Elementos de Máquinas II Engrenagens (Parte I)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Departamento de Engenharia Mecânica
 
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TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENSTRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
1 INTRODUÇÃO1. INTRODUÇÃO
- Transmissão de grandes potências
- Compactos
- Alta confiabilidade
- Mais utilizados
- Eixos paralelos, perpendiculares, com ou sem interseção
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TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENSTRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
2 HISTÓRIA – Engrenagens Antigas2. HISTÓRIA Engrenagens Antigas
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TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
3. TIPOS PRINCIPAIS:
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- Cilíndricas de dentes retos
- Dentes Helicoidais
- Cônicas
- Coroa/parafuso SEM-FIM
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- Coroa/parafuso SEM-FIM
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TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENSTRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
4. APLICAÇÕES:
- Redutores de Velocidades
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TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENSTRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
4. APLICAÇÕES (cont.):
- Redutores de Velocidades de Engrenagens
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REDUTORES DE ENGRENAGENSREDUTORES DE ENGRENAGENS
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REDUTORES DE ENGRENAGENSREDUTORES DE ENGRENAGENS
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REDUTORES DE ENGRENAGENSREDUTORES DE ENGRENAGENS
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REDUTORES DEREDUTORES DE 
ENGRENAGENS
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REDUTORES DEREDUTORES DE 
ENGRENAGENS
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REDUTORES DE ENGRENAGENSREDUTORES DE ENGRENAGENS
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REDUTORES DE ENGRENAGENSREDUTORES DE ENGRENAGENS
- Componentes Principais
- Eixos
- Mancais de rolamentos
- Engrenagensg g
- Chavetas e estrias
- Carcaça
- Parafusos de fixação
- Elementos de vedação
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TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
5 Processos de Fabricação
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
5. Processos de Fabricação
A l i t (Sh i ) Forjamento- Aplainamento (Shaping)
- Fresamento Helicoidal 
(Hobbing)
- Forjamento
-“Thread Whirling”
- Puncionamento (Punching)
- Fresamento (Milling)
- Fundição
- Puncionamento (Punching)
- Eletro-erosão e Eletro-deposição
- Retificação (Grinding)
- Sinterização
- Laminação
ç ( g)
- Retífica de Formação
- Retífica de geração
- Extrusão
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REDUTORES DE ENGRENAGENSREDUTORES DE ENGRENAGENS
1. Processos de Fabricação - Aplainamento (Shaping)
Ferramentas de Aplainamento Processo de Aplainamento 
forma de pinhão e forma de cremalheira
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REDUTORES DE ENGRENAGENSREDUTORES DE ENGRENAGENS
1. Processos de Fabricação - Fresamento Helicoidal (Hobbing)
Ferramenta do fresamento helicoidal
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Ferramenta do fresamento helicoidal
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REDUTORES DE ENGRENAGENSREDUTORES DE ENGRENAGENS
1. Processos de Fabricação - Fresamento (Milling)
Fresa com perfil envolvental
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REDUTORES DE ENGRENAGENSREDUTORES DE ENGRENAGENS
1. Processos de Fabricação - Fundição
- Grandes quantidades de 
engrenagens pequenas. g g p q
- Moldes de precisão pode-se 
obter engrenagens de grande 
acurácia. 
- Engrenagens de baixa 
resistência
- Defeitos (vazios ou bolhas)
- Tratamento térmico para 
aliviar as tensões 
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REDUTORES DE ENGRENAGENSREDUTORES DE ENGRENAGENS
1. Processos de Fabricação - Laminação
- Os dentes são formados
por deformação plástica.
-Pode ser feita a frio ou a 
tquente. 
- Dentes retos e helicoidais. 
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TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
6. Engrenagens Cilíndricas
de Dentes Retos
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
de Dentes Retos
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TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
6. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
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TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
6.1. Nomenclatura
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
F – Largura da engrenagem (largura da face);
a – Altura da cabeça do dente (adendo);
b – Altura do pé dos dentes (dedendo);b Altura do pé dos dentes (dedendo);
h – Altura do dente (adendo + dedendo);
p – Distância entre dois dentes consecutivos (passo);
e – Folga na raiz do dente (é a distância entre a ponta do 
dente de uma engrenagem e a raiz do dente da outra);
dp – Diâmetro Primitivo (diâmetro do círculo primitivo);
db – Diâmetro Interno (diâmetro do círculo de dedendo);
d –Diâmetro Externo (diâmetro do círculo de adendo);da Diâmetro Externo (diâmetro do círculo de adendo);
dr – Diâmetro de Base (diâmetro do círculo de base
para a geração da involuta); 
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TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
6.1. Nomenclatura – Involuta ou Envolvente
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
Em dentes com perfil fabricados a partir da involuta, 
a força tem uma distância perpendicular do centro
constante garantindo assim um torque constanteconstante, garantindo assim um torque constante. 
θ−θ=θ )tan()(inv
