Dimensionam de engrenagens cilíndricas com dentes retos

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ASSESSOTEC 
ASSESSORIA TECNICA EM ACIONAMENTOS 
https://sites.google.com/view/calcular-potencia-do-motor 
José Luiz Fevereiro Fone (55-11) 2909.0753 Cel. 9.9606.7789 
e-mail 1: fevereirojl@uol.com.br e-mail 2: fevereirojl@gmail.com 
 
DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS COM DENTES RETOS 
Este não é um trabalho de nível acadêmico mas é pratico e simplificado. Foi elaborado apenas com o intuíto 
de auxiliar projetistas a calcularem de forma rápida um par de engrenagens não seriada. 
Há uma grande diferença em calcular engrenagens cilindricas com dentes helicoidais para uma linha de 
redutores fabricados em série e projetar um par de engrenagens com dentes retos para o acionamento de uma 
ou algumas máquinas especiais. No projeto de redutores, os dados de torque, potência e redução serão 
fornecidos e o usuário deverá saber selecionar o tamanho correto. No caso de engrenagens isoladas, os 
cálculos tem que ter boa segurança porque os dados fornecidos ao projetista são, na maioria das vezes, 
inexatos. Além disso, tem que conhecer a confiabilidade no sistema de fabricação. 
Para mais informações visite os sites 
Para facilitar, faça os cálculos lendo este trabalho ou se quiser poupar tempo utilize a planilha 
 
 
 
Relação de transmissão 
𝑖 =
𝐷2
𝐷1
=
𝑛1
𝑛2
=
𝑍2
𝑍1
 
 - ângulo de pressão 
n - rotações por minuto 
Velocidade periférica 
𝑣 =
𝜋 ∗ 𝐷1 ∗ 𝑛1
60
=
𝜋 ∗ 𝐷2 ∗ 𝑛2
60
= 𝑚/𝑠 
Diâmetro primitivo 
𝐷1 =
𝐶 ∗ 2
𝑖 + 1
 ∴ 𝐷2 = 2 ∗ 𝐶 − 𝐷1
 
 
 
𝐷𝑝 = 𝑚 ∗ 𝑍 
módulo 
𝑚 =
𝐷𝑝
𝑍 
passo 𝑝 = 𝑚 ∗ 𝜋 
a = m 
𝑑 = 1,25 ∗ 𝑚 
espessura do dente 
22


mp
e
 
raio de concordância mr  3,0
 
b - largura do dente 
 
Fórmula para cálculo do módulo 
 
𝑚 = 52 (√
𝑁 ∗ 𝑔 ∗ 10
𝜆 ∗ 𝑍 ∗ 𝑛 ∗ 𝜎𝑓
3
) = 𝑚𝑚 
 
N - potência em CV 
f -Tensão admissível a flexão do material – kgf/mm² 
n - número de rotações por minuto 
Z - número de dentes. 
 
 λ = Relação entre largura da engrenagem e módulo: 






m
b
 
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1RAOb-T8z-vHXRhGMo581nXIMW9LECLKfupYFc9XexHY/edit#gid=0
-- para engrenagens de ferro fundido – 6 
-- para engrenagens de dentes cortados – 10 
-- para engrenagens com dentes fresados e alinhamento perfeito dos mancais -15 a 25 
Z – Número de dentes estimado 
 mínimo 18 dentes para engrenagens de qualidade e ângulo de pressão 20° 
 mínimo 24 dentes para engrenagens de baixa qualidade. 
 
Valores de g 
Coeficiente variável em função do número de dentes e do ângulo de pressão  
Número de 
dentes 
g Número de 
dentes 
g 
20° 15° 20° 15° 
12 4,6 - 24 3,2 4,13 
13 4,35 5,38 28 3,1 3,9 
14 4,1 5,22 34 3,0 3,7 
15 3,9 5,07 40 2,9 3,5 
16 3,75 4,93 50 2,8 3,4 
17 3.6 4,80 65 2,7 3,27 
 
CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DOS MATERIAIS 
Tabela extraída de material da FEI 
Aços carbono - Características mecânicas e tensões admissíveis 
 ABNT1010 ABNT1020 ABNT1030 ABNT1040 ABNT1050 
Características mecânicas - kgf/mm² 
 Lamin 
quente 
Estir. 
a frio 
Lamin 
quente 
Estir. 
a frio 
Lamin 
quente 
Estir. 
a frio 
Lamin 
quente 
Estir. 
a frio 
Lamin 
quente 
Estir. 
a frio 
rupt 33 37 39 43 48 53 53 60 63 70 
esc 18 31 21 36 26 45 29 50 55 59 
Along.* 28 20 25 15 20 12 18 12 15 10 
 95 105 111 121 137 149 149 170 179 197 
Solicit. Tensões admissíveis em kgf/mm² 
 
