Equilíbrio de um ponto material

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DEFINIÇÃO
Os conteúdos físicos relacionados ao equilíbrio de um corpo.
PROPÓSITO
Apresentar os conceitos de momento e centro de massa.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica
ou use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar o equilíbrio de um ponto material
MÓDULO 2
Definir o momento escalar de um corpo
MÓDULO 3
Calcular o momento vetorial de um corpo
 Identificar o equilíbrio de um ponto material
EQUILÍBRIO DE UM CORPO
Um corpo está em equilíbrio quando:
Ele está livre de forças.
Ou
A força resultante atuante neste corpo é nula.
�
→
� = 0, �������� �����ÇÃ� �� �����Í����
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em ambos os casos, podemos obter as seguintes situações:
Fonte: Shutterstock
O corpo está parado, ou seja, com velocidade zero.
Fonte: Shutterstock
O corpo está se movimentando com velocidade constante, o que garante que não há aceleração
atuando no corpo.
AGORA, COMO CONSIDERAR O EQUILÍBRIO
DE UM CORPO QUE SOFRE ROTAÇÃO
COMO A DOBRADIÇA DE UMA PORTA?
Neste caso, temos que trabalhar com o conceito de momento angular, que é definido pela força
aplicada ao corpo, multiplicada à distância do ponto de apoio que sofre a rotação.
Definimos o momento � como:
Fonte: o autor
Isso nos mostra que o momento tem como unidade no Sistema Internacional de Medidas (S.I.) o
Joule (J). Note que o momento é calculado exatamente igual ao trabalho realizado por uma força.
Então, um carro que se movimenta à velocidade constante está em equilíbrio, devido à sua
aceleração ser nula e, por sua vez, a força resultante também ser nula.
Fonte: MakDill. Shutterstock
Se tivermos também duas forças de mesmo módulo empurrando um corpo em sentidos opostos,
como mostra a figura, podemos dizer que este corpo também está em equilíbrio, pois a sua força
resultante é nula.
Fonte: Autor
 Figura 1: Representação de um corpo em repouso devido à força resultante nula.
Note que temos duas forças de módulo F em mesma direção e sentidos opostos, assim:
�� = � − � = 0
(2)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No entanto, se agora estivermos falando de um corpo que pode sofrer rotação, não só a força
deve ser igual, mas a distância também, pois estamos falando que os momentos opostos devem
ser iguais.
Para compreender melhor, observe a figura abaixo. Nela existe uma barra fixa por uma de suas
extremidades, livre para sofrer rotação. Existem duas forças atuantes nessa barra, a força peso da
barra, localizada na metade de seu comprimento, e uma força F sendo aplicada na ponta livre:
Fonte: Autor
 Figura 2: Barra livre para girar.
A figura mostra a força peso na metade da barra. A distância da força peso está a uma distância d
da ponta fixa para gerar a rotação, já a força F está a uma distância D da ponta fixa que gera a
rotação.
Para que essa barra fique em equilíbrio e não entre em rotação, nem para cima nem para baixo, é
necessário que os momentos das forças sejam iguais (segunda condição de equilíbrio). Então,
para que a barra fique parada na horizontal:
� .� = � .�
(3)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
OU
� .� − � .� = 0
(4)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As equações (3) e (4) só são válidas para quando a força aplicada é ortogonal à superfície.
Vamos considerar agora a seguinte situação: um bloco de massa M preso por uma corda que está
se conectando com outras duas cordas como mostra a figura a seguir:
Fonte: Autor
 Figura 3: Bloco P de massa M pendurado por um sistema de três cordas.
Na figura abaixo, temos a representação das forças atuantes no bloco de massa M, e também em
cada uma das cordas que o sustentam. Vamos assumir que a corda cuja tração é �3 faz um
ângulo � com a horizontal. Então, para que esse sistema esteja em equilíbrio, é necessário que
�
→
�� = 0 e �
→
�� = 0 .
Logo, para poder realizar essa análise é necessário decompor o vetor:
Fonte: o autor
 Figura 4: Decomposição do vetor �3.
Para que o bloco de massa M esteja em equilíbrio é necessário termos as seguintes condições:
Em x: �
→
2 = �
→
3� e Em y: �
→
1 = �
→
3�.
Mas como determinar �
→
1 , �
→
3� � �
→
3� ?
Através da condição de ângulos alternos externos, podemos escrever
�
→
3� = �
→
3 cos� e �
→
3� = �
→
3 ��� �
E, analisando as forças no corpo de massa M, podemos afirmar que:
Fonte: O autor
�
→
1 = �
→
Então, nossa condição de equilíbrio para esse sistema é:
Fonte: O autor
Em x:
�
→
2 = �
→
3 cos�
Em y:
�
→
= �
→
3 ��� �
CENTRO DE MASSA (CM) OU CENTRO DE
GRAVIDADE (CG)
O CENTRO DE MASSA DE UM CORPO É UM
PONTO HIPOTÉTICO, NO QUAL CONSIDERAMOS
QUE TODA A MASSA DE UM SISTEMA FÍSICO
ESTÁ CONCENTRADA.
Ao aplicar forças externas em um sistema físico, consideramos que todas essas forças também
estão sendo aplicadas nesse ponto hipotético. O ponto de centro de massa também é chamado
de ponto de equilíbrio.
 Fonte: Denys Kurbatov. Shutterstock
Um corpo quando suspenso por este ponto de equilíbrio fica livre de rotações. Você já deve ter
visto em algum lugar um brinquedo chamado de pássaro equilibrista, como o da figura a seguir:
 Fonte: Shutterstock
 Figura 5: Pássaro equilibrista.