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TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
6.1. Nomenclatura – Perfil Cicloidal
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
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TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
6.1. Nomenclatura (cont.)
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
Ângulo de Pressão (14.5º ; 20º e 25º) 
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TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
6.1. Nomenclatura (cont.)
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
Influência do Ângulo de PressãoInfluência do Ângulo de Pressão 
no formato dos dentes
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TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
6.1. Nomenclatura (cont.)
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
Backslash (FOLGA)
Folga entre os dentes de uma engrenagem. Esta folga surge quando os g g g g g q
centros da engrenagem estão afastados de uma distância superior a padrão 
ou quando os dentes têm uma espessura menor do que a padronizada
- Backslash por redução da espessura do dente:
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TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
6.1. Nomenclatura (cont.)
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
Backslash (FOLGA)
- Backslash por afastamento p
dos centros:
Backslash não é totalmente 
indesejado. É muitas vezes 
importante, pois é necessário 
deixar um espaço para a 
lubrificação e para a 
dilatação. Sem esse espaço 
há d ibilid dhá uma grande possibilidade 
do engrenamento emperrar.
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TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
6.1. Nomenclatura (cont.)
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
onde:
Fr = carga radial
Ft = carga tangencialg g
F = carga transmitida
a= ângulo de pressão (Q)
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6.2. Esforços
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
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TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
6.2. Esforços nos mancais
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
T
R2
RR1
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6.3. Dimensionamento - Critérios de tensões
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
d
Módulo [mm] Dimensão Fórmula
Adendo a = m
Dedendo b = 1,25.m
z
dm = Dedendo b 1,25.mhk = 2.m
ht = 2,25.m
Espessura do dente t π m/2Espessura do dente t = π.m/2
Raio de adoçamento rf = 0,3.m
Folga radial mínima c = 0,25.m
Folga radial para dentes retificados c = 0,35.m
Mínimo no de dentes do pinhão θ = 20º Zp = 18
θ = 25º Zc = 12
Mínimo no de dentes por par θ = 20º Zp + Zc = 36
θ = 25º Zp + Zc = 24
Largura mínima do topo do dente to = 0,25.mTabela 1
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TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
6.3. Dimensionamento (cont.)
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
Série 1 Série 2 Série 3 Série 1 Série 2 Série 3 Série 1 Série 2 Série 3
0,1 1,5 9
0,15 1,75 10
0,2 2 11
0,25 2,25 12
0,3 2,5 14
0,35 2,75 16
0 4 3 180,4 3 18
0,45 3,25 20
0,5 3,5 22
0,55 3,75 25
0,6 4 28
0,65 4,5 32
0,7 5 36
0,75 5,5 40
Ö Utilizar como 1ª opção a série 1 
2ª opção a série 2
3ª opção a série 3
, ,
0,8 6 45
0,9 6,5 50
1 7Tabela 2
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33
1,25 8
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6.3. Dimensionamento (cont.)
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
- São 2 critérios principais de dimensionamento:
- Critérios de tensões ou resistência- Critérios de tensões ou resistência
- Critérios de desgaste ou pressão superficial
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6.3. Dimensionamento (cont.)
TRANSMISSÃOPOR ENGRENAGENS
6.3.1. Critérios de tensões ou resistência
1. Viga engastada sob flexão
W
h
Wt
rW
h
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6.3. Dimensionamento (cont.)
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
6.3.1. Critérios de tensões ou resistência
1. Viga engastada sob flexão
cM ⋅ ( ) ⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅⋅
62 hW
thW
t
t Wt 1 1IWt Wt
I
cM=σ =⋅=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅
⎠⎝= 23
6
12
2
tF
hW
tF
t =
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
⋅
h
tF
Wt
6
1
2
⇒⋅
⋅
⋅
6
4
1
4
2
h
t
I
F
Wt
xF
Wt
⋅⋅
=
3
2
σ
hWM t ⋅=
2
tc =
x
x
Wt=⇒
2
σ ⇒=⇒σ
p
Wt
mYF
Wt=σ
2
12
3tFI ⋅=
p
p
xF ⋅⋅⋅
3
2
y m
⋅⋅⋅ ππ
pyF
Y
mYF ⋅⋅
_________________________________________________________________________________________
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Equação original de Lewis (1892)
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6.3. Dimensionamento (cont.)
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
6.3.1. Critérios de tensões ou resistência
1. Viga engastada sob flexão
Observações sobre a equação de Lewis:
- A carga radial não foi levada em consideração;
- Foi considerado que a carga máxima atua no topo do dente, o que
só é verdade quando a razão de contato (m) for igual a 1;
- Não foi considerado o problema de concentração de tensões;
- Efeitos dinâmicos foram negligenciados.
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6.3. Dimensionamento (cont.)
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
6.3.1. Critérios de tensões ou resistência
2. Carga atuante fora do topo do dente
A AGMA propõe o seguinte valor para o fator de forma Y:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⋅
=
tg
Y
LL θ
θ
θ 5.1cos
1
(eq. 1)⎥⎦⎢⎣ txθcos
onde:
θ â l d ãθ = ângulo de pressão
θL = ângulo de pressão para carga fora do topo (θL < θ)
t = espessura do dente
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6.3. Dimensionamento (cont.)
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
6.3.1. Critérios de tensões ou resistência
