Difusibilidade vinho em papel FINAL

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS 
DEPARTAMENTO DE QUÍMICA - CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
 
 
 
 
 
AVALIAÇÃO DO COEFICIENTE DE DIFUSIBILIDADE DE ÁGUA EM PAPÉIS 
ABSORVENTES 
 
 
 
 
Grupo: Ana Carolina Almeida Andrade – 82612 
Bruno de Lima Santos - 83022 
Heytor Fabricio Arantes Frauches Reis - 83046 
Matheus Franciole Madureira - 82992 
Ninna Alves Gouvêa - 78130 
Thalles Mercês Carreiro - 83020 
PROFESSOR: Antônio Marcos de Oliveira Siqueira 
 
 
Artigo científico, referente à terceira avaliação, apresenta-
do ao professor e coordenador como parte das exigências da 
disciplina de ENQ 222 – Fenômenos de Transporte III. 
 
 
 
 
 
 
VIÇOSA 
MINAS GERAIS – BRASIL 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO .............................................................................................................................. 3 
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ....................................................................................................... 4 
3. MATERIAIS ................................................................................................................................... 6 
4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL .......................................................................................... 6 
5. Análise de Propagação de Incertezas .............................................................................................. 7 
6. RESULTADOS ............................................................................................................................... 8 
6.1. Papel toalha ................................................................................................................................. 8 
6.2 Guardanapo ................................................................................................................................. 9 
7. CONCLUSÃO .............................................................................................................................. 12 
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................................... 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 A indústria de papel tem se desenvolvido cada vez mais para oferecer produtos de 
qualidade e de ampla adesão dos consumidores. O papel absorvente de uso geral (papel 
toalha) é um exemplo disso. De acordo com o site Consumer Reports, desde 2009, o 
tamanho médio dos rolos de papel toalha diminuíram seu tamanho entre 9% e 23%. Isso se 
deve ao interesse das indústrias gastar menos matéria prima para oferecer seu produto 
com qualidade igual ou superior. Além disso, a diminuição do tamanho dos rolos veio 
acompanhada da aparição de opções do produto em folhas duplas ou triplas. Para oferecer 
um produto como este, é necessário observar-se vários parâmetros do material seco e 
úmido, a fim de se ter uma qualidade superior de papel, otimizando gastos e consumo de 
matéria prima. Um dos parâmetros a ser observado, que também é o foco deste artigo, é o 
coeficiente de difusão (DAB) de um líquido na folha de papel, que está relacionado a 
características de cada tipo de papel, o meio difusivo, e diferentes tipos de líquido ou 
substância difundida. 
 Existem bibliografias científicas que trazem poucos valores tabelados ou correlações 
para o cálculo do DAB, como o Perry's Chemical Engineers' Handbook. Porém, é inegável o 
fato de que tais fontes são pouco ou nunca consultadas por alunos de graduação, 
principalmente por desvios das condições experimentais em geral com as tabeladas. Este 
artigo tem como objetivo desenvolver uma alternativa para contornar este problema e 
promover mais estímulo para o processo prático de aprendizagem através de um 
experimento simples e formulação matemática descomplicada. , o objetivo é propor uma 
modelagem que possa despertar no aluno as três fases da prática científica, citadas por 
Praia et al. (2002): levantamento de hipótese, execução de testes e discussão dos 
resultados e registro do conhecimento. 
 Como dito por Cachapuz et al. (2004), o caráter extremamente teórico das 
disciplinas das ciências naturais faz com que o estudante não se interesse muito pela 
mesma, frente a outras tantas outras possibilidades existentes ao redor em um século de 
intensa produção e transmissão de informação. Essa estratégia de ensino formal, com 
aulas contadas e ementas rígidas podem, de certa forma, “podar” o instinto científico dos 
alunos. Por exemplo, perguntas do tipo “e se mudar a substância?”, “e se mudar o meio?”, 
“e se for feito de outro jeito?”, acabam por ter respostas vagas ou demasiadamente teóricas 
e intangíveis, pois as vezes o tempo em laboratórios é curto ou em situações piores, mas 
não tão incomuns no país, nem existe um laboratório de ensino adequados, o que é um 
fator que contribui para a baixa taxa de aprovação em cursos de ciência (Censo da 
Educação Superior, 2015). 
 A proposta de experimento é uma montagem simples que permite obter dados de 
posição e tempo, para serem utilizados em equações específicas da transferência de 
massa, com o intuito de avaliar o DAB e, indiretamente, avaliar a “facilidade” da 
transferência de massa no meio utilizado. Serão utilizados apenas materiais comuns e de 
fácil acesso, e a modelagem matemática desenvolvida será a mais simples, de modo que 
quaisquer estudantes ou professores possam realizar a experiência sem a necessidade de 
uma maior estrutura tanto laboratorial como de métodos numéricos computacionais ou 
calculadoras gráficas. 
 
