apostila nº1

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Universidade Estácio de Sá – Estatística Descritiva - 
 
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AA CCIIÊÊNNCCIIAA EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA 
Pode-se considerar a Estatística como a ciência que se preocupa com a organização, 
descrição, análise e interpretação dos dados experimentais. 
Dentro dessa idéia, pode-se dividi-la basicamente em duas partes distintas: a Estatística 
Descritiva, que se preocupa com a organização e descrição dos dados e a Estatística 
Indutiva ou Inferencial, que cuida da sua análise e interpretação. 
Percebe-se, conforme o exposto, que a Estatística é aplicável a qualquer ramo do 
conhecimento onde se manipulam dados experimentais. Assim, as Ciências Sociais, a 
Biologia, a Medicina, a Física, a Engenharia, as Ciências Administrativas, etc., tendem, 
cada vez mais, a servir-se dos métodos estatísticos como ferramenta de trabalho, daí a 
sua grande e crescente importância. 
A Estatística Econômica é, pois, uma especialização da estatística geral e tem por 
finalidade a aplicação do método estatístico ao estudo dos modelos econômicos. 
 
CCOONNCCEEIITTOOSS FFUUNNDDAAMMEENNTTAAIISS:: 
1-PPooppuullaaççããoo: É o conjunto de elementos que são agrupados com a finalidade de 
fornecer pelo menos uma característica comum, de acordo com o objetivo do estudo. 
Uma vez caracterizada a população, o passo seguinte é o levantamento de dados acerca 
da(s) característica(s) de interesse na investigação. 
 
2-PPooppuullaaççããoo CCaarraacctteerrííssttiiccaa oouu PPooppuullaaççããoo MMaattrriizz: É o conjunto formado pelos valores 
da característica de estudo, que são gerados ou observados a partir dos elementos da 
população. 
Como em qualquer estudo estatístico pode-se pesquisar uma ou mais características dos 
elementos da população. Tem-se que uma população pode gerar mais do que uma 
população característica. 
Nem sempre é conveniente, ou mesmo possível realizar o levantamento dos dados 
referentes a todos os dados da população (Censo ou Levantamento Exaustivo). Nestes 
casos, deve-se limitar as observações a uma parte da população (Levantamento por 
Amostragem). 
 
3-AAmmoossttrraa: É um subconjunto da população, necessariamente finito, pois todos os seus 
elementos serão examinados para efeito da realização do estudo estatístico desejado. 
Certos cuidados básicos devem ser tomados no processo de obtenção da amostra, ou 
seja, no processo de amostragem, já que conclusões referentes à população vão se 
basear no resultado da amostra. Muitas vezes erros grosseiros e conclusões falsas 
ocorrem por falhas na amostragem. Estatisticamente, a precisão de um valor numérico é 
avaliada através do binômio: confiança e erro processual – erro cometido pelo 
procedimento empregado. 
 
Uma característica numérica estabelecida para toda uma população é denominada 
ppaarrââmmeettrroo. Quando esta característica é estabelecida para uma amostra, é dita 
eessttiimmaaddoorr.
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PPRROOCCEESSSSOOSS EESSTTAATTÍÍSSTTIICCOOSS DDEE AABBOORRDDAAGGEEMM 
Quando se deseja estudar um fenômeno coletivo pode-se optar entre realizar: 
− CCeennssoo: avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se todos os componentes 
da população. 
Como principais propriedades do Censo pode-se citar a ocorrência de erro 
nulo e 100% de confiabilidade; o elevado custo envolvido; lentidão/demora na 
apuração dos dados desejados � quase sempre acaba por acarretar 
desatualização. 
− EEssttiimmaaççããoo: avaliação indireta de um parâmetro, com base em um estimador, 
através do cálculo de probabilidades. 
Na Estimação não se consegue atingir uma confiabilidade de 100%, nem um 
erro processual nulo (o erro é calculado na definição do tamanho da amostra a 
ser utilizada); é realizada com um menor custo e maior rapidez do que no caso 
do Censo, permitindo a obtenção de dados de forma mais atualizada e, muitas 
vezes, a viabilização do estudo – tanto por questões financeiras, quanto pelo 
fato de disponibilizar mais rapidamente as informações desejadas, condição 
cada vez mais exigida no mundo atual. 
 