Esse pássaro é apoiado pelo seu bico em qualquer ponto de apoio, e então fica ali parado, em
completo equilíbrio. Isso porque ele é fabricado de tal forma que o seu centro de massa seja
exatamente em seu bico.
O segredo desse pássaro é que os fabricantes colocam contrapesos nas pontas das suas
asas, para equilibrar o peso do resto do corpo do pássaro.
Se aplicarmos uma força exatamente no ponto de centro de massa de um sistema físico
constituído por um único corpo, como o pássaro da figura 5, garantimos que esse corpo pode se
movimentar sem experimentar nenhum tipo de rotação, ou seja, possui torque zero. Porém, se o
sistema físico for constituído por mais de um corpo, o centro de massa está localizado em um
ponto onde se passa uma reta imaginária que os une.
Vamos exemplificar:
Imagine que duas bolas de massas iguais estão no espaço sideral como mostra a figura 6:
 Fonte: o autor
 Figura 6: Bolas de mesma massa, no espaço sideral, separadas a uma distância d.
Essas duas bolas estão localizadas a uma distância d uma da outra. Como suas massas são
iguais, o centro de massa dessas duas bolas se localiza exatamente à metade da distância que
separa ambas as bolas, como mostra a figura, ou seja, o centro de massa está localizado a uma
distância de d/2, de qualquer uma das bolas.
DETERMINAÇÃO DO CENTRO DE MASSA DE
UM SISTEMA DE VÁRIOS CORPOS
Para definir o centro de massa de um sistema onde existe mais de um corpo, é necessário:
 Fonte: Artyway.Shutterstock
Vamos começar a nos habituar com a análise utilizando um sistema de dois corpos.
Um de massa m = 1kg e outro de massa M = 7kg, dispostos sobre o eixo das abscissas no plano
cartesiano, como demonstra a figura 7:
 Fonte: o autor
 Figura 7: Dois corpos dispostos sobre o eixo das abscissas no plano cartesiano.
Uma vez que conhecemos a massa de ambos os corpos, e a posição desses no plano cartesiano,
vamos determinar o ponto de centro de massa entre esses dois corpos, utilizando o cálculo de
uma média ponderada. Assim:
��� =
−5.�+6.�
�+�
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores das massas, temos:
��� =
−5.1+6.7
1+7 = 4, 63�
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O resultado obtido demonstra que o ponto de centro de massa está localizado no ponto 4,63m
sobre a reta x do plano cartesiano.
Analisando esse exemplo, podemos postular a posição do centro de massa neste caso como
sendo:
��� =
�1 . �1+�2 .�2
�1+�2
(5)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E se essescorpos estivessem situados sobre o eixo das ordenadas (eixo y) (figura 8), como
poderíamos postular o centro de massa entre eles?
 Fonte: o autor
 Figura 8: Corpos posicionados sobre o eixo das ordenadas.
Bem, como continuaria sendo uma análise unidimensional, o centro de massa seria postulado da
mesma maneira, porém levando-se em conta agora o eixo y, então:
��� =
�1 . �1+�2 .�2
�1+�2
(6)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos agora observar dois corpos dispostos no plano xy, de tal maneira que eles possuam
coordenadas x e y diferentes de zero:
 Fonte: o autor
 Figura 9: Dois corpos dispostos em um plano, com x e y diferentes de zero.
No caso apresentado na figura 9, precisamos determinar o centro de massa entre esses dois
corpos, com ambas as coordenadas que compõem o seu ponto diferentes de zero. Assim,
precisamos determinar separadamente as coordenadas da abscissa e ordenada, para poder
encontrar o ponto do plano cartesiano onde se encontra o centro de massa.
Para determinar a coordenada das abscissas, utilizaremos a equação (5) e para determinar a
coordenada das ordenadas, utilizaremos a equação (6), assim:
��� =
�1 . �1+�2 .�2
�1+�2 E ��� =
�1 . �1+�2 .�2
�1+�2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta maneira, o ponto de centro de massa é expresso por:
��� =
�1 . �1+�2 .�2
�1+�2
,
�
1
. �1+�2 .�2
�1+�2
(7)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, então, supor que �1 = 13�, �2 = 17�, �1 = − 3��, �2 = 1��, �1 =
10�� � �2 = 7��. Utilizando a equação (7), temos que o ponto de centro de massa entre
esses dois corpos é igual a:
��� = −0, 7 , 8, 3��
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Perceba que o resultado encontrado se deu em centímetro (cm). Isso porque o centro de massa
não precisa estar no Sistema Internacional de medidas (S.I.) para poder ser determinado, mas é
necessário garantir que tanto as massas quanto as posições estejam com unidades equivalentes.
Perceba também que a coordenada em x do ponto de centro de massa ficou próxima do corpo de
13g. Isso porque o centro de massa se estabelece sempre perto do corpo mais próximo.
Entre dois ou mais corpos sempre existirá um ponto de centro de massa.
VOCÊ JÁ SE PERGUNTOU O PORQUÊ DE O
PLANETA TERRA GIRAR EM TORNO DO
SOL?