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
 
 Ao se realizar o balanço de massa para um componente A sobre um volume de 
controle com coordenadas retangulares se obtêm a Equação 1 (CREMASCO, 2009). O 
primeiro termo a esquerda representa o acúmulo, uma variação da concentração de A com 
o tempo. Os outros termos do lado esquerdo representam o divergente do fluxo da espécie 
A ao longo das coordenadas x, y e z. Por último, a parcela do lado direito corresponde à 
taxa de reação química em termos volumétricos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Equação 1) 
Em que, 
CA = Concentração molar da espécie A (mol m
-3) 
t = Tempo (s) 
N
’’
A = Fluxo molar da espécie A 
x, y e z = Coordenadas (m) 
R
’’’
A = Taxa de reação química (mol m
-3 s-1) 
 Do modo que se encontra, é complicado utilizá-la em um cálculo, sendo necessário 
trabalhar com simplificações diferentes para cada tipo de situação. Para o regime 
transiente, a forma mais simplificada é apresentada por Welty et al. (2008) a partir das 
seguintes observações: transferência de massa unidirecional na coordenada z, não há 
reação química homogênea, concentração total do sistema constante (a quantidade de 
matéria da espécie A que se difunde em B é muito pequena se comparada com a 
quantidade de matéria total inicial), coeficiente de difusão constante, não há contribuição 
convectiva para a transferência de massa (meio globalmente estacionário) e o meio 
avaliado é semi-infinito. A Equação 2, conhecida como Segunda Lei de Fick, é obtida para 
esse caso e a sua resolução analítica necessita de duas condições de contorno e uma 
condição inicial. A condição inicial é para t = 0 a concentração é igual a CA0 (concentração 
inicial). Como condições de contorno, assume-se que na posição z = 0 em qualquer tempo 
a concentração é igual a CAS (concentração superficial) e em z = ∞ e para qualquer instante 
de tempo a concentração é igual a CA0. O desenvolvimento matemático resulta nas 
Equações3 e 4, também apresentada por Welty et al. (2008). 
 
 
 
 
 
 
 
 (Equação 2) 
 (Equação 3) 
 
 
 
 (Equação 4) 
Em que, 
DAB = Coeficiente de difusão de A em B (m
2 s-1) 
z = Posição em relação à origem (m) 
 Com estas equações é possível se encontrar o perfil de concentração para a 
situação descrita anteriormente, utilizando como auxílio uma tabela para os valores da 
função erro (erf) ou uma calculadora gráfica que possua esta função em sua biblioteca. 
Porém, uma forma mais conveniente é utilizar concentração mássica (ρA) no lugar de 
concentração molar, obtendo-se assim a Equação 5. Outra modificação útil é dividir toda a 
equação pela concentração mássica total, de forma que a equação resultante fique em 
função da fração mássica do componente A (wA). Após executar os rearranjos, chega-se a 
Equação 6. 
 
 (Equação 5) 
 (Equação 6) 
3. MATERIAIS 
 
 1 régua escolar de 20 cm ou maior; 
 3 tiras de papel de 20 cm ou superior para cada tipo de papel; 
 100 mL ou mais de cada líquido a ser estudado; 
 Cronômetro; 
 Placa de petri ou outro objeto que sirva de reservatório para o líquido; 
 Durex ou fita crepe; 
 Papel e caneta para anotações. 
 
4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
 A modelagem proposta para o experimento é utilizar uma fita de papel longa e fina, 
para aproximar como um meio semi-infinito, apoiada em uma régua e presa em uma 
extremidade para não se mover, para que a posição zero fique sempre em contato com o 
líquido e possa garantir a saturação do papel com vinho neste ponto. O líquido percorrerá 
por transferência de massa o comprimento da fita até uma certa posição em que atingirá o 
máximo de penetração. Essa posição será identificada quando o tempo para se percorrer a 
menor unidade de medida da régua for muito superior ao tempo anterior gasto para 
percorrer a mesma distância. Um esquema da montagem é dado pela Figura 1. 
Figura 1. Desenho esquemático do experimento. 
 