3. Concentração de tensões
A AGMA propõe o seguinte valor para o fator de concentração de tensões - Kf:
ML ⎞⎛⎞⎛ ML
f l
t
r
tHK ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=
d θ45836620340H
(eq. 2)
onde: θ⋅−= 4583662.034.0H
θ⋅−= 4583662.0316.0L
θ⋅−= 4583662.029.0M
( )
f
ff
rbd
rbr
r
−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−+=
2
2
rf = raio de adoçamento;
b = dedendo
d diâ t i iti
_________________________________________________________________________________________
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f⎠⎝ 2 d = diâmetro primitivo
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6.3. Dimensionamento (cont.)
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
6.3.1. Critérios de tensões ou resistência
4. Fator de Geometria – J (AGMA)
K
YJ = (eq. 1)
Nf mK ⋅
(eq. 2) Razão de distribuição de carga; para engrenagens de dentes retos mN = 1
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6.3. Dimensionamento - Critérios de tensões
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
5 - Fator dinâmico - Kv
6.3.1 - Critérios de tensões ou resistência
V
Kv += 3
3 t engrenagens de ferro fundido 
V
Kv += 6
6 t dentes usinados sem muita precisão 
V
Kv ⋅+= 20050
50 t dentes fresados 
V
Kv ⋅+= 20078
78 t dentes retificados de alta precisão 
ndpV ⋅⋅= π
_________________________________________________________________________________________
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onde V = velocidade tangencial no diâmetro primitivo 60
V =
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6.3. Dimensionamento - Critérios de tensões
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
Wt
AGMA =σ JmFKvAGMA ⋅⋅⋅σ
onde: F = largura do dente [mm]
Kv = fator dinâmico
Wt = carga transmitida [N]
m = módulo [mm]
J = fator de forma da AGMA
σAGMA = tensão atuante na raiz do dente [MPa]
_________________________________________________________________________________________
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Prof. Flávio de Marco Filho, D.ScTabela 3 – Valores de Fator de forma da AGMA – J (θ = 20º)
No de
No de dentes da engrenagem acoplada
( )
Para dentes com: Ângulo de pressão (θ) = 20o Adendo (a) = 1 x módulo
Raio de Adoçamento(rf) = 0,3 x módulo Dedendo (b) = 1,25 x módulo
dentes 1 17 25 35 50 85 300 1000
18 0,24486 0,32404 0,33214 0,3384 0,34404 0,3505 0,35594 0,36112
19 0,24794 0,33029 0,33878 0,34537 0,35134 0,35822 0,36405 0,36963
20 0,25072 0,336 0,34485 0,35176 0,35804 0,36532 0,37151 0,37749
21 0,25323 0,34124 0,35044 0,35764 0,36422 0,37186 0,37841 0,38475
22 0,25552 0,34607 0,35559 0,36306 0,36992 0,37792 0,38479 0,39148
24 0,25951 0,35468 0,36477 0,37275 0,38012 0,38877 0,39626 0,4036
26 0,26289 0,36211 0,37272 0,38115 0,38897 0,39821 0,40625 0,41418
28 0,2658 0,3686 0,37967 0,38851 0,39673 0,4065 0,41504 0,42351
30 0,26831 0,37462 0,3858 0,395 0,40359 0,41383 0,42283 0,43179
34 0,27247 0,38394 0,39671 0,40594 0,41517 0,42624 0,43604 0,44586
38 0,27575 0,3917 0,40446 0,4148 0,42456 0,43633 0,4468 0,45735
45 0,28013 0,40223 0,41579 0,42685 0,43735 0,4501 0,46152 0,4731
50 0,28252 0,40808 0,42208 0,43555 0,44448 0,45778 0,46975 0,48193
60 0 28613 0 41702 0 43173 0 44383 0 45542 0 4696 0 48243 0 4955760 0,28613 0,41702 0,43173 0,44383 0,45542 0,4696 0,48243 0,49557
75 0,28979 0,4262 0,44163 0,4544 0,46668 0,48179 0,49554 0,5097
100 0,29353 0,43561 0,4518 0,46527 0,47827 0,49437 0,50909 0,52435
150 0,29738 0,4453 0,46226 0,47645 0,49023 0,50736 0,52312 0,53954
________________________________________________________________________________________43_
300 0,30141 0,45526 0,47304 0,48798 0,50256 0,52078 0,53765 0,55533
Cremalheira 0,30571 0,46554 0,48415 0,49988 0,51529 0,53467 0,55272 0,57173
_______________________________________________________________________________________
Prof. Flávio de Marco Filho, D.ScTabela 4 – Valores de Fator de forma da AGMA – J (θ = 25º)( )
Para dentes com:
- Ângulo de pressão (θ) = 25o
No de 
dentes
No de dentes da engrenagem acoplada 
1 17 25 35 50 85 300 1000 
13 0 28665 0 34684 0 35292 0 35744 0 36138 0 36572 0 36925 0 37251
- Raio de adoçamento (rf) = 0,3 x módulo
- Adendo (a) = 1 x módulo
- Dedendo (b) = 1,25 x módulo
13 0,28665 0,34684 0,35292 0,35744 0,36138 0,36572 0,36925 0,37251 
14 0,29364 0,35924 0,36587 0,37081 0,37514 0,37994 0,38386 0,38749 
15 0,30009 0,37027 0,3774 0,38275 0,38744 0,39267 0,39694 0,40092 
16 0,30558 0,38016 0,38775 0,39346 0,39849 0,40411 0,40873 0,41303 
17 0,31043 0,38907 0,39709 0,40314 0,40849 0,41448 0,41941 0,42402 , , , , , , , ,
18 0,31475 0,39714 0,40556 0,41193 0,41756 0,4239 0,42913 0,43403 
19 0,31862 0,40449 0,41328 0,41994 0,42585 0,4325 0,43801 0,44318 
20 0,32211 0,41121 0,42034 0,42727 0,43344 0,44039 0,44616 0,45159 
21 0,32528 0,41738 0,42682 0,434010,44042 0,44765 0,45367 0,45933 
22 0,32816 0,42306 0,4328 0,44023 0,44686 0,45436 0,4606 0,4665 
24 0,33322 0,43318 0,44346 0,45132 0,45836 0,46635 0,47301 0,47932 
26 0,33752 0,44193 0,45268 0,46093 0,46833 0,47674 0,48378 0,49046 
28 0,34122 0,44957 0,46075 0,46933 0,47705 0,48585 0,49323 0,50023 
30 0,34443 0,45631 0,46785 0,47675 0,48475 0,49389 0,50157 0,50868 
34 0,34976 0,46763 0,47981 0,48923 0,49772 0,50746 0,51566 0,52349 
38 0,354 0,47678 0,48948 0,49933 0,50824 0,51847 0,5271 0,53536 
45 0,35967 0,48919 0,50261 0,51305 0,52252 0,53344 0,54268 0,55154 
50 0,36278 0,49608 0,50991 0,52068 0,53047 0,54177 0,55136 0,56056 
60 0,3675 0,50683 0,52109 0,53238 0,54267 0,55457 0,56469 0,57444 
75 0,37232 0,51747 0,53257 0,5444 0,5552 0,56773 0,57842 0,58873 
100 0,37726 0,5286 0,54436 0,55676 0,5681 0,58129 0,59257 0,60348 
150
_________________________________________________________________________________________
150 0,38237 0,54005 0,55651 0,56951 0,58138 0,59526 0,60716 0,61869 
300 0,38772 0,55185 0,56951 0,58259 0,59507 0,60967 0,62222 0,63442 
Cremalheira 0,39342 0,56405 0,58194 0,59613 0,60921 0,62456 0,63778 0,65068 
 
