fisica 1 TORQUE

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Capítulo 8134
Introdução 
Estivemos, até aqui, analisando o movimento translacional dos corpos. Isso porque os corpos que estudamos 
eram pontos materiais, e estes não são dotados de movimentos de rotação. Caso desejemos avaliar os possíveis mo-
vimentos de um corpo extenso, precisaremos de uma análise um pouco mais detalhada. Observe as figuras a seguir. 
Como devem ser dispostos os pesos extras para que a balança fique em equilíbrio na horizontal? Aceite o desafio....
Você deve ter percebido ao analisar as figuras acima, que há uma relação entre a massa colocada em cada pra-
to e o comprimento dos braços da balança. Caso a balança fosse simétrica, cada prato deveria receber a mesma 
massa para que o sistema ficasse em equilíbrio com o braço da balança na horizontal. Como os braços possuem 
comprimentos diferentes, cada prato deve receber uma massa diferente a fim de se colocar a balança em equilí-
brio. Veja que, como dissemos antes, o equilíbrio de corpos que podem girar em torno de um eixo é diferente do 
equilíbrio de pontos materiais. Para que possamos entender de fato como se comporta esse equilíbrio, é neces-
sário que antes conheçamos a fundo o torque ou momento de uma força.
 1 Momento ou torque de uma força 
Uma força pode ser capaz de provocar dois tipos de movimento em um corpo extenso. Pode fazer com que ele 
translade ou pode fazer com que ele gire, dependendo da forma como for aplicada. O primei-
ro passo para descobrir qual será o efeito de uma força aplicada sobre um corpo é avaliar 
se ele está livre para girar em torno de algum ponto (caso esteja, a este ponto daremos 
o nome de polo de giro). Por exemplo: se analisarmos a porta de nossas casas, ela está, 
quando aberta, livre para girar em torno de suas dobradiças; a linha formada por essas 
dobradiças pode ser entendida como uma linha formada pelos polos de giro da porta.
Caso o corpo esteja completamente livre, o ponto preferencial em torno do qual 
ele deveria girar seria seu centro de massa. Mas o que é exatamente o centro de 
massa de um corpo?
 Centro de massa é o 
ponto onde se pode considerar 
com efeito, para certas situa-
ções, que toda a massa do cor-
po está concentrada. É o ponto 
que melhor representa a distri-
buição de massa do corpo. No 
caso de corpos dotados de uma 
certa simetria, é bem fácil de se 
fazer essa estimativa; por exemplo, para uma esfera maciça e ho-
mogênea, o centro de massa deve ser o centro. No caso do corpo 
humano, ele deve se posicionar dentro do corpo, no plano do um-
bigo, aproximadamente. Para corpos assimétricos, no entanto, o 
centro de massa pode não se localizar em posições tão previsíveis 
e uma forma bastante segura de determiná-lo pode ser por meio 
de alguns procedimentos simples. Veja a foto acima.
Equilíbrio estatístico de um corpo em movimento 135
A distância entre o ponto de aplicação da força e o polo de giro é fundamental para a capacidade que essa 
força tem de fazer o corpo girar. Essa capacidade é o momento ou torque exercido por essa força e o vetor que 
nasce no polo de giro e morre no ponto de aplicação da força é chamado braço da força – note que o módulo 
desse vetor é justamente a distância de que tratávamos inicialmente. O momento ou torque de uma força é o 
produto vetorial entre a força e seu braço. Assim:
M = F x b 
Neste capítulo, para sermos coerentes com o conteúdo a ser trabalhado no Ensino Médio, iremos nos preocu-
par apenas com a determinação do módulo do momento, que pode ser calculado, simplesmente, por meio desta 
expressão matemática:
M = b.F. sen θ ,
onde M é o módulo do momento da força, b é o braço (ou a distância entre o ponto de aplicação da força e o 
polo de giro) e Θ, o ângulo entre a força e seu braço. Note, por meio dessa expressão, que apenas forças perpen-
diculares ao braço podem provocar o giro do corpo e que forças aplicadas diretamente sobre o polo de giro (b=0)
nunca farão o copo girar. Veja o exemplo a seguir.