 Nessas condições, todas as suposições feitas para se chegar a Equação 2 são 
verdadeiras, de modo que o sistema pode ser descrito pela Equação 6. Para prosseguir é 
necessário determinar os valores das frações wA0 e wAS. Porém, como o objetivo é 
determinar o coeficiente de difusão, a segunda fração não será necessária. Na posição de 
penetração máxima wA é igual a wA0, ou seja, é igual a zero. Substituindo os valores já 
conhecidos na Equação 6 se encontra que a função erf(ϕ) deve ser igual à unidade. Pela 
tabela apresentada no apêndice L em Welty et al. (2008), a função erro assume o valor de 
1 quando o seu argumento é igual a 3. Assim, transportando esse valor para a Equação 4 
se chega na Equação 7, utilizada para encontrar o coeficiente de difusão na configuração 
deste experimento, sendo necessário apenas a medida da distância de penetração máxima 
e o tempo gasto para atingi-la. 
 
 
 
 
 (Equação 7) 
 
 De fato, ao observar a Equação 7 se percebe que um dos objetivos da modelagem 
se cumpre, com uma formulação matemática aproximada pelo experimento de fácil 
manipulação e que não exige muito esforço para resolução. A equação também possibilita 
a avaliação de várias situações com alteração do tipo de papel ou substância, sem uma 
maior complicação de cálculo, pois as características dos componentes não são parte das 
simplificações para deduzir a mesma. 
 
5. ANÁLISE DE PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS 
 
 A análise de propagação de incertezas foi realizada utilizando a metodologia de 
Kline e McClintock (GUM, 2008; FOX e MCDONALD, 2006; MILLS e CHANG, 2004; 
DONATELLI e KONRATH, 2005; HOLMAN, 1994), através da Equação (X). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Equação 8) 
 Onde é a incerteza associada à função em que 
( são os desvios padrões das médias associados às respectivas grandezas 
mensuradas . Esses desvios são intrínsecos aos instrumentos utilizados para 
as medições. 
 Aplicando a análise de incertezas à Equação (Y), a qual corresponde à função para 
o cálculo do , é obtida a Equação (Z). 
 
 
 
 
 (Equação 7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Equação 9) 
 Resolvendo-se as derivadas encontra-se a Equação (θ) final para o calculo da 
incerteza associado ao coeficiente difusivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Equação 10) 
 
6. RESULTADOS 
 
6.1. Papel toalha 
 
A Figura 2 mostra os dados coletados relacionados na Tabela 1, de posição da inter-
face úmida com vinho em função do tempo para o papel toalha. O valor final obtido foi de 
243,0 segundos em uma cota de 3 cm. Os desvios padrões da régua e do cronômetro utili-
zados eram, respectivamente, de 0,5 cm e 0,5 segundos. Dessa forma, através da Equa-
ção 7, foi obtido o valor do coeficiente de difusão do vinho no guardanapo e a incerteza 
associada, através da Equação 10. 
O ajuste logaritmo dos dados, apresentados no gráfico da Figura 2 confirma que o 
ponto final foi coletado quando a posição da cota não apresentava variação apreciável em 
relação ao tempo. 
 
 
 
Distância vertical (cm) Tempo decorrido (s) 
0.0 0.00 
0.5 1.94 
1.0 4.92 
1.5 13.44 
1.6 17.79 
1.7 19.18 
1.8 20.78 
1.9 28.49 
2.0 45.13 
2.1 57.20 
2.2 73.28 
2.3 87.90 
2.4 97.03 
2.5 62.50 
2.6 122.60 
2.7 182.70 
2.8 242.80 
2.9 242.90 
3.0 243.00 
Tabela 1: Posição da interface úmida e tempo decorrido para o papel toalha. 
 
 
Figura 2: Posição da interface úmida em função do tempo. 
 6.2 Guardanapo 
 
Para o guardanapo foram feito dois ensaios, mostrados na Figura 3 e 4. Os valores 
finais obtidos para o primeiro ensaio foram de 212,0 segundos em uma cota de 2,8 cm. Já 
para o segundo a cota obtida foi de 2 cm em 88 segundos. Os desvios padrões da régua e 
0 50 100 150 200 250 300 
0 
0.5 
1 
1.5 
2 
2.5 
3 
3.5 
Segundos 
C
e
n
tí
m
e
tr
o
s 
do cronômetro utilizados eram os mesmos anteriores. Dessa forma, através da Equação 7 
foi obtido o valor do coeficiente de difusão do vinho no guardanapo e da Equação 10 a in-
certeza associada, utilizando a média dos dois ensaios. 
O ajuste logaritmo dos dados, apresentados na Tabela 2 e nos gráficos da Figura 3 
e 4 confirmar que o ponto final foi coletado quando a posição da cota não apresentava va-
riação apreciável em relação ao tempo. 
 