_______________________________________________________________________________________
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6.3. Dimensionamento - Critérios de tensões
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
VelocidadencialForçaTangePotência ⋅=
PWt =P = Wt x V ⇒
V
Wtt
_________________________________________________________________________________________
45
_______________________________________________________________________________________
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6.3. Dimensionamento - Critérios de tensões
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
Recomendações de projeto:
1º) 3.p ≤ F ≤ 5.p
2º) 2 ≤ FS ≤ 5 (estimativa da tensão admissível)
3º) O d d l di í i j ã3º) Os dados normalmente disponíveis para projeto são:
- Potência transmitida
R t ã- Rotação
- no de dentes e relação de transmissão
Fator de forma- Fator de forma
- Tensão admissível
_________________________________________________________________________________________
46
_______________________________________________________________________________________
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6.3. Dimensionamento - Critérios de tensões - Exemplo
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
1. Um par de engrenagens com redução 4:1 deve transmitir a potência de 75 kW a 
1120 rpm. As engrenagens foram fabricadas em aço SAE 1050 CD, com ângulo de1120 rpm. As engrenagens foram fabricadas em aço SAE 1050 CD, com ângulo de 
pressão (θ) de 20º e folga de 0.25m. Estime o tamanho da engrenagem.
Solução:
- Tabela 1 → θ = 20º e c = 0.25 ⇒ z1 = 18 
 