Na verdade, a Terra gira em torno do centro de massa existente entre a Terra e o Sol, porém,
como a massa do Sol é tão maior que a massa da Terra, o ponto de centro de massa entre a Terra
e o Sol se localiza no interior do próprio Sol. Assim, a Terra gira em torno desse ponto, através de
uma órbita elíptica, e o Sol gira em torno desse ponto também, mas como tal ponto se localiza
dentro do Sol, não percebemos esse movimento. Outro exemplo equivalente é o sistema Terra-
Lua. A Lua gira em torno da Terra porque o centro de massa entre a Terra e a Lua se localiza no
interior da própria Terra. A massa da Terra é muito maior que a massa da Lua.
Fonte: Brasil Escola
TEORIA NA PRÁTICA
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE DOIS CORPOS DE MASSA 1KG E 1,5KG DISPOSTOS SOBRE
O EIXO X, LOCALIZADOS EM X = 0 E X = 7CM RESPECTIVAMENTE. A
COORDENADA DE X QUE CORRESPONDE AO PONTO DE CENTRO E A
MASSA ENTRE ESSES DOIS CORPOS É DE:
A) 3,9cm
B) 4,2cm
C) 5,6cm
D) 7,1cm
2. CONSIDERE TRÊS CORPOS DE MASSA 1KG, 1,5KG E 2,0KG DISPOSTOS
SOBRE O EIXO X, LOCALIZADOS EM X = 0, X = 2,4CM E X = 7CM
RESPECTIVAMENTE. A COORDENADA DE X QUE CORRESPONDE AO
PONTO DE CENTRO E A MASSA ENTRE ESSES DOIS CORPOS É DE:
A) 3,9cm
B) 2,4cm
C) 1,6cm
D) 0cm
3. A FIGURA ABAIXO CORRESPONDE A UM METAL COM MASSA
DISTRIBUÍDA HOMOGENEAMENTE. CONSIDERANDO QUE SUAS
DIMENSÕES ESTÃO DISPOSTAS NA FIGURA, E QUE ESSA PEÇA É
UTILIZADA EM UMA MÁQUINA AFASTADA 3CM DA VERTICAL E 2CM DA
HORIZONTAL, O SEU CENTRO DE MASSA SE DÁ NO PONTO:
A) (3,5 ; 7,5)
B) (4,5 ; 7,5)
C) (3,5 ; 8,5)
D) (3,5 ; 6,5)
4. DOIS CORPOS MACIÇOS, DE MASSA 3KG E 5KG RESPECTIVAMENTE,
POSSUEM SEUS CENTROS DE MASSAS INDIVIDUAIS NOS PONTOS (2 ; 5)M
E (7 ; 9)M RESPECTIVAMENTE. O CENTRO DE MASSA ENTRE ESSES DOIS
CORPOS É O PONTO:
A) (3,30 ; 7,50)
B) (4,98 ; 7,90)
C) (5,13 ; 7,50)
D) (6,00 ; 8,20)
5. CONSIDERE A FIGURA ABAIXO, E QUE OS CORPOS CONTIDOS NELA
POSSUEM SUAS MASSAS DISTRIBUÍDAS UNIFORMEMENTE. ASSINALE A
OPÇÃO QUE REPRESENTA O PONTO DE CENTRO DE MASSA:
A) (4 ; 1,2)cm
B) (4,5 ; 1,2)cm
C) (1,2 ; 4)cm
D) (1,2 ; 4,5)cm
6. A DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO DA TERRA E O CENTRO DA LUA É DE
384.400KM. SABE-SE QUE A TERRA TEM MASSA DE 6, 0 � 1024KG E QUE
A LUA TEM MASSA DE 7, 4 � 1022KG. O CENTRO DE MASSA ENTRE
ESSES DOIS CORPOS SE ENCONTRA A UMA DISTÂNCIA DE:
A) 380.683,17km do centro da Lua.
B) 4.683,17km do centro da Terra.
C) 4.683,17km do centro da Lua.
D) 380.683,17km do centro da Terra.
GABARITO
1. Considere dois corpos de massa 1kg e 1,5kg dispostos sobre o eixo X, localizados em X
= 0 e X = 7cm respectivamente. A coordenada de X que corresponde ao ponto de centro e a
massa entre esses dois corpos é de:
A alternativa "B " está correta.
Confira a solução em vídeo a seguir:
2. Considere três corpos de massa 1kg, 1,5kg e 2,0kg dispostos sobre o eixo X, localizados
em X = 0, x = 2,4cm e X = 7cm respectivamente. A coordenada de X que corresponde ao
ponto de centro e a massa entre esses dois corpos é de:
A alternativa "A " está correta.
3. A figura abaixo corresponde a um metal com massa distribuída homogeneamente.
Considerando que suas dimensões estão dispostas na figura, e que essa peça é utilizada
em uma máquina afastada 3cm da vertical e 2cm da horizontal, o seu centro de massa se dá
no ponto:
A alternativa "A " está correta.
Confira a solução no vídeo a seguir:
4. Dois corpos maciços, de massa 3kg e 5kg respectivamente, possuem seus centros de
massas individuais nos pontos (2 ; 5)m e (7 ; 9)m respectivamente. O centro de massa entre
esses dois corpos é o ponto:
A alternativa "C " está correta.
5. Considere a figura abaixo, e que os corpos contidos nela possuem suas massas
distribuídas uniformemente. Assinale a opção que representa o ponto de centro de massa:
A alternativa "A " está correta.
Confira a solução no vídeo a seguir:
6. A distância entre o centro da Terra e o centro da Lua é de 384.400km. Sabe-se que a Terra
tem massa de 6, 0 � 1024kg e que a Lua tem massa de 7, 4 � 1022kg. O centro de massa
entre esses dois corpos se encontra a uma distância de:
A alternativa "B " está correta.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. O SOL POSSUI UMA MASSA DE 1, 99 �1030KG E A TERRA POSSUI UMA
MASSA DE 5, 97 � 1024KG.