Flex
ão 
1 8,5 11,0 11,0 15,0 14,5 17,0 16,5 23,0 22,0 24,0 
2 5,5 7,0 7,0 10,0 9,5 11,0 10,5 15,0 14,0 16,0 
3 4,0 5,0 5,0 7,0 6,5 8,0 7,5 10,5 9,5 11,5 
 
 
Para o cálculo do módulo e da resistência no pé do dente das engrenagens, quando estas trabalham num 
único sentido de rotação, considerar os valores de tensão admissível a flexão com cargas intermitentes 
 (linha 2). Para engrenagens que trabalham nos dois sentidos, considerar os valores da linha 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TENSÕES ADMISSÍVEIS A FLEXÃO PARA OUTROS MATERIAIS 
 
Carregamento intermitente 
MATERIAL Kgf/mm² Módulo de 
elasticidade 
Aço fundido 9,5 
Bronze comum 6 
Bronze fosforoso 8 12kgf/mm² 
 
Módulos normalizados 
 
 
Módulos mais utilizados: 1 – 1,25 – 1,5 – 2 – 2,25 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 10 – 12 – 16 
20 -25 – 32 – 40 – 50 mm 
 
Dimensionamento 
O dimensionamento dos dentes das engrenagens deve obedecer a dois critérios 
-- resistência a flexão do pé do dente 
-- degaste do dente (pressão, contato e pitting) 
 
Resistência a flexão do pé do dente. Cálculo da tensão atuante. 
Opção de cálculo 1 – Esta opção deve ser utilizada com projeto de baixa qualidade, mancais que não 
garantem o perfeito paralelismo entre os eixos, engrenagens cortadas e fundidas 
 
𝜎 =
𝐹 ∗ 𝐾𝑣 ∗ 𝐾𝑜 ∗ 𝐾𝑚
𝑚 ∗ 𝑏 ∗ 𝐽
 
𝐹𝑡 =
𝑀𝑡 ∗ 2
𝐷
 
𝐹 = 𝐹𝑡 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝑀𝑡 =
716,2 ∗ 𝑁
𝑛
= 𝑘𝑔𝑓𝑚 
 - ângulo de pressão 
b – largura do dente 
 
 
 
Fator J - relativo a geometria do dente 
Extraído da apostila do professor Dr. Auteliano Antunes dos Santos Jr. - Unicamp 
 
 
A curva inferior deve ser utilizada para projeto de baixa qualidade onde é possível não haver contato 
perfeito em toda largura do dente. 
Curvas superiores devem ser utilizadas para alta qualidade de projeto e raio de concordância no pé do dente. 
O projeto dos eixos e mancais deve garantir o contato em toda a largura do dente. 
 
Fator dinâmico Kv 
engrenagens de ferro fundido 𝐾𝑣 =
3 + 𝑣
3
 
engrenagens com dentes usinados sem precisão 𝐾𝑣 =
6 + 𝑣
6
 
engrenagens com dentes fresados com precisão 𝐾𝑣 =
50 + √200 ∗ 𝑣
50
 
engrenagens com dentes retificados 𝐾𝑣 =
78 + √200 ∗ 𝑣
78
 
 
Opção de consulta para o fator dinâmico Kv 
 
E  D -- Engrenagem cortada, sem precisão 
D  C -- Engrenagem fresada ou cortada, com precisão 
C  B -- Engrenagem rasqueteada (shaved) e polida. Mancais e alinhamento dos eixos com precisão 
  A -- Engrenagem rasqueteada (shaved) e polida. Mancais e alinhamento dos eixos com alta precisão 
http://www.fem.unicamp.br/~lafer/em718/arquivos/engrenagens_cilindricas_dentes_retos.pdf
Fator Ko - baseado nos impactos gerados pelo sistema de motorização e maquina movida. 
Acionamento 
Classificação de cargas maquina movida 
Uniforme Choques moderados Choques fortes 
Motor elétrico 
Turbina a vapor 
1,00 1,25 1,75 
Motor a explosão 
Motor hidráulico 
1,50 1,75 2,25 
 
Fator Km - distribuição de carga sobre o dente, baseado na qualidade de construção das engrenagens, eixos 
e mancais. 
Fator Km Largura do dente em mm 
Características 0 - 50 até 150 até 225 até 400 
Eixos bem dimensionados com mínima distância entre 
mancais. Engrenagens precisas e montagem correta 
1,3 1,4 1,5 1,8 
Engrenagens e montagem menos precisas mas com 
contato em toda largura do dente 
1,6 1,7 1,8 2,2 
Falta de contato total entre os dentes >2,2 
 