Dimensão 
 
Fórmula 
ƒ Adendo a = m 
ƒ Dedendo b = 1,25.m 
hk = 2 m
como i = 4 ⇒ z2 = 72
 hk = 2.m
 ht = 2,25.m 
ƒ Espessura do dente t = π.m/2 
ƒ Raio de adoçamento rf = 0,3.m 
ƒ Folga radial mínima c = 0,25.m 
ƒ Folga radial para dentes retificados c 0 35 mƒ Folga radial para dentes retificados c = 0,35.m
ƒ Mínimo no de dentes do pinhão θ = 20º Zp = 18 
θ = 25º Zc = 12 
ƒ Mínimo no de dentes por par θ = 20º Zp + Zc = 36 
θ = 25º Zp + Zc = 24 
_________________________________________________________________________________________
47
ƒ Largura mínima do topo do dente to = 0,25.m
_______________________________________________________________________________________
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6.3. Dimensionamento - Critérios de tensões – Exemplo: (cont)
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
Avaliar 3 módulos: m = 5, 6 e 8
Aço SAE 1050 CD:ç
- Sut = 690 MPa
- Sy = 580 MPa
- HB = 197
Tabela 3:
- J = f(zp = 18 e zc = 72)
- Interpolando:
→
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=→=
=→=
=→=
03505075
(?)72
34404.050
Jz
Jz
Jz
c
c
3481.0=J
⎪⎭=→= 03505075 Jzc
_________________________________________________________________________________________
48
_______________________________________________________________________________________
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6.3. Dimensionamento - Critérios de tensões – Exemplo: (cont)
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
Módulos
no 
Módulos 
 
Equações 
m = 5 m = 6 m = 8 
1 zmdp ⋅= [m] dp1 = 0.09 dp2 = 0.108 dp3 = 0.144 
d
2 
60
nd
v p
⋅⋅= π [m/s] v1 = 5.28 v2 = 6.33 v3 = 8.44 
3 
v
PWt = [kN] Wt1 = 14.20 Wt2 = 11.85 Wt3 = 8.89 
4 
v
Kv ⋅+= 20050
50
 Kv1 = 0.606 Kv2 = 0.584 Kv3 = 0.549 
5 
CS
Sy
adm =σ [MPa] =admσ 145 MPa 
Resposta:
CS
6 Fator de forma J J = 0.3481 
7 
mJK
WF
admv
t
⋅⋅⋅= σ [mm] F1 = 93 F2 = 67 F3 = 40 
Engrenagem de dentes
retos – pinhão
6 admv
8 
Verificação: 
 pFp ⋅≤≤⋅ 53 
z
dp ⋅= π [mm] 
p1 = 15.71 
 
3.p = 47.13 
5.p = 78.55 
p2 = 18.85 
 
3.p = 56.55 
5.p = 94.25 
p3 = 25,13 
 
3.p = 75.4 
5.p = 125.7 
m = 6
z = 18
F = 67 mm
FS 4
_________________________________________________________________________________________
49
9 Avaliação Não Ok!! Não 
 
FS = 4
_______________________________________________________________________________________
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6.3. Dimensionamento – Limite de Fadiga para Engrenagens
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Se = ka x kb x kc x kd x ke x kf x Se’
ka – Fator de Superfíciep
kb – Fator de Tamanho e Dimensão
kc Fator de Confiabilidadekc – Fator de Confiabilidade
kd – Fator de Temperatura
ke – Concentração de Tensões
kf – Efeitos Diversos
⎩⎨
⎧=
700
2/
'
Sut
Se
MPaSut
MPaSut
1400
1400
>
≤
_________________________________________________________________________________________
50
⎩ 700 MPaSut 1400>
_______________________________________________________________________________________
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6.3. Dimensionamento – Limite de Fadiga para Engrenagens
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
ka – Fator de Acabamento Superficial
b
uta Sak ⋅=
ACABAMENTO 
SUPERFICIAL 
Fator a Expoente b [KPSI] [MPa] 
Retificado 1.34 1.58 -0.085 
Usinado ou Laminado a frio 2 70 4 51 -0 265Usinado ou Laminado a frio 2.70 4.51 0.265 
Laminado a quente 14.4 57.7 -0.718 
Forjado 39.9 272 -0.995 
_________________________________________________________________________________________
51
_______________________________________________________________________________________
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6.3. Dimensionamento – Limite de Fadiga para Engrenagens
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
kb – Fator de Tamanho ou Dimensão
Seção circular:
⎩⎨
⎧
⋅= − 097,0189,1
1
d
Kb mmdmm
mmd
2508
8
≤<
≤
Seção circular:
⎩ 189,1 d
d→ dimensão característica
Seção retangular:
2/1)(808.0 bhd ⋅⋅= (1)
_________________________________________________________________________________________
52
_______________________________________________________________________________________
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6.3. Dimensionamento – Limite de Fadiga para Engrenagens
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
kb – Fator de Tamanho ou Dimensão (cont.)
Para dentes de engrenagem pode-se considerar:Para dentes de engrenagem pode se considerar:
h = largura do dente que é metade do passo = t = = π.mz
dp p⋅= π
2
b = espessura do dente = F = 3.p
Substituindo esses valores na equação (1), obtém-se que: d ≈ p = π.m
_________________________________________________________________________________________
53
_______________________________________________________________________________________
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TRANSMISSÃOPOR ENGRENAGENS
6.3. Dimensionamento – Limite de Fadiga para Engrenagens
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
kb – Fator de Tamanho ou Dimensão (cont.)
 