ASSINALE A OPÇÃO QUE APRESENTA O PONTO DE CENTRO DE MASSA
ENTRE A TERRA E O SOL, SABENDO QUE A DISTÂNCIA DO CENTRO DA
TERRA AO CENTRO DO SOL É IGUAL A 1, 47 � 108KM, O RAIO DE TERRA
É IGUAL A 6371KM E O RAIO DO SOL É IGUAL A 696340KM:
A) 1,99 x 108km
B) 1,47 x 108km
C) 5,97 x 108km
D) 6,31 x 108km
2. A FIGURA MOSTRA DOIS CORPOS, UM DE 10KG E OUTRO DE 3KG
SOBRE UMA BARRA DE PESO DESPREZÍVEL. O CORPO DE 10KG ESTÁ A
2CM DO PONTO DE APOIO, E O CORPO DE 3KG ESTÁ A UMA DISTÂNCIA
DESCONHECIDA X DO PONTO DE APOIO. CONSIDERANDO QUE A BARRA
NÃO ENTRA EM ROTAÇÃO, O VALOR DE X É DE:
A) 2,2cm
B) 3,2cm
C) 4,0cm
D) 6,7cm
GABARITO
1. O Sol possui uma massa de 1, 99 �1030kg e a Terra possui uma massa de 5, 97 � 1024
kg.
Assinale a opção que apresenta o ponto de centro de massa entre a Terra e o Sol, sabendo
que a distância do centro da Terra ao centro do Sol é igual a 1, 47 � 108km, o raio de Terra
é igual a 6371km e o raio do Sol é igual a 696340km:
A alternativa "B " está correta.
Para poder solucionar o problema, vamos desenhar a Terra e o Sol, colocando a Terra na origem
dos espaços do eixo cartesiano, e o Sol a uma distância de 1,47 x 108km, sobre o eixo x:
Assim, definimos a Terra na posição zero, e o Sol na posição 1,47 x 108km. Como conhecemos as
posições e as massas, podemos determinar o ponto de centro de massa:��� =
0·5,97×1024+1,47�108 ·1,99×1030
5,97×1024+1,00×1030
≅ 1, 47 × 108��
Desta forma, definimos que o ponto de centro de massa se localiza no interior do Sol.
2. A figura mostra dois corpos, um de 10kg e outro de 3kg sobre uma barra de peso
desprezível. O corpo de 10kg está a 2cm do ponto de apoio, e o corpo de 3kg está a uma
distância desconhecida x do ponto de apoio. Considerando que a barra não entra em
rotação, o valor de x é de:
A alternativa "D " está correta.
Para que não haja rotação, ou seja, para que a barra fique parada na horizontal, os momentos dos
corpos de 10kg e de 3kg devem ser iguais, assim:
10�� · 2�� = 3�� · ×
× = 6, 7��
 Definir o momento escalar de um corpo
EQUILÍBRIO DE UM SISTEMA DE CORPOS:
ABORDAGEM ESCALAR
Sabemos que um corpo está em equilíbrio quando a resultante das forças externas atuantes no
corpo é igual a zero, porém isso pode ocorrer de duas formas:
Fonte: Fizkes. Shutterstock.
com o corpo parado
Fonte: Lens Hitam. Shutterstock.
com o corpo em movimento com velocidade constante.
Quando o corpo está parado, dizemos que o corpo está em equilíbrio estático, e quando o corpo
está se movendo com velocidade constante, ou seja, em movimento retilíneo uniforme, dizemos
que o corpo está em equilíbrio dinâmico. Aqui neste módulo iremos nos atentar somente ao
equilíbrio estático.
Um corpo está em equilíbrio estático quando a força resultante da atuação de forças externas no
corpo é nula. Em geral, estudamos esse fenômeno através da análise do momento de alavanca
(também chamado de momento angular ou torque de uma força).
Vamos, então, considerar uma alavanca para poder definir todos os nossos conceitos físicos.
Desta forma, podemos definir o momento angular como sendo:
Fonte: o autor
Um ponto de apoio é um ponto que permite que a alavanca gire livremente. Um exemplo que
ilustra bem uma alavanca livre para girar e um ponto de apoio fixo é uma gangorra. Sim, a
gangorra, aquele brinquedo de criança que está disponível nos parquinhos públicos da cidade,
como mostra a animação:
 Fonte: Olesia Bilkei. Shutterstock.
Note que a gangorra é constituída de uma tábua longa de madeira, que funciona como uma
alavanca, levantando um lado enquanto o outro abaixa. No centro dessa tábua existe um ponto de
apoio, que permite a tábua girar livremente, levantando uma criança, enquanto desce a outra.
Vamos aproveitar o exemplo dessa balança e discutir os conceitos físicos.
Vamos considerar primeiro que a tábua de madeira onde as crianças estão sentadas possui 4m de
comprimento e massa de 25kg, distribuída uniformemente. A criança da esquerda tem 30kg e a
criança da direita tem 25kg. Como podemos dispor as crianças em cima da tábua, de maneira que
ela fique parada na horizontal? Primeiramente, vamos representar a ocasião com um desenho
esquemático:
 Fonte: o autor
Figura 10: Representação das crianças na gangorra parada na horizontal.