A estatística compreende a estatística descritiva – que envolve a organização e 
sumarização dos dados; a teoria da probabilidade – que proporciona uma base racional 
para lidar com situações influenciadas por fatores relacionados ao acaso; e a teoria da 
inferência – que envolve análise e interpretação de amostras. Os três ramos da estatística 
utilizam o método científico, que consiste: 
1. Definição cuidadosa do problema – clareza da finalidade do estudo ou análise; 
2. Formulação de um plano adequado para coleta de dados; 
3. Tabulação dos dados; 
4. Análise e interpretação dos dados; 
5. Relatório informativo para a utilização dos dados na tomada de decisões. 
 
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EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA DDEESSCCRRIITTIIVVAA 
 
Os métodos estatísticos envolvem a análise e a interpretação de números – dados. A 
correta interpretação dos dados requer a organização e sumarização de dados 
estatísticos. 
Na sua função de descrição dos dados, a estatística descritiva segue os seguintes 
passos: 
 
(a) Obtenção dos dados estatísticos – realizada, normalmente, através da 
aplicação de questionários ou de observações diretas de uma população ou 
amostra. 
(b) Organização dos dados – ordenação e crítica quanto à correção dos valores 
observados, falhas humanas, omissões, abandono de dados duvidosos, etc. 
(c) Redução dos dados – diminuição da quantidade de informações a serem 
analisadas, de forma a viabilizar a realização de tal análise. Tal redução pode 
ser realizada com a utilização de variáveis discretas ou contínuas. 
(d) Representação dos dados – os dados em estudo podem ser representados 
através de tabelas ou de forma gráfica – que permite uma visualização 
instantânea de todos os dados. 
(e) Obtenção de algumas informações que auxiliam a descrever o fenômeno 
observado – obtenção de informações que facilitam a descrição dos 
fenômenos estudados, como médias, proporções, dispersões, tendências, 
índices, taxas e coeficientes. 
 
O conjunto dos dados numéricos obtidos após a crítica dos valores coletados constitui o 
que se chama de DDaaddooss BBrruuttooss. 
 
RRooll é o arranjo dos dados brutos em uma seqüência ordenada de forma crescente ou 
decrescente. 
 
 TTiippooss ddee DDaaddooss 
 
1 - Variável 
 
⇒⇒⇒⇒Qualitativa: apresentam como realização qualidades, a característica é um atributo 
 
 - Nominal : não existe ordenação, envolvem categorias 
 Ex. : sexo, estado civil, cor dos olhos, desempenho, religião 
 
 - Ordinal : existe certa ordem nos possíveis resultados 
 Ex. : educação, classe social, 1º - 2º - 3º ... 
 
⇒⇒⇒⇒Quantitativa: apresentam como realização quantidades, a característica é uma 
variável. 
 
 
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- Discreta: os valores formam conjunto finito ou enumerável resultante de 
uma contagem 
Ex.: n.º de filhos, n.º de alunos em sala, n.º de defeitos, n.º de acidentes 
 n.º de alunos matriculados 
 
- Contínua: entre dois dados pode, teoricamente, assumir infinitos valores 
 Ex.: peso, altura, idade, comprimento, espessura, velocidade, temperatura 
 
 
TTiippooss ddee AAmmoossttrraa 
 
Amostragem: técnica de coleta de uma amostra. 
 Ex.: sorteio, tabelas de números aleatórios. 
 
