Elementos de Máquinas II Engrenagens (Parte II)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Departamento de Engenharia Mecânica
 
r
e
n
a
g
e
n
s
 
 
I
I
 
-
E
n
g
r
M
á
q
u
i
n
a
s
 
n
t
o
s
 
d
e
 
M
E
l
e
m
e
n
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REDUTORES DE ENGRENAGENSREDUTORES DE ENGRENAGENS
4. Engrenagens Helicoidais
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4
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4. Engrenagens
H li id iHelicoidais
Redutor de velocidades
com engrenagens helicoidais
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g g
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Redutor de velocidades
com engrenagens helicoidais
tipo “espinha de peixe”tipo espinha de peixe
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4. Engrenagens Helicoidais
Eixos cruzados Eixos paralelos
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Eixos cruzados Eixos paralelos
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4. Engrenagens Helicoidais
1. Características da transmissão
1. O engrenamento é gradual. 
O contato inicial é um PONTO. A medida que os dentes vão se 
engrenando torna-se uma linha 
Lc
diagonal à face. Linha de contato gradual
Lc
2. A transmissão suave da carga permite que sejam transmitidas grandes
potências em altas rotações.
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4. Engrenagens Helicoidais
1. Características da transmissão
3 O formato do dente é um perfil envolvental helicoidal3. O formato do dente é um perfil envolvental helicoidal.
4. As cargas são tridimensionais, pois os dentes não são paralelos 
ao eixo de rotação, sendo este submetido à esforços radiais e axiais.
- Aconselha-se a utilização de mancais que suportem carga axial- Aconselha-se a utilização de mancais que suportem carga axial
(rolamentos contato angular ou de rolos cônicos).
- A utilização de engrenagens helicoidais duplas (espinha de peixe) elimina este problema.
- Quando 2 ou mais engrenagens helicoidais são montadas no mesmo eixo, as inclinações
de hélice devem ser selecionadas de modo a gerar o menor carregamento possível.
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4. Engrenagens Helicoidais
2. Nomenclatura
pt
t
pn - passo circular normal
pt - passo circular transversal
t
p
x
A
px - passo circular axial
φn - ângulo de pressão normal A
pφt - ângulo de pressão tangencial
ψ - ângulo de hélice (15º; 25º; 30º; 45º)
pn
n
Corte A-A
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4. Engrenagens Helicoidais
2. Nomenclatura
( )ψcos⋅= tn pp ptt( )ψtn pp
( )ψtg
p
p tx =
t
p
x
A
( )ψtg
( ) ( )( )t
n
φ
φψ
tan
tan
cos = A
p( )tφ pn
'z
dPp nn
⋅=⋅= ππ
n
Corte A-A( )ψ3cos'
zz =
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( )ψ
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4. Engrenagens Helicoidais
3. Análise dos Esforços
W – Esforço transmitidoW Esforço transmitido
Wt – esforço tangencial
W esforço radialWr – esforço radial
Wa – esforço axial
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3. Análise dos Esforços
W – Esforço transmitido
Wt – esforço tangencial
W
Wr – esforço radial
Wa – esforço axial
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4. Engrenagens Helicoidais
3. Análise dos Esforços
W
WW
Ot On Wr( )senWW φ=
Wt
Wa( ) ( )ψφ senWW na ⋅⋅= cos
( )nr senWW φ⋅=
a
( ) ( )ψφ coscos ⋅⋅= nt WW
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4. Engrenagens Helicoidais
3. Análise dos Esforços
W( )nr senWW φ⋅= ( )n
r
sen
WW φ=⇒ (1)