A massa da tábua está distribuída uniformemente, dessa maneira, todo o seu peso pode ser
representado no centro de massa. Porém, seu centro de massa está sendo apoiado no ponto de
apoio, assim, a força normal do ponto de apoio anula a força peso da tábua. Essa análise nos
permite desprezar a massa da tábua e proceder com os cálculos considerando somente as forças
peso das crianças, analisando a aceleração gravitacional local como 10m/s². Note na figura 10
que uma das crianças está na ponta da tábua, enquanto a outra está sentada mais próxima ao
ponto de apoio. Note também que as forças peso das crianças fazem um ângulo de 90° com a
superfície da tábua.
Então, podemos determinar a distância que a outra criança tem que estar da barra utilizando o
momento angular resultante do sistema, que nada mais é do que a soma dos momentos de cada
criança em cima dessa gangorra. Assim:
�� = 30 . 10 . 2 . ����90°� + 25 . 10 .� . ����90°�
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a gangorra deve ficar parada na horizontal, temos que ������ = �� = 0 , então:
600 + 250 .� = 0
� = 2, 4�
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse cálculo mostra que a criança da direita deveria ser posicionada a uma distância de 2,4m do
ponto de apoio, ou seja, seria impossível com essa configuração conseguir parar a gangorra na
horizontal, pois do ponto de apoio até a extremidade existem 2 metros de tábua somente. O ponto
desejado está fora da gangorra. Todavia, conseguimos encontrar uma configuração possível de
equilíbrio para a gangorra se invertermos a ordem das crianças, colocando a criança de 25kg a
2m do ponto de apoio, e a criança de 30kg à distância y do ponto de apoio. Observe:
25 . 10 . 2 . ����90°� + 30 . 10 .� . ����90°� = 0
� = 1, 7�
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja que, com essa mudança na configuração do sistema, foi possível dispor as crianças sobre a
gangorra, fazendo-a ficar estática na horizontal.
TEORIA NA PRÁTICA
MÃO NA MASSA
1. UMA BARRA DE 2M DE COMPRIMENTO, DELGADA, COM SEU PESO
DISTRIBUÍDO UNIFORMEMENTE, PODE SER SUSPENSA POR QUAL PONTO
DO SEU COMPRIMENTO, PARA QUE FIQUE DISPOSTA NA HORIZONTAL?
A) 1,00m
B) 0,75m
C) 1,25m
D) 1,50m
2. CONSIDERE O ESQUEMA ABAIXO:
O VALOR DE X PARA QUE A BARRA SE MANTENHA ESTÁTICA É IGUAL A:
A) 2,0m
B) 2,5m
C) 3,0m
D) 4,0m
3. PARA QUE HAJA ESTABILIDADE ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO,
QUAL É A CONDIÇÃO NECESSÁRIA?
A) A força resultante deve ser nula.
B) O momento resultante deve ser nulo.
C) As distâncias entre os pontos de apoio devem ser iguais.
D) A resultante das massas deve ser nula.
4. CONSIDERE UMA BARRA QUE POSSUI UM ÚNICO PONTO DE APOIO,
SITUADO EM SEU CENTRO DE MASSA, E QUE GIRA COM VELOCIDADE
ANGULAR CONSTANTE. SOBRE ESSA BARRA, PODEMOS AFIRMAR QUE:
A) O momento angular da barra é nulo.
B) A barra possui massa desprezível.
C) A barra possui velocidade angular nula.
D) A resultante das forças é proporcional à aceleração centrípeta.
5. CONSIDERE A FIGURA:
ASSINALE A OPÇÃO QUE APRESENTA CORRETAMENTE O VALOR DE X
PARA QUE A BARRA SE MANTENHA PARADA:
A) 1,50m
B) 1,56m
C) 1,85m
D) 2,00m
6. CONSIDERE A FIGURA ABAIXO:
PARA HAVER EQUILÍBRIO, O VALOR DE X É IGUAL A:
A) 44,44kg
B) 46,25kg
C) 48,48kg
D) 50,00kg
GABARITO
1. Uma barra de 2m de comprimento, delgada, com seu peso distribuído uniformemente,
pode ser suspensa por qual ponto do seu comprimento, para que fique disposta na
horizontal?
A alternativa "A " está correta.
Confira a solução no vídeo abaixo:
2. Considere o esquema abaixo:
O valor de x para que a barra se mantenha estática é igual a:
A alternativa "A " está correta.
3. Para que haja estabilidade angular de um corpo rígido, qual é a condição necessária?
A alternativa "B " está correta.
Confira a solução no vídeo a seguir:
4. Considere uma barra que possui um único ponto de apoio, situado em seu centro de
massa, e que gira com velocidade angular constante. Sobre essa barra, podemos afirmar
que:
A alternativa "D " está correta.
5. Considere a figura:
Assinale a opção que apresenta corretamente o valor de x para que a barra se mantenha
parada:
A alternativa "C " está correta.