1 - Amostra Aleatória Simples: - universo homogêneo 
 
2 - Amostra Proporcional: - caso não seja homogêneo, iniciar com estratificação 
em subconjuntos homogêneos 
 
3 - Amostra Sistemática: - estratificação do universo em um número idêntico ao 
número de elementos da amostra 
 
CCOOLLEETTAA DDEE DDAADDOOSS 
 
1 - Método: 
 
A coleta de dados é feita geralmenteatravés de questionários que podem ser preenchidos 
pelo próprio informante ou por um pesquisador de campo. 
 
 
2 - Questionário: 
 
2.1 - Objetivos: - especificar os objetivos gerais 
- conhecer o uso das respostas obtidas para melhor elaboração das 
perguntas 
 - se possível, planejar os tipos de tabelas 
 - certificar-se de que todas as informações podem ser obtidas 
(cuidados: idade/renda/datas/gastos passados ideal 6 meses) 
 - perguntas claras e precisas 
 - evitar sugerir respostas 
 - evitar redações longas 
 - seguir alguma ordem lógica (mais simples→mais complexa) 
 - incluir as instruções, se necessárias, no corpo do questionário 
- cuidado na aparência (gráfica e material utilizado para 
preenchimento) 
 
2.2 - Campo: - decidir a que tipo de informantes será endereçado 
 
2.3 - Piloto: - “experimentar” o questionário 
 
2.4 - Crítica dos Questionários: - prever perda natural 
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AAPPRREESSEENNTTAAÇÇÃÃOO DDEE DDAADDOOSS EESSTTAATTÍÍSSTTIICCOOSS 
 
1 - Apresentação Tabular 
 
Resolução 886 de 26/10/1966 - Fundação IBGE - “Normas de Apresentação Tabular“. 
 
1.1 - Elementos Essenciais: 
 
- Título = designação do fenômeno observado, local e época ( o quê ? onde? quando ?) 
 
- Corpo = conjunto de colunas e linhas 
 casa (cruzamento de uma coluna com uma linha) nunca em branco 
 
 
 
 
 
casa
 
 
 
- Cabeçalho = especifica o conteúdo da coluna 
 
- Coluna Indicadora = especifica o conteúdo das linhas (pode haver várias colunas 
indicadoras) 
 
- Fonte = indicação do órgão ou entidade responsável pelos dados 
(colocada no rodapé) 
 
 
1.2 - Elementos Complementares: 
 
 Colocados no rodapé, após a fonte. 
 
- Notas = esclarecer o conteúdo da tabela ou indicar a metodologia na 
coleta ou preparo dos dados 
- Chamadas = esclarecer informação específica sobre determinada parte da 
tabela. 
Indicadas por algarismos arábicos entre parênteses, à esquerda 
nas casas e à direita na coluna indicadora. A numeração será 
sucessiva, de cima para baixo, e da esquerda para a direita. A 
separação das chamadas será por ponto (.) Quando uma 
tabela ocupar mais de uma página, as chamadas devem 
figurar no rodapé da última página. 
 
 
1.3 - Sinais Convencionais: 
 
– quando o dado não existir (pela natureza do fenômeno) 
... quando não se dispõe do dado (ignorado) 
 
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6
6
 
 0 
 0,0 
0,00 quando valor do dado for menor que a unidade ou fração decimal adotada 
x quando houver omissão do dado para não haver individualização da informação 
Z quando o dado for rigorosamente zero 
 
Os números inteiros (ou sua parte inteira) serão separados por espaçamentos. 
11 222 413 
 
OBS.: O significado dos sinais convencionais deve figurar no relatório, antecedendo a 
tabela. 
 
 
1.4 - Data de Referência dos Dados: 
 
A data não deve ter ponto separando grupo de três - algarismos, nem espaço entre 
algarismos. 
 
meses = 3 primeiras letras 
anos = consecutivos - 1896-915 
 1970-75 
 não consecutivos - 1966-1974 
 período de 12 meses ≠ do ano civil - 1980/81 
 
OBS.: O uso de algarismos romanos deve ser evitado, inclusive para as datas. 
 