Exemplo 1
Qual o valor do momento de uma força de 10 N aplicada perpendicularmente a uma porta 1,2 m das do-
bradiças?
 M=10.1,2 . sen90º M=10.1,2.1 M=12N.m
Resolução:
Note que, caso a força fosse aplicada com um braço menor, exerceria um momento 
também menor e seria mais difícil abrir a porta com essa mesma força. É essa a razão 
pela qual a maioria das maçanetas é posicionada no extremo oposto da porta com 
relação às dobradiças. Nessa situação, seria necessária uma força menor para gerar o 
mesmo torque. Note, ainda, que a unidade de momento no Sistema Internacional é 
o N.m, obedecendo assim à relação entre as grandezas.
Apesar de talvez nunca ter sido apresentado ao conceito de torque, você já o utiliza, intuitivamente, pelo sim-
ples fato de conseguir ficar de pé. O centro de gravidade dos corpos é o local onde melhor avaliamos a atuação 
da força peso sobre o corpo. Quando a força peso atua de maneira a aplicar um torque no corpo, nós nos dese-
quilibramos e podemos cair. Para garantir nosso equilíbrio na posição vertical, é interessante que o nosso centro 
de gravidade esteja sempre verticalmente sobre a base, dessa forma, o torque gerado por ele com relação a um 
polo de giro próximo ao chão seria nulo, e o equilíbrio estaria garantido. É essa a razão pela qual as mulheres grá-
vidas inclinam-se para trás, e você consegue inclinar seu corpo muito mais para frente que para trás, e ainda con-
Importante
A unidade de momento (ou torque) no Sistema Internacional de Unidades é o newton vezes metro (N.m), 
acompanhando a relação entre as grandezas braço e força aplicada.
Capítulo 8136
segue permanecer de pé. É por isso que, quando você carrega uma mochila muito pesada, naturalmente inclina 
seu corpo para frente: para que a força peso aplicada sobre o centro de massa do conjunto tenha um momento 
nulo e não o faça desequilibrar. Faça o teste! É muito mais fácil permanecer de pé quando nossas pernas estão 
separadas que quando estamos sobre um pé só. A base é maior e a chance de que o peso exerça um torque nulo 
é maior quando nossa base é menor (um pé só).
Exemplo 2
 Suponha uma chave inglesa qualquer será posta a girar em torno de um parafuso a que foi acoplada. Em qual 
das posições abaixo e em que direção devemos aplicar a força a fim de que seja necessário o menor esforço pos-
sível para girar a chave?
 
Veja que a melhor forma de girarmos a chave é na posição mais distante possível do polo de giro e 
aplicando uma força perpendicular ao braço, pois é nessa situação que poderemos maximizar o momento 
de uma força qualquer: quando o braço é máximo, e o seno do ângulo entre a força e o braço é 1, já que 
M = b.F.senq.
HORA DE PRATICAR
1. Por que geralmente a maçaneta das portas localiza-se no extremo oposto ao das dobradiças?
2. Qual a melhor forma de aplicarmos uma força numa chave de roda para conseguirmos torcer os parafusos? 
Em que local devemos aplicar essa força e em que direção? Cite pelo menos um motivo que justifique o fato de 
ser mais fácil girar a chave com a perna sob a óptica do momento de uma força.
3. Analise as formas como podemos aplicar forças em uma barra rígida que pode girar em torno de seu centro 
a fim de fazê-la girar nos sentidos horário e anti-horário. Como devem ser aplicadas essas forças? É possível que 
duas forças idênticas façam a barra girar em sentidos opostos?
4. É possível que uma única força seja aplicada sobre um corpo e não o faça girar? Em que condições isso pode 
acontecer?