( ) ( )ψφ senWW na ⋅⋅= cos (2)( ) ( )φ
WW a=⇒( ) ( )ψφna ( ) ( )ψφ senn ⋅cos
( ) ( )ψφ coscos ⋅⋅= nt WW ( ) ( )ψφ coscos ⋅=⇒ n
tWW (3)
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4. Engrenagens Helicoidais
3. Análise dos Esforços
i l d (2) (3)- igualando-se (2) e (3), vem:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
876
φ
ψφ
φφ
ψ
cos ⋅⋅=⇒=
tg
n
ta
ta senWWWW ⇒ ( )ψtan⋅= taWW( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )321 ψφψφψφ coscoscoscoscos ⋅⋅⋅ ntann sen
- igualando-se (1) e (3), vem:
( ) ( ) ⇒⋅=⋅=⇒= nntr WsenWWWW φφ tan ( )WW φtan⋅=( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
⇒=⋅=⇒⋅= 321
t
t
n
tr
nn
WWW
sen
φ
ψψφψφφ
tan
coscoscoscoscos
( )ttr WW φtan=
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4. Engrenagens Helicoidais
Exemplo:
A figura abaixo mostra uma transmissão composta de um motor de 0.75 kW ,A figura abaixo mostra uma transmissão composta de um motor de 0.75 kW ,
girando a 1800 rpm no sentido horário de x+. A transmissão e feita através
de engrenagens helicoidais com as seguintes características:
zp =18; zc = 36 Coroap ; cφn = 20ºψ = 30º
mn = 2 mm
y
n
Determine:
a) cargas atuantes no pinhão;
b) as reações nos mancais em A e B Motor
A
B
x+
C
b) as reações nos mancais em A e B. PinhãoMotor
250 75
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250 75
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4. Engrenagens Helicoidais
vWP t ⋅= PWt = ==⇒ 923
750
tW 191 N
Solução: Cálculo das cargas no pinhão
t vt 92.3t
nd ⋅⋅π ×× 18000416.0π 3 92 / (d ?)
60
v = ==
60
3.92 m/s
zmd ⋅= =×= 18312 41 6 mm
(d = ?)
(m = ?)zmd p =×= 1831.2 41.6 mm
( )n
m
m = ( ) == o302 2.31 mm
(m ?)
( )ψcos ( )o30cos
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4. Engrenagens Helicoidais
( )WW φtan=
Wt = 191 NSolução: Cálculo das cargas (cont.)
y
( )ttr WW φtan⋅=
( )ψtan⋅= ta WW
250 rz C
A
p
Wt
( )ψta
= tWW z
75B
C( ) ( )ψφ coscos ⋅= nW
x+
22.8o( ) ( )( )
( )
( )
( )( ) =⇒⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⇒= tnt
t
n tgarctg
tg
arctg
tg
tg φψ
φφφ
φψ o
o
30cos
20cos
cos
cos
_________________________________________________________________________________________
20
( )⎠⎝
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4. Engrenagens Helicoidais
Solução: Cálculo das cargas (cont.)
( )ttr WW φtan⋅= ( ) =⇒×= rWtg o8.22191 80.3 N
y
( )ttr ( ) rg
( ) =⋅= ψtanta WW
( ) =⇒×= Wtg o30191 110 3 N W
250 rz C
A
p
Wt
( ) =⇒×= aWtg 30191 110.3 N Wr
W
z
75B
C
( ) ( ) =⋅= ψφ coscos n
tWW
Wa
x+( ) ( ) =⇒⋅= Woo 30cos20cos
191 235 N
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4. Engrenagens Helicoidais
Solução: Cálculo das reações nos apoios - Diagrama de corpo livre.
di ã ti l ( ) yy FF
y
- direção vertical (xy): yB
y
A FeF ⋅⋅
Forças:
Wy
250 rz C
A
p
NWFF r
y
B
y
A 3.80==+
WrFA
y
z
75B
C
Momentos (ponto A):
0)250()75250( =⋅++−⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛⋅ yBp FW
d
W
y
AF
x+
0)250()75250(
2
++⎟⎟⎠⎜
⎜
⎝ Bra
FWW
NF yB 2.95=
y
BF
NF yA 9.14−=
FB
y
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22
B A
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Solução: Cálculo das reações nos apoios - Diagrama de corpo livre.
di ã ti l ( ) zz FF
y
- direção vertical (xz):
Forças:
WFA
y
z
B
z
A FeF ⋅⋅
250 rz C
A
p
WrNWFF t
z
B
z
A 191==+ FAz Wt
z
75B
C
Momentos (ponto A):
( ) 0)2500(3250 =−⋅ ZFW
z
AF
z
BF
z
x+
FB
y
( ) 0)250.0(325.0 =−⋅ Bt FW
NF zB 3.248= NF zA 3.57−=
FB
z
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NFB 3.248 A
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4. Engrenagens Helicoidais