Confira a solução no vídeo a seguir:
6. Considere a figura abaixo:
Para haver equilíbrio, o valor de x é igual a:
A alternativa "A " está correta.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE A FIGURA ABAIXO:
A FIGURA MOSTRA DUAS ESFERAS, UMA DE 100KG E OUTRA DE 30KG,
SOLDADAS A UMA BARRA DE 75KG. ESSE CONJUNTO É, ENTÃO,
APOIADO NO PONTO EQUIVALENTE A 1/3 DO COMPRIMENTO L DA
BARRA. O DIÂMETRO DA ESFERA DE 100KG É L E O RAIO DA ESFERA DE
30KG É L/3. CONSIDERANDO A ACELERAÇÃO GRAVITACIONAL COMO 10
M/S², ASSINALE A ALTERNATIVA QUE REPRESENTA A MASSA DO
CONTRAPESO QUE DEVE SER ADICIONADO EXATAMENTE NO
COMPRIMENTO L/2 DA BARRA, PARA QUE O CONJUNTO FIQUE EM
EQUILÍBRIO:
A) 0kg
B) 12kg
C) 16kg
D) 45kg
2. CONSIDERE A FIGURA ABAIXO:
A FIGURA MOSTRA UMA BARRA HOMOGÊNEA DE PESO 200NAPOIADA
EM DOIS PONTOS. ASSINALE A OPÇÃO QUE REPRESENTA
CORRETAMENTE OS MÓDULOS DAS FORÇAS NORMAIS �1 E �2.
A) 100N / 100N
B) 200N / 200N
C) 50N / 50N
D) 75N / 75N
GABARITO
1. Considere a figura abaixo:
A figura mostra duas esferas, uma de 100kg e outra de 30kg, soldadas a uma barra de 75kg.
Esse conjunto é, então, apoiado no ponto equivalente a 1/3 do comprimento L da barra. O
diâmetro da esfera de 100kg é L e o raio da esfera de 30kg é L/3. Considerando a aceleração
gravitacional como 10 m/s², assinale a alternativa que representa a massa do contrapeso
que deve ser adicionado exatamente no comprimento L/2 da barra, para que o conjunto
fique em equilíbrio:
A alternativa "D " está correta.
Primeiramente, vamos simplificar a figura desenhando um diagrama de corpo livre:
O diagrama de corpo livre demonstra as forças já existentes no sistema. Vamos começar a análise
determinando a distância do centro da barra ao ponto de apoio. O centro de massa da barra se
localiza na sua metade, porém, 1/3 do comprimento da barra está para a esquerda do ponto de
apoio, logo, para encontrar a distância do centro da barra ao ponto de apoio, fazemos:
�
2
�
3
= �
6
Note que esta distância já está representada na figura. Note também que a figura não está
mostrando o contrapeso que deve ser adicionado. Vamos considerar esse contrapeso agora no
cálculo. Vamos estabelecer que as forças que fazem o sistema girar no sentido anti-horário são
positivas e as que fazem o sistema, no sentido horário, são negativas. Assim:
1000 . �
2
+ �
3
− 750 �
6
− � �
6
− 3002
3
� + �
3
= 0
Como x é a nossa única incógnita, temos que � = 450� . . Uma vez que � = ��:450 = � . 10� =
45�� :
2. Considere a figura abaixo:
A figura mostra uma barra homogênea de peso 200N apoiada em dois pontos. Assinale a
opção que representa corretamente os módulos das forças normais �1 e �2.
A alternativa "A " está correta.
Para encontrar as forças normais de reação, precisaremos primeiro estabelecer um ponto de
apoio para ser considerado como ponto de apoio, e o outro ponto de apoio, como uma força que
se opõe à força peso. Observe:
Escolhendo o ponto �1 como ponto de apoio:
200 . �
2
− �2 . � = 0
�2 = 100�
N2 como ponto de apoio:
−200 . �
2
+ �1 . � = 0
�1 = 100�
Os valores das forças foram considerados desta forma, pois ficou estabelecido que o sentido
positivo é o sentido horário.
 Calcular o momento vetorial de um corpo
EQUILÍBRIO DE UM SISTEMA DE CORPOS:
ABORDAGEM VETORIAL
Até agora, verificamos os conceitos de momento angular de uma força de forma escalar. Todavia,
tanto a força quanto a distância são grandezas vetoriais, então, na verdade, apesar de podermos
realizar os cálculos de forma escalar, o momento angular é uma grandeza física vetorial
determinada pelo produto vetorial entre a força e a distância da força ao ponto de apoio, como
mostra a equação (9):
�→ = �
→
× �
→
(9)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os vetores são dependentes dos vetores unitários �̂,�̂ e �̂.
Vamos considerar a figura 11 (A). Nela está exemplificada uma plataforma de salto. Essa
plataforma é feita de madeira, com 120cm de comprimento, com duas crianças de 28kg cada uma
sobre ela. A plataforma possui 75kg e está sendo escorada por uma barra de madeira. Vamos
agora determinar a força normal que a barra de madeira exerce na plataforma de madeira.
Comecemos analisando as forças, como mostra a figura 11 (B):
 Fonte: o autor
 Figura 11: (A) Plataforma de salto; (B) Representação das forças.
Vamos definir o sentido horário como sendo positivo, assim podemos escrever o momento
resultante como:
280 . 50 + 750 . 60 + 280 . 120 − �
→
. 120 = 0
�
→
= 771, 67�
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
MÃO NA MASSA
1. EM UMA GANGORRA DE 3M, CUJO PONTO DE APOIO SE ENCONTRA NO
CENTRO, BRINCAM DUAS CRIANÇAS. UMA DE 45KG E A OUTRA DE 38KG.
SE A CRIANÇA DE 45KG SE ENCONTRA NA PONTA DE UM DOS LADOS DA
GANGORRA, A OUTRA CRIANÇA DEVE SE POSICIONAR A QUE DISTÂNCIA
DO PONTO DE APOIO PARA QUE A GANGORRA FIQUE DISPOSTA NA
HORIZONTAL?
A) No ponto de apoio.