 
1.5 - Apresentação de Tabelas 
 
As tabelas, serão delimitadas na parte superior e inferior, por traços horizontais, não 
delimitadas lateralmente. No caso da tabela ter de ocupar mais de uma página, não será 
delimitada na parte inferior e o cabeçalho será repetido na página seguinte, usando-se a 
expressão continua no cabeçalho. 
 
As tabelas devem ser: 
 
⇒ Exaustivas: - não deve existir itens sem alguma classe 
 Ex.: estado civil : casado / solteiro (não é exaustivo) 
 solteiro/casado/viúvo/divorciado/separado/outros (é exaustivo) 
 
⇒Mutuamente Exclusivas: - não deve existir o mesmo item em mais de uma classe 
 Ex.: 20 − 25 o 25 pode estar nas duas classes 
 25 − 30 
 20 − 25 mutuamente excludente 
 25 − 30 
 
⇒Ter significação própria 
 
 
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7
2 - Apresentação Gráfica 
 
O gráfico torna compreensível uma tabela. Deve conter título, legenda e fonte 
 
2.1 - Tipos de Gráficos: 
 
⇒ Curvas: representam séries temporais ( t ≥ 5 ) 
 
 
 
 
⇒ Barras e Colunas: representam séries geográficas, específicas, temporais ( t < 5 ). 
Compara grandezas, por meio de retângulos de igual largura e 
alturas proporcionais às respectivas grandezas 
 
 
 
 
 
 
⇒ Setores: representam séries geográficas, específicas com poucas 
ocorrências. 
 Representam valores absolutos ou porcentagens complementares 
 
 
57%
17%
13%
13%
 
 
 
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8
 
⇒ Polares: representam séries geográficas, específicas, temporais. 
Representam a variação de um determinado fenômeno mensal, nos 
doze meses do ano, comparativo com a média. 
 
 
0
20
40
60
80
100
 
 
 
 
 
SSÉÉRRIIEESS EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAASS 
É a representação tabular das informações. 
O objetivo de uma série é fornecer o máximo de informação em um mínimo de espaço. 
As séries podem ser caracterizadas de acordo com o tipo de informação a que se 
referem, sumarizando um conjunto ordenado de informações através do tempo, espaço e 
espécie do fenômeno: 
 
1) Série Temporal: 
 - elemento variável : época 
 - elementos fixos : local, fenômeno 
 Ex.: dia, mês, ano, século 
 
Matrícula na Escola X 
no Quadriênio 1970/73- RJ 
Anos Matrícula 
1970 107.000 
1971 109.500 
1972 110.000 
1973 118.300 
Fonte: Boletins Anuais. 
 
 
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2) Série Geográfica: 
 - elemento variável : local 
 - elementos fixos : época, fenômeno 
 Ex.: Estado, Município 
Matrícula na Escola X 
por Município - 1973- RJ 
 
Município 
 
Alunos 
Nilópolis 7.000 
São João de Meriti 45.000 
Nova Iguaçu 18.000 
Fonte: Boletins Semestrais 
 
 
3) Série Especificativa: 
 - elemento variável : fenômeno 
 - elementos fixos : época, local 
 Ex.: tipo sangüíneo, peso, altura, produto 
 
 
Distribuição da Matrícula 
por Série em 1973- RJ 
 
Séries 
 
Alunos 
1ª 45.000 
2ª 32.080 
3ª 23.200 
4ª 18.020 
Fonte: Boletins Semestrais. 
 
 
 
4) Séries Mistas 
 - combinação das anteriores 
 
5) Série de Freqüências ou Distribuição de Freqüências 
 
 
 
OObbsseerrvvaaççõõeess:: 
 
11-- NNOOTTAAÇÇÃÃOO SSIIGGMMAA -- SSOOMMAATTÓÓRRIIOO 
 
A soma de n valores pode ser escrita na forma: 
x1 + x2 + ... + xn = Σ xi 
onde 
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� Σ - é utilizado para representar as operações de adição entre as parcelas. 
� xi - é a parcela genérica. 
 
