 3,2 2,7 16,2 2,7 9,5 13,1 3,8 6,3 
4,8 5,3 12,9 6,9 6,3 7,5 2,6 3,3 4,6 
7,5 8,7 4,4 7,9 16,0 
 
pede-se: 
a) Formar com esses dados uma distribuição 
com intervalos de classe igual a 3, tais que 
os limites inferiores sejam múltiplos de 3. 
b) Confeccionar o histograma. 
c) O polígono de freqüência. 
d) O polígono de freqüência acumulada 
correspondente. 
 
5) Um grau de nebulosidade, registrado em 
décimos, ocorre de acordo com a distribuição 
abaixo: 
 
Nebulo 
sidade 
0 ├ 0,5├ ,5├ 2,5├ 3,5├ 4,5├ 5,5 ├ 6,5├ 7,5├ 8,5├ 9,5├ 10 
fi 320 125 75 65 45 45 55 65 90 145 676 
 
Pede-se: 
a) A freqüência acumulada. 
b) O histograma. 
c) O polígono de freqüência. 
d) O polígono de freqüência acumulada. 
 
6) Dado o histograma abaixo, construa: 
0
2
4
6
8
10
12
8 10 12 14 16 18 20 22
fre
qu
ên
ci
a
classes
 
 
 
 
 
 
7) Dado o polígono de freqüência abaixo, 
construa: 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
10 14 18 22 26 30 34 36
fre
qu
ên
ci
a
X
 
 
 
a) O histograma. 
b) O polígono de freqüência. 
c) O polígono de freqüência acumulada 
a) Uma tabela de freqüência para os dados 
apresentados. 
b) O polígono de freqüência. 
c) O polígono de freqüência acumulada. 
 
a)Uma tabela de freqüência para os 
dados apresentados. 
b) O histograma. 
c) O polígono de freqüência acumulada. 
 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 28 
8) Examinando o histograma abaixo, que 
corresponde às notas relativas à aplicação 
de um teste de inteligência a um grupo de 
alunos, responda: 
 
a) Qual é o intervalo de classe que tem 
maior freqüência? 
b) Qual a amplitude total da distribuição? 
c) Qual o número total de alunos? 
d) Qual é a freqüência do intervalo de 
classe 110 ├ 120? 
e) Quais os dois intervalos de classe que 
têm a mesma freqüência? 
f) Quais são os dois intervalos de classe 
tais que a freqüência de um é o dobro 
da freqüência do outro? 
g) Quantos alunos receberam notas de 
teste entre 90 (inclusive) e 110? 
h) Quantos alunos receberam notas não-
inferiores a 100? 
 
0
5
10
15
20
25
30
40 60 80 100 120 160
fre
qu
ên
ci
a
classes
140
9) O gráfico mostra a distribuição de uma 
amostra de garrafas de refrigerantes e seus 
respectivos volumes em mililitros: 
 
0
100
200
300
400
500
280 300 320
Volume (ml)
Fr
e
qü
ên
c
ia
(nº
 
de
 
ga
rr
a
fa
s
a) Quantas garrafas compõem essa amostra? 
b) Qual a freqüência relativa da classe “300 
ml”? 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
 As medidas de posição mais 
importantes são as medidas de tendência 
central, que recebem tal denominação pelo 
fato de os dados observados tenderem, em 
geral, a se agrupar em torno dos valores 
centrais. Dentre as medidas de tendência 
central, destacamos a média aritmética, a 
mediana e a moda. 
 
MÉDIA ARITMÉTICA ( 
_
X ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sendo: 
 
_
x a média aritmética; 
 ix os valores da variável; 
 n o número de valores. 
 
Dados não-agrupados 
 
 Quando desejamos conhecer a média 
dos dados não-agrupados, determinamos a 
média aritmética simples. 
 