Solução: Cálculo das reações nos apoios - Diagrama de corpo livre.
( ) ( )[ ] 5022( ) ( )[ ] =+= 5.022 YAzA FFR A
( ) ( ) =+= 22 9.143.57 WFy
RA
y
( ) ( )
RA = 59.2 N
C
Wr
tW
FA
FA
z
250
A
rpz( ) ( )[ ] =+= 5.022 YBzB FFR B
( ) ( )22
B
C
Wa75
FB
z
pz
T
( ) ( ) =+= 22 2.953.248
RB = 266 N
FB
y
R
x+
_________________________________________________________________________________________
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RB
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4. Engrenagens Helicoidais
Solução: Cálculo das reações nos apoios - Diagrama de corpo livre.
di ã i l
WF
y
RA
y
- direção axial:
=== axBxA WFF 110.3 N
C
Wr
tW
FA
FA
z
250
A
rpz
FA
x
B
C
Wa75
FB
z
pz
T
FB
y
R
x+
_________________________________________________________________________________________
25
RB
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4. Engrenagens Helicoidais
Solução: Cálculo do torque transmitido
WFA
y
RA
y=⋅= pt rWT
04160
C
Wr
tW
FA
FA
z
250
A
rpz
⇒×=
2
0416.0191
FA
x
B
C
Wa75
FB
z
z
TT = 3.95 N.m
FB
y
R
x+
_________________________________________________________________________________________
26
RB
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4. Engrenagens Helicoidais
4. Dimensionamento
1. Critério de tensões:
mJFK
Wt=σ
mJFKV ⋅⋅⋅
ψcos
nmm =onde: onde: mn l módulo normal
l Fator dinâmico
V
Kv ⋅+= 20078
78
F l Face ou largura do dente
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4. Engrenagens Helicoidais
4. Dimensionamento
1. Critério de tensões:
J = Jz=75 xMJ
Gráfico (a)
Gráfico (b)
Gráfico (a) l Fator geométrico J paraGráfico (a) Fator geométrico J para 
engrenagens acopladas 
a outra com z = 75 dentes.
G áfi (b) F t lti li d MGráfico (b) l Fator multiplicador MJ para 
engrenagens acopladas 
a outra com z ≠ 75 dentes.
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4. Engrenagens Helicoidais
4. Dimensionamento
2. Critério de Desgaste:
IdFC
WC tpH −=σ IdFC pv ⋅⋅⋅
V
KC vV +== 20078
78
V⋅+ 20078
cos ⋅⋅= isenI tt φφ pNl passo circular normal da base12 ±⋅ imN
pm NN =
pN p
nnN pp φcos⋅=
lZ
mN ⋅95.0
Comprimento da linha de ação 
l t l
_________________________________________________________________________________________29
no plano transversal
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4. Engrenagens Helicoidais
4. Dimensionamento
2. Critério de Desgaste:
443442144 344 2144 344 21l
)3()2(
22
)1(
22 )()()( tcpbccbpp senrrrarrarZ φ+−−++−+=
Se (1) > (3) ⇒ ZR = (2)
)3()2()1(
Se (2) > (3) ⇒ ZR = (1)
Se (1) e (2) < (3) ⇒ ZR = (1) + (2) – (3)
_________________________________________________________________________________________
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4. Engrenagens Helicoidais
4. Dimensionamento
2. Critério de Desgaste: HLCH CC
CCSS ⋅
⋅⋅=
RT CC
[ ]
[ ]HBdld
HBpinhão_do_material_durezaK = [ ]HBcoroa_da_material_dureza
OBS.: 
1) se K < 1.2 ⇒ CH = 1
2) C C C = E C D R2) CL, CT, CR = E.C.D.R
_________________________________________________________________________________________
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4. Engrenagens Helicoidais
4. Dimensionamento – Fatores de segurança.
Tensões:
Sen- Tensões: σnG =
Se = k x k x k x k x k x k x Se’Se = ka x kb x kc x kd x ke x kf x Se
n
m
G
KK
nn ⋅= 0
Km→ fator de distribuição de carga 
K0→ fator para a sobrecarga – (idem E.C.D.R)
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4. Engrenagens Helicoidais
4. Dimensionamento – Fatores de segurança.
Km LARGURA DO DENTE 
 