 
Verificação do desgaste dos dentes. Durabilidade 
A pressão específica sobre os dentes não é somente o único fator a ser considerado nos cálculos da 
resistência dos dentes ao desgaste. Engrenagens envoltas somente por proteções de segurança, normalmente 
lubrificadas por graxa, pegam muito pó que danifica o contato. Em engrenagens fechadas dentro de uma 
caixa, a presença de partículas estranhas no óleo lubrificante, ou vindas do próprio desgaste das engrenagens 
e rolamentos, pode causar abrasão nas superfícies dos dentes. Também é necessário prever manutenção 
adequada de limpeza e troca do lubrificante para aumentar a durabilidade das engrenagens. 
A equação a seguir, garante o número de horas previsto para o bom funcionamento dos dentes, apenas se 
houver o contato total entre os mesmos e, neste caso, não adianta aumentar a largura b para melhorar o 
resultado. Temperar as engrenagens após cortar ou fresar para aumentar a dureza, irá deformar os dentes 
prejudicando o contato total, mesmo com bom alinhamento dos mancais e, nesse caso, haverá necessidade 
de retíficar o perfil dos dentes. 
Esta equação utilizaa formulação de Hertz para dois cilindros em contato. 
𝑏 ∗ 𝐷2 ≥
4,5 ∗ 106 ∗ 𝑁 ∗ (𝑖 ± 1)
𝑘 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖
= 𝑚𝑚³ 
O valor de b*D² representa o volume mínimo do pinhão necessário para transmitir a potência 
N (CV), a uma rotação n, sob pressão k 
Relação 𝐵/𝐷 ≤ 1,2 para pinhão apoiado entre dois mancais 
Relação 𝐵/𝐷 ≤ 0,7 para pinhão em balanço. Exemplo: eixo de motores e eixo de saída de redutores sem o 
apoio de um segundo mancal 
Em (𝒊 ± 𝟏), o sinal positivo é utilizado para engrenamento externo e sinal negativo para engrenamento 
interno 
O valor de k obtem-se em função da dureza do material, da rpm e durabilidade (em horas) 
𝑘 =
8,7 ∗ 𝐻𝐵²
(𝑛 ∗ ℎ)
1
3
(
1
𝐸1
+
1
𝐸2
) = 𝑘𝑔𝑓/𝑚𝑚² 
HB – dureza Brinnell no flanco do dente (kgf/mm²) 
h – durabilidade desejada para as engrenagens em horas 
𝑬𝟏, 𝑬𝟐 – módulo de elasticidade do material de cada engrenagem (kgf/mm²). Para o aço 21000kgf/mm² 
i – relação de transmissão 
Informações sobre o perfil do dente conforme ZF 
 
 
 
 
 
 
Comparação entre os deslocamentos de perfil positivo e perfil negativo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fator de deslocamento do perfil x 
 
Deslocamento de perfil negativo enfraquece a resistência do pé do dente principalmente com baixo número 
de dentes. Deslocamento de perfil positivo, excessivo, exige maior número de dentes dificultando grandes 
reduções para um único par de engrenagens considerando a mesma distância de entre centros dos eixos. 
 
Ângulo de pressão 
A seleção de maior ângulo de pressão favorece a resistência do pé do dente mas há limites. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de dimensionamento de engrenagens: 
Dimensionar um par de engrenagens cilíndricas de dentes retos para acionamento de uma bobinadeira. 
Considerar acionamento nos dois sentidos de rotação. 
Dados: 
N = 20CV C = 500mm n1 = 175rpm n2 = 70rpm = 20° Durabilidade: 10000 horas 
Material das engrenagens: Aço 1040 trefilado. Tensão admissível a flexão do materialkgf/mm². 
Dureza: 170HB 
 
Relação de transmissão 
𝑖 =
𝑛2
𝑛1
=
70
175
= 2,5 
Diâmetros primitivos 
 
mmDCD
mm
i
C
D
DD
mmC
71528525002
2857,285
15,2
2500
1
2
2
500
12
1
21










 
Z1 - Número de dentes estimado do pinhão. Selecionado 24 dentes 
Z2 - Número de dentes da coroa 𝑍2 = 𝑍1 ∗ 𝑖 = 24 ∗ 2,5 = 60 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
Relação 𝜆 = 𝑏 𝑚⁄ = 20 Valor de g = 3,2 conforme tabela 
 