Exemplo: 
 Sabendo-se que a produção leiteira 
diária da vaca A, durante uma semana, foi de 
10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos, para 
produção média da semana: 
 
14
7
98
7
12181615131410
x ==
++++++
=
_
Logo: 
 14x =
_
 litros 
 
 
Dados agrupados 
 
 Sem intervalo de classe 
 
Média aritmética é o quociente da 
divisão da soma dos valores da variável 
pelo número deles. 
n
x
x i
∑
=
_
 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 29 
 Neste caso, como as freqüências são 
números indicadores de cada valor da 
variável, elas funcionam como fatores de 
ponderação, o que nos leva a calcular a média 
aritmética ponderada, dada pela fórmula: 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 Considere a distribuição relativa a 34 
famílias de quatro filhos, tomando para 
variável o número de filhos do sexo 
masculino: 
 
Nº DE FILHOS fi xifi 
0 2 0 
1 6 6 
2 10 20 
3 12 36 
4 4 16 
 ∑= 34 ∑= 78 
 
Temos, então: 
32x292
34
78
x
f
fx
x
i
ii
,,
___
=⇒==⇒=
∑
∑
 
isto é: 
 32x ,
_
= meninos 
 
 Com intervalo de classe 
 
 Neste caso, convencionamos que 
todos os valores incluídos em um 
determinado intervalo de classe coincidem 
com o seu ponto médio, e determinamos a 
média aritmética ponderada por meio da 
fórmula: 
 
 
 
 
 
Onde xi é o ponto médio da classe. 
 
Exemplo: 
Consideremos a distribuição: 
 
i ESTATURAS 
(cm) 
fi xi xifi 
1 150 ├ 154 4 152 608 
2 154├ 158 9 156 1.404 
3 158├ 162 11 160 1.760 
4 162├ 166 8 164 1.312 
5 166├ 170 5 168 840 
6 170├ 174 3 172 516 
 ∑= 40 ∑= 4406. 
 
cm161x161
40
4406
f
fx
x
i
ii
=⇒===
∑
∑ __ .
 
 
Exercícios: 
 
1) As idades dos jogadores de um time de 
basquetebol são 18, 23, 19, 20 e 21 anos. 
Qual é a média de idade desses jogadores? 
 
2) Entre sessenta números, vinte são iguais a 
5, dez são iguais a 6, quinze são iguais a 8, 
dez são iguais a 12, e cinco são iguais a 1. 
Determine a média aritmética desses 
números. 
 
3) Quatro funcionários A, B, C e D de uma 
empresa têm respectivamente 8, 6, 10 e 16 
anos de trabalho nessa empresa. O 
funcionário A recebeu um prêmio de R$ 
500,00 por ano de casa; B recebeu um 
prêmio de R$ 600,00 por ano de casa; e C e 
D receberam, cada um, R$ 800,00 de 
prêmio por ano de casa. Qual foi o prêmio 
médio recebido por ano de casa por esses 
funcionários? 
 
4) As classes A, B e C da segunda série do 
ensino médio tiveram respectivamenteas 
seguintes médias na prova de matemática: 
6,5; 6,0 e 7,0. Sabendo que a classe A é 
formada por 28 alunos, B é formada por 25 
alunos e C, por 22 alunos, calcule a nota 
média de todos os 75 alunos. 
 
5) A tabela mostra a distribuição de freqüência 
da carga, em toneladas, dos caminhões que 
passaram por uma estrada num certo 
período. 
Calcule a carga média desses caminhões. 
 
∑
∑
=
i
ii
f
fx
x
_
 
∑
∑
=
i
ii
f
fx
x
_
 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 30 
Carga 
(em toneladas) 
Número de 
caminhões 
[ 9,5;14,5 [ 18 
[ 14,5;19,5 [ 33 
[ 19,5;25,5 ] 9 
 
 
A MODA ( Mo ) 
 
 
 
 
 
 
Dados não-agrupados 
 
 Quando lidamos com valores não-
agrupados, a moda é facilmente reconhecida: 
basta, de acordo com a definição, procurar o 
valor que mais se repete. 
 
Exemplo: 
 
A série de dados: 
 
7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15 
 
tem moda igual a 10. 
 