Características 0 – 50 150 225 400 + 
Montagem acurada, pequenaMontagem acurada, pequena 
deflexão do eixo, engrenagem 
precisas, pequena distância 
entre mancais. 
1,2 1,3 1,4 1,7 
Montagem menos rígida, 
iengrenagens menos precisas, 
mas com contato em toda a 
superfície do dente. 
1,5 1,6 1,7 2,0 
Montagem que permite que o 
contato entre os dentes não seja 2 0 +contato entre os dentes não seja 
total. 
2,0 +
Tabela 1 - Km→ fator de distribuição de carga 
_________________________________________________________________________________________
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4. Engrenagens Helicoidais
4. Dimensionamento – Fatores de segurança.
- Desgaste superficial: tpW- Desgaste superficial:
t
p
G W
n =
S ⎞⎛ 2 IdpFKv
Cp
S
W Hpt ⋅⋅⋅⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=,
m
G
CC
nn ⋅= 0
C0→ idem E.C.D.R.
Cm = Km
_________________________________________________________________________________________
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4. Engrenagens Helicoidais (cont.)
Exercício:
Um motor transmite a potência de 75 kW a 1120 rpm, através de
h li id i A t í ti d t i ã ãengrenagens helicoidais. As características da transmissão são:
- Redução 4:1 (i = 0.25) - Face (F) = 80 mm
Mód l l ( ) 4 Â l d ã l (φ ) 20º- Módulo normal (mn) = 4 - Ângulo de pressão normal (φn) = 20º 
- Número de dentes do pinhão (zp) = 18 - Ângulo de hélice (ψ) = 30º
- Material: Aço 1CrMo 308M40 H&T - Confiabilidade (R) = 95%ç ( )
- Condições de montagem médias e choque moderado na máquina conduzida.
- Dentes usinados; temperatura ambiente
Determine: 
a) os fatores n e nG contra falha por fadiga
b) os fatores n e nG contra desgaste superficial
_________________________________________________________________________________________
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b) os fatores n e nG contra desgaste superficial
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4. Engrenagens Helicoidais (cont.)
Exercício (cont.):
Solução:
Sut = 780 MPa
- Material: Aço 1CrMo 308M40 H&T:
Sut 780 MPa
Sy = 525 MPa
HB = 235
a) σ
SenG = σ
Gnn =
mKK ⋅0
_________________________________________________________________________________________
36
_______________________________________________________________________________________
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4. Engrenagens Helicoidais (cont.)
Solução: a) os fatores n e ng contra falha por fadiga
- Cálculo da tensão atuante -σ: Wtσ
mJFKV
t
⋅⋅⋅=σ
vWP t ⋅= PWt = ==⇒ 75000tW 15380 Nt vt ⇒ 88.4tW
nd ⋅⋅π ×× 112008314.0π 4 875 /
60
v = ==
60
4.875 m/s
zmd ⋅= d = 83 14 mm4 619 x 18⇒zmd p dp 83.14 mm
( )n
m
m = ( ) == o304 4.619 mm
4.619 x 18 ⇒
_________________________________________________________________________________________
37
( )ψcos ( )o30cos
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4. Engrenagens Helicoidais (cont.)
Solução:
- Cálculo da tensão atuante -σ:
mJFK
W
V
t
⋅⋅⋅=σ
J75 = 0.43
V
K = 78 K 0 845VKv ⋅+= 20078
v = 4.88 m/s
⇒ Kv = 0.845
MJ = 0.99
J = Jz=75 x MJ J = 0.426= 0.43 x 0.99 ⇒
_________________________________________________________________________________________
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_______________________________________________________________________________________
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4. Engrenagens Helicoidais (cont.)
Solução: a) os fatores n e ng contra falha por fadiga
- Cálculo da tensão atuante -σ: Wt=σ- Cálculo da tensão atuante -σ:
mJFKV ⋅⋅⋅
=σ
Assim,
Wt = 15380 N
m = 4.62 mm 15380Wt
Kv = 0.845
J = 0 426
⇒×××=⋅⋅⋅= 62.4426.080845.0mJFKv
tσ
J = 0.426 σ = 115.6 MPa
_________________________________________________________________________________________
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4. Engrenagens Helicoidais (cont.)
Solução: a) os fatores n e ng contra falha por fadiga
- Cálculo do limite de resistência à fadiga - Se:
Se = ka x kb x kc x kd x ke x kf x Se’
bSk
1. Fator de acabamento superficial - ka:
b
uta Sak ⋅= = 4.51 (780)-0.265⇒ ka = 0.772
(dentes usinados)
ACABAMENTO
SUPERFICIAL 
Fator a Expoente b [KPSI] [MPa] 
Retificado 1.34 1.58 -0.085 
Usinado ou Laminado a frio 2.70 4.51 -0.265 
Laminado a quente 14.4 57.7 -0.718 
( )
_________________________________________________________________________________________
40
q
Forjado 39.9 272 -0.995 
_______________________________________________________________________________________
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4. Engrenagens Helicoidais (cont.)
Solução: a) os fatores n e ng contra falha por fadiga
- Cálculo do limite de resistência à fadiga - Se:
2. Fator de dimensão - kb:
 
