Trabalho 1

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EXATAS – ÁREA DO CONHECIMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E ENGENHARIAS 
TRABALHO – PESO: 1,0 PONTOS – DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO 
PROFA. VÂNIA M P SLAVIERO – vmpslavi@ucs.br 
ALUNO(S): JOEMIR CASAGRANDE RIGHEZ DATA: 13/09/2017 
 
Orientações: só será feita a correção do trabalho que tem todas as questões feitas. A entrega deve ser feita no 
dia da prova, na pasta Webfólio, até o horário lá fixado. Trabalhos atrasados não serão aceitos e trabalhos 
que configurem como cópia, parcial inclusive, terão nota zero. Duas questões, sorteadas em aula no dia da 
entrega, serão corrigidas, com valor 0,5 cada uma. Em negrito, após cada enunciado, encontra-se o que é 
solicitado. Pode ser feito em duplas, devendo constar o(s) nome(s) na entrega. Use format long para as 
respostas e edite o documento, retirando linhas em branco e cálculos desnecessários. O número de páginas 
não pode exceder a 5, incluindo o enunciado. Salve em .pdf. 
 
Questão 1. Uma fórmula recursiva para calcular uma aproximação do valor de √𝑛 é dada por: 
𝑥𝑘 =
1
2
(𝑥𝑘−1 +
𝑛
𝑥𝑘−1
). 
Usando esta fórmula o que se pretende calcular aqui é uma aproximação para o valor de √105. 
a) Escolha um valor inicializador x1, sem calcular o valor de √105. Mostre como foi feita a escolha. 
x1 = 10.2 
 
Critério de escolha: analise do gráfico 
 
%f=@(x)=(1/2*((x-1)+n/(x-1))); 
%x=0:0.01:20; 
%plot(x,f(x)) 
%grid on 
 
b) Monte uma tabela contendo: os valores de 𝑥𝑘 para k= 1, 2, ..., 10; as diferenças relativas; os erros 
relativos. 
Tabela: 
tab = 
 
k x(x) Diferença Erro relativo 
 1.000000000000000 10.199999999999999 0.046950765959599 -0.004581925592496 
 2.000000000000000 10.247058823529411 -0.000108057569813 0.000010545339026 
 3.000000000000000 10.246950766529345 -0.000000000569747 0.000000000055602 
 4.000000000000000 10.246950765959598 0 0 
 5.000000000000000 10.246950765959598 0 0 
 6.000000000000000 10.246950765959598 0 0 
 7.000000000000000 10.246950765959598 0 0 
 8.000000000000000 10.246950765959598 0 0 
 9.000000000000000 10.246950765959598 0 0 
 10.000000000000000 10.246950765959598 0 0 
 
c) Qual é a aproximação obtida para √105, considerando a tabela obtida em b)? Considerando o erro 
relativo o que se pode afirmar quanto ao número de DSE? 
 
Respostas: 
 
10.246950765959598 pode se afirmar que o DSE é maior que a quantidade de dígitos limite do 
software. 
 
Questão 2. Uma série para calcular ln(1 – x), se x está no intervalo aberto (-1, 1), é 
ln(1 – x) = ∑ (−
𝑥𝑛
𝑛
+∞
𝑛=1 ). 
a) Escreva uma function que recebe um valor de x e um valor de n, e retorna uma aproximação para o 
valor de ln(1 – x) usando os primeiros n termos da série. 
Function: 
 
function[X]=aproximacao(x,n) 
%imput 
%x logaritmo natural a ser calculado 
%n intervalo da serie 
%output 
%X aproximação do valor 
 
for n=1:n 
 X(n)=(-(x^n)/n); 
end 
X=sum(X) 
 
b) Use x = -0,2  (-1, 1) e calcule uma aproximação para ln(1 – x) para n = 10, 100, 1000. 
c) Determine o erro relativo entre o valor exato e os aproximados obtidos em b). 
Disponha os resultados de b) e c) na tabela: 
n = 10 -8.631108340563109e-09 0.182321555220317 
n = 100 3.044683920398516e-16 0.182321556793955 
n = 1000 3.044683920398516e-16 0.182321556793955 
 
Questão 3. A recolha de energia solar através da focagem de um campo plano de espelhos numa central de 
recolha foi estudada por Vant-Hull (1976). A equação para a concentração geométrica do fator C é dada por: 
 
em que A é o ângulo do campo, F é a cobertura da fracção do campo com espelhos, D é o diâmetro do 
coletor e h é o comprimento do coletor. Considerando h = 300, F = 0.8 e D = 14, calcule uma ótima 
aproximação do ângulo positivo A, inferior a π/25 rad, para o qual a concentração do fator C é 1200. Use um 
método que avalia a derivada da função em cada aproximação. 
 