 
 
 
Experimento 1 Experimento 2 
Distância vertical (cm) Tempo decorrido (s) Distância vertical (cm) Tempo decorrido (s) 
0.0 0 0 0.0 
0.1 1 0.1 1.0 
0.2 2 0.2 1.0 
0.3 3 0.3 1.5 
0.5 4 0.4 2.0 
0.6 5 0.5 2.0 
0.7 6 0.6 3.1 
0.8 7 0.8 3.5 
0.9 9 0.9 4.2 
1.0 14 1.0 4.8 
1.1 23 1.3 8.0 
1.2 30 1.4 14 
1.3 35 1.5 18 
1.4 48 1.6 25 
1.5 53 1.7 29 
1.6 58 1.8 40 
1.7 70 1.9 47 
1.8 76 2.0 55 
1.9 81 2.1 66 
2.0 88 2.2 77 
Tabela 1: Posição da interface úmida e tempodecorrido para o guardanapo. 
 
 
Figura 3: Posição da interface úmida em função do tempo para primeiro ensaio 
 
 
Figura 4: Posição da interface úmida em função do tempo para segundo ensaio 
 
 Observa-se uma pequena diferença entre os valores de difusividade para o papel 
toalha e guardanapo. Isso se deve ao fato de os dois papéis terem a mesma função e por 
isso, apresentarem estrutura e composição semelhantes. A principal dificuldade de 
obtenção dos dados se encontra nos primeiros segundos da difusão do vinho no papel, por 
esta transferência de massa ser muito rápida e portanto, estar sujeita a erros de marcação 
de tempo. 
0 50 100 150 200 250 
0 
0.5 
1 
1.5 
2 
2.5 
3 
Segundos 
C
e
n
tí
m
e
tr
o
s 
0 20 40 60 80 100 
0 
0.5 
1 
1.5 
2 
2.5 
Segundos 
C
e
n
tí
m
e
tr
o
s 
7. CONCLUSÃO 
 
 Pode-se concluir que é possível obter resultados satisfatórios para parâmetros da 
literatura através de experimentos simples e formulações matemáticas de fácil manipulação. 
Observa-se porém a necessidade de mais ensaios e repetições para que os dados de 
difusividade sejam mais precisos. Variações entre produtos utilizados, como por exemplo o 
tipo de vinho ou a marca do papel absorvente podem causar variações nos resultados. 
 A possibilidade de estender os métodos empregados neste artigo para obtenção do 
coeficiente de transferência de massa de outros líquidos em outros meios torna o estudo de 
interesse para futuros experimentos. Espera-se que o incentivo a compreensão dos 
fenômenos estudados em cursos de engenharia de modo simples e facilitado corrobore 
para o crescimento científico no cenário nacional. 
 
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
CACHAPUZ, António; PRAIA, João; JORGE, Manuela. Da Educação em Ciência às 
Orientações para o Ensino das Ciências: Um Repensar Epistemológico. Ciência & 
Educação, Bauru – SP, v. 10, n. 3, p. 363-381, 2004. 
 
Censo da Educação Superior. Disponível em: <inep.gov.br/web/guest/sinopses-estatisticas-
da-educacao-superior>. Acesso em: 16 de junho de 2017. 
 
CREMASCO, Marco Aurélio. Fundamentos de transferência de massa. 2ª edição revisada, 
2ª reimpressão. Campinas: UNICAMP, 2009. 725 p. 
 
PRAIA, João; CACHAPUZ, António; GIL-PÉREZ, Daniel. A Hipótese e a Experiência 
Científica em Educação em Ciência: Contributos para Uma Reorientação Epistemológica. 
Ciência & Educação, Bauru – SP, v. 8, n. 2, p. 253-262, 2002. 
 
Site Consumer Reports. Disponível em: <http://www.consumerreports.org/cro/toilet-
paper/buying-guide.htm>. Acesso em: 16 de junho de 2017. 
 
WELTY, James; WICKS, Charles E.; RORRER, Gregory L.; WILSON, Robert E.; FOSTER, 
David G. Fundamentals of momentum, heat, and mass transfer. 5th ed. New York: John 
Wiley & Sons, 2008. 711 p.