 Podemos, entretanto, encontrar séries 
nas quais não exista valor modal, isto é, nas 
quais nenhum valor apareça mais vezes que 
outros. É o caso da série: 
 
3, 5, 8, 10, 12, 13 
 
que não apresenta moda ( amodal ). 
 
 Em outros casos, ao contrário, pode 
haver dois ou mais valores de concentração. 
Dizemos, então, que a série tem dois ou mais 
valores modais. Na série: 
 
2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9 
 
temos duas modas: 4 e 7 ( bimodal ). 
 
Dados agrupados 
 
 Sem intervalo de classe 
 
 Uma vez agrupados os dados, é 
possível determinar imediatamente a moda: 
basta fixar o valor da variável de maior 
freqüência. 
 
Exemplo: 
 
Dada a distribuição 
 
Nº DE FILHOS fi 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
 ∑= 34 
 
A freqüência máxima ( 12 ) corresponde o 
valor 3 da variável. Logo: 
 Mo = 3 
 
 Com intervalo de classe 
 
 A classe que apresenta a maior 
freqüência é denominada classe modal. Pela 
definição, podemos afirmar que a moda, neste 
caso, é o valor dominante que está 
compreendido entre os limites da classe modal. 
 O método mais simples para o cálculo 
da moda consiste em tomar o ponto médio da 
classe modal. 
 Damos a esse valor a denominação de 
moda bruta. 
 Temos, então: 
 
 
 
 
 
 
onde: 
 
 l é o limite inferior da classe modal; 
 L é o limite superior da classe modal. 
 
 
Exemplo: 
 
Para a distribuição: 
 
i Estaturas fi 
 Denominamos moda o valor 
que ocorre com maior freqüência em 
uma série de valores. 
2
LlMo += 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 31 
(cm) 
1 150 ├ 154 4 
2 154 ├ 158 9 
3 158 ├ 162 11 
4 162 ├ 166 8 
5 166 ├ 170 5 
6 170 ├ 174 3 
 ∑ = 40 
 
2
LlMo += 
160
2
320
2
162158Mo ==== 
Logo: 
 
Mo = 160 cm 
 
A MEDIANA ( Md ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados não-agrupados 
 
 Dada uma série de valores: 
 
5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9, 
 
o primeiro passo é o da ordenação ( crescente 
ou decrescente ) dos valores: 
 
2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18 
 
em seguida, tomamos aquele valor central que 
apresenta o mesmo número de elementos à 
direita e à esquerda. Em nosso exemplo, esse 
valor é o 10, já que, nessa série, há quatro 
elementos acima dele e quatro abaixo. 
 Temos, então: 
 Md = 10 
 
 Se, porém, a série dada tiver um 
número par de termos, a mediana será, por 
definição, qualquer dos números 
compreendidos entre os dois valores centrais 
da série. Convencionou-se utilizar o ponto 
médio. 
 Assim, a série de valores: 
 
2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21 
 
tem para mediana a média aritmética entre 10 e 
12 
Logo: 
 11
2
22
2
1210Md ==== 
donde: 
 Md = 11 
 
Dados agrupados 
 
 Se os dados agrupam em uma 
distribuição de freqüência, o cálculo da 
mediana se processa de modo muito 
semelhante àquele dos dados não-agrupados, 
implicando, porém, a determinação prévia das 
freqüências acumuladas. Ainda aqui, temos 
que determinar um valor tal que divida a 
distribuição em dois grupos que contenham o 
mesmo número de elementos. 
 Para o caso de uma distribuição, porém, 
a ordem, a partir de qualquer um dos extremos, 
é dada por: 
 
 
 
 
 Sem intervalo de classe 
 
 Neste caso, basta identificar a 
freqüência acumulada imediatamente superior 
à metade da soma das freqüências. A mediana 
será aquele valor da variável que corresponde a 
tal freqüência acumulada. 
 