B) 1,1m do ponto de apoio.
C) 1,5m do ponto de apoio.
D) Fora do comprimento da gangorra.
2. CONSIDERE A FIGURA ABAIXO:
QUAL DEVE SER O VALOR DA REAÇÃO �2 PARA QUE A BARRA
PERMANEÇA ESTÁTICA NA HORIZONTAL, SE A FORÇA DE 150N SE
ENCONTRA A UMA DISTÂNCIA DE 3M DE �2, A FORÇA DE 300N SE
ENCONTRA A UMA DISTÂNCIA DE 4,5M DE �2 E �1 SE ENCONTRA A 7M DE
�2:
A) 98,65N
B) 113,54N
C) 124,00N
D) 128,57N
3. CONSIDERE A FIGURA E ENCONTRE O VALOR DA TRAÇÃO (VETOR
VERMELHO) PARA QUE UMA TÁBUA DE MADEIRA SE MANTENHA NA
VERTICAL, SABENDO QUE A FORÇA DE 600N ESTÁ APLICADA NA
METADE DE SEU COMPRIMENTO.
A) 600N
B) 700N
C) 800N
D) 900N
4. A FIGURA MOSTRA UMA BOLA E UM CUBO MANTENDO UM ESQUEMA
DE HASTES DE MASSA DESPREZÍVEIS EM EQUILÍBRIO.
CONSIDERE QUE O PESO DO CUBO É DE 60N E O PESO DA BOLA É DE
45N. A HASTE QUE SUSTENTA O CUBO POSSUI COMPRIMENTO DE 6 M.
ASSIM, O COMPRIMENTO DA HASTE QUE SUSTENTA A BOLA TEM
COMPRIMENTO DE:
A) 8m
B) 10m
C) 6m
D) 9m
5. CONSIDERE A FIGURA ABAIXO:
O BLOCO VERMELHO TEM PESO DE 600N E O BLOCO PRETO MASSA DE
500N. O VALOR DE X É IGUAL A:
A) 2,5m
B) 3,4m
C) 3,6m
D) 3,9m
6. UMA HASTE FINA DE 45N ESTÁ APOIADA POR DOIS PONTOS DE APOIO,
DE MANEIRA A FICAR DIVIDIDA EM TRÊS PARTES IGUAIS. OS VALORES
DOS VETORES REAÇÕES �
→
1 E �
→
2 SÃO IGUAIS A:
A) �
→
1 = 12, 5� � �2 = 32, 5�
B) �
→
1 = 22, 5� � �2 = 22, 5�
C) �
→
1 = 32, 5� � �2 = 12, 5�
D) �
→
1 = 12, 5� � �2 = 12, 5�
GABARITO
1. Em uma gangorra de 3m, cujo ponto de apoio se encontra no centro, brincam duas
crianças. Uma de 45kg e a outra de 38kg. Se a criança de 45kg se encontra na ponta de um
dos lados da gangorra, a outra criança deve se posicionar a que distância do ponto de
apoio para que a gangorra fique disposta na horizontal?
A alternativa "D " está correta.
Confira a solução no vídeo abaixo:
2. Considere a figura abaixo:
Qual deve ser o valor da reação �2 para que a barra permaneça estática na horizontal, se a
força de 150N se encontra a uma distância de 3m de �2, a força de 300N se encontra a uma
distância de 4,5m de �2 e �1 se encontra a 7m de �2:
A alternativa "D " está correta.
3. Considere a figura e encontre o valor da tração (vetor vermelho) para que uma tábua de
madeira se mantenha na vertical, sabendo que a força de 600N está aplicada na metade de
seu comprimento.
A alternativa "A " está correta.
Confira a solução no vídeo a seguir:
4. A figura mostra uma bola e um cubo mantendo um esquema de hastes de massa
desprezíveis em equilíbrio.
Considere que o peso do cubo é de 60N e o peso da bola é de 45N. A haste que sustenta o
cubo possui comprimento de 6 m. Assim, o comprimento da haste que sustenta a bola tem
comprimento de:
A alternativa "A " está correta.
5. Considere a figura abaixo:
O bloco vermelho tem peso de 600N e o bloco preto massa de 500N. O valor de X é igual a:
A alternativa "B " está correta.
Confira a solução no vídeo a seguir:
6. Uma haste fina de 45N está apoiada por dois pontos de apoio, de maneira a ficar dividida
em três partes iguais. Os valores dos vetores reações �
→
1 e �
→
2 são iguais a:
A alternativa "B " está correta.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. NA FIGURA, A LINHA VERMELHA ESTÁ PRESENTE SOMENTE PARA
INDICAR AS DISTÂNCIAS ENTRE OS VETORES E TAMBÉM ENTRE OS
VETORES E O PONTO DE APOIO. OS VETORES DE FORÇA JÁ ESTÃO EM
UNIDADE DE NEWTON. ENTÃO, ANALISANDO A FIGURA, ASSINALE A
OPÇÃO CORRETA:
A) A barra está em equilíbrio somente se x = 0.
B) A barra está em equilíbrio somente se x = 1.
C) A barra está em equilíbrio somente se x = 2.
D) A barra está em equilíbrio somente se x = 3.
2.
QUAL DEVE SER O VALOR DO ÂNGULO PARA QUE O SISTEMA SE
MANTENHA EM EQUILÍBRIO, SE O ATRITO ESTÁTICO IMPEDE A BARRA DE
SE DESLOCAR HORIZONTALMENTE?