Módulo 
 
 
Fator kb
 
Módulo 
 
Fator kb 
1 a 2 1.000 11 0.8431 a 2 1.000 11 0.843 
2.25 0.984 12 0.836 
2 0.974 14 0.824 
2.75 0.965 16 0.813 
3 0.956 18 0.804 
mn = 4 mm ⇒ kb = 0.93
3.5 0.942 20 0.796 
4 0.930 22 0.788 
4.5 0.920 25 0.779 
5 0.910 28 0.770 
5 5 0 902 32 0 7605.5 0.902 32 0.760 
6 0.894 36 0.752 
7 0.881 40 0.744 
8 0.870 45 0.736 
9 0.860 50 0.728 
_________________________________________________________________________________________41
10 0.851 
_______________________________________________________________________________________
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4. Engrenagens Helicoidais (cont.)
Solução: a) os fatores n e ng contra falha por fadiga
- Cálculo do limite de resistência à fadiga - Se:
3. Fator de confiabilidade - kc: Confiabilidade 
Fator de 
Confiabilidade 
(kc) 
0,50 1
0,90 0,897 
0,95 0,868 
0,99 0,814 
0 999 0 753
R = 0.95% ⇒ kc = 0.868
4. Fator de temperatura - kd:
0,999 0,753
0,9999 0,702 
0,99999 0,659 
0,999999 0,620 
0,9999999 0,5840,9999999 0,584
0,99999999 0,551 
0,999999999 0,520 T < 350º C ⇒ kd = 1
_________________________________________________________________________________________
42
_______________________________________________________________________________________
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Solução: a) os fatores n e ng contra falha por fadiga
- Cálculo do limite de resistência à fadiga - Se:
5. Fator de concentração de tensões - ke:
k 1 (i l íd J)ke = 1 (incluído em J)
6. Fator de reversão - kf:
kf = 1.33 (Sut < 1400 MPa)
⎩⎨
⎧=
))/00(1/(2
33,1
S
k f
MPaSut 1400≤
f ( t )
_________________________________________________________________________________________
43
⎩⎨ + ))/700(1/(2 Sutf MPaSut 1400>
_______________________________________________________________________________________
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4. Engrenagens Helicoidais (cont.)
Solução: a) os fatores n e ng contra falha por fadiga
- Cálculo do limite de resistência à fadiga - Se:
S’ = 0 5 x Su ⇒
7. Limite de resistência à fadiga do CP – S’e:
S’ = 390 MPaS e = 0.5 x Sut ⇒ S e = 390 MPa
AssimAssim,
Se = 0.772 x 0.93 x 0.868 x 1 x 1 x 1.33 x 390 ⇒ Se = 323.4 MPa