A parcela genérica é obtida tomando-se os termos constantes em todas as parcelas, no 
caso x. Para representar a parte variável em cada parcela, no caso os índices, utilizamos 
a letra i. 
 
Obs.: Para que uma soma possa ser representada por esta notação é fundamental que i 
assuma todos os valores inteiros consecutivos entre os dois valores dados. 
 x1 + x2 + x4 ≠ Σ xi 
 
Algumas propriedades: 
1. O somatório da soma é a soma dos somatórios 
Σ ( xi + yi) = Σ xi + Σ yi 
 
2. O somatório da diferença é a diferença dos somatórios 
Σ ( xi - yi) = Σ xi- Σ yi 
 
3. O somatório do produto de uma constante por uma variável é o produto da constante 
pelo somatório da variável 
Σ ( a . xi ) = a . Σ xi 
 
4. O somatório do quociente de uma constante por uma variável é o quociente da 
constante pelo somatório da variável 
Σ xi = Σ xi 
 a a 
 
∑
=
n
1i
iX 
 
Ex.: Xi = { 8 , 2 , 3 , 6 , 7 , 8 , 9 , 4 , 5 , 4 , 1 } 
 
∑
=
11
1i
iX = ∑
=
2
1i
iX = ∑
=
4
2i
iX = ∑
=
11
7i
iX = 
 
 
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11
11
2
n
1i
i
n
1i
2
i XX 







≠ ∑∑
==
 
 
 
Ex.: 
Σ Xi 2 = 
( Σ Xi ) 2 = 
 
 
 
AARRRREEDDOONNDDAAMMEENNTTOO 
 
Quando o 1º algarismo a ser abandonado for 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado o último 
algarismo a permanecer. 
 
48,23 → 48,2 → 48 
 
23,07 → 23 
 
10,25 → 10 
 
Quando o 1º algarismo a ser abandonado for 5, 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se de uma unidade 
o último algarismo a permanecer. 
 
23,07 → 23,1 
 
34,99 → 35,0 → 35 
 
12,50252 → 12,5025 → 12,503 → 12,50 → 13 
 
 
 
Exercícios: 
 
1 - Aproximar para inteiro 
 
17,0 29,1 16,2 45,3 80,4 39,6 
 50,9 
 67,3 14,7 45,59 72,501 
 82,3 82,51 28,5008 
 
 
2 - Arredondar para unidades e décimos os números 
 
16,4 272,6 8,5 19 314,59 4,09 8,501 3,141 
 
12,3 89,56 29,735 66,5056 97,672 6,25 20,34 
 
 
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3 - Aproximar para unidade os quocientes 
 
1 235 38 450 475 130 54 561 1 252 
 10 100 10 4 4 40 33 
 
DDIISSTTRRIIBBUUIIÇÇÃÃOO DDEE FFRREEQQÜÜÊÊNNCCIIAASS 
(a) Variável Discreta 
Na primeira coluna são ordenados os valores distintos observados e, na segunda coluna, 
o número de vezes que cada valor se apresenta no conjunto de dados levantados. 
O uso de variáveis discretas é aconselhável quando o número de elementos distintos de 
uma série for pequeno. 
Define-se: 
� xi como os valores assumidos pela característica de estudo (variável), onde o 
índice i serve como elemento de referência, ou seja, x1 representa o primeiro 
valor distinto da série 
� fi como sendo o número de vezes que o valor da variável se repete – 
freqüência simples ou absoluta. 
 Obs.: fi
i
n
=
∑
1
 = N (Número de elementos da população/amostra em estudo) 
 