Módulo
 
Fator kb
 
Módulo
 
Fator kbT b l 5 Módulo
 
Fator kb Módulo Fator kb 
1 a 2 1.000 11 0.843 
2.25 0.984 12 0.836 
2 0 974 14 0 824
Tabela 5
Fator de forma – kb - para 
engrenagens cilíndricas de 2 0.974 14 0.824
2.75 0.965 16 0.813 
3 0.956 18 0.804 
3.5 0.942 20 0.796 
4 0 930 22 0 788
engrenagens cilíndricas de 
dentes retos
4 0.930 22 0.788
4.5 0.920 25 0.779 
5 0.910 28 0.770 
5.5 0.902 32 0.760 
6 0 894 36 0 26 0.894 36 0.752
7 0.881 40 0.744 
8 0.870 45 0.736 
9 0.860 50 0.728 
_________________________________________________________________________________________
54
10 0.851
_______________________________________________________________________________________
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6.3. Dimensionamento – Limite de Fadiga para Engrenagens
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
kc – Fator de Confiabilidade
Confiabilidade 
Fator de 
Confiabilidade 
(kc)
0 50 1
Tabela 6 
Fator de confiabilidade – k 0,50 1
0,90 0,897 
0,95 0,868 
0,99 0,814 
Fator de confiabilidade – kc
0,999 0,753 
0,9999 0,702 
0,99999 0,659 
0 999999 0 6200,999999 0,620
0,9999999 0,584 
0,99999999 0,551 
0,999999999 0,520
_________________________________________________________________________________________
55
, ,
_______________________________________________________________________________________
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6.3. Dimensionamento – Limite de Fadiga para Engrenagens
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
kd – Fator de Temperatura
TABELA 13-9 - Fator de temperatura – kd
Kd Temperatura (°C)
1 < 350
0,5 350-500
_________________________________________________________________________________________
56
_______________________________________________________________________________________
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6.3. Dimensionamento – Limite de Fadiga para Engrenagens
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
ke – Fator de Concentração de Tensões
- Já incluído no fator de forma da AGMA - J.Já incluído no fator de forma da AGMA J.
_________________________________________________________________________________________
57
_______________________________________________________________________________________
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6.3. Dimensionamento – Limite de Fadiga para Engrenagens (cont.)
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
kf – Efeitos Diversos
- Engrenagens com sentido de rotação constante o fator kf
varia com a relação entre S e S ’
k f
2=
varia com a relação entre Sut e Se 
⎨⎧ 2/' SutSe
MPaSut 1400≤⇒
Sut
Se
k f '1+ ⎩⎨
=
700
'Se MPaSut 1400>⇒
⎨⎧ 33,1k MPaSut 1400≤⎩⎨ +
=
))/700(1/(2 Sut
k f MPaSut 1400>
_________________________________________________________________________________________
58
_______________________________________________________________________________________
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6.3. Dimensionamento – Limite de Fadiga para Engrenagens (cont.)
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
kf – Efeitos Diversos
- Engrenagens que giram em ambos os sentidos ⇒ kf = 1
_________________________________________________________________________________________
59
f
_______________________________________________________________________________________
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6.3. Dimensionamento – Limite de Fadiga para Engrenagens (cont.)
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
FATORES DE SEGURANÇA:
S- Critério de Tensões:
moAGMA
EST KK
SyFS ⋅⋅= σ
- Critério de Fadiga:
moAGMA
DIN KKSutSe
SutSeFS ⋅⋅⋅+
⋅⋅= σ)(
2
onde:
Se = Limite de resistência à fadiga;
Sy = Tensão de Escoamento;Sy = Tensão de Escoamento;
Sut = Tensão de Ruptura;
Ko = Fator de Sobrecarga;
Km = Fator de Distribuição de Carga.
_________________________________________________________________________________________
60
_______________________________________________________________________________________
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6.3. Dimensionamento - Critérios de tensões – Fatores de Segurança
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
nKKn moG ⋅⋅=
Máquina Movida
Ko Uniforme Impacto Moderado Impacto Pesadoo Uniforme Impacto Moderado Impacto Pesado
Força 
Motriz
Uniforme 1,00 1,25 1,75
Impacto 
1 25 1 50 2 00Leve 1,25 1,50 2,00
Impacto 
Médio 1,50 1,75 2,25Tabela 7
Ko é o fator de correção de sobrecarga 
_________________________________________________________________________________________
61
o é o ato de co eção de sob eca ga
_______________________________________________________________________________________
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3. Dimensionamento - Critérios de tensões – Fatores de Segurança