Cálculo do módulo 
𝑚 = 52 (√
𝑁 ∗ 𝑔 ∗ 10
𝜆 ∗ 𝑍 ∗ 𝑛 ∗ 𝜎𝑓
3
) = 52 (√
20 ∗ 3,2 ∗ 10
20 ∗ 24 ∗ 175 ∗ 10,5
3
) = 4,67𝑚𝑚 → 5𝑚𝑚 
 
Passo 𝑚 ∗ 𝜋 = 5 ∗ 3,1416 = 15,708𝑚𝑚 
Correção do número de dentes 
𝑍1 =
𝐷1
𝑚
=
285
5
= 57 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
 
𝑍2 =
𝐷2
𝑚
=
715
5
= 143 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
 
Cálculo da tensão atuante no pé do dente do pinhão. Verificação da tensão admissível 
 
Momento de torção 
𝑀𝑡1 =
716,2 ∗ 𝑁
𝑛
=
716,2 ∗ 20
175
= 81,85𝑘𝑔𝑓𝑚 
Velocidade periférica sm
nD
v /6,2
60
175285,0
60
11 





 
𝐹𝑡 =
𝑀𝑡 ∗ 2
𝐷
=
81,85𝑘𝑔𝑓𝑚 ∗ 2
0,285𝑚
= 574,4𝑘𝑔𝑓 
𝐹 = 𝐹𝑡 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 574,4 ∗ 𝑐𝑜𝑠20 = 574,4 ∗ 0,939 = 539,3𝑘𝑔𝑓 
𝑏 = 𝑚 ∗ 20 = 5 ∗ 20 = 100𝑚𝑚 
Valor de Kv para engrenagens cortadas sem precisão no alinhamento 
dos mancais 
𝐾𝑣 =
6 + 2,5
6
= 1,42 
 
 
Fator J - relativo a geometria do dente 
 
𝐽 = 0,45 conforme gráfico 
 
𝜎 =
𝐹 ∗ 𝐾𝑣 ∗ 𝐾𝑜 ∗ 𝐾𝑚
𝑚 ∗ 𝑏 ∗ 𝐽
=
539,3 ∗ 1,42 ∗ 1,4 ∗ 1,25
5 ∗ 100 ∗ 0,45
= 5,95𝑘𝑔𝑓/𝑚𝑚² 
Conclusão: Boa segurança porque a tensão admissível do material é maior do que a tensão atuante. 
 
Verificação das tensões devidas aos contatos entre os dentes 
E - Módulo de elasticidade para o aço = 21000kgf/mm² 
 
𝑘 =
8,7 ∗ 𝐻𝐵²
√𝑛 ∗ ℎ
3 (
1
𝐸1
+
1
𝐸2
) =
8,7 ∗ 170²
√175 ∗ 10000
3 (
1
21000
+
1
21000
) = 0,198𝑘𝑔𝑓/𝑚𝑚² 
 
4,5 ∗ 106 ∗ 𝑁 ∗ (𝑖 + 1)
𝑘 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖
=
4,5 ∗ 106 ∗ 20 ∗ (2,5 + 1)
0,198 ∗ 175 ∗ 2,5
= 3636363𝑚𝑚³ 
𝑏 ∗ 𝐷2 = 100 ∗ 2852 = 8122500𝑚𝑚³ 
8122500𝑚𝑚³ > 3636363𝑚𝑚³ 
 
Sites para consulta 
https://www.mesys.ch/calc/helicalgear.fcgi?lang=en 
No site a seguir, os cálculos estão de acordo com norma AGMA mas faltam algumas informações para 
completar os cálculos 
http://www.fem.unicamp.br/~lafer/em718/arquivos/engrenagens_cilindricas_dentes_retos.pdf 
Neste site os cálculos estão completos e de acordo com norma DIN 
http://www.automotiva-poliusp.org.br/wp-content/uploads/2013/02/castro_ricardo.pdf 
Sistemas modernos de corte de engrenagens 
https://www.sandvik.coromant.com/pt-pt/knowledge/milling/pages/gear-manufacturing.aspx 
 
José Luiz Fevereiro 
Janeiro 2019 
https://www.mesys.ch/calc/helicalgear.fcgi?lang=en
http://www.fem.unicamp.br/~lafer/em718/arquivos/engrenagens_cilindricas_dentes_retos.pdf
http://www.automotiva-poliusp.org.br/wp-content/uploads/2013/02/castro_ricardo.pdf
https://www.sandvik.coromant.com/pt-pt/knowledge/milling/pages/gear-manufacturing.aspx