_________________________________________________________________________________________
44
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Solução: a) os fatores n e ng contra falha por fadiga
- Substituindo, vem:
σ
SenG = ⇒= 6115
4.323 nG = 2.8σ 6.115
Gnn = ⇒= 8.2 n = 1 4
mKK ⋅0 ⇒× 25.16.1 n = 1.4
K0 = 1.25 → choque moderado na máquina conduzida)
Km = 1.6 → F = 80 mm (50 < F < 150) e condições de montagem médias
_________________________________________________________________________________________
45
_______________________________________________________________________________________
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4. Engrenagens Helicoidais (cont.)
Solução: b) os fatores n e ng contra desgaste superficial
W
t
pt
G W
W
n ,=
m
G
CC
nn ⋅= 0
⎞⎛ 2W
IdpFC
C
S
W v
p
H
pt ⋅⋅⋅⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=,⇒⋅⋅⋅⋅−= IdpFC
W
CS
v
pt
pH
,
_________________________________________________________________________________________
46
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4. Engrenagens Helicoidais (cont.)
Solução:
b) ⇒⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ××=
801
116.578 SH = 723.3 MPa⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛ ⋅⋅= LHCH CCSS)
7076.2 −⋅= HBSC ⇒−⋅=⇒ 70)235(76.2CS SC = 578.6 MPa
⎠⎝ × 8.01 H⎟⎠⎜⎝ ⋅ RTCH CC
( HBP = HBC - materiais iguais do pinhão e coroa) ⇒CH = 1 1==
C
P
HB
HB
K
CL = 1
(K < 1.2)
CL 1
CT = 1 (T < 120º C)
C = 0 8 (R 95%)
Ciclos de Vida Fator de Vida (CL) 
104 1,5 
105 1,3 
106 1,1 
8
CR = 0.8 (R = 95%)
Confiabilidade Fator de Confiabilidade (CR) 
Até 0,99 0,80 
De 0,99 até 0,999 1,00 
_________________________________________________________________________________________
47
108 (ou maior) 1,0A partir de 0,999 1,25 e acima 
_______________________________________________________________________________________
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Solução: b) os fatores n e ng contra desgaste superficial
Cv = Kv = 0.845 SH ⎟⎞⎜⎛
2
v v
Cp = 191 (pinhão e coroa de aço)
IdpFC
C
S
W v
p
H
pt ⋅⋅⋅⋅⎟⎟⎠⎜
⎜
⎝
=,
 Coroa
 Módulo de 
Elasticidade 
E (GPa) 
 
Aço 
Ferro 
Fundido 
Maleável
Ferro 
Fundido 
Nodular 
Ferro 
Fundido 
Cinzento
Ligas de 
Alumínio-
Bronze 
Ligas 
de 
Bronze 
ã
o
 