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
Km Largura do dente
nKKn moG ⋅⋅=
Características 0 – 50 150 225 400+
Montagem acurada, pequena 
deflexão do eixo, 
engrenagem precisas, 1,3 1,4 1,5 1,8engrenagem precisas, 
pequena distância entre 
mancais
1,3 1,4 1,5 1,8
Montagem menos rígida, 
engrenagens menos precisas 1 6 1 7 1 8 2 2g g pmas com contato em toda a 
superfície do dente
1,6 1,7 1,8 2,2
Montagem que permite que o 
contato entre os dentes não 2,2+
T b l 8 seja total
Km é o fator de distribuição da carga no longo do dente 
Tabela 8
_________________________________________________________________________________________
62
m é o ato de d st bu ção da ca ga o o go do de te
_______________________________________________________________________________________
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3. Dimensionamento - Critérios de tensões – Fatores de Segurança
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
G
KK
= ηη⇒nKKn moG ⋅⋅=
Seη
mo KK ⋅moG
AGMA
G ση =
< 2 Baixo
Fatores de Segurança Recomendado 
2 a 5 Médio
> 5 Alto 5
Se = Limite de resistência à fadiga 
_________________________________________________________________________________________
63
_______________________________________________________________________________________
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6.3. Dimensionamento - Critérios de tensões – Exemplo 2
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
2. Baseado em condições de montagem médias, choque moderado na máquina 
d id fi bilid d d 95% d b lh d 400º Cconduzida, confiabilidade de 95% e temperatura de trabalho de 400º C, 
determine os fatores de segurança n e ng contra fadiga, para a engrenagem do 
e ercício anteriorexercício anterior. 
_________________________________________________________________________________________
64
_______________________________________________________________________________________
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6.4. Dimensionamento – Critério de Desgaste Superficial
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1. TEORIA DE HERTZ
lb
Fp ⋅⋅
⋅= π
2
max
onde: 
2
2
2
1
2
1
11
11
2 EEFb
−+−
⋅⋅=
νν
21
11
dd
l +⋅π
_________________________________________________________________________________________
65
_______________________________________________________________________________________
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6.4. Dimensionamento – Desgaste Superficial
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
2. ENGRENAGENS
θcos
tWF =
11θcos
2
2
2
1
21
11cos
rr
F
Wt
H ννθσ −−
+
⋅⋅=d = 2.r
2
2
1
1 11
EE
ννθ +
l = F
pmax = σH
_________________________________________________________________________________________66
_______________________________________________________________________________________
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6.3. Dimensionamento – Desgaste Superficial
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
r1 e r2→ raios das curvaturas instantâneas da involuta no ponto decontato entre os dentes.
2. ENGRENAGENS (cont.)
1 2 p
θsend
21
θsend
r p
⋅=
⎥⎤⎢⎡ +=⎥⎤⎢⎡ +=+ i 1211211
22
θsendr G ⋅=
⎥⎥⎦⎢
⎢
⎣ ⋅
=⎥⎥⎦⎢
⎢
⎣
+=+
pGp disenddsenrr 21 θθ
2
onde: dp e dG→ diâmetros do pinhão e coroa
_________________________________________________________________________________________
67
_______________________________________________________________________________________
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6.3. Dimensionamento – Desgaste Superficial
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
2. ENGRENAGENS (cont.)
tW 11
444 3444 21
321
G
G
P
P
termo
p
t
H
o i
isen
EE
dF 22
1 12
cos11
+⋅
⋅⋅
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+−⋅
⋅⋅−= θθννπ
σ
4444 34444 21 termo
termo
o
o
3
2
⎠⎝
Ö O 2º termo da equação é denominado coeficiente elástico - CÖ O 2 termo da equação é denominado coeficiente elástico - Cp
⎞⎛=pC 22
1
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+−⋅
G
G
P
P
p
EE
22 11 ννπ Ex.: Pinhão e Coroa de Aço ⇒ Cp = 191
(para μ = 0,3; Cp = (MPa)1/2)
_________________________________________________________________________________________
68
(para μ 0,3; Cp (MPa) )
_______________________________________________________________________________________
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6.3. Dimensionamento – Desgaste Superficial
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
2. ENGRENAGENS (cont.)
Ö O 2º termo da equação é denominado coeficiente elástico - CÖ O 2 termo da equação é denominado coeficiente elástico - Cp
⎞⎛=pC 22 11
1
νν
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+−⋅
G
G
P
P
EE
11 ννπ
Tabela 9
- Coeficiente Elástico - Cp [(MPa)1/2] e (μ = 0,3)
 Coroa
 Módulo de 
Elasticidade
E (GPa) 
 