5. Determine o módulo do momento da força aplicada sobre o braço de uma balança que mede 50 cm de com-
primento por uma massa de 10 g colocada sobre seu prato em unidades do Sistema Internacional.
2 Equilíbrio de um corpo extenso
Como já discutimos na introdução, para que um corpo extensose encontre em equilíbrio, é necessário que ele 
tenha equilíbrio translacional (repouso ou MRU) e rotacional (isto é, precisamos garantir que o corpo não gira).
O equilíbrio translacional é garantido pelas mesmas condições do equilíbrio de pontos materiais, ou seja, com 
uma força resultante nula (a soma de todas as forças que atuam no corpo deve ser nula).
∑F = 0
Equilíbrio estatístico de um corpo em movimento 137
Para garantir que o corpo não gire, no entanto, precisamos ressaltar o fato de que, nessa situação, não há 
momento resultante sobre o corpo. Quando as duas condições são obedecidas, dizemos que o corpo extenso se 
encontra em equilíbrio.
∑M = 0 
Note que estamos avaliando o módulo da grandeza momento (ou torque) de uma força. Ora, como módulos 
de grandezas podem ser somados e resultar num valor nulo? É claro que algumas dessas parcelas devem ser 
negativas. Mas quais? É certo que o sentido de giro que cada força provoca pode ser horário ou anti-horário. 
Estipulemos então uma convenção de sinais: forças capazes de fazer o corpo girar no sentido anti-horário terão 
como efeito um momento positivo e forças capazes de fazer o corpo girar no sentido horário terão como efeito 
um momento negativo. Agora, sim, os momentos somados podem se equilibrar.
 
Verdadeiramente, o momento é um antigo conhecido da nossa sociedade. Basta que nos lembremos de nossos 
tempos de criança, quando brincávamos de gangorra. A brincadeira era mais justa quando duas crianças de massas 
semelhantes sentavam-se nos bancos da gangorra, mas não era impossível brincar caso seu amigo fosse um pouco 
mais “cheinho” que você. Bastava que ele se sentasse um pouco mais à frente e você um pouco mais atrás. A diferen-
ça entre os braços dos dois lados compensaria a diferença entre os pesos exercidos sobre as duas crianças.
 
Utilizamos o momento de uma força para 
construir as alavancas. Arquimedes disse algo 
que se espalhou pelo mundo e que surpreen-
deu muita gente sobre o tema: “Se me derem 
uma alavanca e um ponto de apoio, desloca-
rei o mundo!!”. Como seria possível utilizar o 
momento de uma força a nosso favor a ponto 
de conseguirmos mover grandes massas sem 
precisarmos dispender grandes esforços? As 
máquinas como alavancas e sistemas de polias 
podem nos ajudar com isso. As alavancas, mais 
associadas ao nosso estudo desse capítulo, po-
dem ser de três tipos: interfixas, interpotentes 
ou inter-resistentes. As primeiras são alavancas 
que possuem o polo de giro posicionado entre 
o ponto de aplicação da força e o corpo que 
queremos mover. As interpotentes são aquelas 
em que a força é aplicada entre o polo de giro 
e o corpo que se deseja mover e, por último, as 
alavancas inter-resistentes são aquelas em que 
o corpo que se deseja mover é colocado entre o 
polo de giro e o local em que aplicamos a força. Em cada situação, em cada montagem, cabe ao operador decidir 
qual o tipo de alavanca mais adequado. É claro que sua decisão passa pela análise de como exercer o maior tor-
que aplicando a menor força e, consequentemente, do torque gerado no sistema.
Conclusão
Condições de Equilíbrio de um corpo extenso:
1) força resultante nula;
2) momento (torque) resultante nulo.
Capítulo 8138
Exemplo 3
Uma ponte é feita com uma tábua rígida, homogênea e horizontal. Esta tá-
bua tem massa m e comprimento L e está livremente apoiada sobre dois cute-
los, 1 e 2, em suas extremidades.