Argumentos de entrada: 
tol=0.5e-16; 
kmax=20; 
x=0.117; 
 
Linhas digitadas: 
clear 
clc 
h=300; 
F=0.8; 
d=14; 
a=0:0.01:pi/25; 
f=@(x) 1200-((pi*F*(h./cos(x)).^2)./((0.5*pi*d^2)*(1+sin(x)-0.5*cos(x)))); 
plot(a,f(a)) 
grid on 
tol=0.5e-16; 
kmax=20; 
x=0.117; 
[x, Erel,k]=ZeroNewton(f,x,tol, kmax) 
 
Resposta obtida: 
x = 0.117609059151578 
Erel = 0 
k = 4 
 
Questão 4. Uma das soluções para os resíduos de material nuclear é colocá-los em barris especiais que serão 
mais tarde depositados no fundo do oceano. Se os recipientes permanecerem intactos, a contaminação do 
ambiente circundante é mínima. Resolvendo as equações de movimento para os barris à medida que eles 
descem na água, chega-se à seguinte relação entre a velocidade de impacto, v, e a profundidade da água, D: 
 
em que W é o peso dos barris, B é a sua flutuabilidade, g é a constante 
gravitacional e k é o coeficiente de atrito. A flutuabilidade dos barris pode ser 
determinada através do seu volume, sendo igual a 470. O coeficiente de atrito é determinado 
experimentalmente e é dado por k = 0.08. A constante gravitacional é g = 32 e o peso dos barris W = 527. 
a) Determine uma aproximação ótima, pelo método da Bisseção, para a velocidade de impacto v, 
quando os barris são lançados numa zona cuja profundidade é D = −300. 
b) Através de experiências, mostrou-se que os barris se danificam se a velocidade de impacto com o 
fundo do oceano for superior a 40. Na situação da alínea anterior, haverá risco de contaminação? 
 
Argumentos de entrada: 
a=46.5; 
b=46.6; 
tol=0.5e-12; 
kmax=50; 
 
Linhas digitadas: 
clear 
clc 
k=0.08; 
g=32; 
w=527; 
b=470; 
t=0:0.1:50; 
f=@(x) ((1/(k^2*g))*((w*(w-b))*log(1+((k*x)./(w-b)))-w*k*x))+300; 
plot(t,f(t)) 
grid on 
a=46.5; 
b=46.6; 
tol=0.5e-16; 
kmax=50; 
[x,Erel,k ]=ZeroBissecao(f,a,b,tol,kmax) 
 
Respostas: a) 46.547060056572590m/s 
b) Sim pois eles adquirem uma velocidade superior a 40m/s 
Complete: a aproximação obtida é ótima porque possui um DSE superior a 16 e teve erro relativo igual a 0 
 
 
Questão 5. a) Escreva uma function na linguagem do MATLAB, de nome “ZeroMetodos”, que calcula o 
zero de uma função f num intervalo [a, b] pelo método de Newton-Raphson, usando como estimativa inicial 
a aproximação obtida na segunda iteração do método da Bissecção. Fixe como dados de entrada f, a, b, tol, 
kmax, e como dados de saída a aproximação x, a diferença relativa Erel e o número de iterações realizadas k. 
O critério de parada deve ser um dos dois, tol e kmax, o que acontecer primeiro. Não chame funções 
externas, construa todas as saídas no próprio programa. 
b) Usando um intervalo de comprimento 0,5, encontre o menor zero positivo da função f(x) = x3 – sin(x), 
com tol = 0,5×10-6, pelo método de Newton-Raphson e pelo método proposto no iem a). Qual o mais 
rápido? Obs: lembre que para comparar os métodos os argumentos iniciais devem ser compatíveis. 
 
a) Function 
function[x,Erel,k ]=ZeroMetodos(f,a,b,tol,kmax) 
%imput 
%f função anonima 
%a exteremo inferor do intervalo que comtem o zero 
%b extremo superior 
%tol tolerancia para o zero 
%kmax, numero maximo di iteraçoes 
%x aproximação do zero da f 
%Erel erro relativoentre x(k)e x(k-1) diferença relativa 
%k numero de iteraçoes realizadas 
d=1; 
x=(a+b)/2; 
while d<=2 
if f(a)*f(x)<0 
 b=x; 
else 
 a=x; 
end 
d=d+1; 
x=(a+b)/2; 
end 
syms t; 
df=matlabFunction(diff(f(t))); 
k=1; 
Erel=abs(f(x));%+inf 
while k<kmax && Erel>tol 
 %u=x;x=x-f(x)/df(x); 
 Erel=abs(f(x)); %Erel=ErroRel(u,x); 
 k=k+1; 
end 
 
b) Argumentos de entrada por Newton-Raphson: 
a=-0.5; 
b=0.5; 
x=(a+b)/2; 
tol=0.5e-16; 
kmax=10; 
 
Argumentos de entrada por ZeroMetodos: 
a=-0.5; 
b=0.5; 
tol=0.5e-16; 
kmax=10; 
 
Respostas: (valores e erros pelos dois métodos) 
ZeroMetodos 
x = 0 
Erel = 0 
k = 6 
Newton-Raphson 
x = 0 
Erel = 0 
k = 1 
Comparação: o método Newton obteve um resultado com menos interações .