Aço 
Ferro 
Fundido 
Maleável
Ferro 
Fundido 
Nodular 
Ferro 
Fundido 
Cinzento
Ligas de 
Alumínio-
Bronze 
Ligas 
de 
Bronze 
f p [( ) ] (μ , )
P
i
n
h
ã
o
 
Aço 200 191 181 179 174 162 158 
FoFo Maleável 170 181 174 172 168 158 154 
FoFo Nodular 170 179 172 170 166 156 152 
FoFo (Cinzento) 150 174 168 166 163 154 149 
Alumínio-Bronze 120 162 158 156 154 145 141 
_________________________________________________________________________________________
69
Bronze 110 158 154 152 149 141 137 
 
_______________________________________________________________________________________
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6.3. Dimensionamento – Desgaste Superficial
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
2. ENGRENAGENS (cont.)
tW 11
444 3444 21
321
G
G
P
P
termo
p
t
H
o i
isen
EE
dF 22
1 12
cos11
+⋅
⋅⋅
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+−⋅
⋅⋅−= θθννπ
σ
4444 34444 21 termo
termo
o
o
3
2
⎠⎝
Ö O 3º termo da equação é denominado fator geométrico - IÖ O 3 termo da equação é denominado fator geométrico - I
cos ⋅ isenI αα l ã d i ã
12 ±⋅= iI i→ relação de transmissão(+) → engrenagens externas
(–) → engrenagens internas
_________________________________________________________________________________________
70
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3. Dimensionamento – Desgaste Superficial
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
2. ENGRENAGENS (cont.)
tW 11
444 3444 21
321
G
G
P
P
termo
p
t
H
o i
isen
EE
dF 22
1 12
cos11
+⋅
⋅⋅
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+−⋅
⋅⋅−= θθννπ
σ
4444 34444 21 termo
termo
o
o
3
2
⎠⎝
- Substituindo na equação acima e incluindo efeitos dinâmicos - Cv = Kv , vem: q ç v v ,
WC t 78
IdFC
C
pv
t
pH ⋅⋅⋅−=σ VKC vV ⋅+== 20078
78
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71
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3. Dimensionamento – Desgaste Superficial
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3. FADIGA SUPERFICIAL EM DENTES DE ENGRENAGENS
HL CCSS ⋅
RT
HL
CH CC
CCSS ⋅⋅= [MPa] 
Sc→ Resistência ao desgaste superficial para vida de até 108 ciclos 
7076,2 −⋅= HBSC [MPa] (HB é a dureza Brinell do material)
CL = Fator de Vida;
CH = Fator de Relação de Durezas;H ç
CT = Fator de Temperatura;
CR = Fator de Confiabilidade.
_________________________________________________________________________________________
72
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3. Dimensionamento – Desgaste Superficial
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CH – FATOR DE RELAÇÃO DE DUREZAS:
3. FADIGA SUPERFICIAL EM DENTES DE ENGRENAGENS
CH FATOR DE RELAÇÃO DE DUREZAS:
Diferença entre as durezas dos materiais das engrenagens. 
→ engrenagens de dentes retos ⇒ 00,1=HC
CT – FATOR DE TEMPERATURA:
Este fator computa a influência da temperatura na resistência ao desgaste superficial,p p g p ,
mas a recomendação da AGMA para este fator é muito abstrata, afirmando que:
C
Temperatura 
(°C)CT (°C)
1 <120
>1 >120
_________________________________________________________________________________________
73
>1 >120
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3. Dimensionamento – Desgaste Superficial
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CR – FATOR DE CONFIABILIDADE:
3. FADIGA SUPERFICIAL EM DENTES DE ENGRENAGENS
CR FATOR DE CONFIABILIDADE:
Confiabilidade Fator de Confiabilidade (CR) 
Até 0,99 0,80, ,
De 0,99 até 0,999 1,00 
A partir de 0,999 1,25 e acima 
CL – FATOR DE CORREÇÃO PARAAVIDADAENGRENAGEM:
Este fator corrige a influência da VIDA Ciclos de Vida Fator de Vida (CL) f g f
na resistência ao desgaste superficial,
devido a diferença de ciclagem entre
os ensaios.
104 1,5 
105 1,3 
106 1,1 
8
_________________________________________________________________________________________
74
108 (ou maior) 1,0
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3. Dimensionamento – Desgaste Superficial
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4. FATORES DE SEGURANÇA
ηη ⋅⋅=G CC onde: C = K e C = Kηη moG CC onde: Co Ko e Cm Km
Máquina Movida
Ko Uniforme Impacto Moderado Impacto Forte
Força 
Motriz
Uniforme 1,00 1,25 1,75
Impacto 
Leve 1,25 1,50 2,00
Impacto 
Médio 1,50 1,75 2,25
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TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
EXERCÍCIO
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
1. A potência de 60 kW e a rotação de 1720 rpm deve ser transmitida de um
pinhão com 21 dentes para uma coroa, com relação de transmissão 3:1. As
ã f b d AISI 1045 QT 182 C P d dengrenagens são fabricadas em aço AISI 1045 QT 182oC. Para os dados
abaixo determine:
a) a largura (face) das engrenagens pelo critério de tensões da AGMA.) g (f ) g g p
b) os coeficientes de segurança n e nG contra falha por fadiga.
c) os coeficientes de segurança n e nG contra falha por fadiga superficial.
Dados:
- acabamento superficial USINADO.
- confiabilidade: 99%confiabilidade: 99%
- temperatura de trabalho: 100oC- montagem de precisão com choque uniforme (leve) nas máquinas movida e
motora.
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76