Exemplo: 
X: 1, 2, 1, 0, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 3, 0, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 3, 1, 2, 0, 1, 2, 3. 
Os valores distintos da seqüência são: 0, 1, 2 e 3. As freqüências simples de cada valor 
são, respectivamente: 8, 9, 6 e 4. 
 
xi fi 
0 8 
1 9 
2 6 
3 4 
 
(b) Variável Contínua 
Quando o número de elementos distintos de uma série é muito grande, a utilização de 
variáveis discretas não consegue resumir adequadamente o volume de dados, de forma a 
viabilizar a sua análise. Assim sendo, os dados devem ser agrupados por faixas de 
valores. 
Exemplo: 
X: 1, 2, 3, 4.5, 4, 3.5, 1.3, 2.1, 0, 3, 0, 2.3, 4.2, 1.7, 0.6, 1.1, 2, 1.9, 0.8, 3.4, 1.5, 
2.8, 0.2, 4.1, 2.9, 3.5, 4, 3.2, 3, 0, 1, 2, 1.6. 
 
xi fi 
 0 1 6 
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13
13
 1 2 8 
 2 3 7 
 3 4 7 
 4 5 5 
AAllgguummaass DDeeffiinniiççõõeess:: 
11..11-- FFrreeqqüüêênncciiaa RReellaattiivvaa ddee uumm eelleemmeennttoo ddaa sséérriiee (( ffrrii )) 
 É o quociente da divisão de cada freqüência absoluta pelo total das freqüências, 
isto é, fri = fi / N = fi / ∑ fi 
 
11..22-- FFrreeqqüüêênncciiaa RReellaattiivvaa PPeerrcceennttuuaall (( ffrrii %% )) 
 É o produto de cada freqüência relativa por 100. 
 
11..33-- FFrreeqqüüêênncciiaa AAccuummuullaaddaa (( ffaaccii )) 
 É a soma de cada freqüência com a soma das freqüências anteriores � 
freqüência acumulada crescente. 
 A freqüência acumulada também pode ser realizada efetuando-se a soma dos 
elementos da freqüência simples em ordem inversa � freqüência acumulada decrescente 
 
11..44-- FFrreeqqüüêênncciiaa AAccuummuullaaddaa RReellaattiivvaa (( ffaaccrrii )) 
 É a divisão da freqüência acumulada de cada classe pelo número total de 
elementos da série. 
 
11..55-- FFrreeqqüüêênncciiaa AAccuummuullaaddaa RReellaattiivvaa PPeerrcceennttuuaall (( ffaaccrrii %%)) 
 É o produto de cada freqüência acumulada relativa por 100. 
 
11..66-- AAmmpplliittuuddee TToottaall oouu ‘‘RRaannggee’’ (( AAtt oouu RR )) 
 É a diferença entre o maior valor e o menor valor observados em uma seqüência. 
 At = Ls – Li 
 
11..77-- LLiimmiittee ddee CCllaassssee ((llii ee llss)) 
 Cada intervalo de classe fica caracterizado por dois números reais. O menor valor 
é chamado limite inferior da classe – li, e o maior valor é chamado de limite superior da 
classe - ls. 
 
11..88-- IInntteerrvvaalloo ddee CCllaassssee (( hh )) 
 É a diferença entre dois limites inferiores ou dois limites superiores consecutivos. 
Obs.: Quando se quer determinar o intervalo de classe, utiliza-se h ≅ At / K. 
 
11..99-- PPoonnttoo MMééddiioo ddee CCllaassssee (( XXii )) 
 É a soma do limite inferior com a do superior dividido por dois. 
 