A) 120,8°
B) 125,3°
C) 150,9°
D) 166,7°GABARITO
1. Na figura, a linha vermelha está presente somente para indicar as distâncias entre os
vetores e também entre os vetores e o ponto de apoio. Os vetores de força já estão em
unidade de Newton. Então, analisando a figura, assinale a opção correta:
A alternativa "A " está correta.
Consideremos as forças que fazem a barra tender a girar no sentido horário como positivas.
Assim:
10 . 2� − 8� + 6 . �
3
− 4� + �
3
− 10�
3
+ � + �
2
= 0
20� − 8� + 2� − 16
3
� − 11
6
� = 0
� = 0
2.
Qual deve ser o valor do ângulo para que o sistema se mantenha em equilíbrio, se o atrito
estático impede a barra de se deslocar horizontalmente?
A alternativa "D " está correta.
Primeiramente, realizar a decomposição do vetor força 35000N:
Agora que conhecemos os vetores, para que haja o equilíbrio, temos que ter a seguinte condição:
�
→
� . � = 200 . 10 . 4�
�
→
� = 8000�
Então, focando somente a decomposição da força de 35000N, temos a seguinte relação:
Com essa relação, podemos escrever:
����180 − �� = 8000
35000
����180 − �� = 0 . 23
180 − � = 13, 30
0 = 166 . 7°
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Aprendemos aqui as condições de equilíbrio, tanto de um corpo rígido quanto de um sistema de
corpos, por exemplo, o sistema Terra–Sol. Verificamos que existem duas condições de equilíbrio,
em que a primeira estabelece que a força resultante no sistema deve ser nula e a segunda
estabelece que o momento angular resultante do sistema deve ser nulo.
Vimos que todo corpo rígido possui um centro de massa (CM) e que esse centro de massa pode
estar dentro ou fora desse corpo, e que, se uma força for aplicada diretamente sobre o centro de
massa desse corpo, ele irá desenvolver um movimento retilíneo. Verificamos também que o
momento resultante de um corpo pode ser escrito tanto em notação escalar quanto em notação
vetorial, porém, apesar de mais complexa, a notação vetorial nos fornece mais ferramentas para a
real compreensão dos casos físicos presentes na natureza. Consideramos que calcular o
problema de um simples homem subindo uma escada é bastante trabalhoso, pois existem muitos
vetores atuando nesse sistema. Entretanto, considerando as duas condições de equilíbrio,
conseguimos determinar o ponto no plano onde o homem se encontrava sobre a escada.
Compreender as condições de equilíbrio de um corpo é de suma importância, principalmente para
o ramo da construção, pois edifícios, pontes, viadutos, casas, postes, móveis e veículos precisam
permanecer em equilíbrio sem aplicação de carga e com aplicação de carga para que grandes
acidentes não venham a acontecer. Um arranha-céu, por exemplo, possui constantes ações de
ventos em toda a sua estrutura, então ele tem que ser construído de tal modo a ter sempre um
momento angular resultante nulo.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BELANÇON, Emerson Dionísio; SILVA, Samuel da. Um passeio por várias álgebras na
descrição do momento angular. In: Revista Brasileira de Ensino de Física. v. 41, n.2, São Paulo,
nov. 2019.
CUTNELL, John D.; JOHNSON, Kenneth W. Física. 9. ed. RJ: LTC, 2016, v.1.
GOMES, André Herkenhoff. Forças internas e a conservação do momento angular. In: Revista
Brasileira de Ensino de Física. v. 40, n.3, São Paulo, abr. 2018.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física. 10. ed. Rio de
Janeiro, RJ: LTC, 2016, v.1.
MIRANDA, Pedro Jeferson. Estudo do centro de massa e estabilidade de quatro posturas
básicas do Kung-fu Pak Hok. In: Revista Brasileira de Ensino de Física. v. 38, n.4, São Paulo, jul.
2016.
MOSSMANN, V. L. F.; CATELLI, K. B.; Mello, F.; LIBARDI, H.; DAMO, I. S. Determinação dos
Coeficientes de Atrito Estático e Cinético Utilizando-se a Aquisição Automática de Dados.
In: Revista Brasileira de Ensino de Física, [s.l.], v.24, n.2, p. 146-149, jun. 2002. FapUnifesp.
PEIXOTO, Paulo. Qual é a expressão correta para o trabalho realizado pela força de atrito
cinético? In: Revista Brasileira de Ensino de Física, [s.l.], v. 41, n.1, p. 1-9, 6 set. 2018.
FapUnifesp.
TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física para Cientistas e Engenheiros. v.1,6. ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2014.
EXPLORE+
Para aprender mais sobre o centro de massa de um corpo rígido, leia:
Estudo do centro de massa e estabilidade de quatro posturas básicas do Kung-fu Pak Hok,
Pedro Jeferson Miranda et al. In: Rev. Bras. Ensino Fís. v. 38, n. 4, São Paulo, jul. 2016.
Forças internas e a conservação do momento angular, André Herkenhoff Gomes. In: Rev.
Bras. Ensino Fís. v.40, n. 3, São Paulo, abr. 2018.
Sobre a diferença entre o momento angular escalar e o momento angular vetorial, Um
passeio por várias álgebras na descrição do momento angular, Emerson Dionísio Belançon,
Samuel da Silva. In: Rev. Bras. Ensino Fís. v.41, n.2, São Paulo, nov. 2019.
CONTEUDISTA
Gabriel Burlandy Mota de Melo
 CURRÍCULO LATTES
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