Aço 200 191 181 179 174 162 158 
FoFo Maleável 170 181 174 172 168 158 154 
FoFo Nodular 170 179 172 170 166 156 152
P
i
n
h
ã F F Nodular 170 179 172 170 166 156 152 
FoFo (Cinzento) 150 174 168 166 163 154 149 
Alumínio-Bronze 120 162 158 156 154 145 141 
Bronze 110 158 154 152 149 141 137 
_________________________________________________________________________________________
48
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Solução: b) os fatores n e ng contra desgaste superficial
( ) ( )i iφφ ⎞⎛ 2( ) ( )
12
cossin
+⋅⋅
⋅=
i
i
m
I
N
tt φφ
IdpFC
C
S
W v
p
H
pt ⋅⋅⋅⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
2
,
- Cálculo de φt
( ) ⎟⎞⎜⎛ φtg ( ) ⎟⎞⎜⎛ o20tg( )( )⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= ψ
φφ
cos
n
t
tg
arctg ( )( ) ⇒⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= o30cos
20tgarctg φt = 22.8º 
_________________________________________________________________________________________
49
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4. Engrenagens Helicoidais (cont.)
Solução: b) os fatores n e ng contra desgaste superficial
SH ⎟⎞⎜⎛
2( ) ( )i iφφ IdpFC
C
S
W v
p
H
pt ⋅⋅⋅⋅⎟⎟⎠⎜
⎜
⎝
=,( ) ( )
12
cossin
+⋅⋅
⋅=
i
i
m
I
N
tt φφ
- Cálculo de mN
p
m N=
lZ
mN ⋅= 95.0 ( )nnN pp φcos⋅= = 12.57 x cos(20º) ⇒ pN = 11.81 mm
nn mp ⋅= π = π x 4 ⇒ pn =12.57 mm
_________________________________________________________________________________________
50
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Solução: b) os fatores n e ng contra desgaste superficial
p
m N=Cálculo de m : SH ⎟⎞⎜⎛
2
lZ
mN ⋅= 95.0- Cálculo de mN:
( ) ( ) ( ) ( )2222
IdpFC
C
S
W v
p
H
pt ⋅⋅⋅⋅⎟⎟⎠⎜
⎜
⎝
=,
( ) ( ) ( ) ( )tcpbccbpp senrrrarrarZ φ⋅+−−++−+= 2222l
nma = ⇒ a = 4 mm
dp = 83.14 mm ⇒ rp = 41.57 mm
rc = i x rp = 4 x 41.57 ⇒ rc = 166.3 mm
( )tpbp rr φcos.=
( )rr φcos=
= 41.57 x cos(22.8º) ⇒
= 166 3 cos(22 8º)⇒
rbp = 38.32 mm
r = 153 3 mm
_________________________________________________________________________________________
51
( )tcbc rr φcos.= = 166.3 x cos(22.8 ) ⇒ rbc = 153.3 mm
_______________________________________________________________________________________
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Solução: b) os fatores n e ng contra desgaste superficial
p
m N=Cálculo de m : SH ⎟⎞⎜⎛
2
lZ
mN ⋅= 95.0- Cálculo de mN: IdpFCC
S
W v
p
H
pt ⋅⋅⋅⋅⎟⎟⎠⎜
⎜
⎝
=,
( ) ( ) ( ) ( )8.22sin3.16657.413.15362.43.16632.3862.457.41 2222 ⋅+−−++−+=lZ
c = 25.785 d = 75.552 e = 80.53
- Análise:
c e d < e⇒ Zl = c + d - e = 25.785 + 75.552 – 80.53 ⇒ Zl = 20.81 mm
_________________________________________________________________________________________52
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4. Engrenagens Helicoidais (cont.)
Solução: b) os fatores n e ng contra desgaste superficial
SH ⎟⎞⎜⎛
2
- Cálculo de mN:
8111p
IdpFC
C
S
W v
p
H
pt ⋅⋅⋅⋅⎟⎟⎠⎜
⎜
⎝
=,
⇒×=⋅= 81.2095.0
81.11
95.0 lZ
p
m NN mN = 0.597 mm 
- Assim,
( ) ( )
12
cossin ⋅⋅=
i
iI tt
φφ ( ) ( ) ⇒⋅×=
14
4
59702
8.22cos8.22sin oo I = 0.239
12 +⋅ imN +× 14597.02
_________________________________________________________________________________________
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4. Engrenagens Helicoidais (cont.)
Solução: b) os fatores n e ng contra desgaste superficial
IdpFC
C
S
W v
p
H
pt ⋅⋅⋅⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
2
,
p ⎠⎝
⇒××××⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= 239.014.8380845.025.723
2
Wt p = 19270 N⎟⎠⎜⎝ 191 t,p
_________________________________________________________________________________________
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Solução: b) os fatores n e ng contra desgaste superficial
t
pt
G W
W
n ,= ⇒=
15380
19270
nG = 1.253 
253.1Gn ⇒×= 6.125.1
253.1
n = 0.63 
m
G
CC
n ⋅= 0
_________________________________________________________________________________________
55