Uma pessoa de massa m começa então a atravessar a ponte. Seja x a distân-
cia percorrida pela pessoa sobre a ponte.
a) Isole a tábua, mostrando em uma figura todas as forças que atuam sobre 
ela e identifique essas forças por meio de uma legenda.
b) Escreva as condições de equilíbrio da tábua, explicitando-as em termos das forças e das distâncias mos-
tradas na figura do item anterior.
Determine a expressão que mostra como varia a reação do cutelo 1 sobre a tábua com a distância x percor-
rida pela pessoa sobre a ponte.
Resolução:
a) N1 – reação normal do cutelo 1 sobre a tábua
N2 - reação normal do cutelo 2 sobre a tábua
P = Peso da tábua
F = Força que a pessoa faz sobre a tábua.
b) N1 + N2 = F + P (1)
N2.L – F.X – P. 2
L = 0 (2)
c) De (1)
N1 = F + P – N2
N1 = F + P – L2
P
+
FX N1 = F + L2
P
+
FX
N1 = L
mgX
2
++mg Mg
N1 = g(m + L2
M
+
mX )
De (2)
N2 = L2
L.P
÷




 + FX
N2 = L2
P
+
FX
Equilíbrio estatístico de um corpo em movimento 139
6. Num posto fiscal 
de pesagem, um ca-
minhão está em repouso sobre duas balanças, uma 
embaixo de suas rodas dianteiras e a outra sob suas 
rodas traseiras. Ao fazer as leituras das balanças, o fis-
cal verifica que a primeira marca 1,0 .105N, mas perce-
be que a segunda está quebrada.
Sendo profundo conhecedor de caminhões, o fiscal 
sabe que as distâncias entre o centro de massa C do 
caminhão e os planos verticais que contêm os eixos 
dianteiro e traseiro das rodas valem, respectivamente, 
d1 = 2,0m e d2 = 4,0m, como ilustra a figura.
 
a) Calcule o peso do caminhão.
b) Determine a direção e o sentido da força que o ca-
minhão exerce sobre a segunda balança e calcule 
seu módulo.
7. A figura mostra uma balança composta de uma 
haste rígida com um prato em uma extremidade e 
uma mola na outra extremidade. A haste rígida pode 
girar em torno de um eixo sustentado por uma colu-
na rígida e fixa. A distância do eixo ao prato é AB = 6 
x 10-1 m, e a distância do eixo à mola é AC = 1,2 x 10-1 
m. Na configuração de equilíbrio, a haste rígida está 
na horizontal. Colocando-se uma massa de 5 kg no 
prato da balança, a extremidade B desloca-se de um 
comprimento de 1 x 10-1 m, medido na vertical.
 
Considerando desprezível a massa da haste rígida e 
a aceleração da gravidade g = 10m/s2, calcule a força 
que a mola exerce na haste.
 
8. Um suporte para vasos é preso a uma parede verti-
cal, como mostra a figura. Ele é fixo na parede por um 
parafuso colocado no ponto A e fica apenas apoiado 
na parede no ponto B, na mesma vertical de A. Um 
vaso de massa total 3 kg é pendurado no ponto C do 
suporte e o sistema é mantido em equilíbrio.
Sabe-se que o ângulo entre AC e AB é reto e que a 
massa do suporte é desprezível. Adotando g = 10m/
s2, determine a intensidade da força com que o supor-
te comprime a parede no ponto B.
9. Determine os momentos escalares das forças em 
relação ao polo P.
10. Duas pessoas carregam um bloco de concreto 
que pesa 900 N, suspenso por uma barra AB de peso 
desprezível, de 1,5 m de comprimento, cujas extre-
midades apoiam-se nos respectivos ombros. O bloco 
está 0,5 m da extremidade A. Determine o valor da 
força aplicada pela extremidade B, ao ombro do car-
regador.