11..1100-- NNúúmmeerroo ddee CCllaasssseess (( KK )) 
 É o número de classes a ser utilizado depende muito da experiência do 
pesquisador e das questões que ele pretende responder com a variável contínua. 
 Existem, no entanto, fórmulas desenvolvidas para determinar o número de classes 
de um estudo: 
 
♦ Critério da Raiz 
 ∂ Se n ≤ 25 ⇒ K= 5 
 n > 25 ⇒ K ≅ n 
 
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 • Fórmula de Sturges : 
 K ≅ 1 + 3,22 log n 
 
 ÷ K ∈ [ 8 , 16 ] 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE SÉRIES ESTATÍSTICAS 
 O Histograma, o Polígono de Freqüência e a Curva Polida de Freqüência são 
gráficos utilizados para a análise da série estatística, que assumem aspectos 
diferenciados para variável discreta e variável contínua. 
 
HISTOGRAMA 
♦ VARIÁVEL DISCRETA 
 É um conjunto de hastes representadas em um sistema de coordenadas 
cartesianas, onde a base são os valores distintos da série e a altura os valores das 
freqüências simples correspondentes. 
 
♦ VARIÁVEL CONTÍNUA 
 É um conjunto de retângulos justapostos, representados em um sistema de 
coordenadas cartesianas, onde a base são os intervalos de classe e a altura os valores 
das freqüências simples correspondentes. 
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Exercícios: 
1- Complete a tabela abaixo: 
 
ÁREA N° DE LOTES fri fri % Faci Facri Faci% Xi 
100 200 50 
200 300 40 
300 400 100 
400 500 200 
500 600 300 
600 700 80 
700 800 70 
800 900 60 
900 1000 100 
TOTAL 1000 
 
2- Exemplos de Tabelas de Freqüências 
 
Ex. 1 
2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 
 
4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 
 
5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 
 
6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 
 
8 8 9 9 
 
Ex. 2 
0,5 1 1 1,5 2 2 2 2 2 2 2,5 3 3 3 
 
3 3 3,5 4 4 4 4,5 4,5 4,5 4,5 5 5 5 5 
 
5 5 5 5,5 5,5 5,5 6 6 6 6 6 6,2 6,5 6,5 
 
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 
 
8 8 9 9,5 
 
Universidade Estácio de Sá – Estatística Descritiva - 
 
16
16
 
Ex. 3 
42 45 48 50 52 52 53 54 56 57 59 59 60 63 
 
63 63 65 65 67 67 68 70 70 73 73 73 73 73 
 
76 77 78 83 83 83 83 84 86 87 87 89 89 9393 93 97 97 100 102 103 104 105 107 110 112 113 117 
 
121 122 127 137 
 
Ex. 4 
3,2 3,5 4,4 4,7 6 6,1 7,4 7,8 8,1 9,2 10 10,7 11,1 11,2 
 
12,2 12,5 12,6 12,9 13,7 14,5 14,8 15,1 15,8 16 16,2 16,4 16,4 18,2 
 
18,5 19,1 19,1 21 22,3 22,6 23,5 25 26,2 27,5 32,4 32,8 
 
 
Ex. 5 
0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 
 
2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 
 
4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 
 
6 6 6 6 6 6 6 6 
 
 
Ex. 6 
125 125 126 127 128 128 128 129 129 129 130 130 131 131 
 
132 132 132 133 133 133 134 134 134 134 134 135 135 135 
 
135 136 136 136 136 136 136 137 137 137 138 138 138 138 
 
138 138 139 139 139 139 139 139 140 141 141 142 143 143 
 
143 144 144 144 145 145 145 145 146 146 146 146 147 147 
 
147 148 148 149 149 150 151 152 153 154 
 
Universidade Estácio de Sá – Estatística Descritiva - 
 
17
17
 
Ex. 7 
51 57 59 60 60 61 63 63 65 66 67 67 68 68 
 
68 69 69 69 69 71 71 71 72 72 73 73 73 73 
 
73 74 74 74 74 74 75 75 75 75 75 76 76 76 
 
76 76 76 76 76 77 77 78 78 79 79 79 79 79 
 
80 80 81 82 83 83 83 83 83 83 84 84 84 84 
 
84 85 85 85 86 86 86 86 87 87 88 88 88 89 
 
89 93 93 93 94 96