Exemplo: 
 
Dada a distribuição de freqüência: 
Nº DE 
MENINOS 
fi Fi 
0 2 2 
1 6 8 
2 10 18 
3 12 30 
4 4 34 
 ∑= 34 
 A mediana é definida como o 
número que se encontra no centro de um 
série de números, estando estes dispostos 
segundo uma ordem.. É o valor situado de 
tal forma no conjunto que o separa em dois 
subconjuntos de mesmo número de 
elementos. 
 
2
f
Pos i∑= 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 32 
Sendo: 
 17
2
34
2
f i
==
∑
 
a menor freqüência acumulada que supera 
esse valor é 18, que corresponde ao valor 2 da 
variável, sendo este o valor mediano. Logo: 
 
Md = 2 meninos 
 
 No caso de existir uma freqüência 
acumulada (Fi), tal que: 
 
2
f
F ii
∑
= , 
a mediana será dada por: 
 
 
 
 
 
isto é, a mediana será a média aritmética entre 
o valor da variável correspondente a essa 
freqüência acumulada e o seguinte. 
 
Exemplo: 
 
Dada a distribuição de freqüência: 
 
xi fi Fi 
12 1 1 
14 2 3 
15 1 4 
16 2 6 
17 1 7 
20 1 8 
 ∑ = 8 
 
Temos: 
 4
2
8
2
f
Pos i ===∑ 
Logo: 
515
2
31
2
1615Md ,==+= 
Donde: 
 Md = 15,5 
 
 
Com intervalo de classe 
 
 Neste caso, o problema consiste em 
determinar o ponto do intervalo em que está 
compreendida a mediana. 
 Para tanto, temos inicialmente que 
determinar a classe na qual se acha a mediana 
– classe mediana. Tal classe será, 
evidentemente, aquela correspondente à 
freqüência acumulada imediatamente superior 
a 
2
f i∑
 . 
 
 Seguimos os seguintes passos: 
 
1º) Determinamos as freqüências acumuladas. 
2º) Calculamos 
2
f i∑
 
3º) Marcamos a classe correspondente à 
freqüência acumulada imediatamente superior 
à 
2
f i∑
 - classe mediana – e, em seguida, 
empregamos a fórmula: 
 
 
 
 
 
 
na qual: 
 l é o limite inferior da classe mediana; 
 F(ant) é a freqüência acumulada da 
classe anterior à classe mediana; 
 f é a freqüência simples da classe 
mediana; 
 h é a amplitude do intervalo da classe 
mediana. 
 
Exemplo: 
 
Dada a distribuição de freqüência: 
 
i Estaturas 
(cm) 
fi Fi 
1 150 ├ 154 4 4 
2 154 ├ 158 9 13 
3 158 ├ 162 11 24 
4 162 ├ 166 8 32 
5 166 ├ 170 5 37 
6 170 ├ 174 3 40 
 ∑ = 40 
 
2
xx
Md 1ii ++= 
f
hantF
2
f
lMd
i








−
+=
∑ )(
 
Classe 
 mediana 
Ana Lúcia Guimarães Carvalho 
ESTATÍSTICA 33 
Temos: 
 20
2
40
2
f i
==
∑
 
Logo, a classe mediana é a de ordem 3. Então: 
 
l = 158, F(ant) = 13, f = 11 e h = 4 
 
substituindo na fórmula: 
( )
11
28158
11
41320158Md +=−+= 
Md 54160542158 ,, =+= 
 
isto é: 
 Md = 160,5 cm 
 
Exercícios 
 
1) Considerando os conjuntos de dados: 
a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6 
b) 51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9 
c) 20, 9, 7, 2, 12, 7, 20, 15, 7 
d) 15, 18, 20, 13, 10, 16, 14 
 
calcule: 
 
I - a média; 
II - a mediana; 
III - a moda. 
 
2) Os salários-hora de cinco funcionários de 
uma companhia são: 
 
R$ 75,00; R$ 90,00; R$ 83,00;R$ 142,00 e 
R$ 88,00.