A B
11. Uma gangorra de parques infantis, com distri-
buição de massa homogênea, possui o eixo de rota-
ção localizado no seu centro geométrico. Crianças de 
mesma massa só poderiam se equilibrar caso estives-
sem sentadas cada uma num extremo da gangorra. 
Exercícios
Capítulo 8140
No entanto, se o brinquedo possuísse opções para 
mudança na posição das crianças, em relação ao eixo 
de rotação, crianças de massas diferentes também 
poderiam se equilibrar. Sendo assim, determine, em 
metros, a que distância uma criança de 20 kg deveria 
estar do eixo de apoio para poder equilibrar uma ou-
tra de 40 kg sentada a 1,5 m do eixo de rotação.
12. Uma barra homogênea de 100 N de peso é colo-
cada sobre os apoios A e B, conforme a figura.
Sendo de 200 N o peso de C, determine as intensida-
des das reações dos apoios A e B contra a barra em 
equilíbrio.
13. A barra AB é uniforme, pesa 50,0 N e tem 10,0 m 
de comprimento. O bloco D pesa 30,0 N e dista 8,0 m 
de A. A distância entre os pontos de apoio da barra é 
AC= 7,0 m. Calcule a reação na extremidade A.
14. Um homem, cujo peso tem intensidade igual a 
400 N, caminha desoladamente sobre uma prancha 
homogênea de madeira, simplesmente apoiada em A 
(mas não presa) e articulada no apoio B (onde pode 
girar), como mostra a figura a seguir. O comprimen-
to da prancha é de 6,0 m e seu peso tem intensidade 
igual a 500 N. Determine o valor da máxima distância 
medida a partir de B que o homem pode caminhar 
sem que a prancha gire.
15. Um bloco de massa igual a 240 kg está suspenso 
conforme é apresentado na figura. Considerando des-
prezível a massa da barra AB, determine a intensidade 
da tração no cabo BC.
16. Apresentações de circo são cercadas de mistério e 
fascínio, principalmente para as pessoas que assistem 
aos shows com uma visão não científica. Entender 
que os malabarismos e até mesmo as mágicas apre-
sentadas são aplicações de várias Leis da Natureza (da 
Física, da Química etc.) pode tornar o espetáculo me-
nos impressionante, porém mais seguro. Um número 
bastante interessante, do ponto de vista do equilíbrio, 
é aquele em que um equilibrista percorre uma distân-
cia de cerca de 12 m ao longo de uma corda esticada 
a mais de 15 m de altura, sem a proteção de uma rede 
que o proteja no caso de uma queda. Mais importante 
que a rede é a longa barra de metal (supostamente 
homogênea) que o artista segura em suas mãos, man-
tida na posição horizontal enquanto ele percorre a 
corda.
A partir das informações acima e em conformidade 
com os princípios da estática, julgue os itens seguin-
tes.
(1) No caso do equilibrista sobre a corda, é importante 
que ele segure a barra de metal em um ponto 
próximo ao centro de massa da mesma.
(2) O centro de massa da barra está necessariamente 
no seu centro geométrico (no meio dela).
(3) Caso o equilibrista, acidentalmente, se incline 
para a esquerda, bastaria que ele movesse, 
adequadamente, a barra para o lado contrário para 
que o seu equilíbrio estático se restabeleça.
17. Além do aspecto estético, as cadeiras devem ser 
construídas de tal forma que possam oferecer con-
forto e segurança. O material escolhido e o desenho 
devem ser tais que suportem as forças que irão agir 
sobre cada parte. As pessoas também devem sentar-
se de modo a evitar quedas. Observe na figura abaixo 
uma situação muito comum: uma pessoa está lendo 
distraída e inclina-se para trás, então surgirão torques 
sobre a cadeira: um torque devido à força aplicada 
pelas costas da pessoa, outro, em sentido contrário,